E-BOOK01 INVALSI Matematica · Laddizione di numeri interi relativi si svolge nel seguente modo: se i due numeri sono concordi si addizionano i numeri senza il segno e si mette il

E-BOOK01

INVALSI Matematica

Sommario

Scuola secondaria di I grado – 3° anno

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E-BOOK01

INVALSI Matematica

Sommario



E-book01 INVALSI Matematica

per la scuola secondaria di I grado – 3° anno

Per la preparazione alle prove INVALSI

dell’anno scolastico 2012-‘13

Le domande presenti in questo e-book sono prodotte e distribuite dall’Istituto

Nazionale per la Valutazione del Sistema Educativo di Istruzione e Formazione

(INVALSI).

Skill On Line srl ne ha curato la raccolta ed il commento.

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INVALSI Matematica

Sommario



Numeri _____________________________________________________________ 9

Numeri pari e dispari ............................................................................................................................ 10

Tabella pari e dispari ............................................................................................................................ 11

Numeri relativi ..................................................................................................................................... 12

La radice quadrata ............................................................................................................................... 13

La percentuale ..................................................................................................................................... 14

La percentuale come rapporto .............................................................................................................. 15

La potenza ........................................................................................................................................... 16

Il Litro .................................................................................................................................................. 17

La frazione ........................................................................................................................................... 18

Numeri razionali e irrazionali ................................................................................................................ 19

Numero misto ...................................................................................................................................... 20

Operazioni con i numeri relativi ............................................................................................................ 21

Minimo comune multiplo (m.c.m.) ....................................................................................................... 22

La notazione scientifica ........................................................................................................................ 23

Sistema di numerazione decimale ........................................................................................................ 24

Calcolo della percentuale ..................................................................................................................... 25

Frazione di due numeri interi ................................................................................................................ 26

Somma di frazioni ................................................................................................................................ 27

L’insieme dei numeri razionali .............................................................................................................. 28

La radice n-esima ................................................................................................................................. 29

Estremi e medi di una proporzione ....................................................................................................... 30

Moltiplicare e dividere un numero intero per un numero decimale ....................................................... 31

Spazio e Figure ______________________________________________________ 32

Rotazione ............................................................................................................................................ 33

Formula di Erone .................................................................................................................................. 34

Area per quadrettatura ........................................................................................................................ 35

Poligoni regolari ................................................................................................................................... 36

La scala di rappresentazione ................................................................................................................. 37

Parallelepipedo rettangolo ................................................................................................................... 38

Teorema di Pitagora ............................................................................................................................. 39

Il cerchio .............................................................................................................................................. 40

La prospettiva ...................................................................................................................................... 41

Il Cilindro ............................................................................................................................................. 42

Angoli opposti al vertice ....................................................................................................................... 43

Utilizzo del teorema di Pitagora ............................................................................................................ 44

Traslazione .......................................................................................................................................... 46

Triangolo isoscele................................................................................................................................. 47

Angoli alterni interni ............................................................................................................................ 48

Calcolo della radice quadrata ............................................................................................................... 49

La simmetria centrale ........................................................................................................................... 50

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INVALSI Matematica

Sommario



Lo sviluppo di un cubo .......................................................................................................................... 51

Asse di simmetria ................................................................................................................................. 52

Esercizio: Dove si trova ......................................................................................................................... 53

Dati e previsioni _____________________________________________________ 54

Piano cartesiano .................................................................................................................................. 55

La probabilità ....................................................................................................................................... 56

Tabella ................................................................................................................................................. 57

Moto rettilineo uniforme ..................................................................................................................... 58

La statistica .......................................................................................................................................... 59

La scala numerica ................................................................................................................................. 60

L’Istogramma ....................................................................................................................................... 61

Esercizio: Chi va a dieta? ...................................................................................................................... 62

I Fusi Orari ........................................................................................................................................... 63

Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della quadrettatura ............................................ 64

Coordinate in un grafico ....................................................................................................................... 65

Scala di grandezze del peso .................................................................................................................. 66

Media aritmetica ................................................................................................................................. 67

Mediana .............................................................................................................................................. 68

Sistema di numerazione a base 10 ........................................................................................................ 69

Proporzioni .......................................................................................................................................... 70

Relazioni e funzioni __________________________________________________ 71

Esercizio: Quanto tempo impiega? ........................................................................................................ 72

La tabella e il grafico ............................................................................................................................ 73

I segmenti ............................................................................................................................................ 74

Curve di livello ..................................................................................................................................... 75

Esercizi – dalle parole alla formula ........................................................................................................ 76

La molla ............................................................................................................................................... 77

Criteri similitudine ............................................................................................................................... 78

I monomi ............................................................................................................................................. 79

L’unità di misura di capacità ................................................................................................................. 80

Proporzionalità quadratica ................................................................................................................... 81

Moto rettilineo uniforme ..................................................................................................................... 82

Aritmetica dei numeri pari e dispari ...................................................................................................... 83

Gioco Pari e Dispari .............................................................................................................................. 84

Proporzionalità quadratica ................................................................................................................... 85

Triangolo isoscele................................................................................................................................. 86

Gli insiemi (2Z) e (2Z + 1) ...................................................................................................................... 87

Proporzioni .......................................................................................................................................... 88

Trapezio ............................................................................................................................................... 89

I numeri triangolari .............................................................................................................................. 90

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Sommario



Angoli al centro e alla circonferenza ..................................................................................................... 91

Multiplo ............................................................................................................................................... 92

Espressioni letterali .............................................................................................................................. 93

Risolvere un’equazione ........................................................................................................................ 94

Il quadrato e il rettangolo ..................................................................................................................... 95

Ascisse e ordinate ................................................................................................................................ 96

Prova anno scolastico 2011 – 2012 ______________________________________ 97

E1 ........................................................................................................................................................ 98

E2 ...................................................................................................................................................... 100

E3 ...................................................................................................................................................... 101

E4 ...................................................................................................................................................... 102

E5 ...................................................................................................................................................... 104

E6 ...................................................................................................................................................... 105

E7 ...................................................................................................................................................... 106

E8 ...................................................................................................................................................... 107

E9 ...................................................................................................................................................... 109

E10 .................................................................................................................................................... 111

E11 .................................................................................................................................................... 113

E12 .................................................................................................................................................... 114

E13 .................................................................................................................................................... 115

E14 .................................................................................................................................................... 116

E15 .................................................................................................................................................... 119

E16 .................................................................................................................................................... 120

E17 .................................................................................................................................................... 121

E18 .................................................................................................................................................... 124

E19 .................................................................................................................................................... 126

E20 .................................................................................................................................................... 128

E21 .................................................................................................................................................... 130

E22 .................................................................................................................................................... 131

E23 .................................................................................................................................................... 134

E24 .................................................................................................................................................... 135

E25 .................................................................................................................................................... 136

Prova anno scolastico 2010 – 2011 _____________________________________ 138

D1 ..................................................................................................................................................... 139

D2 ..................................................................................................................................................... 140

D3 ..................................................................................................................................................... 141

D4 ..................................................................................................................................................... 142

D5 ..................................................................................................................................................... 143

D6 ..................................................................................................................................................... 145

D7 ..................................................................................................................................................... 146

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INVALSI Matematica

Sommario



D8 ..................................................................................................................................................... 147

D9 ..................................................................................................................................................... 148

D10 .................................................................................................................................................... 150

D11 .................................................................................................................................................... 151

D12 .................................................................................................................................................... 152

D13 .................................................................................................................................................... 153

D14 .................................................................................................................................................... 154

D15 .................................................................................................................................................... 155

D16 .................................................................................................................................................... 156

D17 .................................................................................................................................................... 157

D18 .................................................................................................................................................... 158

D19 .................................................................................................................................................... 159

D20 .................................................................................................................................................... 160

D21 .................................................................................................................................................... 161

D22 .................................................................................................................................................... 162

D23 .................................................................................................................................................... 163

D24 .................................................................................................................................................... 164

D25 .................................................................................................................................................... 165

D26 .................................................................................................................................................... 166


D1 ..................................................................................................................................................... 168

D2 ..................................................................................................................................................... 169

D3 ..................................................................................................................................................... 171

D4 ..................................................................................................................................................... 172

D5 ..................................................................................................................................................... 173

D6 ..................................................................................................................................................... 174

D7 ..................................................................................................................................................... 175

D8 ..................................................................................................................................................... 177

D9 ..................................................................................................................................................... 178

D10 .................................................................................................................................................... 179

D11 .................................................................................................................................................... 180

D12 .................................................................................................................................................... 181

D13 .................................................................................................................................................... 183

D14 .................................................................................................................................................... 184

D15 .................................................................................................................................................... 185

D16 .................................................................................................................................................... 187

D17 .................................................................................................................................................... 188

D18 .................................................................................................................................................... 189

D19 .................................................................................................................................................... 190

D20 .................................................................................................................................................... 192

D21 .................................................................................................................................................... 193

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INVALSI Matematica

Sommario



D22 .................................................................................................................................................... 194

D23 .................................................................................................................................................... 195

D24 .................................................................................................................................................... 196

D25 .................................................................................................................................................... 197


D1 ..................................................................................................................................................... 200

D2 ..................................................................................................................................................... 201

D3 ..................................................................................................................................................... 202

D4 ..................................................................................................................................................... 203

D5 ..................................................................................................................................................... 204

D6 ..................................................................................................................................................... 206

D7 ..................................................................................................................................................... 208

D8 ..................................................................................................................................................... 209

D9 ..................................................................................................................................................... 210

D10 .................................................................................................................................................... 211

D11 .................................................................................................................................................... 212

D12 .................................................................................................................................................... 213

D13 .................................................................................................................................................... 214

D14 .................................................................................................................................................... 215

D15 .................................................................................................................................................... 216

D16 .................................................................................................................................................... 217

D17 .................................................................................................................................................... 218

D18 .................................................................................................................................................... 219

D19 .................................................................................................................................................... 220

D20 .................................................................................................................................................... 221

D21 .................................................................................................................................................... 222


D1 ..................................................................................................................................................... 224

D2 ..................................................................................................................................................... 225

D3 ..................................................................................................................................................... 227

D4 ..................................................................................................................................................... 228

D5 ..................................................................................................................................................... 229

D6 ..................................................................................................................................................... 230

D7 ..................................................................................................................................................... 231

D8 ..................................................................................................................................................... 232

D9 ..................................................................................................................................................... 233

D10 .................................................................................................................................................... 234

D11 .................................................................................................................................................... 235

D12 .................................................................................................................................................... 236

D13 .................................................................................................................................................... 237

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INVALSI Matematica

Sommario



D14 .................................................................................................................................................... 239

D15 .................................................................................................................................................... 240

D16 .................................................................................................................................................... 243

D17 .................................................................................................................................................... 245

D18 .................................................................................................................................................... 246

D19 .................................................................................................................................................... 247

D20 .................................................................................................................................................... 249

D21 .................................................................................................................................................... 251

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INVALSI Matematica Numeri

Numeri 9Scuola secondaria di I grado – 3° anno


Numeri

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Numeri pari e dispari

In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due (es. 8=2x2x2x2), è un numero pari, altrimenti, è un numero dispari (es. 7 non lo puoi ricavare moltiplicando tante volte 2).

Ancora un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è pari.

L'insieme dei numeri pari può essere scritto come: Pari = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

L'insieme dei numeri dispari può essere scritto come: Dispari = 2Z+ 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.

Dove Z è l’insieme dei numeri relativi. [I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno - davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z, perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero.] Osservazione

Per dimostrare che la somma di tre numeri dispari consecutivi è ancora un numero dispari ed è multiplo di 3 possiamo ragionare nel seguente modo: Scriviamo i tre numeri dispari consecutivi in questo modo ( 2N-1), (2N+1), (2N+3) e poi scriviamo la somma di tre numeri dispari come di seguito:

(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=6n+3 6n è un numero pari, sommato a 3 dà un numero dispari. 6n+3=3(2n+1) mettendo in evidenza il 3 e quindi si evince che il numero risultante è multiplo di 3. Gioco Pari e Dispari

Si gioca a due giocatori; uno dei due giocatori sceglie “pari” o “dispari”, l’altro giocatore ovviamente deve per forza scegliere l’altro valore. Poi contemporaneamente indicano con le dita un numero tra 0 e 5. Se la somma delle dita delle due mani dà un numero pari, vince il giocatore che aveva scelto pari; se la somma delle dita è invece dispari, vince l’altro giocatore.

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Tabella pari e dispari

Addizione e sottrazione

Moltiplicazione

Divisione *

pari ± pari = pari pari × pari = pari pari / dispari = pari

pari ± dispari = dispari pari × dispari = pari dispari / dispari = dispari

dispari ± dispari = pari dispari × dispari = dispari pari / pari può dare un risultato

o pari o dispari.

dispari ± pari = dispari. dispari / pari non da mai un

risultato intero

Si applica solo per i numeri interi quando il risultato è un numero intero

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Numeri relativi

Z rappresenta l’insieme dei numeri interi relativi:

quelli alla destra dello zero sono gli interi positivi, quelli a sinistra gli interi negativi.

Non c’è distinzione tra gli interi positivi e i numeri naturali infatti scrivere 2 o +2 è la stessa cosa.

Dati due numeri interi relativi, se hanno lo stesso segno si dicono concordi, se hanno segni diversi

si dicono discordi; se sono uguali ma cambiano solo per il segno si dicono opposti.

L’addizione di numeri interi relativi si svolge nel seguente modo:

se i due numeri sono concordi si addizionano i numeri senza il segno e si mette il segno che c’è;

es.) (+ 3) + (+ 5) = + 8

es.) (- 7) + (- 3) = - 10

se i due numeri sono discordi si sottraggono i numeri senza segno e si mette il segno del più

grande.

es.) (+ 3) + (- 5) = - 2

es.) (+ 7) + (- 3) = + 4

La sottrazione di due numeri interi relativi non è altro che l’addizione tra il primo e l’opposto del

secondo cioè a – b = a + ( - b).

es.) (+ 3) - (+ 5) = + 3 + (- 5) = - 2

es.) (- 7) - (- 3) = - 7 + (+ 3) = - 4

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La radice quadrata

Si può definire radice quadrata di un numero reale non negativo z ogni numero reale non

negativo x tale che:

x2 = z

Questo numero x, del quale si dimostrano l'esistenza e l'unicità, si indica con la scrittura √ .

Più semplicemente la radice quadrata di un numero è quel numero che elevato a quadrato

riproduce il numero dato.

Esempio

Se consideriamo il numero 9 e lo eleviamolo al quadrato, avremo come risultato il numero 81.

Quindi si può dire che la radice quadrata di 81 è 9.

In effetti la radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevazione a quadrato. Ovviamente quanto

appena detto vale nel caso di quadrati perfetti.

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La percentuale

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Si ottiene

moltiplicando per 100 il rapporto a/b e ponendo a fianco il simbolo %.

Esempio: 5 allievi su 25 risultano assenti. La percentuale degli allievi assenti allora sarà:

Quindi la percentuale è un rapporto che indica quante parti sul totale (rispetto a 100) soddisfano

una certa condizione.

Lo sconto

Supponiamo di trovare un'offerta che ci dice che su un videogioco che costa 70 euro si applica

uno sconto pari al 20 per cento, Quanto pagheremo alla cassa ?

L'operazione da fare sarà: 70 (prezzo del videogioco), moltiplicato per 20 (percentuale di sconto), il

tutto diviso 100 per calcolare lo sconto:

Sconto = (70 x 20)/100 = 14 euro

Ora sottraiamo i 14 euro di sconto ai 70 euro del videogioco per ottenere il prezzo scontato:

prezzo scontato = 70 – 14 = 56 euro

il risultato è 56 euro, il prezzo del videogioco scontato.

Trucchetto

Avresti potuto ottenere il prezzo scontato direttamente facendo 70 x 0,8 = 56 euro. Perché?

Suggerimento: su 100 parti se ne pagano solo 80!

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La percentuale come rapporto






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La potenza

In matematica la potenza è un'operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti

rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a:

Le potenze scritte nella forma an si leggono come elevato alla n o più semplicemente alla n.

L’esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.

Alcuni esponenti hanno un loro nome. L’esponente due è spesso indicato come al quadrato (un

numero alla seconda rappresenta l’area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e

l’esponente 3 come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per

spigolo quel valore).

Esempi

32

= 3 x 3 = 9

23= 2 x 2 x 2 = 8

(

)

=

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Il Litro

Il litro è definito come l’unità di misura di volume o di capacità, simbolo l, corrispondente a 1

decimetro cubo di acqua distillata;

Di seguito un promemoria utile per confrontare i contenuti espressi in vari modi:

- Unità di misura in litri (l) . 1 l, cioè un litro . 0,5 l oppure 1/2 l . 0,33 l oppure 1/3 di l . 0,25 l oppure 1/4 di l . 0,20 l oppure 1/5 di l

-Unità di misura in decilitri (dl)

. 1 dl = 1/10 di l - cioè 1/10 di l

. 5 dl = 1/2 l - cioè 1/2 l

. 10 dl = 1 l - Unità di misura in centilitri (cl)

. 100 cl = 10 dl - cioè 1 l

. 50 cl = 5 dl - cioè 1/2 l

. 10 cl = 1 dl - cioè 1/10 di l

. 1 cl = 0,1 dl - cioè 1/100 di l - Unità di misura in millilitri (ml)

. 1000 ml = 1 l - cioè 10 dl - cioè 100 cl

. 500 ml = 1/2 l - cioè 5 dl - cioè 50 cl

. 100 ml = 1/10 di l - cioè 1 dl - cioè 10 cl

. 10 ml = 1/100 di l - cioè 0,1 dl - cioè 1 cl

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La frazione

Una frazione è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un

certo numero di parti della stessa dimensione. Ad esempio, se si taglia una torta in quattro fette

uguali, ciascuna di esse è detta un quarto di torta (rappresentata con 1⁄4); due quarti è mezza

torta, e otto quarti formano due torte.

Una frazione è un oggetto matematico che indica un quoziente di due numeri interi. I due numeri

interi vengono separati da un trattino, detto linea di frazione, che può essere orizzontale, come in

questi esempi:

;

oppure diagonale, come in 2⁄7.

Nell'esempio delle fette di torta di cui sopra, nella rappresentazione numerica come 1⁄4 il numero

in basso, detto denominatore, indica il numero totale di parti uguali che compone la torta intera, e

il numero in alto, il numeratore, è il numero di parti che è stato preso.

Il denominatore deve essere sempre diverso da zero: non è infatti possibile effettuare una

divisione per zero.

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Numeri razionali e irrazionali

Un numero razionale è un numero che si ottiene come rapporto tra due numeri interi, il secondo

dei quali diverso da 0. Si esprime mediante una frazione a/b, di cui a è detto il numeratore e b il

denominatore. Esempi di numeri razionali:

;

;

I numeri razionali formano un campo, indicato con il simbolo Q che sta per quoziente.

Si dicono numeri irrazionali i numeri che non possono essere descritti come rapporto di due

numeri interi.

Ad esempio:

√

Infatti come si può verificare nessuno di questi due numeri può essere descritto come rapporto di

due numeri interi. ( ; √ = 1,4142136…… )

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Numero misto

Un numero misto è la somma di un numero naturale più una frazione propria. Il numero naturale

si chiama parte intera, mentre la frazione propria si chiama parte frazionaria.

Trasformare un numero misto in una frazione

Per trasformare un numero misto in una frazione, si deve:

1. Moltiplicare la parte intera per il denominatore della parte frazionaria

2. Sommare al prodotto il numeratore della parte frazionaria

3. Considerare la somma trovata come numeratore

4. Considerare come denominatore quello della parte frazionaria

Esempio:

(cioè 3 x 4 + 7 = 19 al numeratore e 4 al denominatore della frazione)

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Operazioni con i numeri relativi

Z rappresenta l’insieme dei numeri interi relativi :

quelli alla destra dello zero sono gli interi positivi, quelli a sinistra gli interi negativi.

Non c’è distinzione tra gli interi positivi e i numeri naturali infatti scrivere 2 o +2 è la stessa cosa.

Dati due numeri interi relativi, se hanno lo stesso segno si dicono concordi, se hanno segni diversi

si dicono discordi; se sono uguali ma cambiano solo per il segno si dicono opposti.

L’addizione di numeri interi relativi si svolge nel seguente modo:

se i due numeri sono concordi si addizionano i numeri senza il segno e si mette il segno che c’è;

es.) (+ 3) + (+ 5) = + 8

es.) (- 7) + (- 3) = - 10

se i due numeri sono discordi si sottraggono i numeri senza segno e si mette il segno del più grande.

es.) (+ 3) + (- 5) = - 2

es.) (+ 7) + (- 3) = + 4

La sottrazione di due numeri interi relativi non è altro che l’addizione tra il primo e l’opposto del

secondo cioè a – b = a + ( - b).

es.) (+ 3) - (+ 5) = + 3 + (- 5) = - 2

es.) (- 7) - (- 3) = - 7 + (+ 3) = - 4

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Minimo comune multiplo (m.c.m.)

Consideriamo due numeri, per esempio 6 e 8; scriviamo per entrambi i multipli, avremo:

per i multipli di 6

6, 12 , 18, 24, 30 ,36 , 42, 48 ………….

per i multipli di 8

8, 16, 24, 32, 40, 48,………………..

possiamo osservare che le due serie hanno i seguenti numeri in comune:

24, 48 sono multipli per entrambi i numeri

il più piccolo di essi prende il nome di minimo comune multiplo (m.c.m), cioè 24

quindi 24 è il m.c.m. tra 6 e 8 ; si scrive: m.c.m. (6,8) = 24

Vediamo un altro esempio:

trovare il m.c.m tra 5 e 15

multipli di 5: 5,10,15,20,25,30,35,40,45,60,75,90………..

multipli di 20: 20,40,60,80,100,120…………………..

20, 40, 60 sono multipli di entrambi

per trovare il minimo comune multiplo bisogna prendere il più piccolo tra essi, cioè 20;

si può scrivere m.c.m. (5,20) = 20

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La notazione scientifica

La notazione scientifica viene usata per esprimere i numeri reali utilizzando le potenze intere di

dieci, ed è usata per numeri molto grandi o molto piccoli. La notazione permette di esprimere

quantità fisiche senza includere lunghe file di zeri:

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

106 = 1 000 000

109 = 1 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

Oltre alle potenze positive, si possono usare le potenze negative: 10-n è uguale a 1/10n e in

decimali si può esprimere con uno 0 seguito dalla virgola, da n-1 zeri e da un 1:

10-1 = 1/10 = 0,1

10-3 = 1/1000 = 0,001

10-9 = 1/1 000 000 000 = 0,000000001

In questo modo, un numero molto grande come 123 000 000 000 000 000 000 può essere

espresso come 1,23 · 1020, (si mette la virgola dopo il primo numero e poi si contano tutte le altre

cifre per determinare l’esponente).

Un numero piccolo come 0,0000123 può essere scritto come 1,23 · 10-5 (si mette la virgola dopo la prima cifra diversa da zero, poi si contano tutti gli zeri per determinare l’esponente).

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Sistema di numerazione decimale

Nel sistema decimale ogni cifra cambia valore con la posizione che occupa:

per esempio:

in 304 il quattro vale 4 unità, mentre nel 340 vale 4 decine

96 = 9 decine + 6 unità= 9 x 10 + 6 x 1

304 = 3 x 100 + 0 x 10 + 4 x 1

Analogamente 6,1 vuol dire 6 unità e 1 decimo; 1 decimo = 1/10 = 0,1 e quindi posiamo

rappresentarlo come 6,1=6 x 1+1 x 1/10

72,54 vuol dire 7 decine e 2 unità e 5 decimi e 4 centesimi, cioè:

7 x 10 + 2 x 1 + 5 x 1/10 + 4 x 1/100

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Calcolo della percentuale






Esercizio Quale sarebbe la percentuale degli alunni presenti?

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Frazione di due numeri interi

Una frazione è un modo per esprimere una quantità basandosi

sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della

stessa dimensione. Ad esempio, se si taglia una torta in quattro

fette uguali, ciascuna di esse è detta un quarto di torta

(rappresentata con 1⁄4); due quarti è mezza torta, e otto quarti

formano due torte.

Una frazione è un oggetto matematico che indica un quoziente di due numeri interi. I due numeri

interi vengono separati da un trattino, detto linea di frazione, che può essere orizzontale, come in

questi esempi:

;

oppure diagonale, come in 2⁄7.

Nell'esempio delle fette di torta di cui sopra, nella rappresentazione numerica come 1⁄4 il numero

in basso, detto denominatore, indica il numero totale di parti uguali che compone la torta intera, e

il numero in alto, il numeratore, è il numero di parti che è stato preso).

