이정례 ●곽태근 ●이성진●김원배●김봉진 지음

총도비라.indd 1 2015-02-03 오후 12:07:56

창의적이고 융합적인 미래인재의 양성은 학의 교육목적이다. 수학적 창의성은 현 지

식정보화 사회에서 국가 경쟁력 향상과 미래 산업을 선도해 나갈 창의적 인재의 필수 요건

임을 누구도 부인하지 않는다. 또한 우리의 생활은 논리적 사고를 바탕으로 한 합리적 판단

을 끊임없이 요구한다. 수학은 마음 속에 존재하는 관념적 상을 다루는 학문이기 때문에,

우리의 지적인 사고 능력을 강화시키기 위해서 우리는 수학을 공부해야 한다. 이에 따라 논

리적 사고력과 합리적 문제해결력을 중요시하는 수학이 학교육의 근간이 되어 온 것이다.

수학의 활용, 특히 미분적분학의 활용 범위는 점차로 확 되어, 이제는 수학이 미치지 않

는 곳이 없다고 해도 과언이 아니다. 따라서 수학은 자연과학, 공학은 물론 사회과학을 전공

할 학생들에게도 필요한 학문이다. 하지만 안타깝게도 많은 학생들이 수학을 어렵게 느끼고

있다. 수학적 기초가 굳건하지 않으면 전공 공부에서 어려움에 부딪치게 될 것이다.

우리는 수학의 기초가 부족하다고 느끼는 학생들과 수학의 기초를 견고하게 공부하고 싶

은 학생들을 위하여 이 책을 세상에 내놓았다. 공학인증을 준비하는 공학도들과 자연과학을

전공할 학생들에게 수학적 기초를 제공하는 교재로 꾸미기 위하여, 우리는 엄밀성을 강조하

기보다는 수학적 개념을 이해하고 활용하는 데 중점을 두었다.

이 책의 주된 내용으로는, 먼저 함수의 극한과 연속에 관한 개념과 연속함수를 다루고, 삼

각함수, 지수함수와 로그함수를 소개하며, 미분적분학의 기초인 다항함수의 미분법과 적분

법을 중심으로 여러 가지 미분법과 적분법을 다룬다. 또한 미분과 적분의 다양한 활용을 다

룬다.

❙머리말

-iii-

이 책은 한 학기 강의에 적합하다. 이 책의 특징은 수학적 개념의 이해를 돕기 위해 쉬운

보기와 예제를 많이 다루었고, 폭넓은 이해를 위하여 연습문제를 많이 주었으며, 학생들의

편의를 돕고자 연습문제의 해답을 모두 제시하였다. 그래서 이 책은 고등학교 수준의 수학

을 다시 공부하고 학 수학을 위한 굳건한 초석이 될 것이며, 전공 공부를 위한 밑거름이

되어 줄 것이라 확신한다.

수학을 어렵고 지루하게만 느꼈던 학생들도 ‘나도 수학을 잘 할 수 있고, 수학 공부가 즐

거우며, 수학은 유익하다.’는 것을 깨닫기를 소망하면서, 이 책을 썼다. 하지만 수학에 한

애정과 노력이 없으면, 이 간절한 소망은 물거품이 될 것임을 명심해 주기 바란다.

끝으로 이 책의 출판을 맡아 주신 도서출판 교우사 여러분께 감사를 표한다.

2015년 1월

저자 일동

-iv-

제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속 ········································································ 1

1.1 함수와 역함수 ···································································································· 21.2 함수의 극한과 성질 ···························································································· 71.3 연속함수 ·········································································································· 121.4 삼각함수 ·········································································································· 161.5 지수함수와 로그함수 ······················································································· 24

제2장 여러 가지 미분법 ····························································································· 33

2.1 도함수 ············································································································ 342.2 다항함수의 미분법 ·························································································· 422.3 몫의 미분법 ···································································································· 472.4 합성함수의 미분법 ·························································································· 512.5 음함수의 미분법 ····························································································· 552.6 역함수의 미분법 ····························································································· 592.7 삼각함수 및 지수함수와 로그함수의 도함수 ···················································· 63

