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상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART1.� 평면도형 - 다각형
다각형과 각
1)� 볼록 n 각형의 대각선 총수 :�n (n-3)
2
0개 2개 5개 9개
2)�삼각형의 내각과 외각 : 내각의 총합 180°, 외각의 총합 360°
180°
180°
180°180°α
βα+β
3)� n 각형의 내각의 총합 : ( n -2)× 180°
n 각형의 외각의 총합 : 360°
삼각형과 사각형의 정의
1)� 삼각형의 변의 길이에 대한 조건
세 변 a, b, c 를 갖는 삼각형에서 a 가 최대 변일 때,
a, b, c > 0이고 a < b+c (세 변 중 어느 것이 최대 변
인지 모를 때는 a < b+c, b < c+a, c < a+b를 모두
확인하여야 한다.)
2)� 삼각형의 분류
① 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형
➡ a = b 또는 b= c 또는 c= a
② 정삼각형 : 세 변의 길이가 같은 삼각형
➡ a = b= c
③ 직각삼각형 : 한 내각의 크기가 직각인 삼각형
➡ a 2= b2+c 2 (a 가 최대 변일 때 )
④ 예각삼각형 : 세 내각의 크기가 모두 예각인 삼각형
➡ a 2 < b2+c 2 (a 가 최대 변일 때 )
⑤ 둔각삼각형 : 한 내각의 크기가 둔각인 삼각형
➡ a 2 > b2+c 2 (a 가 최대 변일 때 )
삼각형
예각 삼각형 직각 삼각형 둔각 삼각형
이등변 삼각형
정삼각형
3)� 사각형의 분류
① 사다리꼴 : 한 쌍의 대변이 평행한 사각형
② 평행사변형 : 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형
③ 직사각형 : 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형
④ 마 름 모 : 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
⑤ 정사각형 : 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의
크기가 모두 같은 사각형
사각형
사다리꼴평행사변형
직사각형 마름모
정사각형
꼭짓점의 개수
한 꼭짓점에서 그을수 있는 대각선의 수
중복처리
합 : n × 180°
분할된 삼각형의 개수
2
상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART1.� 평면도형 - 다각형
삼각형의 오심
1)� 무게중심
① 세 중선의 교점
② 삼각형 넓이 6등분
A
B CD
F ES 1 GS 2
S 1S 3 S 3
S 2
△ABC 에서 세 중선 AD, BE, CF 의 교점을 무게
중심 G 라 할 때,
(△AGF 의 넓이 )= (△BGF 의 넓이 )= S 1
(△AGE 의 넓이 )= (△CGE 의 넓이 )= S 2
(△BGD 의 넓이 )= (△CGD 의 넓이 )= S 3라 할 때
밑변의 길이가 같고 꼭짓점 G를 공유하므로 수직높이도 같다.
(△ABD 의 넓이 )= (△ACD 의 넓이 )에서
2S 1+S 3= 2S 2+S 3 ∴ S 1=S 2
(△BAE 의 넓이 )= (△BCE 의 넓이 )에서
2S 1+S 2= 2S 3+S 2 ∴ S 1=S 3
③ 중선의 2 : 1 내분점
위의 그림에서 S 1=S 2=S 3이므로 △ABD 에서
BG 로 분할된 △ABG 와 △DBG 의 넓이의 비는
2 : 1이다. 따라서 AG : GD = 2 : 1이다. 마찬가지
방법으로 BG : GE= 2 : 1, CG : GF= 2 : 1임을
알 수 있다.
2k
k
무게중심
A
B C
2)� 외심
① 외접원의 중심
② 외심에서 삼각형의 각 꼭짓점까지의 거리 같다.
A
B CO
③ 세 변의 수직이등분선의 교점
위의 그림에서 △AOC 는 이등변삼각형이므로 점 O 에
서 AC 에 내린 수선의 발은 AC 의 중점이 된다. 역으
로 AC 의 수직이등분선 위에 점 O 가 존재한다. 마찬
가지 방법으로 AB 의 수직이등분선 위에 점 O 가 존재
하고, BC 의 수직이등분선 위에 점 O 가 존재한다.
외심
A
B C
④ 직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이다.
3
상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART1.� 평면도형 - 다각형
3)� 내심
① 내접원의 중심
② 내심에서 각 변에 내린 수선의 길이 같다.
A
F E
DB C
③ 세 내각의 이등분선의 교점
위의 그림에서 △BIF 와 △BID 는 합동이다.
(∵ BI공통, IF= ID, ∠F=∠D=90°이므로
RHS 합동)
따라서 대응각인 ∠IBF와 ∠IBD는 같으므로 BI 는
∠FBD 의 이등분선이다.
마찬가지 방법으로 AI 는 ∠FAE의 이등분선, CI 는
∠ECD의 이등분선이다.
내심
A
B C
④ (△ABC 의 넓이 )=12⋅(AB + BC+ CA )⋅r
(단, r 은 내접원의 반지름)
4)� 수심 : ① 꼭짓점에서 대변에 내린 세 수선의 교점
수심
A
FE
DB C
② BC 를 지름으로 하는 원은 점 E, F 를 지난다.
