การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 29 1-3 กรกฎาคม 2558 จงหวดนครราชสมา DRC-12

การปรบสญญาณในระบบวงรอบปดองทฤษฏปอนกลบเชงปรมาณเพอลดการสนสะเทอนตกคางในระบบแบบยดหยน

Closed-Loop Signal Shaping Based on Quantitative Feedback Theory to Reduce Residual Vibration in Flexible System

ภวดล โพธแดง1,2*, บณทต อนทรยมศกด 2 และ วทต ฉตรรตนกลชย1

1 หองปฏบตการควบคมหนยนตและการสนสะเทอน (CRV lab) ภาควชาวศวกรรมเครองกล คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร จตจกร กรงเทพฯ 10900

2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยธนบร หนองแขม กรงเทพฯ 10160 *ตดตอ: p.poedaeng@gmail.com, เบอรโทรศพท 09 0648 9995

บทคดยอ เทคนคการปรบสญญาณน าเขา (Input shaping) เปนเทคนคทลดการสนสะเทอนตกคางในระบบทมความหนวงต า

ตวปรบสญญาณน าเขามลกษณะเปนอนกรมของแรงดล เมอท าการประสาน (Convolute) อนกรมของแรงดลกบสญญาณในเวลาทเหมาะสม สงผลใหการสนสะเทอนตกคางในระบบถกหกลางจนหมด เทคนคการปรบสญญาณน าเขาสามารถประยกตใชไดทงระบบวงรอบเปด (Open-loop system) และระบบวงรอบปด (Closed-loop system) ขอเสยหลกของตวเทคนคดงกลาว คอ ไมสามารถลดการสนสะเทอนทเกดจากสงรบกวน (Disturbance) และความไมแนนอนของระบบได ผวจยไดน าเทคนคการปรบสญญาณน าเขามาอยภายในวงรอบการควบคม เพอใหเปนสวนเดยวกบระบบพลวต และน าทฤษฏปอนกลบเชงปรมาณ (Quantitative feedback theory, QFT) มาออกแบบระบบควบคม ขอดของเทคนคควเอฟท คอตวควบคมทได ถกออกแบบมาจากเซตความไมแนนอนของระบบ อกทงยงสามารถก าหนดคณสมบตเพมเตมได เชน คณสมบตดานการลดสงรบกวน, คณสมบตดานการลดสญญาณรบกวน และ คณสมบตดานการเคลอนทตามสญญาณ เปนตน จงท าใหเทคนคควเอฟทสามารถลดการสนสะเทอนจากสงรบกวน และความไมแนนอนของระบบไดด ผลการจ าลองการท างานของระบบควบคมดงกลาวกบระบบมวลสปรงและตวหนวง (m-c-k system) พบวาระบบควบคมทน าเสนอในงานวจยนสามารถลดการสนสะเทอนทเกดขนไดอยางมประสทธภาพ ทงจากการสนสะเทอนทเกดจากตวสญญาณอางอง, จากความไมแนนอนของระบบพลศาสตร และจากสงรบกวน ค ำหลก: ทฤษฏปอนกลบเชงปรมาณ; ตวปรบสญญาณน าเขา; การลดการสนสะเทอนตกคาง

Abstract Input shaping is a technique to reduce residual vibration in lightly damped systems. The input shaper

consists of a sequence of impulse signals which designed in a certain time. The residual vibration occurring in the systems is eliminated by convolution of impulse signals in the shaper and reference command. Input shaping technique can be widely used in both open-loop and closed-loop system. However, they cannot handle vibrations from disturbance and plant uncertainty. We propose a new idea by placing input shaper inside the control loop, then Quantitative Feedback Theory (QFT) is applied in a controller design. The advantage of the propose method is the controller which designed on a set of uncertainty. Specifications such as output disturbance rejection, noise rejection and tracking. Simulation results in the m-c-k system show that the performance of the propose method well perform in vibration reduction from command signal, plant uncertainty and disturbance.

