Upload
jakubmarciniak
View
56
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Rozdzia 2
Dynamika
Dynamika jest dziaem mechaniki opisujacym ruch ukadu materialnego
pod wpywem si dziaajacych na ten ukad.
Dynamika opiera sie na trzech zasadach Newtona:
1. Zasada bezwadnosci:
Punkt materialny, na ktry nie dziaaja zadne siy lub wszystkie
dziaajace nan siy znosza sie, pozostaje w spoczynku lub porusza
sie ruchem jednostajnym prostoliniowym wzgledem ukadu odniesienia.
Ukad odniesienia, w ktrym suszna jest ta zasada nazywamy i-
nercjalnym. Punkt w tym ukadzie nie moze udzielic sobie przyspieszenia.
2. W ukadzie inercjalnym zmiana ruchu punktu materialnego jest
proporcjonalna do siy dziaajacej i odbywa sie w kierunku dzia-
ania tej siy.
F = ma.
Rwnanie to jest podstawowym rwnaniem dynamiki.
3. Zasada akcji i reakcji.
Kazdemu dziaaniu towarzyszy rwne, lecz przeciwnie skierowane
przeciwdziaanie.
41
4. Pod wpywem ukadu si punkt materialny uzyskuje przyspiesze-
nie rwne sumie geometrycznej przyspieszen, jakie uzyskaby w
wyniku niezaleznego dziaania kazdej z si.
5. Zasada powszechnego ciazenia.
Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 dziaaja na siebie z sia
proporcjonalna do iloczynu tych mas, a odwrotnie proporcjonalnie
do kwadratu odlegosci tych mas
F = km1m2r2
,
gdzie k- staa grawitacji.
2.1 Zasada dAlemberta dla punktu
Wyobrazmy sobie, ze pchajac wzek nadajemy mu przyspieszenie a.
Dziaamy oczywiscie sia F = ma. Na podstawie trzeciej zasady wzek
przeciwdziaa z sia B = ma. (Pomijamy opory). Sia B nazywa sie
sia bezwadnosci lub sia dAlemberta.
Podobnie na kamien zawieszony na sznurku i poruszajacy sie po
okregu dziaa sia dosrodkowa Fr = man, a sia odsrodkowa jest sia
bezwadnosci, itp.
Stad wniosek, ze
F = B (akcja i reakcja)XFi + (ma) = 0.
Zasada dAlemberta
W ruchu punktu materialnego ukad si czynnych i reakcji wiezw rwnowazy
sie z pomyslana sia bezwadnosci.
XFi +
XRi + (ma) = 0
42
Przykad 1 Rozpatrzmy ruch masym zawieszonej na koncu liny rozwi-
jajacej sie z bebna. Szukamy napiecia liny.
G sia ciezkosci (czynna),
S sia napiecia nici (reakcja),
B sia bezwadnosci.
Rzutujac wszystkie siy na os liny mamy
S G+B = 0,
S mg +ma = 0,
S = m (g a) .
Gdy spadek ciaa bedzie swobodny, wwczas g = a i napiecie S = 0.
2.2 Ped masy
Zgodnie z druga zasada dynamiki mozemy napisac ruch ciaa:
ma =X
Fi.
Pamietajac jednak, ze
a =dvdt
mamyddt(mv) =
XFi.
Wielkosc mv = p nazywamy pedem lub iloscia ruchu punktu material-
nego.
Rwnaniedpdt=X
Fi
43
wyraza zasade pedu dla punktu materialnego. Pochodna pedu punktu
materialnego jest rwna sumie si dziaajacych na dany punkt.
Rwnanie powyzsze jest oglniejszym sformuowaniem drugiej zasady
dynamiki (jest prawdziwe w mechanice relatywistycznej).
Jezeli terazP Fi = 0, to p = 0 p = const. Jest to zasada
zachowania pedu dla punktu.
Jezeli na punkt materialny nie dziaaja zadne siy, to ped punktu
jest zachowany, jest stay.
2.3 Kret punktu materialnego
Kretem lub momentem pedu punktu materialnego wzgledem punktu O
nazywamy wektor rwny iloczynowi wektora poozenia r przez ped p
poruszajacego sie punktu.
Kodef.= r mv.
Skadowe kretu w ukadzie x, y, z:
Kox = m (yz zy) ,
Koy = m (zx xz) ,
Koz = m (xy yx) .
Zbadajmy zmiane kretu Ko w czasie
d Ko
dt=
drdtmv + r d
dt(mv) ,
d Ko
dt= v mv| {z }
=0
+ r ma,
d Ko
dt= Mo.
44
Powyzszy zwiazek wyraza zasade kretu punktu materialnego:
Pochodna wektora kretu wzgledem czasu jest rwna momentowi g
wnemu wszystkich si dziaajacych na dany punkt.
jezeli teraz Mo = 0, toKo = 0 Ko = const. Jest to zasada zachowa-
nia kretu punktu materialnego:
Jezeli moment gwny si dziaajacych na poruszajacy sie punkt jest
wzgledem jakiegos bieguna rwny zeru, to kret poruszajacego sie punktu
wzgledem tego bieguna jest zachowany, jest stay.