5)� 방심 : ① 방접원의 중심, 한 내각과 두 외각의 이등분선의
교점, 3개 존재
방심
A
B C
D E
② (△ABC 의 둘레 )= AD+ AE
4
상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART1.� 평면도형 - 다각형
삼각형의 합동조건
1)� 삼각형의 합동조건
① 대응하는 세 변의 길이가 같다. ( SSS 합동)
A
B
C
A'
B'
C'
② 대응하는 두 변의 길이와 그 사잇각의 크기가 같다.
( SAS 합동)
A
B
C
A'
B'
C'
③ 대응하는 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 같다.
( ASA 합동)
A
B
C
A'
B'
C'
2)� 직각삼각형의 합동조건
① 빗변의 길이와 직각이 아닌 나머지 한 내각의 크기가 같다.
( RHA 합동)
A'
B' C'
A
B C
② 빗변의 길이와 나머지 한 변의 길이가 같다. ( RHS 합동)
A'
B' C'
A
B C
3)� 합동조건의 의미
삼각형의 6요소(변 3개, 각 3개) 중 3개의 요소만으로도
삼각형이 유일하게 결정된다.
삼각형의 닮음조건
1)� 삼각형의 닮음조건
① 대응하는 세 변의 길이의 비가 같다. ( SSS 닮음)
② 대응하는 두 변의 길이의 비와 그 사잇각의 크기가 같다.
( SAS 닮음)
③ 대응하는 두 각의 크기가 같다. ( AA 닮음)
2)� 중점 연결정리
△ABC 에서 AB, AC 의 중점을 각각 D, E 라 하면
① DEꁚBC, 2DE= BC
② 점 D 를 지나 BC 에 평행한 직선은 점 E 를 지난다.
A
D E
B C
A
D E
B C
( SAS 닮음) ( AA 닮음)
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상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART1.� 평면도형 - 다각형
평행
1)� 평행선의 성질
① 동위각의 크기가 같다.
② 엇각의 크기가 같다.
β
α
e
m
(α+β=180°)
2)� 닮음을 이용한 비례관계
A
B C
D E
B C
A
ED
△ABC 와 △ADE 는 AA 닮음이므로
ABAD
=ACAE
=BCDE
3)� 넓이 일정
AA'
B C
(△ABC 의 넓이) = (△A'BC 의 넓이)
중점
1)� 이등변삼각형의 성질
① AB= AC 인 △ABC 에서 AD 가 중선 ( BC 의 중
점이 D )일 때 AD⊥ BC이다.
(∵ △ABD 와 △ACD 가 SSS 합동 )
② 역으로 점 A 에서 BC 에 내린 수선의 발을 D 라 할
때 점 D 는 BC 의 중점이 된다.
(∵ △ABD 와 △ACD 가 RHS 합동 )
A
B C
D
A
B C
D
2)� 평행사변형의 성질
ABꁚCD, BCꁚAD 인 평행사변형 ABCD 에서 두 대
각선의 교점을 P라 할 때 점 P는 AC 의 중점이자 BD
의 중점이다. (∵ △ABP와 △CDP가 ASA 합동 )
A D
B C
P
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상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART1.� 평면도형 - 다각형
3)� 파푸스의 중선정리
a
c c
db
a 2+b2=2(c 2+d 2)
A
B CH D
△ABC 에서 BC 의 중점이 D 일 때,
점 A 에서 BC 에 내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH에서 AB2= AH
2+ BH
2 ⋯⋯ ㉠
△ACH에서 AC2= AH
2+ CH
2 ⋯⋯ ㉡
△ADH에서 AH2= AD
2- DH
2 ⋯⋯ ㉢
㉠+㉡에서 AB2+ AC
2=2 AH
2+ BH
2+ CH
2
㉢을 대입하면
AB2+ AC
2
=2( AD2- DH
2)+ BH
2+ CH
2
=2 AD2+( BH
2- DH
2)+ ( CH
2- DH
2)
= 2 AD2+ BD⋅( BH- DH )+ BD⋅( CH+ PH)
= 2 AD2+ BD⋅BC
= 2 AD2+2 BD
2
수선/직각
1)� 한 꼭짓점을 공유하는 삼각형의 넓이 비
S 1 S 2
m n
높이 일정
S 1 : S 2=m : n
2)� 피타고라스의 정리
① a 가 빗변일 때, a 2= b2+c 2
b
c
b
c b
ca
a
c
b
② 역으로 a 2= b2+c 2일 때, a 가 빗변인 직각삼각형
3)� 특수한 직각삼각형과 삼각비
① 30°
60°
aa
32
a
12a
12a
②
2a a
a45°
(정삼각형) (정사각형)
sin 30°=12
sin 60°=32
sin 45°=12
cos 30°=32
cos 60°=12
cos 45°=12
tan 30°=13
tan 60°= 3 tan 45°=1
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상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART1.� 평면도형 - 다각형
4)� 직각삼각형의 닮음
△ABC ꁀ△DAC ꁀ△DBA 로부터
① AD2= BD × CD
② BA2= BD × BC, CA
2= CD × CB
DB C
A
5)� 삼각형의 넓이
b
a
θ
bsinθ S=12absinθ
6)� 마름모의 성질 : 두 대각선이 서로 수직이등분
각의 이등분선
1)� 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점은 내심
2)� 비례관계
A
D
x y
m nB C
x : y=m : n
△ABC 에서 각 A 의 이등분선이 BC 와 만나는 점을
D 라 하자.
