Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Pengenalan Logika Matematika Himpunan Aljabar Boolean Tabel Kebenaran Konsep Dan Notasi Kalkulus Proposisi Bentuk Kanonik Gerbang Logika Metode Peta Karnaugh
PRODUCTION
2014
Dwi Nurul Huda, ST
KATA PENGANTAR
Bismillahirahmanirahim,
Logika Matematika merupakan cabang ilmu logika dan matematika yang
mengandung kajian logika didalamnya termasuk kajian yang berhubungan dengan
matematika dan bidang-bidang lainnya. Logika Matematika merupakan matakuliah
wajib yang ditawarkan pada beberapa jurusan yang mengandung “ilmu komputer“
didalamnya. Logika Matematika mengajarkan seseorang untuk berfikir logis, sesuai
dengan argumen yang dapat dibuktikan kebenarannya.
Penulis memahami bahwa pembuatan handout ini masih jauh dari kesan
sempurna karena ilmu dan sumber-sumber yang penulis miliki dan peroleh masih
relatif sedikit, sehingga apabila pembaca menemukan kesalahan atau kekeliruan
pada penulisan ataupun penjelasan materi dalam handout ini, pembaca dapat
mengirimkan pemberitahuan kesalahan tersebut ke alamat email ke :
[email protected] agar penulis dapat merevisi kesalahan ataupun
kekeliruan tersebut.
Akhir kata, penulis ucapkan beribu terimakasih kepada pihak-pihak yang
telah membantu terselesaikannya handout ini. Penulis berharap handout ini dapat
berguna bagi para pembaca. Selamat Belajar, semoga ilmu anda bermanfaat bagi
anda dan lingkungan anda. Salam.
Tanjungpinang, 24 Oktober 2014 Penulis,
PENGENALAN LOGIKA MATEMATIKA
Logika (logic) berasal dari bahasa Yunani kuno “Logos” yang berarti hasil
pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam
bahasa. Dalam bahasa Inggris istilah logika sering disebut “word”, ”speech” lebih
dekat lagi dengan istilah “reason”. Beberapa definisi tentang logika :
Beberapa ahli logika memiliki pengertian yang berbeda tentang definisi dari
logika, tetapi mereka setuju bahwa logika merupakan studi tentang kriteria-kriteria
untuk mengevaluasi argumen-argumen dengan cara membuktikan mana argument
yang valid dan mana argumen yang tidak valid.
Ilmu logika bukan hanya dipelajari sebagai salah satu cabang ilmu filsafat saja
tetapi sudah merambah ke bidang ilmu matematika dan kini merambah lagi ke
bidang ilmu komputer. Contoh nyata pengaplikasian logika pada soal berikut :
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
1
BAB I
“ Logika adalah ilmu yang mempelajari kecakapan untuk berpikir lurus, tepat
dan teratur “
“ Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan
dengan prinsip-prinsip dari penalaran argument yang valid “
“ Logika adalah salah satu cabang filsafat (studi tentang seluruh fenomena
kehidupan dan pemikiran manusia secara kritis dan dijabarkan dalam konsep
mendasar) “
Coba Pikirkan :
Jelaskan menggunakan argument anda [benar/salah]:
1+1 = 2
1+1 = 1
HIMPUNAN A. PENDAHULUAN
Himpunan merupkan konsep dasar dalam matematika. Definisi himpunan
sendiri ialah kumpulan objek yang didefinisikan secara jelas. Penulisan himpunan
sendiri tidak harus selalu berurutan (boleh sembarang). Objek yang berada didalam
suatu himpunan disebut sebagai anggota atau elemen himpunan. Beberapa aturan
dalam penulisan suatu himpunan :
1. Himpunan dapat dinotasikan menggunakan huruf kapital
2. Anggota atau elemen suatu himpunan dapat dinotasikan menggunakan
huruf kecil
3. Anggota atau elemen suatu himpunan dapat ditulis didalam tanda kurung
kurawal buka dan diakhiri kurung kurawal tutup
B. CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
Ada 4 cara penyajian himpunan, yaitu :
1. Enumerasi, dapat dilakukan dengan cara mendaftar semua elemen
anggotanya. Cara inilah yang biasa atau seringkali kita lihat pada contoh
penulisan himpunan. Contoh penulisan menggunakan enumerasi :
• Himpunan A terdiri dari bilangan yang habis dibagi 2 dan kurang dari 10.
