是誰偷吃蛋糕? 

   

    阿明:阿麗吃的。 

  阿文:我沒有吃。 

阿麗：阿美吃的。 

阿美：阿麗說謊                

如果四人中只有一人講真話，且僅只一人偷吃，會是誰？ 

 

 

 

 

阿文偷吃 

阿美講真話 

 

 

設 P,QR,S 均為原子命題,且命題 P�Q�R→S 的真值為假(F)，求下面諸命題的真值： 

 

(a)―P�Q        (b)―Q�S      (c)Q�S      (d)S→―P      (e)―S→―P 

(f)―Q�R→S 

邏輯 

１.敘述及其真偽： 

 

（１）敘述：具有真假（偽）性質，吾人能判定為真或為假（偽）之

語句，謂之敘述。 

常用 BAQP 等字母表示之。 

 

（２）真偽：一敘述為〝真〞或〝偽〞叫此敘述之真假（偽）值。 

 

２.敘述之否定： 

一敘述 P 之反面敘述，叫 P 之否定，以「非 P 」或「 P~ 」表之。 

 

例： 

:P 李四是好學生                           

:P~ 李四不是好學生 

  ba :P  

)(:P~ baba 或   

P  ~P T  F F  T 

用或且連接之複合敘述: 

複合敘述:將二個或二個以上之敘述用連接詞，組合一個新敘述，此

新敘述稱為複合敘述。

（1） P 且 Q )( QP :

（2） P 或 Q    )( QP : 

（3） 真假值表: 

P  Q  QP QP

Ｏ  Ｏ  Ｏ  Ｏ 

Ｏ  Ｘ  Ｘ  Ｏ 

Ｘ  Ｏ  Ｘ  Ｏ 

Ｘ  Ｘ  Ｘ  Ｘ 

例: 

(A)     1+1=2  且  1+3=5 

(B)     1+1 2  且  1+3 5 

(C)     1+1=2  且  1+3 5 

(D)     南京在台灣且舊金山在美國 

(E)     今天是星期一且明天是星期五 

例:    下列各敘述何者為真? 

(A)   2+2=4  或    1+2=3 

(B)   3>3      或    3>2 

(C)   1+1=3  或    1+2=5 

(D)   1>1      或    1

                                           

笛摩根定律: 

 

(1) 笛摩根定律:  

)(~)(~)(~)(~)(~)(~

QpQPQPQp

 

 

(2)真假值表: 

(3)同義敘述: 

二敘述(複合敘述)之外型可能不同，但其意義完全相同，稱為同意敘

述或等價敘述，以表示，即 P 與 Q 同義以 QP 表示，(有相同的真

假值) 

例:若敘述 P:「 1a 或 a >3」，則~P 為 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 

S: 1a ~S:a >1 L: a >3~L: 3a  

~( LS )~ S ~L: a >1 且 a 3  

即~P:1< 3a  

P          Q P Q   qp ~~   qp   qp ~~

T  T  T  F  T  F 

T  F  F  T  T  F 

F  T  F  T  T  F 

F  F  F  T  F  T 

例 1:  設 a、b 為實數，則「 0ba 22 」≣「a=0 且 b=0」，則 a2+b2≠0

≣__________。

Sol: 0b 0a0)b0a(~ 或且

例 2: (1) ＂a>b 且 c=d＂之否定句為何?

(2) 要證明「a>b 且 c=d」為假，應證明何事?

Sol: (1) ))()((~ dcba )()( dcba

(2) 要證 d)(cb)(a 為假，只要證“ dc ba 或 為真＂ 

例:設 P，Q，R 表敘述，求證:

(1) P ( RQ ) ( QP ) ( RP )

(2)求 (x-3) (y-1)=0

(x-3) (z+2)=0 之解?

Sol:(1)

P Q R QP RP

( QP ) ( )RP RQ )( RQP

O O O O O O O O

O O X O O O X O

O X O O O O X O

X O O O O O O O

O X X O O O X O

X O X X X X X

X X O X O X X X

X X X X X X X X

P Q R QP RP

( QP ) ( )RP RQ )( RQP

T T T T T T T T

T T F T T T F T

T F T T T T F T

F T T T T T T T

T F F T T T F T

F T F F F F F

F F T F T F F F

F F F F F F F F

)( RQP 與 )( RP 有相同的真假值

(2) 13 yX 或

23 ZX 或

(X=3 或 y=1)且(X=3 或 Z=-2)

)21(y3 ZX 且或

2

13

Zy

X 或

另有:

)()()( RPQPRQP

例:設 P，Q，R 表某敘述，若已知 QP 為偽，則下列何者必為真?

(A) QP ~ (B) QP ~~ (C) )( RQP (D) )(~ RQP

(E) )(~)(~ RPRQ

Ans: (A) (B) (D)(E)

例:設 P，Q，R 表敘述，求證:

(1) P ( RQ ) ( QP ) ( RP )

(2)求 (x-3) (y-1)=0

(x-3) (z+2)=0 之解?