△ABD 의 넓이를 S 1, △ACD 의 넓이를 S 2 라 하면
S 1 : S 2=m : n
AD = z, ∠BAD=∠CAD=θ라 하면
S 1=12xzsinθ, S 2=
12yzsinθ이므로
S 1 : S 2=x : y
3)� 삼각형의 넓이
θ θx y
z
m n
12xzsinθ+
12yzsinθ=
12xysin2θ
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상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART2.� 평면도형 - 원
원과 부채꼴
1)� 원의 둘레와 넓이
원의 반지름의 길이가 r 일 때
① 원의 둘레 : 2πr
② 원의 넓이 : πr 2
2)� 중심각과 호의 길이와 부채꼴의 넓이
① 중심각 ∝호의 길이 ∝부채꼴의 넓이(비례관계)
θ
2θ
2S
S
3S
3θ
3l
l
2l
반지름의 길이 r , 중심각의 크기가 θ인 부채꼴에서
호의 길이 l= 2πr ×θ
360°
부채꼴의 넓이 S= πr 2× θ360°
② 중심각과 현의 길이는 비례하지 않음
③ 활꼴의 넓이
r
θ πr 2× θ
360°-
12r 2sinθ
(부채꼴) (삼각형)
3)� 중심각과 원주각의 관계
① 한 호에 대한 원주각의 크기는 항상 일정하며, 그 호에
대한 중심각의 크기의 12
과 같다.
2θ
θ
θ
② 지름에 대한 원주각의 크기는 90° 이다. 역으로 직각삼
각형이 주어질 때, 외접원의 중심은 빗변의 중점이다.
③ 원 위의 점 P, 외부의 점 Q, 내부의 점 R 에 대하여
∠AQB (외부각) < ∠APB (원주각) < ∠ARB (내부각)
A B
R
P''
P'
P Q
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상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART2.� 평면도형 - 원
원과 현
1)� 원의 중심과 현
① 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다.
( ∵ △OAH와 △OBH가 RHS 합동)
A
H
B
O
② 역으로 현의 수직이등분선은 반드시 원의 중심을 지난다.
A
B
( ∵ AB 의 수직이등분선은 점 A 와 점 B 까지 각각의
거리가 같은 점의 자취이므로 )
2)� 비례관계(할선에 대한 정리)
① a
c
d
b
ab= cd
A
P
C
B
D
□ABDC가 원에 내접하므로
∠B=∠PCA, ∠D=∠PAC
△PAC ꁀ△PDB ( AA 닮음)이므로
PA : PD= PC : PB
②
a
c
d
b
ab= cd
A
DP
C
B
에 대한 원주각 ∠A=∠D, 에 대한 원주각
∠C=∠B 이므로
△PAC ꁀ△PDB ( AA 닮음)에서
PA : PD= PC : PB
③b a
c
접점
ab= c 2
A
P
CO
Q
B
PO 의 연장선이 원과 만나는 점을 Q 라 하면
△PCO 에서 PC2= PO
2- CO
2
CO= QO 이므로
PC2= PO
2- QO
2= ( PO+ QO)( PO- QO)
앞의 ①에 의해 증명 끝.
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상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART2.� 평면도형 - 원
원과 접선
1)� 보조선
① 원에 대한 접선이 나오면 0순위로 원의 중심에서 접점
까지 연결하는 보조선을 그린다.
접점
② 원에 접하는 삼각형과 접선
r
r α
αββ
접점 AP
∠ABC=∠CAP
(∵ α+β+γ=90° )
2)� 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선
O
A
B
CP
PA= PB
(∵△PAO ≡△PBO, RHS 합동 )
AB 를 OP가 수직이등분
(∵△AOC ≡△BOC, SAS 합동 )
원에 접하는 삼각형/사각형
1)� 외접하는 삼각형
원 O 의 중심 =△ABC 의 내심
A
BC
O
2)� 내접하는 삼각형
원 O 의 중심 =△ABC 의 외심
O
BC
A
3)� 외접하는 사각형
a
b c
d
r
반지름의 길이가 r 인 원에
외접하는 사각형의 넓이 : 12(a+b+c+d )r
4)� 내접하는 사각형
A
B
D
C E
2β
β
α
2α
한 쌍의 대각의 크기의 합은
180° (∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°)
한 외각의 크기는 내대각의 크기와 같다.