Dapat ditulis : A = {2,4,6,8}
• Himpunan J adalah himpunan nama-nama buah yang dimulai dari huruf
awalan m. Dapat ditulis : J = {manggis, mangga, markisa, melon}
2. Simbol-Simbol Baku, penulisan dalam bentuk simbol baku seringkali
berbeda antara sumber yang satu dengan sumber yang lain. Berikut simbol-
simbol yang sudah disepakati sebagai simbol baku :
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 0,1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, ... }
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
2
BAB II
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1,2,3,… }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan real
C = himpunan bilangan kompleks
U = himpunan semesta/universal
Himpunan semesta atau universal merupakan himpunan keseluruhan yang
sedang dibicarakan. Contoh : Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah
himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan, suatu aturan yang merupakan batasan dalam
anggota-angota suatu himpunan. Notasinya dapat dituliskan sbb :
Contoh :
1. Himpunan A adalah himpunan yang elemennya merupakan bilangan
genap. Dapat ditulis : A = {x|x genap}
2. Himpunan A adalah himpunan yang elemennya merupakan bilangan
genap dan kurang dari 10. Dapat ditulis : A = {x|x genap, x < 10}
4. Diagram Venn, merupakan penyajian yang sering juga digunakan dalam
penyajian suatu himpunan. Diagram venn akan memetakan himpunan yang
dibuat dalam bentuk gambar. Contoh :
U = {1, 2, …, 7, 8}
A = {1, 2, 3, 5}
B = {2, 5, 6, 8}
Maka apabila digambarkan kedalam bentuk diagram venn akan menjadi :
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
3
A = { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
U
1 2
53 6
8
4
7A B
C. KARDINALITAS
Kardinalitas merupakan jumlah elemen atau anggota yang terdapat dalam
suatu himpunan. Penulisan notasi kardinalitas sbb :
Contoh :
(1) Terdapat himpunan A dengan elemen A = { 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20},
maka |A| = 10
(2) B = {Jambu, Mangga, Rambutan, Durian}, maka |B|= 4
D. JENIS-JENIS HIMPUNAN
Terdapat beberapa himpunan yang harus anda ketahui, yaitu :
1. Himpunan Semesta
Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal merupakan
Himpunan keseluruhan yang sedang dibicarakan. Notasi: U.
Contoh :
U merupakan himpunan sistem operasi yang diproduksi oleh Microsoft.
Maka : U = { windows 95, windows 98, windows xp, windows Vista, windows
7, windows 8}
A = {windows xp, windows Vista, windows 7}
B = {windows 98,windows xp, windows 7, windows 8}
Kesimpulan : Seluruh elemen/anggota yang berada didalam himpunan A
dan B merupakan elemen/anggota dari himpunan U
2. Himpunan Kosong
Himpunan kosong (nullset) merupakan suatu himpunan yang tidak memiliki
elemen/anggota. Himpunan kosong memiliki kardinalitas 0, dikarenakan
tidak memiliki elemen/anggota satupun. Notasi : atau {}
3. Himpunan Bagian/ Subset
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
4
Notasi : n(A) atau |A|
jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. himpunan bagian dapat
dinotasikan : A B
Contoh :
(i) Terdapat Himpunan A : { 1, 2, 3} dan Himpunan B : {1,2,3,4,5}, maka :
{1,2,3 } {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) Terdapat Himpunan A : {1,2,3 } dan Himpunan B : {1,2,3}, maka :
{1, 2, 3} {1, 2, 3}
Kesimpulan : seluruh elemen/anggota yang ada pada himpunan A ada juga
pada himunan B, sehingga himpunan A merupakan himpunan bagian dari B
atau dengan kata lain A B.
4. Himpunan Bagian Sebenarnya / Proper Subset
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya
jika setiap elemen A merupakan elemen dari B tetapi A tidak sama dengan B
Himpunan bagian sebenarnya dapat dinotasikan : A B
Contoh :
(i) Terdapat Himpunan A : {1} dan Himpunan B : {1,2,3}, maka :
{1} {1, 2, 3}
(ii) Terdapat Himpunan A : {2,3 } dan Himpunan B : {1,2,3}, maka :
{2, 3} {1, 2, 3}
Kesimpulan : seluruh elemen/anggota yang ada pada himpunan A ada juga
pada himunan B tetapi elemen/anggota pada himpunan A tidak sama
dengan himpunan B, sehingga himpunan A merupakan himpunan bagian
sebenarnya dari B atau dengan kata lain A B.
