Dvilypiai ir kreiviniai integralai10. Apibreimas ir savybes

iame skyrelyje nagrinejami keliu kintamuju funkciju integralai. Tokie integralaivadinasi daugialypiai integralai. Geometrijoje jie naudojami plotu, t uriu, paviriuplotu skaiciavimui, mechanikoje plokciu fig uru ir k unu mases, inercijos mo-mentu, svorio centro skaiciavimui. Daugialypiai integralai taikomi daug placiau neiapibretiniai integralai.

Paprasciausias i daugialypiu yra dvilypis integralas. Taigi, nagrinejame tolydinedvieju kintamuju funkcija , apibreta ploktumos srityje . Sritis

yra udara, t. y. apribota udara kreive , kuri irgi priklauso sriciai .

Apibreimas 10.1. Cilindroidu vadinamas k unas, kuri i apacios riboja ploktu-mos sritis , i viraus pavirius 0, o i onu cilindrinispavirius su sudaromosiomis lygiagreciomis aiai (r. 1 pav.).

Pirmiausia sriti suskaidome bet kokiu b udu i mau daliu. Ir pacias dalis, ir juplotelius ymesime vienodai

1 2

Pav. 1.

1

user

user

user

user

user

user

user

user

user

2Kiekvienoje i ju parenkame po taka , 1 , ir suskaiciuojame funkcijosreikmes

1 2

Suma

1 1 2 21

vadinama funkcijos integraline suma srityje .Jeigu 0, tai kiekviena sumos demeni galima interpretuoti kaip mao

cilindro t uri, kurio pagrindo plotas , o auktis . Tada reikia visucilindru t uriu suma, kuri aproksimuoja cilindroido t uri (r. 2 pav.).

Tegu padalijimu skaicius dideja, o ploteliai maeja taip, kad max 0,. Tada egzistuoja riba lim , nepriklausanti nei nuo srities padali-

jimo, nei nuo taku parinkimo (is faktas irodinejamas platesniame auktosiosmatematikos kurse). Ji vadinama funkcijos dvilypiu integralu srityjeir ymima arba , t. y.,

lim lim1

Jeigu 0, tai smulkinant padalijima, tiksliau aproksimuoja k uno t uri ir

lim

Pav. 2.

3Toliau suformuluosime kelias teoremas apie dvilypi integrala.

Teorema 10.1. Dvieju funkciju sumos dvilypis integralas srityje yra lygus dvi-lypiu intergalu sumai srityje , t. y.,

Teorema 10.2. Pastovu daugikli , const, galima ikelti prie dvilypio integraloenkla, t. y.,

iu abieju teiginiu irodymas lygiai toks pat, kaip ir atitinkamu teiginiu irodymasapibretiniam integralui.

Teorema 10.3. Jeigu sritis suskaidyta i dvi sritis 1 ir 2, neturincias bendruvidiniu taku, 1 2, tai

1 2(10.1)

Irodymas. Integraline suma srityje galima sugrupuoti i dvi dalis. Pirmoji dalisturi demenis su ploteliais , priklausanciais 1, antroji dalis turi demenis sui srities 2,

1 2

(10.2)

Kadangi dvilypis integralas nepriklauso nuo srities suskaidymo, tai skaidykimetaip, kad bendras kont uras kartu b utu ploteliu kont uru (r. 3 pav.). Skaiciuodamiriba, kai ir max 0, kiekvienam demeniui atskirai, i (10.2) gauname(10.1).

Teorema 10.4. Tegu funkcijos didiausia ir maiausia reikmes srityjeyra atitinkamai ir , o srities plotas. Tada

(10.3)

4Pav. 3.

Irodymas. Pirmiausia ivertinkime integraline suma. Kadangi ir, tai

Integraliniu sumu seka yra apreta i viraus ir i apacios. Todel perejus prie ribos,kai ir max 0, gauname (10.3).

Teorema 10.5. Jeigu funkcija yra tolydine srityje , kurios plotas , taisrityje egzistuoja takas 0 0 0 0 toks, kad

0 0

Irodymas. I nelygybiu (10.3) gauname1

Taigi, skaicius 1 patenka i intervala . I funkcijos tolydumoudaroje srityje seka, kad funkcijos reikmes upildo visa intervala . Todelsrityje egzistuoja takas 0 toks, kad

01

arba

0

511. Dvilypio integralo skaiciavimas

Tegu cilindroido pagrindas yra staciakampis, , o i viraus ji ribojapavirius .