제3장 미분의 여러 가지 활용 ··················································································· 71

3.1 접선의 방정식 ································································································· 723.2 평균값 정리 ···································································································· 773.3 함수의 그래프 ································································································· 883.4 도함수의 활용 ································································································· 953.5 여러 가지 변화율 ··························································································· 101

❙차례

-v-

제4장 부정적분과 정적분 ························································································· 107

4.1 여러 가지 함수의 부정적분 ············································································ 1084.2 정적분의 정의 ······························································································· 1174.3 미적분학의 기본정리 ····················································································· 1224.4 정적분의 여러 가지 성질 ··············································································· 129

제5장 정적분과 넓이 및 부피 ················································································· 137

5.1 정적분과 넓이 ······························································································· 1385.2 정적분과 부피 ······························································································· 1455.3 곡선의 길이와 회전체의 겉넓이 ····································································· 1555.4 정적분과 속도 ································································································ 162

제6장 여러 가지 적분법 ··························································································· 167

6.1 치환적분법과 부분적분법 ·············································································· 1686.2 복잡한 삼각함수의 적분 방법 ········································································ 1756.3 분수함수의 적분 방법 ···················································································· 182

￭ 연습문제 해답 / 187￭ 찾아보기 / 200

-vi-

우리의 생활과 자연 속에는 연속적으로 변화하는 현상이 많다. 이러한 현상을 이해하기

위하여 연속함수의 성질이 이용되며, 함수의 극한과 연속은 생활과 자연뿐 아니라 앞으로

배우게 될 미분과 적분에서도 필수적이다.

이 장에서는 미적분학의 중요한 개념인 함수의 극한과 연속에 대하여 공부한다. 먼저 실

수와 함수의 기본 개념들을 배우고, 함수의 극한과 연속성을 다룬다. 또한 삼각함수, 지

수함수와 로그함수를 정의하고, 그들의 극한을 다룬다.

1.1 함수와 역함수

1.2 함수의 극한과 성질

1.3 연속함수

1.4 삼각함수

1.5 지수함수와 로그함수

제1장

여러 가지 함수의 극한과 연속

2 제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속

1.1 함수와 역함수

미적분학에서 다루는 함수들은 부분 실수에서 정의된다.

자연수 전체의 집합을 ℕ, 정수 전체의 집합은 ℤ, 유리수 전체의 집합은 ℚ, 그리고 실수

전체의 집합은 ℝ로 나타낼 때, 이들 집합 사이의 포함관계는 다음과 같다.

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ실수의 집합은 덧셈과 곱셈이 잘 정의되고 사칙계산이 가능하도록 하는 체(field)의 구조

를 갖는다. 또 실수의 집합은 소관계( )로 표현되는 순서(order)의 구조를 갖고

있다. 이 두 가지 성질은 유리수 집합에서도 성립하는 데, 유리수의 집합과 실수의 집합을

구별하는 중요한 실수만의 성질은 바로 실수의 완비성(completeness)이다.

이것을 직관적으로 말하면 실수를 연속적으로 늘어놓을 수 있다는 성질이며, 이러한 성질

때문에 실수의 집합을 연속성을 갖는 직선 위의 점들과 일 일 응시킨 실직선(real line)으

로 이해할 수 있는 것이다. 실수의 완비성은 미분적분학의 기초인 극한개념과 연관되어 있다.

참고 ℝ ∞ ∞이고, ∈ℝ∣＜ ≤ 또는

∈ℝ∣≤ ＜는 반닫힌 구간 또는 반열린 구간이라 한다.

한편 실수 에 하여 의 절댓값(absolute value) 는 다음과 같이 정의된다.

≥ ＜

열린 구간과 닫힌 구간

열린 구간(open interval):

∈ℝ∣＜＜, ∞ ∈ℝ∣＜,

∞ ∈ℝ∣＞ 닫힌 구간(closed interval):

∈ℝ∣≤ ≤ ,∞ ∈ℝ∣ ≤ ,

∞ ∈ℝ∣ ≥

1.1 함수와 역함수 3

예제 1 임의의 두 실수 에 하여 다음 삼각부등식이 성립함을 보여라.