5. Himpunan Yang Sama
Dikatakan sebagai himpunan yang sama jika elemen/anggota himpunan A
sama dengan elemen/anggota himpunan B dan sebaliknya setiap
elemen/anggota himpunan B merupakan elemen/anggota himpunan A. Jika
tidak demikian, maka A B. himpunan yang sama dapat dinotasikan
kedalam : A = B A B dan B A
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
5
Contoh :
(i) Jika A = {1,2,3} dan B = {1,2,3}, maka A = B
(ii) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B
6. Himpunan Ekuivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika
kardinalitas dari kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A ~ B A = B
Contoh :
A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka :
A ~ B , karena A = B yaitu 4
7. Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak
memiliki elemen/anggota yang sama.
Notasi : A // B
Contoh :
Jika A = { x | x Є P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Alasannya karena A = { 1,2,3,4,5,6,7 } dan B = { 10, 20, 30}, sehingga tidak
ada keterhubungan antara himpunan A dan himpunan B.
8. Himpunan Kuasa/Power Set
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A merupakan suatu himpunan
yang elemennya/anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri.
Notasi : P(A) atau 2A
Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh :
(1) Jika A = { 1, 2 }, maka
P(A) = { { }, { 1 }, { 2 },{ 1, 2 }}
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
6
(2) Jika A = { 1, 2, 3 }, maka
P(A) = { { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1,3}, { 2,3}, {1,2,3}}
E. OPERASI TERHADAP HIMPUNAN
Terdapat beberapa operasi yang dapat dilakukan didalam himpunan, yaitu :
1. Irisan (Intersection), merupakan suatu himpunan yang elemen/anggotanya
berada di antara himpunan yang sedang dibicarakan selain himpunan
universal/semesta.
Notasi : A B = { x x A dan x B }
Apabila digambarkan ke dalam bentuk Diagram Venn :
Contoh :
Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan
B = {4, 10, 14, 18},
Maka A B = {4, 10}
2. Gabungan (Union), merupakan gabungan dari seluruh himpunan yang
sedang dibicarakan tidak termasuk himpunan universal/ semesta.
Notasi : A B = { x x A atau x B }
Apabila digambarkan kedalam bentuk Diagram Venn :
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
7
Contoh :
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 2,7, 5, 22 },
Maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
3. Komplemen
Notasi : = { x x U, x A }
Contoh :
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka :
A = {2, 4,5, 6, 8}
4. Selisih, merupakan himpunan yang elemennya/anggotanya hanya menjadi
anggota himpunan A tetapi tidak termasuk anggota himpunan B.
Notasi : A – B
Contoh :
A = {1,3,5}
B = {1,2,3}
Maka : A – B = { 5 }
B – A = { 2 }
5. Beda Setangkup, yaitu suatu himpunan yang elemennya/anggotanya ada
pada himpunan A atau B, tetapi tidak ada pada keduanya .
Notasi: A B
Contoh :
Jika A = { 2, 4, 6 }
B = { 2, 3, 5 }, maka :
A B = { 3, 4, 5, 6 }
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
8
LATIHAN SOAL
1. Nyatakan himpunan berikut dalam enumerasi ( sebutkan 5 elemen saja):
a. A= { x | x Є P, x mod 3 = 0 }
b. B= { x | x Є P, x < 10 }
2. Misalkan himpunan semesta adalah himpunan { 1, 2, 3, ... 10} dan himpunan
himpunan lainnya dinyatakan oleh:
A = { 1, 2, 4}
B= { 3, 4, 5,6, 7}
C=(1,6, 7 , 8}
Carilah: a. ((A B) - B) C
b. ( A B )- C
c. ( B-C) A
d. (A-B) C’
e. 2C
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
9
ALJABAR BOOLEAN A. HUKUM ALJABAR BOOLEAN
1. Komutatif
A B = B A
A B = B A
2. Asosiatif
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
3. Distributif
A (B ∩ C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) ∪ (A C)
4. Identitas
A φ = A
A U = A
5. Ikatan (Bound Law)
A U = U
A φ = φ
6. Idempoten
A A = A
A A = A
7. De Morgan (A B)’ = B’ B’
(A B)’ = B’ B’
8. Komplemen A A’ = U
A A’ = φ
(A’)’ = A
U’ = φ
φ’ = U
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
10
BAB III
B. PRINSIP DUALITAS
Mempertukarkan , dan U serta φ dalam setiap pernyataan mengenai himpunan,
maka pernyataan baru tersebut dinamakan dual dari pernyataan aslinya.
