DZ1 - Nesimetricna nadstresnica

NESIMETRINA NADSTRENICA P3/1

Projektovanje i graenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEBE

Primer 3. Za neko srednje polje konstrukcije prikazane na skici desno (razmak stubova l=6.0 m) potrebno je:

1. dimenzionisati POS 1a, POS 1b (ploe su iste debljine dp = 20 cm);

2. dimenzionisati gredu POS 2 u karakteristinim presecima. Dimenzije grede odrediti tako da napon smicanja usled dejstva momenta torzije bude maksimalno 4tr;

3. dimenzionisati stub POS S prema merodavnim uticajima. Usvojiti da je visina stuba ds jednaka irini grede POS 2, dok je irina stuba bs = 25 cm.

Pored sopstvene teine svih elemenata, konstrukcija je optereena dodatnim stalnim optereenjem (sloje-vi krova) Dg = 2 kN/m2 i povremenim optereenjem p = 5 kN/m2, koja deluju na plou POS 1a, POS 1b. Povremeno optereenje p ne mora istovremeno de-lovati na POS 1a, POS 1b. Usvojeni kvalitet materi-jala: MB 30, RA 400/500.

Nacrtati sve usvojene poprene preseke sa svim neophodnim kotama i oznakama. Prikazati emu armiranja ploe i grede u osnovi, odnosno podunom preseku.

1. PRORAUN PLOE POS 1

1.1 ANALIZA OPTEREENJA ZA POS 1A, POS 1B stalno optereenje

- sopstvena teina ploe 0.2025 = 5.0 kN/m2

- slojevi, izolacije Dg = 2.0 kN/m2

ukupno stalno optereenje g = 7.0 kN/m2

povremeno optereenje

ukupno, povremeno optereenje p = 5.0 kN/m2

1.2 DIMENZIONISANJE POS 1A Mg = 7.03.02 / 2 = 31.5 kNm/m ; Mp = 5.03.02 / 2 = 22.5 kNm/m

Tg = 7.03.0 = 21.0 kN/m ; Tp = 5.03.0 = 15.0 kN/m

Mu = 1.631.5 + 1.822.5 = 90.9 kNm/m

MB 30 fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 sv = 400 MPa = 40.0 kN/ cm2

pretp. a1 = 3 cm h = 20 - 3 = 17 cm ; b = 100 cm = 1.0 m

553.2

05.2100109.90

17k2

=

= eb/ea = 2.825/10 ; m = 16.826%

L1 = 3.0 m

POS 2

POS 1a

POS S

L2 = 2.0 m

POS 1b

ds

Dg, p



4005.2

10017100826.16A .potr,a

= = 14.66 cm2/m

pretp. 14 (aa(1) = 1.54 cm2) 66.1454.1100

Aa100e

.potr,a

)1(a

a

=

= = 10.5 cm

usvojeno: 14/10 (15.40 cm2/m) Aap = 0.214.66 = 2.93 cm2/m

pretp. 10 (aa(1) = 0.785 cm2) 93.2785.0100

Aa100e

.potr,ap

)1(a

ap

=

= = 26.8 cm

usvojeno: 10/25 (3.14 cm2/m)

1.3 DIMENZIONISANJE POS 1B Mg = 7.02.02 / 2 = 14.0 kNm/m ; Mp = 5.02.02 / 2 = 10.0 kNm/m

Tg = 7.02.0 = 14.0 kN/m ; Tp = 5.02.0 = 10.0 kN/m

Mu = 1.614.0 + 1.810.0 = 40.4 kNm/m

829.3

05.2100104.40

17k2

=

= eb/ea = 1.475/10 ; m = 7.151%

4005.2

10017100151.7A .potr,a

= = 6.23 cm2/m

pretp. 14 (aa(1) = 1.54 cm2) 23.654.1100

Aa100e

.potr,a

)1(a

a

=

= = 24.7 cm

usvojeno: 14/20 (7.70 cm2/m) Aap = 0.26.23 = 1.25 cm2/m < Aap,min = 0.08520 = 1.70 cm2/m

pretp. 8 (aa(1) = 0.503 cm2) 7.1503.0100

Aa100e

.potr,ap

)1(a

ap

=

= = 29.6 cm

usvojeno: 8/25 (2.01 cm2/m)