800

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 29

DRC-12 1-3 กรกฎาคม 2558 จงหว

ดนครราชส

มา Keyword: Quantitative feedback

theory; Input shaper; Residual vibration

1. บทน าเทคนคการปรบสญญาณน าเขาเปนเทคนคทใชลด

การสนสะเทอนตกคางภายในระบบทมความยดหยน ถกน าเสนอแนวคดครงแรกโดย O.J.M. Smith ในป ค.ศ. 1958 [1] ในชอ Posicast control แนวคดดงกลาวถกพฒนาขนโดย N.C. Singer ในป 1990 [2] และเปนทรจกกนในชอการปรบสญญาณน าเขา (Input shaping) วธการของ Singer คอการหาขนาดของแรงดลและเวลาทใสแรงดลเขาสระบบจากผลตอบสนองของแรงดลกบระบบทมการสนสะเทอนแบบอสระในลกษณะหนงองศาอสระ เมอท าการปอนแรงดลสองแรงทมขนาดเหมาะสมในเวลาทถกค านวณไว การสนสะเทอนตกคางของระบบจะถกหกลางหมดไป คาตวแปรส าคญทใชค านวนแรงดล และเวลาทใสแรงดลเขาสระบบ คอ คาความถธรรมชาต (Natural frequency) แ ล ะ อต ร า ส ว นคว ามห น ว ง ขอ ง ร ะบบ (Damping ratio) ในกรณทระบบมความไมแนนอนสามารถเพมความทนทานตอการเปลยนแปลงของคาความถธรรมชาต และอตราสวนความหนวงได แตขอเสยของการเพมความทนทาน คอ เวลาหนวงของระบบจะเพมมากขน

การประยกตใชงานการปรบสญญาณน าเขาโดยทวไปจะท างานภายนอกวงรอบการควบคม (Feed-forward control) ดวยเหตนจงท าใหเทคนคดงกลาวสามารถใชงานกบระบบทมการสนสะเทอนไดเกอบทกรปแบบ ทงระบบวงรอบเปด และระบบวงรอบปด งานวจยทพบสวนมากเปนการลดการสนสะเทอนของโครงสรางทมความยดหยน เชน Construction crane [3], Gantry crane [4], และ Bloom crane [5] เปนตน

นอกจากนไดมการศกษาการลดการสนสะเทอนในโครงสรางแบบยดหยนโดยท างานในลกษณะแบบ Hybrid control คอใชตวปรบสญญาณน าเขาในลกษณะ Feed-forward control รวมกบระบบควบคมแบบปอนกลบ การท างานลกษณะนจะชวยชดเชยขอเสยของเทคนคการปรบสญญาณน าเขาทสามารถลดการสนสะเทอนเฉพาะทเกดจากสญญาณอางองเทานน โดยน าทฤษฏการออกแบบระบบควบคมขนสงมาใชจดการกบการสนสะเทอนทเกดจากสงรบกวนจากภายนอก, จากความไมแนนอนตวแปรในระบบ และ จากสญญาณรบกวน เปนตน

นอกจากการควบคมแบบ Hybrid control ยงมการควบคมแบบ Closed-loop signal shaping หรอ CLSS [6] ซงวธการดงกลาวแตกตางกบแบบ Hybrid control คอระบบจะผนวกตวปรบสญญาณน าเขารวมเขากบตวระบบพลวต ซงแตเดมเทคนคการปรบสญญาณน าเขาจะปรบรปรางเฉพาะต าแหนงของสญญาณอางอง แตวธ CLSS ตวเทคนคจะปรบสญญาณควบคมของระบบพลวตโดยตรง

งานวจยนไดน า CLSS มาประยกตใชงานกบระบบมวล สปรงและตวหนวง โดยน าทฤษฏปอนกลบเชงปรมาณ (QFT) มาออกแบบระบบควบคม เนองจากตวเทคนคดงกลาวจะออกแบบตวควบคมจากเซตความไมแนนอนของระบบ ดงนนตวควบคมทไดจากการออกแบบระบบ CLSS จงมความทนทานโดยไมตองเพมเวลาหนวงเขามาในระบบ

ส าหรบงานวจยนสวนท 2 แสดงทฤษฏพนฐานของเทคนคควเอฟท และเทคนคการปรบสญญาณน าเขา สวนท 3 แสดงระบบมวลสปรงและตวหนวง (m-c-k system) ทใชจ าลองการท างาน สวนท 4 แสดงขนตอนการออกแบบระบบควบคมดวยเทคนคควเอฟท สวนท 5 แสดงผลการจ าลองการท างาน และสวนสดทายคอสรปผลการทดลอง

2. ทฤษฏพนฐาน2.1 พนฐานเทคนคควเอฟท

เทคนคควเอฟทถกน าเสนอครงแรกโดย I. Horowitz ในป ค.ศ.1963 [7] ลกษณะของระบบปอนกลบทใชสามารถแสดงไดตามรปท 1 ซงเปนไดอะแกรมของระบบหนงอนพตหนงเอาตพต (Single input single out, SISO)

F

H

G P+ + +

-

IdOd

nr y

รปท 1 แสดง block diagram ของระบบควบคม

เมอ F คอ Pre-filter, G คอตวควบคม, P คอระบบทมความไมแนนอน, H คอตวเซนเซอร, r คอสญญาณอางองของระบบ, dI คอสงรบกวนทสญญาณขาเขาของระบบ, do คอสงรบกวนทสญญาณขาออกของระบบ, n คอ

801

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 29 1-3 กรกฎาคม 2558 จงหวดนครราชสมา DRC-12

