1 MAPLima

F789 Aula 01

Rev

isão

da

Mec

ânic

a Q

uânt

ica

I – F

689

Esta aula se encontra no site: http://sites.ifi.unicamp.br/maplima/

Dualidade partícula/onda da luz: Uma boa inspiração para a Mecânica Quântica

Diagrama do experimento de interferencia de dupla fenda de Young (fig. a). Cada

uma das fendas F1 e F2 produz um padrao de difracao na tela ✏. As intensidades

correspondentes sao I1(x) e I2(x) (linhas solidas da figura b). Quando as duas

fendas sao abertas simultaneamente, a intensidade I(x) observada na tela nao e

a soma I1(x) + I2(x) (linha tracejada nas figuras b e c), mas mostram oscilacoes

devido a interferencia entre os campos eletricos por F1 e F2 (curva figura c).

Figura do livro texto, Vol. 1 pag. 12

2 MAPLima

F789 Aula 01

Descrição do experimento de dupla fenda de Young

• Coloque um filme fotografico no anteparo, aguarde tempo suficiente e as

franjas de interferencia aparecerao. Como foi um foton por vez, temos que

descartar a hipotese de que elas sao devido a interferencia entre fotons.

• Diminua a intensidade e revele o filme em intervalos curtos de tempo. Cada

foton produz uma marca localizada no anteparo e nao uma franja de

interferencia. Descarte a hipotese pura ondulatoria.

Quando muitos fotons acertam o anteparo, o seguinte acontece:

• Cada um faz uma marca localizada.

• O grande numero de marcas mostra a figura de interferencia (regioes

escuras e claras).

Coube uma pergunta: dentro do contexto corpuscular, porque o fenomeno

muda drasticamente dependendo se so uma ou ambas as fendas estao abertas?

Para melhor entender o problema, notamos que nao e possıvel determinar por

onde o foton passou na experiencia sem destruir a curva de interferencia.

3 MAPLima

F789 Aula 01

? Quantum “Ghosts”, Gabriela M. Amaral, David Q. Aruquipa, Ludwing F.

M. Camacho, Luiz F. C. Faria, Sofıa I. C. Guzman, Damaris T. Maimone,

Melissa Mendes, and Marco A. P. Lima, Revista Brasileira de Ensino

de Fısica, vol. 38, no 3, e3309 (2016).<latexit sha1_base64="Gvy6WnzWjg2AB9PYLabQKOd1fCE=">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</latexit><latexit sha1_base64="Gvy6WnzWjg2AB9PYLabQKOd1fCE=">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</latexit><latexit sha1_base64="Gvy6WnzWjg2AB9PYLabQKOd1fCE=">AAAE73icjVRNT1QxFL0woyJ+gS7dVIkGEzJ5A0Zhh6KgCSSgjJAwI/Z1OtDwvmz7RmEyK3+CGxdq3Pp33Ln0B/gfPO17g3wt6Es7t6fn3nN7206YRcrYIPg9NFypXrh4aeTy6JWr167fGBu/+cakuRayIdIo1ZshNzJSiWxYZSO5mWnJ4zCSG+Heglvf6EptVJqs2/1MtmK+k6iOEtwCSseHPtF9apIhS5w0MdiuW5L0EWMPdkgdYGuUg5EAyynG/B2+Jdql1PsauktTQPsnvJfgEyKuAhLBZrRCNYyMniCKU+TAneczWF3w2l5rwNFQe4+uKMO64y1j1qYPQBLawXzRc/tQbWIno2X+R/v/bArtBURy2sJnP4ip6OAw2oIfF31+qtR9DW6H/vo9vDzCWoLvAeL9QT6DfcSlp8F83bNWgCjgKVgSvPPm66rm4piydhL+bYzGa3E/K6Jr7Cf1NXN6q35c9pq8PJnjp6rwy+gVkK5XsF7hqT8RAyTCivIz5hUZPYea8XVPz5n/QKXwX0T1nL84M6MuokY+68GNm6FZz2siC3fjEni89VHzsgoazOLWFhk57h34TR2LzGDN4AtoDvYkTcOq0yN6ALXDfWyPTQS1wDd22qiXxgSVbXV77FeznYo8lokVETdmqx5kttXj2ioRyf5oMzcy42KP78gtmAmPpWn1/IPts3tA2qyTavTEMo8e9ejx2Jj9OAQz5nbXnFxz4FlrW7ntzLZ6KslyKxNRCHXyiNmUudfP2kpLYaN9GFxohVyZ2OWaC4v/CFeE+sktnzYa07W5WrD2cGJ+uqzGCN3G+59EVR/TPL3A7WuQqMSVz5WvlW9VXf1S/V79UVCHh0qfW3SsVX/+A7KJDU8=</latexit>

4 MAPLima

F789 Aula 01

Partículas e Ondas de Matéria

Esta aula se encontra no site: http://sites.ifi.unicamp.br/maplima/

1. Relacoes de de Broglie.

• Espectros de emissao e absorcao de atomos e composto por “linhas finas”.

