DSAlg Lec06 Heapsort - Euclid · Heapify(A,9): ... Microsoft PowerPoint - DSAlg Lec06 Heapsort.ppt Author: pavlos Created Date: 6/14/2007 9:32:42 PM

Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι ταξινόμηση σωρού1

ταξινόμηση σωρού

Παύλος Εφραιμίδης


ταξινόμηση σωρού

άλλος ένας αλγόριθμος ταξινόμησηςπολυπλοκότητας O(n·lgn)

Ιδιαίτερα χαρακτηριστικά:– χρησιμοποιεί μια δομή δεδομένων που ονομάζεται«σωρός»

– είναι επιτόπια: το πλήθος των στοιχείων της συστοιχίαςεισόδου που είναι αποθηκευμένα εκτός της συστοιχίαςαυτής ανά πάσα στιγμή δεν υπερβαίνει μια σταθερήποσότητα


σωρός (heap)

ένα αντικείμενο τύπου συστοιχίας ή πίνακα (array) τοοποίο μπορεί να θεωρηθεί ως σχεδόν πλήρεςδυαδικό δέντροκάθε κόμβος του δέντρου αντιστοιχεί σε ένα στοιχείοτης συστοιχίας και περιέχει την τιμή αυτούτο δέντρο είναι συμπληρωμένο σε όλα τα επίπεδαεκτός ίσως από το τελευταίο το οποίο είναισυμπληρωμένο από τα αριστερά μέχρι κάποιουσημείου


ο όρος heap

σωρός (heap): δομή δεδομένωνheap στο χώρο των λειτουργικώνσυστημάτων και των γλωσσώνπρογραμματισμού– διαφορετικός όρος – δεν σχετίζεται με τη δομήδεδομένων heap

– αναφέρεται στο χώρο δυναμικής δέσμευσηςμνήμης


συστοιχία Α για έναν σωρό

το αντικείμενο – συστοιχία Α πουαντιπροσωπεύει έναν σωρό περιλαμβάνει ταακόλουθα δύο πεδία– μήκος [Α]: το πλήθος των στοιχείων τηςσυστοιχίας

– μέγεθος-σωρού[Α]: το πλήθος των στοιχείων τουσωρού που είναι αποθηκευμένα εντός τηςσυστοιχίας

Δομές Δεδομένων καιΑλγόριθμοι

ταξινόμηση σωρού 6

σωροί

• μια δομή δεδομένων που– είναι ένα σχεδόν πλήρες δυαδικό δέντρο– ικανοποιεί την ιδιότητα σωρού: A[parent(i)] ≥ A[i]

• πχ.Parent(i) { return }Left(i) { return 2i}Right(i) { return 2i+1}

16

14 10

8 7 9 3

2 4 1

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

16 14 10 8 7 9 3 2 4 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10

⎥⎦⎥

⎢⎣⎢

2i



δυαδικό δέντρο• δεν περιλαμβάνει κόμβο, ή• πχ.

• φύλλο: κόμβος χωρίς απογόνους• σε πλήρες δυαδικό δέντρο:

– κάθε κόμβος έχει 2 παιδιά ή κανένα παιδί– όλα τα φύλλα έχουν το ίδιο βάθος– όλοι οι εσωτερικοί κόμβοι έχουν 2 παιδιά

ρίζα

αριστερόυποδέντρο

δεξίυποδέντρο



ελαχίστου ή μεγίστου

• δύο είδη δυαδικών σωρών:– σωροί μεγίστου

• ιδιότητα: Α[ΠΑΤΡΙΚΟΣ(i)]≥A[i]• ρίζα: περιέχει το μεγαλύτερο στοιχείο

– σωροί ελαχίστου• ιδιότητα: Α[ΠΑΤΡΙΚΟΣ(i)]≤A[i]• ρίζα: περιέχει το μικρότερο στοιχείο



βασικές διαδικασίες

• αποκατάσταση ιδιότητας μεγίστου σωρού• κατασκευή σωρού μεγίστου• ταξινόμηση σωρού• διαδικασίες

– εισαγωγή σε σωρό μεγίστου– εξαγωγή μεγίστου σωρού– αύξηση κλειδιού σωρού– μέγιστο σωρού



διατήρηση της ιδιότητας σωρού

• συνθήκη:το A[i] μπορεί να έχει πάρει τιμή μικρότερηαπό (κάποιο από) τα παιδιά του

σωροί

A[i]



αποκατάσταση ιδιότητας σωρού

• δίνεται:– συστοιχία Α– θέση i κάποιου στοιχείου της συστοιχίας– τα δυαδικά υπο-δέντρα απόγονοι του κόμβου

i είναι σωροί μεγίστου– το A[i] ενδέχεται να παραβιάζει την ιδιότητασωρού μεγίστου

