工 學碩士 學位請 求論文

불연속 지반의 연속체 모델 적용범위에 대한

수치해석적 연구

A S tudy on Q - ran g e for A pplic ation Countinuum

M ode l t o D i s c ontinu ou s Rock m a s s w ith N um eric al

A n aly s i s

2002年 2月

仁荷 大學校 大學院

資源工 學科

李 景 雨

工 學碩士 學位請 求論文

불연속 지반의 연속체 모델 적용범위에 대한

수치해석적 연구

A S tudy on Q - ran g e for A pplic ation Countinuum

M ode l t o D i s c ontinu ou s Rock m a s s w ith N um eric al

A n aly s i s

2002年 2月

仁荷 大學校 大學院

資源工 學科

李 景 雨

이 論文을 李景 雨의 碩 士學位 論文 으로 認 定함

2002年 2月

主審

副審

委員

仁荷 大學校 大學院

국 문 요 약

암반 내 터널 굴착에 있어서 암반분류 기법을 이용하여 암반을 예측

하고, 터널 구조물 등 암반 구조물에 대한 거동 및 영향 평가를 위하여

수치해석을 이용하고 있다.

이러한 암반분류법으로써 Q- sy stem은 널리 유용하게 쓰이는 방법이

다. 또한, 암반은 불연속면을 포함하고 있으며, 이러한 불연속면의 영향

은 암반을 불연속체 모델로써 간주하고 해석하는 것이 많은 결과에 있

어서 타당하다고 밝혀져 있다. 그러나, 암반을 구성하는 암괴의 수가

방대하게 되어 암반이 더 이상 불연속면의 구조적 영향을 받지 않게

되고, 개별 요소법을 이용한 수치해석적 접근이 어려워지면, 연속체 해

석법인 유한요소법 또는 유한차분법 등을 도입하여 사용한다. 현재 Q

값을 이용하여 암반을 의사연속체, 불연속체, 연속체로 영역을 나누어

제시하고 있다.

따라서, 본 연구에서는 실제 Q분류 자료를 획득하여 통계분석의 다변

량 분석 중 다중회귀분석을 이용하여 Q 값에 대한 간편예측식을 도출

하고, 예측식을 근거로 산출된 Q값에 대한 입력변수를 임의의 해석단

면에 적용하였다. 불연속체 해석기법을 사용하여 Q값에 따른 암반거동

을 예측함으로써 불연속체 모델과 연속체 모델의 적용경계를 판단하고,

연속체 해석기법인 FLAC을 사용하여 그 결과를 비교함으로써 Q값에

의한 연속체 모델의 적용경계에 대하여 검토하였다.

- I -

A b s trac t

In Underground excavation , w e predict rock mass quality with

Q- system, and decide the behavior of rock mass and structure in

rock with numerical analysis methods .

Rock mass contain joint s and be affected by joint behaviors .

Because of these affect , w e consider Rock mass to discontinuum

model. But , application of discontinuum numerical analysis is disable

and we adopt the concept that considering the rock mass to

continuum , when rock mass is affected by structural behavior of

joint and the size of intact rock block is smaller , number of that is

larger . We may expect greatest applicability of discontinuum codes

such as UDEC, 3DEC and DDA are now available. T he

suggested range of values of Q betw een 0.1 and 100.

In this study, multivariate analysis based on domestic data (958

EA ) of motorway tunnel, and suggest the easy prediction equation .

T o use the equation , generate applicable Q- value to numerical

analy sis method and investigate behavior with variable Q- value of

rock mass induced excavation .

Consequently determined the range of Q- value for applicable

continuum model to discontinuous rock mass for numerical analy sis,

and verified the derived Q- value with comparison FLAC' s to

UDEC' s result s .

- II -

Lis t of F ig u re s

Fig . 1 Approximate range of applicability of

discontinum modelling....................... 2

Fig . 2 Flow chart of multi- regression analysis ....................... 16

Fig . 3 Relationship between measured Q and

predicted Q....................... 20

Fig . 4 Rock mass model of numerical analy sis and

measuring point............... 22

Fig . 5 Joint condit ions of rock mass for each Q values ...... 26

Fig . 6 Displacements of tunnel with Variation

of Q value....................... 27

Fig . 7 Axial force & Y- displacement on Shotcrete

with Variation of Q values............... 27

Fig . 8 Distribution of Axial force to Shotcrete

with each Q values........................ 28

Fig . 9 Distribution of Y- displacement on

Shotcrete with each Q values.................................. 31

Fig . 10 Inter - relationship of V p , M and

support pressure in approximate term s ......................... 35

Fig . 11 Principal stress around T unnel ........................................ 37

Fig . 12 History of Roof Displacement ............................................ 38

Fig . 13 Axial force on Shotcrete .................................................... 39

Fig . 14 Principal stress around T unnel & History

of Roof Displacement ( considering to Mm in )................. 40

Fig . 15 Axial force & Y- displacement on Shotcrete

( considering to Mm in )................ 40

- III -

L is t of T ab le s

T able. 1 Variable selection of all possible regression

mode about each cases ..................... 18

T able. 2 ANOVA table ........................................................................... 19

T able. 3 Intact Rock Block Properties (Granite) for

Numerical Analy sis.................... 23

T able. 4 Q- Parameter Ratings for Q- Prediction ........................... 24

T able. 5 Range of Predicted Q Value for Numerical

Analy sis Method (UDEC- BB).................... 25

T able. 6 Q Value for appling Continuos model to jointed Rock

Mass and Deformable Modulus of Rock Mass.. 36

- iv -

목 차

국문요약 ..................................................................................................... i

Abstract ................................................................................................... ii

List of figure .......................................................................................... iii

List of tables .......................................................................................... iv

목 차 ....................................................................................................... v

1. 서 론 ............................................................................................ 1

2. 기본 이론 .......................................................................................... 3

2.1 Q- system에의한 암반분류 ....................................................... 3

2.2 수치 해석 ........................................................................................ 5

2.2.1 수치해석 기법의 비교 ......................................................... 5

2.2.2 연속체 해석 FLAC- 2D ........................................................ 7

2.2.3 유한차분법의 기본원리 ......................................................... 7

2.2.4 불연속체 해석 UDEC- 2D .................................................... 10

2.2.5 기본원리 .................................................................................... 10

2.3 다변량 분석 .................................................................................... 15

- v -

3. Q값 및 입력변수 예측을 위한 다변량분석 ................................. 17

3.1 분석에 사용된 자료 ...................................................................... 17

3.2 Q- system의 간략화 ...................................................................... 17

3.2.1 Q- system 간략화를 위한 다중회귀분석 ............................. 17

3.2.2 최적 예측 모형식의 판단 및 적용성 평가 ......................... 20

4. 수치해석 모델 설정 .......................................................................... 22

4.1 불연속체 해석 ................................................................................ 22

4.1.1 해석 대상 지반 ......................................................................... 22

4.1.2 불연속체 해석 입력 변수 설정 ............................................. 23

4.1.3 해석결과의 분석 ...................................................................... 27

4.2 연속체 해석 ....................................................................................35

4.2.1 암반변형계수의 산정 ................................................................