� Energias possıveis do atomo Ei, com i = 1, 2, 3...n...k com n discreto e

k contınuo. A surpresa estava no espectro discreto.

� Energias de fotons causando transicoes h⌫ij = |Ei � Ej | discretas econtınuas. A parte continua e devido a foto-ionizacao do atomo.

• 1914 - A experiencia de Franck-Hertz demonstrou isso (atomo de mercurio).

� Bohr and Sommerfeld ! Primeiras explicacoes:

8><

>:

orbitas especiais

e

regras de quantizacao

• 1923 - de Broglie: “Partıculas materiais, assim como fotons, tem aspectos

ondulatorios”.

� Ver complemento AI

8><

>:

E = h⌫ = ~!~p = ~~k� =

2⇡|~k|

=h|~p|

• 1927 - Davisson and Germer confirmam o carater ondulatorio das partıculas

com a experiencia de difracao e interferencia de eletrons.

5 MAPLima

F789 Aula 01

Funções de Onda – Equação de Schrödinger 2.A versao de Schrodinger da Mecanica Quantica (um resumo da disciplina F589).

• O estado e caracterizado por (~r, t) que contem toda a informacao possıvel

de se obter sobre a partıcula.

• No mundo quantico

8>>>>>>>><

>>>>>>>>:

Perde-se o conceito de trajetoria, conhecimento da

posicao e velocidade da partıcula a cada instante.

Ganha-se o conceito de estado quantico, dependente

do tempo, e conhecimento do futuro baseado em

probabilidades.

• (~r, t) e interpretada como sendo uma amplitude de probabilidade da

presenca da partıcula, pois permite definir:

dP (~r, t) ⌘ C| (~r, t)|2d3r,onde C e uma constante de normalizacao, e considerar

dP (~r, t) como sendo

8><

>:

a probabilidade da partıcula estar, no

instante t, em um elemento de volume

d3r = dxdydz, centrado em ~r.

A presenca do volume d3r permite concluir que:

| (~r, t)|2 e uma densidade de probabilidade.

6 MAPLima

F789 Aula 01

A velocidade de grupo segundo a condição estacionária

• Para aplicar a condicao estacionaria no pacote, tome

(x, t) =1p2⇡

Zg(k)ei(kx�!t)dk e escreva g(k) na forma

g(k) = |g(k)|ei↵(k) ) isso vale para 8 numero complexo.

Isso permite re-escrever o pacote na forma:

(x, t) =1p2⇡

Z|g(k)|ei(↵(k)+kx�!t)dk

• A condicao estacionaria e obtida fazendo a primeira derivada da fase

(argumento complexo da exponencial) com respeito a k igual a zero em k0,

centro de |g(k)|. Conforme ja argumentamos, isso equivale a pedir que a

primeira contribuicao diferente de zero seja quadratica em k � k0, o que faz

ela contribuir com o mesmo sinal antes e depois de k0.

• Assim, a condicao estacionaria ed

dk

�↵(k) + kx� !t

�|k=k0 = 0 e isso implica

em:d

dk↵(k)|k=k0 + xm �

� d

dk!(k)|k=k0

�t = 0 ) solucao classica de um ponto

xm que realiza movimento uniforme na direcao x, com

(xm(0) = �d↵

dk |k=k0

vg = d!dk |k=k0 .

xm(t) e o centro do pacote que viaja com velocidade de grupo vg

7 MAPLima

F789 Aula 01

Relação de Incerteza de Heisenberg

• Em F689, obtivemos que se (x, 0) =1p2⇡~

Z (p)ei

px~ dp, existe

uma relacao entre a largura de | (x, 0)| e a largura de | (p)|.

�p�x � ~/2, com

Z| (x, 0)|2dx =

Z +1

�1| (p)|2dp = 1

• Essa propriedade, valida para ondas em geral, ficou surpreendente

por envolver partıculas materiais e ficou conhecida por Princıpio

ou Relacao de incerteza de Heisenberg. Na pratica significa:

E impossıvel prever o resultado da medida da

posicao e do momento linear de uma partıcula,

com precisao arbitraria.