≤

풀이 ≤ 이고 ≤ 이므로 ≤ 이다.

같은 방법으로 ≤ 이고 ≤ 이므로 ≤ 이다.

따라서 절댓값의 정의에 의하여 ≤ 이다. ■

공집합이 아닌, 실수의 두 부분집합 와 에 하여, 집합 의 각 원소 에 집합 의 단

하나의 원소 가 응되는 응규칙 를 에서 로의 함수(function)라 하고, →

로 나타낸다. 이때 를 함수 의 정의역(domain), 를 함수 의 공변역(codomain)이라 하

며, 또 를 에 의한 의 함숫값(value) 또는 상(image)이라 하고, 로 나타낸다. 정의

역의 모든 에 하여 의 집합을 함수 의 치역(range)이라 한다.

일반적으로 함수 →의 정의역은 가 정의되는 모든 실수 의 집합이다. 예

를 들면 함수

→

는 음이 아닌 모든 실수 에 해서만 정의되므로 함수 의 정의역 는 ∈ ℝ ≥ 이다.

집합 D에서 정의된 두 함수 와 가 모든 ∈에 하여 일 때, 두 함수 와

는 서로 같다고 하며, 로 나타낸다.

함수 →에 하여, 일 때, 를 위로(onto)의 함수라고 하며, ≠

∈ 이면 ≠ 일 때, 를 일대일함수(one-to-one)라고 한다. 그리고

가 전사인 동시에 단사일 때, 를 일대일대응(one-to-one correspondence)이라고 한다. 그

리고 모든 ∈에 하여 인 함수를 항등함수(identity function)라고 하며 또

는 로 나타내고, 모든 ∈에 하여 (단, 는 상수)인 함수를 상수함수

(constant function)라 한다.

4 제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속

예제 2 다음 함수 ℝ→ℝ중에서 위로의 함수, 일 일함수, 일 일 응, 항등함수, 상

수함수를 찾아라.

(1) (2)

(3) (4)

풀이 위로의 함수 : (1), (2), (3)

일 일함수 : (1), (2)

일 일 응 : (1), (2)

항등함수 : (1)

상수함수 : (5) ■

두 함수 가 주어졌을 때 함숫값 에서 함수 가 정의되면, 가 정의된다.

이때 실수 에 하여 를 응시키는 함수를 와 의 합성함수(composition func-

tion)라 하고 ∘ 로 나타낸다. 즉 ∘ 이다.

예제 3 두 함수 에 하여 ∘ 와 ∘ 를 각각 구하라.

풀이 ∘ ,

∘

■

함수 → 가 일 일 응이거나 또는 증가(감소)하는 일 일함수이면, 임의의 ∈

에 하여 가 되는 ∈가 오직 하나 존재하므로 이 응을 → 로 나타

내고, 의 역함수(inverse function)라 한다.

역함수

⇔

1.1 함수와 역함수 5

함수 의 그래프와 역함수 의 그래프는 직선 에 하여 칭

이다.

보기

함수 ∈ℝ 는 일 일 응이므로 역함수가 존재한다.

에서 , 즉 이므로 역함수는 다음과 같다.

예제 4 다음 함수의 역함수를 구하라.

(1) ∈ ℝ (2) ≤

풀이 (1) 함수 ∈은 에서 로의 일 일 응이다.

에서 , 즉 이므로 역함수는

∈이다.

(2) 함수 ≤ 의 정의역은

∈ ≤ 이고 치역은 ∈ ≥ 이므로, 이 함

수는 에서 로의 일 일 응이다.

에서 , 즉 이다.

에서 ≥ 이고 ≤ 이므로 역함수는

, 즉 이다. ■

6 제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속

연습문제 1.1

1. 다음 함수의 정의역과 치역을 각각 구하라.

(1) (2)

2. 다음 함수 → 중 위로의 함수, 일 일함수, 일 일 응을 찾아라.