4.2.2 해석결과에 대한 비교 분석 ................................................... 37

5. 결 론 ............................................................................................. 42

6. 참고문헌 .......................................................................................... 43

- v i -

1 . 서 론

터널 공사의 수효가 늘어남에 따라 이제 터널은 보다 깊은 심도에서 굴착되는

것이 현재의 추세이다. 이러한 관점에서 우리나라의 지반은 얕은 토피 밑에 암

반이 존재하며, 이제 터널은 암반에 대한 시공이 필수 불가결하다.

암반은 물리적으로 불연속면과 불연속면간의 intact rock인 2개의 구성요소로

되어 있다. 암반의 거동을 복잡하게 하는 요소로써 불연속면이나 단층 사이에

협재물의 존재가 추가된다. 이러한 이유로 불연속면을 포함하는 암반에 대해서

는 개별요소법을 적용한 불연속체 해석이 타당하다고 판단된다.

또한 실제 암반의 경우, 암반 전체로서의 물성치를 직접 시험하는 좋은 방법

이 제시되고 있지 않은 현재로서는 불연속면을 포함한 암반이 연속체로서 해석

되는 것은 실제와 다른 잘못된 결과를 도출할 수 있다.

그러나, 암반분류 결과가 낮은 등급의 지반은 암괴의 수가 방대하게 되고 현

실적으로 개별요소법으로는 대응할 수 없기 때문에 암반을 의사연속체(Pseudo

- continuum )로 가정하여 FEM이나 FLAC과 같은 연속체 해석을 필요로 하게

된다. 여기서, 동일 지반에 대하여 연속체 및 불연속체 모델을 동시에 적용하는

것은 문제가 있으므로 그 구분을 명확히 할 필요가 있다.

현재 암반분류 기법인 T erzaghi의 암반분류, RMR 분류, Q- system 중 많이

사용되는 Q- system 결과값에 의하여 대략적으로 암반을 의사 연속체, 불연속

체로 구분하는 것을 제안하고 있다. 그러나, 이러한 대략적인 Q값에 의한 구분

은 실제로 암반에 대한 불연속체 모델 또는 연속체 모델의 적용성에 대하여 정

확히 제시하지 못하는 것이 현실이다.

- 1 -

P seudo - cont inuu m

u sing con tinu um

approach

Dis contin uu m

approach

Contin uu m

approach

FEM/ FLAC UDEC/3 DEC FEM/ BEM

Q = 0 .1 Q = 100

Figure 1. Approximate range of applicability of discontinuum modelling

따라서, 본 연구에서는 국내 도로 터널의 Q분류결과 및 대상지역의 절리면 물

성시험과 암석 시험결과에 기초하여 통계학적 분석 방법을 사용하여 Q값에 따

른 불연속체 해석의 입력변수의 변화량을 추정하고 이를 근거로 임의의 해석단

면을 설정하여 불연속체 해석을 실시한다. 그 결과 Q값의 감소에 따라 암반이

연속체적 거동을 보이게 되는 Q값을 도출하고, 이러한 Q값에 상응하는 지반

변형계수 등 지반 물성치를 적용하여 연속체 해석을 실시한다.

각각의 해석기법에 따른 지반 거동 예측결과를 비교함으로써 연속체 해석과

불연속체 해석의 적용 경계 영역에 대하여 고찰한다. 그 결과, 수치해석을 이용

한 암반 및 구조물의 거동 예측을 보다 타당성 있게 하고자 하는 것이 본 연구

의 목적이다.

- 2 -

2 . 기본 이론

2 .1 Q - s y s t em 에 의한 암반 분류

Q- sy stem 분류방법은 1974년 Barton에 의해 스칸디나비아의 212개 터널 사

례 연구를 근거로 제안된 정량적인 분류체계로 6개의 서로 다른 요소를 사용하

여 암반을 정량적으로 평가하는 방법으로 6개의 요소는 다음과 같다.

① RQD

② 절리군의 수

③ 가장 상태가 나쁜 절리나 불연속면의 거칠기

④ 취약 절리면의 충전물 또는 변질정도

⑤ 지하수의 유입 상태

⑥ 응력조건

이 조건들을 3개의 항으로 나누어 이들의 곱으로 표현한 것이 전체 암반 등급

Q 값이며 다음의 식과 같이 표현된다.

Q = R QDJ n

J r

J a

J w

SR F………………………………… (1)

RQDJ n

: 지질구조와 암괴크기 - Jn은 우세한 절리 Set

J r

J a: 전단강도 - 현장관찰이나 T ilt T est 또는 Profile Gage 이용

J w

SRF: Active Stress - 일반적으로 깊이에 따라서 추정

여기서, RQD = 암질지수

Jn = 절리군의 수

Jr = 절리의 거칠기 계수

J a = 절리의 풍화 및 변질 계수

Jw = 지하수에 의한 저감계수

SRF = 응력 저감계수

- 3 -

따라서, 암반의 특성 Q는

1) 암괴의 크기 (RQD/ Jn ),

2) 암괴간의 전단강도 (Jr/ J a ),

3) 작용응력 (Jw / SRF )

의 세 변수로 된 함수라고 볼 수 있으며 Q = (암괴의 크기)×(암괴간의 전단강

도)×(작용응력)과 같이 표시할 수 있다.

암반분류값 Q는 각 요소의 최소 및 최대 값을 조합하였을 때, 10- 3∼ 103

(0.001∼1000) 사이의 값으로 표시되며, 다시 9개 등급으로 분류하여 터널 폭과

Q값에 따라 지보 방법을 제시한다.

- 4 -

2 .2 수치 해석

2 .2 .1 수 치해 석 기 법의 비교

일반적으로 터널 해석에 적용되는 수치해석 기법은 크게 연속체 모델, 불연속

체 모델, 지반반력 모델 등 세 가지로 나누어지는데 유한요소법, 유한차분법,

경계요소법, 개별요소법 등이 이러한 범주에 든다.

1 ) 유한요소법 (F in it e E lem ent M eth o d )

지반 공학의 문제에서 유한요소법을 적용할 경우 지반은 연속체로 간주되며,

각 절점으로 연결되는 특정한 크기를 갖는 한정된 수의 요소로 이산화 된다.

외력의 변화에 따른 지반의 변형 특성은 프로그램에서 채택하는 응력/ 변형률

구성법칙에 의해서 결정된다.

특히, 지반 공학에서 문제시되는 지반의 비균질성, 비등방성, 시간의존성 등

복잡한 구성법칙을 비교적 간단히 해결할 수 있다.

2 ) 유한차분법 (F in it e D if f e ren c e M et h o d )

유한 차분법은 초기조건과 경계조건을 사용하여 미분방정식의 해를 구하기 위

해 유한요소법과 함께 오랜기간 사용되어온 방법이며, T ime Step 별 파괴모드

를 관찰할 수 있는 이점이 있다. 또한, 비교적 변형이 큰 지반에 대한 해석에서

유한요소법 보다 유리한 면이 있다.

여기서, 본 연구에 사용된 FLAC- 2D에서는 명시적 시간 진행이 일련의 계산

과정에서 사용된다. 이에 의하여 먼저 응력과 변형율 속도(Strain Rate)는 계산

된 속도로부터 유도되고 응력은 이렇게 계산된 변형률 속도로부터 구해진다.