• Para sistemas classicos, onde~m

pode ser considerado desprezıvel,

�p�x � ~ ! �v�x � ~m

) �v�x � 0,

as trajetorias (conhecimento de v e x, 8t) podem ser previstas.

8 MAPLima

F789 Aula 01

Propriedade Base discreta Base contınua

Ortonormalizacao (ui, uj)=

Zd3r u?

i (~r)uj(~r)=�ij (w↵, w↵0) = �(↵� ↵0)

Relacao de completeza

X

i

ui(~r)u?i (~r

0)=�(~r � ~r 0)

Zd↵ w↵(~r)w

?↵(~r

0)=�(~r � ~r 0)

Expansao da funcao de onda (~r) =X

i

ciui(~r) (~r) =

Zd↵ c(↵)w↵(~r)

As componentes de (~r) ci = (ui, ) c(↵) = (w↵, )

Produto escalar (', ) =X

i

b?i ci (', )=

Zd↵ b?(↵)c(↵)

Quadrado da Norma ( , ) =X

i

|ci|2 ( , )=

Zd↵ |c(↵)|2.

• Note que a mesma funcao de onda pode ser representada por diferentes bases.

• Note, em especial, que as componentes em bases diferentes sao diferentes, mas

representam “pedacos” da mesma coisa.

• Isso inspirou Dirac a criar um novo formalismo!

Resumindo (Formalismo matemático de Schrödinger)

9 MAPLima

F789 Aula 01

Resumo da notação de Dirac

Definimos:

• kets: | i ! vetor estado.

• bras: h'| ! funcional linear.

• bracket: h'| i = h |'i? ! produto escalar.

• Operador: A ! A| i = | 0i.• Elemento de matriz: h'|A| i ! h'|(A| i).• Operador sobre um bra: h'|A tambem e um bra, definido por

(h'|A)| i = h'|(A| i) = h'|A| i.• O bra associado ao ket A| i e definido por h |A†. O operador A†

e dito o adjunto de A =) A| i = |A i $ h |A† = hA |.• Vale a relacao h'|A†| i = hA'| i = h |A'i? = h |A|'i?.• Se A† = A ! A e Hermiteano. Neste caso h'|A| i = h |A|'i?.

Em F689, introduzimos o conceito de representacao de um estado

fısico qualquer em um espaco de estados conhecidos (uma base conhecida).<latexit sha1_base64="VUP+ztoASQ5MZ5S0bkQMS8Mp018=">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</latexit><latexit sha1_base64="VUP+ztoASQ5MZ5S0bkQMS8Mp018=">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</latexit><latexit sha1_base64="VUP+ztoASQ5MZ5S0bkQMS8Mp018=">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</latexit>

10 MAPLima

F789 Aula 01

Representações no espaço de estados

• A representacao de kets.

Considere uma base conhecida {|uii}. Vimos que um ket de sua escolha

arbitraria poderia ser escrito com a ajuda do operador unidade por:

| i = 11| i =X

i

|uiihui| i =X

i

ci|uii )(O conjunto de numeros

complexos ci descreve o ket.

Representaremos o ket nessa base por uma matriz coluna, dada por:

| i .=

0

BBBBBB@

c1c2...

ci...

1

CCCCCCA=

0

BBBBBB@

hu1| ihu2| i

.

.

.

hui| i...

1

CCCCCCAse base contınua | i .

=

0

BB@

.

.

.

c(↵)...

1

CCA=

0

BB@

.

.

.

hw↵| i...

1

CCA

Note que os numeros mudariam de acordo com a escolha da base. Em F689,

aprendemos como mudar de uma base para outra. Faremos um caso hoje.<latexit sha1_base64="DRSt8T+V+uv3HOjLt3jXJonDjWs=">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</latexit><latexit sha1_base64="DRSt8T+V+uv3HOjLt3jXJonDjWs=">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</latexit><latexit sha1_base64="DRSt8T+V+uv3HOjLt3jXJonDjWs=">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</latexit>

11 MAPLima

F789 Aula 01

• A representacao de bras.

Considere uma base conhecida {|uii}. Vimos que um bra de sua escolha

arbitraria poderia ser escrito com a ajuda do operador unidade por:

h | = h |11 =

X

i

h |uiihui| =X

i

c?i hui| )(O conjunto de numeros

complexos c?i descreve o bra.

