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Formulário de Sistemas e Sinais (07022007 12:35) Edição: MelgaBytes Colaboração especial: Tako, Vador
Gráficos Ordem das operações sobre gráficos:
1. Translação 2. Mudança de sinal e escala
Funções Paridade
Formulas Euler
cos( ) sin( ) j e j Propriedades dos sistemas
Com memória A saída depende da entrada desse instante e/ou de instantes passados e/ou futuros.
Invariante no tempo
Linear
Causal (não antecipativo) A saída depende apenas da entrada desse instante e/ou de instantes passados.
Estável Entradas limitadas produzem saídas limitadas.
Máquinas de Estados
Definição
Composição Para a composição em retroacção ser bem formada cada estado alcançável deve ter um só ponto fixo. Ponto fixo: saída é igual à entrada.
Ver se A é bem formada: a saída de A depende do estado (em cada estado a saída é igual para cada entrada) se não depender não se pode concluir nada. se a máquina A for não determinística a composição não é bem formada
Os estados da máquina composta são os estados com 1 ponto fixo.
Equação de Estado
Equação de Saída
> 1 sistema instável
Modelo de Espaço de estados
N: nº de estados; M: nº de entradas; K: nº de saídas Resposta impulsiva
Nota:
Para condições Nulas podese:
Estabilidade
Estável Instável
convergente divergente
Causalidade
Se para então o sistema é causal.
Convolução
Discreto:
Continuo:
Função delta de Kronecker Função escalão unitário
Séries
Finita Infinita
Parcial
Serie de Fourier Geral trocar n por t caso continua
Série Fourier Continua Série Fourier discreta (DFS)
0
1
( ) p
jk n k
k
x n X e
Coeficientes da série de Fourier
Sinal contínuo Sinal discreto (DFT)
Exemplos
A B
Propriedades dos coeficientes
Resposta do sistema / Relação entre os coeficientes de entrada(Xk) e saída(Yk)
Resposta em frequência (H)
(Ver tabela auxiliar de transformação de sinal em frequência) Propriedades dos coeficientes
(Ver tabela auxiliar nº 4) Série de Fourier
Transf. de Fourier Discreta (DTFT)
Transf. de Fourier Continua (CTFT)
Inversa
Ver form. para
Inversa
Transformada de Fourier de sinais periódicos
Composição de máquinas
Ligação em cascata: Ligação em paralelo:
Ligação com retroacção:
Filtragem Filtro com resposta em frequência:
unitária e constante Passa tudo < 1 Passa baixos 1 Passa altos
Exercícios resolvidos
Caracterização de Sistemas
com memória Só depende de instantes passados. é causal
, é estável (por causa A+1)
não é linear é
invariante Máquinas de estados
Resolução:
Assumpções:
Definição da máquina composta:
Exemplo da descrição de uma máquina de estados:
A máquina C é determinística? Apresente a relação de Comportamentos de C.
Resolução A máquina C é determinística porque cada par (estado actual, entrada actual) é mapeado num único elemento (estado seguinte).
Comportamentos_C = (x , y) | y = saídas_C (s , x ) , i.e., os comportamentos da máquina C é o conjunto constituído por todas a sequências possíveis dos pares (entrada , saida).
Comportamentos_C = [(reage , 1) , (reage , 0) , (reage , 1) ,
Coeficientes da série de Fourier Considere o seguinte sinal periódico x(t) . Determine os coeficientes da série de Fourier para o sinal x(t) .
Resolução:
Aplicase a formula de Euler:
Considere um sinal periódico x(t) com período 4. Sabendo que os coeficientes da série de Fourier são dados por
determine e esboce o sinal x(t). Resolução:
Considere os coeficientes da Série de Fourier representados na forma de exponenciais:
.
Sabendo que o sinal é periódico com período 8 determine o sinal x(n).
Resolução:
Considere um SLIT causal cuja entrada x(t) e saída y(t) estão relacionadas através da equação diferencial
.
Determine a resposta do sistema ao sinal de entrada .
Resolução:
Considerando que o sinal w(t) periódico, com período T=4, tem coef. da série de Fourier bk , relacioneos com os coef. da série de Fourier ck de y(t) , sabendo que y(t) = w(2 t+1) .
Resolução:
Considere um SLIT causal cuja entrada x(n) e saída y(n) estão relacionadas através da equação às diferenças
Determine a representação em série de Fourier da saída y(n) para a entrada .
Resolução:
0
( 1)
1 1 4
1 1 4
2 2 2
2 2 2
. ( )
1 1 ( ). ( ). ( ) 2 1 1 2 1 2 1
8 2 1 1 2 1 2 1
8 2 1 1 2 1 2 1 2 . 8 1 1 2
1 2 1 2 . 8 1 1 2
k k
j n j n j n
j
j
j
j
j
b a H k
H e H e e H e
b a H e
b a H e
b a H j e
b a H j e
Filtragem Considere que a resposta em frequência de um filtro é dada por
Se colocarmos na entrada um sinal ,
em que e determine o sinal que obtém
na saída. Resolução
Considere que um SLIT com resposta impulsiva é ligado em paralelo com outro SLIT
causal com resposta impulsiva h2(n) . A ligação em paralelo resultante tem a resposta em frequência H( ) seguinte. Determine h2(n).
Resolução:
Transformada de Fourier Sabendo que o sinal x(t) tem Transformada de Fourier X ( ), relacione a Transformada de Fourier de y(t) = x(3 t) + x( 2 t) com X ( ).
Resolução:
Resposta Impulsiva
Considere um SLIT estável e causal. Neste caso bastanos um par entrada/saída para determinar a resposta em frequência do sistema. Considere que ao colocarmos na entrada do sistema o sinal obtemos na saída
. Determine a resposta impulsiva do sistema.
Resolução
Logo
Varios Usando as definições, calcule a CTFT do seguinte sinal
Resolução
Se x(t) for amostrado a uma frequência de 4000 Hz, qual das seguintes frequências pertence ao espectro do sinal amostrado: 2400Hz, 4000Hz, 3.6MHz ?
Resolução A componente contínua 5, a amplitude 8 e o desfasamento 7 são irrelevantes para esta resolução. A frequência do sinal (f=2/w) é de 800 Hz. Se o sinal for amostrado a 4000 Hz surgem réplicas do sinal nas frequências: 4000 800, 2x4000 800, 3x4000 800, ... Assim, as primeiras réplicas do sinal estarão em 4000 800 = 3200 Hz e 4000+800 = 4800 Hz. Em 4500 Hz e 3.6 MHz não há replicas do sinal uma vez que não são soluções de 4500800fk . A resposta é portanto nenhuma. 2400 Hz poderá parecer uma réplica (2400 = 40001600) mas atenção que a frequência do sinal é de 800 e não 1600 Hz.