이러한 일련의 계산이 한번 수행되는 사이클은 시간증분이 되며 한 사이클 내

에서 고정된 기지의 변수들로부터 각 절점의 변수들을 갱신하게 된다.

3 ) 경계요소법 (B oun dary E lem ent M eth o d )

경계요소법은 최근에 들어와서 많은 공학분야에 적용되고 있는 수치해석기법

중의 하나이다. 유한요소법, 유한차분법과 같이 지반을 연속체로 가정하나 경계

에 해당하는 부분만 이산화가 요구되며 이러한 경계부분에서만 수치연산이 행

해진다는 점과 문제의 해는 편미분방정식을 적분함으로써 구해진다는 점이다.

- 5 -

즉, 경계의 안쪽에 위치하는 매체는 선형 편미분방정식으로 표현되며, 따라서

근사적인 정식화가 이루어진다.

그러나, 재료의 비선형 거동 해석이 매우 어려우며 단계별 해석이나 시간 의

존성 재료의 거동 해석이 매우 어렵다는 단점이 있다.

4 ) 개별요소법 (D i s t in c t E le m e nt M et h o d )

개별요소법은 절리에서의 변위가 블록자체의 변형보다 월등히 큰 경우 효과적

으로 적용할 수 있다. 개별요소법에서는 절리에 작용하는 증분하중을 산정하고

이로부터 얻어지는 블록의 가속도를 적분하여 블록의 중심과 방향을 결정하는

과정을 일련의 연산과정으로 반복 수행한다. 개별요소법은 절리가 형성된 암반

에서의 터널 굴착해석과 같이 큰 블록 시스템의 거동에 관한 연구에 매우 유용

하다. 일반적으로 연속체 개념에 기반을 둔 수치해석 기법보다 비교적 큰 변위

를 나타낸다.

본 연구에서 사용된 UDEC에서 수행되는 연산은 개별요소에 대한 운동방정식

과 접촉지점에서의 힘- 변위 법칙으로 구성된다. 즉, UDEC의 해석과정은 개별

요소에 작용하는 합력으로부터 요소의 운동을 결정하고 힘- 변위 법칙은 변위로

부터 새로운 접촉력을 도출한다. 한편, 입자형 매질의 변형은 개별입자의 강체

변위와 탄성변형으로 정의되는데 입자의 변형은 강체변위에 비례하여 매우 적

기 때문에 입자는 강체로 취급되지만 입자간의 미소한 겹침은 접촉을 표현하기

위하여 허용되며, 개별입자의 탄성변형을 어느 정도 반영한다고 볼 수 있다.

- 6 -

2 .2 .2 연 속체 해석 FLA C- 2D

FLAC은 상용수치해석 프로그램으로써 유한차분법을 사용한다. 이는 각 요소

의 절점에서 불균형력에 의한 뉴톤의 운동방정식을 세워 그 해(속도, 변위)를

구하고, 구한 해를 사용하여 변형율(strain rate)을 계산하여, 적용모델의 구성방

정식에 이를 적용하여 응력증분량을 구함으로써 각 절점에 해당하는 불균형력

이 0 에 근접하도록 연산을 반복하여 해를 구한다.

해(solution )의 형태는 연속체 이론을 사용하여 유한 차분식을 구성하게 된다.

이는 각 요소간의 힘 전달을 설명하는 힘/변위 법칙, 요소간에 유발되는 힘의

불균형을 나타내는 운동법칙 등이 포함된다. 이때 힘/ 변위 법칙은 변위로부터

응력을 계산하는데 사용되며, 요소의 운동은 뉴톤의 제 2법칙이 적용된다. 요소

의 운동은 삼각형 유한 차분요소의 절점에서 계산되며 연속체의 구성관계식

(constitutive relation )의 적용으로 요소내의 새로운 응력이 계산된다.

2 .2 .3 유 한차 분법 의 기 본원 리

1 ) 운동 및 평형 지배 방정 식

시간에 따라 변화하는 작용력 F 에 대한 질량 m의 운동방정식은 가속도 d u / d t

의 단순한 형식으로 관계된다. 질량- 탄성계에 대한 뉴톤의 운동법칙은 다음과

같다.

md udt

= F ……………………………………………… (2)

질량에 여러 가지 힘이 작용할 때 식(2)은 가속도가 0으로 수렴하는 정적 평

형 상태를 나타낸다. 여기서, 작용하는 힘의 총화, F = 0 이다.

운동법칙의 이러한 특징은 FLAC에서 정적 문제의 해석에 있어서 이용된다.

연속성을 가지는 물체에서 식(1)은 다음과 같이 일반화 시킬 수 있다.

u i

t= ij

x j+ g i ……………………………………… (3)

여기서, : 물체의 밀도

t : 시간

x i : 좌표 벡터 성분

g i : 중력가속도 성분

ij : 응력 tensor 성분

- 7 -

2 ) 구성관계 방정 식

변형 가능한 물체에 적용되는 방정식의 다른 형태로는 구성 관계 또는 응력/

변형률 법칙으로 알려져 있다. 첫 번째로 변형률 속도는 다음의 속도 증분으로

부터 유도된다.

e ij = 12 [ u i

x j+

u j

x i ]……………………………………… (4)

여기서, e ij : 변형률 속도 성분

u i : 속도 성분

역학적 구성 법칙은 다음의 형식으로 나타난다.

ij : = M ( ij , e ij , ) …………………………………… (5)

여기서, M ( ) : 구성 법칙의 함수형태

: 특수 법칙에 의존하는 이력변수

: = : 치환 을 의미한다.

일반적으로, 비선형적인 구성 법칙에는 응력과 변형률 사이에 일정한 관계가

존재하지 않음으로 증분적인 형태로 나타난다. 식 (5)는 기존의 응력 tensor와

변형률 속도(또는 변형률 증분)로 주어진 응력 tensor에 대한 새로운 측정치를

도출한다. 구성 법칙의 간단한 예는 등방성 탄성체에 대하여 다음과 같다.

ij : = ij + { ij (K - 23

G)e k k + 2 G e ij } t ………………… (6)

여기서, ij : Kronecker delta

t : time- step

G , K : 전단 및 체적 탄성계수

- 8 -

3 ) 유한차분 방정 식

삼각형에 대한 차분방정식은 Gauss의 분기이론의 일반화된 형식으로 유도된

다.

Sn i f ds =

A

fx i

dA …………………………………… (7)

여기서,S

: 폐합면의 경계에 대한 적분

n i : s 표면에 대한 단위 수직력

f : scalar , vector 또는 tensor 량

x i : 위치벡터

ds : arc 길이의 증분

A: 표면적 A 전체에 대한 적분

면적 A 상에서의 f 의 증분에 대한 평균값은 다음과 같이 정의된다.

< fx i

> = 1A A

fx i

dA ………………………………… (8)

식(7)로 치환하면 다음과 같이 얻어진다.

< fx i

> = 1A S

n i f ds …………………………………… (9)

삼각형 요소에 대하여 식(8)의 유한차분형식은 다음과 같이 변환된다.

< fx i

> = 1A s

<f > n i s ……………………………… (10)

여기서, s는 삼각형요소의 한변의 길이, 총합은 삼각형의 세변에 대한 것이

다. <f >의 값은 변의 평균길이로 취해진다.