Representaremos o bra nessa base por uma matriz linha, dada por:

h | .=�c?1 c?2 . . . c?i . . .

�=�h |u1i h |u2i . . . h |uii . . .

�.

Se base for contınua

h | .=�. . . c?(↵) . . .

�=�. . . h |w↵i . . .

�

Note que os numeros que representam os bras sao os complexos

conjugados dos numeros que representam os kets. A representacao

do bra nada mais e que a transposta da matriz que representa o

ket, seguida da conjugacao complexa de todos os elementos.

Como obter o bracket h'| i nesta representacao?

Representações no espaço de estados

12 MAPLima

F789 Aula 01

Representações no espaço de estados

• O bracket h'| iConsidere novamente uma base conhecida {|uii}. Para obter o valor do

bracket nesta base basta fazer uso do operador unidade na relacao:

h'| i = h'|11| i =X

i

h'|uiihui| i =X

i

b?i ci com

(bi = hui|'ici = hui| i

Note que esse mesmo resultado seria obtido pela multiplicacao de matrizes

h'| i =�b?1 b?2 . . . b?i . . .

�

0

BBBBBB@

c1c2...ci...

1

CCCCCCA

contınua=

�. . . b?(↵) . . .

�

0

BB@

...c(↵)...

1

CCA

• Representacao dos operadores. Sabendo que Aij = hui|A|uji, definimos:

A.=

0

BBBBBB@

A11 A12 . . . A1j . . .A21 A22 . . . A2j . . ....

......

......

Ai1 A12 . . . Aij . . ....

......

......

1

CCCCCCA.

13 MAPLima

F789 Aula 01

Representação do produto de operadores: AB Sabendo que Aij = hui|A|uji, e Bij = hui|B|uji, represente cada operador por

A.=

0

BBBBBB@

A11 A12 . . . A1j . . .A21 A22 . . . A2j . . ....

.

.

....

.

.

....

Ai1 A12 . . . Aij . . ....

.

.

....

.

.

....

1

CCCCCCA.

B.=

0

BBBBBB@

B11 B12 . . . B1j . . .B21 B22 . . . B2j . . ....

.

.

....

.

.

....

Bi1 B12 . . . Bij . . ....

.

.

....

.

.

....

1

CCCCCCA.

O produto AB = 11A11B11 =

X

i,`,j

|uiiAi`B`jhuj | fica representado por

AB.=

0

BBBBBB@

A11 A12 . . . A1j . . .A21 A22 . . . A2j . . ....

.

.

....

.

.

....

Ai1 A12 . . . Aij . . ....

.

.

....

.

.

....

1

CCCCCCA

0

BBBBBB@

B11 B12 . . . B1j . . .B21 B22 . . . B2j . . ....

.

.

....

.

.

....

Bi1 B12 . . . Bij . . ....

.

.

....

.

.

....