Il denominatore deve essere sempre diverso da zero: non è infatti possibile effettuare una

divisione per zero.

Esercizio Calcola quanti centilitri di vino resterebbero in una bottiglia di vino da 1 litro se ne versi i 2/3 ai commensali.

Ris. [33 cl]

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Somma di frazioni

Supponiamo di dover sommare le frazioni riportate di seguito:

Possiamo sommare solo unità frazionarie uguali, pertanto dobbiamo rendere uguali i

denominatori. Per farlo cerchiamo il m.c.m. (il minimo comune multiplo) fra i denominatori, che

nel caso in esame è 24 , infatti:

scomponendo in fattori, si ha:

3 = 3

8 = 2 x 2 x 2 = 23

4 = 2x 2 = 22

6 = 2 x 3

prendiamo i fattori comuni col massimo esponente, cioè 23; 3 e quindi il m.c.m. sarà pari a: 24 e

allora possiamo scrivere una frazione avente come unico denominatore 24 e ricavare il

numeratore dividendo il m.c.m per ogni denominatore e moltiplicando il risultato per ogni

numeratore delle frazioni, cioè:

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L’insieme dei numeri razionali

Un numero razionale è un numero che si ottiene come rapporto tra due numeri interi, il secondo

dei quali diverso da 0. Si esprime mediante una frazione a/b, di cui a è detto il numeratore e b il

denominatore. Esempi di numeri razionali:

;

;

I numeri razionali formano un campo, indicato con il simbolo Q che sta per quoziente.

Si dicono numeri irrazionali i numeri che non possono essere descritti come rapporto di due

numeri interi.

Ad esempio:

√

Infatti come si può verificare nessuno di questi due numeri può essere descritto come rapporto di

due numeri interi. ( ; √ = 1,4142136…… )

Da non dimenticare

Per stabilire tra due o più numeri chi è minore o maggiore ricorda la seguente rappresentazione: i numeri sono ordinati da - ∞ a + ∞ dal più piccolo al più grande; es: -3 < -2 ; +3 > +2 ;

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La radice n-esima

La radice -esima o radicale -esimo (con ) di un numero reale cioè √

, è un numero reale tale che

√

si legge la radice ennesima di è uguale a (implica che: )

Es. √

implica che:

Diamo i nomi

√

√

radicale

indice del radicale radicando

Somma e differenza fra radicali

Per eseguire la somma fra termini con radicali devo cercare i termini simili (con radicali uguali) e poi sommarne i coefficienti numerici (i termini fuori del radicale)

Esempio

√ √ √ √ √

√ √

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Estremi e medi di una proporzione

Abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale

al rapporto tra gli ultimi due numeri. Una proporzione è pertanto un’uguaglianza tra due rapporti

formati con quattro numeri che prendono il nome di termini della proporzione:

che si può anche scrivere come: a : b = c : d (si legge: a sta a b come c sta a d)

Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si

dicono medi.

Esempio 1

36 : 4 = : 8

La

(un medio è uguale al prodotto tra gli estremi diviso l’altro medio)

Esempio 2

36 : 4 =

La

(un estremo è uguale al prodotto tra i medi diviso l’altro estremo)

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Moltiplicare e dividere un numero intero per un numero decimale

Per eseguire la moltiplicazione tra un numero intero ed un numero decimale oppure tra due

numeri decimali bisogna:

1) eseguire l’operazione considerando tutti e due i numeri interi

2) ottenuto il risultato si separano le cifre con la virgola contando a partire da destra verso sinistra

tante cifre quante sono le cifre decimali dei fattori.

Per eseguire la divisione tra un numero intero ed un numero decimale bisogna:

1) moltiplicare il dividendo ed divisore per 10, 100, 1000 …. (proprietà invariantiva) in modo che il

divisore risulti intero

2) poi si esegue la divisione ricordandosi di inserire una virgola nel quoziente prima di operare con

la cifra decimale.

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INVALSI Matematica

Spazio e figure 32Scuola secondaria di I grado – 3° anno


Spazio e Figure

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INVALSI Matematica Spazio e Figure



Rotazione

Puoi osservare nelle figure riportate di seguito alcuni solidi che si ottengono per rotazione

completa di un proprio elemento;

Ad esempio:

un cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad un suo lato.

Un cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad un suo cateto.

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Formula di Erone

La formula è attribuita ad Erone di Alessandria, vissuto nel I secolo, che la dimostrò con calcoli

assai complessi.

Con la formula di Erone si può

calcolare l’area di un triangolo

qualsiasi conoscendo solo la

lunghezza dei tre lati:

√

rappresenta il semiperimetro

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Area per quadrettatura

Per determinare l’area di una figura geometrica col contorno irregolare come quella riportata nella

figura non possiamo utilizzare le formule abituali. Si può utilizzare il metodo della quadrettatura;

questo metodo ci permette di conoscere l’area con una buona approssimazione e che migliora

quanto più piccoli sono i quadretti.

Supponiamo di voler calcolare l’area della superficie racchiusa dalla curva. Possiamo agire nel

seguente modo:

1) Disegniamo un poligono quadrettato che sia sempre esterno alla curva e contiamo quanti

quadretti contiene (in pratica l’area del poligono esterno alla curva)

2) Disegniamo poi un poligono quadrettato interno alla curva e contiamo quanti quadretti

contiene (in pratica l’area del poligono interno alla curva)

L’area racchiusa dalla curva è intermedia alle aree dei due poligoni pertanto il suo valore

approssimato si può calcolare facendo la media aritmetica delle due aree, cioè:

È evidente che quanto più saremo precisi nel tracciare i due poligoni in maniera adiacente alla

curva tanto più il risultato risulterà meglio approssimato.

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Poligoni regolari

Un poligono regolare è un poligono cha ha i lati e gli angoli uguali. Per esempio sono poligoni

regolari:

il triangolo equilatero

il quadrato

il pentagono regolare

l’esagono regolare

l’ettagono regolare

l’ottagono regolare

etc.

I centri dei cerchi delle circonferenze inscritte e circoscritte di ogni poligono regolare coincidono.

L’ apotema di un poligono regolare è il raggio del cerchio inscritto.

In un poligono regolare, se dividiamo l’apotema per un lato otteniamo un numero, detto numero

fisso.

L’area invece si calcola moltiplicando il perimetro per l’apotema e dividendo per due, oppure

moltiplicando il quadrato del lato per un fattore che dipende dal numero di lati.

Il dodecagono In geometria, un dodecagono è un poligono con 12 lati e 12

angoli. In un dodecagono regolare tutti i lati hanno lunghezza

uguale e tutti gli angoli sono di 150º.

Numero fisso = 1,866 Area = (p x a)/2 oppure Area = l2 x 11.196

apo

tem

a

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La scala di rappresentazione

La scala di rappresentazione è il rapporto tra le dimensioni della realtà e quella di una sua rappresentazione. La rappresentazione in scala viene utilizzata in cartografia, nel disegno, etc. La scala essendo il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle due misure (carta e realtà) espresse nella stessa unità di misura. Il rapporto è, quindi, un numero puro, indipendente dall’unità di misura prescelta. La scala numerica è una frazione avente per numeratore l’unità e per denominatore il numero che indica quante volte bisogna moltiplicare una lunghezza misurata sulla carta per ottenere la corrispondente misura reale. Esempio 1:10.000 Nel leggere un rapporto di scala si usa leggere il segno di due punti come “(sta) a”. Esempio 1:10.000 si legge 1 (sta) a 10.000 Se troviamo scala 1:1.000.000 (si legge 1 (sta) a 1 milione) significa che 1 centimetro sulla carta corrisponde a 1.000.000 di centimetri nella realtà e cioè a 10 chilometri. Esercizio Completa le seguenti affermazioni: Scala 1: 150.000 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a …………………nella realtà e cioè a

……………Km.

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Parallelepipedo rettangolo

Osserva lo sviluppo di un parallelepipedo rettangolo

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Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.

Enunciato

In un triangolo rettangolo, l'area del

quadrato costruito sull'ipotenusa è

equivalente alla somma delle aree dei

quadrati costruiti sui due cateti.

Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi

cateti, il teorema è espresso dall'equazione:

a2 + b

2 = c

2

o, in alternativa, risolvendolo per c:

√ Da cui si ricavano i rispettivi cateti:

√ e

√

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Il cerchio

Il cerchio è una figura geometrica costituita

da tutti i punti equidistanti (stessa

distanza) da un punto ‘o’ detto centro. Il

luogo geometrico costituito da tutti questi

punti viene detto ‘Circonferenza’.

La distanza dal centro ‘o’ ad uno di questi

punti viene detto ‘raggio’. Il doppio del

raggio viene detto ‘diametro’.

Formule

La circonferenza si calcola:

= (r = raggio; d = diametro)

L’area del cerchio si calcola:

Esercizio

Si vuole delimitare un’area a forma di cerchio con una corda. Il raggio del cerchio deve essere pari

a 10 m. Quanto deve essere lunga la corda per costruire il cerchio?

La lunghezza della corda è pari alla circonferenza, quindi basta utilizzare la formula per il suo calcolo:

=

cerchio

circonferenza

centro

raggio

O

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La prospettiva

La prospettiva è un complesso di convenzioni nell'arte del disegno, per rappresentare

illusoriamente, su una superficie piatta rilievi, spazi e profondità.

Questa, per non essere confusa con la prospettiva "aerea", viene chiamata "prospettiva lineare".

Rispettando le leggi della prospettiva lineare, gli oggetti della stessa altezza e larghezza risultano di

dimensioni notevolmente diverse a seconda dei piani in cui si trovano, dando così l'effetto

"distanza".

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Il Cilindro

Il cilindro è un solido generato dalla rotazione di un rettangolo intorno ad un suo lato. Più

precisamente si definisce cilindro il solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo

intorno ad un suo lato (asse del cilindro)

AB – altezza del cilindro intorno a cui ruota il rettangolo

CD - generatrice, una qualunque delle posizioni assunte dal lato CD nella rotazione

ABCD – superficie laterale del cilindro; superficie descritta dalla generatrice CD

Formule per il cilindro

Area Volume Formule inverse

√

: area di base

: area laterale

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Angoli opposti al vertice

Il teorema degli angoli opposti al vertice afferma che:

Due angoli opposti al vertice sono sempre congruenti.

Sono gli angoli che si formano intersecando due rette e sono uguali a due a due. Il caso particolare

è quello di due rette perpendicolari dove si formano quattro angoli retti.

Dimostrazione

Dimostrazione che è uguale a

+ formano un angolo piatto perché sono adiacenti

+ formano un angolo piatto perché sono adiacenti

+ = + quindi è comune a due somme che danno lo stesso risultato per cui anche è uguale ad .

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Utilizzo del teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.

Enunciato

In un triangolo rettangolo, l'area del

quadrato costruito sull'ipotenusa è

equivalente alla somma delle aree dei

quadrati costruiti sui due cateti.

Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi

cateti, il teorema è espresso dall'equazione:

a2 + b

2 = c

2

o, in alternativa, risolvendolo per c:

√ Da cui si ricavano i rispettivi cateti:

√ e

√

√

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Esercizio Calcola il cateto AB del triangolo rettangolo in figura:

AC = 11 cm BC = 9 cm

Ris.[6,3 cm]

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Traslazione

In una traslazione ogni punto del piano viene spostato nella stessa direzione e verso, e secondo

una stessa distanza Si può vedere in

figura l’effetto di una traslazione. Tutti i

punti e le linee vengono spostati nella

stessa direzione e nello stesso verso e

mantengono le stesse dimensioni.

Esercizio

Trova le coordinate di tutti i punti esterni dell’immagine in nero, poi trova le coordinate di tutti i

punti esterni dell’immagine in blu ed infine verifica che tutti i punti dell’immagine in nero abbiano

subito il medesimo spostamento.

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Triangolo isoscele

Si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede almeno due lati uguali o un triangolo che

possiede almeno due angoli uguali. Infatti vale il seguente Teorema: Un triangolo ha due lati

uguali solo se ha due angoli uguali.

Gli angoli alla base del triangolo crescono al crescere dell’altezza.

Come in tutti i triangoli la somma delle ampiezze degli angoli vale

180 gradi.

Formule

√

Esercizio Verifica l’ultima formula con il teorema di Pitagora ricordando che la base è divisa in due dall’altezza.

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Angoli alterni interni

Due rette (r,s) tagliate da una trasversale danno origine ad 8 angoli.

Gli angoli a,d,g,f vengono detti ‘interni’

Gli angoli b,c,h,e vengono detti ‘esterni’

Gli angoli( a-f ) e (d-g) vengono detti ‘coniugati

interni’

Gli angoli (b-e) e (c-h) vengono detti ‘coniugati

esterni’

Gli angoli (a-g) e (d-f) vengono detti ‘alterni interni’

Gli angoli (b-h) e (c-e) vengono detti ‘alterni esterni’

Gli angoli (b-f) , (c-g), (d-h), (a,e) vengono detti ‘corrispondenti’

Se le due rette (r,s) sono parallele si ha che gli angoli corrispondenti, gli angoli alterni interni e gli

angoli alterni esterni sono uguali., cioè:

b=f; c=g; d=h; a=e

a=g; d=f;

b=h; c=e,

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Calcolo della radice quadrata

La radice quadrata di un numero è quel numero che elevato al quadrato coincide col numero

(radicando) assegnato:

Es: 62 = 36

√

6

Si può dire che la radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevazione al quadrato nel caso di

quadrati perfetti.

Esempi:

√

√

√

RADICANDO

RADICE QUADRATA

INDICE

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La simmetria centrale

Una figura ha un centro di simmetria (simmetria centrale) se esiste un punto (centro di simmetria)

rispetto al quale i punti della figura sono a

due a due simmetrici, cioè tutte le coppie di

punti corrispondenti hanno la stessa

distanza dal punto centrale (sono

equidistanti).

La simmetria centrale fa parte delle

trasformazioni di rotazione ed è quella che

ha la caratteristica di avere una rotazione di

180°.

Come puoi osservare in figura puoi facilmente verificare quanto asserito precedentemente per la

coppia di punti B e B’ , infatti sono entrambi distanti dal punto ‘P’ di 3 unità. Per verificarlo con gli

altri punti dovresti misurare con un righello le distanze AP e A’P o CP e C’P. Puoi farlo però anche

applicando le relazioni:

alle coppie di punti A e A’ ; B e B’ ; C e C’

A(2,7) A’(8,1) si ha: ;

B(2,4) B’(8,4)) si ha: ;

C(3,5) C’(7,3) si ha: : ;

In conclusione quindi:

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Lo sviluppo di un cubo

4

3

1

2

5

6

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Asse di simmetria

Di seguito alcuni esempi di assi di simmetria nei poligoni regolari.

• Il triangolo equilatero ha tre assi di simmetria

• Il quadrato ha quattro assi di simmetria

• Il pentagono ha cinque assi di simmetria

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Esercizio: Dove si trova

Osserva la piantina e individua i punti 9, 14, 15, 16, 17, 18 nella foto.

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INVALSI Matematica

Dati e previsioni 54Scuola secondaria di I grado – 3° anno


Dati e previsioni

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INVALSI Matematica Dati e previsioni



Piano cartesiano

La figura rappresenta un piano cartesiano; per poterlo disegnare devi tracciare l’asse delle X (le

ascisse) e l’asse delle y (le ordinate)

L’asse delle X e delle Y sono suddivisi in tanti parti

uguali; ogni parte è uguale all’unità di misura U

Il punto ‘A’ è un punto del piano cartesiano. Per trovare

il punto bisogna conoscere le sue coordinate: l’ascissa

‘1’ e l’ordinata ‘3’

Riepilogando quindi, ogni punto del piano si può

individuare con una coppia di numeri reali chiamati

rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive:

P(x,y);

Esercizio

Prova ad individuare nel grafico il punto di coordinate (2,2) e poi verifica nella figura accanto se lo

hai individuato correttamente.

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La probabilità

Si definisce probabilità di un evento il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei

casi possibili supposti tutti ugualmente possibili

Essendo m il numero dei casi favorevoli ed n il numero dei casi possibili

Ad esempio:

Nel lancio di una moneta posso ottenere o testa o croce

I casi favorevoli sono 1;

I casi possibili sono 2 (le due facce della moneta), quindi:

Se si fanno due lanci si possono ottenere le seguenti combinazioni (TT, CC, TC,CT);

in questo caso per calcolare la probabilità che facendo due lanci si ottenga la combinazione (TT)

dovremo considerare che:

I casi favorevoli sono 1

I casi possibili sono 4

Per calcolare la probabilità che facendo due lanci si ottenga la combinazione TC o CT dovremo

considerare che:

I casi favorevoli sono 2

I casi possibili sono 4

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Tabella

Una tabella è formata da una griglia di righe e colonne che intersecandosi individuano tante celle.

cella

riga

La tabella in figura è composta da 4 righe e 5 colonne; quindi se si vuole individuare la posizione

dove c’è la scritta in rosso ‘cella’ bisogna indicare la prima riga e la 5 colonna.

Esempio

Verifica che nella tabella seguente il ragazzo più alto è ‘Vittorio’ e il dato si trova nella cella

individuata dalla riga 4 e la colonna 3, cioè 173 cm.

Nome Età Altezza

Angelo 15 165

Mario 14 172

Luca 16 170

Vittorio 14 173

Dario 16 169

colonna

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Moto rettilineo uniforme

Un corpo si muove con moto uniforme quando percorre spazi uguali in tempi uguali. Ciò equivale a

dire che la velocità è costante.

Se la traiettoria è rettilinea (cioè non curva) si parla di moto rettilineo uniforme.

Nella tabella viene riportato la legge che lega (s) spazio e (t) tempo.

La stessa viene rappresentata nel grafico:

s=vt (detta anche legge oraria)

Per la velocità v= s/t, come puoi osservare nel grafico prendendo le varie coppie (s,t), si trova

sempre il valore ‘2’, a sostegno di quanto detto sopra in merito alla costanza della velocità nel

moto rettilineo uniforme. [ (s=2, t=1: v= 2) ; (s=4, t=2: v= 2) ; (s=6, t=3: v= 2) etc. ]

La velocità nel sistema S.I. si misura in metri al secondo.

Formule

;

;

t s 0 0

1 2

2 4

3 6

4 8

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La statistica

La statistica è una scienza nata per studiare i fenomeni di rilevanza sociale in uno Stato. Per

esempio analizzare cose come l’età media della popolazione in Italia, quale percentuale di italiani

in età scolastica frequenta la scuola, quale percentuale di italiani possiede un automobile, quale

percentuale di italiani segue il calcio in TV, etc. rappresentano dei fenomeni collettivi oggetto di

studi statistici.

Per condurre un’indagine statistica in modo appropriato è necessario seguire una procedura

precisa basata sullo sviluppo di 4 fasi:

1. definire con precisione il fenomeno su cui si vuole indagare

2. individuare i soggetti interessati al fenomeno su cui si vuole indagare

3. rilevare e raccogliere i dati in modo appropriato

4. elaborare ed interpretare i dati raccolti

Con riferimento al quesito la studentessa, Sara non ha ben definito la 2° fase rivolgendo il quesito

solo agli studenti della sezione musicale.

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La scala numerica

La scala di rappresentazione è il rapporto tra le dimensioni della realtà e quella di una sua

rappresentazione. La rappresentazione in scala viene utilizzata in cartografia, nel disegno, etc.

La scala essendo il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle due

misure (carta e realtà) espresse nella stessa unità di misura. Il rapporto è, quindi, un numero puro,

indipendente dall’unità di misura prescelta.

La scala numerica è una frazione avente per numeratore l’unità e per denominatore il numero che

indica quante volte bisogna moltiplicare una lunghezza misurata sulla carta per ottenere la

corrispondente misura reale.

Esempio 1:10.000 Nel leggere un rapporto di scala si usa leggere il segno di due punti come “(sta) a”.

Esempio 1:10.000 si legge 1 (sta) a 10.000

Se troviamo scala 1:1.000.000 (si legge 1 (sta) a 1 milione) significa che 1 centimetro sulla carta

corrisponde a 1.000.000 di centimetri nella realtà e cioè a 10 chilometri.

Esercizio

Completa le seguenti affermazioni:

Scala 1: 150.000 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a …………………nella realtà e cioè a

……………Km.

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L’Istogramma

Un istogramma è un particolare grafico dove ogni dato è rappresentato dalla superficie di un

rettangolo. I rettangoli hanno tutti ugual base e il confronto fra le loro superfici è possibile grazie

alle diverse altezze. Come per i diagrammi a linee, i rettangoli possono essere posizionati in

verticale o in orizzontale.

Inoltre, possono essere disegnati uno di seguito all’altro senza spazi intermedi, in modo da

formare un’unica superficie (istogramma) oppure separatamente a strisce verticali (ortogramma).

Nel lessico quotidiano però si parla di istogramma in ambedue i casi.

Vengono anche detti : grafici a colonna, grafici a rettangolo

Esempio: Disegniamo l’istogramma relativo alla classifica di alcune squadre di calcio di serie A.

0

10

20

30

40

50

60

P

u

n

t

i

Classifica Serie A

Serie 1

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Esercizio: Chi va a dieta?

Utilizzando il grafico riportato di seguito individua chi tra Piero e Antonio si colloca nella fascia di

obesità e pertanto deve mettersi a dieta. Piero è alto 1,75 m e pesa 119 kg; Antonio è alto 1,90 m

e pesa 122 kg.

Soluzione: [Piero]

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I Fusi Orari

Come sai certamente la terra ruota intorno al proprio asse; ciò comporta che mentre in una

località qualsiasi è mezzogiorno, ossia il sole è visibile nel punto più alto dall'orizzonte, in un altro

luogo il sole sta tramontando, oppure è notte fonda.

Per consentire agli esseri umani di avere un unico sistema internazionale per la definizione delle

ore del giorno valido in tutto il mondo furono istituiti i fusi orari. In base a tale sistema la Terra

viene virtualmente divisa in 24 spicchi, chiamati appunto fusi orari, di un'ampiezza di 15 gradi

ciascuno (360 : 24 = 15). Tutti i paesi che si trovano dentro lo stesso fuso hanno l'ora media del

meridiano che divide esattamente a metà il fuso stesso.

Viene definito primo fuso quello che ha l’ora media del meridiano di Greenwich. L'ora di

Greenwich è nota come GMT, o Greenwich mean time. Viaggiando da Greenwich verso Est,

incontreremo il secondo fuso, la cui ora sarà maggiore di una unità rispetto a quella di Greenwich,

poi il terzo fuso, la cui ora sarà maggiore di due unità rispetto a quella di Greenwich, e così via.

Viceversa, se ci spostiamo da Greenwich verso Ovest, abbiamo il 24° fuso, la cui ora sarà minore di

una unità rispetto a quella di Greenwich, poi il 23° fuso, e così via. A queste differenze vanno

sommate quelle dovute all'ora legale estiva eventualmente in vigore.

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Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della

quadrettatura

Per determinare l’area di una figura geometrica col contorno irregolare come quella riportata nella

figura non possiamo utilizzare le formule abituali. Si può utilizzare il metodo della quadrettatura;

questo metodo ci permette di conoscere l’area con una buona approssimazione e che migliora

quanto più piccoli sono i quadretti.

Supponiamo di voler calcolare l’area della superficie racchiusa dalla curva. Possiamo agire nel

seguente modo:

1) Disegniamo un poligono quadrettato che sia sempre esterno alla curva e contiamo quanti

quadretti contiene (in pratica l’area del poligono esterno alla curva)

2) Disegniamo poi un poligono quadrettato interno alla curva e contiamo quanti quadretti

contiene (in pratica l’area del poligono interno alla curva)

L’area racchiusa dalla curva è intermedia alle aree dei due poligoni pertanto il suo valore

approssimato si può calcolare facendo la media aritmetica delle due aree, cioè:

È evidente che quanto più saremo precisi nel tracciare i due poligoni in maniera adiacente alla

curva tanto più il risultato risulterà meglio approssimato.

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Coordinate in un grafico








Riepilogando quindi, ogni punto del piano si può individuare con una coppia di numeri reali

chiamati rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x,y);

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Scala di grandezze del peso

• T – tonnellata = 1.000.000 g • Q – quintale = 100.000 g • Mg – miriagrammo = 10.000 g • kg – chilogrammo = 1.000 g • hg – ettogrammo = 100 g • dag – decagrammo = 10 g • g – grammo • dg – decigrammo = 0,1 g • cg – centigrammo = 0.01 g • mg – milligrammo = 0,001 g

Il chilogrammo o kilogrammo (simbolo: kg) è l'unità di misura di base della massa nel Sistema

internazionale di unità di misura (SI). Esso è definito come la massa del prototipo internazionale

del kilogrammo.