(1) 단 ℝ ℝ (2) 단 ℝ ≥ (3) 단 ≤ ≤ (4)

단 ℝ

3. 두 함수 에 하여, ∘ 와 ∘ 를 각각 구하라.

4. 다음 함수의 역함수를 구하라.

(1) ≥

(2) ∈ℝ

1.2 함수의 극한과 성질 7

1.2 함수의 극한과 성질

실수 를 포함하는 열린 구간을 의 근방(neighborhood)이라 한다. 다음은 함수의 극한

값에 관한 정의이다.

정의 1.1 함수의 극한값

함수 가 가 제외된 의 근방의 모든 점에서 정의되어 있다고 하자.

가 에 한없이 가까워질 때 가 에 한없이 가까워지면, 을 에서

의 극한값이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.

lim→

여기서 가 에 한없이 가까이 가는 방법은 가 보다 작은 쪽에서 에 한없이 가까이

가는 방법과 보다 큰 쪽에서 에 한없이 가까이 가는 방법이 있다. 이때의 극한값을 각각

좌극한, 우극한이라 하고, lim→ lim→

와 같이 나타낸다.

보기

(1) lim→ (단, 는 상수)이고, lim

→ 이다.

(2) 함수 에서 가 에 한없이 가까워질 때, 가 3에 한없이 가까워지므

로 lim→ 이다.

(3) 함수

＜ ≥

에서 가 보다 작을 때에는 이므로 lim→ 이다.

또한 가 보다 클 때에는 이므로 lim→ 이다.

8 제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속

함수 가 가 제외된 의 근방에 있는 모든 점에서 정의되었다고 하자.

가 에 한없이 가까이 갈 때 가 한없이 커지면 lim→ ∞로 나타내고,

가 한없이 작아지면 lim→ ∞로 나타낸다.

또 가 한없이 커질 때 가 에 한없이 가까이 가면 lim→∞ 로 나타내고,

가 한없이 작아질 때 가 에 한없이 가까이 가면 lim→ ∞

로 나타낸다.

같은 방법으로 다음 극한들도 정의된다.

lim→∞ ∞ , lim

→∞ ∞ , lim

→ ∞ ∞ , lim

→ ∞ ∞

보기

(1) 함수

의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 다음

을 얻는다.

lim→ ∞ , lim

→∞ ,

lim→∞ , lim

→ ∞

(2) 함수

의 그래프와 함수

의 그래프로부터 다음이 성립함을 알

수 있다.

lim→ ∞ , lim

→ ∞ ,

lim→∞ , lim

→ ∞

함수 에서 우극한 lim→ 와 좌극한 lim

→ 가 모두 존재하고 서로 같으면 극한

값 lim→ 가 존재한다. 또 그 역도 성립한다.

1.2 함수의 극한과 성질 9

다음은 를 포함하는 적당한 열린 구간에서 정의된 함수 의 극한 lim→ 에 한 엄밀

한 수학적 정의이다.

정의 1.2 lim→ 의 엄밀한 정의

임의의 ＞ 이 주어졌을 때,

lim→ ⇔ ＜ ＜

를 만족하는 모든 에 하여 ＜이 성립하는 ＞ 가 존재한다.

위의 정의를 이용하여 극한값을 구하는 것은 매우 힘든 일이다. 하지만, 엄밀한 정의에 의

하여 증명된 다음 극한의 성질들을 이용하면 극한값을 쉽게 구할 수 있다.

정리 1.3 함수의 극한에 대한 성질

lim→와 lim

→가 존재할 때, 다음이 성립한다.

① lim→± lim

→± lim

→ (단, 복부호 동순)

② lim→ lim

→ (단, 는 상수)

③ lim→ lim

→⋅lim

→

④ lim→

lim→

lim→

단 lim→ ≠

참고 위의 성질은 → → →∞ →∞일 때에도 성립한다.

우극한과 좌극한, 극한값

lim→ lim

→ ⇔ lim

→

10 제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속

보기

lim→ lim

→ lim

→ ×

lim→ lim→ lim→

다음은 함수의 극한을 구할 때에 편리하게 이용되는 성질이다.