2. PRORAUN GREDE POS 2 Greda je statikog sistema kontinualnog nosaa preko vie oslonaca. Kada broj polja nije preciziran, nego se koristi termin "neko srednje polje", podrazumeva se da je broj oslonaca vei od pet, pa se za statiki sistem srednjeg polja usvaja obostrano ukljetena greda1 ("K" tap), raspona jednakog razmaku stubova, tj. l = 6.0 m.

Greda je, pored sopstvene teine, optereena i stalnim i povremenim optereenjem od ploe POS 1a, 1b. Dimenzije grede e biti odreene iz zadatog uslova koji se odnosi na naprezanje momentima torzije. Optereenje sa ploe je prikazano na narednim emama.

1 Uporediti vrednosti oslonakih momenata nad srednjim osloncima (svima osim najbliih krajnjim, slobodnim osloncima) u tablicama za statike uticaje kontinualnih nosaa jednakih pojedinanih raspona, optereenih jednako raspodeljenim optereenjem istovremeno u svim poljima, kao i reakcije tih oslonaca



2.1 STALNO OPTEREENJE SA POS 1A, POS 1B - raspodeljeni moment torzije koji deluje na gredu POS 2 je RAZLIKA momenata savi-

janja na ploama POS 1a i POS 1b

m/kNm5.17145.31MMm )b1(g)a1(

g)2(

Tg =-=-=

L1 = 3.0 m

Mg

Tg

L2 = 2.0 m

POS 1a POS 1b

14g(2

)m

(2)

Tg

g = 7.0 kN/m2 g = 7.0 kN/m2

21.0

31.5

14

14

21

14.0

A A A

L1 = 3.0 L2 = 2.0

S.T.POS 2

31.5 14.0

- raspodeljeno optereenje koje deluje na gredu POS 2 je RAZLIKA transverzalnih sila

na ploama POS 1a i POS 1b

m/kN0.35)21(14TTg )a1(g)b1(

g)2( =--=-=

2.2 POVREMENO OPTEREENJE SA POS 1A, ODNOSNO POS 1B Kako povremeno optereenje ne mora delovati istovremeno na oba dela ploe, i analiza optereenja za POS 2 se sprovodi posebno, za dva mogua sluaja:

2.2.1 POVREMENO OPTEREENJE SA POS 1A

m/kN0.15)0.15(0TTp

m/kNm5.2205.22MMm)a1(

p)b1(

p)2(

1

)b1(p

)a1(p

)2(1Tp

=--=-==-=-=

15.0

A A A

L1 = 3.0 L2 = 2.0

22.5

p = 5 kN/m2

p(2) 1

m(2

)Tp

1

POS 1bPOS 1a

Mp1

Tp1

0

0

3.0 m 2.0 m

22.5

15

2.2.2 POVREMENO OPTEREENJE SA POS 1B

m/kN0.10010TTp

m/kNm0.10100MMm)a1(

p)b1(

p)2(

2

)b1(p

)a1(p

)2(2Tp

=-=-=-=-=-=



L1 = 3.0 m L2 = 2.0 m

POS 1a POS 1bA A A

L1 = 3.0 L2 = 2.0

p(2) 2

m(2

)Tp

2

Tp2

Mp2

0

0

p = 5.0 kN/m2

10

10

10.010.0

2.3 ODREIVANJE DIMENZIJA POS 2 Kao to je redovno sluaj kod elemenata koji su napregnuti, izmeu ostalog, i momentima torzije, dimenzije poprenog preseka grede POS 2 se odreuju uslova da maksimalni nominalni napon smicanja tn ne prekorai doputenu vrednost 5tr. Pritom se ostavlja "rezerva" za napon usled dejstva transverzalne sile, pa je ovde usvojeno:

2r)M(n cm/kN44.04T =t=t

Dijagrami momenata torzije usled stalnog optereenja, odnosno povremenog optereenja koje deluje na POS 1a i POS 1b su dati u nastavku.