1

CCCCCCA

coeficientes de |uiihuj |<latexit sha1_base64="XgRscmS8SCsXQ6e6ZRvwQi3hNMo=">AAACFnicdVDLSgMxFM34tr6qLt0Ei+BqmJbiY1dw41LBqtApQya9bWMzmSG5I5Zp/8KNv+LGhYpbceffmE5bUNED4R7OuTfJPWEihUHP+3RmZufmFxaXlgsrq2vrG8XNrUsTp5pDnccy1tchMyCFgjoKlHCdaGBRKOEq7J2M/Ktb0EbE6gL7CTQj1lGiLThDKwVF10e4w4zHYDUBCsHQFtDhIA2Er5nqSPBlXmga3AyCYslzK94I1HOrU3IwJmU3r16JTHAWFD/8VszTyN7MJTOmUfYSbGZMo+AShgU/NZAw3mMdaFiqWASmmeV7DemeVVq0HWt7FNJc/T6RsciYfhTazohh1/z2RuJfXiPF9lEzEypJERQfP9ROJcWYjkKiLaGBo+xbwrgW9q+Ud5lmHG2UBRvCdFP6P6lX3GPXO6+WapVJGktkh+ySfVImh6RGTskZqRNO7skjeSYvzoPz5Lw6b+PWGWcys01+wHn/AvLKoJA=</latexit><latexit sha1_base64="XgRscmS8SCsXQ6e6ZRvwQi3hNMo=">AAACFnicdVDLSgMxFM34tr6qLt0Ei+BqmJbiY1dw41LBqtApQya9bWMzmSG5I5Zp/8KNv+LGhYpbceffmE5bUNED4R7OuTfJPWEihUHP+3RmZufmFxaXlgsrq2vrG8XNrUsTp5pDnccy1tchMyCFgjoKlHCdaGBRKOEq7J2M/Ktb0EbE6gL7CTQj1lGiLThDKwVF10e4w4zHYDUBCsHQFtDhIA2Er5nqSPBlXmga3AyCYslzK94I1HOrU3IwJmU3r16JTHAWFD/8VszTyN7MJTOmUfYSbGZMo+AShgU/NZAw3mMdaFiqWASmmeV7DemeVVq0HWt7FNJc/T6RsciYfhTazohh1/z2RuJfXiPF9lEzEypJERQfP9ROJcWYjkKiLaGBo+xbwrgW9q+Ud5lmHG2UBRvCdFP6P6lX3GPXO6+WapVJGktkh+ySfVImh6RGTskZqRNO7skjeSYvzoPz5Lw6b+PWGWcys01+wHn/AvLKoJA=</latexit><latexit sha1_base64="XgRscmS8SCsXQ6e6ZRvwQi3hNMo=">AAACFnicdVDLSgMxFM34tr6qLt0Ei+BqmJbiY1dw41LBqtApQya9bWMzmSG5I5Zp/8KNv+LGhYpbceffmE5bUNED4R7OuTfJPWEihUHP+3RmZufmFxaXlgsrq2vrG8XNrUsTp5pDnccy1tchMyCFgjoKlHCdaGBRKOEq7J2M/Ktb0EbE6gL7CTQj1lGiLThDKwVF10e4w4zHYDUBCsHQFtDhIA2Er5nqSPBlXmga3AyCYslzK94I1HOrU3IwJmU3r16JTHAWFD/8VszTyN7MJTOmUfYSbGZMo+AShgU/NZAw3mMdaFiqWASmmeV7DemeVVq0HWt7FNJc/T6RsciYfhTazohh1/z2RuJfXiPF9lEzEypJERQfP9ROJcWYjkKiLaGBo+xbwrgW9q+Ud5lmHG2UBRvCdFP6P6lX3GPXO6+WapVJGktkh+ySfVImh6RGTskZqRNO7skjeSYvzoPz5Lw6b+PWGWcys01+wHn/AvLKoJA=</latexit>

14 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados da Mecânica Quântica • 1oPostulado:

Em um dado instante t0 o estado de um sistema fısico e definido por um ket

| (t0)i pertencente ao espaco E .

Comentario(s):

� No inıcio do curso o estado era (~r) 2 F. Depois introduzimos os kets | i 2 E~r,

onde (~r) = h~r| i era apenas a representacao de | i no espaco das coordenadas.

E e o espaco E~r estendido para descrever qualquer problema de interesse (com

spin, de muitos corpos, etc.)

� Vale o princıpio da superposicao: uma combinacao linear de vetores estados e

um vetor estado.

• 2oPostulado:

Toda quantidade fısica mensuravel A e descrita por um operador A que age em

E ; Este operador e uma observavel.

Comentario(s):

� Um bom exemplo e a quantidade fısica energia (Hamiltoniana), H,

descrita pelo operador H (a Hamiltoniana do sistema).

15 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios (continuacao):

� O operador Hamiltoniana do sistema, H, e escrito em termos dos operadores

~R e ~P . Por exemplo, a Hamiltoniana classica de uma partıcula sujeita a um

potencial V (~r) e dada por H =~p2

2m+ V (~r), e na Mecanica Quantica vira o

operador

H =~P2

2m+ V (~R).

� Os operadores ~R e ~P , descrevem quantidades fısicas mensuraveis, relacionadas

as coordenadas canonicas, posicao e momento, respectivamente.

� Outros operadores, como os de momento angular orbital e momento angular

intrınseco (quantidade fısica chamada spin), serao apresentados brevemente.

• 3oPostulado:

O unico resultado possıvel da medida de uma quantidade fısica A e um dos

autovalores da observavel correspondente A.

Comentarios:

� A medida de A e sempre um numero real, pois A e Hermiteano.

16 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios (continuacao):

� Se o espectro de A e discreto, os resultados que podem ser obtidos medindo

A sao quantizados.

Princıpio da Decomposicao espectral.

Pode-se dizer que isso seria a generalizacao do problema de fotons polarizados.