สญญาณรบกวนของเซนเซอร และ y คอสญญาณขาออก

ของระบบ สามารถล าดบขนตอนการออกแบบตวควบคม

ไดเปน 5 ขนตอนดงตอไปน 1. ก าหนดคณสมบตของระบบ จดเดนของเทคนคคว

เอฟทคอสามารถก าหนดคณสมบตของระบบกอนการออกแบบตวควบคม เชน เวลาเขาทของระบบ (Settling time), คาการพงเกน (Overshoot), ความสามารถในการลดสงรบกวน (Disturbance rejection) และ คาความมเสถยรภาพของระบบ เปนตน ซงคณสมบตดงกลาวถกเปลยนจากโดเมนเชงเวลาใหอยในรปโดเมนเชงความถ

2. ก าหนด Plant template ของระบบ เนองจากตวควบคมทออกแบบจากเทคนคควเอฟท ถกออกแบบมาจากระบบทมความไมแนนนอนโดยท 1 2 nP p ,p ,...p เมอระบบทตองการออกแบบประกอบระบบทมความไมแนนอน p1, p2 และ pn เมอน าระบบทงหมดไปก าหนดจดบนแผนภมนโคลสจะไดชวงความไมแนนอนของระบบทงหมด

3. การค านวนหาขอบเขตของระบบ (Boundscalculation) ซงขอบเขตดงกลาวถกค านวนมาจากคณสมบตตามขอ 1 ขอบเขตทสามารถเพมเขามาในกระบวนการออกแบบมทงหมด 6 คณสมบตดงน

Plant output disturbance rejection

doo

y 1

d 1 PGH

Plant input disturbance rejection

dii

y P

d 1 PGH

Model matching

m m m

y PGFF F

r 1 PGH

Tracing PGF

1 PGH

Noise rejection

n

y PG

n 1 PGH

Control effort

c

u G

n 1 PGH

4. การจดวงรอบสญฐาน (Loop shaping) คอขนตอนการออกแบบตวควบคม โดยจดรปรางของ Nominal plant

ใหสอดคลองกบขอบเขตของระบบทไดจากขนตอนทสาม วธการจดวงรอบสญฐานสามารถท าไดโดยน าฟงกชนถายโอนพนฐานผนวกเขากบ Nominal Plant ซงการจดวงรอบสญฐาน หรอการออกแบบตวควบคม ให มประสทธภาพ จะขนกบทกษะและประสบการณของผออกแบบ

5. การออกแบบ Pre-filter เปนขนตอนสดทายส าหรบการออกแบบระบบควบคมมลกษณะเปน Feed-forward เพอท าใหระบบท างานภายใน Tracking bounds ทก าหนด การออกแบบระบบควบคมสามารถใชเครองมอเสรมของโปรแกรม Matlab [8] 2.2. พนฐานเทคนคการปรบสญญาณน าเขา

สวนนกลาวถงพนฐานของเทคนคการปรบสญญาณน าเขา เมอพจารณาผลตอบสนองของแรงดลตอระบบเชงเสนทเปนระบบความหนวงต า มองศาอสระเปนหนง และ ไมมแรงภายนอกมากระท า ผลตอบสนองดงกลาวสามารถแสดงไดดงรปท 2(a) จากรปพบวาแรงดล A1 และ A2 สรางผลตอบสนองเปนรปคลนไซนทแอมปพลจดลดลงแบบเลขชก าลง จนสดทายคาแอมพลจดวงเขาสศนย จากรปถาแรงดล A2 มขนาดทเหมาะสมและคอนโวลชนในเวลาทถกตอง การสนสะเทอนจะถกหกลางกนสามารถแสดงไดดงรปท 2(b)

y(t)

t

1A

2A

1A

2A

1t 2t

1t 2t

y(t)

t

a

b

รปท 2 แสดงผลตอบสนองของระบบกบแรงดล, (a) แสดงผลตอบสนองของแรงดล A1 และ A2, (b) แสดงการหกลางระหวางผลตอบสนองของแรงดล A1 และ A2

วธการค านวนหาขนาดของแรงดลและเวลาหนวงส าหรบแรงดล A1 และ A2 เรมตนจากสมการผลตอบสนองแบบอสระของแรงดลกบระบบทเปนเชงเสนแบบหนงองศาอสระทมตวหนวง แสดงไดตามสมการท (1)

t 2

2y(t) A e sin 1.0 t

1

(1)

802

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 29 1-3 กรกฎาคม 2558 จงหวดนครราชสมา DRC-12

เมอ A คอ แอมพลจด (Amplitude) ของแรงดล, คอ ความถธรรมชาต (Natural frequency) t คอ ผลตางของเวลาทใสแรงดลเขาไปในระบบ และ คอ อตราสวนความหนวง (Damping ratio), y(t) คอ ต าแหนงทสนใจ จากสมการท (1) สามารถใชหลกการของตรโกณมตจดรปไดตามสมการท (2)