Contoh :
Dual dari (U B) (A φ) = A , adalah (φ B) (A U) = A
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
11
Contoh
Buktikanlah bahwa jika A B = B A !
Solve :
A = {1,2,3} dan B = {8,9,10} , maka
A B = {1,2,3,8,9,10}
B A = {1,2,3,8,9,10} , Sehingga, A B = B A
LATIHAN SOAL
1. Tuliskan dual dari setiap persamaan berikut :
a) A (A B) = A
b) (A U) (A φ) = φ
c) (A B) (B C) = (A C) B
2. Buktikanlah bahwa :
a). A (A’ B) = A B
b). A (A’ B) = A B
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
12
TABEL KEBENARAN A. PENDAHULUAN
Tabel kebenaran merupakan sebuah tabel yang memuat nilai kebenaran dari
suatu pernyataan/premis. Suatu tabel kenaran dapat digunakan untuk menyatakan
kebenaran suatu pernyataan atapun fungsi.
B. OPERATOR DALAM TABEL KEBENARAN
Dalam suatu tabel kebenaran terdapat beberapa operator inti yang biasa
digunakan, yaitu :
1. OPERATOR OR
p q p q p + q
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1
2. OPERATOR AND
p q p q p.q
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 1 1
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
13
BAB IV
3. OPERATOR NOT
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
14
p ~p p
0 1 1
1 0 0
Buat tabel kebenaran dari : (p q) (~p q)
Solve :
p q ~p p q ~p q (p q) (~p q)
0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1
Contoh (1)
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
15
Contoh (2)
Buat tabel kebenaran dari : f(x,y)= (x . y) + ( x . y)
Solve :
x y x x.y x.y f(x,y)= (x . y) + ( x . y)
0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1
LATIHAN SOAL
Buat Tabel kebenaran dari soal berikut:
1. f(x,y,z)= (x+y+z)(x.y.z)(x+y+z)
2. f(x,y,z)= (x+y+z) +(x+y+z)+(x.y.z)
3. (p ~q) (q r)
4. (~p ~q) (q ~r)
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
16
KONSEP DAN NOTASI DASAR KALKULUS PROPOSISI A. PENDAHULUAN
Ilmu logika berhubungan dengan suatu argumen. Tujuandari ilmu logika adalah
untuk memberikan aturan-aturan sehingga seseorang dapat menentukan
apakah suatu kalimat bernilai benar.
B. KONSEP DAN NOTASI DASAR
Kalkulus proposisi merupakan metode untuk kalkulasi menggunakan suatu
proposisi/kalimat. Kalkulus proposisi dapat ditinjau dari :
1. Nilai suatu kalimat yaitu (True/False)
2. Metode panggabungan kalimat
3. Penarikan kesimpulan berdasarkan kalimat tersebut
Suatu kebenaran dari kalimat dapat ditentukan dari struktur kalimat itu sendiri
dan tanpa melihat apakah unsur-unsur pokoknya benar atau salah atau sesuai
dengan kenyataan yang ada di alam.
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
17
BAB V
Contoh :
Jika kita tidak mengetahui bahwa di Planet Mars sebenarnya ada kehidupan
atau tidak, maka kalimat berikut :
Ada makhluk hidup tinggal di Planet Mars
Atau
Tidak ada makhluk hidup tinggal di Planet Mars
Adalah BENAR.
P
OR
NOT (P)
C. PROPOSISI
Proposisi (statement) sendiri merupakan sebuah kalimat yang memiliki tepat
satu kebenararan , yaitu bisa bernilai True atau False.
Proposisi sendiri di bagi menjadi beberapa macam, yaitu :
1. Proposisi Primitif : suatu proposisi yang tidak menggunakan kata
penghubung
Contoh : Monas berada di Jakarta
2. Proposisi Majemuk : suatu proposisi yang menggunakan kata
penghubung(connectives)
Contoh : Bunga Citra Lestari adalah seorang pemain film dan penyanyi
Kata penghubung (connectives) yang biasa dipergunakan untuk
mengkombinasikan kalimat proposisi adalah :
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
18
Nama Simbol Contoh Bentuk
Negasi a tidak…
Konjungsi a b … dan …
Disjungsi a b … atau …
Implikasi → a → b Jika … maka …
Biimplikasi ↔ a ↔ b … jika dan hanya jika …
Contoh Proposisi :
Monas berada di Jakarta Kalimat tersebut bernilai TRUE.