Sol:(1)

P Q R QP RP

( QP ) ( )RP RQ )( RQP

O O O O O O O O

O O X O O O X O

O X O O O O X O

X O O O O O O O

O X X O O O X O

X O X X X X X

X X O X O X X X

X X X X X X X X

)( RQP 與 )( RP 有相同的真假值

開放語句及其解: 

(1) 開放語句:一語句中含變數 X，y，、、、等，當這些變數指定為某

元素，便可確定其真假，此類語句叫開放語句。

(2) 變數域、變數值:變數可能代表到之元素所成之集合叫變數域，變

數指定某元素時，稱此元素為此時之變數值。 

(3) 解(或根):使開放語句成 Z 之變數值，叫此開放語句之根或解。 

開放語句之解視其變域而定 

例:開放語句(X+1) (X‐2) 0)2)(21( XX 中，變數域為 N 之解為何?

變數域為 Z，則解為何?變數域為 Q，則解為何?變數域為 R，則解為

何?

Sol: )2)(2)(1( XXX =0 之 X 有-1，2，21

， 2

(1) XIN，X=2

(2) XZ，X=-1o r 2 

(3) X Q ，X=-1o r 2 o r21  

(4) X R ，X=-1o r2 o r21

o r 2  

開放語句及其解： 

(一) 開放語句：一語句中含變數 X，Y…等，當這些變數指定為某元素，

便可確定其真假，此類語句叫開放語句。 

(二) 變數域，變數值：變數可能代表到之元素所成之集合叫變數域，

變數指定某元素時，稱此元素為此時之變數值。 

(三) 解(或根)：使開放語句成主之變數值，叫此開放語句之根或解。 

開放語句之解視其變域而定： 

例：開放語句 0)2)(21)(2)(1( xXxx 中，變數域為 N 解為何?變

數域為 Z，則解為何?變數域為 0，則解為何?變數域為 R,則解為何? 

SEL： 0)2)(21)(2)(( xxXXH 之 X 有‐1，2，

21

， 2  

① XEN   ， 2X

② XEX ， 1X 或 2

③ XEQ ， 21

X 或 2 或 -1

④ XER ， 2X 或 21

或 2 或 -1

例：設 X 為自然數，則 X

例：設 為自然數 ，則

定量化詞：用來描述「敘述所提及事物之數量」 

的語詞。 

 

(1) 存在：在數學語句中，要表明一種東西有或沒有 

便是存在問題，如果此東西至少有一， 

便知存在了，我們便用表示。 

 

(2) 唯一存在：一種東西知至少有一個，又知至多只 

有一個，那麼就確定知道恰好有一個， 

不多也不少，以表示。 

 

(3) 所有：表示一種東西的全部，就是用「所有」或 

「每一」或「任一」，這種語句用表示。 

 

(4) 定量化詞之否定式： 

 )(~,))(,(~  )(~,))(,(~  

),(~,,)),(,,(~ yyyy  ),(~,,)),(,,(~ yyyy  

例:寫出下列二式之意義: 

(1) 01, 2 XRX 則必  

(2) 0R,y, yXNX 使  

Sol: 

(1)   每一實數 X,則必 X 2 +1>0 

(對所有) 

(2)   每一自然數 X,必存在實數 y,使 X+y>0 

例:寫出下列各敘述之否定句: 

(1) 每一位美國人都是白種人 

(2) 本校有一位學生超過 200 公分 

(3) 本校每一年,高一都有一班的學生,每一位都戴眼鏡 

(4) 本校有一年,每一次期中考都有一位學生每一科都及格 

Sol: 

(1) 有一位美國人不是白種人 

(2) 本校每一位學生都不超過 200 公分 

(3) 本校有一年,高一每一班都有學生不戴眼鏡 

(4) 本校每一年都有一次期中考,每一位學生至少有一科不及格 

若 P 則 Q 及唯若 P 則 Q 

    P→Q Q→P

(1) 

P  Q P→Q 

~P  ~PQ 

O  O  O  X  O O  X  X  X  X X  O  O  O  O X  X  O  O  O 

P→Q S

~P Q 有相同的真假值

P→Q QP ~

例:P:騎機車，Q:戴安全帽

(2)若且唯若 P 則 Q QP

)()( PQQP

P  Q P→Q  Q→P 

QP  

O  O  O  O  O O  X  X  O  X X  O  O  X  X X  X  O  O  O 

例:下列，何者為真? (A) 若 21 (B) 若 1+1=2 則 2+3=7

(C) 若 2>1 則 2+3>1+3 (D) 若 2>1 則 2+31+3 則 2>1

(F) 若且唯若 1+1=2 則 2+3=7

Ans: (A) (C) (E) 

