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数量关系

讲师：贾文博

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目 录

数量关系.......................................................................................................................... 2

第一讲 代入排除法 ................................................................................................... 2

第二讲 十字交叉法 ................................................................................................... 3

第三讲 枚举法 .......................................................................................................... 5

第四讲 排列与概率问题 ............................................................................................ 6

第五讲 最值问题 ...................................................................................................... 9

第六讲 星期日期问题 ............................................................................................. 10

第七讲 溶液和等差数列 .......................................................................................... 13

第八讲 命题思维 .................................................................................................... 14

答案........................................................................................................................ 16

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数量关系

第一讲 代入排除法

1. 代入排除法的适用条件

（1）选项信息充分

（2）特定题型（不定方程、多位数和比例特征较明显的题目）

2. 倍数关系判定特征

如果n

mba ，则 a 是 m 的倍数； b 是 n 的倍数。

【例 1】办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装 29份相同的文件。每个红色

文件袋可以装 7份文件，每个蓝色文件袋可以装 4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需

要红色、蓝色文件袋的数量分别为（ ）个。

A. 1、6 B. 2、4

C. 3、2 D. 4、1

【例 2】某汽车厂商生产甲、乙、丙三种车型，其中乙型产量的 3 倍与丙型产量的 6 倍

之和等于甲型产量的 4 倍，甲型产量与乙型产量的 2 倍之和等于丙型产量 7 倍。则甲、乙、

丙三型产量之比为（ ）。

A. 5∶4∶3 B. 4∶3∶2

C. 4∶2∶1 D. 3∶2∶1

【例 3】某单位有工作人员 48人，其中女性占总人数的 37.5%，后来又调来女性若干

人，这时女性人数恰好是总人数的 40%，问调来几名女性？（ ）

A.1人 B.2人

C.3人 D.4人

【例 4】甲乙两人共有 260本书，其中甲的书有 13%是专业书，乙的书有 12.5%是专业

书，问甲有多少本非专业书？（ ）

A. 75 B. 87

C. 174 D. 67

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3

【例 5】学校组织学生进行献爱心募捐活动，某年级共有三个班，甲班捐款数是另外

两个班捐款总数的 2/5，乙班捐款数是另外两班的 1.2倍，两班捐款数比甲班多 300元，

则这三个班一共捐款（ ）元。

A.6000 B.6600

C.7000 D.7700

【例 6】一艘海军的训练船上共有 60人，其中有驾驶员、船员、见习驾驶员、见习船

员，还有一些陆战队员。已知见习人员的总人数是驾驶员和船员总数的四分之一，船员

（含见习船员）总人数是驾驶员（含见习驾驶员）总数的 7倍，则船上有（ ）个陆战

队员。

A. 12 B. 15

C. 20 D. 25

【例 7】一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上

的数字和十位上的看反了，准备付 21元取货。售货员说:“您应该付 39元才对。”请问书比

杂志贵多少钱？（ ）

A. 20 B. 21

C. 23 D. 24

第二讲 十字交叉法

“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧，这种方法实际上是一种简化方程的形

式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边的“十字交叉”的形式来简化：

【例 1】某班一次数学测试，全班平均 91分，其中男生平均 88分，女生平均 93分，

则女生人数是男生人数的多少倍？（ ）

A.0.5 B.1

C.1.5 D.2

【例 2】某工厂共有 160名员工，该厂在 7月的平均出勤率是 85%，其中女员工的出勤

( )A r b

Aa Bb A B rB a r

A:

B:

a

b

r

a-r

r-b

è A

B=

a-r

r-b

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4

率为 90%，男员工的出勤率为 70%，该厂男员工共有多少人？（ ）

A. 40 B. 50

C. 70 D. 120

【例 3】现有含盐 20%的盐水 500克，要把它变成含盐 15%的盐水，应加入 5%的盐水多

少克？（ ）

A.200 B.250

C.350 D.500

【例 4】小华去市场买草莓和苹果，一共买了 15斤，已知草莓 12元/斤，苹果 10元/

斤，由于买的数量较多，商家就给予优惠，草莓按照定价 95%付钱，苹果按照定价 86%付

钱，如果小华付的钱比按定价少付了 10%，那么他买了多少斤草莓？（ ）

A. 4 B. 6

C. 9 D. 10

【例 5】小张去机票代理处为单位团购机票 10张，商务舱定价 1200元/张，经济舱定

价 700元/张。由于买的数量较多，代理商就给予优惠，商务舱按定价的 9折付钱，经济舱

按定价的 6折付钱，如果他付的钱比按定价少 31%，那么小张一共买了经济舱票的票数是

（ ）。

A. 7张 B. 6张

C. 9张 D. 8张

【例 6】某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共 2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每