( ∠DCE =∠A )
( ∵ 중심각과 원주각의 관계에 의해 2α+2β=360°)
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상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART3.� 입체도형
닮음비
1)� 닮음비 m : n 인 두 도형의 길이비를 뜻한다.�
2
3 6
4
(닮음비가 1 : 2인 평면도형)
2
3
1
9
6
3
(닮음비가 1 : 3인 입체도형)
2)� 닮음비가 m : n 인 두 도형의 넓이비는 m 2 : n 2,�
부피비는 m 3 : n 3이다.�
각기둥/원기둥
1)� 삼각기둥
① 겉넓이 : 전개도 이용
② 부 피 : (밑넓이=삼각형의 넓이) × (높이)
AB
C
A'B'
C'
⇒
A' B'
C'
C'
B CA
C
C
C'
2)� 사각기둥
① 겉넓이 : 전개도 이용
② 부 피 : (밑넓이=사각형의 넓이) × (높이)
A
B C
D
A'
B'
C'D'
⇒
D'
B
A
C
D
DA A
A' A'
D'
B' C'
A'
3)� 원기둥
① 겉넓이 : 전개도 이용
② 부 피 : (밑넓이=원의 넓이) × (높이)
Q
P
⇒
Q
P
Q
P
원둘레와 선분의길이는 같다.
12
상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART3.� 입체도형
각뿔/원뿔
1)� 삼각뿔(사면체)
① 겉넓이 : 전개도 이용
② 부 피 : (밑넓이) × (높이) ×13
A
B
C
D⇒
A
B D
C
A A
2)� 사각뿔
① 겉넓이 : 전개도 이용
② 부 피 : (밑넓이) × (높이) ×13
B
A
CD
E⇒
A
A
A
AB
CD
E
3)� 원뿔
① 겉넓이 : 전개도 이용
② 부 피 : (밑넓이) × (높이) ×13
A
B
⇒
원둘레와 호의길이 같다.
A
B B
③ 모선의 길이 l, 밑면의 원의 반지름 길이 r 일 때
전개도에서 생기는 부채꼴의 중심각의 크기 :
rl× 360°
각뿔대/원뿔대
1)� 삼각뿔대
① 겉넓이 : 전개도 이용
② 부 피 : (큰 삼각뿔 부피) - (작은 삼각뿔 부피)
평행한 두 삼각형(닮음 관계)
2)� 사각뿔대
① 겉넓이 : 전개도 이용
② 부 피 : (큰 사각뿔 부피) - (작은 사각뿔 부피)
평행한 두 사각형(닮음 관계)
3)� 원뿔대
① 겉넓이 : 전개도 이용
② 부 피 : (큰 원뿔 부피) - (작은 원뿔 부피)
평행한 두 원
13
상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART3.� 입체도형
정다면체
1)� 정사면체와 전개도
2)� 정육면체와 전개도
3)� 정팔면체와 전개도
4)� 정십이면체와 전개도
5)� 정이십면체와 전개도
구
1)� 구의 겉넓이 :�반지름의 길이 r 일 때, (겉넓이) = 4πr 2
2)� 구의 부피 :�반지름의 길이 r 일 때, (부피) =43πr 3
14
상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART4.� 모의고사 기출문제
E
모의고사 기출문제
1. 한 변의 길이가 9 인 정사각형 ABCD 에서 변 AB,
BC, CD, DA 의 중점을 각각 P, Q, R, S 라 하고,
선분 AQ 와 CP의 교점을 M , 선분 AR 과 CS 의
교점을 N이라 하자. 이 때, 사각형 AMCN의 넓이를
구하시오.
2. 그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 P(3, 7), Q (1, 1),
R (9, 3)으로부터 같은 거리에 있는 직선 l 이 선분
PQ, PR 과 만나는 점을 각각 A, B 라 하자. 선분
QR 의 중점을 C 라 할 때, △ABC 의 무게중심의 좌표
를 G (x, y )라 하면 x+y의 값은?
xO
y
C
l
R (9, 3)
Q (1, 1)
P (3, 7)
A
B
① 163
② 6 ③ 203
④ 223
⑤ 8
3. 그림에서 △ABC 와 △CDE 가 정
삼각형일 때, ∥보기∥에서 옳은 것
을 모두 고른 것은? (단, 세 점 B, E,
D 는 한 직선 위에 있다.)
∠ACD=∠BCE AD= BE
∠ADB= 60°
∥보기∥
① ② , ③ , ④ , ⑤ , ,
4. 그림과 같이 두 점 A , B 에서 직선 l 에 내린 수선의
발을 각각 P , Q 라고 하자. 또 두 선분 AQ 와 BP의
교점을 X 라 하고 점 X 에서 직선 l 에 내린 수선의 발
을 Y 라고 하자.
이 때 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
AP : XY = PQ : YQ
AP : BQ = PY : YQ
∠AYX =∠BYX
보기
① ② , ③ , ④ , ⑤ , ,
15
상위권의 올바른 자세는 단 1%의 출제가능성도 소홀히 하지 않는 것이다.� -� 강한수학 신승범 샘
중학도형 핵심 Keyword 별 정리PART4.� 모의고사 기출문제
5. 세로의 길이가 10 cm인 직사각형 모양의 종이를 그림과
같이 접었을 때, 삼각형 ABC (색칠한 부분)의 넓이는?
① 50 33
cm 2②
100 33
cm 2③ 50 3 cm 2
④ 50 cm 2⑤ 75 cm 2
6. 그림과 같이 가로의 길이가 4 , 세로의 길이가 6인 직사
각형 ABCD 가 있다. 선분 DC 의 중점을 M이라 하고,
대각선 AC 위의 임의의 한 점 P에서 세 직선 BC,
DC, AM에 내린 수선의 발을 각각 Q, R, S 라 하자.