 

例題 9-7 小劉、小馬、小張三個男孩都有一個妹妹，六個人在一起乒乓球，舉例男女

混合雙打。事先規定：兄妹兩人不搭伴。第一盤：小劉和小萍隊小張和小英：

第二盤：小張和小紅隊小劉和小馬的妹妹。小萍、小紅、小英各是誰的妹妹？ 例題 9-8 甲、乙、丙、丁四個人在一家五星級大飯店相遇。交談時，發生了語言溝通上

困擾。因為在中、英、法、日、四種語言中，每個人只會兩種，卻選不出一

種大家都會的語言，只有一種語言是三個人都會的。於是，交談時發生有趣

的現象！ (1) 乙不會英語，但甲和丙交談時。卻要請他當翻譯。 (2) 甲會日語，雖然丁不懂日語，卻能互相交談。 (3) 乙、丙、丁三人想互相交談，不過，找不到大家都會的語言。 (4) 沒有人既會日語又會法語。 試問甲、乙、丙、丁四人各會什麼語言？ 例題 9-9 小李、小陳和小孫是小學老師，在國語、數學、歷史、地理、音樂和美術六

門課程中、每人敎兩門科目。 (1) 歷史老師和數學老師是鄰居。 (2) 小陳最年輕。 (3) 小李經常對地理老師和數學老師請他們看他的小說。 (4) 地理老師比國文老師年紀大。 (5) 小陳、地理老師國文老師三人經常一起去游泳。 請你分析一下，小陳、小李、和小孫三位老師每人敎的是哪兩門課？ 例題 9-10 有三戶人家，每家有一個小孩，他們的名字是：小萍(女)、小紅(女)、小虎。孩子的爸爸是老王、老張和老陳，媽媽是劉美英、李玲君和方麗華。已知： (1) 老王家和李玲君家的孩子都參加了少年女子游泳隊。 (2) 老張的女兒不是小紅。 (3) 老陳和方麗華不是一家人。 請問哪三個是一家人？ 由上面諸例題的練習，相信大家對於用矩陣來解配對問題，已有大致上的了

解，接下來三個例題是稍雖的挑戰題，尤其是例題 9-13，建議在做該題時，要利用「假設」以利解題。

例題 9-11 四位運動員分別來自台北、台東、花蓮和澎湖，在遊泳、田徑、乒乓球和足

球四項運動中，每人只參加了一項。 除此之外，只知道一些零碎情況： (1) 阿明是球類運動員，不是東部人。 (2) 阿志是東部人，不是球類運動員。 (3) 阿勇和台北運動員、乒乓球運動員同住一個房間。 (4) 阿新不是台北運動員，年紀比澎湖運動員和游泳運動員都小。 (5) 花蓮運動員沒有參加游泳比賽。 根據這些條件，請你分析一下：這四位運動員各來自什麼地方？各參加什麼

運動？

                                     

問題 1 

已知某老師的生日是以下 10  個日期之一，某老師的生日是  m  月  d  日，他把  m

值告訴甲生，把  d  值告訴乙生，老師：你們知道我的生日是幾月幾號嗎？ 

甲生：( 1 )  我不知道  ( 2 )  乙生也一定不知道。 

乙生：( 3 )  我本來不知道  ( 4 )  但現在知道了。 

甲生：( 5 )  喔！那我知道了。 

Q：某老師的生日是？ 

3/4、3/5、3/8 

6/4、6/7 

9/1、9/8 

12/1、12/2、12/5。  (請說明理由) 

分析： 

(1)  由上述日期可以發現，6/7 與 12/2 這兩組日期的日數是單獨沒有重複的，因

此如果乙生知道的 d  值為 7 或 2 這樣乙生必定可以知道老師生日。因此 10 組日

期剩下 8 組。 

3/4、3/5、3/8 

6/4 

9/1、9/8 

12/1、12/5 

(2)  再來我們來討論甲生說的兩句話：( 1 )  我不知道  ( 2 )  乙生也一定不知道。   

由第一句話甲生不知道代表，絕不可能是 6 月如果甲生知道 6 月這樣他一定知道

是 6/4。 

再分析第二句話，甲生確定乙生一定不知道代表月份也不能是 12 月，因為如果

甲生知道 12 月，乙生有可能知道 1、2、5，雖然乙生如果知道 1 號與 5 號他不

能知道老師的生日，但如果乙生知道的日期是 2 號，乙生可以輕易的猜出老師生

日是 12/2，因此可以判斷甲生知道的月份絕對不會是 12 月。 

因此可能的日期為下： 

3/4、3/5、3/8 

 

9/1、9/8     

 