Kertame k una ploktuma 0 ( 0 ir fiksuotas), lygiagrecia koordinaciuploktumai . Pj uvyje gauname kreivine trapecija, kuri i viraus apribota vienokintamojo funkcija 0 , (r. 4 pav.). Jos plotas ireikiamas apibre-tiniu integralu

0 0

Kadangi 0 yra bet kuris intervalo takas, tai

(11.1)

Apibretiniu integralu, inant skerspj uvio plota , galima skaiciuoti k uno t uripagal formule

(11.2)

Pav. 4.

6Istacius (11.1), gauname

(11.3)

Skliaustai nurodo veiksmu atlikimo tvarka. Taip gaunami du vienas po kito einan-tys (arba vienas kitame esantys) apibretiniai integralai. Kiekvienas i ju skaiciuo-jamas pagal jau idestytas taisykles. Skliausteliuose esantis integralas vadinamas vi-diniu ir skaiciuojamas pirmiau, likes vadinamas ioriniu ir skaiciuojamas paskiau.

Taigi, vidiniame integrale kinta, yra pastovus. Gauta funkcija dar karta jauioriniame integrale integruojama pagal intervale . Tokia operacija vadinamakartotiniu integravimu, o reikinys kartotiniu integralu.

Cilindroida galima i pradiu kirsti ploktumomis 0, 0 , lygia-greciomis ploktumai. Skerspj uvyje gaunama trapecija, kurios plotas skaiciuo-jamas apibretiniu integralu

Tada visas t uris, o tuo paciu ir dvilypis integralas yra

(11.4)

Sugretinus (11.3) ir (11.4) gaunama formule dvilypiam integralui skaiciuoti stacia-kampes srities atveju:

(11.5)

Akivaizdu, kad integravimo tvarka nesvarbi: vidiniu kintamuoju gali b uti bet kurisi dvieju funkcijos argumentu, ioriniu taip pat.

Pavyzdys 11.1. Suskaiciuoti dvilypi funkcijos 4 3 6 2 integralastaciakampeje srityje 1 3 2 1 .

Sprendimas 11.1. Sritis pavaizduota 5 pav.

7Pav. 5. Pav. 6.

Jeigu ioriniu kintamuoju pasirinksime , tai3

1

1

24 3 6 2

3

1

1

24 3 6 2

3

14 3 2 3 1 2

3

14 3 2 8 3 16

3

112 3 18 3 4 9 2 31 312

Sukeitus integravimo tvarka, ioriniu kintamuoju laikysime . Gauname1

2

3

14 3 6 2

1

2

3

14 3 6 2

1

24 3 2 2 3 1

1

281 27 2 1 3 2

1

280 24 2 80 8 3 1 2 312

Pavyzdys 11.2. Suskaiciuoti dvilypi integrala cos cos . Integravi-mo sritis pavaizduota 6 pav.

Sprendimas 11.2.

cos cos0

2

0cos cos

8Pav. 7.

0cos 2

0cos

sin 0 sin 2 0 0 1 0

Pavyzdys 11.3. Suskaiciuoti funkcijos e sin dvilypi integrala srityje(r. 7 pav.).

Sprendimas 11.3.

e sin1

0

2

0e sin

1

0e cos 2 0

1

0 2e 1

2 e1

0 2e 1 1

Tegu integravimo sritis yra apribota tiesemis, lygiagreciomis aiai , ir dvieju funkciju 1 ir 2 grafikais.

Kaip ir anksciau, k una pjausime ploktuma 0. Tada funkcijos 0 antra-sis argumentas kinta nuo 1 0 iki 2 0 (r. 8 pav.). Taip pj uvyje gaunama kreivinetrapecija, i viraus ribojama

0 1 0 2 0

9Pav. 8. Pav. 9.

Jos plotas yra 0 2 01 0 0 . Imdami bet kuri 0, 0 , ir panau-doje formule t uriui skaiciuoti, gauname

2

12

1

Tegu integravimo sritis yra apribota tiesemis, lygiagreciomis aiai , ir dvieju funkciju 1 , 2 grafikais (r. 9 pav.).

Tada analogikai gauname

2

12

1

Pavyzdys 11.4. Suskaiciuoti dvilypi integrala

2

srityje, apribotoje kreivemis ir 3 (pirmas ketvirtis).

10

Pav. 10. Pav. 11.