6.0 m

mTg = 17.5 kNm/m

MTg

6.0 m

mTP1 = 22.5 kNm/m

MTp1

6.0 m

mTp2 = 10 kNm/m

MTp2

30

30

67.5

67.5

52.5

52.5

stalno opt. povremeno opt.sa POS 1a

povremeno opt.sa POS 1b

Jasno je da se maksimalni moment torzije u gredi POS 2 javlja pri dejstvu stalnog optereenja i povremenog optereenja koje deluje SAMO na POS 1a. Sledi:

max.MTu = 1.652.5 + 1.867.5 = 205.5 kNm

r2

00b

TuMn 4cm/kN44.0A2

MT t==

d=t

( ) ( )a2da2bdbA 000b --==

( ) ( )8

a2d,a2b.min8

d,b.min8

d 00m0

--===d

Treba podsetiti da veliina a predstavlja rastojanje teita podune torzione armature u odnosu na najbliu ivicu preseka. S obzirom na oekivani prenik uzengija (10, 12) i



podune armature (retko preko 14), kao i minimalnu debljinu zatitnog sloja od 2.5 cm (umereno agresivna sredina), oekivana vrednost veliine a je 4.0 do 4.5 cm. pretpostavljeno: a = 4 cm, b d:

( ) ( ) ( ) ( )8d8b42d42bA 0b --=--=

( ) ( )

44.0

88b8d8b2

105.2058

8b 20 =-

--

-=d

( ) ( ) 32

2 cm18681844.02

105.20588d8b =

=--

Iz poslednjeg izraza, za razliite pretpostavljene vrednosti b, sledi:

b d usv. d 1 50 113.9 115 2 55 92.6 95 3 60 77.1 80 4 65 65.5 70

Od nekoliko predloenih, usvojen je presek dimenzija 60/80 cm. Valja primetiti da je u prethodnim izrazima koriena oznaka b za MANJU dimenziju preseka, ali je nosivost u odnosu na moment torzije ista bilo da je presek "uspravan" ili "poloen", odnosno da ta dimenzija predstavlja njegovu visinu ili irinu. U ovom sluaju, usvojen je "poloeni" popreni presek, irine 80 i visine 60 cm. Uslovom zadatka je precizirano da dimenzija stuba bude jednaka irini grede, pa je, u cilju dobijanja vee krutosti stuba na savijanje i manjih deformacija konstrukcije u celini, usvojen ovakav popreni presek

Sada je mogue kompletirati analizu optereenja, sraunati vrednosti statikih uticaja i izvriti odgovarajua dimenzionisanja.

2.4 ANALIZA OPTEREENJA

stalno optereenje

- sopstvena teina 0.800.6025 = 12.0 kN/m - od POS 1a, 1b = 35.0 kN/m ukupno, stalno optereenje: g = 47.0 kN/m