2.4 Dynamiczne rwnania ruchu punktu
Wychodzimy z wektorowej postaci
F = ma.
Uwzgledniajac
F = Fxi+ Fyj + Fzk,
a = xi+ yj + zk.
Mamy
mx = Fx, my = Fy, mz = Fz
lub
mx =X
Fix, my =X
Fiy, mz =X
Fiz.
Poniewaz sia w oglnym przypadku jest funkcja:
F = F (r,v, t)
45
stad oglna postac rwnan bedzie
mx = Fx (x, y, z, x, y, z, t)
my = Fy (x, y, z, x, y, z, t)
mz = Fz (x, y, z, x, y, z, t)
.
Sa to rzniczkowe rwnania drugiego rzedu. Konieczne jest dwukrotne
cakowanie i wwczas pojawi sie 6 staych cakowania (3 rwnania). Aby
te stae wyznaczyc konieczne sa warunki poczatkowe- musi ich byc tyle,
ile staych. Dla t = to mamy
x = xo, x = xo,
y = yo, y = yo,
z = zo, z = zo.
Wykorzystujac warunki poczatkowe otrzymujemy rozwiazania rwnan:
x = f1 (xo, yo, zo, xo, yo, zo, t)
y = f2 (xo, yo, zo, xo, yo, zo, t)
z = f3 (xo, yo, zo, xo, yo, zo, t)
Sa to kinematyczne rwnania ruchu.
46
2.5 Przykady cakowania rwnan ruchu
1. Ruch pod wpywem siy F = 0, z warunkami poczatkowymi: t =
0,r = vo, r = ro.
ma = 0,
mr = 0,r = 0,r = 0 + c,r = vo,
r = vot+ c1,
r = vot+ ro.
Jest to ruch jednostajny
2. Ruch pod wpywem staej siy F = const., z warunkami poczatkowymi:
t = 0,r = vo, r = ro.
mr = F ,r =
1
mF,
r =
1
mFt+ c,
r =
1
mFt+ vo,
r =1
2mFt2 + vot+ c1,
r =1
2mFt2 + vot+ ro.
Sa to wzory na ruch jednostajnie zmienny (przyspieszony lub
opzniony).
47
2.6 Drgania
2.6.1 Drgania swobodne punktu
Aby wystapiy drgania, punkt musi poruszac sie ruchem prostoliniowym
pod wpywem siy F przyciagajacej ten punkt do staego punktu O
zwanego srodkiem drgan.
Sia sprezystosci jest proporcjonalna do wychylenia punktu
F = kx, k- staa sprezystosci.
Rwnanie ruchu bedzie miao postac
mx = F,
mx = kx
lub
x+kmx = 0.
Oznaczmykm= 2.
Otrzymujemy rwnanie rzniczkowe drgan swobodnych
x+ 2x = 0, - czestosc ruchu.
Otrzymane rwnanie jest rwnaniem liniowym, jednorodnym drugiego
rzedu.
Rozwiazanie:
dokonujemy podstawienia x = et
2et + 2et = 0,
= .
48
Caka oglna
x = Aet +Bet.
Korzystajac z wzorw Eulera
sint =et et
2,
cost =et + et
2,
mamy
et = cost+ sint
et = cost sint.
Stad
x = A cost+A sint+B costB sint,
x = (A+B) cost+ (AB) sint.
Oznaczajac A+B = C1 oraz (AB) = C2, mamy
x = C1 cost+ C2 sint.
Podstawiamy C1 = a sin, C2 = a cos.
x = a sin cost+ a cos sint,
x = a sin (t+ ) - rozwiazanie (2.1)
Staa a- amplituda (maksymalne wychylenie), - faza poczatkowa ruchu,
drgan, (t+ )- faza drgan.
Ruch okreslony wzorem 2.1 jest okresowy o okresie
T =2,
=
rkm, T = 2
rmk
49
20151050
1
0.5
0
-0.5
-1
t
x
t
x
2.6.2 Drgania tumione
Drgania tumione wystepuja w osrodku stawiajacym opr. Siy oporu
sa proporcjonalne do predkosci
R = vx = x - sia tumiaca
Rwnanie ruchu:
mx = kx x
x+ 2nx+ 2x = 0
gdzie =q
km , 2n =
m .
Poniewaz rwnanie charakterystyczne jest kwadratowe, to moga zajsc 3
przypadki rozwiazan: > 0, = 0, < 0. Rwnanie charakterysty-
50
czne ma postac:
2 + 2n+ 2 = 0,
= 4n2 42 , = 2
pn2 2 ,
1 =2n 2
n2 2
2= n
pn2 2 ,
1 =2n+ 2
n2 2
2= n+
pn2 2
Rozpatrzmy przypadki
1. Mae tumienie > n < 0. Mamy rozwiazania zespolone
(podobnie jak przy drganiach swobodnych).