Un Kg corrisponde a:

• 0,001 T - tonnellate • 0,01 Q - quintali • 0,1 Mg - miriagrammi • 10 hg - ettogrammi • 100 dag - decagrammi • 1000 g - grammi • 10000 dg - decigrammi • 100000 cg - centigrammi • 1000000 mg - milligrammi

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Media aritmetica

La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine

"media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo

numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una

popolazione).

Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi per il loro numero

complessivo. La formula della media aritmetica semplice per n elementi è:

media =

Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali

economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche.

Esempio

Consideriamo una classe composta da 10 alunni e di voler calcolare l’altezza media; nella tabella

sono indicate le varie altezze in cm.

Alunno Altezza in cm.

Mario

Giovanni

Alberto

Danilo

Francesco

Giulio

Carlo

Bruno

Sandro

Mauro

l’altezza media sarà pari a:

= 154,4 cm

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Mediana

La mediana di un insieme di dati ordinati corrisponde:

al valore del dato che occupa la posizione centrale, se i dati sono in numero dispari

alla media aritmetica dei dati che occupano la posizione centrale se i dati sono in numero pari.

Per il nostro esempio ordiniamo i dati scrivendo:

Il numero dei dati è pari quindi va fatta la media tra i due valori centrali, cioè:

Alunno Altezza in cm.

Mario

Giovanni

Alberto

Danilo

Francesco

Giulio

Carlo

Bruno

Sandro

Mauro

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Sistema di numerazione a base 10

Il nostro sistema di numerazione si dice posizionale in quanto il valore di un simbolo dipende dalla

posizione che esso occupa nella scrittura del numero. I simboli usati (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) vengono

detti cifre.

Esempio. Nel numero 2 6 9 5 le cifre sono 2, 6, 9, 5

Nella scrittura di un numero decimale si distinguono due parti: la parte intera, che è quella prima

della virgola e la parte decimale che è quella dopo la virgola. Per quanto detto precedentemente

ogni cifra ha un valore che dipende dalla posizione che essa occupa nel numero stesso. Questo

valore si chiama valore posizionale della cifra.

Spostandosi da destra verso sinistra, il valore posizionale delle cifre aumenta di 10 volte per ogni

posto.

Esempi

1 decina = 10 unità

1 centinaia = 10 decine = 100 unità

1 migliaia = 100 decine = 1000 unità

Esercizio Scomponi il numero 34,567

E-BOOK01




Proporzioni




che si può anche scrivere come: a : b = c : d ( si legge: a sta a b come c sta a d ) Il primo ed il quarto termine ( a e d ) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si

dicono medi

Esempio 1

36 : 4 = : 8

La


Esempio 2

36 : 4 =

La


Esercizio Risolvi le due proporzioni seguenti:

32 : 2 = : 4 [Ris. = 64 ]

18 : 9 = 4 : [Ris. = 2]

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INVALSI Matematica

Relazioni e funzioni 71Scuola secondaria di I grado – 3° anno


Relazioni e funzioni

E-BOOK01

INVALSI Matematica Relazioni e funzioni



Esercizio: Quanto tempo impiega?

Lorenzo parte da Pittulongu alle 7.42 ed arriva in Via san Simplicio alle 7.55. Quanti minuti dura il

suo viaggio? Quanti secondi dura il suo viaggio?

Ris.[13 m; 780 s]

Sol. [55 -42 = 13m; 13 x 60 = 780 s]

Considerando che al ritorno parte da Via San Simplicio alle 13.56 ed arriva a Pittulongu alle 14.09,

questo viaggio in termini di tempo com’è rispetto a quello di andata?

Sol. [Uguale, infatti dalle 13.56 alle 14.00 ci sono 4 minuti che si sommano agli altri 9 m (14.09) quindi 13 m]

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La tabella e il grafico

Una tabella è formata da una griglia di righe e colonne che intersecandosi individuano tante celle.

cella

riga

La tabella in figura è composta da 4 righe e 5 colonne; quindi se si vuole individuare la posizione dove c’è la scritta in rosso ‘cella’ bisogna indicare la prima riga e la 5 colonna. Es. Verifica che nella tabella seguente il ragazzo più alto è ‘Vittorio’ e il dato si trova nella cella individuata dalla riga 4 e la colonna 3, cioè 173 cm.

Nome Età Altezza

Angelo 15 165

Mario 14 172

Luca 16 170

Vittorio 14 173

Dario 16 169

Grafico – (Piano cartesiano)

La figura rappresenta un piano cartesiano; per poterlo

disegnare devi tracciare l’asse delle X (le ascisse) e l’asse

delle y (le ordinate)

L’asse delle X e delle Y sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni

parte è uguale all’unità di misura U

Il punto ‘A’ è un punto del piano cartesiano. Per trovare il

punto bisogna conoscere le sue coordinate: l’ascissa ‘1’ e

l’ordinata ‘3’



colonna

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I segmenti

Un segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi.

Il segmento, generalmente, si indica con due lettere maiuscole dell'alfabeto italiano, poste agli

estremi.

Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune e

nessun altro punto.

Due segmenti si dicono congruenti se con un movimento rigido si possono sovrapporre in modo

che coincidano punto per punto.

Due segmenti consecutivi sono adiacenti se

appartengono alla stessa retta.

Due segmenti sono sovrapposti se hanno un estremo in comune e

tutti i punti di uno (quello minore) sono in comune con i punti

dell'altro segmento.

A B

C

A

D

B

Due segmenti consecutivi

C

A D B

Due segmenti adiacenti

A

C D Due segmenti sovrapposti

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Curve di livello

Una carta topografica deve rappresentare due cose: quello che c’è sul terreno (paesi, boschi,

strade, fiumi, ferrovie, ecc.) e i rilievi (monti, colline, vallate, ecc.). Per rappresentare quello che c’è

sul terreno si utilizzano i simboli grafici, mentre per rappresentare la conformazione del suolo si

ricorre alle curve di livello, che sono le linee ideali che uniscono tutti i punti di

uguale quota rispetto al livello del mare.

Il principio su cui si basa la loro costruzione

è semplice: se immagini di sezionare una certa

zona con una serie di piani orizzontali, tutti alla

stessa distanza fra loro, otterrai altrettante

linee curve, più o meno sinuose.

Queste linee uniscono i punti che si trovano

alla stessa quota. Se ora proietti queste curve

su un foglio, avrai su di esso altrettante curve,

una per ogni piano orizzontale con il quale hai

sezionato il terreno.

Queste curve sono dette curve di livello o isoipse (parola che in greco significa "uguale altezza").

Quanto più le curve di livello sono ravvicinate tra loro, tanto più il pendio è ripido e viceversa,

quanto più sono distanziate, tanto più il pendio è dolce. La differenza fra una curva di livello e

quella successiva è detta equidistanza e la trovi segnata sulla carta topografica.

In sintesi:

Più le curve sono vicine, più il pendio è ripido;

Più le curve sono distanti, più il pendio è dolce;

Quando le curve sono parallele, il pendio è uniforme.

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Esercizi – dalle parole alla formula

A) Trova l’anno in cui fu scoperta l’America aggiungendo a 1000, 4 volte il numero 100 e 2 volte il numero 46.

B) Trova l’anno in cui ci fu la ‘Presa della Bastiglia’ aggiungendo a 500, il suo doppio e il

prodotto di 17 per se stesso.

Sol. A [1000 + 4 x 100 + 2 x 46 = 1000 + 400 + 92 = 1492 ] Sol. B [500 + 2x 500 + 17 x 17 = 500 + 1000 + 289 = 1789]

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La molla

Una molla è un oggetto elastico, generalmente fabbricato in acciaio, usato ed ottimizzato per

accumulare energia meccanica. In meccanica, e fisica,

la legge di Hooke è la più semplice relazione costitutiva

di comportamento dei materiali elastici. Essa è

formulata dicendo che l'allungamento subìto da una

molla è direttamente proporzionale alla forza applicata:

F=Kδ

K: costante di proporzionalità; viene detta costante elastica e dipende dalla molla.

δ: è l’allungamento subito dalla molla

I materiali per i quali la legge di Hooke è un'utile approssimazione del reale comportamento sono

detti materiali elastico-lineari.

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Criteri similitudine

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I monomi

Si dice monomio un' espressione algebrica nella quale non figuri il segno di addizione, o di sottrazione. Ad esempio: 4ab è un monomio Il fattore numerico di un monomio (4) si dice coefficiente del monomio. Il prodotto dei fattori letterali (ab) si dice parte letterale. un monomio si dice intero, quando in esso non figurano delle frazioni con lettere nel denominatore. Il grado di un monomio intero, rispetto ad una delle lettere che figurano in esso è l' esponente di quella lettera. Il grado complessivo di un monomio intero è la somma degli esponenti di tutte le lettere che vi figurano. Due monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale. Ad esempio: 4 a3 b2 ; 20 a3 b2

Addizione monomi simili La somma di più monomi simili è un monomio simile ai dati ed il cui coefficiente è la somma algebrica dei coefficienti dei singoli addendi. Ad esempio: 5a3 b2 m3 + 15a3 b2 m3 - 11a3 b2 m3 = 9a3 b2 m3

Se due o più monomi non sono simili, la loro somma non si può effettuare.

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L’unità di misura di capacità

Il litro è definito come l’unità di misura di volume o di capacità, simbolo l, corrispondente a 1

decimetro cubo di acqua distillata;

Di seguito un promemoria utile per confrontare i contenuti espressi in vari modi:

- Unità di misura in litri (l)

. 1 l, cioè un litro

. 0,5 l oppure 1/2 l

. 0,33 l oppure 1/3 di l



- Unità di misura in decilitri (dl)

. 1 dl = 1/10 di l - cioè 1/10 di l

. 5 dl = 1/2 l - cioè 1/2 l

. 10 dl = 1 l

- Unità di misura in centilitri (cl)

. 100 cl = 10 dl - cioè 1 l

. 50 cl = 5 dl - cioè 1/2 l

. 10 cl = 1 dl - cioè 1/10 di l

. 1 cl = 0,1 dl - cioè 1/100 di l

- Unità di misura in millilitri (ml)

. 1000 ml = 1 l - cioè 10 dl - cioè 100 cl

. 500 ml = 1/2 l - cioè 5 dl - cioè 50 cl

. 100 ml = 1/10 di l - cioè 1 dl - cioè 10 cl

. 10 ml = 1/100 di l - cioè 0,1 dl - cioè 1 cl

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Proporzionalità quadratica

Si ha una proporzionalità quadratica tra due grandezze X e Y quando la grandezza variabile Y è

direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza X, ovvero se le due grandezze sono

collegate da una relazione come:

Es.

avremo che:

Y X

9 1

36 2

81 3

dalla tabella si può notare che:

quando X raddoppia, Y diventa quattro volte più grande;

quando X triplica, Y diventa nove volte più grande;

più in generale quando X viene moltiplicata per n volte, Y diventa n2 volte maggiore.

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Moto rettilineo uniforme

Un corpo si muove con moto uniforme quando percorre spazi uguali in tempi uguali. Ciò equivale a

dire che la velocità è costante.

Se la traiettoria è rettilinea (cioè non curva) si parla di moto rettilineo uniforme.

Nella tabella viene riportato la legge che lega (s) spazio e (t) tempo.

La stessa viene rappresentata nel grafico:

s=vt (detta anche legge oraria)

Per la velocità v= s/t, come puoi osservare nel grafico prendendo le varie coppie (s,t), si trova

sempre il valore ‘2’, a sostegno di quanto detto sopra in merito alla costanza della velocità nel

moto rettilineo uniforme. [ (s=2, t=1: v= 2) ; (s=4, t=2: v= 2) ; (s=6, t=3: v= 2) etc. ]

La velocità nel sistema S.I. si misura in metri al secondo.

Formule

;

;

t s 0 0

1 2

2 4

3 6

4 8

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Aritmetica dei numeri pari e dispari

In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due(es. 8=2x2x2x2), è

un numero pari, altrimenti, è un numero dispari (es. 7 non lo puoi ricavare moltiplicando tante

volte 2).

Ancora un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che

la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è

pari.

L'insieme dei numeri pari può essere scritto come:

Pari = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

L'insieme dei numeri dispari può essere scritto come:

Dispari = 2Z+ 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.

Dove Z è l’insieme dei numeri relativi. [I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno - davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z , perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero.]

Addizione e sottrazione

Moltiplicazione

Divisione *

pari ± pari = pari pari × pari = pari pari / dispari = pari

pari ± dispari = dispari pari × dispari = pari dispari / dispari = dispari

dispari ± dispari = pari dispari × dispari = dispari pari / pari può dare un risultato

o pari o dispari.

dispari ± pari = dispari. dispari / pari non da mai un

risultato intero

Si applica solo per i numeri interi quando il risultato è un numero intero

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Gioco Pari e Dispari

Si gioca a due giocatori; uno dei due giocatori sceglie “pari” o “dispari”, l’altro giocatore

ovviamente deve per forza scegliere l’altro valore.

Poi contemporaneamente indicano con le dita un numero tra 0 e

5.

Se la somma delle dita delle due mani dà un numero pari, vince il

giocatore che aveva scelto pari; se la somma delle dita è invece

dispari, vince l’altro giocatore.

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Proporzionalità quadratica

Si ha una proporzionalità quadratica tra due grandezze X e Y quando la grandezza variabile Y è

direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza X, ovvero se le due grandezze sono

collegate da una relazione come:

Es.

avremo che:

Y X

9 1

36 2

81 3

dalla tabella si può notare che :

quando X raddoppia, Y diventa quattro volte più grande;

quando X triplica, Y diventa nove volte più grande;

più in generale quando X viene moltiplicata per n volte, Y diventa n2 volte maggiore.

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Triangolo isoscele

Si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede almeno due lati uguali o un triangolo che

possiede almeno due angoli uguali. Infatti vale il seguente Teorema: Un triangolo ha due lati

uguali solo se ha due angoli uguali.

Gli angoli alla base del triangolo crescono al crescere dell’altezza.

Come in tutti i triangoli la somma delle ampiezze degli angoli vale

180 gradi.

Formule

√ (

)

Verificala con il teorema di Pitagora e ricorda che la base è divisa in due dall’altezza.

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Gli insiemi (2Z) e (2Z + 1)

In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due(es. 8=2x2x2x2), è

un numero pari, altrimenti, è un numero dispari (es. 7 non lo puoi ricavare moltiplicando tante

volte 2) .

Ancora un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che

la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è

pari.

L'insieme dei numeri pari può essere scritto come:

Pari = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

L'insieme dei numeri dispari può essere scritto come:

Dispari = 2Z+ 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.

Dove Z è l’insieme dei numeri relativi. [I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione

dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno -

davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z,

perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero.]

Osservazione

Per dimostrare che la somma di tre numeri dispari consecutivi è ancora un numero dispari ed è

multiplo di 3 possiamo ragionare nel seguente modo:

Scriviamo i tre numeri dispari consecutivi in questo modo ( 2N-1), (2N+1), (2N+3) e poi scriviamo

la somma di tre numeri dispari come di seguito:

(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=6n+3

6n è un numero pari, sommato a 3 dà un numero dispari.

6n+3=3(2n+1) mettendo in evidenza il 3 e quindi si evince che il numero risultante è multiplo di 3.

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Proporzioni




che si può anche scrivere come: a : b = c : d (si legge: a sta a b come c sta a d) Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si

dicono medi.

Esempio 1

36 : 4 = : 8

La


Esempio 2

36 : 4 =

La


Esercizio Risolvi le due proporzioni seguenti:

32 : 2 = : 4 [Ris. = 64 ]

18 : 9 = 4 : [Ris. = 2]

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Trapezio

Un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli. I due lati paralleli ‘a’ e ‘c’ sono le basi del

trapezio, la "base maggiore" e la "base minore", mentre gli altri due lati ‘b’ e ‘d’ sono i lati obliqui

del trapezio. La distanza ‘h’ fra i due lati paralleli rappresenta l'altezza del trapezio.

Se i due lati obliqui sono paralleli si ha un

parallelogramma; un quadrato (lati uguali e

angoli retti), rettangolo (lati opposti uguali e

angoli retti).

Trapezio rettangolo

Un trapezio rettangolo è un trapezio con i due angoli adiacenti al lato perpendicolare alle basi

uguali e quindi retti.

Trapezio isoscele

Il trapezio isoscele ha i due lati obliqui uguali e, di conseguenza, anche i due angoli acuti della stessa misura e i due angoli ottusi uguali. Le sue diagonali sono uguali .

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I numeri triangolari

Un numero intero positivo si dice triangolare se è uguale alla somma di una sequenza di numeri

consecutivi a partire da 1.

Ad esempio, 10 e 15 sono numeri triangolari perché:

10=1+2+3+4

15=1+2+3+4+5

21=1+2+3+4+5+6

I numeri triangolari si definiscono anche come numeri figurati perché si possono rappresentare

come mostrato nella figura seguente:

Un numero triangolare ‘n’si può calcolare con la seguente formula:

Esempi:

con n = 5 si ha: 1+2+3+4+5 = 5 x

=15

con n = 8 si ha: 1+2+3+4+5+6+7+8 = 8 x

= 36

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Angoli al centro e alla circonferenza

Per comprendere quale relazione ci sia tra gli angoli al centro e alla circonferenza occorre

ricordare il seguente Teorema:

In ogni circonferenza l'angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo

stesso arco.

Ipotesi

AÔB = angolo al centro

AĈB = angolo alla circonferenza (insiste sullo stesso arco AB)

Tesi

AÔB = 2 AĈB

Dimostrazione

Tracciamo il diametro COD e poi cominciamo col dimostrare che DÔB = 2DĈB osservando che:

- il triangolo OBC è isoscele poiché OB ed OC sono uguali in

quanto raggi della circonferenza e quindi i due angoli OĈB ed

O ̂C sono uguali

- l’angolo DÔB è un angolo esterno rispetto al triangolo OCB ed

è pari a 2OĈB, infatti:

DÔB = 180 - CÔB = 180 – (180 - 2 OĈB) = 2OĈB

quindi:

DÔB = 2OĈB = 2DĈB come volevasi dimostrare.

ora per dimostrare che DÔA = 2DĈA si agisce come prima (puoi provarlo a fare tu)

Concludendo allora si ha che: AÔB = 2DĈB + 2DĈA = 2(DĈB + DĈA) = 2AĈB

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Multiplo

Il multiplo di un numero intero è dato dal prodotto di questo numero per un altro, quindi anche il

risultato ottenuto è un numero intero. Per esempio se consideriamo il numero 3 e lo

moltiplichiamo per i numeri da 1 a 10 otteniamo:

3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 3 x 5 = 16 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21 3 x 8 = 24 3 x 9 = 27 3 x 10 = 30

i numeri ottenuti si dicono multipli di 3. Ovviamente si potrebbe continuare anche oltre il 10 fino

all’infinito e quindi possiamo affermare che i multipli di un numero sono infiniti.

Ancora possiamo osservare che se moltiplichiamo un numero per ‘1’ otteniamo sempre lo stesso

numero, quindi ogni numero è multiplo di se stesso:

1 x 1 = 1 2 x 1 = 2 3 x 1 = 3

1 è multiplo di 1, 2 è multiplo di 2, 3 è multiplo di 3, etc.

Prendiamo ora in esame il prodotto di due numeri come ad esempio:

4 x 5 = 20 (20 è multiplo di 5 e di 4) 7 x 8 = 56 (56 è multiplo di 7 e di 8)

cioè il prodotto di due numeri è multiplo di ognuno di essi.

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Espressioni letterali

Un’espressione letterale è un’espressione algebrica dove compaiono numeri e lettere; ad esempio

a + b + c + d ; 3a - 5b2 + 7c ;

assegnando alle lettere dei valori numerici le espressioni letterali diventano numeriche.

Esempio 1

5ab + 2c per a= 3 ; b = - 4 , c = 2 si ha:

Esempio 2

(

)

per a = 1 ; b= 2 ; c= 4

(

)

(

)

Esempio 3

per x = 4 ; y = 4

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Risolvere un’equazione

Risolvere un’equazione significa trovare quel valore di ‘x’ che soddisfi l’equazione data.

Un’equazione di primo grado ammette sempre una ed una sola soluzione.

Esempi:

a) 3x + 3 = 0

3x = -3

b) 2x -4x + 3 + 1 = 0

-2x = - 3 – 1

-2x = -4

Verifica dell’equazione

Per controllare se la soluzione trovata è esatta si può sostituire ad ‘x’ la soluzione trovata e

verificare che i due membri abbiano lo stesso valore; verifichiamo l’equazione dell’esempio b):

- 2(+2) = -4 -4 = -4

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Il quadrato e il rettangolo

Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro

lati uguali e quattro angoli uguali (tutti retti).

Le diagonali di un quadrato sono uguali e perpendicolari;

si intersecano nel loro punto di mezzo e misurano

√ Il rettangolo è un particolare parallelogrammo con i due lati opposti

paralleli e congruenti (uguali) e con tutti gli angoli interni congruenti

(uguali) e retti, cioè di 90° gradi.

Formule area e perimetro

Figura Quadrato Rettangolo

Area

A = l x l

oppure

A = l 2

A = b x h

Perimetro P = l x 4

P = 2b + 2h

oppure

P = 2 x (b + h)

l

l

b

h

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Ascisse e ordinate










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INVALSI Matematica

Prova anno scolastico 2011 - 2012 97Scuola secondaria di I grado – 3° anno


Prova anno scolastico 2011 – 2012

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INVALSI Matematica Spazio e figure



E1

E1. L’immagine qui sotto è una ricostruzione dell’Acropoli di Atene. L’edificio

indicato con P è il Partenone, tempio dedicato alla dea Atena.

Osserva ora questa piantina dell’Acropoli

Quale numero riportato sulla piantina identifica il Partenone?

A. 19

B. 17

C. 14

D. 1

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Per rispondere correttamente bisogna comparare le due rappresentazioni ed individuare alcuni punti certamente corrispondenti come il punto ‘18’ rappresentante l’anfiteatro. Il Partenone è situato appena al di sopra di esso verso sinistra, quindi non può che essere la struttura con il numero ‘1’.

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E2

E2. Indica se le uguaglianze in tabella sono vere (V) o false (F).

V F

a. 3 + 2 = 5 b. 23 = 5 c. 2

3 + 2

2 = 5

d. 22 23 = 5

Per rispondere correttamente occorre conoscere il significato dell’operazione radice e le regole per eseguire le operazioni con i radicali. a) ricordando che per eseguire la somma fra termini con radicali devo cercare i termini simili (con radicali uguali) e poi sommarne i coefficienti numerici (i termini fuori del radicale) si vede facilmente che i due radicali non sono simili pertanto l’uguaglianza risulta falsa. b) l’uguaglianza risulta corretta in quanto i due termini sono entrambi sotto il segno di radice, in pratica (3+2) costituisce il radicando pertanto si possono sommare. c) l’uguaglianza risulta vera in quanto si può facilmente verificare che l’operazione di radice e di potenza al quadrato si elidono infatti:

√ √

pertanto 3 + 2 = 5

d) l’uguaglianza risulta falsa in quanto:

√ √ √

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E3

E3. All’università un esame di inglese prevede uno scritto e un orale e il voto

massimo per ciascuna prova è 30. Il voto dello scritto vale il doppio rispetto al

voto dell’orale. Piero prende 24 allo scritto e 30 all’orale.

a. Quale sarà il voto finale di Piero nell’esame di inglese?

A. 25

B. 26

C. 27

D. 28

Per rispondere correttamente occorre tenere in considerazione che la prova scritta ha valore doppio, pertanto possiamo costruire una tabella dove riportiamo i voti delle prove e poi ricaviamo il voto medio calcolando la media su tre prove, infatti:

Piero

Scritto (primo) Scritto (secondo) Orale Somma voti Voto medio

24 24 30 78 78:3 = 26

a. Marco prende 30 allo scritto e 24 all’orale. Come sarà il voto finale di

Marco rispetto a quello di Piero?

Scegli una delle tre risposte e completa la frase.

Sarà più alto

Sarà più basso

Sarà uguale

Adoperando la stessa tabella usata precedentemente con i nuovi valori abbiamo:

Mario

Scritto (primo) Scritto (secondo) Orale Somma voti Voto medio

30 30 24 84 84:3 = 28

Del resto è possibile anche evitare di fare i calcoli; infatti si può osservare che benché i voti dello scritto e dell’ orale di Mario rispetto a quelli di Piero siano esattamente il contrario e poiché lo scritto vale il doppio, Mario otterrà un voto più alto.