정리 1.4 함수의 극한의 대소관계

lim→ , lim

→ 일 때, 의 근방에 있는 모든 에 하여

① ≤ 이면 ≤

② ≤ ≤ 이고, 이면 lim→

참고 ≤ ≤ 이므로 lim→ 이면 lim

→ 이다.

1.2 함수의 극한과 성질 11

연습문제 1.2

1. 다음 극한값을 구하라.

(1) lim→ (2) lim

→

(3) lim→

(4) lim→

2. 다음 극한값을 구하라. (단, 는 보다 크지 않은 최 정수이다.)

(1) lim→

(2) lim→

3. 다음 극한이 존재하면 구하라.

(1) lim→ (2) lim

→

4. 다음 극한을 조사하라.

(1) lim→∞ (2) lim

→

5. 프랑스의 과학자 샤를은 압력이 일정할 때 기체의 부피는 기체의 종류에 상관없이 절

온도에 비례한다는 샤를의 법칙을 발견하였다. 온도가 ℃일 때의 기체의 부피 는 다

음과 같다.

(단, 는 ℃일 때의 기체의 부피이다.)

(1) 극한값 lim→

를 구하라.

(2) (1)을 이용하여, 기체의 부피가 0인 절 온도 °가 되는 온도(℃ )를 말하라.

12 제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속

1.3 연속함수

함수가 연속이라는 것은 그 함수의 그래프가 연결되어 있다는 것을 의미하며, 함수의 연

속성은 함수의 극한을 이용하여 다음과 같이 정의된다.

정의 1.5 함수의 연속과 연속함수

함수 가 의 근방에서 정의되어 있다고 하자. 이때

lim→

를 만족하면 함수 는 에서 연속이라고 한다.

또 함수 가 정의역의 모든 에서 연속일 때, 를 연속함수라고 한다.

두 함수 , 가 연속함수일 때,

±, 단 는 상수 , ,

단 는 모두 연속함수이다. 따라서 다항함수는 연속함수이고, 두 다항식의 몫인 분수함수는 분

모가 0이 아닌 모든 에서 연속이다.

정리 1.6 합성함수의 연속성

두 함수 에 하여 lim→ 이고, 가 에서 연속이면

lim→ lim

→ .

즉, 가 에서 연속이고 가 에서 연속이면, ∘ 는 에서 연속이다.

참고 함수 →ℝ에서

가 에서 연속이라는 것은 lim→ 가 성립할 때이고,

가 에서 연속이라는 것은 lim→ 가 성립할 때를 말한다.

1.3 연속함수 13

보기

함수 은 다항함수 과 무리함수 의 합성함수이

다. 그런데 다항함수와 무리함수는 모두 연속이므로 함수

∘

도 연속이다.

닫힌 구간에서 연속인 함수에 하여 다음의 최댓값⋅최솟값 정리가 성립한다.

정리 1.7 최댓값․최솟값 정리

함수 가 닫힌 구간 에서 연속이면, 는 이 구간에서 반드시 최댓값과

최솟값을 가진다.

보기

닫힌 구간 에서 연속인 함수 의 치역은 이므로 함수 의

최댓값은 일 때 이고, 최솟값은 일 때 이다.

또한 함수 가 닫힌 구간 에서 연속이면 함수 의 그래프는 그 구간에서

이어져 있다.

그러므로 ≠ 이면 와 사이의 임의의 값 에 하여 직선 과 함

수 의 그래프는 적어도 한 점에서 만난다. 이것을 중간값 정리라고 한다.

정리 1.8 중간값 정리

함수 가 닫힌 구간 에서 연속이고 ≠ 이면, 와 사이의

임의의 값 에 하여 인 가 열린 구간 에 적어도 하나 존재한다.

14 제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속

중간값의 정리에 의하여 함수 가 닫힌 구간 에서 연속이고 와 의 부

호가 서로 다르면, 은 와 사이의 값이므로 인 가 와 사이에 적어도

하나 존재한다.

예제 4 방정식 은 열린 구간 에서 적어도 하나의 실근을 가

짐을 보여라.