Rozwiazanie
x = entC1 cos
p2 n2t+C2 sin
p2 n2t
C1 = a sin
C2 = a cos
Ostatecznie
x = aent sinp
2 n2t+ .
Jezeli t, to x 0 - drgania zanikaja.
Okres
T =2
2 n2, t =
p2 n2
51
5037.52512.50
0.75
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
-0.75
x
y
x
y
2. Duze tumienie < n > 0. Mamy rozwiazania rzeczywiste-
nie bedzie drgan.
x = entC1e
n22t + C2e
n22t
.
Korzystajac z wzorw na funkcje hiperboliczne
cosh (kt) =ekt + ekt
2,
sinh (kt) =ekt ekt
2
oraz postepujac podobnie jak przy drganiach swobodnych mamy
C1 =B1 +B2
2,
C2 =B1 B2
2
x = entB1 cosh
pn2 2t
+B2 sinh
pn2 2t
.
52
Wprowadzajac
B1 = a sinh,
B2 = a cosh
otrzymujemy
x = aent sinhp
n2 2t+ .
Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgan.
3. Tumienie krytyczne = n = 0.Rozwiazanie
x = ent (C1 + C2t)
Tutaj rwniez mamy brak okresowosci- brak drgan.
2.6.3 Drgania wymuszone
Jezeli na punkt dodatkowo dziaa sia wymuszajaca okresowa- wys-
tepuja drgania wymuszone.
Sia wymuszajaca S = H sin (pt), gdzie p - czestosc siy wymuszajacej.
Rwnanie ruchu tych drgan
mx = kx+H sin (pt)
x+ 2x = h sin (pt)
=
rkm, h =
Hm.
Rozwiazanie tego rwnania skada sie z caki oglnej rwnania jednorod-
nego
x1 = a sin (t+ )
53
i caki szczeglnej rwnania niejednorodnego, ktra zakadamy tu w
postaci
x2 = B sin (pt) .
Staa B wyznaczamy wstawiajac x2 do rwnania drgan
Bp2 sin (pt) + 2B sin (pt) = h sin (pt) .
Stad
B =h
2 p2 .
Rozwiazanie ostateczne tych drgan
x = x1 + x2,
x = a sin (t+ ) +h
2 p2 sin (pt) .
Jest to zozenie dwch drgan: wasnych i wymuszonych.
Widzimy, ze amplituda drgan wymuszonych
B =h
2 p2
zalezy od czestosci drgan wymuszonych. Jezeli p , to B i
wystepuje rezonans.
W przypadku rezonansu rozwiazanie drgan bedzie miao postac
x = a sin (t+ ) h2
t cos (t)
54
21.510.50
5
3.75
2.5
1.25
p/w
|A|
p/w
|A|
302520151050
1
0.5
0
-0.5
-1
xx
2.7 Momenty bezwadnosci
Momentem bezwadnosci punktu materialnego wzgledem paszczyzny,
osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat
55
odlegosci tego punktu od paszczyzny, osi lub bieguna
I = mr2.
Momentem bezwadnosci ukadu punktwmaterialnych wzgledem paszczyzny,
osi lub bieguna nazywamy sume momentw bezwadnosci wszystkich
punktw wzzgledem tej paszczyzny, osi lub bieguna:
I =Xi
mir2i .
Jezeli teraz mamy brye i potniemy ja na elementy mi, to
Ii =Xi
r2imi.
W granicy dla osrodka ciagego otrzymujemy
I =ZVr2dm.
Kazdy moment bezwadnosci mozna przedstawic w posatci iloczynu
masy caego ukadum przez kwadrat pewnej odlegosci i zwanej promie-
niem bezwadnosci
I = mi2,
stad
i =
rIm.
Rwniez kazdy moment bezwadnosci mozna przedstawic w postaci
iloczynu pewnej masy mred przez kwadrat pewnej przyjetej odlegosci
k.
I = mredk2.
Stad
mred =Ik2.
56
W zaleznosci od tego, czy ukad jest linia, powierzchnia czy brya
okreslamy dm:
dm = ldl, dm = SdS, dm = dV,
I = l
Zlr2dl, I = S
ZSr2dS, I =
ZVr2dV.
1. Moment bezwadnosci wzgledem paszczyzny
Ixy =ZVz2dm, Iyz =
ZVx2dm, Izx =
ZVy2dm.
2. Moment bezwadnosci wzgledem osi ukadu
Ix =ZV
y2 + z2
dm, Iy =
ZV
z2 + x2
dm, Iz =
ZV
x2 + y2
dm.