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E4

E4. L’Indice di Massa Corporea (IMC) è un indicatore del peso forma di una

persona. L’IMC si calcola con la seguente formula:

IMC = peso

altezza2

Dove il peso è espresso in chilogrammi e l’altezza in metri.

a. Carlo, un ragazzo di 16 anni, pesa 70 kg ed è alto 1,8 m. Qual è il suo Indice

di Massa Corporea?

A. Circa 3,8

B. Circa 19,4

C. Circa 21,6

D. Circa 38,9

Per rispondere correttamente è sufficiente applicare la formula, pertanto:

IMC = peso

= 70

= 70

= 21,6 altezza2 1,82 3,24

b. Segna con una crocetta in quale punto del seguente grafico si colloca Carlo.

Il punto si troverà all’intersezione tra l’ascissa 1,8m (180 cm) e l’ordinata 70 kg come si può vedere nel grafico seguente:

quindi Carlo ha un indice di massa corporea che lo colloca all’interno della fascia ‘Peso forma’.

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c. Luigi è alto 1,65 m e in base al grafico è in sovrappeso. Quale potrebbe essere

il peso di Luigi?

A. Quasi 90 kg

B. Compreso tra 70 e 80 kg

C. Circa 60 kg

D. Poco più di 50 kg

Dal quesito si ricava che l’ascissa è pari a ‘165 cm’ pertanto ci si posiziona su questa e si risale verso l’alto fino ad incrociare la parte inferiore e superiore della fascia ‘sovrappeso’ (la parte segnata in verde); si può apprezzare l’intervallo che va da un poco meno di 70 kg ad un poco più di 80 kg, quindi l’alternativa da selezionare è la ‘B’.

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E5

E5. Se a è un numero dispari, quale delle seguenti affermazioni, relative a 3(a+1), è

corretta?

A. 3(a+1) è dispari, perché il triplo di un numero è dispari

B. 3(a+1) è dispari, perché il prodotto di due numeri dispari è dispari

C. 3(a+1) può essere pari o dispari, perché, per esempio, 3 × 2 = 6 e 3 × 5 =

15

D. 3(a+1) è pari, perché (a+1) è un numero pari

Per rispondere correttamente è sufficiente osservare che poiché ‘a’ è un numero dispari ‘a + 1’ sarà sempre un numero pari; poi considerando che il prodotto tra quest’ultimo e qualsiasi altro numero restituirà sempre un numero pari, l’alternativa da selezionare sarà la ‘D’. Verifichiamo con un esempio quanto affermato all’alternativa ‘D’:

a = 5 (un numero dispari)

a + 1 = 5 + 1 = 6 (è un numero pari)

quindi 3(a+1) = 3 x 6 = 18 che ovviamente risulta pari.

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E6

E6. In figura è rappresentato il rettangolo ABCD con le sue diagonali. Se conosci

l’area del rettangolo, puoi calcolare l’area del triangolo in grigio?

A. No, perché i quattro triangoli di vertice O non sono tutti uguali fra loro

B. No, perché non conosco le dimensioni del rettangolo

C. Sì, perché i quattro triangoli di vertice O sono equivalenti

D. Sì, perché i quattro triangoli di vertice O sono isosceli

Per rispondere correttamente bisogna osservare con attenzione il rettangolo per scoprire quale relazione ci sia tra l’area del rettangolo e l’area dei quattro triangoli contenuti in esso. Cominciamo congiungendo i punti medi dei lati in modo da ottenere la figura sottostante, cioè il rettangolo risulta diviso in quattro rettangoli: OMDN, ONAK, OLCM, OKBL. Ognuno di questi rettangoli è composto da due triangoli rettangoli uguali; poiché i quattro rettangoli sono uguali possiamo concludere che il rettangolo contiene ‘8’ triangoli rettangoli tutti uguali. Pertanto conoscendo l’area del rettangolo si può calcolare l’area del triangolo in grigio, infatti per quanto detto i quattro triangoli di vertici ‘O’ sono equivalenti (hanno la stessa area) quindi l’area di uno di essi è pari ad ¼ di quella del rettangolo. Facciamo una verifica numerica; consideriamo un rettangolo con i lati: DC = 6 cm; CB = 2 cm Arettangolo = 6 x 2 = 12 cm2 L’area del triangolo grigio sarà uguale a

Atriangologrigio =

pari ad ¼ dell’area del rettangolo.

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E7

E7. Quale numero puoi inserire nel quadratino per rendere vera la seguente

disuguaglianza?

Si può trasformare le frazioni in frazioni aventi lo stesso denominatore; basta moltiplicare il numeratore e denominatore di ogni frazione per un numero che rende uguale il loro denominatore al denominatore della frazione centrale, cioè:

quindi si vede facilmente che la ’x’ può assumere valori pari a: x > 4 e x < 6

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E8

E8. Per scavare le gallerie di una linea della metropolitana si fa uso di una macchina

cilindrica che sposta la terra, come quella che vedi in figura. La galleria che la

macchina riesce a scavare ha un diametro di 6,80 m. Oggi la macchina ha

scavato un tratto lungo 10 metri.

a. Il volume di terra che è stato rimosso è

A. Circa 70 m3

B. Circa 120 m3

C. Circa 360 m3

D. Circa 470 m3

Per rispondere correttamente bisogna porre attenzione alla forma cilindrica della macchina perché questo ci autorizza ad utilizzare la formula per il calcolo del volume di un cilindro. Pertanto scriviamo proprio questa formula come:

il raggio ‘r’ è pari alla metà del diametro, quindi:

il lato del cilindro è:

L’area di base è:

quindi applicando la formula abbiamo:

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Pertanto l’alternativa da selezionare è la ‘B’.

b. Ieri la macchina ha spostato circa 250 m3 di terra. La densità della terra

spostata è circa 1800 kg/m3. Quanto pesa la terra che la macchina ha

spostato ieri?

Risposta: circa 450.000 kg

Per rispondere correttamente bisogna ricordare la relazione che c’è tra il volume, la densità e la massa. La densità di un corpo è definita come il rapporto tra la massa del corpo ed il volume del medesimo corpo, pertanto indicando con ‘d’ la densità, con ‘m’ la massa, con ‘v’ il volume si ha:

;

quindi:

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E9

E9. Osserva la seguente mappa (scala 1 : 10 000).

Scala 1 : 10000

a. Quanto è lungo il tratto di via Reggio Emilia compreso tra le due stelline?

Risposta: circa 3 m

Per rispondere correttamente bisogna osservare che la mappa è in scala (1:10000), cioè ogni particolare presente nella mappa è 10.000 volte più piccolo rispetto alla realtà. Supponiamo di misurare con un righello, direttamente sulla mappa, la lunghezza del tratto e di apprezzare per esso una misura di ‘3 cm’. In base a quanto detto precedentemente possiamo ricavare la lunghezza reale del tratto, infatti: i 3 cm corrisponderanno a 3 x 10.000 = 30.000 cm; operando l’equivalenza in m si ha:

30.000 cm = 300 m

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b. La stessa zona viene rappresentata in una nuova mappa in scala 1 : 5 000.

Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

A. La nuova mappa diventa più piccola della prima perché 5000 è un

numero minore di 10000

B. La nuova mappa diventa più piccola della prima perché la scala è minore

e i centimetri sono più grandi

C. La nuova mappa diventa più grande della prima perché la scala è

maggiore e ogni centimetro sulla mappa corrisponde a meno centimetri

nella realtà

D. La nuova mappa diventa più grande della prima perché ogni centimetro

sulla mappa corrisponde a 5 chilometri e non a 10 chilometri

La mappa ora è in scala (1:5000), cioè ogni particolare presente nella mappa è 5.000 volte più piccolo rispetto alla realtà mentre nella scala precedente (1:10000) era 10.000 volte più piccolo, quindi la mappa in scala 1:5000 risulterà più grande. Su questa nuova mappa avremo che ‘1 cm’ corrisponderà a ‘5000 cm’ nella realtà ,cioè ‘50 m’ (nella scala precedente ‘1 cm’ sulla mappa corrispondeva a ‘100 m’). In pratica il tratto di Via Reggio Emilia in questa nuova mappa dovrà essere disegnato nel rispetto della nuova scala con una misura di ‘6 cm’, infatti: i 6 cm corrisponderanno a 6 x 5.000 = 30.000 cm; operando l’equivalenza in m si ha:

30.000 cm = 300 m

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E10

E10. Tempo fa si è disputata la partita di pallacanestro B. Pozzo di Gotto - Brescia,

finita con il punteggio di 92-94. La seguente tabella riassume le statistiche di tale

partita per la squadra di Brescia.

Tiri a canestro

Numero del giocatore

Giocatore Minuti giocati

Tiri da 2 Tiri da 3 Tiri liberi PUNTI

7 Bushati Franko 25 0 0 2 2

18 Busma Deividas 23 4 0 1 9

10 Farioli Massimo 20 2 0 0 4

13 Gergati Lorenzo 36 2 1 7 14

14 Ghersetti Mario Jose 37 3 1 1 10

9 Goldwire Leemire 30 9 1 8 29

11 Scanzi Andrea 9 0 1 2 5

5 Stojkov Stevan 15 0 1 0 3

15 Thompson Ryan 30 6 0 6 18

Totale 26 5 27 94

a. Quanti sono i giocatori che hanno realizzato un numero di punti

superiore alla media?

Risposta: 3, sono i giocatori che hanno realizzato 14, 18 e 29 punti

rispondere correttamente bisogna dapprima calcolare la media ricordando che la media aritmetica per n valori (V1,V2,V3, …, Vn) si calcola facendo il rapporto tra la somma di tutti i valori ed il loro numero, cioè:

media =

quindi calcoliamo la media con i dati proposti nel quesito:

media =

pertanto bisogna individuare nella tabella quei giocatori che hanno realizzato più di ‘10,4’ punti e sono:

numero 13 Gergati Lorenzo con punti 14

numero 15 Thompson Ryan con punti 18

numero 9 Goldwire Leemire con punti 29

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b. Quale tra i seguenti giocatori ha realizzato un numero di punti pari alla

mediana?

A. Il numero 7, Bushati Franko

B. Il numero 13, Gergati Lorenzo

C. Il numero 14, Ghersetti Mario Jose

D. Il numero 18, Busma Deividas

Per rispondere correttamente bisogna ricordare cosa rappresenta la mediana. La mediana di un insieme di dati ordinati corrisponde:

- al valore del dato che occupa la posizione centrale, se i dati sono in numero dispari - alla media aritmetica dei dati che occupano la posizione centrale se i dati sono in numero pari.

Pertanto ordiniamo in modo crescente i dati dei punteggi:

2 3 4 5 9 10 14 18 29

I dati sono in numero dispari quindi possiamo ricavare la mediana individuando il dato che occupa la posizione centrale, cioè:

2 3 4 5 9 10 14 18 29

A volta ottenuto la mediana basta individuare in tabella quale giocatore ha realizzato ‘9’ punti; si vede facilmente che si tratta del numero:

18 Busma Deividas.

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E11

E11. La decima parte di 1020

è

A. 1010

B. 120

C. 100

D. 1019

Per rispondere correttamente bisogna osservare che la decima parte si può scrivere come frazione

decimale

ma può anhe essere espressa in notazione scientifica, cioè:

L’operazione che viene richiesta allora si può scrivere come:

si tratta quindi di un prodotto tra due potenze con la stessa base che si può calcolare utilizzando l’apposita regola: il prodotto tra due potenze con la stessa base è uguale alla potenza con la stessa base e come esponente la somma algebrica tra gli esponenti, cioè:

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E12

E12. La circonferenza in figura ha il diametro di 10 cm e le corde AD e BC uguali al

raggio.

a. Qual è il perimetro del quadrilatero ABCD?

Per rispondere correttamente abbiamo bisogno di individuare la lunghezza del segmento DC visto che il perimetro del quadrilatero è uguale alla somma di tutti i lati che ad eccezione proprio del lato DC sono tutti noti; infatti AB = 10 cm ed AD = BC = 5 (il raggio è pari alla metà del diametro).

Per calcolare DC dobbiamo cercare di trovare una relazione con gli altri segmenti; possiamo congiungere con un segmento i punti DO, CO (in rosso) e DC (in verde). Si individuano i triangoli ODA, OBC e OCD che sono equilateri ed uguali infatti: ODA: ha AD = AO = OD (tutti lati uguali al raggio) OBC: ha OC = OB = BC (tutti lati uguali al raggio)

OCD è anch’esso equilatero in quanto è uguale sia al triangolo

OBC che al triangolo ODA; infatti prendendo a riferimento il triangolo OBC si ha:

OC in comune OD = CB

l’angolo D ̂C è pari a 60° in quanto gli altri due triangoli essendo equilateri hanno tutti e tre gli

angoli uguali e di 60°; dalla figura si vede che l’angolo D ̂C si può ottenere considerando che:

D ̂C = A ̂B – (A ̂D + B ̂C) = 180° – (60° + 60°) = 60°

quindi il triangolo OCD è uguale al triangolo OBC infatti per il 1° criterio hanno due lati uguali e l’angolo compreso tra essi uguale, pertanto è anch’esso equilatero e quindi DC misura 5 cm.

Ora abbiamo tutti i dati e possiamo calcolare il perimetro:

P = AB + BC + CD + DA = 10 + 5 + 5 + 5 = 25 cm

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E13

E13. L’insegnante chiede: «Un numero pari, maggiore di 2, si può sempre scrivere

come somma di due numeri dispari diversi fra loro?». Qui sotto ci sono le

risposte di quattro studenti. Chi dà la risposta esatta e la giustifica

correttamente?

A. Antonio: Sì, perché la somma di due numeri dispari è un numero pari

B. Barbara: No, perché 6 = 4 + 2

C. Carlo: Sì, perché posso scriverlo come il numero dispari che lo precede

più 1

D. Daniela: No, perché ogni numero pari può essere scritto come somma di

due numeri uguali fra loro

Carlo ha ragione in quanto se consideriamo un numero pari lo possiamo rendere dispari sottraendogli ‘1’; poi se a quest’ultimo aggiungiamo ‘1’ (secondo numero dispari) otteniamo di nuovo il numero pari di partenza, infatti: se n è un numero pari maggiore di ‘2’ si ha che: (n - 1 ) + 1 è sempre un numero pari ottenuto come somma di due numeri

dispari ‘(n – 1)’ e ‘1’ Esempi:

n = 4 ; (n – 1) + 1 = 3 + 1 = 4 n = 6 ; (n – 1) + 1 = 5 + 1 = 6 n = 8 ; (n – 1) + 1 = 7 + 1 = 8

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E14

E14. In un quadrato ABCD di lato 10 cm è inscritto un quadrato LMNO. I segmenti

DO, CN, BM e AL sono uguali fra loro e ciascuno di essi misura 2 cm.?

a. Quanto misura l’area del quadrato

LMNO?

Risposta: 68 cm3

Per rispondere correttamente occorre osservare che per ricavare l’area del quadrato inscritto è sufficiente sottrarre all’area del quadrato ‘ABCD’ le aree colorate in arancione; queste aree sono rappresentate da triangoli rettangoli uguali quindi:

Atriangolo =

l’area totale da sottrarre sarà: Atotale = 4 x 8 = 32 Pertanto l’area del quadrato inscritto ‘LMNO’ sarà: AquadLMNO = AquadABCD – Atotale =

E-BOOK01




Immagina ora che i punti L, M, N e O si muovano lungo i lati del quadrato ABCD in

modo tale che DO = CN = BM = AL = x. Al variare di x varia anche l’area del

quadrato LMNO.

b. Per quale tra questi valori di x l’area

del quadrato LMNO diventa minima?

A. 1 cm

B. 3 cm

C. 5 cm

D. 8 cm

Per quanto visto al punto precedente appare abbastanza evidente che quanto più grandi diventeranno le aree dei triangoli rettangoli tanto minore diverrà l’area del quadrato inscritto. Con riferimento alla figura a lato spostando il punto ‘o’ del quadrato in senso orario lungo il contorno del quadrato avremo che le aree dei triangoli cominceranno ad aumentare per poi tornare a diminuire fino a divenire nulle quando l’area del quadrato inscritto pareggerà quella del quadrato ABCD. Nelle figure seguenti si è riportato questo andamento fino a quando l’area del quadrato inscritto è la minima possibile considerando i casi in cui DO=CN=BM=AL In questa figura si vede che spostandoci di ‘1’ cm verso destra lungo il lato DC anche gli altri lati subiscono lo stesso spostamento di ‘1’ cm nella loro direzione e quindi abbiamo dei triangoli rettangoli con cateti 3 e 7 la cui area in totale sarà:

10,5 x 4 = 42 cm2 e quindi l’area di ‘LMNO’ sarà:

100 – 42 = 58 cm2

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In quest’altra figura si vede che spostandoci ancora di ‘1’ cm verso destra lungo il lato DC anche gli altri lati subiscono lo stesso spostamento di ‘1’ cm nella loro direzione e quindi abbiamo dei triangoli rettangoli con cateti 4 e 6 la cui area in totale sarà: 12 x 4 =48 cm2 e quindi l’area di LMNO sarà: 100 – 48 = 52 cm2 Ancora in quest’altra figura si vede che spostandoci ancora di ‘1’ cm verso destra lungo il lato DC anche gli altri lati subiscono lo stesso spostamento di ‘1’ cm nella loro direzione e quindi abbiamo dei triangoli rettangoli con cateti 5 e 5 la cui area in totale sarà: 12,5 x 4 =50 cm2 e quindi l’area di ‘LMNO’ sarà: 100 – 50 = 50 cm2 e questa è l’area minima per il quadrato inscritto in quanto avanzando ancora sempre verso destra la sua area comincerà a crescere.

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E15

E15. Una grande azienda nel 2009 aveva 100 impiegati. Nell’anno 2010 il numero

degli impiegati è diminuito del 20% rispetto al 2009 mentre nel 2011 è

aumentato del 20% rispetto al 2010. Al termine dei due anni gli impiegati

dell’azienda sono

A. diminuiti del 4%

B. diminuiti del 10%

C. aumentati del 4%

D. aumentati del 10%

Per rispondere correttamente occorre impostare un calcolo percentuale; pertanto partendo dal dato che nel 2009 c’erano 100 impiegati cominciamo a calcolare il numero degli impiegati nel 2010; poiché il numero di essi è diminuito del 20% rispetto al 2009 scriveremo:

Nimp2010 = (

)

quindi gli impiegati nel 2010 sono ‘80’ Ora per calcolare il numero degli impiegati nel 2011 che è aumentato del 20% rispetto al 2010 scriveremo:

Nimp2011 = (

)

quindi in definitiva il numero degli impiegati nel 2011 rispetto al 2009 è diminuito del 4%, infatti:

%Imp =

Si può verificare che facendo il 4% dei ‘100’ impiegati del 2009 si ottiene ‘4’ quindi gli impiegati restanti sono 100- 4 = 96 come ricavato precedentemente.

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E16

E16. Il cavo (AB) di un ripetitore per telefonia cellulare è stato fissato a un palo a una

distanza dal suolo di 9 m.

Una lampada di segnalazione (C) viene agganciata al cavo a 3 m di altezza e a 5

m dal punto di ancoraggio a terra (A).

a. Qual è la lunghezza del cavo AB?

Risposta: 15 m

Per rispondere correttamente occorre osservare che i due triangoli AEC e ADB sono simili, pertanto sfruttando questa similitudine si può scrivere la seguente proporzione tra i loro lati e cioè: CE : BD = AC : AB sostituendo i valori si ha: 3 : 9 = 5 : AB da cui si ricava:

AB =

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E17

E17. Paolo acquista una tessera che consente l’ingresso a prezzo ridotto per un anno

a un cinema della sua città. Il costo della tessera è di 12 euro e permette di

pagare il biglietto di ingresso solo 5 euro per ogni spettacolo.

a. Completa la seguente tabella, dove n è il numero degli spettacoli e S il costo

complessivo della tessera e dei biglietti di ingresso.

n (numero di spettacoli) S (costo complessivo in euro)

0 12

1 17 (12 + 5)

2 22 (12 + 5x2)

3 27 (12 + 5x3)

4 32 (12 + 5x4)

5 37 (12 + 5x5)

Per rispondere correttamente occorre semplicemente osservare che per ogni spettacolo aggiuntivo bisogna sommare 5 (cinque) euro al costo della tessera annuale di 12 euro, quindi:

per n = 0 il costo è di 12 euro

per n = 1 il costo è di 12 euro + 5 euro = 17 euro

per n = 2 il costo è di 12 euro + (5 x 2) euro = 12 + 10 = 22 euro




E-BOOK01




b. Quale fra le seguenti formule consente di calcolare il costo complessivo S al

variare del numero n di spettacoli?

A. S = 12 + 5n

B. S = 12 + 5

C. S = 12 + n

D. S = 12n + 5n

Come si è osservato precedentemente per ogni spettacolo aggiuntivo bisogna sommare 5 (cinque) euro al costo della tessera annuale di 12 euro, quindi tra le alternative proposte l’unica che presenta queste caratteristiche è la ‘A’. Si può verificare ad esempio che per 4 (quattro) spettacoli si ha: s= 12 + 5 x 4 = 12 + 20 = 32 come già calcolato precedentemente.

c. Osserva ora i grafici seguenti.

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Quale grafico rappresenta come varia il costo complessivo S al variare del

numero n di spettacoli?

A. Grafico 1

B. Grafico 2

C. Grafico 3

D. Grafico 4

Si può arrivare alla risposta in modi diversi; il modo più semplice è di verificare quale grafico tra i quattro rappresenta correttamente i costi che precedentemente abbiamo calcolato con la relazione: S = 12 + 5n per n= 0 abbiamo che S deve essere uguale a 12; questa caratteristica non è riscontrabile nel Grafico 3 e quindi possiamo scartarlo. per n = 10 abbiamo che S deve essere uguale a 62; questa caratteristica non è riscontrabile nel Grafico 1, tantomeno nel Grafico 2 pertanto quello che rappresenta correttamente la relazione è il Grafico 4; facilmente lo si può verificare per gli altri punti.

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E18

E18. Il trapezio che vedi sotto è stato ritagliato da una figura F più grande. Il

trapezio è i

della figura F.

Disegna una delle possibili figure F da cui il trapezio è stato ritagliato.

Per rispondere correttamente occorre considerare che poiché il trapezio è pari ai ¾ della figura originaria saranno valide tutte le figure che hanno ¼ di area in più e che inglobino il trapezio. La parte di area in più la possiamo valutare in 6 quadratini, infatti nel trapezio possiamo contare il numero di quadratini considerando: • il rettangolo centrale di base 4 e altezza 3 (12 quadratini) • il rettangolo di base 2 e altezza 3 (sei quadratini) che si ottiene unendo le due parti laterali in definitiva 18 quadratini che rappresentano i ¾ dell’area totale e quindi si può ricavare la parte restante impostando la proporzione:

3 : 4 = 18 : x ; x = 6 quadratini

E-BOOK01




(ci si sarebbe potuto arrivare anche considerando che i ¾ della figura sono rappresentati da tre rettangoli di 6 quadratini quindi la parte restante (1/4) è un area di 6 quadratini) Pertanto tutte le figure che hanno 6 quadratini in più e inglobano il trapezio sono da considerarsi valide. Tra le figure proposte quella che non ha queste caratteristiche è la ‘B’ in quanto la parte restante non è pari ad ¼ della figura completa.

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E19

E19. Immagina di lanciare prima una moneta e poi un dado.

a. Completa la seguente tabella che riassume tutti i casi che possono verificarsi

(alcune caselle sono già compilate).

FACCE DEL DADO

1 2 3 4 5 6

Testa (T) T ; 1 T ; 2 T ; 3 T ; 4 T ; 5 T ; 6

Croce (C) C ; 1 C ; 2 C ; 3 C ; 4 C ; 5 C ; 6

Per rispondere correttamente occorre tenere in considerazione tutti i possibili eventi (casi) che si possono verificare, pertanto possiamo cominciare con la moneta dove si possono avere due eventi possibili: testa o croce. Per quanto riguarda il dado si possono verificare sei eventi possibili (l’uscita di una delle sei facce del dado), quindi in definitiva abbiamo 12 (6x2) casi possibili e semplicemente: Testa e tutte le sei facce del dado cioè:

T-1; T-2 ; T-3 ; T-4 ;T-5 ; T-6 e Croce e tutte le sei facce del dado cioè:

b. La probabilità che escano una croce e un numero dispari è

A.

B.

C.

D.