1 1 2 2

amp

B sin t B sin t

A sin t

(2)

จากสมการท (2) สามารถระบคาตวแปรไดดงน

1 0

2 0

2 2

amp 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2

1 1 2 2

2

1 1

t t11

2

2

2 2

t t22

2

A B cos B cos B sin B sin

B cos B costan

B sin B sin

1 t ,

AB e

1

1 t ,

AB e

1

เมอพจารณา ampA พบวาการทจะท าใหระบบไมมการสนสะเทอนเกดขน ตองก าหนดให ampA มคาเทากบศนย เมอพจารณาเฉพาะ ampA สามารถเขยนสมการใหอยในรปอนกรมในกรณทมแรงดล N แรงไดตามสมการท (3) เมอ jA คอขนาดของแรงดล, Nt คอเวลาของแรงดลสดทาย, jt คอเวลาของแรงดลทเวลาใดๆ

N j

N j

Nt t 2

j j

j 1

Nt t 2

j j

j 1

A e cos 1 t 0

A e sin 1 t 0

(3)

เมอก าหนด N = 2 ขนาด A1 มคาเทากบ 1 และเวลา t1 มคาเทากบศนย สามารถแกสมการหาคา t2 และ A2 ได

N

ii 1

A 1 (4)

2

2

2

1 1

1

1

2 2 21

1A t 0

e 1

eA t

1e 1

(5)

จากนนใชขอบเขตผลรวมของแอมพลจดมคาเทากบหนง (Unity magnitude summation constrain)ตามสมการท (4) สามารถค านวณขนาดของแรงดลและเวลาหนวงไดตามสมการท (5) เมอปอนสญญาณอางองผานตวปรบสญญาณน าเขา คาสญญาณอางองใหมทไดรบการปรบสญญาณ มลกษณะเปนขนบนไดตามรปท 3

t

1A2A

*

1A2A

t

=

Reference Input shaper Shaped command

รปท 3 แสดงการคอนโวลชนระหวางสญญาณอางองกบตวปรบสญญาณน าเขา

การประยกตใชงานตวปรบสญญาณน าเขาโดยทวไปสามารถใชไดทงระบบวงรอบเปด สามารถแสดงไดตามรปท 4(a) และระบบปอนกลบสามารถแสดงไดตามรปท 4(b) เนองจากการท างานของตวปรบสญญาณน าเขามลกษณะคลายตวกรองสญญาณ ซงท างานภายนอกวงรอบการควบคม แตตวปรบสญญาณน าเขาจะดงพลงงานออกจากระบบเฉพาะในชวงทเปนคาความถธรรมชาตเทานน

Input shaper

Sensor

Controller Plant+

-

r y

Controller PlantInput shaper

r y

(a)

(b)

รปท 4 แสดงการประยกตใชเทคนคการปรบสญญาณน าเขากบระบบควบคมแบบปอนกลบ, (a) การประยกตใชงานกบระบบวงรอบเปด, (b) การประยกตใชงานกบระบบ

ปอนกลบ 3. แบบจ าลองของระบบพลวตและตวปรบสญญาณ

น าเขา งานวจยทน าเสนอมความพเศษตรงทน าเทคนคการ

ปรบสญญาณน าเขามาปรบรปรางของสญญาณควบคม ผนวกเขากบระบบพลวตตามกรอบเสนปะสแดงในรปท 5

803

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 29 1-3 กรกฎาคม 2558 จงหวดนครราชสมา DRC-12

Input shaper

Sensor

QFT Plant+

-

r y

CLSS

รปท 5 แสดงไดอะแกรมการปรบสญญาณในวงรอบการควบคม

เนองจากตวปรบสญญาณน าเขาเมอน าไปผนวกกบระบบจะท าใหระบบเปนแบบมเวลาหนวง (Time delay) สามารถเขยนสมการของตวปรบสญญาณน าเขาแบบ ZV ไดตามสมการท (6) ถาตองการออกแบบระบบควบคมดวยเทคนคควเอฟทตองเปลยนเวลาหนวงดงกลาวใหอยในรปฟงกชนถายโอน โดยใชวธ Pade’ approximation งานวจยนใชอนดบท 3 เนองจากผลตอบสนองของการประมาณคาอนดบท 3 มผลตอบสนองใกลเคยงกบตวปรบสญญาณน าเขาจรง ผลจากการใช Pade’ approximation สามารถแสดงไดตามสมการท (7)

s1 2

2

zv A A e

1

(6)

3 3 2 2

1 2 3 3 2 2

s 12 s 60 120A A

s 12 s 60 120

(7)