Contoh Bukan Proposisi :
Siapa Namamu ?
Kalimat tersebut bukan merupakan proposisi karena nilai kebenaran kalimat
tersebut tidak dapat ditentukan dengan TRUE atau FALSE.
Contoh pengaplikasian kata penghubung dalam suatu proposisi :
Diketahui proposisi berikut :
P : hari ini hujan
Q : murid-murid di liburkan dari sekolah
Maka :
D. HUBUNGAN DENGAN TABEL KEBENARAN
Tabel kebenaran digunakan untuk mengevaluasi apakah sebuah proposisi
majemuk bernilai benar atau salah
Contoh :
P Q Q P ^ Q P v Q P → Q P ↔ Q
B B S B B B B
B S S S B S S
S B B S B B S
S S B S S B B
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
19
Nama Simbol Bentuk Proposisi Majemuk
Negasi P Hari ini tidak hujan
Konjungsi P Q Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari
sekolah
Disjungsi P Q Hari ini hujan atau murid-murid di liburkan dari
sekolah
Implikasi P → Q Jika hari ini hujan, maka murid-murid diliburkan dari
sekolah
Biimplikasi Q ↔ P murid-murid diliburkan dari sekolah jika dan hanya
jika Hari ini hujan
LATIHAN SOAL
1. Periksa apakah kalimat berikut merupakan proposisi atau bukan :
a. Mudah-mudahan ujian hari ini mendapat nilai 100
b. 2000 ≤ 2000
c. Satu tahun samadengan 12 bulan
d. Telephone ditemukan oleh Alexander Graham Bell
2. Buatlah studi kasus 3 buah pengaplikasian kalimat proposisi majemuk, gunakan
kata penghubung berikut didalamnya :
a. Konjungsi
b. Disjungsi
c. Negasi
d. Implikasi
e. Biimplikasi
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
20
BENTUK KANONIK Bentuk kanonik digunakan untuk menyederhanakan suatu fungsi boolean. Bentuk
Kanonik dapat juga di gunakan untuk menentukan apakah dua ekspresi merupakan
fungsi yang sama. Suatu fungsi Boolean yang dinyatakan tabel kebenaran dapat
dikonversi menjadi bentuk aljabar.
Bentuk kanonik terbagi menjadi dua macam, yaitu :
1. SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali), dibentuk dari dua atau
lebih fungsi AND yang di OR kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda
kurung tersebut bisa terdiri dari dua atau lebih variable. Tiap suku dalam
SOP disebut sebagai minterm.
Contoh : f (x, y, z) = (x’y’z) + (x’y’z’) + (xyz)
2. POS (Product Of Sum – perkalian dari hasil jumlah), dibentuk dari dua atau
lebih fungsi OR yang di AND kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda
kurung tersebut bisa terdiri dari dua atau lebih variable. Tiap suku dalam
SOP disebut sebagai maxterm.
Contoh : f (x, y, z) = (x’+y’+z)( x’+y’+z’)(x+y+z)
Berikut contoh table SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali) dan POS
((Product Of Sum – perkalian dari hasil jumlah) untuk dua buah variable:
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
21
X
Y
Minterm Maxterm
Suku Lambang Suku Lambang
0 0 x’y’ mo x y Mo
0 1 x’y m1 x y’ M1
1 0 xy’ m2 x’y M2
1 1 xy m3 x’y’ M3
BAB VI
Berikut contoh table SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali) dan POS
((Product Of Sum – perkalian dari hasil jumlah) untuk tiga buah variable:
1. Diberikan sebuah fungsi boolean berikut :
f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
buat kedalam bentuk kanonik fungsi diatas tersebut.