Ricordando che la probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili supposti tutti ugualmente possibili abbiamo per la moneta che:

P_moneta =

[due sono i casi possibili, uno quello favorevole (testa o croce)]

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per il dado poiché siamo interessati ad un numero dispari avremo:

P_dado=

[sei sono i casi possibili, tre quelli favorevoli (tre facce)]

Nel nostro quesito dobbiamo considerare sia gli eventi della moneta che quelli del dado; questo caso si risolve con la probabilità composta eseguendo il prodotto tra le due probabilità semplici, cioè:

P = P_moneta x P_dado=

x

=

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E20

E20. L’autostrada A11 collega i caselli di Firenze-Peretola e di Pisa Nord con un

percorso lungo 81 km. La seguente tabella riporta la distanza in chilometri di

tutti i caselli autostradali dal casello di Firenze-Peretola.

km Nome casello

0 Firenze-Peretola

4,2 Firenze Ovest

9 Prato Est

16,8 Prato Ovest

27,4 Pistoia

39 Montecatini Terme

46,4 Chiesina Uzzanese

49,3 Altopascio

57,2 Capannori

66 Lucca

81 Pisa Nord

a. Quali sono i due caselli autostradali più vicini fra loro?

A. Firenze-Peretola – Firenze Ovest

B. Chiesina Uzzanese – Altopascio

C. Firenze Ovest – Prato Est

D. Altopascio – Capannori

Per rispondere correttamente occorre valutare le distanze tra i vari caselli e poi scegliere quella minore, pertanto:

a) Firenze-Peretola – Firenze Ovest [4,2 – 0 ] = 4,2 Km b) Chiesina Uzzanese _ Altopascio [49,3 – 46,4] = 2,9 km c) Firenze Ovest – Prato Est [9 – 4,2] = 4,8 km d) Altopascio – Capannori [57,2 - 49,3] = 7,9 km

quindi la distanza minore è rappresentata dall’alternativa ‘B’.

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b. Un automobilista entra in autostrada a Lucca ed esce al casello di Prato

Ovest. Qual è la distanza tra i due caselli?

Risposta: 49,2 km

Basta calcolare la distanza in km tra la posizione del casello di Lucca e la posizione di quello di Prato Ovest, pertanto leggendo le posizioni in tabella si ha:

distanza(Lucca-Prato Ovest) = 66 – 16,8 = 49,2 km

c. Giovanni ha percorso tutta l’autostrada A11 ad una velocità media di 100

km/h. Quanto è durato l’intero viaggio?

A. Circa un’ora e un quarto

B. Circa un’ora

C. Circa tre quarti d’ora

D. Circa mezz’ora

Per rispondere occorre considerare che si tratta di un moto rettilineo uniforme cioè un moto in cui vengono percorsi spazi uguali in tempi uguali per cui si possono applicare le formule che lo caratterizzano e cioè:

v=

e t=

(dove s = spazio percorso; t = tempo trascorso; V= velocità media)

Lo spazio percorso è pari alla distanza tra il casello di Pisa Nord e quello di Firenze-Peretola, cioè: (81 -0 ) = 81 km Ora si può calcolare il tempo del viaggio, infatti:

t=

=

= 0,81 h

(81 km )/(100 km/h)=0,81 h Per ottenere il tempo in minuti facciamo 0,81 x 60 = 48,6 minuti che possiamo scrivere anche come 48 minuti e 36 secondi ( 0,6 x 60 =36) quindi tra le alternative va selezionata la ‘C’.

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E21

E21. Osserva questa moltiplicazione.

17 · 36 = 612

Ora scrivi il risultato delle seguenti moltiplicazioni.

a. 17 · 3,6 = 61,2

b. 17 · 0,36 = 6,12

c. 1,7 · 360 = 612

d. 1,7 · 3,6 = 6,12

Si può rispondere in diversi modi; un modo può essere quello di considerare il prodotto e comprendere come è stato modificato. Esaminiamo i vari casi:

a)

b)

c)

d)

si può concludere che le modifiche apportate al moltiplicando e/o al moltiplicatore si ritrovano ugualmente nel risultato del prodotto.

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E22

E22. Lorenzo abita in località Pittulongu, in Sardegna. La mattina, per andare a

scuola, deve prendere l’autobus numero 4 e scendere alla fermata di via San

Simplicio.

La figura qui sotto rappresenta il percorso dell’autobus numero 4.

a. Nel tragitto più breve da Pittulongu a via San Simplicio, Lorenzo passa per

la fermata di Mare Rocce?

A. Sì, perché Mare Rocce è la seconda fermata

B. No, perché Mare Rocce è prima di Pittulongu

C. No, perché Mare Rocce è dopo via San Simplicio

D. Sì, perché Mare Rocce viene prima di via San Simplicio

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Come si può vedere facilmente nella figura la fermata “Mare Rocce”, evidenziata in rosso, si trova prima della fermata “Pittulongu”.

b. Qui sotto ci sono gli orari dell’autobus numero 4.

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Lorenzo inizia la scuola alle 8.30 e finisce alle 13.30. Completa la tabella indicando

l’orario di partenza e di arrivo dell’autobus che Lorenzo deve prendere all’andata

(alla fermata di Pittulongu) per arrivare in tempo a scuola e di quello che deve

prendere al ritorno (alla fermata di via San Simplicio) per arrivare a casa il più presto

possibile.

tragitto partenza arrivo

Pittulongu - via San Simplicio 7.42 7.55

via San Simplicio - Pittulongu 13.56 14.09

Lorenzo per arrivare alle 8.30 a scuola ha una sola possibilità ed è quella in cui l’autobus parte da Pittulongu alle 7.42 ed arriva in Via San Simplicio alle 7.55. Dopo l’uscita dalla scuola alle 13.30 il primo autobus utile per ritornare a casa è quello delle 13.56 che poi arriva a Pittulongu lato mare alle 14.09

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E23

E23. La seguente fotografia ha le dimensioni di 10 cm x 15 cm. Luciana la

ingrandisce in proporzione; dopo l’ingrandimento la dimensione maggiore

misura 18 cm.

Quanto misura l’altra dimensione?

A. 12 cm

B. 15 cm

C. 16 cm

D. 18 cm

Per rispondere correttamente basta considerare che si tratta di un calcolo di proporzionalità, pertanto è sufficiente impostare la proporzione:

10 : 15 = x : 8 quindi ricavando la x si ha:

cm

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E24

E24. In una stazione meteorologica sulle Alpi sono state registrate le temperature alle

ore 8.00 per una settimana e riportate nella tabella qui sotto.

Giorno Temperatura alle 8.00

Lunedì -7°C

Martedì -3°C

Mercoledì +1°C

Giovedì -5°C

Venerdì 0°C

Sabato +3°C

Domenica -3°C

Calcola la media aritmetica delle temperature riportate in tabella.

Risposta: -2 C°

Per rispondere correttamente bisogna calcolare la media ricordando che la media aritmetica per n

valori (V1,V2,V3,…,Vn) si calcola facendo il rapporto tra la somma algebrica di tutti i valori ed il loro

numero, cioè:

media =

quindi calcoliamo la media con i dati proposti nel quesito:

media =

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E25

E25. Questa figura rappresenta quattro mattonelle di un pavimento.

Associa le seguenti mattonelle senza ruotarle, ai riquadri corrispondenti in

modo che i loro bordi in comune siano tutti assi di simmetria.

A – 3 B – 1 C – 2 A - 2 B - 1 C - 3

Per rispondere correttamente bisogna ricordare che l’asse di simmetria è una retta che taglia una figura in due parti uguali, perfettamente sovrapponibili. Ad esempio un triangolo equilatero ammette tre assi di simmetria mentre un triangolo isoscele non equilatero ammette un solo asse di simmetria, quello rappresentato dall’altezza relativa al lato non uguale.

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Nel nostro caso quindi dobbiamo associare le mattonelle ai riquadri in modo da avere due immagini speculari; si può ottenere questo associandole in due modi come mostrato nelle figure seguenti:

oppure

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INVALSI Matematica




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D1

D1. Osserva il grafico seguente che rappresenta la distribuzione percentuale di

famiglie per numero di componenti, in base al censimento 2001.

a) Qual è la percentuale delle famiglie con due componenti? ’27’ E’ sufficiente leggere il grafico individuando sull’ascissa (‘numero di componenti’) il valore ‘2’; poi si prosegue dirigendosi verso l’alto sull’asse verticale (l’ordinata) contando le suddivisioni ricoperte dalla linea in grassetto che risultano pari al numero di ‘27’.

b) Completa la frase seguente:

Il 6% delle famiglie ha …………. componenti ‘5’

Per rispondere ci si posiziona sull’ordinata (‘Percentuale delle famiglie’) in corrispondenza del valore ‘6’ e poi si prosegue in senso orizzontale fino a quando non si incrocia la ‘cima’ di una delle linee verticali in grassetto presenti nel grafico; ci si ferma in corrispondenza dell’ascissa ‘5’

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D2

D2. L’insegnante chiede: “Che cosa succede se si addizionano tre numeri dispari

consecutivi?”. Quattro studenti rispondono nel modo che vedi in tabella.

Indica con una crocetta se le affermazioni fatte dagli studenti sono vere o false.

Vero Falso

a. Luisa: si ottiene sempre un numero dispari

b. Giovanni: si ottiene sempre un multiplo di tre

c. Andrea: si ottiene a volte un numero pari a volte un

numero dispari

d. Paola: si ottiene sempre il triplo di uno dei tre numeri

a) Si può pensare di ricorrere ad un esempio come la somma di 1+3+5 ( tre numeri consecutivi) ed osservare che genera un numero dispari, cioè 9 ; se ancora non si è del tutto convinti si può ricorrere ad un’altra somma come 7+9+11 (sempre consecutivi) che genera 27, ancora un numero dispari b) Dalla semplice osservazione degli esempi su riportati si può immediatamente constatare che sia 9 che 27 sono multipli di 3, cioè 9= 3 x 3 e 27 = 3 x 3 x 3 c) Sommando tre numeri dispari consecutivi si ottiene sempre un numero dispari d) Con l’espressione ‘ triplo di un numero ‘ si indica ancora una volta un numero multiplo di 3;

quindi si ribadisce quello detto al punto (b), ma in maniera diversa.

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D3

D3. Il padre di Silvia riceve due proposte di lavoro, una dall’azienda A e una

dall’azienda B. La tabella rappresenta come cresce nel tempo lo stipendio

offerto dall’azienda A e il grafico rappresenta come cresce nel tempo quello

offerto dall’azienda B

a) In quale anno il padre di Silvia percepirà uno stipendio annuale di 40.000€ ? Azienda A: Osservando la tabella si nota che per ogni anno lo stipendio aumenta di 1.500 €; quindi si raggiunge il valore 40.000 al 6 anno come puoi verificare nella tabella più piccola Azienda B: In questo caso il valore va ricercato sul grafico partendo dall’ordinata ‘40’ e procedendo orizzontalmente fino ad incontrare la retta obliqua tratteggiata; da questo punto si procede verso il basso, in maniera verticale, fino ad incontrare il valore 7, cioè il 7° anno. b) Se il padre di Silvia intende lavorare, nell’azienda, per dieci anni, quale proposta è più conveniente? Basta operare come sopra e quindi osservare che per: l’azienda A, la tabella al 10° anno indica il valore di 46.000 € l’azienda B, il grafico indica il valore di 45.000 € Pertanto la proposta più conveniente è quella dell’azienda A.

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D4

D4. Antonella, passeggiando, si ferma a osservare la porta girevole di vetro

dell’Hotel Landi su cui sono impresse le lettere

Una persona entra nell’albergo spingendo con forza la porta, che ruota così di

circa 180°.

Antonella vede ancora, in trasparenza, le lettere.

Quale tra le seguenti immagini vede?

c) Basta osservare la lettera ‘L’ e immaginarla di vederla ruotare di 180° attorno al proprio asse. Se ti risulta difficile puoi operare nel seguente modo: scrivi su un pezzetto di carta semi-trasparente ‘HL’ e poi ricalca sull’altro lato le lettere; poi tenendo il pezzetto di carta tra le dita ruotalo di 180° vedrai apparire la scritta come nell’immagine qui sotto:

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D5

D5. Giovanni e Caterina si stanno allenando in piscina. Nuotano entrambi alla stessa

velocità ma Giovanni ha cominciato più tardi ad allenarsi. Quando Giovanni ha

fatto 10 vasche, Caterina ne ha fatte 30. Al termine dell’allenamento Giovanni

ha fatto 50 vasche; quante ne ha fatte Caterina?

Si può arrivare alla soluzione con le seguenti considerazioni: 1) hanno la stessa velocità quindi faranno lo stesso numero di vasche nell’arco di tempo in cui sono insieme a nuotare; 2) bisogna considerare i dati del problema che assegnano a Giovanni 10 vasche e a Caterina 30

3) al termine dell’allenamento Giovanni ha fatto in tutto 50 vasche; sottratte le prime 10 avremo 40 vasche; sono quelle che dovremo addizionare alle vasche di Caterina (dato che nuotano con la stessa velocità) e quindi otteniamo 70 vasche.

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Oppure 1) hanno la stessa velocità quindi faranno lo stesso numero di vasche nell’arco di tempo in cui sono insieme a nuotare; 2) bisogna considerare che Giovanni ha 20 vasche in meno rispetto a Caterina, infatti dobbiamo fare l’operazione 30-10 = 20

3) al termine dell’allenamento Giovanni ha fatto in tutto 50 vasche a cui vanno addizionate le 20 vasche di differenza con Caterina e cioè, 70 vasche.

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D6

D6. Osserva il disegno.

Calcola l’area del triangolo considerando la misura dei lati espressa in cm. Per rispondere correttamente si può applicare la formula di Erone che consente di calcolare l’area di un triangolo qualsiasi conoscendo solo la lunghezza dei lati:

√

quindi: p è il semiperimetro, cioè la somma di tutti i lati divisa per due, cioè:

p= (6,7 + 4,7 + 2,6) / 2 = 7 cm. per cui

√

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D7

D7. Antonio e Giada partecipano a una gara a quiz. Per ogni risposta esatta si

assegnano due punti mentre per ogni risposta sbagliata si toglie un punto.

L’esito della gara è il seguente:

Antonio ha dato 11 risposte esatte e 9 sbagliate:

Giada ha dato 6 risposte esatte e 14 sbagliate.

Quali sono i punteggi finali dei due ragazzi?

Si può arrivare alla soluzione con le seguenti considerazioni: 1) Si moltiplica per +2 (due punti positivi) il numero delle risposte esatte, quindi si fa:

Antonio: 11 x (+2)= + 22 Giada: 6 x (+2) = + 12

2) Si moltiplica per -1 il numero delle risposte errate, quindi si fa:

Antonio: 9 x (- 1) = - 9 Giada: 14 x (- 1) = - 14

3) Ora si procede sommando algebricamente i due risultati:

Antonio: 22 + (-9) = + 13 Giada: 12 + (- 14) = - 2

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D8

D8. Giulio sa che nel negozio A e nel negozio B le bottiglie di olio della marca che

preferisce hanno lo stesso prezzo. Sua moglie gli dice che oggi, su quell’olio, nel

negozio A fanno l’offerta “compri 3 e paghi 2” e nel negozio B fanno lo sconto

del 40%. Giulio deve comprare 3 bottiglie d’olio.

Sconto 3x2 significa che compri tre pezzi ma ne paghi solo due cioè: se ogni pezzo costa 10 euro, tu paghi 2*10 euro anziché 3*10 euro. In questo caso quindi risparmi 30-20=10 euro (cioè lo sconto è dieci euro). Ora però lo sconto in genere si esprime come percentuale del prezzo intero (in questo modo puoi evitare di mettere un prezzo "a caso" come fatto sopra); quindi dobbiamo vedere questi dieci euro che percentuale sono su trenta euro (prezzo intero), cioè devi esprimere in percentuale il rapporto sconto/prezzo intero (10/30), che è: (10/30) x 100 = (0.333) x 100 = 33,3% (3 periodico. Quindi viene applicato uno sconto del 33.3percento Pertanto visto che il negozio B offre uno sconto del 40% conviene acquistare le bottiglie di olio proprio in questo negozio.

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D9

D9. Le immagini che seguono rappresentano un motivo del pavimento di una antica

casa romana e la sua schematizzazione geometrica:

Il motivo, corrisponde a un dodecagono, è composto da un esagono regolare

interno, sei quadrati uguali e sei triangoli equilateri eguali.

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Vero Falso

a. L’area dell’esagono è metà dell’area del dodecagono

b. L’area di ciascun triangolo è un sesto dell’area dell’esagono

c. L’area di un quadrato è il doppio dell’area di un triangolo

d. Il perimetro del dodecagono è il doppio di quello

dell’esagono

a) è falsa perché l’area dell’esagono è equivalente all’area dei sei triangoli equilateri e quindi restano fuori i quadrati che hanno certamente un’area maggiore rispetto ai triangoli.

b) risulta vero per quanto detto sopra al punto (a)

c) Per rispondere a questa domanda dobbiamo ricordare che l’area di un quadrato è pari a l2

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per il calcolo dell’area del triangolo possiamo utilizzare la formula A= (b x h)/2

dobbiamo prima ricavare l’altezza (h) che per il teorema di Pitagora è: h= l

(infatti: h= = = = )

l’area quindi sarà: A= (l x l )/2 = l2

pertanto dal confronto tra l’area del quadrato ( l2) e l’area del triangolo ( l2) si vede che l’area del quadrato non è il doppio dell’area del triangolo. d) è vera perché la lunghezza dei lati del dodecagono è uguale alla lunghezza dei lati dell’esagono (basta osservare uno dei quadrati per comprendere che i lati sono uguali); pertanto essendo dodici i lati del dodecagono, il suo perimetro è il doppio di quello dell’esagono.

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D10

D10. La figura che vedi riporta una rappresentazione semplificata delle linee di

livello di una montagna. Le linee di livello uniscono tutti i punti che si trovano

alla stessa altitudine. Nella figura il punto A è 1000 metri di altitudine e la vetta

S della montagna è a 1600 metri.

Un escursionista va dal punto A al punto S seguendo il percorso indicato nel

disegno dal segmento AS.

Tra i tratti AB, BC, CD, DE, qual è il più rapido?

Per rispondere correttamente bisogna tenere conto di due aspetti:

1) i punti che si trovano su una linea di livello sono tutti alla stessa altitudine; ad esempio i punti sulla linea di livello A sono tutti all’altitudine di 1000 m, mentre quelli sulla linea di livello B sono tutti all’altitudine di 1100 m b) spostandosi da una linea di livello ad un’altra bisogna considerare che a parità di differenza di altitudine un tratto sarà più ripido rispetto ad un altro se più corto; infatti se consideriamo i tratti AB, BC, CD, DE sono tutti a differenza di 100 m, ma il tratto CD risulta il più corto, quindi sarà il più ripido perché i 100 m di dislivello vanno coperti in un percorso più breve rispetto agli altri.

Puoi osservare meglio in queste due figure che a parità di dislivello la seconda presenta un tratto più ripido perché la quota deve essere raggiunta con un percorso più breve.

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D11

D11. Per scegliere chi deve lavare i piatti del pranzo, Marco, Lorenzo e Livia

decidono di lanciare due volte una moneta da 1 euro come quella che vedi in

figura:

Stabiliscono che:

se verranno 2 croci, laverà i piatti Marco;

se verranno 2 teste, laverà i piatti Livia;

se verranno una testa e una croce, laverà i piatti Lorenzo.

a. Pensi che tutti e tre abbiano la stessa probabilità di lavare i piatti?

Sì

No

Per rispondere correttamente bisogna tenere conto che gli eventi che possono accadere sono: TT CC TC CT Come puoi notare c’è una sola possibilità che si verifichi l’uscita di due volte testa (TT) o di due volte croce (CC) mentre la combinazione (TC) o (CT) ha due possibilità, quindi non hanno tutti la stessa probabilità. Lorenzo ha più probabilità di lavare i piatti.

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D12

D12. Il rettangolo rappresenta, in scala 1:5, il piano rettangolare di un banco.

Quanti rettangoli uguali a quello disegnato servono per coprire interamente la

superficie reale del piano del banco?

Per rispondere correttamente bisogna tenere conto che per il rettangolo rappresentato in scala ogni lato è 1/5 di quello reale e quindi l’area = base x altezza sarà (1/25) di quella reale. Pertanto occorreranno 25 rettangoli come quello riportato sopra per coprire interamente la superficie reale del banco.

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D13

D13. Il numero √ è:

A. compreso tra 9 e 11

B. uguale a 5

C. compreso tra 3 e 4

D. uguale a 100

Per rispondere correttamente bisogna ricordare che estrarre la radice quadrata di un numero significa trovare quel numero, che elevato al quadrato, riproduce il numero dato. Quindi dobbiamo cercare quel numero che elevato al quadrato si avvicina al numero 10. Pertanto possiamo dedurre che sia un numero compreso tra 3 e 4 in quanto:

32 = 9 e 42 = 16

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D14

D14. Per trovare il 27% di 350 si deve

A. dividere 350 per 27

B. dividere 350 per 0,27

C. moltiplicare 350 per 27

D. moltiplicare 350 per 0,27

Per rispondere correttamente bisogna riflettere su che cosa indica la scrittura 27%. In effetti il simbolo ‘%’ sta ad indicare 100 parti (la totalità); con la scrittura 27% si indica che su 100 parti ne bisogna considerare 27, cioè 27/100 = 0,27. nel nostro caso le 100 parti sono rappresentate da 350 (ogni parte sarebbe pari a 3,5 (da 350/100) e ne devo prendere solo 27, quindi devo eseguire la seguente operazione:

27 x 3,5 = 94,5

Ora osserva che questo lo puoi scrivere anche come:

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D15

D15. Francesco si trova nell’aeroporto di Atlanta per una vacanza negli Stati Uniti.

La sua prossima tappa è Los Angeles. Purtroppo non c’è un volo diretto e deve

fare scalo in un altro aeroporto.

Numero volo Partenza Arrivo Prezzo in dollari

Z1 Atlanta Chicago 145,99

Z2 Atlanta Denver 130,49

Z3 Atlanta Dallas 171,35

Z4 Atlanta Toronto 200,01

Z5 Chicago Los Angeles 101,99

Z6 Denver Los Angeles 71,50

Z7 Dallas Los Angeles 90,99

Z8 Toronto Los Angeles 50,00

Quale combinazione di voli, in base alla tabella, risulta più economica per

Francesco?

Osservando la tabella si nota che le combinazioni dei possibili voli sono: Z1 - Z5 (riga 1 e la riga 5) Z2 - Z6 (riga 2 e la riga 6) Z3 - Z7 (riga 3 e la riga 7) Z4 - Z8 (riga 4 e la riga 8)

Ora basta fare le somme relativamente alle coppie riportate e valutare la più conveniente, cioè:

Z1 - Z5 comporta 145,99 + 101,99 = 247,98 Z2 - Z6 comporta 130,49 + 71,50 = 201,99 Z3 - Z7 comporta 171,35 + 90,99 = 262,34 Z4 - Z8 comporta 200,01 + 50,00 = 250,01 Si vede facilmente che la combinazione da preferire è la: Z2-Z6 cioè i voli corrispondenti alla seconda riga e alla sesta riga della tabella.

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D16

D16. Sara chiede agli studenti della sezione musicale della sua scuola qual è la loro

materia preferita. Nella tabella ha riportato i risultati della sua inchiesta:

Materia Numero di preferenze

Musica 26

Matematica 18

Italiano 13

Inglese 8

Sara conclude che la musica è la materia preferita dagli studenti della sua

scuola.

Quale tra le seguenti motivazioni spiega meglio perché la sua conclusione

potrebbe non essere valida?

A. Sara non ha distinto le preferenze dei maschi da quelle delle femmine.

B. Sara avrebbe dovuto intervistare solo gli studenti di terza media della

scuola

C. Gli studenti intervistati non sono rappresentativi di tutti gli studenti della

scuola

D. Gli studenti sono stati intervistati solo una volta.

Nella sua conclusione, Sara afferma che la musica è la materia preferita dagli studenti della sua scuola; questo non è esatto in quanto il campione preso in esame non rappresenta tutti gli studenti della scuola, ma solo quelli della sezione musicale. Per questo motivo non risulta valida. Le altre conclusioni non motivano in nessun modo la non validità della conclusione di Sara perché non hanno nessuna rilevanza con essa.

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D17

D17. La formula L = L0 + K x P esprime la lunghezza L di una molla al variare del

peso P applicato. L0 rappresenta la lunghezza in centimetri “a riposo” della

molla; K indica di quanto si allunga in centimetri la molla quando le si applica

una unità di peso.

Quale delle formule elencate si adatta meglio alla seguente descrizione:

“È una molla molto corta e molto dura (cioè molto resistente alla trazione)”?