ส าหรบโมเดลทใชจ าลองของการสนสะเทอนในงานวจย เปนระบบมวลสปรง และตวหนวง แสดงไดตามรปท 6 สามารถเขยนฟงกชนถายโอนไดตามสมการท (8)

mkc

1X 2X

รปท 6 ระบบมวลสปรงและตวหนวงทใชในงานวจย

22

1

X cs kX ms cs k

(8)

เมอ m คอมวลของระบบมขนาด 1 kg, c คอตวหนวงความหนดมคา 2 N.s/m และ k คอคาคงทของสปรงมคา 100 N/m จากสมการท (8) สามารถเขยนใหมใหอยในรปของคาความถธรรมชาตและอตราสวนความหนวงไดตาม

สมการท (9) พบวาคาความถธรรมชาตมคา 10 rad/sec และอตราสวนความหนวงมขนาด 0.1

22

2 21

X 2 sX s 2 s

(9)

ดงนนแบบจ าลองทใชส าหรบออกแบบระบบควบคมสามารถหาไดน าสมการท (9) คณกบสมการท (7) และก าหนดชวงความไมแนนอนของคาความถธรรมชาตและอตราสวนความหนวงอยท 15 %

4. การออกแบบระบบควบคมส าหรบโมเดลของระบบพลวตตามหวขอท 3 เมอท า

การก าหนดชวงความไมแนนอนของคาความถธรรมชาต และอตราสวนความหนวงของระบบอยท ±15% ชวงของความไมแนนอนของระบบมลกษณะตาม Plant template ในรปท 7 ความถในการออกแบบระบบควบคมทใชอยในชวง 0.5 – 50 rad/sec

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0 0.51358

15

25

50

Open-Loop Phase (deg)

Op

en-L

oo

p G

ain

(d

B)

Plant template

0.5

1

3

5

8

15

25

50

รปท 7 แสดง Plant template ของระบบ

คณสมบตทใชส าหรบออกแบบระบบ CLSS ใชคณสมบต 3 แบบคอ Plant output disturbance rejection ตามสมการท (10) โดยท do มขนาด 1.58

do

1

1 PGH

(10)

คณสมบตทสองคอ Noise rejection ซงคณสมบตนมความสอดคลองกบ Stability margin ของระบบสามารถแสดงไดตามสมการท (11) คา n มคา 1.2 โดย Gain margin มขนาด 5.26 dB และ Phase margin มขนาด 54.72 องศา

n

PG

1 PGH

(11)

804

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 29 1-3 กรกฎาคม 2558 จงหวดนครราชสมา DRC-12

คณสมบตสดทายทใช คอ Plant input disturbance rejection สามารถแสดงไดตามสมการท (12) โดยท di มขนาด 0.1 คณสมบตทงสามสามารถน ามาเขยนขอบเขตบนแผนภมนโคลสไดตามรปท 8

di

P

1 PGH

(12)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Open-Loop Phase (deg)

Op

en-L

oo

p G

ain

(d

B)

All bounds

0.5

1

3

5

8

15

25

50

Plant input disturbance rejection

Plant output disturbance rejection

Stability margin

รปท 8 แสดงขอบเขตทงหมดของระบบ

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Open-Loop Phase (deg)

Open

-Loop G

ain (

dB

)

Intersection of bounds

0.5

1

3

5

8

15

25

50

รปท 9 แสดงสวนรวมของขอบเขตทงหมด

เมอพจารณาจากรปท 8 พบวามการทบซอนของขอบเขตทงสามแบบ ดงนนกอนท าการจดวงรอบสญฐาณ หรอการออกแบบตวควบคมตองท าการรวมขอบเขตทงหมด (Intersection of bounds) สามารถแสดงไดตามรปท 9 ตอมาท าการจดวงรอบสญฐานของ Nominal plant ใหสอดคลองกบขอบเขตทงหมด สามารถแสดงไดตามรปท 10 จากรปพบวาตวควบคมทออกแบบสอดคลองกบทกขอบเขตในยานความถทก าหนดทไดระบไวตามรปท 9

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Open-Loop Phase (deg)

Op

en-L

oo

p G

ain

(d

B)

Controller design

0.5

1

3

5

8

15

25

50

Nominal plant

รปท 10 แสดงการจดวงรอบสญฐานของ Nominal pant กบขอบเขต

5. ผลการจ าลองการท างานการจ าลองการท างานดวยคอมพวเตอรสามารถแบง

ไดเปน 2 สวนคอ สวนแรกแสดงการจ าลองการท างานของตวควบคมทออกแบบจากเทคนคควเอฟท สวนทสองเปนการจ าลองและเปรยบเทยบการท างานของตวควบคมแบบควเอฟท, ตวควบคมแบบพไอด (PID controller) และการควบคมแบบวงรอบเปด ซงตวควบคมแบบ PID ถกออกแบบมาจากระบบพลวตแบบ CLSS เชนเดยวกบตวควบคมแบบควเอฟท 5.1 การจ าลองการท างานของตวควบคมแบบควเอฟท