Penyelesaian :
Langkah 1 : buat tabel kebenarannya
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
22
X
y
z
Minterm Maxterm
Suku Lambang Suku Lambang
0 0 0 x’y’z’ mo x+y+z Mo
0 0 1 x’y’z m1 x+y+z’ M1
0 1 0 x’yz’ m2 x+y’+z M2
0 1 1 x’yz m3 x+y’+z’ M3
1 0 0 xy’z’ m4 x’+y+z M4
1 0 1 xy’z m5 x’+y+z’ M5
1 1 0 xyz’ m6 x’+y’+z M6
1 1 1 xyz m7 x’+y’+z’ M7
x y z x’y’z’ xy‘z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
CONTOH SOAL :
Langkah 2 : tentukan SOP dan POS nya
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
23
x y z x’y’z’ xy‘z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
SOP
SOP
POS
POS
POS
POS
POS
POS
CARA MENCARI SOP :
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1. Contoh
pada table tersebut ada pada :
x y z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
0 0 0 1
0 1 1 1
000 dan 011, maka :
f(x, y, z) = (x’y’z’) + (x’yz)
atau (dengan menggunakan lambang minterm) :
f(x, y, z) = m0 + m3 = (0,3)
mo
M7
M6
M5
M4
m3
M2
M1
Lihat yang hasilnya
bernilai 1
MENYATAKAN SOP & POS DARI FUNGSI BOOLEAN
Untuk menyatakan fungsi boolean SOP atupun POS dapat dilakukan dengan cara
melengkapi literalnya. Terdapat beberapa hukum aljabar boolean yang digunakan
dalam melengkapi literalnya.
1. Hukum Identitas :
(i) a + 0 = a
(ii) a . 1=a
2. Hukum Distributif :
(i) a + (b . c) = (a+b) . (a+c)
(ii) a . (b + c) = a . b + a. C
3. Hukum Komplemen :
(i) a + a‘ = 1
(ii) a . a = 0
4. Hukum De Morgan :
(i) (a + b)‘ = a‘. c‘
(i) (a . b)‘ = a‘ + b‘
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
20
CARA MENCARI POS :
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0. Contoh
pada table tersebut ada pada :
x y z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
001, 010, 100, 101, 110 dan 111, maka :
f(x, y, z) = (x+y+z’) + (x+y’+z) + (x’+y+z) + (x’+y+z’) + (x’+y’+z) + (x+y+z)
atau (dengan menggunakan lambang minterm) :
f(x, y, z) = M1 M2 M4 M5 M6 M7 = π (1,2,4,5,6,7)
Lihat yang
hasilnya bernilai 0
CONTOH
2. Nyatakan fungsi boolean f(a,b,c) = a + b’c dalam bentuk kanonik SOP dan POS !
PENYELESAIAN :
a. SOP (Sum Of Product)
Lengkapi literal fungsi booleannya dahulu :
f(a,b,c) = a + b’c
f(a,b,c) = ab + ab’+ b’c
f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’+ b’c
f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ b’c
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
25
a = a .1 Hukum Identitas = a . (b + b’) Hukum Komplemen = (a . b) + ( a . b’) Hukum Distributif = ab+ ab’
ab = ab .1 Hukum Identitas = ab . (c + c’) Hukum Komplemen = (a . b. c) + ( a . b . c‘) Hukum Distributif = abc + abc‘
ab‘ = ab‘ .1 Hukum Identitas = ab‘ . (c + c’) Hukum Komplemen = (a . b‘. c) + ( a . b‘ . c‘) Hukum Distributif = ab‘c + ab‘c‘
b‘c = b‘c .1 Hukum Identitas = b‘c . (a + a’) Hukum Komplemen = (a . b‘. c) + ( a‘ . b‘ . c) Hukum Distributif = ab‘c + a‘b‘c
CONTOH SOAL :
berdasarkan pengerjaan melengkapi literal diatas , maka diperoleh :
f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ ab’c + a’b’c
Sehingga diperoleh SOP :
f(a,b,c) = a + b’c
= abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ a’b’c
= m7+m6+m5+m4+m1
= Σ (1,4,5,6,7)
b. POS (Product Of Sum)
Lengkapi literal fungsi booleannya dahulu :
f(a,b,c) = a + b’c
f(a,b,c) = (a+b’)(a+c)
f(a,b,c) = (a+b’+c)+ (a+b’+c’)(a+c)
berdasarkan pengerjaan melengkapi literal diatas , maka diperoleh :
f(a,b,c) = (a+b’+c)+ (a+b’+c’)+ (a+b+c) + (a+b’+c)
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
26
NB . Jika terdapat satu suku yang bentuk literalnya sama, maka cukup dituliskan satu kali saja
a + b’c = a + (b’c)