점 P가 PQ = PS 를 만족시킬 때, 선분 PR 의 길이는
qp
이다. 이때, p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는
서로소인 자연수이다.)
7. 그림은 한 변의 길이가 2 인 정삼각형 OAB 를 꼭짓점
O 를 중심으로 반시계 방향으로 30°씩 연속하여 회전한
모양과 그 결과로 만들어진 다각형이다.
이 다각형의 넓이를 a+b 3라 할 때, b-a 의 값을 구
하시오. (단, a, b는 유리수이다.)
8. 그림과 같이 직선 l위에 1번부터 9번까지 9개의 볼링
핀을 같은 간격으로 세운다. 1번 볼링핀으로부터 직선 l
과 수직으로 9m 떨어진 지점 P에서 공을 굴려 1번,
4번, 9번 볼링핀을 명중시키는 직선 경로를 각각
a, b, c 라 하자. 경로 a 와 b가 이루는 각의 크기와 경
로 b와 c 가 이루는 각의 크기가 같을 때, 1번 볼링핀에
서 9번 볼링핀까지의 거리는? (단, 볼링핀과 공의 크기는
고려하지 않는다.)
a b c
P
l
① 9 m ② 10m ③ 11m
④ 12 m ⑤ 13m
16
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9. 그림과 같이 반지름의 길이가 9 cm 인 원 O 에서 호
AB 와 호 CD 의 길이는 각각 4π cm, 6π cm이고, 선분
AB 와 선분 CD 의 연장선이 만나서 이루는 예각의 크기가
30〫일 때, 호 AC 의 길이는?
① 4π cm ② 174π cm ③
92π cm
④ 5π cm ⑤ 112π cm
10.반지름의 길이가 2인 원 O 에 내접하는 정육각형이 있다.
그림과 같이 정육각형의 각 변을 지름으로 하는 원 6개를
그릴 때, 어두운 부분의 넓이는?
① 3 3 -π ② 3 3+π ③ 2 3- π3
④ 2 3+ π3
⑤ 34
+ π3
11.그림의 원 O 에서 두 현 AB 와 CD 는 서로 수직으로 만
나고, 그 교점은 P이다. AP= 12 cm, BP= 16 cm,
DP= 24 cm 이고, 원의 반지름의 길이를 r cm 라 할 때,
r 2의 값을 구하시오.
12.그림과 같이 한 변의 길이가 6인 정삼각형 ABC 의 각
꼭짓점에서 그 대변의 삼등분점에 그은 선분들로 둘러싸인
도형에 내접하는 원의 넓이는?
A
CB
① 27π ②
37π ③
47π
④ 57π ⑤
67π
17
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13.다음은 원 내부의 점 E 에서 만나는 두 현 AB, CD 에
대하여 점 E 를 지나며 현 BC 에 평행인 직선이 현
AD 의 연장선과 만나는 점을 F , 점 F 에서 원에 그은
접선의 접점을 G 라 할 때, EF = FG 임을 증명하는 과
정이다. (단, 선분 BC 와 선분 AD 는 평행하지 않다.)
∠FED 와 (가) 는 동위각이므로 같고 원주각
의 성질에 의하여 ∠BAD 와 (가) 는 같으므
로 ∠FED= ∠BAD 이다.
∠EFD 가 공통이므로 △FED 와 (나) 는
닮음이고 EF 2= (다) 이다.
접선과 할선의 성질에서 FG 2= (다) 이다.
따라서 EF = FG 이다.
위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은?
(가) (나) (다)
① ∠BCD △FAE AD⋅DF
② ∠BEF △BCE DE⋅DF
③ ∠BCD △BCE AD⋅DF
④ ∠BEF △FAE AF⋅DF
⑤ ∠BCD △FAE AF⋅DF
14.교내 체육대회에서 댄스 동아리 회원 10명이 음악에 맞춰
춤을 추기로 하였다. 그림과 같이 운동장 한 가운데에 커다
란 원을 그리고 그 원의 둘레를 10등분하는 지점에 회원
들을 배치하였다. 소품을 준비하기 위하여 성도와 윤희 사
이의 거리와 철수와 은지 사이의 거리를 측정하였더니 각
각 a m, bm이었다. 다음 중 민호와 영희 사이의 거리를
나타내는 것은? (단, 단위는 모두 m 이다.)
①3a+2b
5②
a+2b3
③ 2a+b
3
④ 2a+b
2⑤
a+b2
15.반지름의 길이가 10인 두 원 O, O'가 그림과 같이 두
점 A, C 에서 만날 때 생기는 마름모 ABCD 가 있다.
∠ABC = 150°일 때, 원 O 위의 임의의 점 P에 대하
여 △APC 의 넓이의 최댓값이 a+b 3이다. a+b의
값을 구하시오. (단, a, b는 유리수)
18
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16.다음은 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정오각형의
한 변의 길이를 a 라 할 때, 이 원에 내접하는 정십각형의
한 변의 길이를 a 를 써서 나타낸 과정이다.