- 9 -

2 .2 .4 불 연속 체 해 석 U DE C- 2D

UDEC(Universal Distinct Element Code)은 개별요소법(Discrete Element

Method)을 이용한 2차원 해석 프로그램으로서 암반에 존재하는 절리, 단층, 파

쇄대 등의 불연속면을 효과적으로 모사 할 수 있다.

본 연구에 사용된 UDEC 프로그램에서는 불연속면의 변형과 강도에 대한 표

면의 거칠기 효과를 반영하기 위하여 Barton - Bandis 모델을 사용하는데 절리

의 폐쇄도와 거칠기를 바탕으로 전단변위와 절리 변질정도를 평가하여 불연속

면의 물리적 성질을 고려한 해석이 가능하다.

2 .2 .5 기 본원 리

1 ) 운동방정식

개별적인 블록의 운동은 블록에 작용하는 불균형적인 외력의 크기와 방향에

의해 결정된다. 여기서, 운동방정식은 블록의 중심을 포함하는 요소의 1차원적

이동에 대해서만 고려하였다. 따라서, 단위질량에 대하여 뉴톤의 운동 제2법칙

을 적용하면 다음과 같다.

d ud t

= Fm

………………………………………………… (11)

이를 시간 t에서의 중심차분식(central difference scheme)으로 나타내면 다음

과 같다.

d ud t

= u( t + t/ 2 )

- u( t - t/ 2 )

t………………………… (12)

그러므로, 식(12)를 식(11)에 대입하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

u( t + t/ 2 )

= u( t - t/ 2 )

+ F ( t)

mt ……………………… (13)

이때, time- step의 중간점에서의 축적된 속도를 이용하여 변위는 다음과 같이

얻을 수 있다.

- 10 -

u( t + t)

= u ( t) + u( t + t/ 2 )

t …………………………… (14)

또한, 힘은 변위에 의존하므로 힘/ 변위는 매 단계마다 계산이 가능하다. 이 경

우 다양한 힘에 의해 영향을 받는 요소들의 속도방정식은 다음과 같다.

u( t + t/ 2)

= u( t - t/ 2 )

+ ( F ( t)i

m+ g i) t

( t + t/ 2 )=

( t - t/ 2 )+ ( M ( t)

I+ g i) t

………… (15)

식(15)의 속도들은 다음 식에 의해 요소의 위치를 결정하는데 이용된다.

x i( t + t) = x ( t)

i + u( t + t/ 2 )

t

( t + t) = ( t) +( t + t/ 2 )

t………………………… (16)

2 ) 운동량 및 에너지 보 존 방정식

주기 T 동안 인접요소를 각각 접촉하고 있는 두 요소를 a, b라고 하면 뉴톤의

법칙에 의해 공통된 힘 F는 두 요소에서 서로 반대방향으로 작용한다.

m a u a = F ………………………………………………… (17)

m b u b = - F ……………………………………………… (18)

여기서, 두 식을 연계하여 적분하면 다음과 같게된다.

T

0m a u a dt = -

T

0m b u b d t …………………………… (19)

m a( u a( T )

- u a( 0) ) = - m b ( u b

( T )- u b

( 0) ) ……… (20)

m a u a( T )

+ m b u b( T )

= m a u a( 0)

+ m b u b( 0)

……… (21)

- 11 -

이때, 식(21)은 운동량의 초기치가 임의 시간에서의 운동량과 동일함을 보여주

고 있다. 초기속도가 v 0인 물체를 일정한 힘 F를 가하여 거리가 S인 지점에서

의 속도가 v가 되었다면

m v = F …………………………………………………… (22)

가 되며, 동일한 v = v dv/ ds를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

mv

v 0v dv =

S

0F ds ……………………………………… (23)

m이 일정하다고 가정하면, 이때 산정된 적분결과는 다음과 같다.

12

m ( v2 - v20 ) = F S …………………………………… (24)

위의 식(24)는 힘 F가 행한 일은 물체의 운동에너지의 변화량과 같음을 나타

내고 있다. 만일 반대방향으로 움직이게 하는 힘이 식( F = - ks)을 따른다면,

식(23)은 다음과 같이 변환된다.

mv

v 0v dv = -

S

0k s ds ………………………………… (25)

결과적으로,

12 m ( v2 - v2

0 ) = 12 k S 2 ………………………………… (26)

따라서, 외적인 운동에너지의 변화는 내부에 축적되는 변형에너지의 양과 같

게 된다.

- 12 -

3 ) B ant on - B an di s 절리 모델

Nick Barton과 Stavros Bandis에 의해 발전된 일련의 경험적 관계는 불연속

면의 변형과 강도에 있어서 표면거칠기의 효과를 설명하고 있다.

Barton - Bandis joint model은 다음의 특징을 가지고 있다.

절리면 수직 거동

● 응력- 변형의 쌍곡선 거동

● 연속적인 재하- 제하에 의한 hysteresis

● 연속적인 재하- 제하에 의한 수직강성의 증가

● 전단변형으로 인한 절리면의 엇물림에 의한 수직강성의 변화

● 절리면의 폐합과 거칠기에 기초를 둔 절리면 간극의 계산

절리면 전단 거동

● 수직응력과 전단 변위의 함수인 dilation

● peak 후에서의 절리면의 손상

● peak 후 전단 역전에서의 2차 peak 전단의 감소

① 절리면 수직 거동

Barton - Bandis 모델에서 수직응력- 변위 거동을 지배하는 식은 다음과 같다.

n =- u n c K n i

1 -u n c

v m i

……………………………………… (27)

여기서, u n c : 임의의 수직변위 (mm )

K n i : 초기 수직강성 (MPa/ mm )

v m i : 하중 cycle 최대 가능 폐합 (mm )

하중 cycle 횟수에 따라 변화하는 초기 수직강성( K n i )은 다음에 의하여 계산

된다.

- 13 -

K n i = 0 .0718[JCS 0

a j n ]+ 1 .748 JR C 0 - 7 . 155 …………… (28)

여기서, JCS 0 : 실내 규모의 절리면의 압축강도 (MPa)

a j n : 0의 수직응력하에서의 절리 간극 (mm )

JR C 0 : 실내 규모의 절리면 거칠기 계수

② 절리 면 전단 거동

절리면의 전단저항은 동원된 거칠기의 개념으로 계산되어진다. 동원된 거칠기

계수( JR C m ob )는 절리물성(길이, 수직하중, 그 점에서의 전단 변위, 전단 변위이

력)의 함수이다.

전단응력 모델을 수행하기 위하여, 제한하는 전단응력, ls ,은 full- scale의 거칠

기 계수( JR C n ), 절리면 압축강도( JCS n ), 최대전단변위( peak )로부터 구해진다:

JR C n = JR C 0 (L n

L 0 )- 0 .02JR C 0

…………………………… (29)

JCS n = JCS 0 (L n

L 0 )- 0 . 03JR C 0

…………………………… (30)

pe ak =L n

500 (L n

L 0 )0 . 33

………………………………… (31)

여기서, L 0 = 실내 규모의 절리면 길이 (m )

L n = 현장 규모의 절리면 길이 (m )

- 14 -

2 .3 다변 량 분석

다변량 분석은 하나 이상의 변수를 동시에 분석하는 것을 뜻하며, 그 목적은

여러 변수들의 연관성을 측정, 설명 또는 예측하는 데 있다. 변수란 통계학에서

쓰이는 중요한 용어 중의 하나로서 어떤 특성치를 가지며, 관심 대상이 되는

기능(function)을 의미한다. 변수는 연구자가 실험대상 표본으로부터 직접 수집

한 자료의 특성을 말한다.