= (a+b’)(a+c) Hukum Distributif
a+ b’ = a + b’ + 0 Hukum Identitas = a + b‘ + (c .c’) Hukum Komplemen = (a+b’+c) (a+b’+c’) Hukum Distributif
NB . Jika terdapat satu suku yang bentuk literalnya sama, maka cukup dituliskan satu kali saja
a+ c = a +c + 0 Hukum Identitas = a + c + (b .b’) Hukum Komplemen = (a+b+c) (a+b’+c) Hukum Distributif
Sehingga diperoleh POS :
f(a,b,c) = a + b’c
= (a+b’+c) + (a+b’+c’) + (a+b+c)
= M2.M3.M0
= π (0,2,3)
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
27
LATIHAN SOAL
Rubah kedalam bentuk kanonik SOP dan POS soal berikut :
1. f(x,y,z) = xy‘z+xyz‘+xyz
2. f(x,y,z) = xyz+x’y’z‘
3. f(a,b,c) = abc+bc‘
4. f(a,b,c) = a‘c+bc‘
5. f(a,b,c) = b+ac‘
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
28
I GERBANG LOGIKA
Aljabar Boole merupakan cabang ilmu matematika yang diperlukan untuk
mempelajari logika pada suatu sistem digital. Aljabar Boole pertama kali
dikembangkan oleh George Boole pada tahun 1847 untuk memecahkan
permasalahan logika matematika. Aljabar Boole banyak digunakan pada jaringan
yang hanya mengenal 2 keadaan – ex. Saklar. Beberapa jenis penggambaran saklar :
1. Saklar Terbuka (Nilai 0)
2. Saklar Tertutup (Nilai 1)
Dalam suatu saklar terdapat pula beberapa penggambaran rangkaian, yaitu :
1. Rangkaian Seri (AND)
2. Rangkaian Pararel (OR)
Suatu fungsi boolean yang diekspresikan dengan menggunakan AND, OR, NOT NOR,
NAND dan XOR dapat dengan mudah diimplementasikan kedalam bentuk gerbang
logika. Faktor utama dalam pembentukan gerbang logika adalah sebagai berikut :
1. Kemudahan pembentukan gerbang dengan komponen fisik
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
29
BAB VII
2. Pertimbangan ekonomis dalam fabrikasi komponen fisik
3. Kemungkinan perluasan gerbang dengan dua buah inputan atau lebih
4. Sifat-sifat dasar dari operator biner seperti komutatif dan asosiatif
Komutatif
A B = B A
A B = B A
Asosiatif
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
5. Kemampuan gerbang untuk mengimplementasikan fungsi boolean atau
konjungsi dengan gerbang-gerbang lainnya
Berikut simbol-simbol yang dapat digunakan dalam gerbang logika :
NAMA GERBANG SIMBOL PENULISAN FUNGSI ALJB
AND
Y = A . B
TABEL KEBENARAN
A B Y = A . B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
30
NAMA GERBANG SIMBOL PENULISAN FUNGSI ALJB
OR
Y = A + B
TABEL KEBENARAN
A B Y = A + B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
NAMA GERBANG SIMBOL PENULISAN FUNGSI ALJB
NOT
Y = A’
TABEL KEBENARAN
A Y = A‘
0 1
1 0
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
31
NAMA GERBANG SIMBOL PENULISAN FUNGSI ALJB
NAND
Y = (A. B)’
TABEL KEBENARAN
A B Y = A + B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
NAMA GERBANG SIMBOL PENULISAN FUNGSI ALJB
NOR
Y = (A + B)’
TABEL KEBENARAN
A B Y = (A + B)‘
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
32
NAMA GERBANG SIMBOL PENULISAN FUNGSI ALJB
XOR (Exclusive – OR)
Y = AB’ + A’B
TABEL KEBENARAN
A B Y = AB’ + A’B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
NAMA GERBANG SIMBOL PENULISAN FUNGSI ALJB
Exclusive – NOR
Y = AB + A’B’
TABEL KEBENARAN
A B Y = AB + A’B’
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
33
LATIHAN SOAL
Buat Gerbang Logika dari soal berikut:
1. f(x,y,z)= (x’+y’+z’)(x.y.z)(x’+y’+z)
2. (p q) (q r)
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
34
I METODE PETA KARNAUGH A. PENDAHULUAN
Suatu metode pemetaan dapat meminimisasi fungsi yang kompleks. Karnaugh
memperkenalkan Peta Karnaugh sebagai metode pemetaan untuk
meminimasisasi fungsi yang kompleks seperti suatu rangkaian logika digital yang
kompleks.