(3)  再來分析乙生說的：( 3 )  我本來不知道  ( 4 )  但現在知道了。   

這代表乙生知道的日期絕對不是 8 號，因為如果是 8 號這樣有可能 3/8 或 9/8，

這樣乙生絕對不可能知道。 

因此乙生知道的日期應該是 1 號、4 號、5 號之一。   

3/4、3/5 

9/1 

答案:9/1 

                                     

 

題目 2 

 

這是一個古羅馬時代的故事…… 

某日，一位少女在河川裡洗澡的時候，她放在河岸上的托加袍被偷走了。 

關於這件事，有四位少女分別發表了她們的看法。 

這四位少女分別是受害者、目擊者、救援者和旁觀者（未按順序）。 

在這四位少女的談話中，如果是與受害者相關的內容是謊話， 

如果是與其他人相關的內容則是真話。 

你能夠判斷這四位少女的身分嗎？ 

（註釋：托加袍是希臘羅馬時代的一種寬鬆外袍） 

 

瑪莉貝拉：「古蘿莉亞不是旁觀者。」 

古蘿莉亞：「克蕾仙蒂亞不是目擊者。」 

歐蕾莉亞：「瑪莉貝拉不是救援者。」 

克蕾仙蒂亞：「古蘿莉亞不是目擊者。」 

 

答案:假設古蘿莉亞是受害者的話，瑪莉貝拉以及克蕾仙蒂亞所說的內容是與受

害者有關，但同時也都是真話。所以，古蘿莉亞不是受害者。

假設克蕾仙蒂亞是受害者的話，古蘿莉亞所說的內容是與受害者有關，但同時也

是真話。因此，克蕾仙蒂亞也不是受害者。

假如瑪莉貝拉是受害者的話，則歐蕾莉亞所說的內容是與受害者有關，但同時也

是真話。所以，瑪莉貝拉不是受害者。

據上推論得知，歐蕾莉亞是受害者。換句話說，四位少女所說的話都是真話。將

以上的推論，整理成如下列表格： 

受害者 目擊者 救援者 旁觀者

瑪莉貝拉 × ×

古蘿莉亞 × × ×

歐蕾莉亞 ○ × × ×

克蕾仙蒂亞 × ×

從上表推論可得知，瑪莉貝拉是目擊者，古蘿莉亞是救援者，而

克蕾仙蒂亞是旁觀者。

                                     

題目 3:

某人說： 我們三人賭了些錢。

1.首先，A 從 B 贏到了和 A 原來一樣多的錢。

2.接著，B 從 C 贏到了和 B 所剩下來一樣多的錢。

3.最後，C 從 A 贏到了和 C 所剩下來一樣多的錢。

4.結束時，大家的錢數相同。

5.開始時，我有 50 分錢。

A、B 或 C——這三人中，哪一個是說話的人？

在 A 和 B 打賭前，令 a 為 A 所擁有的分錢數，且令 b 為 B 所擁有

的分錢數。

然後從「1」得知，在他們倆打賭後，A 擁有 2a 分錢，而 B 擁有 b－a 分

錢。在 C 和 B 打賭前，令 c 為 C 所擁有的分錢數。然後從「2」得知，在

B 和 C 打賭之後，B 擁有（b－a）＋（b－a）或 2b－2a 分錢，而 C 擁有 c

－（b－a）或 c－b＋a 分錢。 然後從「3」得知，在 C 和 A 打賭之後，C

擁有（c－b＋a）＋（c－b＋a）或 2c－2b＋2a 分錢，而 A 擁有 2a－（c－

b＋a）或 a－c＋b 分錢。 從「4」得知，a－c＋b＝2b－2a 及 a－c＋b＝2c

－2b＋2a。第一道等式導出：b＝3a－c，而第二道等式導出：3b＝a＋3c。

第一道字母等式乘以 3，並將兩道等式加在一起導出：6b＝10a 或 b＝5a/3。

b 以 5a/3 代入（至 b＝3a－c 或 3b＝a＋3c）導出：c＝4a/3。 因此，A 一

開始有 a 分錢，B 有 5a/3 分錢，C 有 4a/3 分錢。 從「5」得知，a 不會是

50 分錢，因為那麼 B 和 C 一開始的分錢數就會出現分數；而 4a/3 不會是

50 分錢，因為那麼 A 和 B 一開始的分錢數就會出現分數；所以 5a/3 是 50

分錢，且 B 是說話的人。 總結：A 一開始有 30 分錢，B 一開始有 50 分

錢，C 一開始有 40 分錢。

趣 味 邏 輯 題目

1) 大華正在凝望一幅照片。有人問他﹕「照片中的人是誰？」大華回答說﹕「我沒

有兄弟姊妹，但這個人的父親是我父親的兒子。」 那麼，大華望著誰的照片？ 答案 照片中的人是大華的兒子。 (2) 發生了一宗劫案，事主損失慘重，劫匪駕駛一輛貨車逃走了。你只知道，(1) 除了疑犯 A，B 和 C 之外，不會有其他人牽涉在內﹔(2) 沒有 A 的陪同，C 是不會獨自犯案的﹔(3) B 是不懂駕駛的。 如此看來，A 有沒有罪？ 答案 A 是有罪的。 (3) 假設有一座小鎮，(1) 鎮上每個人頭髮的數目都不同﹔(2) 沒有人有 409 根頭髮﹔