只 2元，乙种小鸡苗每只 3元。相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为 94%和

99%。若要使这批小鸡苗的成活率不低于 96%，且买小鸡苗的总费用最小，则应选购甲、乙

两种小鸡苗各有（ ）。

A.500只、1500只 B.800只、1200只

C.1100只、900只 D.1200只、800只

【例 7】某公司 2011年前三季度营业收入 7650万元，比上年同期增长 2%，其中主营

业务收入比上年同期减少 2%，而其它业务收入比上年同期增加 10%，那么，该公司 2011年

前三季度主营业务收入为多少？（ ）

A. 3920万元 B. 4410万元

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5

C. 4900万元 D. 5490万元

第三讲 枚举法

1. 数据较小，便于枚举时，采用枚举法；

2. 数据较大，且按照某种规律交替反复时，可以通过枚举几个数归纳出规律，以简化计算。

【例 1】一根竹笋从发芽到长大，如果每天长一倍，经过 10天长到 40分米，那么长

到 2.5分米时，要经过多少天？（ ）

A.6 B.8

C.4 D.12

【例 2】黑母鸡下 1个蛋歇 2天，白母鸡下一个蛋歇 1天，两只鸡共下 10个蛋最少需

要多少天？（ ）

A. 10 B. 11

C. 12 D. 13

【例 3】餐厅需要使用 9升食用油，现在库房里库存有 15桶 5升装的，3桶 2升装的，

8桶 1升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的 9升食用油？（ ）

A. 4 B. 5

C. 6 D. 7

【例 4】设有编号为 1到 10的 10张背面向上的纸牌，现有 10名游戏者，第 1名游戏

者将所有编号是1的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，接着第2名游戏者将所有编号是2

的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，……，第 n名（n≤10）游戏者，将所有编号是 n的

倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，如此下去，当第 10名游戏者翻完纸牌后，那些纸牌正

面向上的最大编号与最小编号的差是（ ）。

A.2 B.4

C.6 D.8

【例 5】把自然数 A的十位数、百位数和千位数相加，再乘以个位数字，将所得积的

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6

个位数字续写在 A的末尾，成为对 A的一次操作。设 A=4626，对 A进行一次操作得到

46262，再对 46262操作，由此进行下去，直得出 2010位的数为止，则这个 2010位数的各

位数字之和是（ ）。

A.28 B.32

C.24 D.26

【例 6】 30个人围坐在一起轮流表演节目。他们按顺序从 1到 3依次不重复地报数，

数到3的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩一个人没表演过节目

的时候，共报数多少人次？（ ）

A. 87 B. 117

C. 57 D. 77

【例 7】用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，

第 1条直线将平面分成 2块，第 2条直线将平面分成 4块。第 3条直线将平面分成 7块，

按此规律将平面分为 22块需：（ ）

A. 7条直线 B. 8条直线

C. 9条直线 D. 6条直线

【例 8】右边是空心圆有规律生成的一个树形图，由此可知，第 10行的空心圆的个数

是（ ）

A.34 B.21

C.13 D.8

第四讲 排列与概率问题

1. 排列与组合的区别：前者与顺序有关，后者与顺序无关。

2 常用方法

捆绑法：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整

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体，再与其他元素一起进行排列。

插空法：如果题目要求一部分元素不能在一起，则需要先排列其他主体，然后把不能在

一起的元素插空到已经排列好的元素中间。

隔板法：为一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元素，则将隔板

插入元素之间，计算出分类总数。

3. 基本概率

某种情况发生的概率＝满足条件的情况数÷总的情况数。

4. 分类与分步概率

某项任务可以在多种情况下完成，则分别求解满足条件的每种情形的概率，然后将所有

概率值相加。

某项任务必须按照多个步骤完成，则分别求解特定条件下每个步骤的概率，然后将所有

概率值相乘。

【例 1】为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3个部门分别派出

3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序

的种数在以下哪个范围之内？（ ）

A.大于 20000 B.5001~20000

C.1000~5000 D.小于 1000

【例 2】小区内空着一排相邻的 8个车位，现有 4辆车随机停进车位，恰好没有连续

空位的停车方式共有多少种？（ ）

A.48 B.120

C.360 D.1440

【例 3】有 10台相同的打印机，分配到 6个部门，每一个部门至少有一台打印机，共

有多少种分配方案？（ ）

A.126种 B.180种

C.210种 D.252种

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8

【例 4】某单位从下属的 5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科

室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？（ ）

A. 120 B. 78

C. 44 D. 24

【例 5】某房间共有 6扇门，甲、乙、丙三人分别从任一扇门进去，再从剩下的 5扇

门中的任一扇出来，问甲未经过 1号门，且乙未经过 2号门，且丙未经过 3号门进出的概

率为多少？（ ）

A.216

125 B.

27

8

C.64

37 D.

125

64

【例 6】甲和乙进行打靶比赛，各打两发子弹，中靶数量多的人获胜。甲每发子弹中

靶的概率是 60%，乙每发子弹中靶的概率是 30%。则比赛中乙战胜甲的可能性（ ）。

A.小于 5% B.在 5%～12%之间

C.在 10%～15%之间 D.大于 15%

【例 7】某单位有职工 750人，其中青年职工 350人，中年职工 250人，老年职工 150

人。为了解该单位职工的健康情况，计划用等比例分层抽样的方法从中抽取样本。若样本

中的青年职工为 7人，则会抽取职工总人数为：（ ）

A.7 B.15

C.25 D.35

【例 8】汽博会开幕在即，甲乙丙三个人得到了两张参观票，于是三个人通过抽签决

定这两张票的归属。在所设计的三个签中有两个签上写着“有”，一个签上写着“无”，抽

签顺序是甲先、乙次、丙最后抽取。如果已知乙已经抽到了参观票，则甲也抽到参观票的

概率是（ ）。

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9

A.2

3 B.1

2

C.1

3 D.1

第五讲 最值问题

1. 最不利构造

题目特征：出现“至少（最少）……保证……”时

解题方法：答案=最不利的情形+1（“所有”、“不利”、“+1”）。

2. 数列构造类

题目特征：出现“最多（少）……最少（多）……”、“排名第……最多（少）……”时

解题方法：定位——构造——求和。

【例 1】有 300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、

财务管理类和人力资源管理类分别有 100、80、70和 50人。问至少有多少人找到工作，才

能保证一定有 70名找到工作的人专业相同？（ ）

A.71 B.119

C.258 D.277

【例 2】小明和姐姐用 2013年的台历做游戏，他们将 12个月每一天的日历——揭

下，背面粘上放在一个盒子里、姐姐让小明一次性帮她抽出一张任意月份的 30号或者 31

号。问小明一次至少应抽出多少张日历，才能保证满足姐姐的要求？（ ）

A. 346 B. 347

C. 348 D. 349

【例 3】某单位五个处室分别有职工 5、8、18、21和 22人，现有一项工作要从该单

位随机抽调若干人，问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和

超过 15人？（ ）

A.34 B.35

C.36 D.37

【例 4】现有 21本故事书要分给 5个人阅读，如果每个人得到的数量均不相同，那么

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10

得到故事书数量最多的人至少可以得到（ ）本。

A.5 B.7

C.9 D.11

【例 5】某单位 2011年招聘了 65名毕业生，拟分配到该单位的 7个不同部门。假设行

政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？

（ ）

A. 10 B. 11

C. 12 D. 13

【例 6】某连锁企业在 10个城市共有 100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。

如果专卖店数量排名第 5多的城市有 12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多

有几家专卖店？（ ）

A.2 B.3

C.4 D.5

【例 7】100人参加 7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数

都不一样。那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加？（ ）

A.20 B.21

C.22 D.23

【例 8】10个箱子总重 100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位

的箱子总重的 1.5倍。问最重的箱子重量最多是多少公斤?（ ）

A. 200/11 B. 500/23

C. 20 D. 25

第六讲 星期日期问题

1. 平年与闰年

（1）平年 365 天，闰年 366 天。

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（2）大月为：1、3、5、7、8、10、12 月（每月均为 31 天）；小月为： 4、6、9、11