Peta Karnaugh digambarkan dengan kotak bujur sangkar. Setiap kotak
merepresentasikan minterm. Jumlah kotak bujur sangkar tergantung pada
jumlah variabel dari suatu fungsi boolean. Rumus untuk menentukan jumlah
kotak bujur sangkar dapat diketahui dengan menggunakan rumus :
Peta karnaugh dapat digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean hingga
lebih dari empat variabel,hanya pada modul ini saya hanya akan membahas
penyederhanaan menggunakan peta karnaugh hingga empat variabel saja.
B. PETA KARNAUGH DUA VARIABEL Peta Karnaugh dua variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean yang
terdiri dari dua buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk dua buah variabel :
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
35
BAB VIII
2𝑛 , dimana n merupakan jumlah variabel
Apabila : Suatu variabel bernilai 0 maka variable tersebut
diberikan tanda aksen
Terdiri dari 4 buah kotak bujur sangkar. Jumlah kotak di peroleh dari rumus 2𝑛 ,
dimana n merupakan jumlah variabel.
C. PETA KARNAUGH TIGA VARIABEL
Peta Karnaugh tiga variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean yang
terdiri dari tiga buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk tiga buah variabel :
Terdiri dari 8 buah kotak bujur sangkar. Jumlah kotak di peroleh dari rumus 2𝑛 ,
dimana n merupakan jumlah variabel. Perhatikan tabel bujur sangkar diatas,
aturannya berbeda dengan yang dua buah variabel, sehingga setelah m1
langsung m3 baru kemudian m2. Begitu pula baris selanjutnya m5-m7-m6.
Pengaturan tempat tersebut jangan sampai tertukar.
D. PETA KARNAUGH EMPAT VARIABEL
Peta Karnaugh empat variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean yang
terdiri dari empat buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk empat buah
variabel :
Terdiri dari 16 buah kotak bujur sangkar. Jumlah kotak di peroleh dari rumus 2𝑛 ,
dimana n merupakan jumlah variabel. Perhatikan tabel bujur sangkar diatas,
aturannya berbeda dengan yang dua buah tetapi hampir sama dengan tiga buah
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
36
variabel. Dapat dilihat di tabel sebelah kiri, aturan penulisan untuk empat buah
variabel. Sudah terlihat Perbedaannya ???
Sederhanakan fungsi boolean berikut menggunakan peta karnaugh : (study kasus 3 buah
variabel)
f(x,y,z) = x’y’z‘ + x’yz‘
Penyelesaian.
1. Buat Tabel kebenaran dari fungsi boolean tersebut
x y z x’y’z‘ x’yz‘ f(x,y,z) = x’y’z‘ + x’yz‘
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
2. Lihat hasil yang bernilai 1, kemudian konversikan menggunakan tabel
bujur sangkar peta karnaugh 3 buah varaibel
1 0 0 1
0 0 0 0
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
37
CONTOH SOAL
m0
m2
Konversikan menggunakan table 3
buah variable yang sebelah kanan
3. Sederhanakan, dengan melihat tabel 3 buah variabel yang sebelah kanan
(konversi ke tabel tersebut ). Untuk jenis variabel yang bentuknya (a‘ + a),
(b+b‘) ataupun jenis variabel lainnya dapat dihilangkan.
f(x,y,x) = x’y’z‘ + x’yz‘
f’(x,y,x) = x’z‘ + (y+y’)
f’(x,y,x) = x’z‘ (Hasil penyederhanaannya )
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
38
LATIHAN SOAL
Sederhanakan menggunakan peta Karnaugh soal berikut:
1. f(x,y)= (x’+y ) + (x’+y’)
2. f(x,y,z)= (x’+y’+z’)(x.y.z)(x’+y’+z)
3. f(a,b,c,d)= (a+b‘+c‘+d)(a.b.c.d)a’+b’+c+d)
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
39
DAFTAR PUSTAKA
Hendrowati, Retno. Hariyanto, Bambang. Logika Matematika. Informatika. 2002 Soesianto, F. Dwijono, Djoni. Logika Matematika untuk Ilmu Komputer. Andi. Logika Matematika, <http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika/> [diakses 19 Juni 2014]
Logika Matematika Oleh . Dwi Nurul Huda, ST
40