raspodeljeni moment torzije mTg = 17.5 kNm/m

povremeno optereenje sa POS 1a

raspodeljeno optereenje p1 = 15.0 kN/m

raspodeljeni moment torzije mTp1 = 22.5 kNm/m

povremeno optereenje sa POS 1b

raspodeljeno optereenje p2 = 10.0 kN/m

raspodeljeni moment torzije mTp2 = -10.0 kNm/m



2.5 DIJAGRAMI PRESENIH SILA

stalno optereenje

kNm14112/0.647M 2oslg == kNm5.7024/0.647M2polje

g == kN1412/0.647Tg == kNm5.522/0.65.17MTg ==

6.0 m

mTg = 17.5 kNm/m

MTg

6.0 m

mTP1 = 22.5 kNm/m

MTp1

6.0 m

mTp2 = 10 kNm/m

MTp2

30

30

67.5

67.5

52.5

52.5

stalno opt. povremeno opt.sa POS 1a

povremeno opt.sa POS 1b

g = 47 kN/m

Mg

Tg

p1 = 15 kN/m

Mp1

Tp1

p2 = 10 kN/m

Mp2

Tp2

141

141

141 141

70.5

30

30

45

45

45 45

22.5

30 30

15

povremeno optereenje na POS 1a

kNm4512/0.615M 2osl1p == kNm5.2224/0.615M2polje

1p == kN452/0.615T 1p == kNm5.672/0.65.22M 1Tp ==

povremeno optereenje na POS 1b

kNm3012/0.610M 2osl2p == kNm1524/0.610M2polje

2p == kN302/0.610T 2p == kNm302/0.610M 2Tp -=-=

2.6 DIMENZIONISANJE POS 2

2.6.1 DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA SAVIJANJA

Maksimalni momenti savijanja se javljaju kada je popreno optereenje najvee, odnosno kada povremeno optereenje deluje istovremeno na POS 1a i POS 1b.

presek nad osloncem

kNm6.360)3045(8.11416.1Mu =++=

Pritisnuta je donja ivica nosaa, pa je oblik pritisnute zone pravougaoni, irine b=80 cm:

pretp. a1 = 5 cm h = 60 - 5 = 55 cm



05280106360

55k2

..

= = 3.709 eb/ea = 1.54/10 ; m = 7.638%

4005.2

1005580638.7A .potr,a

= = 17.22 cm2

presek u polju

kNm3.180)155.22(8.15.706.1Mu =++=

Pritisnuta je gonja ivica preseka, pa je oblik pritisnute zone ili T ili pravougaoni, irine B:

B = min.

=+=+=+=+

cm1706006.025.080l25.0bcm480202080d20b

0

p = 170 cm

Pretpostavlja se da je neutralna linija u ploi. Sledi:

pretp. a1 = 5 cm h = 60 - 5 = 55 cm

05.2170103.180

55k2

= = 7.647 eb/ea = 0.646/10 ; m = 1.747% ; s = 0.061

cm20dcm34.355061.0x p = Aa,potr.

2.6.2 OSIGURANJE OD GLAVNIH NAPONA ZATEZANJA

Potrebno je razmotriti dve mogue kombinacije uticaja, od kojih jedna daje maksimalne momente torzije, a druga maksimalnu transverzalnu silu. Pri usvajanju poprene armature treba voditi rauna, u sluaju primene viesenih uzengija, da sve uzengije u preseku prihvataju deo transverzalne sile (srazmeran njihovoj povrini), dok samo spoljanja uzengija prihvata uticaj momenta torzije.

2.6.2.1 POVREMENO OPTEREENJE SAMO NA POS 1a

MTu = 1.652.5 + 1.867.5 = 205.5 kNm = max.MTu

Tu = 1.6141 + 1.845 = 306.6 kN

Ab0 = (80 - 24) (60 - 24) = 7252 = 3744 cm2

Ob0 = 2(72 + 52) = 248 cm

22

)M(n0 cmkN422.0

5.637442105.205cm5.6

852

T=

=t==d

2Tn cmkN0770

549806306cm5495590z ..

... )( ==t=

tn = 0.422 + 0.077 = 0.5 kN/cm2 < 5 tr = 0.55 kN/cm2



cm2345.011.01

26001

2L

n

r =

-=

tt

-=l

Osiguranje se vri vertikalnim uzengijama i horizontalnom armaturom. Potrebna povrina uzengija se sraunava iz odgovarajuih redukovanih uticaja (MTRu, odnosno tRu), posebno za uticaj momenta torzije, odnosno transverzalne sile2.