Sprendimas 11.4. Pirmiausia yra braioma integravimo sritis . Tada galimapasirinkti integravimo tvarka, t. y., kuri kintamaji laikyti vidiniu, o kuri ioriniu. ipavyzdi suskaiciuosime abiem b udais.

Suprojektuojame sriti i ai (r. 10 pav.). Gautas intervalas 0 1 yra ioriniokintamojo kitimo ribos. Taigi,

1

0 32

1

013

33

1

013

52

13

10 221

133

577

Dabar sukeisime kintamuosius ir vaidmenimis. Tos pacios sriti ribojancioskreives apraomos lygtimis 2 ir 13 . Projektuodami i ai, gauname0 1 (r. 11 pav.). Tai iorinio kintamojo kitimo ribos. Vidiniu kintamuoju lieka .

Taigi, gauname

1

0

13

22

1

012

2 21 3

2

1

012

83

12

6 322

114

577

Pavyzdys 11.5. Suintegruoti 6 2 2 , kai sritis ribojama parabole2 ir tiese 2.

11

Pav. 12. Pav. 13.

Sprendimas 11.5. I tikruju, dvilypi integrala keiciant kartotiniu integravimo tvarkanesvarbi. Norint sriti suprojektuoti i koordinaciu ais, reikia rasti kreiviu susikir-timo takus. Todel sprendiame sistema

22

Kreives kertasi dviejuose takuose 1 1 ir 4 2 . Projektuojant i ai, gaunamidu intervalai 0 1 ir 1 4 . Taip yra todel, kad i viraus sriti ribojanti kreive take1 1 keicia analizine iraika. Virutine kreive yra intervale 0 1 ir

2 intervale 1 4 . Dvilypis integralas keiciamas dviem kartotiniais1

0

4

1

2

I kitos puses, projektuojant sriti i ai, gaunamas tik vienas intervalas2 1 ir tik vienas kartotinis integralas (r. 13 pav.). Todel is pasirinkimas

reikalauja maiau skaiciavimu ir yra patogesnis. Skaiciuojame

6 2 21

2

2

26 2 2

1

23 2 2 2 2 2

1

23 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4

12

Pav. 14.

1

212 12 7 2 2 3 5 4

12 6 2 733 1

24 5

1

2

992

is pavyzdys rodo, kaip integravimo tvarkos pasirinkimas kartotiniame integralepriklauso nuo srities formos. Tik nubraiius breini paaikeja, kuris kelias pato-gesnis ir trumpesnis. Todel (kartojame!) breinys yra b utinas.

Kitas pavyzdys rodo, kad integravimo tvarkos pasirinkimas priklauso nuo integ-ruojamos funkcijos .

Pavyzdys 11.6. Suskaiciuoti

e 3

trikampeje srityje , ribojamoje tiesemis 0 ( ais), 1 (tiese lygiagretiaiai) ir 2 (r. 14 pav.).

Sprendimas 11.6. Vidiniu kintamuoju negali b uti , nes e 3 nesuintegruoja-mas baigtiniu pavidalu elementariomis funkcijomis. Todel pasirinkimo nebelieka.Sriti projektuojame i ai. Tai reikia, kad tampa ioriniu kintamuoju, o

13

vidiniu. Gauname

e 31

0

2

0e 3

1

012

2e 32

01

02 2e 3 23

1

0e 3 3

23

3 10

23 e 1

12. Plotu ir t uriu skaiciavimas dvilypiu integraluDvilypis integralas apibreiamas kaip tam tikru integraliniu sumu sekos riba. Neisu k unu, nei su jo t uriu apibreimas nesusijes. I kitos puses dalines sumos turi aikiageometrine interpretacija. Tai cilindroido t urio aproksimacija maais laiptuotaiscilindrais. Kai , tai lim . Taip gaunama cilindroido t urio formule

Nagrinejame cilindroida, apribota i viraus paviriumi 0, ir su pa-grindu ploktumoje (r. 15 pav.). Tada

(12.1)

Nagrinejame k una, kuri i apacios riboja pavirius 1 , i viraus kitaspavirius 2 , o sritis ju abieju bendra projekcija ploktumoje

Pav. 15.

14

Pav. 16.

(r. 16 pav.). Toki k una galima ireikti dviem cilindroidais, o jo t uri dvieju cilind-roidu t uriu skirtumu, t. y.,

2 1 2 1(12.2)

i formule k uno t uriui skaiciuoti teisinga ir tada, kai funkcijos 1 ir 2yra bet kokio enklo, taciau tenkina nelygybe

2 1

Jeigu srityje funkcija keicia enkla, tai sriti dalijame i dvi dalis,1 2. Tegu 0, kai 1, ir 0, kai 2.