• λύση: γίνετε μετακύλιση της τιμής Α[i] προς το κατάλληλο υποδέντρο



16

4 10

14 7 9 3

2 8 1

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

16

14 10

4 7 9 3

2 8 1

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

1

16

14 10

8 7 9 3

2 4 1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

Heapify(A,2): Heapify(A,4):

Heapify(A,9):



ψευδοκώδικας Heapify(A,i)

• χρόνος: O(lg n), T(n)≤T(2n/3)+Θ(1)



κατασκευή σωρού

• βασικές ιδέες:– χρησιμοποιούμε τη μέθοδο αποκατάστασηςσωρού

– προχωράμε με λογική bottom-up (αναβιβαστικά)



παράδειγμα κατασκευής σωρού4 1 3 2 16 9 10 14 8 71 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

4

1 3

2 16 9 10

14 8 7

2 3

4 5 6 7

8 9 10

i

1 4

1 3

2 16 9 10

14 8 7

2 3

4 5 6 7

8 9 10

i

1

4

1 3

14 16 9 10

2 8 7

2 3

4 5 6 7

8 9 10

i

1 4

1 10

14 16 9 3

2 8 7

2 3

4 5 6 7

8 9 10

i

1



4

16 10

14 7 9 3

2 8 1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

i1 16

14 10

8 7 9 3

2 4 1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

1



ανάλυση

• η διαίσθηση: O(n lg n)– κάθε κλήση της Heapify στοιχίζει Θ(lg n)– γίνονται O(n) κλήσεις– επομένως, η δημιουργία του σωρού στοιχίζει O(n lg n)

• πιο σφιχτή (tighter) ανάλυση: O(n)– θεωρούμε n = 2k-1 και πλήρες δυαδικό δέντρο– ο χρόνος που απαιτεί η Heapify όταν εκτελείται για ένανκόμβο ύψους h είναι O(h)

– συνολικό κόστος =

χρησιμοποιώντας (άσκηση) ότι:

h = kk-1…10

⎡ ⎤ kn =lg

⎣ ⎦ ⎣ ⎦)()

2()(

2

lg

0

lg

01 nOhnOhOn n

hh

n

hh ==⎥⎥

⎤⎢⎢⎡ ∑∑

==+

220

=∑∞

=hh

h



ταξινόμηση σωρού• Έστω ότι έχουμε υλοποιημένη μια δομήδεδομένων σωρός.Πως μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για ναταξινομήσουμε μία ακολουθία στοιχείων;



αλγόριθμος heapsort

----O(n)

----O(lg n)

πολυπλοκότητα χρόνου = O(n lg n)



ουρές προτεραιότητας



ουρά προτεραιότητας(priority queue)

• μια δομή δεδομένων για τη διαχείριση ενόςσυνόλου στοιχείων S

• κάθε στοιχείο στοιχείο χαρακτηρίζεται από μίατιμή που ονομάζεται κλειδί (key)

• εφαρμογή:– χρονοδρομολόγηση εργασιών– εξομοίωση

• λειτουργίες μιας ουράς προτεραιότητας:– Insert(S,x)– Maximum(S)– Extract-Max(S)

Implement with a heap.



εισαγωγή στοιχείου

• εισαγωγή στοιχείου στο σωρό1. επεκτείνουμε το σωρό κατά 1 θέση2. στην καινούργια θέση (που βρίσκεται στην

τελευταία θέση) τοποθετούμε την ελάχιστηδυνατή τιμή, πχ. μείον άπειρο

3. εκτελούμε τη διαδικασία αύξησης της τιμήςκλειδιού για το στοιχείο στην τελευταία θέσηαπό την ελάχιστη δυνατή τιμή στηνεπιθυμητή τιμή:διαδικασία Heap-Increase-Key(A,i,key)



----O(lg n)



----O(lg n)



κλειδί = 15, HeapInsert(A,κλειδί):16

14 10

8 7 9 3

2 4 1

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

16

14 10

8 7 9 3

2 4 1

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

A

1511

16

14 10

8

7

9 3

2 4 1

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

15

11

16

14

10

8

7

9 3

2 4 1

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10

15

11




Αναφορές/Πηγές

Εισαγωγή στους αλγόριθμους, Κεφάλαιο 6

Documents

DSAlg Lec06 Heapsort - Euclid · Heapify(A,9): ... Microsoft PowerPoint - DSAlg Lec06 Heapsort.ppt Author: pavlos Created Date: 6/14/2007 9:32:42 PM