(3) 鎮的人口比鎮裏任何一人頭髮的數目為多。

問題是，鎮上最多有多少人 (假設不是無限的) ？

答案 409

(4)

一個很特別的島嶼只住了君子和流氓。君子只講真話，從不說謊﹔但相反流氓的

說話沒有一句是真確的。

有天你遇到兩個島民，大明和小明。大明說小明是流氓，而小明卻告訴你﹕和大

明也不是流氓。」

你可以分出誰是君子，誰是流氓嗎？

答案 大明是君子，小明是流氓。

(5)

如上面的情況一樣，你在這個只住了君子和流氓的島上探訪，剛好遇到三個島民，

冬瓜、南瓜和西瓜。冬瓜聲稱南瓜和西瓜是同一種人﹔南瓜卻說﹕「我和西瓜至

少有一個是君子。」而西瓜則說冬瓜是個流氓。

你可以分出誰是君子，誰是流氓嗎？

答案 冬瓜是君子，南瓜和西瓜是流氓。

(6)

三隻小眼豬想吃的早餐各不相同。其中一隻小眼豬喜歡吃燕麥淋柳橙汁，另一隻

愛搗蛋的小眼豬喜歡吃炒蛋沾番茄醬，第三隻小眼豬喜歡吃切片香蕉，他說吃香

蕉有助於維持絕佳的視力，看清生活中不尋常的一切。請根據下列線索推理出哪

隻小眼豬吃切片香蕉。

線索 1：1 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬也不吃香蕉片。

線索 2：2 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬

趕快想想看，1 號、2 號還是 3 號小眼豬早餐喜歡吃切片香蕉？

要寫出你是怎麼推理的喔!

答案 是二號小豬吃切片香蕉

解釋 因為 1 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬也不吃香蕉片，只剩下燕麥淋柳橙汁，1 號小眼豬喜歡吃

燕麥淋柳橙汁。

2 號不吃炒蛋沾番茄醬，只剩下燕麥淋柳橙汁和切片香蕉，燕麥淋柳橙汁是 1 號小眼豬喜歡吃的，2 號愛

吃切片香蕉

3 號愛吃炒蛋沾番茄醬

(7)

「現在有甲、乙、丙、丁四個人，甲、乙之中有一個總是說實話，另一個總是說

謊話；丙、丁的情況也和甲、乙一樣，一個總是說實話，另一總是說謊話。現在

四人各說了一句話，請問他們對話中所說的是哪一個數？

甲：「這個數是質數。」 乙：「這個數是 8。」 丙：「這個數是偶數。」 丁：「這個數是 15。」 答案 2 or 8 解釋

If the answer is 2 2 is 質數 and 偶數

Therefore 甲 is correct,(這個數是質數。) 乙 is wrong (這個數是 8。) 丙 is correct(這個數是偶數。), 丁 is wrong(這個數是 15。) If the answer is 8 8 is 偶數 but not 質數 Therefore 甲 is wrong,(這個數是質數。) 乙 is correct (這個數是 8。) 丙 is correct(這個數是偶數。), 丁 is wrong(這個數是 15。)

(8) 一個老師輕聲告訴學生 A 一個正整數 p;告訴學生 B 一個正整數 q;告訴學生 C 一個正整數 r。學生彼此之間不知道別人的數是多少，但他們知道這三個數字 p+q+r =14,以下是他們的依序陳述: 學生 A 說:我能判斷出 B 和 C 的數是相異的。 學生 B 說:我早已能判斷出我們三個數都是相異的。 學生 C 說:現在我能判斷出我們三個人的數分別是多少了。 試問 p、q、r 三個數的乘積是多少? 【正整數即 1、2、3、4、5、..........................】 答案 42 解釋 根據 A 的陳述： 若 B 和 C 的數字 q、r 相同，則 q+r 必是偶數 而 A 知道這兩個數相異，所以 q+r 是奇數 => p 是奇數 根據 B 的陳述： 光知道 p+r 就知道 p、r 相異 => p+r 是奇數 => q 是奇數 而且 B 能知道 p,r 都不會是 q => 這表示 q 一定是夠大的奇數 使得 p,q 中的奇數(由前面可知是 p)若等於 q，則 q+q+r 會超過 14 => q=7, 9, 11 現在可知： q=7 時：p+r=7 => (p , r) = (1 , 6) , (3 , 4) , (5 , 2) q=9 時：p+r=5 => (p , r) = (1 , 4) , (3 , 2) q=11 時：p+r=3 => (p , r) = (1 , 2) 根據 C 的陳述： 根據前兩者所說，再根據已知 r，就能確定三個人的數 ∴r 不可能是 2 , 4，因為 r = 2 , 4 時(p , r)的解都不唯一 ∴r = 6 => (p , q , r) = (1 , 7 , 6) => p*q*r = 42 (9)