Tuo paciu k unas padalinamas i dvi dalis. Kiekvienai i ju t uriui skaiciuoti taikomaformule (12.1). Primename, kad ploktuma apraoma lygtimi 0. Vienuatveju ploktuma yra apatinis pavirius, kitu atveju virutinis pavirius.

Kai 1 visoje srityje , tai cilindroidas virsta cilindru (neb utinai suki-mosi cilindru), o cilindroido t uris skaitine reikme sutampa su srities plotu , t. y.,

1

ia formule galima gauti betarpikai i integraliniu sumu, nes

1

15

Pavyzdys 12.1. Dvilypiu integralu suskaiciuoti srities plota, kai sritis ri-bojama parabole 2 2 ir pirmo ketvircio pusiaukampine (r. 17 pav.).

Sprendimas 12.1. Kreiviu susikirtimo takai iekomi sprendiant sistema2 2

Todel srities projekcija ayje yra intervalas 0 3 . Tai iorinio kintamojo kitimoribos. Vidinis kintamasis yra . Jis kinta nuo paraboles iki tieses. Gauname

13

0 2 2

3

02 2

3

03 2 32

2 13

33

0

92

Pavyzdys 12.2. Rasti t uri k uno, esancio tarp ploktumu ir (lygiagretiaiai) ir apriboto i onu cilindru 2 2 4 (r. 18 pav.).

Sprendimas 12.2. K uno pagrindas (projekcija) ploktumoje yra puse skritulio.Del k uno simetrijos skaiciuosime puse t urio: 2 puse. Integravimui pasirenkameskritulio dali 1, esancia pirmame ketvirtyje (r. 19 pav.):

21

22

0

4 2

0

Pav. 17. Pav. 18.

16

22

0

2

24 2

0

2

04 2 4 13

32

0

163

Pavyzdys 12.3. Rasti t uri k uno, esancio tarp dvieju ploktumu 6 ir 2 ir ionu apriboto dviem paraboliniais cilindrais 2 ir 2 2 (r. 20 pav.).

Sprendimas 12.3. K uno projekcija yra ploktumoje ir yra ribojama para-bolemis 2 ir 2 2 (r. 21 pav.). Ioriniu kintamuoju pasirenkame ,prieingu atveju reiketu dvieju kartotiniu integralu. Inaudojame k uno simetrija irgauname

2 11

1

2 2

26 2

Pav. 19. Pav. 20.

17

Pav. 21.

21

0

2 2

26 2 2

1

06 2 2 22

21

06 2 2 2 2 2 6 2 4

21

08 8 2 16 13

31

0

323

13. Dvilypis integralas polinese koordinatese

Nagrinekime polineje koordinaciu sistemoje ploktumos taku sriti , apribotadviem spinduliais , ir kreivemis 1 , 2 . Tegu sritis yrataisyklinga, t. y., bet kuris spindulys, ieinantis i poliaus ir einantis per vidi-ni srities taka, kerta srities kont ura ne daugiau kaip dviejuose takuose. Prieinguateju sriti b utu galima padalinti i kelias taisyklingas sritis. Todel is reikalavimasnesiaurina bendrumo.

Tarkime, kad srityje apibreta tolydine funkcija . Kaip ir staciakam-piu koordinaciu atveju, dvilypio integralo apibreimui atliekami standartiniai veiks-mai.

Pirma, sritis bet kokiu b udu skaidoma i mau daliu

1 2

Antra, jose laisvai parenkami takai ir suskaiciuojamos funkcijos

18

reikmes , 1 . Trecia, sudaroma integraline suma

1

I dvilypio integralo egzistavimo teoremos seka, kad integraline suma turi riba, kaiir max 0, nepriklausancia nei nuo suskaidymo, nei nuo taku

parinkimo. i riba yra funkcijos dvilypis integralas srityje , t. y.,

lim lim

Toliau nagrinesime dvilypio integralo skaiciavima polinese koordinatese. Ipradiu imame taip vadinama polini staciakampi, t. y., sriti aprayta nelygybemis(r. 22 pav.)

Viena i iu kratiniu santykinai galime vadinti ilgiu, kita plociu. Kai 0 ,0, 2 , polinis staciakampis virsta iedu su vidiniu spinduliu , o ioriniu .

Primename, kad skritulio ipjovos su spinduliu ir centriniu kampu plotas gau-namas pagal formule

ip12

2

Pav. 22.