3. Moment bezwadnosci wzgledem punktu (biegunowy)
IO =ZV
x2 + y2 + z2
dm
2.8 Momenty dewiacyjne
Mamy dwie paszczyzny i i punkt m1 odlegy o r1 i 1 od tych
paszczyzn. Momentem zboczenia punktu materialnego wzgledem paszczyzn
wzajemnie prostopadych nazywamy
D = m1r11.
Momentem zboczenia wzgledem dwch wzajemnie prostopadych paszczyzn
nazywamy wyrazenie
D =ZVrdm.
57
W ukadzie kartezjanskim
Dxy =ZVxydm,
Dyz =ZVyzdm,
Dzx =ZVzxdm.
Twierdzenie 2 (Twierdzenie Steinera) Moment bezwadnosci wzgle-
dem dowolnej osi jest rwny momentowi wzgledem osi rwnolegej prze-
chodzacej przez srodek masy powiekszonemu o iloczyn masy cakowitej
ukadu przez kwadrat odlegosci obu osi.
Il = Is +md2.
Dowd. Wzgledem osi l
Rysunek 2-1:
Il =X
mir02i ,
58
Wzgledem osi s
Is =X
mir2i .
Miedzy r0i i ri zachodzi zaleznosc
r02i = r2i + d
2 + 2dri cosi = r2i + d2 + 2dxi.
Stad
Il =X
mir2i +X
mid2 +X
2mixi,
Il = Is +md2 + 2dX
mixi,
Il = Is +md2 + 2dZVxdm,
gdzieRV xdm jest momentem statycznym.
Poniewaz punkt S jest srodkiem masy, toRV xdm = 0. Otrzymujemy
zatem
Il = Is +md2.
2.9 Moment bezwadnosci wzgledem osi nachy-
lonej dowolnie wzgledem osi ukadu
Zakadamy znajomosc momentw Ix, Iy, Iz oraz Dxy, Dyz, Dzx.
Z rysunku mamy
r = sin,
r2 = 2 sin2 = 2 2 cos2 .
Rzut promienia na os l jest rwny sumie rzutw skadowych tego
59
Rysunek 2-2:
60
promienia na ta os
cos = x cos+ y cos + z cos .
Stad
r2 = 2 (x cos+ y cos + z cos )2 .
Uwzgledniajac, ze
2 = x2 + y2 + z2
i
cos2 + cos2 + cos2 = 1
otrzymujemy
r2 = x2 + y2 + z2 x2 cos2 + y2 cos2 + z2 cos2
2xy cos cos 2yz cos cos 2zx cos cos
= x2cos2 + cos2
+ y2
cos2 + cos2
+ z2
cos2 + cos2
2xy cos cos 2yz cos cos 2zx cos cos.
Grupujac wzgledem cosinusw
r2i =y2 + z2
cos2 +
z2 + x2
cos2 +
x2 + y2
cos2
2xy cos cos 2yz cos cos 2zx cos cos.
Poniewaz moment bezwadnosci wzgledem osi
I =ZVr2dm,
to otrzymujemy
I = Ix cos2 + Iy cos2 + Iz cos2
2Dxy cos cos 2Dyz cos cos 2Dzx cos cos.
61
2.10 Elipsoida bezwadnosci
Rysunek 2-3:
Na osi l odkadamy odcinek OQ (os ta moze sie zmieniac w przestrzeni
bo liczymy I dla caego peku osi)
Okreslamy OQ co do dugosci
OQ =kI
Okreslamy miejsce geometryczne punktw Q
x = OQ cos, y = OQ cos, z = OQ cos ,
cos =xI
k, cos =
yI
k, cos =
zI
k.
Wstawiajac to do wzoru na moment I mamy
Ixx2 + Iyy2 + Izz2 2Dxyxy 2Dyzyz 2Dzxzx = k2
62
Jest to rwnanie elipsoidy bezwadnosci.
Elipsoida bezwadnosci nazywamy miejsce geometryczne punk-
tw, ktrych odlegosci od poczatku ukadu sa odwrotnie proporcjon-
alne do pierwiastka z momentu bezwadnosci wzgledem osi przechodzacej
przez dany punkt i poczatek ukadu.
Mozna tez przyjac ukad wsprzednych taki, ze D = 0. Wtedy
I1x2 + I2y2 + I3z2 = k2,
gdzie I1,2,3 - gwne momenty bezwadnosci.
Osie gwne D = 0,
Osie centralne gwne- gwne przez srodek masy,
Osie gwne- to osie elipsoidy.
2.10.1 Poozenie osi gwnej
Takimi osiami sa:
1. kazda os symetrii,
2. kazda prosta do paszczyzny symetrii,
3. kazda prosta, na ktrej leza srodki mas warstw elementarnych,
otrzymanych przez podzia ciaa paszczyznami prostopadymi do
tej prostej.
2.11 Praca, energia, moc, pole si
Jesli na jakis punkt dziaa sia P i punkt przesuwa sie o s, to mwimy,
ze P wykonaa prace
L = P s = Ps cos.