Considere o sistema no estado | i, tal que h | i = 1. O resultado da medida

de A associado a A (observavel) e um dos autovalores e acha-lo, como no caso

de fotons polarizados, tem sentido probabilıstico. Para o caso discreto,

A|uni = an|uni comX

n

|unihun| = 11 ! A e observavel. Podemos escrever

| i = 11| i =X

n

|unihun| i =X

n

cn|uni. Defina: P(an) = |cn|2 = |hun| i|2.

• 4oPostulado (espectro discreto nao degenerado):

Quando A e medida em um sistema em um estado normalizado | i, a

probabilidade P(an) de obter o autovalor nao degenerado an da observavel

correspondente A e P(an) = |hun| i|2, onde |uni e o autovetor

normalizado de A com autovalor an.<latexit sha1_base64="8jK7TvKbTrsBZBpDsmhdZs2VApU=">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</latexit><latexit sha1_base64="8jK7TvKbTrsBZBpDsmhdZs2VApU=">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</latexit><latexit sha1_base64="8jK7TvKbTrsBZBpDsmhdZs2VApU=">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</latexit>

17 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios:

� Se o espectro de A e discreto e degenerado, poderıamos escrever

A|uini = an|ui

ni com i = 1, ..., gn eX

n

gnX

i=1

|uinihui

n| = 11 e )

| i = 11| i =X

n

gnX

i=1

|uinihui

n| i =X

n

gnX

i=1

cin|uini. Neste caso, defina:

P(an) =gnX

i

|cin|2 =gnX

i

|huin| i|2 e rescreva o postulado.

• 4oPostulado (espectro discreto):

Quando A e medida em um sistema em um estado normalizado | i, a

probabilidade P(an) de obter o autovalor an, com degenerescencia gn, da

observavel correspondente A e P(an) =gnX

i

|huin| i|2, onde o conjunto {|ui

ni}

compoe o subespaco En (de dimensao gn) de autovetores normalizados de A

com autovalor an.

18 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios:

� E natural que P(an) =gnX

i

|cin|2 =gnX

i

|huin| i|2 nao dependa da base escolhida

em En. Para perceber isso, lembre que | i = 11| i =X

n

gnX

i

|uinihui

n| i e que

os cin que aparecem em P(an) sao os mesmos que aparecem nessa expansao.

Assim, poderıamos escrever | ni =gnX

i

|uinihui

n| i como sendo o pedaco de | i

em En. Isso permite definir um projetor em En dado por Pn =gnX

i

|uinihui

n| de

tal forma que | ni = Pn| i. Note que h n| ni =gnX

i

|cin|2 = P(an), ou seja, a

probabilidade de encontrar an e o quadrado da norma de | ni = Pn| i. Note

que a norma de um ket independe da representacao. Podemos ainda escrever

P (an) = h |P †nPn| i e isso fornece P (an) = h |Pn| i. Para fazer uma mudanca

de base, usaremos 11(t) =X

n

gnX

j

|tjnihtjn| nesta expressao.

19 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios (continuacao):

Com 11(t) =X

n

gnX

j

|tjnihtjn|, podemos escrever

Pn = 11(t)� gnX

i

|uinihui

n|�11(t) =

X

n0

gn0X

j

|tjn0ihtjn0 |� gnX

i

|uinihui

n|�X

n00

gn00X

k

|tkn00ihtkn00 |

Como os kets |uini, |t

jn0i e |tkn00i sao autokets do mesmo operador, sabemos que

sao ortogonais a menos que n00 = n0 = n. Isso permite escrever

Pn =gnX

j

|tjnihtjn|� gnX

i

|uinihui

n|� gnX

k

|tknihtkn| =gnX

ijk

|tjniS(n)ji

†S(n)ik| {z }

htkn| =gnX

j

|tjnihtjn|

�jk e S bloco diagonal

� No caso de um espectro contınuo, terıamos A|v↵i = ↵|v↵i e 11 =

Zd↵ |v↵ihv↵|.

Isso permite escrever | i=Z

d↵ c(↵)|v↵i com c(↵)=hv↵| i. Com isso, define-se

dP(↵)=⇢(↵)d↵

(probabilidade de encontrar um valor incluıdo entre ↵ e ↵+d↵,

onde ⇢(↵)=|c(↵)|2=|hv↵| i|2 e a densidade de probabilidade.

20 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados: medidas e resultados possíveis. • 4oPostulado (espectro contınuo nao-degenerado):

Quando a quantidade fısica A e medida em um sistema que esta em um estado

normalizado | i, a probabilidade dP(↵) de obter um resultado entre ↵ e ↵+d↵

e igual a dP(↵)=⇢(↵)d↵=|hv↵| i|2d↵, onde |v↵i e um autovetor correspondendo

ao autovalor ↵ da observavel A associada com A.