19

Naudodami ia formule, gauname srities plota12

2 12

2 12

cia , , o 12 yra polinio staciakampio vidutinisspindulys.Kadangi dvilypis integralas nepriklauso nuo srities padalijimo, tai dalinkime sriti

i lygias dalis koncentrikais apskritimais

0 1 2 11

ir spinduliais

0 1 11

I viso gauname vienodu poliniu staciakampiu , kuriu plotai yra

1

Todel integraline suma yra

1 1 1

cia .Paskutinioji suma yra funkcijos integraline suma. Todel, kai ir

max 0, ji virsta dvilypiu integralu

Einant nuo staciakampiu prie poliniu koordinaciu, b utu galima daryti formalu kin-tamuju pakeitima

cos sin

su reiais , . Cia mao staciakampio plotas gaunamas kaipilgio ir plocio sandauga

cos sin (13.1)

20

Integruoti polinese koordinatese ypac patogu, kai integravimo sritis yra skritulysarba jo dalis arba kai pointegraline funkcija priklauso nuo 2 2.

Pavyzdys 13.1. K unas i apacios yra apribotas ploktuma, o i viraus suki-mosi paraboloidu 25 2 2. Rasti k uno t uri.

Sprendimas 13.1. K uno projekcija ploktumoje yra skritulys 2 2 25.Del k uno simetrijos, galima skaiciuoti ketvirtadali t urio ir gauta rezultata daugintii 4. Taigi:

4 1 4 25 2 2 45

0

25 2

025 2 2

Vidini integrala pagal nesunku suintegruoti. Sustate reius, susiduriame su ira-cionaliu funkciju integralais

25 2 2 25 2 25 2 32

Jiems suintegruoti reikia gana sudetingu trigonometriniu pakeitimu (r. ?? skyriu).Perejus prie poliniu koordinaciu, integravimo sritis uraoma paprasciau. Pirmas

skritulio ketvirtis (r. 23 pav.) apraomas nelygybemis

0 5 ir 0 2

Pav. 23.

21

Cia abieju kintamuju kitimo ribos yra pastov us dydiai (o ne funkcijos), todel yrapatogi bet kuri integravimo tvarka.

Pointegraline funkcija supaprasteja, nes2 2 cos 2 sin 2 2

Pagaliau gauname

4 20

5

025 2 4 2

0252

2 14

45

0

4 6254 2625

2Bendru atveju taisyklinga sritis polinese koordinatese apraoma nelygybemis

1 2 ir

Todel dvilypis integralas paverciamas kartotiniu

2

1

Pirmiausia integruojama pagal , jis kinta spindulio didejimo kryptimi nuo vidiniokont uro grafiko 1 (i urint i poliaus) iki iorinio, t. y., 2 .

Iorinis kintamasis yra kampas . Jis apeinamas teigiama kryptimi, t. y. prielaikrodio rodykle.

Kai 1 visoje srityje , tai analogikai staciakampems koordinatemsgauname formule plotui skaiciuoti

Pavyzdys 13.2. K unas i apacios yra apribotas sukimosi paraboloidu 1 2 2(akos auktyn), o i viraus sukimosi paraboloidu 2 8 2 2 (akos e-myn). Rasti k uno t uri.

Sprendimas 13.2. Abudu paviriai kertasi kreive, kuri randama sprendiant sistema

2 28 2 2

22

Ieliminavus kintamaji , gaunamas apskritimas 2 2 4, su centru 0 0 ir spin-duliu 2. Todel k uno projekcija horizontalioje ploktumoje, o tuo paciu ir integ-ravimo sritis , yra skritulys 2 2 4.

2 1 8 2 2

8 2 22

0

2

08 2 3

2 4 2 124

2

016

14. Cilindrines ir sferines koordinatesStaciakampes koordinates yra vienas i keliu b udu takams, kreivems, paviriamsaprayti. iame skyrelyje ketiname supaindinti su dviem koordinaciu sistemomistrimateje erdveje cilindrinemis ir sferinemis koordinatemis. Kiekviena i ju yrasavotikas poliniu koordinaciu ploktumoje apibendrinimas.

Primename, kad ryys tarp tako staciakampiu koordinaciu ir poliniuploktumoje yra ireikiamas lygybemis (r. pav. 24)

cos sin (14.1)

ir2 2 2 tan kai 0 (14.2)

Pav. 24.