A. L = 10 + 0,5 x P

B. L = 10 + 7 x P

C. L = 80 + 0,5 x P

D. L = 80 + 7 x P

Per rispondere correttamente bisogna porre attenzione ai due parametri L0 e K. L0 rappresenta la lunghezza a riposo della molla e nel quesito ci viene detto che si tratta di una molla molto corta pertanto possiamo subito eliminare le alternative C e D che presentano una L0 maggiore di quella presente per le alternative A e B. Fatta questa prima scelta dobbiamo capire tra l’alternativa A e B quale meglio si adatta al nostro quesito. Riflettiamo sul parametro K; ci viene detto che indica di quanto si allunga in cm la molla all’applicazione di un peso e sappiamo ancora che la molla è molto dura quindi tra i due valori di K certamente dobbiamo scegliere il minore poiché assicurerebbe un allungamento minore della molla come richiesto. Allora senza dubbio la formula che descrive meglio il fenomeno fisico è la A.

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D18

D18. Elisa e Paolo stanno cercando di rispondere a questa domanda:

“Qual è la coppia di numeri interi a, b (diversi fra loro) tali che ab =b

a?”

Ecco le loro soluzioni.

Chi ha ragione?

A. Solo Elisa

B. Solo Paolo

C. Entrambi

D. Nessuno dei due

La soluzione proposta da Paolo risulta corretta in quanto:

i due numeri (2 e 4) sono diversi tra loro

poi risulta che: 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 ed 42 = 4 x 4 = 16 , quindi 24 = 42 mentre la soluzione proposta da Elisa risulta errata in quanto:

pur essendo diversi i due numeri (1 e 2) risulta che 12 = 1 x 1 = 1 e 21 = 2 x 1= 2 , quindi 12 è diverso da 21

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D19

D19. Un bicchiere contiene

di litro d’acqua.

Se si vuole riempire una bottiglia da 1,5 litri, quanti bicchieri di acqua bisogna

versare nella bottiglia?

Si può arrivare alla risposta in diversi modi, esaminiamo il primo: considerando che ¼ di litro è uguale a 0,25 litri (basta fare 1:4) possiamo facilmente impostare l’operazione di divisione:

1,5 : 0,25 = 6

Quindi si possono versare nella bottiglia 6 bicchieri d’acqua. Ora esaminiamo il secondo: per un litro sono necessari 4 bicchieri, per mezzo litro 2 bicchieri, pertanto il numero complessivo dei bicchieri risulta pari a 6.

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D20

D20. Si vuole dipingere un muretto di separazione tra i giardini di due case adiacenti.

Il muretto, lungo 5 m, con uno spessore di 0,2 m e una altezza di 1 m, appoggia

con una delle facce laterali sulla parete delle case, come in figura.

Quanto misura la superficie da dipingere?

A. 10,4 m2

B. 11,2 m2

C. 11,4 m2

D. 12,4 m2

Per rispondere correttamente è sufficiente comprendere quante e quali sono le facce da dipingere: Per farlo osserviamo il muretto e troveremo che sono da dipingere le due facce laterali, la faccia superiore, la faccia di fronte. Calcoliamo l’area delle varie facce ricorrendo alla formula per il calcolo dell’area di un rettangolo, A=b x h

Faccia laterale: A= 5 x 1 = 5 m2 e poiché sono due abbiamo 10 m2

Faccia superiore: A= 5 x 0,2 =1 m2

Faccia frontale: A= 1 x 0,2 = 0,2 m2

Area complessiva = 11,2 m2

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D21

D21. La seguente tabella mostra il numero di iscritti a un club sportivo.

Minori di 18

anni

Maggiori di 18

anni

Maschi 20 15

Femmine 18 22

a. Se viene scelta a caso una delle persone iscritte al club, qual è la probabilità

che sia maschio?

A.

B.

C.

D.

b. Qual è la probabilità che la persona scelta a caso abbia più di 18 anni?

Risposta:

a) Con riferimento alla definizione di probabilità bisogna considerare il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili supposti tutti ugualmente possibili. Nel nostro caso abbiamo 35 iscritti maschi come casi favorevoli e 75 gli iscritti in genere come casi possibili, quindi

la probabilità sarà pari al loro rapporto, cioè:

b) Si ripete lo stesso ragionamento di sopra con la differenza che i casi favorevoli ora sono 37 (la

somma dei maschi e delle femmine con più di 18 anni) mentre i casi possibili sono sempre 75,

quindi avremo dal rapporto,

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D22

D22. Una scala, costituita da 5 gradini profondi 24 cm e lati 18 cm l’uno, deve essere

coperta da una tavola di legno utilizzata come scivolo per il trasporto di alcune

merci. Qual è il procedimento corretto per trovare la lunghezza della scala?

Bisogna notare che per ogni scalino si viene a formare con la parte di tavola di legno un triangolo rettangolo per cui si può pensare di ricorrere al teorema di Pitagora e quindi si può scrivere che:

AB = √

Va moltiplicato per 5 perché questo è il numero di triangoli che si formano con la tavola, quindi la risposta corretta è la C.

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D23

D23. A una certa ora di una giornata di dicembre, un bastone lungo 1,5 m, piantato

nel terreno perpendicolarmente ad esse, proietta un’ombra lunga 6 m. alla

stessa ora, un palo della luce proietta un’ombra di 18 m.

Quanto è alto il palo?

Risposta: 4,5 m

Si può osservare che i due triangoli sono simili, infatti ricordiamo il corollario relativo a due triangoli rettangoli: due triangoli rettangoli con un angolo acuto uguale sono simili. Pertanto possiamo applicare la legge della proporzionalità e scrivere che:

6 : 18 = 1,5 : Y (si legge 6 sta a 18 come 1,5 sta ad Y)

Ricaviamo Y =

In alternativa si può ricorrere anche al seguente ragionamento; si ricava il rapporto

ombra/bastone per il primo palo, cioè:

= 4 m.

Poi si applica questo rapporto all’atro palo, cioè:

= 4,5 m.

Osserva che ambedue i ragionamenti sono applicabili solo nell’ipotesi che le ombre siano rilevate alla stessa ora e quindi con la stessa inclinazione dei raggi del sole che possiamo considerare fra loro paralleli.

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D24

D24. In un prato (rettangolo più grande) è stata costruita una piscina (rettangolo più

piccolo) come vedi in figura.

La superficie di prato rimasta è:

A. 8a2

B. 6a2

C. 9a

D. 3a

Osserviamo che abbiamo in figura due rettangoli e quindi possiamo ricavare le rispettive aree e poi farne la differenza. Per il rettangolo esterno abbiamo che l’area, applicando la nota formula (b x h), risulta uguale a:

4a x 2a = 8a2 Per il rettangolo interno abbiamo che l’area, applicando sempre la stessa formula (b x h), risulta uguale a:

2a x a = 2a2 Ci resta allora da determinare l’area di prato rimasta facendo la differenza tra le due aree prima ricavate e cioè:

8a2 - 2a2 = 6a2

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D25

D25. Quale fra le seguenti disuguaglianze è quella corretta?

A.

B.

C.

D.

Per poter rispondere correttamente conviene portare le frazioni tutte allo stesso denominatore. In questo modo sarà molto semplice verificare le diseguaglianze e trovare quella corretta. Per poter portare le frazioni allo stesso denominatore basta moltiplicare il numeratore e denominatore per lo stesso numero. Es.

se si moltiplica numeratore e denominatore per 2 si ha:

Operiamo in questo modo per tutte e quattro le alternative e avremo:

a)

non vera perché

non è minore di

b)

non vera perché

non è minore di

c)

vera perché

è minore di

e

è minore di

d)

non vera perché

non è minore di

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D26

D26. Un alunno, osservando dal suo banco l’armadio posto nell’aula, lo ha

rappresentato mediante uno schizzo in prospettiva, cioè come lo vede.

Cerchia sulla piantina dell’aula la lettera corrispondente alla posizione

dell’alunno rispetto all’armadio.

Osservando la piantina che riporta una vista dall’alto dell’aula dobbiamo immaginare cosa vedremmo posizionati nelle quattro posizioni proposte: Posti sia in B che in D dovremo riportare in uno schizzo un rettangolo visto che ci troviamo di fronte ad un dei lati dell’armadio Posti sia in A che in C dovremo riportare uno schizzo utilizzando una rappresentazione prospettica come lo schizzo riportato dall’allievo. Possiamo concludere che l’alunno si trova nella posizione A in quanto ha iniziato il suo schizzo disegnando prima l’angolo sinistro.

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INVALSI Matematica




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D1

D1. Su una confezione di succo di frutta da 250 ml trovi le seguenti informazioni

nutrizionali:

INFORMAZIONI NUTRIZIONALI Valori medi per 100 ml

Valore energetico 54 kcal – 228 kJ

Proteine 0,3 g

Carboidrati 13,1 g

Grassi 0,0 g

Quante kcal assumi se bevi tutto il succo di frutta della confezione?

A. 54

B. 135

C. 228

D. 570

Si può rispondere correttamente impostando diversi ragionamenti: Esempio 1 1) dalla tabella si legge che a 100 ml corrisponde un valore energetico di 54 kcal 2) la nostra confezione ha una capacità di 250 ml che si può scrivere anche come:

250 ml = 100 ml + 100 ml + 50 ml

3) sostituendo ad ogni porzione di 100ml il valore energetico 54 kcal e a 50ml la metà di 54 kcal si ha:

54 + 54 + 54/2 = 54 + 54 + 27 = 135 Kcal Esempio 2 Un altro modo può essere quello di ricorrere al calcolo proporzionale; si imposta la proporzione:

100 : 54 = 250 : X (si legge: 100 sta a 54 come 250 sta a X)

Per cui ricavando l’incognita si ha: X = ( 54 250 ) / 100 = 135 kcal

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D2

D2. In quale di queste sequenze i numeri sono ordinati dal più piccolo al più

grande?

A.

B.

C.

D.

Si può rispondere correttamente impostando diversi ragionamenti: Esempio 1 1) si rappresentano tutti i numeri come numeri decimali ottenendo:

; 0,125 ;

; 0,65

quindi: 0,03; 0,125 ; 0,3; 0,65

Si nota facilmente che risultano ordinati dal più piccolo al più grande.

Esempio 2

si trasformano tutti i numeri in frazioni con lo stesso denominatore : 1) si trasformano tutti i numeri in frazioni ottenendo:

;

;

;

2) si riportano le frazioni tutte allo stesso denominatore

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quindi

Si nota facilmente che risultano ordinati dal più piccolo al più grande.

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D3

D3. Su una carta stradale due località sono distanti 3 cm. Sapendo che la scala della

carta è di 1:1500000, a quale distanza si trovano le due località?

A. 4,5 km

B. 15 km

C. 45 km

D. 450 km

Si può rispondere correttamente nel seguente modo: 1) La scala della carta di 1: 1.500.000 sta ad indicare che: 1 cm sulla carta corrisponde nella realtà ad 1.500.000 cm quindi 3 cm corrispondono a 3 x 1.500.000 = 4.500.000 cm Poiché la risposta è indicata in km dobbiamo passare dai cm ai km; ricordando la scala delle unità di misura:

km hm dam m dm cm mm si può notare che per passare da cm a km bisogna dividere per 100.000 quindi si ha:

= 45 km

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D4

D4. Il direttore di un negozio vuole sapere quanti computer con hard disk da 250

GB (gigabyte) sono stati venduti nell’ultimo trimestre. In riferimento a tale

periodo, l’addetto commerciale fornisce i dati rappresentati nel grafico e nella

tabella seguenti.

Quanti computer con hard disk da 250 GB sono stati venduti?

A. 35

B. 40

C. 100

D. 140

Per rispondere correttamente occorre prima ricavare le informazioni dal grafico e dalla tabella, poi eseguire un calcolo percentuale; quindi: 1) Dal grafico (istogramma) possiamo ricavare che sono stati venduti 350 computer; infatti posizionandosi sull’ascissa sotto la colonna computer si vede che questa termina in corrispondenza dell’ordinata 350. 2) Nella tabella si legge che la percentuale dei computer da 250 GB venduti è pari al 40 % 3) ora conoscendo il numero totale di computer venduti (350) e la percentuale di quelli da 250 GB (40%) basta eseguire il calcolo della percentuale e cioè:

(computer con hard disk da 250 GB)

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D5

D5. In un laboratorio si devono riempire completamente 7 contenitori da un litro

travasando il liquido contenuto in flaconi da 33 cl ciascuno. Il liquido rimanente

viene gettato via.

a. Qual è il numero minimo di flaconi che occorrono per riempire tutti i

sette contenitori?

Riposta 22

b. Quanto liquido viene gettato via?

Riposta 26 cl

Si può rispondere correttamente usando diverse strategie, come ad esempio: 1) I 7 contenitori da 1 litro assommano a 7 litri; 2) Trasformiamo i 7 litri in cl; ricordando i multipli e sottomultipli del litro: hl (ettolitro) dal (decalitro) l (litro) dl (decilitro) cl (centilitro) ml (millilitro) pertanto: 7 litri equivalgono a 700 centilitri 3) Ora calcoliamo il numero dei contenitori eseguendo la seguente operazione:

occorrono allora 22 contenitori

4) Il liquido che viene gettato via lo calcoliamo considerando che:

22 contenitori x 33 cl = 726 centilitri 726 cl – 700 cl = 26 cl Oppure

1) Si può osservare che ogni 3 contenitori abbiamo quasi un litro, manca 1 cl, infatti 33 x 3 = 99 cl; per 7 litri ce ne vogliono 7 x 3 = 21, ma 21 x 33 = 693 cl quindi mancano 7 cl , pertanto dobbiamo utilizzare 22 contenitori; 2) il liquido che rimane nell’ultimo contenitore sarà 33 – 7 = 26 cl

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D6

D6. Qual è il risultato della seguente espressione?

A. 1

B.

C. 2

D. 4

Per rispondere correttamente bisogna rispettare le regole di priorità nell’effettuazione dei calcoli; in questo caso vanno fatte prima le operazioni di divisione e poi le addizioni nell’ordine in cui sono scritte da sinistra a destra. Allora:

Oppure Eseguendo il calcolo (sempre rispettando le regole di priorità), ricordando il concetto di numero misto (la somma di un numero più una frazione) che nel nostro quesito sono:

quindi sostituendo si ha:

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D7

D7. La superficie del cubo di legno in figura è stata completamente verniciata. Il

cubo viene poi segato lungo le linee tratteggiate. Si ottengono così diversi

cubetti, dei quali alcuni non hanno nessuna faccia verniciata, altri una o più

facce verniciate.

Completa ora la seguente tabella.

Numero di facce verniciate Numeri di cubetti

0 1

1 6

(2) (12)

3 8

Per rispondere correttamente bisogna cercare di visualizzare il cubo nelle tre parti divise, come riportato di seguito:

Possiamo subito notare che in totale ci sono 27 cubetti;

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esaminiamo la parte 1: i cubetti 1-3-7-9 quelli situati negli spigoli presentano 3 facce verniciate ; lo stesso si può dire per i cubetti 19-21-25-27 situati nella parte 3. Quindi i cubetti 1 – 3 – 5- 7 -9 – 19 -21 -25 -27 presentano 3 facce verniciate, in totale 8 cubetti I cubetti: 2-4-6-8 presentano 2 facce verniciate così pure i cubetti: 20-22-24-26 ed i cubetti: 10–12–16–18 per un totale di 12 cubetti come già indicato nel quesito. Il cubetto 5 presenta 1 faccia verniciata, anche il cubetto 23 e lo stesso anche i cubetti: 11–13–15–17 per un totale di 6 cubetti Come puoi osservare tra i 27 cubetti è rimasto solo il cubetto 14 e presenta zero facce verniciate. Riepilogando

Numero di facce verniciate

Cubetti contrassegnati con i numeri in figura Totale

0 n. 14 1

1 n. 5- 11- 13- 15- 17 – 23 6

2 n. 2 – 4 -6 – 8 - 10 – 12 – 16 – 18 - 20- 22 -24 -26 12

3 n. 1- 3- 7- 9 - 19- 21- 25- 27 8

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D8

D8. Piero e Giorgio partono per una breve vacanza. Decidono che Piero pagherà per

il cibo e Giorgio per l’alloggio. Questo è il riepilogo delle spese che ciascuno di

loro ha sostenuto:

Giorgio Piero

Lunedì 27 euro 35 euro

Martedì 30 euro 30 euro

Mercoledì 49 euro 21 euro

Al ritorno fanno i conti per dividere in parti uguali le spese.

a) Quanti euro deve dare Piero a Giorgio per far sì che entrambi abbiano speso

la stessa somma di denaro?

Risposta: 10 euro

Si può rispondere correttamente usando diverse strategie, come ad esempio: 1) si sommano tutte le spese fatte da Giorgio, cioè: 27 + 30 + 49 = 106 euro 2) si sommano tutte le spese fatte da Piero, cioè: 35+ 30 + 21 = 86 euro 3) si calcola la somma di tutte le spese, cioè: 106 + 86 = 192 4) Poiché le spese si divideranno in parti uguali si divide la somma di tutte le spese per due, cioè:

5) Piero ha speso di meno, allora dovrà dare a Giorgio la differenza tra: 96 – 86 = 10 euro

Oppure 1) si calcolano giorno per giorno la differenza algebrica tra le spese sostenute dai ragazzi e infine si sommano algebricamente, ottenendo così la soluzione riportata di seguito:

Giorgio Piero Differenza algebrica

Lunedì 27 35 - 8

Martedì 30 30 0

Mercoledì 49 21 + 18

+ 10

quindi Giorgio deve avere 10 euro da Piero.

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D9

D9. Il prezzo p (in euro) di una padella dipende dal suo diametro d (in cm) secondo

la seguente formula:

Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.

V F

a. Il prezzo della padella è direttamente proporzionale al suo diametro

b. Il prezzo della padella aumenta all’aumentare del suo diametro

c. Il rapporto fra il diametro della padella e il suo prezzo è 15

L’affermazione a) risulta falsa in quanto non c’è diretta proporzionalità fra la grandezza prezzo e la grandezza diametro; infatti se così fosse dovremmo ottenere che raddoppiando il diametro dovrebbe raddoppiare anche il prezzo; invece possiamo verificare che:

con un diametro pari a 15 cm avremmo un prezzo di 15 euro

con un diametro pari a 30 cm avremmo un prezzo di 60 euro che non è il doppio di 15

infatti la grandezza prezzo è direttamente proporzionale al quadrato della grandezza diametro (se il diametro raddoppia, il prezzo quadruplica) L’affermazione b) risulta vera in quanto il prezzo della padella aumenta in ragione del quadrato del diametro come abbiamo potuto constatare al punto precedente. L’affermazione c) risulta falsa in quanto il rapporto fra il diametro della padella al quadrato e il suo prezzo è 15, infatti:

da cui si ricava che:

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D10

D10. Un aereo parte alle 14.15 (ora Roma) dall’aeroporto di Roma-Fiumicino e

arriva all’aeroporto JFK di New York alle 18.00 (ora di New York). Sapendo

che fra Roma e New York vi sono 6 ore di differenza di fuso orario (cioè, se a

New York è mezzanotte a Roma sono le 6 del mattino seguente), quante ore

dura il volo?

A. 3 h 45’

B. 4 h 15’

C. 9 h 45’

D. 10 h 15’

Si può rispondere correttamente usando diverse strategie, come ad esempio: 1) Si calcola la differenza di tempo tra l’ora di Roma 14.15 e l’ora di New York 18.00 che risulterebbe essere pari a: 3h e 45’. (cioè 3 ore e 45 minuti) 2) Alla differenza di tempo ottenuta si sommano le ore di differenza di fuso orario (6) ottenendo: 3 h e 45’ + 6 h = 9 h e 45’ (cioè 9 ore e 45 minuti)

Oppure 1) Si calcola che ora è a New York quando l’aereo parte da Roma alle 14.15; dai dati del quesito sappiamo che quando a New York è mezzanotte a Roma sono le 6 del mattino, pertanto alla partenza dell’aereo da Roma (14.15) a New York sono le 8.15 (sei ore prima) 2) Ora calcolando la differenza di tempo tra le 18.00 ora di arrivo a New York e le 8.15 ora a New York alla partenza dell’aereo, si ha: 18 h e 00’ – 8 h e 15’ = 9h e 45’

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D11

D11. Un barattolo di pelati da 0,4 kg è alto 11 cm e ha la base di 6 cm di diametro.

Qual è il volume del barattolo?

A. Circa 100 cm3

B. Circa 200 cm3

C. Circa 300 cm3

D. Circa 400 cm3

Per rispondere correttamente occorre ricordare la formula per il calcolo del volume di un solido; infatti il barattolo ha la forma di un cilindro, pertanto:

Esaminando la formula; vediamo che conosciamo l’altezza (h) che è uguale ad 11 cm mentre non

conosciamo il raggio (r); sapendo che il diametro d= 2r ricaviamo il raggio:

Quindi possiamo procedere al calcolo del volume:

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D12

D12. Qui sotto vedi una retta r sulla quale sono segnati due punti A e B. Indica con

quale punto (L, M, N) congiungeresti i due punti A e B per formare un triangolo

rettangolo con angolo retto in A.

L

M

N

Per formare un triangolo rettangolo con angolo retto in A occorre disegnare una retta passante per A perpendicolare alla retta AB, infatti due rette perpendicolari formano alla loro intersezione 4 angoli retti (90°). Pertanto possiamo individuare come retta quella passante per il punto M perché perpendicolare alla retta AB.

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Disegnando le rette passanti per i tre punti si vedono formarsi tre triangoli. Per quanto detto precedentemente il triangolo rettangolo si ottiene congiungendo il punto A con il punto M (angolo di 90°) e il punto B con il punto M.

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D13

D13. Filippo si prepara per una gara di triathlon. Si allena nel nuoto ogni 3 giorni,

nella corsa a piedi ogni 6 giorni e nella corsa in bicicletta ogni 8 giorni. Se oggi si

è allenato in tutti e tre gli sport, tra quanti giorni gli accadrà di nuovo di

allenarsi nei tre sport nella stessa giornata?

A. 8

B. 12

C. 17

D. 24

Per rispondere correttamente bisogna trovare il minimo comune multiplo; infatti il minimo comune multiplo (mcm) di tre numeri interi a, b, c è il più piccolo intero positivo multiplo di a, di b e di c. Pertanto calcolando il m.c.m tra 3, 6, 8 si trova 24 giorni. Ci saresti potuto arrivare esaminando anche le varie alternative:

dopo i primi 8 giorni: non può accadere perché mancherebbe ancora 1 gg. per il nuoto e 4 gg. per la corsa

dopo i primi 12 giorni: non può accadere perché mancherebbero ancora 4 gg. per la bici

dopo i primi 17 giorni: non può accadere perché mancherebbero gg. per tutte e tre le attività

dopo i primi 24giorni: accade perché è sia il gg. del nuoto (24 = ogni 3 gg x 8 volte), sia il gg. della corsa (24 = ogni 6 gg x 4 volte) e ovviamente della bici (24 = ogni 8 gg. x 3 volte)

nuoto corsa bici

x x x

1

2

3 x

4

5

6 x x

7

8 x

9 x

10

11

12 x x

13

14

15 x

16 x

17

18 x x

19

20

21 x

22

23

24 x x x

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D14

D14. Un dado non truccato è stato lanciato 70 volte di seguito. La seguente tabella

riporta la frequenza con cui ciascun numero è uscito

Numero uscito Frequenze

1 11

2 10

3 11

4 16

5 9

6 13


V F

a. Poiché il 5 è uscito meno volte, la probabilità che esca 5 nel lancio

successivo è maggiore rispetto ad altri numeri

b. Poiché il 4 è uscito più volte, la probabilità che esca 4 nel lancio

successivo è maggiore rispetto agli altri numeri

c. La probabilità che esca 5 nel lancio successivo è uguale a quella

che esca 4

L’affermazione (a) risulta falsa in quanto la probabilità di uscita di un numero si calcola facendo il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili supposti tutti ugualmente possibili; ad ogni lancio la situazione non cambia perché non varia né il numero dei casi possibili, né il numero dei casi favorevoli pertanto le uscite precedenti non hanno nessuna influenza sulle uscite successive. L’affermazione (b) risulta falsa per il motivo indicato precedentemente. L’affermazione (c) risulta vera perché gli eventi hanno tutti la stessa probabilità; infatti per calcolarla dobbiamo considerare il numero dei casi possibili cioè 6, ed il numero degli eventi favorevoli, cioè l’uscita di un numero da noi desiderato, quindi la probabilità di uscita di un numero ad ogni lancio del dado è uguale per tutti i numeri ed è pari a: 1/6

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D15

D15. Manuela è uscita da casa per fare una passeggiata lungo un viale. Il grafico

seguente rappresenta la posizione di Manuela in funzione del tempo.