การจ าลองการท างานของระบบวงรอบปดทงในโดเมนเชงความถส าหรบคณสมบตดานการลดสญญาณรบกวนทสญญาณขาออกจากระบบ สามารถแสดงไดตามรปท 11(a) จากรปพบวาผลตอบสนองของระบบทงหมดอยภายในขอบเขตทก าหนดโดยใชสญลกษณดอกจน

เมอพจารณา stability margin ของระบบแสดงไดตามรปท 11(b) พบวาระบบควบคมทออกแบบสอดคลองกบคณสมบตดานความเสถยนรภาพของระบบ ทกชวงความถทสนใจ ผลตอบสนองของระบบอยภายใตขอบเขตทก าหนดโดยใชสญลกษณดอกจน

เมอท าการปอนสญญาณรบกวนท Plant output แบบ Square wave ทแอมพลจดขนาด 1 rad และมความถ 0.05 Hz สามารถแสดงไดตามรปท 12b พบวาระบบควบคมทออกแบบสามารถลดสญญาณลบกวนดงกลาวไดใหมคาเขาใกลศนย เชนเดยวกบรปท 12c สญญาณรบกวนดงกลาวมลกษณะเหมอนกบทปอนเขาท Plant output แตภาพท 12c จะปอนสญญาณรบกวนเขาตรง

805

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 29 1-3 กรกฎาคม 2558 จงหวดนครราชสมา DRC-12

plant input ของระบบ จากรปตวควบคมทออกแบบสามารถลดสญญาณรบกวนท Plant input ไดอยางมประสทธภาพ

10-1

100

101

102

-60

-40

-20

0

Magnitude (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

10-1

100

101

102

103

104

-150

-100

-50

0

Magnitude (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

10-1

100

101

102

-60

-40

-20

0

Magnitude (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

10-1

100

101

102

103

104

-150

-100

-50

0

Magnitude (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

(a)

(b)

รปท 11 แสดงการจ าลองการท างานของตวควบคมควเอฟทในโดเมนเชงความถ: (a) ผลการจ าลองการท างานของคณสมบต Plant output disturbance rejection, (b) ) ผลการจ าลองการท างานของคณสมบต Stability margin

ส าหรบการจ าลองการท างานในโดเมนเวลาสามารถแสดงไดตามรปท 12 เมอรปท 12(a) เปนการจ าลองใหระบบเคลอนทตาม Square wave ทมขนาดแอมพลจดเทากบ 1 rad และความถมคาเทากบ 0.05 รอบตอวนาทผลการจ าลองพบวา ระบบควบคมทออกแบบสามารถเคลอนทตาม Square wave ไดด คาเวลาเขาทของระบบมคา 0.65 วนาท และไมเกด Overshoot

เมอพจารณารปท 12(b) เมอใสสญญาณรบกวน แบบ Square wave ทมแอมพลจดเทากบ 1 rad และความถมคาเทากบ 0.05 รอบตอวนาททมเขาสระบบทบรเวณ Plant input ผลการจ าลองพบวาผลตอบสนองของระบบตอสญญาณรบกวนดงกลาวมคาเขาสศนย เชนเดยวกบรปท 12(c) แตแตกตางกนทท าการปอนสญญาณรบกวนเขาสระบบทบรเวณ Plant output ของระบบ สญญาณรบกวนทใชมลกษณะเดยวกนกบสญญาณรบกวนในรป 12(b) ผลการจ าลองพบวา พบวาผลตอบสนองของระบบตอสญญาณรบกวนดงกลาวมคาเขาสศนย จากผลการจ าลองทงในสวนของโดเมนเวลาและโดเมนเชงความถพบวา ตว

ควบคมทออกแบบมประสทธภาพสง มคณสมบตตามทตองการ และสามารถลดสญญาณรบกวนทเขามาในระบบไดด

0 10 20 30 40 50-2

-1

0

1

2Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50-5

0

5Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50-1

-0.5

0

0.5

1Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50-2

-1

0

1

2Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50-5

0

5Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50-1

-0.5

0

0.5

1Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50-2

-1

0

1

2Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50-5

0

5Linear Simulation Results

Time (seconds)A

mplit

ude

0 10 20 30 40 50-1

-0.5

0

0.5

1Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plit

ude

(a)

(b)

(c)

รปท 12 แสดงการจ าลองการท างานของตวควบคมควเอฟทในโดเมนเวลา: (a) ผลการจ าลองการท างานของ

คณสมบตดานการเคลอนทตามสญญาณอางอง, (b) ผลการจ าลองความสามารถลดสญญาณรบกวนท Plant input,