63
W ukadzie wsprzednych
L = P s = Pxsx + Pysy + Pzsz
Zazmy teraz, ze na punkt dziaa sia wypadkowa
P =X
Pi,
L = P s =X
Pi s = P1 s+ P2 s+ ...
Wynika stad twierdzenie, ze praca wypadkowej rwna jest sumie prac
poszczeglnych si.
Wezmy teraz pod uwage prace elementarna siy na uku ds
dL = Pds cos
Poniewaz
|dr| = ds,
to
dL = P |dr| cos = P dr
Stad
dL = Pxdx+ Pydy + Pzdz
Aby wyznaczyc caa prace wykonana na uku\A1A2 trzeba dL scakowac
L =Z\A1A2
P dr =Z\A1A2
Pxdx+ Pydy + Pzdz
Praca jest rwna cace krzywoliniowej po uku\A1A2. Sia P jak wiemy
moze byc postaci P = P (r,v, t). Jezeli dane sa rwnania ruchu r =
64
r (t), tzn.
x = x (t) ,
y = y (t) ,
z = z (t) .
Wwczas
dx = x0dt,
dy = y0dt,
dz = z0dt.
Stad
L =Z t2t1(Pxx+ Pyy + Pz z) dt =
Z t2t1
P vdt
W szczeglnym przypadku, jesli sia P zalezy tylko od poozenia punktu
A na torze, wwczas miare rzutu siy na styczna P cos mozna wyrazic
od wsprzednej ukowej (dugosci uku) s:
L =Z s2s1
P cosds
Prace wykonana przez sie w jednostce czasu nazywamy moca siy
M =dLdt= P dr
dt= P v,
M = P v = Pv cos.
Jednostki pracy i mocy
1. 1J = 1Nm = 1kg m2
s2 = 107 ergw
2. 1W = 1Js
3. 1kGm = 1kG 1m = 9.81J
65
4. 1kGms
1kM = 75kGms
= 75 9.81Js= 736W
2.12 Przykady obliczania pracy si
1. Praca siy ciezkosci
L =Z\A1A2
Pxdx+ Pydy + Pzdz,
Px = Py = 0, Pz = mg
L = mgZ\A1A2
dz = mg (z1 z2) = mgh
2. Praca siy sprezystej
Px = kx
dL = Pxdx = kxdx
L = kZ x2x1
xdx =k2
x21 x22
3. Praca siy centralnej
Sia centralna to sia, ktrej kierunek bez wzgledu na punkt przyoze-
nia przechodzi przez ten sam punkt. Punkt przyozenia nazywa
sie srodkiem si centralnych (przyciaganie- odpychanie)
Zgodnie z zaozeniem mamy
P = P (r)
dL = P (r) cosds
66
Z trjkata AA0A znajdujemy
dr = AA = ds cos ( ) ds cos
Stad
dL = P (r) dr,
dL = Z r2r1
P (r) dr
Wynika stad, ze praca siy centralnej nie zalezy od drogi, lecz od
odlegosci od punktu.
2.13 Praca si i praca w polu si
Jezeli w kazdym punkcie pewnego obszaru dziaa sia zalezna od r i t,
P = P (r, t), to mwimy, ze w tym obszarze jest okreslone pole si.
Jesli siy te sa niezalezne od czasu, to pole jest stacjonarne. Wwczas
P = P (r)
Px = Px (x, y, z) , Py = Py (x, y, z) , Pz = Pz (x, y, z) .
Praca w tym polu si
L =ZA1A2
[Px (x, y, z) dx+ Py (x, y, z) dy + Pz (x, y, z) dz]
Na og praca ta zalezy od drogi.
Istnieja jednak pola, w ktrych praca zalezy jedynie od skrajnych poozen.
Tego typu pole nazywamy zachowawczymi lub potencjalnymi.
W polu potencjalnym mozna zdefiniowac pewna funkcje skalarna za-
67
lezna od poozenia zwana potencjaem pola:
P = gradV,
Px = Vx
, Py = Vy
, Pz = Vz
.
dL = Pxdx+ Pydy + Pzdz = Vx
dx+Vy
dy +Vz
dz= dV,
L = ZA1A2
Vx
dx+Vy
dy +Vz
dz=
ZA1A2
dV = V1 V2,
gdzie Vi, i = 1, 2- potencja w punkcie i.
Praca zatem nie zalezy od toru, czyli w tym polu
L =I
P dr = 0.
Warunki istnienia potencjau
Pxy
= 2V
xy,
Pyx
= 2V
yx,
Pxy
=Pyx
Podobnie uzyskujemy dalsze dwa warunki
Pxz
=Pzx
,
Pyz
=Pzy
.
Warunki powyzsze wynikaja z warunkw koniecznych i wystarczajacych
na to, by wyrazenie podcakowe byo rzniczka zupena. W polu po-
tencjalnym wyrazenie to, dzieki potencjaowi, jest rzniczka zupena.