풀이 이라 놓으면 함수 는 실수 전체에서 연속이

므로 닫힌 구간 에서도 연속이다.

이때 이고 이다.

따라서 이므로 중간값 정리에 의해 이 되는

가 열린 구간 에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식

은 열린 구간 에서 적어도 하나의 실근을 가

진다. ■

중간값 정리와 방정식의 실근

함수 가 닫힌 구간 에서 연속이고 이면, 방정식 은 열

린 구간 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

1.3 연속함수 15

연습문제 1.3

1. 다음 함수 의 그래프를 보고 에서의 연속성을 조사하라.

(1) (2) (3)

2. 다음 함수는 주어진 점에서 연속성을 조사하라.

(1)

(2)

(3)

⋯

(4)

3. 다음 함수가 연속인 구간을 모두 구하라.

(1) (2)

4. 중간값의 정리를 이용하여 다음 방정식이 주어진 열린 구간에서 적어도 하나의 실근을

가짐을 보여라.

(1) , (2) ,

16 제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속

1.4 삼각함수

직각삼각형에서 정의된 삼각비는 실수 전체의 집합에서

정의되는 삼각함수로 확장된다. 반지름의 길이가 인 원

에서 길이가 인 호 AB의 중심각의 크기 °

≒°를

라디안(radian)이라 하고, 이것을 단위로 각의 크기를 나타내

는 방법을 호도법이라 한다.

그림과 같이 , 로 이루어진 ∠의 크기는

가 고정된 에서 시작하여 점 를 중심으로 회전한 양이

다. 이때 를 시초선, 를 동경이라고 한다.

동경 가 반시계 방향으로 돌 때는 양의 방향, 시계방향

으로 돌 때는 음의 방향이다.

일반적으로 시초선이 인 ∠의 크기 중 하나를 라 할 때, 동경 가 나타내는

일반각은 호도법으로 (단, 는 정수) 로 나타낼 수 있다.

다음 그림과 같이 좌표평면에서 시초선이 양의 축, 중심

이 원점 , 반지름의 길이가 인 원에 하여 각의 크기

를 정하고, 를 나타내는 동경이 원 와 만나는 점을

라 하자.

이때 에 한 삼각함수는 다음과 같이 정의된다.

육십분법과 호도법 사이의 관계

라디안 ° , °

라디안

1.4 삼각함수 17

좌표평면에서 삼각함수의 그래프를 그릴 때에는 보통 독립변수는 신 (라디안)을 사

용하고, 종속변수는 를 사용한다.

삼각함수의 그래프를 이용하면 삼각함수를 포함하고 있는 간단한 방정식과 부등식의 해

를 구할 수 있다.

삼각함수의 정의

sin , csc

(단, ≠ ),

cos , sec

(단, ≠),

tan (단, ≠), cot

(단, ≠ )

18 제1장 여러 가지 함수의 극한과 연속

보기

(1) 방정식 (단, ≤ )을 풀어 보자.

에서

이므로, 함수 의 그래프와 직선

의 교점의 좌표가 구하는 해이다. 따라서 ≤ 이므로 구하는 해는 또는

이다.

(2) 부등식 (단, ≤ )을 풀어 보자.

에서

이므로, 함수 의 그래프가 직선

보다 아

래쪽에 있는 부분의 의 값의 범위가 구하는 해이다.

따라서 ≤ 이므로 구하는 해는

이다.

예제 1 다음 방정식 또는 부등식을 풀어라. (단, ≤ )

(1) (2)

풀이 (1) 에서

이므로, 함수 의 그래

프와 직선

의 교점의 좌표가 구하는 해이다.

따라서 ≤ 이므로 구하는 해는 또는

이다.

(2) 이므로 함수 의 그래프가 직선 보다 아

래쪽에 있는 부분의 의 값의 범위가 구하는 해이다.

따라서 ≤ 이므로 구하는 해는 ≤ 또는

또는 이다. ■

삼각함수 사이의 관계와 여러 가지 공식을 소개하면 다음과 같다.