그림과 같이 정오각형의 한 꼭짓점 A 와 정식각형의
한 꼭짓점 B 를 이으면 원의 지름이 된다. 이때, 지름
AB 와 정오각형의 한 변 CD 가 만나는 점을 E 라
하자.
이때, 정십각형의 한 변의 길이를 x라 하면,
AC = (가) 이다.
한편, 삼각형 ABC 에서 AC × BC = AB × CE이므로
(가) ⋅x=a ⋯⋯ ㉠
이고, ㉠의 식을 정리하면
x4- (나) ⋅x2+a 2=0 ⋯⋯ ㉡
이다.
따라서 ㉡의 방정식을 풀면 x= (다) 이다.
∥과정∥
위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?
(가) (나) (다)
① 1-x2 2 1+ 1-a 2
② 1-x2 4 2- 4-a 2
③ 4-x2 2 1+ 1-a 2
④ 4-x2 4 2+ 4-a 2
⑤ 4-x2 4 2- 4-a 2
17.그림은 선분 AB 를 지름으로 하는 원 O 에 내접하는 사각
형 APBQ를 나타낸 것이다. AP =4 cm, BP= 2 cm
이고 QA= QB 일 때, 선분 PQ 의 길이는?
① 3 2 cm ② 10 23
cm ③ 14cm
④ 4 103
cm ⑤ 4 cm
18.한 모서리의 길이가 1 인 정사면체 4 개와 정팔면체 1개
를 붙이면 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2 인 정사면체
를 만들 수 있다.
이를 이용하여 한 모서리의 길이가 1 인 정사면체와 정팔
면체의 부피의 비를 구하면?
① 1 : 2 ② 1 : 3 ③ 1 : 4
④ 1 : 5 ⑤ 1 : 8
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19.밑면의 반지름의 길이가 3 cm 인 세 원기둥을 각 원기둥
의 밑면의 중심이 선분 AB 위에 오도록 나란히 붙인다.
그림은 이 세 원기둥을 점 A 로부터 높이 15 cm 인 점
C 와 점 B 로부터 높이 5 cm 인 점 D 를 지나는 평면으
로 잘라서 만든 입체도형이다.
이 입체도형의 부피가 V cm 3일 때,
V10π
의 값을 구
하시오.
20.그림과 같이 부피가 250 cm 3인 사각뿔을 밑면에 평행한
평면으로 잘라 세 부분으로 나누었다. 도형 P, Q, R 의
옆넓이의 비가 9 : 7 : 9일 때, 도형 Q 의 부피는?
① 70 cm 3 ② 72 cm 3
③ 74 cm 3
④ 76 cm 3 ⑤ 78 cm 3
20
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모의고사 기출문제 해설지
1. 정답 27
삼각형 ABC 에서, AP = PB 이므로
△CAP=△CPB
(△ACP의 넓이 )=12×
812
=814
점 M은 △ABC 의 무게중심이므로
CM : MP= 2 : 1에서 △AMC :△APM=2 : 1
(△AMC 의 넓이 )=814
×23
=272
∴ (□AMCN의 넓이 )= 2×272
= 27
2. 정답 ⑤
세 점 P, Q, R 에서 직선 l 에 내린 수선의 발을 각각
P', Q', R'라 하면 △PAP'≡△QAQ'( ∵ASA 합
동)이므로 점 A 는 선분 PQ 의 중점이다. 마찬가지로 점
B 는 선분 PR 의 중점이다.
따라서, 세 점 A, B, C는 각각 선분 PQ, 선분 PR ,
선분 QR의 중점이므로 △ABC의 무게중심은 △PQR
의 무게중심과 일치한다.
xO
y
C
l
R (9, 3)
Q (1, 1)
P (3, 7)
A
B
P'Q'
R'
△ABC 의 무게중심을 G (x, y )라 하면
x=3+1+9
3=
133
, y=7+1+3
3=
113
따라서, x+y=133
+113
= 8
3. 정답 ⑤
∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
이므로
∠ACD=∠BCE (참)
△ACD 와 △BCE 에서
AC= BC, DC= EC, ∠ACD=∠BCE 이므로
△ACD ≡△BCE ( SAS 합동)이다.
∴ AD= BE (참)
∠BEC= 180°-∠DEC= 180°-60°=120°이고
∠ADC=∠BEC 이므로
∠ADB =∠ADC-∠EDC
=120°-60°=60° (참)
이상에서 옳은 것은 , , 이다.
4. 정답 ⑤
△QAPꁀ△QXY 이므로
AP : XY = PQ : YQ (참)
△APQ 와 △XYQ 에서
AP : XY = PQ : YQ 이므로
AP=XY⋅PQ
YQ
△PQB 와 △PYX 에서
BQ : XY = PQ : PY 이므로
BQ =XY⋅PQ
PY
∴ AP : BQ=1
YQ:
1
PY= PY : YQ (참)
에서 PY : YQ 이므로 △APY △BQY 이고,
∠AYP=∠BYQ
XY 는 직선 l 에 수직이므로
∠AYX =∠BYX (참)
이상에서 옳은 것은 , , 이다.