1²、2²、3²、........、9²這 9 個數(不需每個數字多用到，但不能重複)，配合【+、﹣、×、÷ 】四種運算符號與【 大、中、小括號】，列出一計算式，使其值恰等

於 2011。 2011= 答案 答案：2011=5²×9²－3²－2²－1²

(10) 有一種特殊ㄉ計算器除了數字鍵外，只有兩種運算方法:【+1】與【x2】。若輸入數字 1 後，請問至少要按【+1】與【x2】鍵共幾次可得的 200 答案 逆推：200/2³ = 25 , 25-1=24 , 24/2³ = 3 , 3-1=2 , 2/2 = 1 ∴[(1*2+1)*2*2*2+1]*2*2*2=200 至少要 9 次 (11) 消失的 10 元 有 3 個人一同去住宿 每個人各出了 100 元去支付 300 元的住宿費 老闆收到錢以後想到當天有優惠 住宿費只需要 250 元就好了 就請小弟把 50 元退還給她們 小弟心想她們並不知道打折的事情 所以就偷偷把 20 元收起來 只退還給她們 30 元 3 個人各拿回了 10 元 題目： 3 個人各拿回 10 元表示她們各出了 90 元 3 x 90 = 270 另外還有小弟拿走的 20 元 270 + 20 = 290 你發現了嗎？ 300 - 290 = 10 少了 10 元 請問這個 10 元被誰拿走了？ 答案 3 x 90 = 270 絕對沒有問題 270 + 20 = 290 在這裡沒有意義 270 - 20 = 250 這個 250 才是她們住宿所花的錢 簡單的說 題目用加法是誤導 "減法"才對 講清楚一點： 270 + 20 = 290 計算上沒問題 但是這個 290 去跟 300 元比是沒有意義的

因為 300 中有 30 元已經順利退還給 3 人了 因此金額的總數就是 300 - 30 = 270 = 3 x 90 20 元則是包括在這個 270 之中的 當然不可以用加法加上去 (12) 一個人花 8 塊錢買了一只雞，9 塊錢賣掉了，然後 覺得不划算，花 10 塊錢又買回來了， 11 塊錢賣給 外一個人，問他賺了多少錢？ 答案 2 元 解釋 分開兩次計算就對了.每次賺一元.兩次就是 2 元 (13) 你能猜出這 3 組數字間有何種關係嗎? 提示 :每一組數字都有一個相同的條件. (1、3、7、8, ) (2、4、6, ) (5、9, ) 答案 1. 3. 7. 8 注音都是一聲 2. 4. 6. 注音都是四聲 5. 9 注音都是三聲 (14) 假設台灣 1 月 1 號看見太陽的機率是 70% 1 月 2 號看見太陽的機率是 50% 1 月 3 號看見太陽的機率是 10% 1 月 4 號看見太陽的機率是 80% 1 月 2 號下午 3 點小明位於高雄 請問他過了 35 個小時後看到太陽的機率是多少 答案 0% 解釋 因為過了 35 小時後便是 1 月 4 號的早上 2 點，早上 2 點哪來的太陽

趣 味 邏 輯 題目

1) 大華正在凝望一幅照片。有人問他﹕「照片中的人是誰？」大華回答說﹕「我沒

有兄弟姊妹，但這個人的父親是我父親的兒子。」 那麼，大華望著誰的照片？ 答案 照片中的人是大華的兒子。 (2) 發生了一宗劫案，事主損失慘重，劫匪駕駛一輛貨車逃走了。你只知道，(1) 除了疑犯 A，B 和 C 之外，不會有其他人牽涉在內﹔(2) 沒有 A 的陪同，C 是不會獨自犯案的﹔(3) B 是不懂駕駛的。 如此看來，A 有沒有罪？ 答案 A 是有罪的。 (3) 假設有一座小鎮，(1) 鎮上每個人頭髮的數目都不同﹔(2) 沒有人有 409 根頭髮﹔

(3) 鎮的人口比鎮裏任何一人頭髮的數目為多。

問題是，鎮上最多有多少人 (假設不是無限的) ？

答案 409

(4)

一個很特別的島嶼只住了君子和流氓。君子只講真話，從不說謊﹔但相反流氓的

說話沒有一句是真確的。

有天你遇到兩個島民，大明和小明。大明說小明是流氓，而小明卻告訴你﹕和大

明也不是流氓。」

你可以分出誰是君子，誰是流氓嗎？

答案 大明是君子，小明是流氓。

(5)

