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関数の凹凸と2階微分
戸瀬 信之
AhPa1 S_PC1*h
kyR3年 8月 U2K�i?kyR3V
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と2階微分 kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V R f R9
emath Lo 6 Part 0 1 .
1変数の場合
定理
開区間 (A, B)上の C2級関数 f : (A, B) �! R
前提: f00(t) > 0 (t 2 (A, B))
このとき不等式
f (t) > f (a)+ f0(a)(t�a) (t , a)
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と2階微分 kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V k f R9
各点で fiず がたたうち、すげか な点 で連続。
a ECA, 13 )ns y =J (t)が 下 に
.
接点、
tener nurEtT / • i =すけ)y = f
'cos (t a)
t fcaj Oteroに 9における 指 糸に T
「
証明(その1)
F(t) := f (t) � f (a) � f0(a)(t � a)とする。
F0(t) = f
0(t) � f0(a), F
00(t) = f00(t) > 0
G0(t) > 0 (t 2 (A, B))とすると
A < s < t < B ) G(s) < G(t)これを⽤いると A < s < a < t < B ) F
0(s) < F0(a) = 0 < F
0(t)
増減表t a
F0 � 0 +
F & 0 %から F(t) > 0 (t , a)
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と2階微分 kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V j f R9
こ、- T )で
いこう1磯だ。
(意で劄
別の証明(h�vHQ` の定理を⽤いる)
t , aとする。h�vHQ` の定理を⽤いるとf (t) = f (a) + f
0(a)(t � a) + 12 f00(c)(t � a)2
を満たす cが tと aの間に存在する
このとき f00(c) > 0と (t � a)2 > 0から
f (t) > f (a) + f0(a)(t � a)
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と2階微分 kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V 9 f R9
i._ftp.s 。
ぢくい > o
Theo剰余な
応⽤(極⼤・極小の判定)
定理
C2級の関数 f : (A, B) ! R
t = a 2 (A, B)において f0(a) = 0- f
00(a) > 0 U`2bTX f00(a) < 0Vと
する。
このとき f は t = aで極小(`2bTX 極⼤)
(証明の準備)G : (A, B) ! Rが連続とする。また a 2 (A, B)において G(a) > 0とする。このとき-ある正数 � > 0に対して
G(t) > 0 (t 2 (a � �, a + �))
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ザ : 連結、
日 sso
でいなrateas)-
Arnomerger
aresilico tた aBhs at S 後にコメント
。
証明
f00(t)が連続であるので、ある正数 � > 0に対して
f00(t) > 0 (a � � < t < a + �)
このとき、定理を区間 (a � �, a + �)において⽤いると t , aを満たすt 2 (a � �, a + �)に対して
f (t) > f (a) + f0(a)(t � a) = f (a)
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拡。 >of
」
-o
Jca)
-) J は t= aで極」 、 drill
2変数の場合
R2の開集合 U上の関数 f : U ! Rを考える。P0(a, b) 2 U、t(⇠ ⌘) , ~0に対してF(t) = f (a + t⇠, b + t⌘)
(*?�BM _mH2) G(t) = f (x(t), y(t))に対してG0(t) = fx(x(t), y(t))x
0(t) + fy(x(t), y(t))y0(t)
F0(t) = fx(Pt) · ⇠ + fy(Pt) · ⌘
F00(t) = ⇠
⇣fxx⇠ + fxy⌘
⌘+ ⌘
⇣fyx⇠ + fyy⌘
⌘
= fxx⇠2 + 2 fxy⇠⌘ + fyy⌘
2
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v-橤、鳶i な形式の 正定値いた
。乚湔う
とい なくなった (9で Iettz、
「 仡)
に 金倁分
/← 方向
と
熒〉能
ことが叨ln= (いいしていぼ )
HCJ) Hesse行子 (1
>2bb2行列
P 2 U に対して>2bb2行列
H( f )(P) =
fxx(P) fxy(P)fyx(P) fyy(P)
!
f が C2のとき fxy = fyxですから Hは対称行列
F(t) = f (a + t⇠, b + t⌘)に対して
F00(t) =
H( f )(Pt)
⇠⌘
!,
⇠⌘
!!