V F

a. Il grafico mostra che Manuela nel tratto 3 ha camminato più

velocemente che nel tratto 1

b. Il grafico mostra che Manuela nel tratto 5 è tornata indietro

c. Il grafico mostra che Manuela nel tratto 1 e nel tratto 5 ha

camminato alla stessa velocità

d. In 70 minuti, comprese le soste, Manuela ha percorso 1400 metri

Osservando il grafico, quale informazione ricavi su quello che Manuela ha fatto

nel tratto 2 e nel tratto 4?

Risposta: è rimasta ferma

L’affermazione (a) risulta vera in quanto si vede facilmente che a parità di tempo (10 min) nel tratto ‘3’ la ragazza percorre una distanza maggiore rispetto al tratto ‘1’, quindi ha camminato più velocemente; lo si può osservare anche calcolando la velocità nel tratto ‘3’ applicando la nota formula per il calcolo della velocità in un moto rettilineo uniforme:

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Calcoliamo la velocità nel tratto 1 allo stesso modo:

E quindi si può concludere che essendo V3 > V1 ha camminato più velocemente nel tratto ‘3’.

L’affermazione (b) risulta vera in quanto nel grafico si può vedere che si sposta dalla posizione 1400 m alla posizione 0 m , quindi 1400 m in tutto ma nella direzione inversa a quanto ha fatto (sempre 1400 m) nel tratto ‘1’ e nel tratto ‘3’ (in ‘2’ e ‘4’ è rimasta ferma). L’affermazione (c) risulta falsa in quanto dal grafico si rileva che nel tratto ‘5’ ha percorso 1400 m in 20 min cioè ha tenuto una velocità media di 7 m/s, mentre nel tratto ‘1’ abbiamo calcolato precedentemente la velocità media di 6 m/s

L’affermazione (d) risulta falsa in quanto dal grafico si può vedere che ha percorso 1400 m nel tratto ‘1’ e ‘3’ , ma poi ne ha percorsi altri 1400 nel tratto ‘5’.

Nei tratti 2 e 4 la ragazza è rimasta ferma in quanto nel grafico il tratto parallelo indica sempre la stessa posizione al trascorre del tempo, quindi con velocità nulla, infatti:

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D16

D16. La massa del pianeta Saturno è 5,68 x 1026

kg, quella del pianeta Urano 8.67 x

1025

kg e quella del pianeta Nettuno 1,02 x 1026

kg.

Metti in ordine i tre pianeti da quello di massa minore a quello di massa

maggiore.

Urano Nettuno Saturno

………………… ………………… …………………

Per poter rispondere correttamente bisogna conoscere il tipo di rappresentazione numerica usato per descrivere la massa dei pianeti. Poiché si tratta di numeri molto grandi si usa la notazione scientifica o esponenziale: per esempio 100. 000 si può scrivere come 1 x 105. Allora nel nostro caso il più piccolo sarà Urano in quanto presenta 1025 che è più piccolo di 1026. Per scegliere tra Nettuno e Saturno è sufficiente confrontare i numeri 5,68 e 1,02 visto che entrambi sono moltiplicati per 1026 , evidentemente si sceglie Nettuno.

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D17

D17. L’insegnante dice: “Prendiamo un numero naturale che indichiamo con n. Cosa

si può dire del risultato di n(n-1)? È sempre pari, oppure sempre dispari,

oppure può essere qualche volta pari e qualche volta dispari?”. Alcuni studenti

rispondono in questo modo:

Roberto: “Può essere sia pari sia dispari, perché n è un numero qualsiasi”

Angela: “È sempre dispari, perché n-1 indica un numero dispari”

Ilaria: “È sempre pari, perché 3x(3-1) fa 6, che è pari”

Chiara: “È sempre pari perché n e (n-1) sono numeri consecutivi e quindi

uno dei due deve essere pari”

Chi ha ragione e fornisce la spiegazione corretta?

A. Roberto

B. Angela

C. Ilaria

D. Chiara

L’affermazione fatta da Roberto è errata perché anche se ‘n’ può essere pari o dispari non pone nessuna attenzione sul prodotto ‘n(n-1)’. L’affermazione fatta da Angela è errata perché pone l’attenzione solo sulla parte ‘(n-1)’ ed inoltre suppone che ‘n’ sia un numero pari. L’affermazione fatta da Ilaria pur riconoscendo la proprietà che contraddistingue il prodotto ‘n(n-1)’ non è corretta perché lo fa ricorrendo ad un semplice esempio. L’affermazione fatta da Chiara è corretta perché individua e spiega la proprietà che caratterizza il prodotto ‘n(n-1)’ e cioè che il prodotto tra due numeri naturali consecutivi è sempre un numero pari, infatti uno dei due sarà sempre pari.

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D18

D18. Nella figura che vedi ogni quadretto ha il lato di 1 cm.

Quanto misura all’incirca l’area racchiusa dalla linea curva?

A. Meno di 8 cm2

B. Più di 8 cm2 e meno di 13 cm

2

C. Più di 13 cm2 e meno di 25 cm

2

D. Più di 25 cm2

Con riferimento alla figura si può vedere che i 7 quadretti in arancione sono contenuti interamente dall’area della figura. Quindi ricaviamo che l’area ricoperta da questi vale:

A arancioni = 7 x 1 cm2 = 7 cm2

Ancora possiamo osservare che i quadretti evidenziati in blu occupano tutti più della metà di ogni quadretto, quindi possiamo considerare che ognuno abbia un’area pari almeno alla metà dell’area del quadretto, pertanto:

A blu = 12 x 0,5 cm2 = 6 cm2

Possiamo allora sicuramente indicare l’alternativa ‘C’ in quanto l’area dei quadretti arancioni sommata a quella dei blu vale 13 cm2; inoltre ci sono anche altri contributi parziali dati dai quadretti non evidenziati, interni alla figura. Quindi l’area totale sarà certamente compresa tra 13cm2 e 25 cm2.

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D19

D19. Questo è il profilo altimetrico della quinta tappa del Giro d’Italia 2009.


V F

a. La tappa è lunga 125 km

b. L’altitudine massima raggiunta è 1844 m

c. Il dislivello tra Bolzano e l’arrivo (Alpe di Siusi) è 2110 m

d. La distanza tra Bolzano e l’arrivo (Alpe di Siusi) è 33,6 km

L’affermazione (a) risulta vera come si può facilmente osservare dal grafico; in basso a sinistra si vede che l’inizio della tappa è segnato al chilometro 0.0 mentre all’estrema destra sempre in basso si legge 125,0 chilometri ,arrivo della tappa; pertanto la differenza tra 125,0 e 0,0 restituisce 125,0 km.

L’affermazione (b) risulta falsa perché l’altitudine maggiore la leggiamo in corrispondenza del Passo Rolle, ben 1972 m sul livello del mare raggiungibile dopo 8,2 km dalla partenza della tappa.

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L’affermazione (c) risulta falsa in quanto il dislivello tra Bolzano e l’arrivo Alpe di Siusi è di 1578 m; infatti dal grafico si legge che il livello alla Alpi di Siusi è di 1844 m mentre il livello dove è collocato Bolzano è di 266 m, quindi facendo la differenza tra i due livelli si ottiene:

1844 – 266 = 1578 m

L’affermazione (d) risulta vera in quanto l’arrivo, Alpe di Siusi, si trova al 125 km mentre Bolzano si trova al km 91,4; pertanto facendo la differenza tra le due posizioni otteniamo: 125 – 91,4 = 33,6 km

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D20

D20. Il Signor Carlo scende dal tram all’incrocio di via Pietro Micca con via Antonio

Giuseppe Bertola (nella mappa che vedi qui sotto il punto è contrassegnato da un

asterisco).

Percorre 200 metri in via Bertola e all’incrocio con via 20 Settembre svolta a

sinistra; dopo aver camminato per 150 metri, raggiunge l’incrocio con via Pietro

Micca. Da lì decide di tornare al punto di partenza per via Pietro Micca. Quanti

metri all’incirca percorre al ritorno?

A. 200 m

B. 250 m

C. 350 m

D. 600 m

Per rispondere correttamente basta osservare che il percorso seguito dal signor Carlo è paragonabile ad un triangolo rettangolo; in figura sono riportate le misure dei lati come indicati dal quesito, quindi:

AC=

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D21

D21. Queste sono le prime tre figure di una sequenza.

Il lato del triangolo di figura 2 è il doppio di quello di figura 1 e la sua area è

quattro volte più grande. Il lato del triangolo di figura 3 è il triplo di quello di

figura 1 e l’area è nove volte più grande.

a) Un triangolo formato da 30 triangoli uguali a quello di figura 1 appartiene

alla sequenza?

Sì

No

Per rispondere correttamente bisogna cercare di comprendere quale relazione sussiste tra il lato del triangolo e l’area; per farlo riportiamo in una tabella il Lato e l’Area; indichiamo con ‘l’ la misura del lato e con ‘A’ la misura dell’area; allora dalla tabella vediamo che quando il lato diventa ‘2l’ l’area diventa ‘4A’ (quattro triangolini); il lato diventa ‘3l’ l’area diventa ‘9A’ (9 triangolini) e cosi via. Quindi la relazione è rappresentata dal quadrato, cioè il numero di triangolini è sempre un quadrato perfetto; pertanto non si potrà mai ottenere un triangolo con ‘30’ triangolini al suo interno perché ‘30’ non è un quadrato perfetto. Si potranno ottenere triangoli con al loro interno ‘36’ triangolini, ‘49’ triangolini etc.

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D22

D22. Scrivi la formula che esprime il perimetro p del triangolo in figura in funzione

di a.

P = 2a + 3

Per rispondere correttamente bisogna ricordare le caratteristiche di un triangolo isoscele. Un triangolo isoscele come saprai ha i due lati obliqui uguali ed il perimetro si calcola facendo la somma di tutti i lati; detto questo allora possiamo facilmente scrivere che:

P = a + a + 3 = 2 a + 3

a

3

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D23

D23. La circonferenza in figura ha il raggio di 4 cm. ABCD è un rettangolo.

a. Qual è la lunghezza (in cm) del segmento ?

Risposta: 4 cm

Per rispondere correttamente bisogna impostare il seguente ragionamento: 1) Riconoscere che la figura disegnata all’interno della circonferenza è il rettangolo ABCD 2) Riconoscere che il segmento AC è una delle diagonali del rettangolo 3) Le diagonali in un rettangolo sono uguali, cioè AC = BD (l’altra diagonale) 4) Infine osservare che la diagonale BD rappresenta proprio il raggio della circonferenza ed è quindi uguale a 4 cm. (la misura del raggio)

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D24

D24. Elena compie gli anni in giugno. Di seguito è riportato il calendario di giugno

2010, dove sono evidenziati i giorni festivi.

Qual è la probabilità che Elena compia gli anni in un giorno festivo?

Risposta:

Per rispondere correttamente bisogna impostare il seguente ragionamento: 1) La probabilità si calcola facendo il rapporto fra i casi favorevoli ed i casi possibili. 2) Nel nostro caso i casi possibili sono ‘5’ perché cinque sono i giorni festivi, mentre i casi possibili sono i ‘30’ giorni appartenenti al mese di giugno. 3) Quindi possiamo calcolare la probabilità che Elena compia gli anni in un giorno festivo come:

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D25

D25. Giovanni osserva da diversi punti di vista la struttura raffigurata qui sotto.

Quali tra le seguenti possono essere rappresentazioni di ciò che vede?

A. La 1 e la 5

B. La 3 e la 6

C. La 2 e la 4

D. La 2 e la 6

Per rispondere correttamente possiamo esaminare una ad una tutte le figure. Sia la figura 1, la 2 e la 3 rappresentano una vista dall’alto e la piramide risulta correttamente rappresentata in tutte e tre le figure; però le figure 1 e 3 vanno scartate perché le linee di base della piramide vengono disegnate unite alle linee della base sottostante; risulta corretta la figura 2 perché le linee della base della piramide sono correttamente distanti dalle linee della base sottostante.

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Le figure 4, 5 ,6 rappresentano una vista frontale; tutte e tre le figure riportano correttamente la vista della base sottostante, però nelle figure 4 e 5 la piramide è rappresentata in maniera errata. Infatti nella 4 risulta situata sulla destra, nella figura 5 occupa interamente la superficie della base sottostante , contrariamente alla posizione della piramide che è situata al centro della base sottostante, pertanto la figura 6 risulta corretta.

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D1

D1. Qual è l’unità di misura più appropriata per esprimere il peso di un uovo di

gallina?

A. milligrammi

B. decigrammi

C. grammi

D. ettogrammi

Un uovo di gallina pesa in media circa 60 grammi ed è composto da:

acqua per il 65,5%; proteine per il 12%; sali minerali per l’ 11,5%; grassi per l’ 11%.

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D2

D2. Quanto vale la potenza (-4)2?

A. - 16

B. - 8

C. 8

D. 16

Per eseguire il calcolo della potenza ( occorre fare il prodotto:

Ricorda che:

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D3

D3. In un foglio di cartoncino si ritaglia un quadrato di lato 10 cm. Da ogni angolo si

ritaglia un quadratino di lato 1 cm (che nella figura 1 vedi più scuro), per poter

costruire una scatola ripiegando le strisce laterali.

Qual è la capacità della scatola ottenuta ripiegando le strisce laterali?

A. 64 cm

3

B. 90 cm3

C. 96 cm3

D. 100 cm3

Per rispondere correttamente cominciamo ad osservare che:

1) Ogni lato si riduce di 2 cm (1 cm x quadratino) diventando lungo 8 cm. Pertanto l’area di base del quadrato sarà:

2) Viene richiesto di calcolare la capacità della scatola, cioè il suo volume. Ricorrendo alla formula per il calcolo del volume di un parallelepipedo rettangolo si ha:

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D4

D4. Se n è un numero naturale qualsiasi, quale procedimento devi seguire per essere

sicuro di ottenere sempre un numero dispari?

A. n - 1

B. n + 1

C. n x 2+1

D.

Per rispondere correttamente cominciamo ad osservare che:

1) moltiplicando un numero pari o dispari per ‘2’ otteniamo sempre un numero pari come puoi

facilmente verificare facendo ad es.

2) ovviamente aggiungendo ‘1’ ad un numero pari otteniamo sempre un numero dispari, quindi

bisogna eseguire il procedimento ‘C’.

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D5

D5. La piramide disegnata qui a fianco è un solido formato da

4 triangoli equilateri uguali fra loro e da una base

quadrata.

Per ciascuno dei seguenti disegni, indica con una crocetta

nella tabella sottostante se è uno sviluppo della piramide.

Disegno SI NO

1

2

3

Per rispondere correttamente possiamo osservare che: 1) Il disegno ‘1’ è sicuramente una piramide; basta immaginare di ripiegare le quattro facce triangolari verso il punto posto al di sopra del punto centrale sulla base della piramide (punto che si trova all’incrocio delle diagonali della base) 2) Il disegno ‘3’ è anch’esso una piramide, basta immaginare di ripiegare le due facce triangolari (quelle che nel disegno appaiono unite alla base della piramide) verso il punto posto al di sopra del punto centrale sulla base della piramide, poi si ripiegano le altre due facce triangolari, quelle che nel disegno appaiono disegnate unite alla faccia triangolare.

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3) Con il disegno ‘2’ non si può costruire una piramide. Per verificarlo meglio puoi ricopiare le figure proposte, ritagliarle lungo le linee di confine e poi provare a ripiegarle come indicato sopra.

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D6

D6. La piscina ACQUADOLCE offre ai suoi frequentatori due diverse modalità di

pagamento: è possibile fare un abbonamento mensile, che costa 75 euro (offerta

A), oppure pagare un biglietto di 5 euro per ogni ingresso (offerta B).

a) Scrivi nelle caselle del grafico quale retta descrive l’offerta A e quale l’offerta B

b) Con quanti ingressi in un mese le due offerte si equivalgono? 15

c) Se in un mese si utilizza la piscina 20 volte, quanto si risparmia facendo l’abbonamento

mensile? 25

Per rispondere correttamente possiamo osservare che: a) L’offerta A è rappresentata dalla retta tratteggiata orizzontale, infatti si può notare che indipendentemente dal numero di ingressi il costo (il valore sull’ordinata) è sempre 75. L’offerta B è rappresentata dalla retta obliqua, infatti si può notare che per ogni ingresso in più si intercetta sull’ordinata un valore del costo incrementato di 5 euro. Facciamo un esempio: per un numero di ingressi pari a 10 intercettiamo sull’ordinata il valore del costo corrispondente a 50 euro

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per un numero di ingressi pari a 11 intercettiamo sull’ordinata il valore del costo corrispondente a 55 euro b) Per individuare con quanti ingressi in un mese le due offerte si equivalgono basta osservare in quale punto si intersecano le due rette; questo avviene in corrispondenza dell’ascissa ‘15’ e dell’ordinata ‘75’; infatti possiamo facilmente verificare che per 15 ingressi avremo un costo di 75 euro (15 x 5) pari al costo dell’abbonamento. c) Utilizzando la piscina 20 volte avremo un costo pari a: 20 x 5 = 100 euro; poiché l’abbonamento ha un costo di 75 euro facilmente ricaviamo il risparmio calcolando la differenza : 100 – 75 = 25 euro.

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D7

D7. Scrivi al posto dei puntini il numero che rende vera la seguente uguaglianza:

4 x …. = 1,6

Si può arrivare alla risposta in vari modi: 1) ottenere il numero dividendo 1,6 per 4, cioè: 1,6 : 4 = 0,4

2) osservare che moltiplicando per 4 si otterrebbe 16 che poi diviso per 10 da proprio 1,6

3) direttamente cioè,

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D8

D8. Qual è la somma degli angoli a, b, c, d, e, f nella figura disegnata qui sotto?

A. Un angolo piatto, ossia 180°

B. Tre angoli retti, ossia 270°

C. Due angoli piatti, ossia 360°

D. Cinque angoli retti, ossia 450°

Per rispondere correttamente bisogna osservare i seguenti aspetti: 1) Ricordare che la somma degli angoli interni in un triangolo è pari a 180° 2) Per ogni triangolo esterno abbiamo che la somma degli angoli è pari a 180° 3) Per il triangolo interno abbiamo che la somma degli angoli è pari a 180° (L1+M1+N1) 4) Gli angoli opposti al vertice sono uguali [L=L1 ; M=M1; N=N1]

5) Quindi possiamo concludere, che essendo:

L + M + N = L1 + M1 + N1 = 180° [il triangolo interno (1 x 180° )] a + b +L = 180° ; c + d + N = 180° ; e + f + M = 180° [triangoli esterni (3 x 180°)] a questi triangoli vanno tolti gli angoli L,M,N, cioè 180°, quindi: otteniamo: a + b + c + d + e + f = 3 x 180° – 180° = 540° – 180° = 360°

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D9

D9. Un insieme di dati è costituito dai seguenti quattro valori:

20 ; 30 ; 50 ; 60

A questi dati ne viene aggiunto un altro e si calcola la media aritmetica dei

cinque valori, che risulta essere 50. Qual è il valore del dato aggiunto?

A. 10

B. 40

C. 50

D. 90

Per rispondere correttamente bisogna osservare i seguenti aspetti: 1) Ricordare che la media aritmetica è pari alla somma di tutti i valori, diviso il numero dei valori, cioè:

(Vn = valore ennesimo) 2) Nel nostro caso ci viene detto che la media è pari a 50 e che i valori sono 5, quindi la somma di tutti i valori è ovviamente = 250 (in questo modo si ottiene la media aritmetica indicata, 50 = 250/5) 3) Pertanto possiamo scrivere che: 20 + 30 + 50 + 60 + X = 250; quindi, 160 + X = 250 e allora X = 250 – 160 = 90 N.B. avresti potuto pure scrivere direttamente:

quindi risolvere l’equazione e trovare la soluzione X = 90.

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D10

D10. In una scuola con 300 allievi, 45 tifano per la squadra del Borgorosso. Quale

delle seguenti affermazioni è vera?

A. Un ragazzo su 6 è tifoso del Borgorosso

B. I tifosi del Borgorosso sono il 25% degli allievi

C. I tifosi del Borgorosso sono il 15% degli allievi

D. Un quinto degli allievi è tifoso del Borgorosso

Per rispondere correttamente bisogna eseguire il calcolo della percentuale, cioè:

Per esercizio verifichiamo che le altre alternative sono errate:

L’alternativa (A) è errata in quanto se fosse vero che ‘1 ragazzo su 6 è tifoso del Borgorosso’ avremo 300/6 = 50 e non 45 come riportato nella domanda

L’alternativa (B) è errata in quanto il 25% degli allievi sarebbe pari a:

e non 45 come riportato nella domanda

L’alternativa (D) è errata in quanto un quinto degli allievi sarebbe pari a:

e non 45 come riportato nella domanda

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D11

D11. Nel risolvere l’equazione scritta alla riga 1. È stato commesso un errore.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

In quale passaggio è stato commesso l’errore?

A. Nel passaggio dalla riga 1 alla riga 2

B. Nel passaggio dalla riga 2 alla riga 3

C. Nel passaggio dalla riga 3 alla riga 4

D. Nel passaggio dalla riga 4 alla riga 5

Si tratta di risolvere un’equazione di 1° grado; separiamo i due membri riportando da una parte i termini con l’incognita x e dall’altra i termini noti. Il passaggio dalla ‘1’ riga alla ‘2’ risulta corretto; il passaggio dalla ‘2’ alla ‘3’ riga è errato in quanto la somma algebrica tra ‘-10x’ e ‘+4x’ dà ‘-6x’ e non ‘6x’; di seguito il procedimento completo:

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D12

D12. Un ragazzo prepara la limonata utilizzando questa ricetta:

Dosi per 4 persone 1 litro d’acqua 30 g di zucchero 4 limoni

Quali dosi deve utilizzare per preparare la limonata per 6 persone?

Si tratta di risolvere un problema di proporzionalità; dobbiamo trovare l’eguaglianza tra i due rapporti: 1lt per 4 persone = ‘x’ litri per 6 persone, cioè:

che rappresenta la proporzione e che si può scrivere come:

1 : 4 = x : 6 (si legge: 1 sta a 4 come x sta a 6 )

1 e 6 sono gli estremi della proporzione; 4 e x sono i medi della proporzione

litri di acqua (un medio è uguale al prodotto tra gli estremi diviso l’altro medio)

per lo zucchero allora si ha: 30 · 1,5 = 45 g di zucchero

per i limoni si ha: 4 · 1,5 = 6 limoni

A. Dosi per 6 persone 2 litri d’acqua 60 g di zucchero 6 limoni

B. Dosi per 6 persone 1,5 litri d’acqua 45 g di zucchero 6 limoni

C. Dosi per 6 persone 1,5 litri d’acqua 60 g di zucchero 8 limoni

D. Dosi per 6 persone 2 litri d’acqua 45 g di zucchero 8 limoni

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D13

D13. Il seguente grafico rappresenta la popolazione residente in Italia (espressa in

migliaia) nei censimenti dal 1901 al 2001:

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

A. I censimenti sono stati attuati regolarmente ogni dieci anni

B. La popolazione è rimasta invariata negli ultimi tre censimenti

C. La popolazione nel decennio 1911-1921 è aumentata di circa quattro

milioni di persone

D. Voleva prolungare il più possibile la trattativa per trovare il miglior

offerente

L’affermazione (A) risulta falsa in quanto si nota facilmente che manca il censimento dell’anno 1941. L’affermazione (B) risulta falsa in quanto la popolazione è cresciuta da 56.557 migliaia di persone a 56.996 migliaia di persone, quindi non è rimasta invariata. L’affermazione (D) risulta falsa in quanto la differenza tra le migliaia di persone dell’anno 1951 (47.516) e le migliaia di persone dell’anno 1936 (42.994) è inferiore a 5 milioni (cinquemila migliaia), infatti: 47.516 – 42.994 = 4.522 migliaia di persone. L’affermazione (C) risulta vera in quanto la differenza tra le migliaia di persone dell’anno 1921 (39.944) e le migliaia di persone dell’anno 1911 (35.845) è superiore a 4 milioni (quattromila migliaia), infatti: 39.944 – 35.845 = 4.099 migliaia di persone.

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D14

D14. Nel disegno vedi un campo da calcetto di forma rettangolare.

B

40 m

A 30 m

Roberto e Elena si sfidano a una gara di corsa: partendo dall’angolo indicato

nella figura A devono arrivare all’angolo B. Roberto corre lungo il bordo del

campo, mentre Elena corre lungo la diagonale del campo.

a. Quanti metri in più deve percorrere Roberto?