如上面的情況一樣，你在這個只住了君子和流氓的島上探訪，剛好遇到三個島民，

冬瓜、南瓜和西瓜。冬瓜聲稱南瓜和西瓜是同一種人﹔南瓜卻說﹕「我和西瓜至

少有一個是君子。」而西瓜則說冬瓜是個流氓。

你可以分出誰是君子，誰是流氓嗎？

答案 冬瓜是君子，南瓜和西瓜是流氓。

(6)

三隻小眼豬想吃的早餐各不相同。其中一隻小眼豬喜歡吃燕麥淋柳橙汁，另一隻

愛搗蛋的小眼豬喜歡吃炒蛋沾番茄醬，第三隻小眼豬喜歡吃切片香蕉，他說吃香

蕉有助於維持絕佳的視力，看清生活中不尋常的一切。請根據下列線索推理出哪

隻小眼豬吃切片香蕉。

線索 1：1 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬也不吃香蕉片。

線索 2：2 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬

趕快想想看，1 號、2 號還是 3 號小眼豬早餐喜歡吃切片香蕉？

要寫出你是怎麼推理的喔!

答案 是二號小豬吃切片香蕉

解釋 因為 1 號小眼豬不吃炒蛋沾番茄醬也不吃香蕉片，只剩下燕麥淋柳橙汁，1 號小眼豬喜歡吃

燕麥淋柳橙汁。

2 號不吃炒蛋沾番茄醬，只剩下燕麥淋柳橙汁和切片香蕉，燕麥淋柳橙汁是 1 號小眼豬喜歡吃的，2 號愛

吃切片香蕉

3 號愛吃炒蛋沾番茄醬

(7)

「現在有甲、乙、丙、丁四個人，甲、乙之中有一個總是說實話，另一個總是說

謊話；丙、丁的情況也和甲、乙一樣，一個總是說實話，另一總是說謊話。現在

四人各說了一句話，請問他們對話中所說的是哪一個數？

甲：「這個數是質數。」 乙：「這個數是 8。」 丙：「這個數是偶數。」 丁：「這個數是 15。」 答案 2 or 8 解釋

If the answer is 2 2 is 質數 and 偶數

Therefore 甲 is correct,(這個數是質數。) 乙 is wrong (這個數是 8。) 丙 is correct(這個數是偶數。), 丁 is wrong(這個數是 15。) If the answer is 8 8 is 偶數 but not 質數 Therefore 甲 is wrong,(這個數是質數。) 乙 is correct (這個數是 8。) 丙 is correct(這個數是偶數。), 丁 is wrong(這個數是 15。)

(8) 一個老師輕聲告訴學生 A 一個正整數 p;告訴學生 B 一個正整數 q;告訴學生 C 一個正整數 r。學生彼此之間不知道別人的數是多少，但他們知道這三個數字 p+q+r =14,以下是他們的依序陳述: 學生 A 說:我能判斷出 B 和 C 的數是相異的。 學生 B 說:我早已能判斷出我們三個數都是相異的。 學生 C 說:現在我能判斷出我們三個人的數分別是多少了。 試問 p、q、r 三個數的乘積是多少? 【正整數即 1、2、3、4、5、..........................】 答案 42 解釋 根據 A 的陳述： 若 B 和 C 的數字 q、r 相同，則 q+r 必是偶數 而 A 知道這兩個數相異，所以 q+r 是奇數 => p 是奇數 根據 B 的陳述： 光知道 p+r 就知道 p、r 相異 => p+r 是奇數 => q 是奇數 而且 B 能知道 p,r 都不會是 q => 這表示 q 一定是夠大的奇數 使得 p,q 中的奇數(由前面可知是 p)若等於 q，則 q+q+r 會超過 14 => q=7, 9, 11 現在可知： q=7 時：p+r=7 => (p , r) = (1 , 6) , (3 , 4) , (5 , 2) q=9 時：p+r=5 => (p , r) = (1 , 4) , (3 , 2) q=11 時：p+r=3 => (p , r) = (1 , 2) 根據 C 的陳述： 根據前兩者所說，再根據已知 r，就能確定三個人的數 ∴r 不可能是 2 , 4，因為 r = 2 , 4 時(p , r)的解都不唯一 ∴r = 6 => (p , q , r) = (1 , 7 , 6) => p*q*r = 42 (9)

1²、2²、3²、........、9²這 9 個數(不需每個數字多用到，但不能重複)，配合【+、﹣、×、÷ 】四種運算符號與【 大、中、小括號】，列出一計算式，使其值恰等