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5. 정답 ②
∠ADB = 70°이므로 ∠DAB =60°이다.
따라서 ∠BAC =∠CAE =60°
또 DEꁚ BC 이므로 ∠DAB=∠ABC= 60°,
∠ACB =∠CAE =60°이다.
따라서 삼각형 ABC 는 높이가 10인 정삼각형이다.
AC =10×23
=203
이므로
△ABC=34
× ( 203 )
2
=100 3
3( cm 2)
6. 정답 15
두 직사각형 □ABCD 와 □PQCR 은 닮음이므로
PQ= 3k (단, k > 0)라 하면 PR= 2k이다.
(△APM의 넓이) =12⋅AM⋅PS
(△PMC 의 넓이) =12⋅MC⋅PR
선분 DC 의 중점이 M이므로 DM= MC=3이고
△ADM에서 피타고라스정리에 의해 AM= 5
또한, PS = PQ= 3k이고 PR= 2k
∴ (△AMC 의 넓이) =12⋅5⋅3k+
12⋅3⋅2k
=212
k
한편, (△AMC 의 넓이) =12⋅MC⋅AD
=12⋅3⋅4= 6
∴212
k= 6에서 2k=87
따라서 p+q= 7+8= 15
7. 정답 120
① 정삼각형 △AOB 의 넓이 : 34
×4= 3
② 이등변삼각형△CDE의 넓이 :
CM= OC - OM=2- 3, ∠DCM=60°이므로
DMCM
= tan (∠DCM)= 3
DM= 3⋅CM= 3 (2- 3 )
∴ △CDE= 2⋅12
CM⋅DM=-12+7 3
①, ②의 삼각형이 각각 6개씩 존재하므로
6× (①+②) =6× (-12+8 3)=-72+48 3
∴ b-a= 120
8. 정답 ④
1번, 4번, 9번 볼링핀을 각각 점 A, M, B 라 하고, 인접
한 두 볼링핀의 간격을 k라 하면 AM= 3k, BM= 5k
이다. 이때, AM은 각 P의 이등분선 이므로
9 : PB = AM : MB = 3 : 5
PB= 15( m )
BA
P
9
15
3k 5kM
이때, 피타고라스의 정리를 사용하면
AB = 15 2-9 2=12( m )
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9. 정답 ⑤
반지름의 길이가 9 cm에서 원주는 18π cm 이다.
점 D 에서 선분 AB 에 평행한 선을 긋고 원과의 교점을
E 라 하면, 평행선의 성질에 의해서
∠EDC = 30〫
중심각의 크기는 원주각의 크기의 두 배이므로
=18π ×60〫360〫
=3π
=18π-(4π+6π+3π )= 5π
평행선의 성질에 의해서
∠ABE =∠BED
=52π
∴
=52π +3π
=112π
[다른 풀이]
∠BAD =a°라 하면
∠ADC = a°+ 30〫
중심각의 크기는 원주각의 두 배이므로
(부채꼴 BOD 의 중심각의 크기)= 2a°
(부채꼴 AOC 의 중심각의 크기)= 2a°+60°
반지름의 길이가 9 cm이므로 전체 원주는 18π cm 이다.
=18π ×4a°+60°
360°
=18π-(4π+6π )= 8π이므로
18π ×4a°+60°
360°=8π ,
a°=25°
(부채꼴 AOC의 중심각의 크기) =2a+60°=110〫
∴ =18π ×110°360°
=112π ( cm )
10. 정답 ①
△OPQ 는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이고,
△ABC 는 한 변의 길이가 1인 정삼각형이므로
S 1=△OPQ -(△APB +부채꼴 ABC+△ACQ )
= 3 - ( 34
+ π6+
34 )= 3
2- π
6
구하고자 하는 부분의 넓이 S 는 6S 1 이므로
S= 6( 32
- π6 )=3 3-π
11. 정답 260
두 현 AB 와 CD 의 교점이 P일 때,
PA× PB= PC× PD 이므로
12× 16= PC× 24에서 PC= 8
원의 중심 O 에서 두 현 AB 와 CD 에 내린 수선의 발
을 각각 M , N이라 하자.
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로
AM= BM=12+16
2= 14
CN= DN=8+24
2= 16
OM= NP= CN- PC= 16-8= 8
직각삼각형 OMB 에서 피타고라스의 정리에 의해
r 2= 8 2+14 2= 64+196= 260
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12. 정답 ②
A
BD E
P O
CQ
6
3
3 3
1
AQ = 36-9= 3 3
AD = 1+27= 2 7
원의 중심 O 가 △ABC 의 무게중심이므로
AO =23
AQ = 2 3
△ADQ 와 △AOP가 닮음이므로
AO : OP= AD : DQ
2 3 : OP = 2 7 : 1
OP=37
∴ 원의 넓이는 37π
13. 정답 ⑤
∠FED = ∠BCD (동위각)
∠BAD = ∠BCD (원주각)이므로,
∠FED =∠BAD ⋯⋯ ㉠
∠EFD 는 공통 ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡로부터
△FED ꁀ △FAE , AF : EF = EF : DF 이므로
EF 2= AF⋅DF
또, 접선과 할선의 성질로부터
FG 2= AF⋅DF
따라서 EF = FG 이다.