tn > 3 tr = 0.33 kN/cm2 Tbu = MTbu = 0

potrebna armatura za prihvatanje transverzalne sile

Kako je procenat armiranja uzengijama potrebnim za osiguranje uticaja od transverzalne sile minimalno 0.2%, najpre e biti sraunat napon koji mogu prihvatiti ove uzengije:

usvojeno: a = 90 ; q = 45

( ) 22vuzvu

)1(T,uT

MIN, cmkN08.040102.0ctgsincos

ebam

uu==sm=qa+as

=t -

2)T(n)T(RuT

MIN, cm/kN077.0uu =t=t>t

Radi lakeg poreenja rezultata prorauna za dve potencijalno merodavne kombinacije uticaja, potrebna povrina uzengija potrebnih za prihvatanje transverzalne sile bie srau-nata za m=2, bez obzira to e, zbog irine poprenog preseka, svakako biti usvojene vi-esene uzengije:

( ) ( ) uuv

T)1(

T,u e1101

402080.080e

ctgsincos1

mb

a Ru +

=

qa+a

s

t= = 0.080eu

DAa = 0 ("pic" momenta)

potrebna armatura za prihvatanje torzije

u2

uv0b

TRu1Mu e014037442

105205eA2Ma

T

=qs

= ..tan)( , = 0.069eu

248014037442

105205OA2MA

2

0bv0b

Tua

=q

s= ..cot = 17.02 cm2

2.6.2.2 POVREMENO OPTEREENJE ISTOVREMENO NA POS 1a i POS 1b

Tu = 1.6141 + 1.8(45 + 30) = 360.6 kN = max.Tu

MTu = 1.652.5 + 1.8(67.5 - 30) = 151.5 kNm

2Tn cmkN0910

549806360 ..

.)( =

=t

22

)M(n cmkN311.0

5.637442105.151

T=

=t

tn = 0.311 + 0.091 = 0.402 kN/cm2 < 5 tr = 0.55 kN/cm2

tn > 3 tr = 0.33 kN/cm2 Tbu = MTbu = 0

2 Obratiti panju da je nuno sraunati uzengije za prihvatanje transverzanih sila, bez obzira to je tn,T < tr. Kriterijum da li je potrebno osiguranje je UKUPAN napon smicanja, a ne napon od pojedinanog uticaja.



potrebna armatura za prihvatanje transverzalne sile

( ) u)1(

T,u e1101

402091.080a

+

= = 0.091eu

DAa = 0 ("pic" momenta)

potrebna armatura za prihvatanje torzije

u2

)1(M,u e0.14037442

105.151aT

= = 0.051eu

2480.14037442

105.151A2

a

= = 12.54 < 17.02 cm2

2.6.2.3 POVREMENO OPTEREENJE SAMO NA POS 1b

Oigledno nije merodavna kombinacija, jer su i moment torzije i transverzalna sila manji nego u prethodnom sluaju.

2.6.3 USVAJANJE ARMATURE POS 2

2.6.3.1 USVAJANJE POPRENE ARMATURE

Uporeivanjem napred sraunatih potrebnih povrina uzengija, moe se zakljuiti da je merodavan sluaj kada povremeno optereenje deluje samo na POS 1a:

uu)1(M,u

)1(T,u

)1(u e149.0e)069.0080.0(aaa T =+=+= (g + p1)

uu)1(M,u

)1(T,u

)1(u e142.0e)051.0091.0(aaa T =+=+= (g + p1 + p2)

Usvajajui ETVOROSENE uzengije za prihvatanje transverzalne sile, sledi:

spoljanja uzengija:

uu)1(M,u

)1(T,u)1(

u e109.0e069.02080.0a

2a

aT

=

+=+=

U12 (au(1) = 1.13 cm2) eu = 1.13 / 0.109 = 10.4 cm

usvojeno: U12/10

unutranja uzengija:

uu)1(

T,u)1(u e040.0e2

080.02

aa ===

U10 (au(1) = 0.785 cm2) eu = 0.785 / 0.040 = 19.6 cm

usvojeno: U10/20 3

149.0152.020785.0

1013.1

ea

u

)1(u >=+=

3 Rastojanje armature se zaokruuje na MANJU vrednost. Ovde se, zbog male razlike potrebne i usvojene armature, odstupilo od toga, uz navoenje dokaza da je usvojena koliina ukupne armature dovoljna. U ovom sluaju spoljanja uzengija prihvata neto vei deo transverzalne sile od unutranje, to je nebitno.