(c) ผลการจ าลองความสามารถลดสญญาณรบกวนท Plant output

5.2 การเปรยบเทยบการจ าลองการท างานของตวควบคม

ส าหรบการเปรยบเทยบประสทธภาพของตวควบคมในงานวจยนจะเปรยบเทยบตวควบคม 3 แบบ คอตวควบคมแบบควเอฟท, ตวควบคมแบบพไอด และ การควบคมแบบวงรอบเปด ตวควบคมแบบพไอดถกออกแบบในลกษณะ CLSS เชนเดยวกบตวควบคมแบบควเอฟท และตวควบคมทงสามแบบจะใชตวปรบสญญาณน าเขาแบบ ZV ทมสองแรงดลคอ A1 และ A2

ผลการเปรยบเทยบเมอคาพารามเตอรของระบบเกดการเปลยนแปลงในกรณทคาความถธรรมชาตจรงมคามากกวาคาความถธรรมชาตทออกแบบ สามารถแสดงได

806

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 29 1-3 กรกฎาคม 2558 จงหวดนครราชสมา DRC-12

ตามรปท 13 จากรปท 13(a) เมอคาพารามเตอรไมมการเปลยนแปลง พบวาตวควบคมแบบวงรอบเปดมเวลาผลตอบสนองทส นทสดเนองจากมการระบคาพารามเตอรของระบบทแนนอน แตเมอคาความถธรรมชาตจรงเกดการเปลยนแปลง ตามรปท 13(b) เมอคาความถธรรมชาตเปลยนแปลงไป 10% ประสทธภาพตวควบคมวงรอบเปดต าลงอยางชดเจน แตตวควบคมแบบควเอฟทและตวควบค ม แบบพ ไ อดยง ส ามา รถท า ง านได อย า ง มประสทธภาพ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Time

Am

plit

ude

Ref

QFT controller

Open loop system

PID controller

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Time

Am

plit

ude

Ref

QFT controller

Open loop system

PID controller

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Time

Am

plit

ude

Ref

QFT controller

Open loop system

PID controller

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Time

Am

plit

ude

Ref

QFT controller

Open loop system

PID controller

(a)

(b)

(c)

(d)

รปท 13 เปรยบเทยบผลการจ าลองการท างานของตวควบคมแบบควเอฟท, ตวควบคมพไอด และตวควบคมแบบวงรอบเปด: (a) คาความถธรรมชาตใชเปนคาจรง,

(b) คาความถธรรมชาตจรงมคามากกวาคาความถธรรมชาตทออกแบบ 10%, (c) คาความถธรรมชาตจรงมคามากกวาคาความถธรรมชาตทออกแบบ 20%, (d)

คาความถธรรมชาตจรงมคามากกวาคาความถธรรมชาตทออกแบบ 30%

พจารณาภาพท 13(c) และ 13(d) เมอคาความถธรรมชาตมการเปลยนแปลงเพมขน ท าใหประสทธภาพของตวควบคมแบบแบบวงรอบเปด และตวควบคมแบบพไอดเรมต าลง แตตวควบคมแบบควเอฟทยงสามารถท างานไดด เหตทตวควบคมแบบพไอดมประสทธภาพ

ต าลงเนองจากคาความถธรรมชาตทใชออกแบบระบบ กบคาความถธรรมชาตทใชจ าลองมการเปลยนแปลงไปสงผลใหตวควบคมมความสามารถต าลง และจากการจ าลองตวควบคมแบบควเอฟทสามารถรองรบการเปลยนแปลงของคาความถธรรมชาตในกรณทคาความถธรรมจรงมากกวาคาความถธรรมชาตทออกแบบไดถง 50%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Time

Am

plit

ude

Ref

QFT controller

Open loop system

PID controller

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5A

mplit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Time

Am

plit

ude

Ref

QFT controller

Open loop system

PID controller

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5A

mplit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Time

Am

plit

ude

Ref

QFT controller

Open loop system

PID controller

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Am

plit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5A

mplit

ude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Time

Am

plit

ude

Ref

QFT controller

Open loop system

PID controller

(a)

(b)

(c)

(d)

รปท 14 เปรยบเทยบผลการจ าลองการท างานของตวควบคมแบบควเอฟท, ตวควบคมพไอด และตวควบคมแบบวงรอบเปด: (a) คาความถธรรมชาตใชเปนคาจรง,