일반적으로 통계모형은 자료의 정규분포에 근거를 두고 있다. 따라서 많은 다

변량 기법 역시 다변량 정규분포에 근거한 확률모형을 이용한다.

2 .3 .1 다 중회 귀분 석

종속변수가 하나이며 여러개의 독립변수가 있어, 독립변수들이 종속변수에 어

떻게 영향을 미치고 있는가를 분석하는 것이 다중회귀분석이다.

y i = 0 + 1x i1 + 2 x i2 + …… + k x ik + i ………………… (32)

여기서, 0 , 1 , …, k는 모집단의 회귀계수이고, i는 y i를 측정할 때 발생

되는 오차이다.

이러한 다중회귀분석을 실시하기 위하여, 다중회귀 모형의 설정, 최적회귀 방

정식의 선택, 회귀모형의 진단 및 처방의 일련의 과정을 거쳐 설명력 있는 다

중회귀모형을 도출한다.

2 .3 .2 다중회귀분석 에 관한 진단 및 처방

선형회귀모형을 자료로부터 적합시킨 후에 고려하고 있는 모형이 타당한지를

반드시 검토해 보아야 한다. 회귀모형의 진단(diagnostics )이란 적합된 회귀모형

의 타당성을 검토하는 통계적 절차를 말하며, 진단과정에서 가장 중요한 것은

잔차분석(residual analysis )이다.

잔차분석을 통하여 고려하고 있는 모형에 의문점이 생기는 경우에는 모형설정

단계로 다시 돌아가서 적절한 처방(변수변환, 모수추정 방법의 검토)을 해야 한

다.

- 15 -

주어진 종속변수와 독립변수간의 관계를 알아보기 위해서 회귀모형을 채택하

는 경우에는 실제로 다음과 같은 세가지 단계를 거쳐야 한다.

1 단계 : 모형설정

2 단계 : 자료를 통한 모형의 적합

3 단계 : 1단계와 2단계를 통해서 얻어진 모형의 타당성 검토

위의 세가지 단계를 그림으로 그려보면 다음과 같은 사이클을 얻는다.

M o del F orm at ion

M o del F itt in g

Ch o o s e th e B e s t M o de l

D iag n o s ti c s

N o

Y e s

Figure 2. Flow chart of multi- regression analy sis

다음으로 독립변수들간의 상관관계가 커서 생기는 다중공선성(multi -

collinearity )에 대해서 고려한다. k개의 독립변수가 잇는 중회귀모형에서 X 행

렬의 k + 1개의 열간에 완벽한 일차종속 혹은 일차종속에 가까운 관계가 있을

때 다중공선성 문제가 발생하며, 이 때 발생하는 문제점은 b의 추정치가 불안

정하여 신뢰할 수 없을 뿐 아니라 추정오차가 심각하게 커지므로 통계적 추론

이 별로 의미 없게 된다.

- 16 -

3 . Q값 및 입력변수 예측을 위한 다변량 분석

3 .1 분석 에 사용 된 자 료

본 연구에 사용된 자료는 국내 도로 설계 지반조사 결과 중 시추조사에 의한

Q분류 결과(터널부)와 절리면 물성시험 결과가 사용되었다. 동일 지역에 대한

각기 다른 조사회사의 결과자료가 사용되었으며, 총 시추개소(터널부)는 72개

소, 각 심도에 따른 세분된 Q분류 결과는 총 958개 이다.

3 .2 Q - s y s t em 의 간략 화

3 .2 .1 Q- sy s tem 간 략화 를 위 한 다 중회 귀분 석

Q값을 구성하는 6개의 요소에 대하여 다변량 분석 중 다중회귀 분석을 실시

하였다. 다중회귀 분석이란 종속변수의 변화를 설명하기 위하여 두 개 이상의

독립변수가 사용되는 다중 선형회귀모형을 말하며, 여러 개의 원인과 결과를

연결하여 분석하는 방법이다.

변화하는 Q값에 대응하는 UDEC- BB 모델의 입력 변수를 예측하는데 있어서

6개 요소를 모두 적용하는 것은 Q값 변화에 대응하는 입력변수 변화에 대한

많은 경우의 수를 초래하게 된다. 또한, 수치해석을 위하여 예측·적용되는 절

리면 물성치는 Jw 와 SRF 값에 크게 영향을 받지 않는다고 생각되므로, 본 연

구에서는 Q값을 구성하는 6개 요소 중 RQD, Jn , Jr , J a 의 4개 요소만을 이용하

여 Q값을 예측하여 적용한다.

여기서, 제거되는 두 변수 Jw 와 SRF 값은 모든 해석단면에 대하여 조건을 동

일하게 하여 수치해석을 실시한다.

다중 회귀분석을 위하여 Q분류식을 log 변환함으로써 각 요소의 비율에 대한

곱으로 되어있는 Q분류식을 선형식으로 변환시킨다. log 변환된 각 요소들과

실측 Q값은 다중회귀분석을 사용하여 원자료의 설명력을 가지는 상태로 Q의

평가항목을 줄여나갈 수 있다.

- 17 -

Q값을 예측하기 위한 모형을 설정하기 위하여 변수선택을 실시하였다. 예측

모형을 선택하는데 있어서 간단한 모형을 선호하는 모형 간편화 원칙(principle

of par simony )에 따라 모든 가능한 회귀 중에서 가장 좋은 회귀 방정식의 선택

기준을 사용한다. 다중회귀 모형의 선택기준은 평균잔차제곱합(MSE ) 기준, 수

정결정계수(Adjusted R Square) 기준, Cp통계량 기준, 아카이카 정보량(AIC)

기준을 사용하였다.

T able 1. Variable selection of all possible regression mode about each cases

c a s enu m . of

dat aR - s qu are

A dju s t e d

R - s qu areC (p ) A IC M S E

V ariable s in

M o de l

1 223 0.9505 0.9496 1726 - 633.51 0.0571 RQD J n J r J a

2 202 0.9277 0.9262 430 - 572.68 0.0573 RQD J n J r J a

3 533 0.9787 0.9786 5124 - 2166 0.0170 RQD J n J r J a

각 case에 대한 변수 선택 결과 RQD, Jn , Jr , J a 만으로 구성되는 예측 모형식

은 각각의 case에 대하여 수정결정계수(Adjusted R- Square) 가 0.95, 0.93, 0.98

로 설명력을 충분히 가지는 것으로 판단되었다.

이 결과로써 각각의 case에 대한 예측 모형식은 다음과 같이 표현되며,

case 1 : log ( Q) = 1 .5526 log (R QD ) - 1 . 1222 log (J n )

+ 0 .9105 log (J r) - 1 .2915 log (J a) - 1 . 1446

(Adjusted R- Square = 0.95)

case 2 : log ( Q) = 1 .0757 log (R QD ) - 1 .0348 log (J n )

+ 0 .8452 log (J r) - 1 .5067 log (J a) - 0 . 1852

(Adjusted R- Square = 0.93)

case 3 : log ( Q) = 1 .2812 log (R QD ) - 1 .0894 log (J n )

+ 0 .9380 log (J r) - 1 .0099 log (J a ) - 0 .8492

(Adjusted R- Square = 0.98)

- 18 -

또한, 선택된 각 case의 회귀모형의 유의성을 검증하기 위하여 분산분석을 실

시하였다.