Jesli V (x, y, z) jest potencjaem pola, to funkcja
V 0 = V (x, y, z) +C
68
jest rwniez potencjaem (staa addytywna C peni role poziomu odniesienia).
Praca jest jednak rznica potencjaw, wiec
L = V1 V2 = V 01 V 02
Powierzchnia ekwipotencjalna
V (x, y, z) = a = const.
2.14 Rotacja pola si
Jezeli pole si jest polem wirowym, wwczas mozna wprowadzic pewna
funkcje wektorowa F , ze
rot F =
i
j
k
x
y
z
Px Py Pz
Pole jest wirowe jesli rot F 6= 0 nie jest polem potencjalnym, np. polesi wirujacej lepkiej cieczy, pole magnetyczne, itp. Linie si tego pola sa
okregami. Jesli pole jest potencjalne, to rot F = 0.
2.15 Przykady zachowawczych pl si
1. Jednorodne pole si ciezkosci
P = mg
Px = Py = 0, Pz = mgVx
= Px = 0,Vy
= Py = 0,Vx
= Px = mg.
Stad
V = mgz + C
69
Powierzchnie ekwipotencjalne- paszczyzny
L = V1 V2 = mg (z1 z2)
2. Potencja siy sprezystej
Px = cx, V = V (x)dVdx
= Px = cx
V =1
2cx2
3. Pole si centralnych- przyciaganie
P = P (r)
Px = P (r)xr, Py = P (r)
yr, Pz = P (r)
zr,
r =px2 + y2 + z2.
Potencjaem jest funkcja
V =ZP (r) dr
L = V0 V =Z
Vx
dx+Vy
dy +Vz
dz
=
Z Vr
rx
dx+Vr
ry
dy +Vr
rz
dz
=
ZVr
dr
Vx
=Vr
rx
= P (r)xp
x2 + y2 + z2= P (r)
xr= Px
70
Podobnie
Vy
= Py,
Vz
= Pz.
4. Pole si ciazenia
P = kMmr2
,
V =ZPdr = kMm
Zdrr2= kMm
r+ C,
V = kMmr
.
Rozpatrzmy ruch punktu
m..r = P
Obliczamy prace wykonana miedzy punktami A i B toru przez sie P
LAB =ZdAB P dr
LAB =ZdABm
..r dr =
ZdABm
..r
.rdt =
Z .r2.r1
m.r d
.r
=
Z v2v1
mv dv = 12mv2
v2v1
=1
2mv22
1
2mv21
Wyrazenie 12mv2- energia kinetyczna
LAB = TB TA
Zasada rwnowaznosci pracy i energii kinetycznej:
Praca wykonana przez siy dziaajace na punkt przy przesunieciu tego
71
punktu z poozenia A do poozenia B jest rwna przyrostowi energii
kinetycznej punktu
Praca w polu potencjalnym jest rwna rznicy potencjaw tego
pola si
LAB = VA VB
Z ostatnich dwch wzorw
TB TA = VA VB,
TB + VB = TA + VA
Zasada zachowania energii mechanicznej
W zachowawczym polu si suma energii kinetycznej i potencjalnej jest
staa.
Przykad ruchu w zachowawczym polu si
Ruch punktu A po krzywej w jednorodnym polu si ciezkosci. Dzi-
aaja duze siy mg i N reakcja normalna do krzywej (nie wykonuje
pracy)
T =mv2
2, T0 =
mv202
,
V = mgz, V0 = mgz0
Z zasady zachowania energii
mv2
2+mgz =
mv202+mgz0
Stad
v =qv20 + 2g (z0 z) =
qv20 + 2gh
Predkosc na torze nie zalezy od ksztatu toru, tylko od rznicy poziomw
i predkosci poczatkowej
72
2.16 Ruch srodka masy ukadu punktw
Rozpatrzmy ruch ukadu n punktw materialnych
m1r1 = P 01
m2r2 = P 02...
mnrn = P 0n
miri = P 0i
P 0i = Pi + Wi,
gdzie Pi - siy zewnetrzne,
Wi- siy wewnetrzne
Dodajemy stronami pierwsze rwnaniaPimi
ri =
PiP 0i
inaczej
Xi
mid2ridt2
=Xi
Pi +Xi
Wi
Xi
mid2ridt2
=d2
dt2Xi
miri
Srodek masy okreslony jest nastepujaco
r0 =P
imiriM
stad Xi
mid2ridt2
=d2
dt2(Mr0) =M
r0
Zgodnie z III zasada NewtonaP
iWi = 0 poniewaz wystepuja parami.
Stad ostatecznie
Mr0 =
Xi
Pi
73
Twierdzenie 3 (o ruchu srodka masy ukadu punktw materialnych)
Srodek masy porusza sie jak punkt materialny, w ktrym skupiona jest
cakowita masa ukadu i na ktry dziaaja wszystkie siy zewnetrzne.