(b) คาความถธรรมชาตจรงมคานอยกวาคาความถธรรมชาตทออกแบบ 5%, (c) คาความถธรรมชาตจรงมคา

นอยกวาคาความถธรรมชาตทออกแบบ 10%, (d) คาความถธรรมชาตจรงมคานอยกวาคาความถธรรมชาตท

ออกแบบ 15%

ในกรณทคาความถธรรมจรงมคานอยกวาคาความถธรรมชาตทออกแบบสามารถท าใหระบบเกดความไมมเสถยรภาพไดงายกวาเนองจากเฟสของระบบ[9] สามารถแสดงไดตามรป 14 ส าหรบการทดลองในสวนน จะลดขนาดของคาความถธรรมชาตจรงลงทละ 5% ซงผลการทดลองมแนวโนมไปในทศทางเดยวกบการเพมคาความถธรรมชาตจรงในรปท 13 แตแตกตางกนท ตวควบคมแบบควเอฟทสามารถท างานไดในชวงคาความถธรรมชาตจรงมคานอยกวาคาความถธรรมชาตทออกแบบ 15% ซงอย

807

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 29 1-3 กรกฎาคม 2558 จงหวดนครราชสมา DRC-12

การก าหนดความไมแนนอนกอนการสราง Plant template แสดงใหเหนวาตวควบคมทออกแบบสามารถท างานได ในชวงความไมแนนอนของระบบทไดท าการออกแบบไว

ผลการจ าลองเมอท าการปอนสญญาณรบกวนท Plant output ของระบบ สามารถแสดงไดตามรปท 15 จากรปเปนการจ าลองในกรณทคาความถธรรมชาตทใชออกแบบและท าลองเปนคาเดยวกน ผลการจ าลองพบวาตวตวควบคมแบบควเอฟท และตวควบคมแบบพไอด สามารถท างานไดอยางมประสทธภาพ แตตวควบคมแบบวงรอบเปดไมสามารถลดสญญาณรบกวนไดเนองจากระบบดงกลาวไมมการปอนกลบสญญาณเอาตพต

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Time

Am

pli

tud

e

Ref

QFT controller

Open loop system

PID controller

รปท 15 เปรยบเทยบผลการจ าลองการท างานของตวควบคมแบบควเอฟท, ตวควบคมพไอด และตวควบคมแบบวงรอบเปดเมอมสญญาณรบกวนแบบขนบนไดขนาด

0.5 rad

6. สรป และวจารณผลการทดลอง จากผลการจ าลองพบวาเมอน าตวควบคมแบบควเอฟทมาออกแบบระบบควบคมของการผนวกตวปรบสญญาณน าเขากบระบบพลวต ทท างานภายในวงรอบการควบคมพบวาระบบควบคมทออกแบบสามารถลดการสนสะเทอนไดเปนอยางด อกทงยงยงสามารถเพมความทนทานตอการเปลยนแปลงคาความถธรรมชาตของระบบไดเปนอยางด

แตการผนวกตวปรบสญญาณน าเขากบระบบพลวต เปนการเพมความยากในการออกแบบควบคม เนองจากตวปรบสญญาณน าเขาเปนเทคนคทมเวลาหนวง (Time delay) ในตว ดงนนกอนท าการออกแบบจงจ าเปนตองน า Pade’ approximation มาใชงานควบคกนไป

7. เอกสารอางอง[1] Smith, O.J.M. (1958). Feedback Control System, MacGraw-Hill, New York [2] Singer, N.C., and Seering, W.P. (1990). Preshaping Command Inputs to Reduce System Vibration, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, vol. 112, pp. 76–82. [3] Singhose, W. and Kim, D. (2007). Manipulation with Tower Cranes Exhibiting Double-Pendulum Oscillations, paper presented in the IEEE International Conference on Robotics and Automation, Roma, Italy, 10-14 April 2007, Pp 4450-4555. [4] Singhose, W., Kendison, L. and Kriikku, E. (2000). Effect of Hoisting on the Input Shaping Control of Gantry Cranes, Control Engineering Practice, vol. 8, no. 10, pp. 1159-1165. [5] Vaughan, J., Yoo, J., Knight, N. and Singhose, W. (2013). Multi-input Shaping Control for Multi-hoist cranes. paper presented in American Control conference, Washington, DC. 17-19 June 2013, PP. 3449-3454. [6] Huey,.J.R. and Singhose, W. (2005). Experimental Verification of Stability Analysis of Closed-Loop Signal Shaping Controllers. Paper presented in IEEE/ASME international conference on Advanced Intelligent Mechatronics, Monterey, USA, 24-28 July, 2005. [7] Horowitz, I. (1963). Synthesis of feedback System, New York : Academic, 1963 [8] Borghessani, C., Chait, Y. and Yaniv, O. (2003). The Frequency Domain Control Design Toolbox User’s Guide, Terasoft Inc [9] Huey, J.R. and Singhose, W. (2010). Trends in the Stability Properties of CLSS Controllers: A Root-Locus Analysis, IEEE Transaction on Control Systems Technology, vol.18, no. 5, pp.1044-1056.

808