14. 정답 ④
원의 중심을 O, 6명의 위치를 A, B, C, D, E, F 라
하고, 선분 CD 와 선분 BE 의 교점을 G 라 하자.
사각형 ACDB 에서 ∠ACD =∠BDC , ∠A=∠B
이고, 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 두 각의 합은
180°이므로
∠A+∠BDC =∠A+∠ACD = 180°
따라서 ABꁚCD
같은 방법으로 사각형 CEFD 에서 CDꁚEF
또, CAꁚEB, EBꁚOD 임을 알 수 있다.
따라서 사각형 ACGB, GEOD 는 평행사변형이고
CG= AB, GD= EO
∴ CD= CG+ GD
= AB+ EO
= a+12b=
2a+b2
( m )
15. 정답 75
점 O 에서 AC 에 내린 수선의 발을 H라 하자.
∠ABC =∠ADC = 150°이므로
∠AOC = 60°이다. (∵ ∠APC = 30°)
따라서 △AOC 가 정삼각형이다.
△APC 의 넓이가 최대가 되려면 밑변 AC 의 길이가
일정하므로 높이가 최대이어야 한다. 즉, 점 P가 OH의
연장선 위에 있을 때, 높이 PH가 최대가 되므로
PH= OP+ OH=10+5 3
∴ △APC 의 최대 넓이를 S 라고 하면
S=12× AC × PH
=12× 10× (10+5 3)
=50+25 3
따라서 a+b= 75
16. 정답 ⑤
그림과 같이 정오각형의 한 꼭짓점 A 와 정십각형의 한
꼭짓점 B 를 이으면 원의 지름이 된다.
이때, 지름 AB 와 정오각형의 한 변 CD 가 만나는 점을
E 라 하자.
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A
B
C
D
E
a
1
x
이때, 정십각형의 한 변의 길이를 x라 하면,
AC = 4-x2이다.
한편, 삼각형 ABC 에서
12×AC ×BC =
12×AB ×CE 이므로
4-x2⋅x= a ⋯⋯ ㉠ 이고,
㉠의 식을 정리하면
x4-4x2+a 2= 0 ⋯⋯ ㉡ 이다.
㉡의 방정식을 풀면, x2=2± 4-a 2이다.
이때, 0 < x < 1이어야 하므로
x2=2- 4-a 2에서
x= 2- 4-a 2이다.
∴ (가) 4-x 2, (나) 4 , (다) 2- 4-a 2
17. 정답 ①
AB 가 원의 지름이므로, 원주각
∠APB =∠AQB = 90°이다.
피타고라스의 정리를 이용하면
AB = 4 2+2 2= 20= 2 5
QA 2+ QB 2= AB 2=20이므로
QA = QB= 10
사각형 AQBP의 넓이는 두 삼각형 PAB , QBA 의
넓이의 합과 같으므로
( 12 ×4×2 )+ ( 12 × 10 × 10 )=9
또, AQ = BQ 에서 원주각의 성질을 이용하면,
∠APQ =∠BPQ = 45°이고, 사각형의 넓이는 두 삼각
형 PAQ , PBQ 의 넓이의 합과 같으므로 PQ =x라
하면 다음이 성립한다.
9= ( 12 ×4×x× sin 45°)+ ( 12 ×2×x× sin 45°) =
32
2x
∴ x= 9×2
3 2= 3 2
18. 정답 ③
한 모서리의 길이가 1 인 정사면체와 2 인 정사면체의 닮
음비가 1 : 2이므로 부피의 비는 1 : 8이다.
한 모서리의 길이가 1인 정사면체와 정팔면체의 부피를
각각 V 1 , V 2라 하면
(모서리의 길이가 1 인 정사면체 4 개의 부피와 정팔면체
1 개의 부피의 합) =4V 1+V2
(모서리의 길이가 2 인 정사면체의 부피) =8V 1
4V 1+V 2= 8V 1, V 2=4V 1
∴ V1 : V2=1 : 4
19. 정답 27
문제에서 주어진 입체도형과 같은 입체도형을 뒤집어 붙이
면 그림과 같이 반지름의 길이가 3 cm 이고, 높이가
20 cm 인 원기둥 3개가 된다.
원기둥 3개의 부피는
3× (밑넓이) × (높이)
=3× (π × 3 2)× 20= 540π
따라서 주어진 입체도형의 부피 V cm 3는
V = 540π ÷ 2= 270π
∴ V10π
=27
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20. 정답 ③
세 도형 P, Q, R 의 옆넓이의 비가 9 : 7 : 9이므로
위의 그림과 같은 세 사각뿔의 옆넓이의 비는
차례로 9 : (9+7) : (9+7+9)에서 9 : 16 : 25이다.
즉, 세 사각뿔의 닮음비가 3 : 4 : 5이므로
부피의 비는 27 : 64 : 125이다.
따라서 도형 Q 와 자르기 전의 전체 사각뿔의 부피의 비는
(64-27) : 125 = 37 : 125이므로, 도형 Q 의 부피를
x라 하면
37 : 125= x : 250
∴ x= 74( cm 3 )