23

14.1. Cilindrines koordinates

Tako cilindrines koordinates erdveje yra nat uralus poliniu ir stacia-kampiu koordinaciu hibridas (r. pav. 25). Cia tako projekcijos padetis yraapraoma dviem polinemis, o jo atstumas iki horizontalios ploktumos yra .Taip gaunamos tako cilindrines koordinates . Ju ryys su staciakampemisseka i (14.1) ir (14.2) prijungus prie ju tapatybe . Taigi,

cos sin (14.3)

ir

2 2 2 tan (14.4)

Keli staciakampiu ir poliniu koordinaciu atitinkamybes pavyzdiai parodyti lentele-je 1.

Naudojant cilindrines koordinates, kai kurie paviriai erdveje apraomi labai pa-prastomis lygtimis. Pvz., lygtis ( const) aprao sukimosi cilindra apieai su spinduliu .

Cilindrines koordinates tinka ir kitiems sukimosi paviriams. Pavyzdiui, sfera2 2 2 2 ir sukimosi k ugis 2 2 2 cilindrinemis koordinatese

apraomi lygtimis 2 2 2 ir 2 2.Jeigu ploktumoje esanti kreive 0 sukama apie ai, tai gautasis

sukimosi pavirius apraomas lygtimi 0 jau cilindrinese koordinatese.

Pav. 25.

24

Lentele 1Staciakampiu ir cilindriniukoordinaciu atitinkamybe

1 0 0 1 0 01 0 0 1 0

0 2 3 2 2 31 1 2 2 4 21 1 2 2 74 2

1 1 2 2 34 21 1 2 2 54 2

0 3 3 3 32 3

Pavyzdys 14.1. Parabole 2, esanti ploktumoje, sukama apie ai. Taipgaunamas sukimosi paraboloidas su lygtimi 2 (r. pav. 26 ir pav. 27).

Pavyzdys 14.2. Elipse 292

4 1 sukama apie ai. Taip gautas pavirius vadi-namas sukimosi elipsoidu (r. pav. 28 ir pav. 29). Jo lygtis cilindrinese koordinateseyra

2

92

4 1

Pav. 26. Pav. 27.

25

Pav. 28. Pav. 29.

14.2. Sferines koordinates

Paveiksle 30 parodytos sferines koordinates.Pirmoji sferine koordinate yra tiesiog atstumas nuo koordinaciu

pradios tako iki . Antroji sferine koordinate yra kampas tarp ir aiesteigiamos puses, todel jo kitimo ribos yra intervalas 0 . Pagaliau kampas tokspat kaip cilindrinese arba polinese koordinatese, t.y. tarp ir aies teigiamospuses. Todel kitimo ribos yra intervalas 0 2 . Abu kampai ir matuojamiradianais.

Ryys tarp staciakampiu ir sferiniu koordinaciu gaunamas i stataus trikampioir (14.1). Staciakampiu ir sferiniu koordinaciu atitinkamybes pavyzdiai pa-

rodyti lenteleje 2.Taigi:

sin cossin sin (14.5)cos

Pav. 30.

26

Lentele 2Staciakampiu ir sferiniukoordinaciu atitinkamybe

1 0 0 1 2 00 1 0 1 2 20 0 1 1 0 00 0 1 1 01 1 2 2 4 4

1 1 2 2 4 541 1 2 2 34 74

Sferiniu koordinaciu pavadinimas susijes su sfera, o tiksliau su sferiniu pavir-iumi. Mat, jo lygtis yra ( const). Ka aprao kitos paprasciausios sferineslygtys? Pavyzdiui, lygtis ( const) aprao begalini k ugi. Jeigu 0 2 ,tai gauname k ugi, esanti vir horizontalios ploktumos. Jeigu 2 , taik ugis yra emiau ploktumos. Lygtis 2 aprao ploktuma.

Panagrinekime lygti 2 cos . Cia cos 0, todel 0 2 . Tai reikia, kad

Pav. 31.

27

pavirius yra vir ploktumos. Abi lygties puses dauginame i , gauname2 2 cos

arba panaudojus (14.1) ir (14.2)2 2 2 2

staciakampese koordinatese. Iskyre pilna kvadrata turime standartine sferos lygti2 2 1 2 1

su centru 0 0 1 ir spinduliu 1 (r. pav. 31).Analogikai sferine lygtis 2 sin sin staciakampese koordinatese pavirsta

gerai inoma standartine lygtimi2 1 2 2 1

i lygtis aprao sfera su centru 0 1 0 ir spinduliu 1.