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Youngの定理 .
parts-
Los、
方向 を制し
2変数の(狭義)凸関数
R2の凸開集合 U上の C2級関数 f : U �! R
fxx(P) > 0, det (H( f )(P)) > 0 (P 2 U)とする。このとき(x, y) , (a, b)ならば
f (x, y) > f (a, b) + fx(a, b)(x � a) + fy(a, b)(y � b)
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u
凸 : P.AE U f_。 Q
定理⇒ 雨Uiifgmfet-もいい眺望剋 にいいの
○× !が、
'
呍でい た)における接平面
証明の準備
P
(証明の準備)P(x, y)と P0(a, b)に対して P , P0とする。そして
~v =
⇠⌘
!=
x � a
y � b
!, ~0
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と2階微分kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V Ry f
R9
P キ P。
いく, y)
t.IT
、だい 1 1
吶
𠮟 ( at t S,ettそ)
証明
F(t) = f (a + t⇠, b + t⌘)に h�vHQ`の定理を適⽤F(1) � F(0) = F
0(0) · 1 + 12 F00(c) · 12
を満たす cが 0と 1の間に存在する。f (x, y) � f (a, b) = fx(a, b)⇠ + fy(a, b)⌘ + 1
2 (H( f )(Pc)~v,~v)
~v , ~0ですから (H( f )(Pc)~v,~v) > 0f (x, y) � f (a, b) > fx(a, b)⇠ + fy(a, b)⌘
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と2階微分kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V RR f
R9
(さら ) A 3 0, 1 1 s。 ⇒ A5年 2 C 3で Bで
> 。 (しき)が )
si~E.us0.
%には、
暍いが)で誰な別だいに せいついつい した信) )
極⼤・極小の判定
R2の開集合 U上の関数 f : U ! R
(復習)
f が (a, b) 2 Uで極小・極⼤ならば fx(a, b) = fy(a, b) = 0
このとき (a, b)を f の停留点という。停留点が極⼤・極小になる十分条件を与える。
定理
(a, b) 2 Uが fx(a, b) = fy(a, b) = 0を満たす。fxx(a, b) > 0- fxx(a, b) fyy(a, b) � fxy(a, b)2 > 0
UH( f )(a, b)は正定値)
このとき (a, b)で極小となる。
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と2階微分kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V Rk f
R9
u
Part 0 1 C.
焱、(いが
興 5に、 yに つい_ y2
.
ne選
にしたか?品?痴してきたが
戦、
証明のために必要な連続関数の性質
R2の開集合 U上の関数 G : U �! Rは連続とする(a, b) 2 Uに対して G(a, b) > 0とする。このとき正数 � > 0が存在して
G(x, y) > 0 ((x, y) 2 B�(a, b))
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と2階微分kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V Rj f
R9
薄
P.ca、e) EU で たいに なしの 二 °
-_-→ 水打 (のt
に) f.ca ( Per) > 0,da (Hけ」(M ) > O
< 大ii) f は Poで木出いり
det Hけ) (PS < 0 と する。
一
-) J は Poで 木山大で も 木丞小で も ないeee
H = Hが ( Per ) 実対称 固有値 の so.pe odet (y ) = の p かもす Hが 二の が
ももか ぼ =ぺ '
minaFit ) = JCP。
十 七 が )
F'et) = (P
,0 は) CEI)
だ。) - 0.
81蓮だし o) = ( け け ) (Po) が心 )
a.虎鷽・濼プ
.鼠G'( 0 ) = 0 )だが でも ) = p nano !\
P。 でも出た で も 不当小 でもない 革安定
、
証明
fxxと fxx fyy � f2xyは連続です。
fxx(x, y) > 0 ((x, y) 2 B�(a, b))fxx fyy � f
2xy> 0 ((x, y) 2 B�(a, b))
を満たす正数 � > 0が存在。凸性の定理を⽤いると (x, y) 2 B�(a, b)が (x, y) , (a, b)ならば
f (x, y) > f (a, b) + fx(a, b)(x � a) + fy(a, b)(y � b)= f (a, b)
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R9
りちゃ け* #5*# 連続 せ ず に糸目 が君だなた
Jawa,EI>° , dot けけ)Gen) >o
いす S*, 5*Firesが各点 で) s O 連続
.TTた、 (P) > O (13g ( Per ) 7 P .)でいけいが。cnn.jp ない
証明
fxxと fxx fyy � f2xyは連続です。
fxx(x, y) > 0 ((x, y) 2 B�(a, b))fxx fyy � f
2xy> 0 ((x, y) 2 B�(a, b))
を満たす正数 � > 0が存在。凸性の定理を⽤いると (x, y) 2 B�(a, b)が (x, y) , (a, b)ならば
f (x, y) > f (a, b) + fx(a, b)(x � a) + fy(a, b)(y � b)= f (a, b)
戸瀬 信之 UAhPa1 S_PC1*hV 関数の凹凸と2階微分kyR3 年 8 月 U2K�i?kyR3V R9 f
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