Comentarios sobre as 3 versoes do postulado 4:

� Quanto valeX

n

P(an)? e

ZdP(↵) =

Zd↵ ⇢(↵)?

� Como P(an) =gnX

i

|cin|2 =gnX

i

|huin| i|2 =

gnX

i

h |uinihui

n| i, temos

X

n

P(an) = h |�X

n

gnX

i

|uinihui

n|�| i = h |11| i = h | i = 1

Isso esta de acordo com nossas expectativas: uma medida de A fornece

necessariamente um dos autovalores de A. Portanto, a soma das probabilidades

de encontrar um deles e igual a 1. Repita o procedimento e mostre queZ

dP(↵) =

Zd↵ ⇢(↵) = h | i = 1

21 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios sobre as 3 versoes do postulado 4 (continuacao):

� Como

X

n

P(an) =

ZdP(↵) = h | i, para garantir que a soma sobre todo o

espectro seja 1, basta redefinir

8><

>:

dP(↵)= 1h | i hv↵| i|

2d↵

P(an) =1

h | iPgn

i |huin| i|2

) vale 8 h | i

� Sempre consideraremos | i como uma combinacao de autovetores de A, ) e

essencial que A seja uma observavel.

� Note que poderıamos ter feito casos mais gerais misturando espectros discretos

e continuos.

� Tenho dito sistematicamente que constantes multiplicativas nao modificam a

informacao fısica contida no ket. O postulado 4 permite entender melhor esta

afirmacao. Primeiro considere dois kets | i e | 0i igualmente normalizados, mas

diferindo por uma fase | 0i = ei✓| i, onde ✓ e um numero real. Primeiro note

que

8><

>:

h 0| 0i = h |e�i✓ei✓| i = h | i

|hui| 0i|2 = |hui|ei✓| i|2 = |hui| i|2e conclua que P(an) da o mesmo

resultado para | i e | 0i. Isso vale tambem para | 0i = c| i.

22 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios sobre as 3 versoes do postulado 4 (continuacao):

� Assim, dois estados que diferem por um fator complexo representam o mesmo

estado fısico. Seja cuidadoso com esse conceito, pois | i = �1| 1i+ �2| 2i e|�i = �1e

i✓1 | 1i+ �2ei✓2 | 2i sao distintos, a menos que ✓1 = ✓2 + 2⇡n, com n

inteiro, pois nesse caso | i = ei✓1 |�i. Conclui-se que:

Um fator de fase global nao afeta as previsoes fısicas, mas as fases relativas

dos coeficientes de uma expansao sao significativas.

• Reducao do pacote de onda devido a uma medida

� Caso espectro discreto (inspirados nos experimentos de otica):

Suponha que o sistema esteja em um estado qualquer | i, quando se faz uma

medida da quantidade fısica A e um dos autovalores an da observavel A e

obtido. Representamos isso por:

| i (an)=) |uni

antes

8><

>:

sabıamos so

probabilidades

de obter um dos an.

depois

8><

>:

a medida gerou

um “colapso”. Esse

e o novo estado.

23 MAPLima

F789 Aula 01

Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios: preparacao para o postulado 5:

� A figura do slide anterior representa o 5o. postulado. De fato, a situacao que

desejamos estudar e um pouco mais complexa e poderia ser representada por:

| (0)i 7�! | (t0)i (an)=) |uni 7�! | 0

(t)i

antes

8><

>:

Sistema comeca em

| (0)i e evolui ate | (t0)i.O que comanda essa evolucao?

depois

8>>><

>>>:

a medida gerou um

“colapso”. |uni eo novo estado. Nova

evolucao ate | 0(t)i.

� Caso fizessemos outra medida imediatamente apos t0 (sem dar tempo do estado

evoluir), encontrarıamos an.

� Se an fosse degenerado, escreva o estado por | i =X

n

gnX

i

cin|uini.

| i (an)=)

gnX

i

cin|uini normalizado para

1pPgni |cin|2

gnX

i

cin|uini

� Note que

gnX

i

cin|uini = | ni e a projecao de | i sobre En (subespaco dos

autovetores com autovalor an. Resumindo: | i (an)=)

Pn| iph |Pn| i

24 MAPLima

F789 Aula 01

A medida gerando um colapso. • 5oPostulado:

Se a medida de uma quantidade fısica A sobre o sistema em um estado | i dao resultado an, o estado do sistema imediatamente apos a medida e a projecao

normalizada,Pn| iph |Pn| i

, de | i sobre o subespaco associado com an.