於 2011。 2011= 答案 答案：2011=5²×9²－3²－2²－1²

(10) 有一種特殊ㄉ計算器除了數字鍵外，只有兩種運算方法:【+1】與【x2】。若輸入數字 1 後，請問至少要按【+1】與【x2】鍵共幾次可得的 200 答案 逆推：200/2³ = 25 , 25-1=24 , 24/2³ = 3 , 3-1=2 , 2/2 = 1 ∴[(1*2+1)*2*2*2+1]*2*2*2=200 至少要 9 次 (11) 消失的 10 元 有 3 個人一同去住宿 每個人各出了 100 元去支付 300 元的住宿費 老闆收到錢以後想到當天有優惠 住宿費只需要 250 元就好了 就請小弟把 50 元退還給她們 小弟心想她們並不知道打折的事情 所以就偷偷把 20 元收起來 只退還給她們 30 元 3 個人各拿回了 10 元 題目： 3 個人各拿回 10 元表示她們各出了 90 元 3 x 90 = 270 另外還有小弟拿走的 20 元 270 + 20 = 290 你發現了嗎？ 300 - 290 = 10 少了 10 元 請問這個 10 元被誰拿走了？ 答案 3 x 90 = 270 絕對沒有問題 270 + 20 = 290 在這裡沒有意義 270 - 20 = 250 這個 250 才是她們住宿所花的錢 簡單的說 題目用加法是誤導 "減法"才對 講清楚一點： 270 + 20 = 290 計算上沒問題 但是這個 290 去跟 300 元比是沒有意義的

因為 300 中有 30 元已經順利退還給 3 人了 因此金額的總數就是 300 - 30 = 270 = 3 x 90 20 元則是包括在這個 270 之中的 當然不可以用加法加上去 (12) 一個人花 8 塊錢買了一只雞，9 塊錢賣掉了，然後 覺得不划算，花 10 塊錢又買回來了， 11 塊錢賣給 外一個人，問他賺了多少錢？ 答案 2 元 解釋 分開兩次計算就對了.每次賺一元.兩次就是 2 元 (13) 你能猜出這 3 組數字間有何種關係嗎? 提示 :每一組數字都有一個相同的條件. (1、3、7、8, ) (2、4、6, ) (5、9, ) 答案 1. 3. 7. 8 注音都是一聲 2. 4. 6. 注音都是四聲 5. 9 注音都是三聲 (14) 假設台灣 1 月 1 號看見太陽的機率是 70% 1 月 2 號看見太陽的機率是 50% 1 月 3 號看見太陽的機率是 10% 1 月 4 號看見太陽的機率是 80% 1 月 2 號下午 3 點小明位於高雄 請問他過了 35 個小時後看到太陽的機率是多少 答案 0% 解釋 因為過了 35 小時後便是 1 月 4 號的早上 2 點，早上 2 點哪來的太陽

15.以真值樹來證明下面命題為恆真.

(( P∧Q→~R)∧(R∨(S∧T))∧((P∧Q)∨(~P∧~Q))

解: 原命題

~((P∧Q→~R)∧(R∨(S∧T))∧((P∧Q)∨(~P∧~Q))∨(P

→P∧~S)

上式之否定

((P∧Q→~R)∧(R∨(S∧T))∧((P∧Q)∨(~P∧~Q))∧~(P→

~P∨~Q ∨~R

P∧~S

証上式為矛盾命題即可

記住 :

A ←→ B ~ ( A ←→ B )

／＼ ／＼

~A A A ~A

｜ ｜ ｜ ｜

~B B ~B B

例 4 : 以真值樹來判定下面的命題的真值情形 :

( P ←→ Q ) ←→ ( Q ←→ R )

解 :

／＼ P ←→ Q ~ ( P ←→ Q )

｜ ｜ Q ←→ R ~ ( Q ←→ R )

再將雙條件命題發展成真值樹 :

／｜｜＼ P ~P P ~P

｜ ｜ ｜ ｜

Q ~Q ~Q Q

／＼ ／＼ ／＼ ／＼

Q ~Q Q ~Q Q ~Q Q ~Q

｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜

R ~R R ~R ~R R ~R R

X X X X

例:已真值樹判定下面命題的真值情況:

((P→Q) P) →Q

解: ((P→Q) P) →Q ~((P→Q) P) Q

~(P→Q) ~P Q , 又 ~(P→Q)=P ~Q

(P ~Q) ~P Q

   P ~P Q

│ 

~Q

由樹枝(P,~Q)知(P,Q)的真值為(T,F)時,所予

命題真值為 T;由另二枝知,(P,Q)的真值為

(F,T)(F,F)及(T,T)時,所予命題均 T.

故此命題 恆真

註:(P,Q)有四種情形:(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)

均使原命題為 T . 故原命題恆真

組合 1是誰偷吃蛋糕趣味邏輯組合趣味邏輯組合2(例題9-7)至(例題 9-11)趣味邏輯題目11012邏輯與思考趣味邏輯 題目2趣味邏輯題目3邏輯真值樹1邏輯真值樹2邏輯真值樹3

小故事1有效論證推論法無須前題的論證小故事2