2.6.3.2 USVAJANJE PODUNE ARMATURE 26

416

216

U12/10

4

416

4

U10/20

4

80

2424420

40

60

24

26

26

416

216

U10/20

4

416

4

U10/20

4

80

612=724

2040

60

26

312

619

PRESEK NAD OSLONCEM98=724 4 424244 24

PRESEK U POLJU

U preseku nad osloncem se superponira sraunata poduna armatura za prihvatanje torzije sa armaturom za prihvatanje momenta savijanja u gornjoj zoni. U preseku u polju raunska armatura je samo ona u donjoj zoni, odreena iz momenta savijanja. Raunski potrebne uzengije (spoljanja "torziona" i unutranja) su potrebne samo na sraunatoj duini osiguranja. etvorosene uzengije u preseku u polju su usvojene zbog velike irine poprenog preseka i ne moraju zadovoljiti odredbe propisa u pogledu minimalnog procenta armiranja ili maksimalnog rastojanja.

3. PRORAUN STUBA POS S Stub je konzola, optereena i stalnim i povremenim optereenjem od grede POS 2. Pop-reni presek je pravougaoni, dimenzija b/d = 25/80 cm.

l

q

l l l

l l

l

q

q q

lPOS S

POS 2

Optereenje stuba, pored sopstvene teine, predstavljaju:

- verikalne sile (reakcije oslonaca kontinualnog nosaa POS 2), odreene kao RAZLIKA TRANSVERZALNIH SILA zamenjujue obostrano ukljetene grede, posmatrano za dva susedna polja oslonjena na posmatrani stub;

- momenti savijanja, odreeni kao RAZLIKA OSLONAKIH MOMENATA TORZIJE zamenjujue obostrano ukljetene grede, posmatrano za dva susedna polja oslonjena na posmatrani stub



Kako su momenti savijanja POS 2 levo i desno od stuba jednaki, na stub se ne prenose momenti savijanja koji bi savijali presek oko stranice dimenzije b=25 cm.

6.0 m

mTg = 17.5 kNm/m

MTg

52.5

52.5

g = 47 kN/m

Mg

Tg

141

141

70.5

141 141

GP

OS

SM

PO

S S

g

6.0 m

mTg = 17.5 kNm/m

MTg

52.5

52.5

g = 47 kN/m

Mg

Tg

141

141

70.5

141 141

3.1 ANALIZA OPTEREENJA G = 141 - (-141) = 282 kN Mg = 52.5 - (-52.5) = 105 kNm

P1 = 45 - (-45) = 90 kN Mp1 = 67.5 - (-67.5) = 135 kNm

P2 = 30 - (-30) = 60 kN Mp2 = -30 - 30 = -60 kNm

Sopstvena teina stuba je zanemarena.

gH

Mg=105

G=282

Mp1=135

P1=90

Mp2=60

P2=60

3.2 DIMENZIONISANJE Sa prethodnih dijagrama momenata je oito da leva strana stuba ne moe biti zategnuta. Stoga se dimenzionie samo desna strana, uzimajui u obzir stalno optereenje i povremeno samo na ploi POS 1a.

Mu = 1.6105 + 1.8135 = 411 kNm

Nu = 1.6282 + 1.890 = 613.2 kN

pretp. a1 = 7 cm h = 80 - 7 = 73 cm



kNm4.61307.028.02.613411Mau =

-+=

05.225104.613

.73k2

= = 2.110 eb/ea = 3.5/7.437 ; m = 25.907%

40

2.6134005.2

1007325907.25A .potr,a -

= = 8.90 cm2

usvojeno: 516 (10.05 cm2)

4.5

80

23.5

216

212

212

316

5

U

10/2

0

164.

5

216

25

4.5

24 18.54.5

Documents

DZ1 - Nesimetricna nadstresnica