2.17 Ped ukadu punktwXi
mid2ridt2
=ddt
Xi
midridt=
ddt
Xi
mivi =dQdt
gdzie Q =P
imivi- ped ukadu.
dQdt=Xi
Pi- zasada pedu
Zasada zachowania pedu. Jezeli na ukad nie dziaaja zadne siy, to ped
ukadu jest stay
Xi
Pi = 0dQdt= 0 Q = const.
2.18 Kret ukadu punktw materialnych
Kretem ukadu punktw materialnych wzgledem srodka S nazywamy
KS =nXi=1
i (mivi)
Twierdzenie 4 (Zasada zachowania kretu) Pochodna wzgledem czasu
kretu ukadu obliczonego wzgledem punktu nieruchomego S lub wzgledem
srodka masy rwna jest sumie momentw si zewnetrznych dziaajacych
na ukad obliczonych wzgledem punktu S lub srodka masy.
Dowd. W ukadzie wsprzednych obieramy punkt S
Wzgledem punktu S kret ukadu wynosi
KS =nXi=1
i (mivi)
74
d KSdt
=ddt
nXi=1
i (mivi)
=nXi=1
didt (mivi) +
nXi=1
i (miai)
ale i = ri rS . Stad
didt=
ri
rS = vi vS
vi- predkosc i-tego punktu, vS- predkosc punktu S. Ponadto wiemy, ze
miai = Pi + Wi
Stad
d KSdt
=nXi=1
vi (mivi)nXi=1
vS (mivi) +nXi=1
i Pi + Wi
= vS
ddt
nXi=1
miri
!+
nXi=1
i Pi +nXi=1
i Wi
vS ddt
nXi=1
miri
!= vS ddtMr0 = vS Mv0
v0- predkosc srodka masy.Pni=1i Wi = 0. Stad
d KSdt
= vS Mv0 +nXi=1
i Pi
Jezeli S jest punktem nieruchomym, to vS = 0 i pierwszy czon =
0. Jezeli vS = v0 to S jest srodkiem masy. Wtedy v0 Mv0 = 0.Otrzymujemy zatem
d KSdt
=nXi=1
i Pi
75
Zasada zachowania kretu. Jezeli na ukad punktw nie dziaaja
zadne momenty si zewnetrznych wzgledem punktu S, to kret ukadu
wzgledem punktu S jest stay
MS =nXi=1
i Pi = 0d KSdt
= 0 KS = const.
Wezmy teraz ciao materialne, ktre obraca sie wzgledem pewnej osi
z predkoscia katowa .
v = h
h- jest ramieniem pedu elementu dm czyli vdm.
dK0 = h v dm = h2dm
K0 =Zh2dm =
Zh2dm
K0 = IL
2.19 Energia kinetyczna ukadu punktw
Energia kinetyczna ukadu punktw jest rwna sumie energii poszczegl-
nych punktw
T =X miv2i
2
W ruchu postepowym predkosci wszystkich punktw sa jednakowe wiec
T =v2
2
Xmi =
mv2
2
2.19.1 Energia kinetyczna w ruchu obrotowym ciaa sz-
tywnego
predkosc v = h
dT =1
2v2dm =
1
22h2dm
76
Stad
T =1
2
Zv2dm =
1
2
Z2h2dm =
1
22Zh2dm =
1
2IL2
Twierdzenie 5 (Koeniga) Energia kinetyczna ukadu punktw mate-
rialnych rwna jest sumie energii kinetycznej, jaka miaby punkt mate-
rialny o masie caego ukadu, poruszajacy sie z predkoscia srodka masy
oraz energii kinetycznej tegoz ukadu wzgledem srodka masy.
Rozpatrzmy ruch ukadu wzgledem staego ukadu. Wiazemy na
stae z ukadem punktw ukad C, x0, y0, z0. Predkosc dowolnego
punktu o masie mi wynosi
vi = v0i + vC
v2i = vi vi = v2i
v2i = v2i =
v0i + vC
2= v2C + 2v
0i vC + v02i
= v2C + 2v0i vC + v02i
Stad
T =X miv2i
2
=1
2
Xmiv2C + 2v
0i vC + v02i
=
1
2v2CX
mi + vC X
miv0i +Xmiv02i
2
WyrazenieP
miv0i - ped ukadu w jego ruchu wzgledem ukadu C, x0, y0, z0.
Ped ten jest rwny 0, bo ukad jest sztywno zwiazany z primowanym
ukadem wsprzednych Xmiv0i = 0
77
Stad
T =1
2mv2C +
X miv02i2
Jezeli badamy energie kinetyczna bryy, to energia kinetyczna wzgle-
dem srodka masy wynosi
T 0 =1
2IL2
Stad
T =1
2mv2C +
1
2IL2
2.19.2 Praca w ruchu obrotowym
dL = Pds
dL = Phd
dL = Mld
L =Z 21
Mld
2.20 Ruch postepowy ciaa sztywnego
Rwnania ruchu jak dla punktu.