T able 2. ANOVA table

c a s e

D e g re e

of

F re e dom

S um

of

S qu are s

M e an

S qu areF V alu e P rob > F

1

M odel 4 239.14 59.79 1047.09 0.0001

Error 218 12.45 0.06

C T ot al 222 251.59

2

M odel 4 144.73 36.18 631.47 0.0001

Error 197 11.29 0.06

C T ot al 201 156.01

3

M odel 4 413.45 103.36 6072.17 0.0001

Error 528 8.99 0.02

C T ot al 532 422.44

도출된 예측모형은 case1, case2, case3에 대하여 모두 RQD, Jn , J r , J a로 구성

하였으며, 각 case의 변수 선택 결과에 있어서 회귀방정식은 모두 유의함을 알

수 있다. 또한, case3의 경우가 수정결정계수(Adjusted R- Square)와 평균잔차

제곱(MSE )에서 다른 case에 비하여 설명력이 높게 나타난 것을 볼 수 있다.

다음으로, 회귀진단과 처방을 통하여 최적의 예측 모형식을 얻을 수 있도록

다중공선성과 잔차 분석에 대한 검토를 실시하였다.

우선, 예측된 모형에 대하여 각 변수간에 다중공선성의 존재 여부를 확인하고

자 상태지수, 분산비율 등을 검토하였다. 검토 결과 선택된 4개의 변수가 포함

된 모형에서 다중공선성의 문제가 없는 것으로 판단되었다.

- 19 -

3 .2 .2 최 적 예 측 모 형식 의 판 단 및 적용 성 평 가

다변량 분석으로부터 얻은 다중회귀식의 적용성을 검토하기 위하여 다른 case

에 대하여 실측된 Q값과 각 case로부터 얻은 예측된 Q값을 단순회귀분석으로

부터 도출되는 결정계수(R- Square)를 기준으로 각 case의 예측 모형식을 비교

한다.

다음 그림은 각 case의 예측 모형식을 적용한 다른 case의 실측된 Q값과 예

측된 Q값의 단순회귀 분석을 나타낸다.

(a) model 1 - another cases

Figure 3. Relationship between measured Q and predicted Q

- 20 -

(b) model 2 - another cases

(c) model 3 - another cases

Figure 3. Relationship betw een measured Q and predicted Q (continue)

Q의 예측 모형식에 대한 분석 결과를 종합할 때 case3의 예측 모형식은 다른

case에 대하여 수정결정계수 및 MSE 분석결과 설명력이 높게 판단되었으며,

적용성 평가 결과 또한 높은 상관관계를 나타내므로 이후의 불연속체 해석 입

력변수에 대한 분석에 case 3으로부터 얻어진 예측 모형식을 적용한다.

- 2 1 -

4 . 수치해석 모델 설정

4 .1 불연 속체 해 석

본 연구에서는 불연속체 해석을 위하여 개별요소법을 채택한 UDEC 프로그램

을 사용하였으며, 불연속면의 거칠기 및 팽창에 따르는 절리의 전단 및 수직

변형 거동을 고려하여 BB 모델을 적용하였다.

암반의 거동은 발생된 절리군의 비대칭적인 구조로 인하여 일정한 방향성을

가지게 된다. 그러나, Q값의 감소에 따라 암반상태가 불리하게됨과 동시에 지

반의 거동은 이러한 방향성은 감소하게 된다. 결국 그 방향성의 감소가 수렴되

는 상태의 지반을 나타내는 Q값의 범위를 관찰하였다.

4 .1 .1 해 석 대 상 지 반

터널 굴착의 대심도화 및 절리 발생 조건을 고려하여 지표 50m이하에 터널을

굴착하는 것으로 하고, 측압계수는 0.5로 설정하였다.

지반의 변형 거동 및 응력분포 형상을 쉽게 관측할 수 있도록 원형 단면을 채

택하였으며, 그 직경은 10m로 설정하여 해석을 실시하였다. 또한, 터널 주변의

암반거동에 대하여 관찰하기 위하여 수평방향으로 3D, 터널 아래방향으로 2D

의 거리를 두고 경계범위를 설정하였다.

Figure 4. Rock mass model of numerical analy sis and measuring point

- 22 -

4 .1 .2 불 연속 체 해 석 입 력 변 수 설 정

intact 암석블록의 물성치는 국내의 대표적 암석인 화강암의 일반적인 물성치

를 사용하였다. 수치해석에 사용되는 intact 암석블록의 물성치는 다음과 같다.

T able 3. Intact Rock Block Properties (Granite) for Numerical Analysis

den s ity

[g / c m 3 ]

poro s oty

[%]

un iax ia l

c om pre s s iv e

s tren g th

[k g f/ cm 2 ]

T en s i le

s tren g th

[k g f/ cm 2 ]

Y ou n g 's

M o du lu s

[k g f/ cm 2 ]

P oi s s on s

R atio

2.61 1.45 1,220 85 3.20×105 0.23

±0.05 ±1.34 ±530 ±40 ±1.70×105±0.08

(국내화강암의 물리역학적 성질, 토목기술자를 위한 지질조사 및 암반분류, 2000)

상기의 물성치는 신선한 화강암반 블록의 성질로 해석단계에서는 고정값으로

취하고, 불연속면은 지반거동에 있어서 대칭적인 기하학적 형상이 되지 않도록

발생시켰다. 실제 지반에 대한 RQD를 수치해석에 대하여 기하학적으로 동일하

게 구현하는 것은 어려우므로 수치해석 지반의 규모에 맞도록 조정하여 절리군

의 평균 간격에 따라 RQD를 추정하여 적용하였다.

여기서, 불연속면의 교차에 의하여 터널 굴착 후 key block의 형성으로 암반

블록이 낙하하는 것을 방지하기 위하여 각 단면에 대하여 동일한 물성의 숏크

리트 요소를 적용하였다.

Q- sy stem에서 제시되는 평가항목의 평점기준 및 평가점수 중 일부를 다음과

같이 조합하고, 이를 추정된 예측식에 적용하여 발생 가능한 Q값을 예측하였

다. 단, 적용된 예측식은 RQD, Jn , Jr , J a 만으로 구성되므로 Jw 와 SRF는 고려

하지 않는다.