Comentarios

� Note que apos a medida, o novo estado e um autoestado de A com autovalor an.

� Nao e qualquer estado. E a projecao de | i em En.� Considere gn = 1.

Apos a medida, terıamoscn|cn|

|uni = ei arg cn |uni ! mesmo que |uni.

Estamos prontos para estudar a evolucao temporal do sistema.

Conforme esperado a Hamiltoniana tera papel especial. Em F689,

aprendemos a prever o resultado da evolucao

| (0)i H7�! | (t0)i (an)

=) |uni H7�! | 0(t)i

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25 MAPLima

F789 Aula 01

Evolução Temporal • 6oPostulado:

A evolucao temporal do estado | (t)i e governada pela equacao de Schrodinger

i~ d

dt| (t)i = H(t)| (t)i,

onde H(t) e a observavel associada a energia total do sistema. Esse operador

H(t) e a Hamiltoniana do sistema.

Regras de quantizacao

� Para construir um operador da mecanica quantica do tipo A(~R, ~P , t) a partir

de quantidades fısicas classicas do tipo A(~r, ~p, t), basta

trocar

(~r(x, y, z) por ~R(X,Y, Z)

~p(px, py, pz) por~P (Px, Py, Pz)

onde

([Ri, Rj ] = [Pi, Pj ] = 0

[Ri, Pj ] = i~�ij� As relacoes de comutacao em coordenadas cartesianas sao relativamente simples.

Veremos que para outras coordenadas podem ser mais complicadas.

� Em algumas situacoes precisamos de regras adicionais. Por exemplo, suponha

que A(~r, ~p, t) = ~r · ~p. Na mecanica classica, ~r · ~p = ~p · ~r. Isso nao e verdade na

mecanica quantica devido as regras de comutacao acima. A consequencia

imediata e que ~R · ~P nao e Hermiteano, pois (~R · ~P )†= ~P · ~R.

A solucao para o problema e simetrizar: ~r · ~p ) 1

2(~R · ~P + ~P · ~R).

26 MAPLima

F789 Aula 01

Exemplos importantes

• A Hamiltoniana de uma partıcula em um potencial escalar

V (~r) = qU(~r)

energia potencial potencial eletrico

i~ d

dt| (t)i = H(t)| (t)i,

� A Hamiltoniana classica do sistema seria H =p2

2m+ V (~r), com ~p = m

d~r

dt= m~v.

� Segundo o que discutimos, a Hamiltoniana quantica fica H =P

2

2m+ V (~R).

� E a equacao de Schrodinger do sistema e: i~ d

dt| (t)i =

⇥ P 2

2m+ V (~R)

⇤| (t)i.

• A Hamiltoniana de uma partıcula sujeita a um potencial vetor e a um potencial

escalar dependentes do tempo.

Vimos no semestre passado que

8><

>:

~p = m~r + q ~A(~r, t)

H(~r, ~p, t) =1

2m [~p� q ~A(~r, t)]2+ qU(~r, t)

� Segundo o que discutimos, a Hamiltoniana quantica fica

H(~R, ~P , t) =1

2m[~P � q ~A(~R, t)]

2+ qU(~R, t)

� Note que e o momento conjugado canonico ~p, e nao m~v, que vira ~P .

27 MAPLima

F789 Aula 01

De F689 ainda falta falar de spin, oscilador harmônico, momento angular e átomo de hidrogênio

• A revisao sobre spin e momento angular sera feita quando esses assuntos

voltarem a cena nos capıtulos 9 e 10.

• A revisao sobre oscilador harmonico e atomo de hidrogenio fica por conta de

voces e e essencial nas aplicacoes de teoria de perturbacao (capıtulos 11, 12

e 13).

• A revisao sobre analogos classicos da mecanica quantica sera feita sempre que

necessaria.

• Vale a pena voce passar os olhos em todos os slides de F689. Nao deixe de fazer

isso.

• Nosso primeiro assunto e teoria de espalhamento. Em seguida falaremos sobre

spin e soma de momentos angulares. O proximo desafio esta em estabelecer

metodos de aproximacao (a natureza e complicada e gerar estrategias de

aproximacao e essencial). Finalmente falaremos de partıculas

identicas (a mecanica quantica mostrara resultados surpreendentes).