A. 50

B. 70

C. 20

D. 30

Bisogna calcolare la lunghezza della diagonale da A a B. Occorre notare che tracciando la diagonale si formano due triangoli rettangoli uguali, pertanto si può applicare il teorema di Pitagora ad uno dei due triangoli per calcolare la lunghezza della diagonale, cioè:

B

√ √ √

quindi Elena percorre 50 m, mentre Roberto ne percorre 70 m (30 + 40). Si conclude che Roberto percorre 20 m in più rispetto ad Elena.

40 m

A 30 m

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D15

D15. Un club sportivo ha 150 atleti e ogni iscritto pratica un solo sport: il tennis, la

scherma o l’atletica leggera. 2/5 degli atleti praticano il tennis e 1/3 la scherma.

Quanti sono quelli che si dedicano all’atletica?

A. 40

B. 50

C. 60

D. 70

Poiché ogni atleta pratica uno sport si può procedere calcolando gli atleti che praticano il tennis, cioè:

allo stesso modo calcoliamo gli atleti che praticano la scherma, cioè:

quindi si può concludere che quelli che praticano l’atletica sono: osserva che si sarebbe anche potuto scrivere direttamente:

e risolvere l’equazione

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D16

D16. Confronta il numero 3,25 con le coppie di numeri elencate sotto. In una di esse

3,25 è maggiore del primo numero e minore del secondo. In quale?

Procediamo esaminando le alternative una ad una;

Non è l’alternativa ‘A’ in quanto 3,25 risulta maggiore di 3

Non è l’alternativa ‘B’ in quanto

è uguale a 3,5 che risulta maggiore di 3,25

Non è l’alternativa ‘D’ in quanto

è uguale a 3,75 che risulta maggiore di 3,25

È l’alternativa ‘C’ in quanto 3,25 è maggiore di 3 e minore di

che è uguale a 3,5

3 < 3,25 < 3,5 (si legge 3,25 è compreso tra 3 e 3,5)

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D17

D17. Il triangolo ABC viene traslato nel piano cartesiano in modo che il vertice A

venga a trovarsi in A’. quali sono le coordinate B’ e C’ degli altri vertici del

triangolo traslato?

A. B’≡(9;5) C’≡(9;3)

B. B’≡(3;5) C’≡(6;3)

C. B’≡(9;5) C’≡(6;7)

D. B’≡(6;7) C’≡(6;3)

Per rispondere correttamente bisogna sapere che l’effetto della traslazione è lo spostamento di tutti i punti nella stessa direzione con la stessa distanza; nel nostro caso abbiamo uno spostamento per il punto (A) di ‘+ 5’ per l’ascissa e di ‘+ 3’ per l’ordinata determinando così il punto (A’) con ascissa 1+5 = 6 ed ordinata 2 + 3 = 5, cioè A’(6, 5); applichiamo la stessa trasformazione alle coordinate degli altri punti ed otteniamo:

B (4 , 2); B’ (4+5 , 2+3) = B’ (9 , 5)

C (1 , 4) ; C’ (1+5 , 4+3) = C’ (6 , 7)

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D18

D18. Scrivi la formula che esprime come varia l’area A della

figura qui di fianco, al variare della lunghezza a.

Si può rispondere seguendo diversi ragionamenti, esaminiamone due: 1) Sapendo che l’area del trapezio si calcola come:

poiché:

base maggiore = a + 3

base minore = a

altezza = a

si ha:

2) si può anche considerare la figura composta dal quadrato più il triangolo rettangolo e quindi calcolare l’area della figura come somma delle due aree: area quadrato =

area triangolo =

quindi:

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D19

D19. Dati due punti A e B sono stati tracciati con lo stesso

raggio maggiore della metà del segmento AB, due

archi di circonferenza, uno con centro in A e uno con

centro in B. È stato chiamato C uno dei punti di

intersezione tra due archi.

a. Se l’angolo AĈB misura 40°, quanto misura l’angolo ̂ segnato?

A. 50°

B. 60°

C. 70°

D. 140°

Bisogna osservare che dalla costruzione indicata si individua il triangolo isoscele ABC; infatti si tratta di un triangolo con due lati uguali BC=AC. Considerando che:

nel triangolo isoscele i due angoli adiacenti alla base sono uguali, cioè: ̂ ̂

la somma degli angoli interni in un triangolo è pari a 180° si ha:

180° - 40° = 140°

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D20

D20. Un’indagine sull’attività preferita nel tempo libero, compiuta su un campione di

220 studenti di una scuola con 700 studenti in totale, ha dato i risultati

rappresentati nel grafico.

Qual è la probabilità che estraendo a caso uno studente del campione si ottenga

un alunno che dedica il tempo libero alla lettura?

A.

B.

C.

D.

È sufficiente osservare che il campione rappresentato nel grafico a torta ci indica che gli studenti che dedicano il tempo libero alla lettura sono il 10 % cioè 10 su 100. Ora ricordando che la probabilità si calcola tramite il rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili, si ha:

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D21

D21. Osserva come sono disposti i punti nelle seguenti figure.

Se si continua nello stesso modo la sequenza delle figure, quanti punti avrà la

Figura 8?

Scrivi la tua risposta: 36

Considerando che la sequenza numerica è costituita da: 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; ………. si può osservare come riportato in figura che ad ogni passaggio per ottenere il numero successivo appartenente alla sequenza, occorre sommare il numero del conteggio di ogni passo, con inizio da 2, al numero della sequenza, cioè: 1+2=3; 3+3=6; 6+4=10; 10+5=15; 15+6=21+… Procedendo in questo modo si ha che all’ottavo passo si determina il numero 36.

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INVALSI Matematica

Prova anno scolastico 2007- 2008 223Scuola secondaria di I grado – 3° anno



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D1

D1. Le potenze (

)

hanno lo stesso valore?

A. No, la prima vale

e la seconda

B. No, la prima vale

e la seconda

C. Sì, valgono entrambe

D. Sì, valgono entrambe

La scrittura (

)

indica che l’operazione potenza va effettuata sia al numeratore che al

denominatore, pertanto si ha:

La scrittura

indica che l’operazione potenza va effettuata solo al numeratore, pertanto si ha:

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D2

D2. Nella figura, la retta l è parallela alla retta m. la misura dell’angolo DÂC è 55°.

Quanto misura la somma degli angoli: x + y?

A. 55°

B. 110°

C. 125°

D. 135°

Possiamo rispondere utilizzando almeno due diversi ragionamenti, esaminiamoli entrambi: 1) Ricordando che due rette parallele(l,m) tagliate da una trasversale(AB) formano angoli alterni

interni uguali, allora l’angolo m ̂A è uguale all’angolo DÂC + x°

2) considerando

che l’angolo piatto con vertice in B è pari a 180° si ha che: m ̂A = (180° - y°) ;

che BÂC = x° ; DÂC = 55°

che m ̂A = x° + DÂC cioè: 180° – y° = x° + 55° x° + y° = 180° - 55°

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x° + y° = 125° L’altro ragionamento che possiamo fare è il seguente:

1) Ricordando che due rette parallele(l,m) tagliate da una trasversale(AB) formano angoli alterni interni uguali, allora l’angolo BĈA è uguale a 55° 2) Poiché la somma degli angoli interni in un triangolo è pari a 180°si può scrivere: x + y = 180° - 55° x + y = 125°

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D3

D3. Una mamma deve somministrare al figlio convalescente 150 mg di vitamina C

ogni giorno. Avendo a disposizione compresse da 0,6 g quante compresse al

giorno deve dare al figlio?

A. Un quarto di compressa

B. Una compressa

C. 2 compresse e mezzo

D. 4 compresse

Per rispondere correttamente occorre: 1) valutare quanti mg. corrispondono a 0,6 g, cioè fare la seguente equivalenza:

0,6 g = 0,6 x 1000 = 600 mg 2) ora che abbiamo la stessa unità di misura e poiché la compressa è più grande della dose da somministrare basterà fare il seguente calcolo:

600 mg: 150 mg = 4 dosi significa che per ogni compressa abbiamo 4 dosi quindi per comporre 1 dose sarà sufficiente ¼ compressa.

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D4

D4. Vuoi costruire un portapenne di forma cilindrica, di volume 192π cm3. Se il

diametro di base misura 8 cm, quanto sarà alto il portapenne?

A. 3 cm

B. 6 cm

C. 9 cm

D. 12 cm

Per rispondere correttamente occorre considerare: 1) che il volume di un cilindro si calcola nel seguente modo:

2) che l’altezza (h) si può ricavare dalla formula del volume e si ha:

quindi passando al calcolo avremo:

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D5

D5. In ottobre un maglione costa 100 euro. Prima di Natale il suo prezzo è

aumentato del 20%. Nel mese di gennaio, con i saldi, il costo del maglione si è

ribassato del 10% rispetto al prezzo natalizio. Quale affermazione è vera?

A. Il maglione in gennaio ha un costo pari a quello di ottobre

B. Il maglione in gennaio ha un costo maggiore rispetto a quello di ottobre

dell’8%

C. Il maglione in gennaio ha un costo inferiore rispetto a quello di ottobre

del 10%

D. Il maglione da ottobre a gennaio ha subito un rincaro del 10%

Per rispondere correttamente occorre dapprima calcolare i prezzi nei vari periodi: 1) prima del periodo natalizio abbiamo:

2) per il periodo di gennaio abbiamo:

quindi passiamo ad esaminare le varie alternative: A) È falsa in quanto il maglione in ottobre ha un costo di 100 € ed in gennaio un costo di 108 € C) È falsa in quanto il maglione in gennaio ha un costo di 108 € e non di 90 € D) È falsa in quanto se avesse subito un rincaro del 10% dovrebbe costare:

invece a gennaio costa 108 € B) È vera in quanto il costo del maglione a gennaio è pari a 108 € che rappresenta proprio l’8% in più rispetto al prezzo di ottobre, infatti:

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D6

D6. Quale è il perimetro di un quadrato la cui area è di 100 m2?

Risposta: 40 m

Per rispondere correttamente occorre considerare che: 1) l’area di un quadrato si calcola nel seguente modo:

2) dalla formula dell’area possiamo calcolare il lato, infatti:

√

√

3) il perimetro allora sarà uguale ad ( ) visto che il quadrato ha i quattro lati uguali, quindi:

10

10 10

10

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D7

D7. Il grafico mostra il numero dei cioccolatini di diversi gusti contenuti in una

scatola.

Prendendo un cioccolatino a caso, qual è la probabilità di scegliere un

cioccolatino alla nocciola?

Per rispondere correttamente occorre osservare che: 1) Con riferimento alla definizione di probabilità bisogna considerare il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili supposti tutti ugualmente possibili. 2) Nel nostro caso abbiamo 40 cioccolatini (i casi possibili) come si può vedere dal grafico, cioè:

14 al caffè + 12 al latte + 8 al liquore + 6 alla nocciola = 40 cioccolatini 3) I casi favorevoli sono rappresentati dai 6 cioccolatini alla nocciola, quindi la probabilità sarà pari al loro rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili, cioè:

0

2

4

6

8

10

12

14

16

caffè latte liquore nocciola

cioccolatini

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D8

D8. Un padre e i suoi quattro figli si dividono la cifra vinta al Totocalcio in questo

modo: al padre spetta

dell’intera somma, e il rimanente viene diviso in parti

uguali tra i figli.

Quale frazione della somma spetta a ognuno dei figli?

Per rispondere correttamente occorre osservare che:

1) Se il padre ha preso

della somma ne restano i

, in quanto:

2) Poiché i figli sono quattro ognuno prenderà

dei

della somma restante, cioè:

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D9

D9. In una tavoletta babilonese del 1800 a.c. si legge il seguente quesito:

“Un bastone lungo 10 unità è appoggiato ad un muro (figura a). Poi, scivola di 2

unità (figura b). Di quante unità il piede del bastone si è allontanato dalla base

del muro?”.

A. 6 unità

B. 8 unità

C. 10 unità

D. 12 unità

Per rispondere correttamente occorre osservare che: 1) Se il muro è perfettamente verticale ed il pavimento perfettamente orizzontale allora si viene a formare un triangolo rettangolo come in figura. 2) possiamo applicare allora il teorema di Pitagora; osserviamo che l’ipotenusa del triangolo misura 10 unità perché il bastone conserva la sua lunghezza; il cateto (quello lungo il muro) misurerà 8 unità, infatti come si può vedere dalla figura dobbiamo sottrarre alla misura iniziale di 10 unità le 2 unità che si perdono per lo scivolamento dl bastone, pertanto si può scrivere:

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D10

D10. Una bottiglia di vetro, che vuota pesa 260 g, contiene 350 g di succo di frutta

mentre una bottiglia di vetro, che vuota pesa 320 g, ne contiene 700 g.

Quanto vetro si risparmia confezionando 6 bottiglie da 700 g invece che 12 da

350 g?

Risposta: 1200 g

Per rispondere correttamente possiamo considerare che:

ci vogliono 2 bottiglie da 260 grammi cioè 520 grammi per contenere lo stesso quantitativo di succo di frutta (700 grammi)

1 bottiglia da 700 grammi pesa 320 grammi quindi basta fare (520-320) x 6 = 1200 grammi di vetro risparmiato

oppure 1) confezionando 12 bottiglie da 350 g. si ottengono: 12 x 350 = 4200 grammi di succo e si impiegano: 12 x 260 = 3120 grammi di vetro 2) confezionando 6 bottiglie da 700 g si ottengono: 6 x 700 = 4200 grammi di succo come sopra, impiegando 6 x 320 = 1920 grammi di vetro 3) pertanto calcolando la differenza fra la quantità di vetro impiegata nel primo e secondo confezionamento si ricava:

3120 – 1920 = 1200 grammi di vetro risparmiato

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D11

D11. Il triangolo ABC è iscritto in una circonferenza di centro O, come in figura.

Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo?

Sì

No

Per rispondere correttamente occorre ricordare che: Il teorema degli angoli al centro ed alla circonferenza stabilisce che: <In ogni circonferenza l'angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo

stesso arco> quindi nel nostro caso l’angolo al centro AÔB è pari a 180° ed è il doppio dell’angolo alla circonferenza AĈB che insiste sullo stesso arco, pertanto quest’ultimo risulterà pari a 90° e allora si può concludere affermando che il triangolo ABC è un triangolo rettangolo. oppure ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza (l'ipotenusa del triangolo coincide con il diametro della circonferenza) è rettangolo, infatti l'angolo AĈB è metà dell'angolo piatto AÔB (è conosciuto anche come teorema di "Dante"; se non sai il perché cercalo in rete).

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D12

D12. Alcuni fiammiferi sono disposti come indicato nelle figure.

Se si continua la sequenza delle figure, quanti fiammiferi verranno usati per

fare la figura 10?

A. 30

B. 33

C. 36

D. 42

Per rispondere correttamente occorre osservare che: la sequenza aumenta ad ogni passo di un fattore ‘3’ infatti abbiamo:

6 , 9 , 12 , allora se continuiamo fino al ‘10’ passo otteniamo ‘33’

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D13

D13. I due triangoli A e B sul piano cartesiano sono ottenuti con una simmetria

centrale.

Quali sono le coordinate del centro di simmetria?

A. (4;4)

B. (4;5)

C. (5;4)

D. (5;5)

Per rispondere correttamente occorre ricordare che: 1) si possono ricavare le coordinate del centro di simmetria con le relazioni:

2) nel nostro caso applicando le relazioni al punto B(2,4) e al punto B’(8,4) otteniamo:

quindi le coordinate del centro di simmetria sono pari a (5,4)

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Puoi verificare che applicando le relazioni agli altri punti ‘B’ e ‘C’ del triangolo ottieni ovviamente le stesse coordinate.

La soluzione si può anche ottenere per via grafica come in figura; basta congiungere i vertici corrispondenti dei due triangoli ed osservare che le coordinate del punto di simmetria centrale ‘P’ sono pari a (5,4).

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D14

D14. Da una lamiera a forma rettangolare viene eliminata la parte non quadrettata

come in figura.

Quale percentuale della superficie della lamiera è rimasta?

A. 60%

B. 70%

C. 75%

D. 80%

Per rispondere correttamente: 1) calcoliamo l’intera area della figura moltiplicando il numero dei quadretti su di un lato per quelli presenti sull’altro lato, cioè: 8 x 5 = 40 quadretti 2) calcoliamo l’area della parte eliminata; per farlo contiamo il numero dei quadretti sui lati indicati dalla linea rossa che risultano 4 su un lato e 5 sull’altro pertanto l’area risulterà pari a: 5 x 4 = 20 quadretti; poi dividiamo il risultato ottenuto per 2 perché la linea divide in due parti l’area contrassegnata, quindi l’area eliminata sarà pari a 10 quadretti; 3) L’area che è rimasta sarà pari a: 40 – 10 = 30 quadretti 4) Per stabilire quale percentuale dell’area sia rimasta possiamo impostare la proporzione: 30 : 40 = X : 100

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D15

D15. Quale delle seguenti disuguaglianze è vera?

Per rispondere correttamente utilizziamo la seguente rappresentazione; i numeri sono ordinati da - ∞ a + ∞ (dal più piccolo al più grande); es: -3 < -2 ; +3 > +2 ; passiamo ad esaminare i vari casi:

a) è vera infatti come puoi notare in figura si trova prima di su una scala orientata dal più piccolo al più grande

-----------------------------------------------------------------------------------------------

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b) è falsa in quanto un numero positivo non è mai minore di un numero negativo;

infatti puoi notare in figura che si trova dopo su una scala orientata dal più piccolo al

più grande, quindi

c) è falsa in quanto un numero negativo non è mai maggiore di un numero

positivo; infatti puoi notare in figura che si trova prima di su una scala orientata dal

più piccolo al più grande, quindi

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d) è falsa in quanto la prima frazione è maggiore di 1 e la seconda è minore di 1;

infatti puoi notare in figura che si trova dopo su una scala orientata dal più piccolo al

più grande, quindi

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D16

D16. La figura rappresenta un cubo ed M è il punto medio dello spigolo.

Quale dei seguenti sviluppi piani corrisponde al cubo qui disegnato?

Nella figura a lato puoi vedere il cubo e il suo sviluppo e anche la posizione del segmento che si trova sulla faccia ‘2’ e sulla faccia ‘1’ del cubo. Confrontando lo sviluppo a lato con le alternative proposte puoi subito verificare che corrisponde all’alternativa ‘A’;

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Comunque avresti potuto procedere anche escludendo subito le alternative ‘B’ e ‘D’ in quanto pur essendo dei possibili sviluppi per il cubo presentano i segmenti che passano per il punto ‘M’ non allineati ed escludere anche l’alternativa ‘C’ in quanto lo sviluppo proposto non forma un cubo.

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D17

D17. Se x è un numero compreso tra 6 e 9, allora il numero (x+5) fra quali numeri è

compreso?

A. 1 e 4

B. 10 e 13

C. 11 e 14

D. 30 e 45

Per rispondere correttamente occorre osservare che: 1) la ‘x’ può assumere tutti i valori compresi tra ‘6’ e ‘9’ 2) attribuendo alla ‘x’ il valore inferiore dell’intervallo, cioè ‘6’ abbiamo che:

x + 5 diventa: 6 + 5 = 11 3) attribuendo alla ‘x’ il valore superiore dell’intervallo, cioè ‘9’ abbiamo che:

x + 5 diventa: 9 + 5 = 14 4) quindi si può concludere che (x + 5) assegnando alla ‘x’ i valori dell’intervallo (6,9) sarà compreso tra: 11 e 14

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D18

D18. Qual è il valore di x che soddisfa l’equazione 3(2x – 1) + 2x = 21?

Per rispondere correttamente occorre ricordare le regole per lo svolgimento di un’equazione: 1) moltiplichiamo il 3 per i fattori in parentesi

6x – 3 + 2x = 21

2) addizioniamo i termini con la ‘x’

8x – 3 = 21

3) spostiamo il termine ‘-3’ al secondo membro cambiandolo di segno

8x = 21 + 3

4) sommiamo i termini simili presenti al 2° membro

8x = 24

5) dividiamo entrambi i membri dell’equazione per ‘8’

otteniamo: x = 3

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D19

D19. In un indagine sul numero di gelati consumati a Ferragosto sono state

intervistate 100 persone. La seguente tabella registra le risposte.

Numero gelati Numero persone

0 9

1 53

2 21

3 15

4 0

5 2

a. Quanti intervistati hanno mangiato almeno 2 gelati?

A. 15

B. 17

C. 21

D. 38

b. Qual è la media dei gelati mangiati dagli intervistati?

Risposta: 1,5

Per rispondere correttamente alla domanda (a) occorre osservare che: 1) con l’espressione ‘hanno mangiato almeno due gelati’ vuol dire considerare le persone che hanno mangiato 2 o più gelati 2) dalla tabella si può leggere che le persone che hanno mangiato 2 o più gelati sono pari a:

21 + 15 + 2 = 38

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Per rispondere alla domanda (b) dobbiamo ricordare come si calcola la media aritmetica: 1) la media aritmetica si calcola sommando il numero dei gelati mangiati dalle persone diviso il numero complessivo delle persone 2) riportiamo nella tabella seguente per ogni gruppo di persone il numero dei gelati mangiati:

persone

gelati

mangiati

per

persona

totale parziale

gelati mangiati

53 1 53

21 2 42

15 3 45

2 5 10

0 4 0

9 0 0

100 150

Quindi,

significa che mediamente una persona mangia 1 gelato e mezzo.

<-- totale complessivo gelati totale persone -->

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D20

D20. Se x e y sono numeri interi, quali tra le seguenti è la relazione tra x e y per i

punti disegnati nel grafico?

A. x + 4y = 4

B. x + y = 4

C. y = x – 4

D. x = y – 4

Per rispondere correttamente occorre osservare che: 1) per il punto M le coordinate sono: M(0,4) per il punto N le coordinate sono: N(1,3) per il punto O le coordinate sono: M(2,2) per il punto P le coordinate sono: M(3,1) per il punto R le coordinate sono: M(4,0)

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2) ricordando che la ‘x’ rappresenta l’ascissa ed ‘y’ l’ordinata prendiamo in esame le varie alternative proposte

A- x + 4y = 4; sostituendo le coordinate del punto M con x=0 e y=4 abbiamo 0 + 4 · 4 = 16 che non soddisfa la relazione

C- y = x -4 ;

sostituendo le coordinate del punto M con x=0 e y=4 abbiamo 4 = 0 - 4 = -4 che non soddisfa la relazione

D- x = y -4;

sostituendo le coordinate del punto M con x=0 e y=4 abbiamo 0= 4 - 4 = 0 che soddisfa la relazione;

sostituendo le coordinate del punto N con x=1 e y=3 abbiamo 1= 3 - 4 = -1 che non soddisfa la relazione;

B- x + y = 4 ;

sostituendo le coordinate del punto M con x=0 e y=4 abbiamo 0 + 4 = 4 che soddisfa la relazione

sostituendo le coordinate del punto N con x=1 e y=3 abbiamo 1 + 3 = 4 che soddisfa la relazione

sostituendo le coordinate del punto O con x=2 e y=2 abbiamo 2 + 2 = 4 che soddisfa la relazione

sostituendo le coordinate del punto P con x=3 e y=1 abbiamo 3 + 1 = 4 che soddisfa la relazione

sostituendo le coordinate del punto R con x=4 e y=0 abbiamo 4+ 0 = 4 che soddisfa la relazione. Pertanto l’alternativa ‘B’ è quella giusta in quanto la relazione è soddisfatta per tutti i punti.

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D21

D21. In una grande libreria gli impiegati sono così suddivisi:

Mansione Numero di

impiegati

Magazzinieri ?

Cassieri 4

Venditori 8

Contabili 2

Qual è il numero dei magazzinieri?

Risposta: 6

Per rispondere correttamente occorre osservare che: Dalla percentuale indicata nel diagramma a torta e dalla corrispondente voce si può ricavare il numero totale dei venditori; infatti la percentuale dei venditori è il 40% e ve ne sono ‘8’ in tabella, pertanto:

(si può scrivere anche la proporzione 8 : x = 40 : 100 e ricavare la ‘x’, si ottiene lo stesso risultato) Allora se ‘20’ sono tutti gli impiegati il numero dei magazzinieri si ricava dalla differenza:

20 – (4 + 8 + 2) = 20 – 14 = 6 Puoi provare per esercizio a verificare le percentuali di tutti gli altri impiegati riportate nella figura a lato.

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E-BOOK01 INVALSI Matematica · Laddizione di numeri interi relativi si svolge nel seguente modo: se i due numeri sono concordi si addizionano i numeri senza il segno e si mette il