- 23 -

T able 4. Q- Parameter Ratings for Q- Prediction

P aram et er D e s c ription or Con dit ion R at in g

RQD

M ean join t space 1 m in UDEC 20

M ean join t space 1.5 m in UDEC 40

M ean join t space 2 m in UDEC 55

M ean join t space 2.5 m in UDEC 65

M ean join t space 3 m in UDEC 75

M ean join t space 4 m in UDEC 80

M ean join t space 4.5 m in UDEC 85

M ean join t space 5.5 m in UDEC 90

M ean join t space 6.5 m in UDEC 93

J n

T w o join t set s 4

T hree join t set s 9

F our joint set s 15

J r

Discontinu ou s 4

Rou gh or irr egular , undulat in g 3

Sm ooth , undulat in g 2

Rou gh or irr egular , plan ar 1.5

Sm ooth , plan ar 1.0

J a

Unalt er ed join t w alls , surface staining 1

Slight ly alt er ed j oint w alls 2

Silty - or sandy coat ing s , sm all clay fr act ion 3

S oftening or low friction clay m ineral coat ing s 4

P redict E qu at ion : log ( Q) = 1 .2812 log (R QD) - 1 .0894 log (J n )

+ 0 .9380 log (J r) - 1 .0099 log (J a) - 0 .8492

- 24 -

불연속체 해석에 적용하기 위하여 얻어진 예측된 Q값의 분포는 다음의 표와

같으며, 발생된 Q값의 범위 중 대표값을 선택하여 Q값을 단계적으로 감소시키

며, 그 입력 변수를 변화시켜 불연속체 해석에 적용하여 해석을 실시하였다.

T able 5. Range of Predicted Q Value for Numerical Analy sis Method

(UDEC- BB)

R an g e of P re dic te d

Q

N um b er of

c a s e sS ub s t itut e Q

S e le c te d V alu e

R QD Jn Jr Ja

> 50 1 52.57 95 4 4 0.75

10 < Q < 50 45

39.06 93 4 4 0.7528.01 90 4 3 122.02 80 4 2 0.7516.15 93 9 3 0.7510.58 90 9 2 0.75

1 < Q < 10 187

9.25 93 15 3 0.758.87 90 15 3 0.758.24 85 15 3 0.757.36 85 9 2 16.09 65 4 3 34.94 80 9 3 23.90 80 15 2 13.11 75 9 2 22.02 20 4 3 21.52 55 9 3 4

0.1 < Q < 1 30

0.99 65 15 2 30.89 75 15 2 40.80 55 15 2 30.69 40 9 2 40.60 55 15 2 40.53 40 15 2 30.42 20 9 3 40.28 20 9 2 40.22 20 15 2 30.16 20 15 1 40.11 20 15 1 3

0.1 > 20.08 20 15 0.5 40.06 20 15 0.5 3

- 25 -

본 연구의 불연속면을 포함하는 암반에 대한 연속체 모델의 적용에 대하여

관심 대상이 되지 않는 Q값이 높은 암반에 대해서는 절리군수에 대한 평가항

목 중 1개의 절리군에 대한 부분을 고려하지 않으므로 Q값이 50 이상의 암반

에 대한 수치해석은 실시하지 않는다.

그 결과로 각 Q 범위에 해당하는 불연속면을 포함하는 암반에 대한 기하학적

형상은 대략적으로 다음과 같다.

Q = 10 Q = 5 Q = 1 Q = 0.5Q = 50

Figure 5. Joint conditions of rock mass for each Q values

- 26 -

4 .1 .3 해 석결 과의 분석

불연속면에 의해 일정한 역학적 방향성을 가지는 암반에 대하여 Q값을 감소

시킴으로써 암반상태를 단계적으로 불리하게 적용하였다. 그 결과, 불연속면에

의한 방향성이 감소하여 결국 역학적 대칭성을 보이게 되는 Q값을 관찰하였다.

이러한 관찰을 위하여 터널 각 방향에 설정된 계측점에서의 변위량 및 숏크리

트에 작용하는 축력 분포상황과 대칭적 위치에서의 변형량을 분석하였다.

Q값의 감소에 따른 터널 각 부분의 변위와 숏크리트 요소에 작용하는 축력

변화는 다음과 같이 관찰되었다.

Figure 6. Displacements of tunnel with Variation of Q value

Figure 7. Axial force & Y- displacement on Shotcrete with Variation of Q

value

- 27 -

Figure 6, 7은 Q값이 감소함에 따라 터널 변위와 숏크리트 축력 및 변형량이

증가하는 것을 보인다. 이것은 Q값의 감소에 따라 암반은 역학적으로 불리한

상태로 변화하고 있다는 것을 제시한다.

또한, 본 연구에서는 Q = 0.5 이하의 암반등급에 대해서는 암반블록의 수가

방대하게 됨에 따라 불연속체 해석의 수행이 어렵다고 판단되었다.

숏크리트에 작용하는 축력의 분포상황을 관찰함으로써 Q값의 감소에 따라 암

반 거동의 역학적 방향성이 감소하고 대칭적 거동을 보인다는 것을 알 수 있

다.

Figure 8에서 제시한 바와 같이 Q값이 감소하여 암반등급이 낮아질수록 비대

칭적인 축력 분포상황은 숏크리트 전체에 대하여 균등하게 분포된다. 이러한

관찰결과로부터 연속체 모델의 적용이 가능하다고 판단되는 Q값의 경계범위는

0.69 ≒ 0.7이하로 판단되었다.

Figure 8. Distribution of Axial force on Shotcrete with each Q values

- 28 -

Figure 8. Distribution of Axial force to Shotcret e with each Q values

(continue)

- 29 -

Figure 8. Distribution of Axial force to Shotcret e with each Q values

(continue)

- 30 -

Figure 9는 Q값의 감소에 따르는 숏크리트 요소의 변형량 분포를 제시한다.

축력의 분포상황과 마찬가지로 숏크리트 요소의 변형량은 증가하며, 그 분포는

점차적으로 대칭성을 가지는 것을 관찰할 수 있었다. Q값이 0.9 이하부터 숏크

리트 요소의 수직변형량은 대칭성을 가지지만 숏크리트 상부와 하부의 변형량

분포를 모두 살펴볼 때 상, 하부 전반에 관하여 숏크리트의 수직변형량이 대칭

적인 분포를 이루는 Q의 경계값은 0.69 ≒ 0.7이하인 것으로 판단된다.

Figure 9. Distribution of Y- displacement on Shotcrete with each Q values

- 3 1 -

Figure 9. Distribution of Y- displacement on Shotcrete with each Q values

(continue)

- 32 -

Figure 9. Distribution of Y- displacement on Shotcrete with each Q values

(continue)

- 33 -

이와 같이 Q값의 감소에 따른 대칭점에서의 숏크리트 축력, 변형량 분포 상황

의 관찰결과를 토대로 Q값이 0.7 이하의 낮은 암반등급을 가지는 불연속 암반

을 연속체 모델로 가정하여 해석하는 것이 타당성을 가진다고 판단할 수 있다.

불연속체 해석 수행 과정에서 Q = 0.5 이하의 암반상태는 불연속체 해석 기법

인 개별요소법으로는 대응이 불가능하여 연속체 해석 기법이 필요하다고 판단

되었다.

결과적으로 불연속 암반의 연속체 모델 적용에 대한 Q 값의 경계 범위는 다

음과 같이 제시할 수 있다.

Q < 0 .5 0 .5 < Q < 1 .0 1 .0 < Q < 100 100 < Q

P seu do- cont inuum

approach

P seu do- cont inuum

and discont inuum

approach

Discontinuum

approach

Cont inuum

approach

단, Q 분류의 개인적인 측정 오차 등을 고려하여 안전범위에서의 경계 값으로

Q = 1.0을 제시하였다.