Ped bryy
Q = mvC
Kret bryy- brya sie nie obraca wzgledem srodka masy stad KC = 0.
Praca: L =RdAB P dr.
Energia kinetyczna T = 12mv2C
78
2.21 Ruch obrotowy ciaa sztywnego
Rwnania ruchu
dKZdt
=X
MiZ
KZ = IZ
d (IZ)dt
=X
MiZ
IZddt
=X
MiZ
IZ =X
MiZ
IZ =X
MiZ- rwnanie ruchu bryy
Rozwiazanie rwnania ruchu IZ =P
MiZ :
=MZ2IZ
t2 + 0t+ 0
Ped bryy.
Poniewaz w ruchu obrotowym srodek masy jest w spoczynku (os prze-
chodzi przez srdek masy), to ped Q = 0.
Kret bryy: KZ = IZ.
Praca: L =R 21
Mld.
Energia kinetyczna: 12IZ2.
79
2.22 Wahado matematyczne
Mz = mgl sin
ml2 = mgl sin
+mlml2
g sin = 0
+glsin = 0
2.23 Wahado fizyczne
Wahadem fizycznym nazywamy swobodnie obracajace sie ciao mate-
rialne wzgledem staego punktu.
Uzmy rwnanie ruchu
Mz = F yMz = mgs sin
Iz = mgs sin
+msIz
g sin = 0
Porwnujac to rwnanie z wahadem matematycznym
+glsin = 0
otrzymujemy
lred =Izms
dugosc zredukowana
Okres wahada
T = 2
slg 2
slredg= 2
sIzmgs
.
80
Rozwiazanie
= A cos (t+ 0) .
2.24 Reakcje dynamiczne
= const.
RA, RB reakcje dynamiczne
Korzystamy z zasady dAlemberta
Siy odsrodkowe (bezwadnosci) musza sie rwnowazyc z siami reakcji.
Rwnania beda
RAx +RBx + 2Zxdm = 0
RAy +RBy + 2Zydm = 0
rwnania si
RByl 2Zyzdm = 0
RBxl + 2Zxzdm = 0
momenty
Oznaczajac
Zxdm = mxc,
Zydm = myc,Z
yzdm = Dyz,Zxzdm = Dxz
mamy
RAx +RBx + 2mxc = 0
RAy +RBy + 2myc = 0
RByl + 2Dyz = 0
RBxl + 2Dxz = 0
81
stad
RBx = 2Dxzl
RBy = 2Dyzl
RAx = 2Dxzlmxc
RAy = 2
Dyzlmyc
RA =qR2Ax +R
2Ay
RB =qR2Bx +R
2By
Reakcje znikaja tylko wtedy, gdy
xc = 0, yc = 0, Dxz = 0, Dyz = 0.
Aby reakcje dynamiczne byy rwne zeru os obrotu musi byc centralna
gwna osia bezwadnosci.
Jesli os obrotu jest centralna osia, wwczas w ozyskach dziaaja pary
si:
xc = 0, yc = 0 =
RAx = RBx = 1lDxz2
RAy = RBy = 1lDyz2.
Przykad
Poniewaz paszczyzna Oxz jest paszczyzna symetrii krazka, wiecDyz =
0 (tyle samo masy po obu stronach paszczyzny), stad
RAy = RBy = 0.
Osie x, y sa obrcone o kat w stosunku do gwnych osi bezwadnosci
1, 2. Nalezy wyznaczyc moment Dxz.
82
Wyprowadzenie wzoru oglnego.
= x cos+ y sin
= x sin+ y cos
= z
I = Ix cos2 + Iy sin2 Dxy sin 2, = , =2 , =
2
I = Ix sin2 + Iy cos2 Dzy sin 2, = +2, = , =
2
D =Zdm =
Z(x cos+ y sin) (x sin+ y cos) dm =
=cos2 sin2
Zxydm+ sin cos
Zy2dm
Zx2dm
.
Zxydm = Dxy
i
Zy2dm
Zx2dm =
Z y2 + z2
dm
Z x2 + z2
dm = Ix Iy
czyli mamy
D = Dxy cos 2+1
2(Ix Iy) sin 2.
Jesli przyjmiemy, ze teraz Ix = I1 i Iy = I2 sa momentami gwnymi
(x, y - osie gwne), to Dxy = 0, stad
D =1
2(I1 I2) sin 2.
W naszym przypadku jest
Dxz =1
2(I1 I2) sin 2
83
stad
RAx = RBx =1
2l(I1 I2)2 sin 2.
2.25 Ruch paski bryy
Zbadajmy ped i kret bryy w ruchu paskim
dpdt
=X
Fi
p = pcdpcdt
=X
Fi
dKzdt
=X
Miz
pc = mrc = mvc
Kz = Izz
stad
mrc =
P FiIz =
PMiz
rwnania ruchu paskiego
Energia kinetyczna w ruchu paskim
T =1
2mv2c +
1
2Iz2.
84