- 34 -

4 .2 연속 체 해석

4 .2 .1 암 반변 형계 수의 산정

연속체 모델의 적용이 가능하다고 판단되는 Q ≒ 0.7 이하의 범위에 대하여

실제 연속체 해석의 적용성을 검토하기 위하여 유한차분법을 이용한 연속체 해

석 프로그램인 FLAC을 사용한다.

연속체 해석에서 사용되는 지반 및 터널에 대한 기하학적 형상은 불연속체 해

석과 동일하다. 단, Q값을 선택하여 Figure 9의 대략적인 관계로부터 지반변형

계수를 산정하여 연속체 해석에 적용하였다.

Figure 10. Inter - relationship of V p , M and support pressure in approximate

terms . (Barton , 1999)

- 35 -

연속체 모델 적용이 타당한 것으로 판단되는 Q값의 범위와 이에 대응하는 암

반의 변형계수는 다음과 같다.

T able 6. Q Value for appling Continuos model to jointed Rock Mass and

Deformable Modulus of Rock Mass

Q ran g e f or applin g

Cont inu ou s m o de lS e le c te d Q - v alu e

A pprox . v a lu e of

D ef orm able M o dulu s

[GP a]

M m e a n M m i n

Q ≤ 0.7

0.69 9 2.8

0.60 7.5 2.5

0.53 7 2.1

- 36 -

4 .2 .2 해 석결 과에 대한 비교 분석

연속체 모델의 적용이 타당하다고 판단되는 Q값에 대한 변형계수를 적용한

연속체 해석결과와 불연속체 해석결과를 비교한다. 여기서, 암반조건이 가장 불

리하다고 판단되는 Q = 0.53의 해석결과에 대하여 비교한다.

터널 주변의 응력분포는 다음과 같다.

여기서, 불연속체 모델 적용 해석결과의 경우 프로그램상의 표현 문제로써 원

형 공동 주변에 대하여 구형으로 표현되는 문제가 있으나 터널 주변에 대한 응

력분포 관찰에 대해서 큰 문제는 없다고 판단된다.

(Distinct Element Method, UDEC- BB) (Finite Difference Method, FLAC)

Figure 11. Principal stress around T unnel

터널 주변의 응력분포 상황을 볼 때 연속체 모델의 경우는 응력 집중 상태 및

분포 상태가 규칙적이며 대칭적으로 나타나는 것에 비하여 불연속체 모델의 경

우 터널 주변의 암반블록간 응력 분포 상황 및 블록의 거동 상태에 따라 응력

분포 상태가 불규칙하게 나타나지만, 비교적 대칭적인 응력 분포 상황을 보이

는 것을 볼 수 있다. 이는 암반 블록의 수가 많아짐에 따라 개별적인 암반 블

록의 거동은 전체 지반으로 볼 때 연속체적 요소와 같이 거동하게 됨으로써 나

타나는 결과이다.

터널의 천단 변위 거동, 숏크리트에 작용하는 축력 분포와 크기를 기준으로

두 해석모델에 대하여 비교하였다.

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(Distinct Elem ent Method, UDEC- BB) (Finite Difference Method, FLAC)

m a x = 9.62mm m ax = 1.79mm

Figure 12. History of Roof Displacem ent

터널 천반부의 변위에 대한 관찰결과, 불연속체 해석의 경우 그 변위량이 크

게 측정되었다. 이는 절리면 간에는 점착력이 존재하지 않으며, 암반블록간의

이완으로 인한 이완하중이 터널 천반에 있어서 연속체 모델에 비하여 큰 사하

중으로 작용하고 있는 것으로 판단된다.

불연속체 모델의 경우 암반 내의 응력 분포 형상과는 관계없이 전체적으로 균

등한 축력이 작용하고 있는 것은 연속체 모델적용 결과에서 축력의 분포가 측

압계수 0.5에 준한 분포 상태를 이루는 것과 비교된다.

(Distinct Element Method) (Finite Difference Method)

Figure 13. Axial force on Shotcrete

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연속체 모델 적용 결과, 불연속체 해석 결과에 비하여 평균 암반변형계수

(Mm e a n )의 적용은 암반 상태가 다소 유리하게 예측되는 결과를 나타냄.

다음으로 암반변형계수의 최소값(Mm in )을 적용하여 그 결과를 나타낸다.

Figure 14. Principal stress around T unnel & History of Roof Displacement

( considering to Mm in )

axial force Y- displacement

Figure 15. Axial force & Y- displacement on Shotcrete

( considering to Mm in )

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암반변형계수의 최소값을 적용시킨 경우에는 터널 천반부의 수직변위가

6.08mm 로 크게 증가하였으며, 숏크리트 요소의 수직 변형량 또한 2.44mm 로

크게 증가한 것을 볼 수 있었다.

이러한 결과로써 불연속체 모델의 해석 결과와 다소 차이가 있지만, 암반변형

계수의 최대값을 적용하는 것에 비하여 최소 암반변형계수를 적용한 연속체 모

델로 해석하는 것이 보다 타당하다고 판단되며, 암반 내 터널 구조물을 안전측

의 설계로 볼 때 최소 변형계수를 적용하는 것이 바람직하다고 판단된다.

또한, 불연속체 암반에 대한 연속체 모델의 적용에 있어서 암반변형계수의 정

확한 판단과 더불어 불연속면을 포함하는 암반 전체를 대표할 수 있는 암반 강

도정수의 정확한 판정이 필요할 것으로 판단된다.

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5 . 결 론

본 연구에서는 국내 도로터널의 Q분류 결과 자료에 대한 통계학적 분석 방법

중 하나인 다변량 분석을 이용하여 Q값이 낮은 암반 등급에서의 불연속면을

포함하는 암반에서의 연속체 모델 적용에 대한 Q값의 경계범위를 검토하였다.

본 연구의 결과는 다음과 같다.

1. 동일 지역에 대한 3개 조사회사의 Q분류 결과자료에 대한 다변량 분석 중

하나인 다중회귀분석을 실시하여 Q값에 대한 간략 예측식을 제시하였다.

log (Q) = 1 .2812 log (R QD ) - 1 .0894 log (J n )

+ 0 .9380 log (J r) - 1 .0099 log (J a) - 0 .8492

(Adjusted R square = 0.98)

2. 선택된 최적 예측식을 이용한 불연속체 해석 실시하고 터널중심에 대하여

대칭인 각 계측점의 변위량 관찰, 숏크리트에 작용하는 축력 및 수직변형량 분

포 관찰결과, Q값이 0.7이하에서 연속체 모델의 적용이 타당하다고 판단되었다.

단, Q값에 의한 암반분류결과의 개인적 측정오차를 고려하여 Q = 1.0을 그 경

계값으로 선택하였다.

3. 불연속체 모델 해석 수행과정에 있어서 Q = 0.5 이하의 암반상태에 대하여

개별요소법 대응이 불가능하여 Q = 0.5 이하의 암반에 대하여 연속체 모델의

적용이 필요한 것으로 판단되었다.

4. 연속체 모델 적용 모델과의 비교 분석 결과, Q값에 대응하는 암반변형계수

의 적용에 있어서 평균 암반변형계수의 적용은 암반상태를 상대적으로 유리하

게 판단하는 결과를 나타내며, 암반 내 구조물에 대한 안전 쪽의 설계에 있어

서 최소 암반변형계수의 적용이 바람직하다고 판단되었다.

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