月（每月 30 天）；2 月平年 28 天、闰年 29 天。

（3）闰年判别法则：非世纪年整除 4 为闰年，世纪年整除 400 为闰年。（世纪年指年份

末两位为 00 的年份）

2. 年龄问题

（1）过 N 年，每人都长 N 岁；

（2）两个人的年龄差在任何时间节点都不发生改变；

（3）子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪。

2. 钟表问题

（1）表盘一周为 360°，分针的旋转速度为 6°/分钟，时针的旋转速度为 0.5°/分钟；

（2）时针与分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。

【例 1】根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年 8月份有 22个工作日，那么

当年的 8月 1日可能是（ ）。

A.周一或周三 B.周三或周日

C.周一或周四 D.周四或周日

【例 2】某政府机构内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔 2

天、乙部门每隔 3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几

天同时为发布日？（ ）

A. 5 B. 2

C. 6 D. 3

【例 3】小王在每周的周一和周三值夜班，某月他共值夜班 10次，则下月他第一次值

夜班可能是几号？（ ）

A.2 B.3

C.4 D.5

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12

【例 4】甲每工作 5天休息周六周日 2天，法定节假日如非周六周日也要加班。已知

甲某年休息了 106天，那么他下一年 12月的第一个休息日是（ ）。

A. 12月 1日 B. 12月 2日

C. 12月 3日 D. 12月 4日

【例 5】张先生今年 70岁，他有三个孙子。长孙 20岁，次孙 13岁，幼孙 7岁。问多

少年后，三个孙子年龄之和与祖父的年龄相同？（ ）

A. 10 B. 15

C. 18 D. 20

【例 6】小强的爸爸比小强的妈妈大 3岁，全家三口的年龄总和 74岁，9年前这家人

的年龄总和 49岁，那么小强的妈妈今年多少岁？（ ）

A. 32 B. 33

C. 34 D. 35

【例 7】小王与父亲属相相同，小王的母亲比他父亲小 4岁，某个蛇年小王的母亲年龄

正好是小王的 3倍（年龄按阴历年份计算，出生当年算0岁），则小王的属相可能是（ ）。

A. 蛇 B. 马

C. 羊 D. 猴

【例 8】从钟表的 12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时

间约（ ）。

A.43分钟 B.45分钟

C.49分钟 D.61分钟

【例 9】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，

发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了 1小时多少分？（ ）

A.51 B.47

C.45 D.43

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13

第七讲 溶液和等差数列

基本公式：浓度=溶质÷溶液×100%

【例 1】某医院药品仓库有 14600克浓度为 98%的酒精。问加入多少克蒸馏水之后，可

以稀释成浓度正好为 73%的消毒酒精？（ ）

A．4600 B．5000

C．9600 D．19600

【例 2】烧杯中装了 100克浓度为 10%的盐水，每次向该烧杯中加入不超过 14克浓度为

50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到 25%？（假设烧杯中盐水不会

溢出）（ ）

A. 6 B. 5

C. 4 D. 3

【例 3】某饮料店有纯果汁（即浓度为 100%）10千克，浓度为 30%的浓缩还原果汁 20

千克。若取纯果汁、浓缩还原果汁各 10千克倒入 10千克纯净水中，再倒入 10千克的浓缩

还原果汁，则得到的果汁浓度为（ ）

A. 40% B. 37.5%

C. 35% D. 30%

【例 4】浓度为 15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为 10%，再加入同样多的水

后，浓度为多少？（ ）

A. 9% B. 7.5%

C. 6% D. 4.5%

【例 5】某科学兴趣小组在进行一项科学实验，从装满 100克浓度为 80%的盐水中倒出

40克盐水后，再倒入清水将杯倒满，搅拌后再倒出 40克盐水，然后再倒入清水将杯倒满，

这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（ ）。

A. 11.52% B. 17.28%

C. 28.8% D. 48%

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14

1. 等差数列

通项公式：

求和公式：和=（首项+末项）×项数×1/2 = 中位数×项数

2. 等比数列：

通项公式：

求和公式：

【例 6】老张 7月份出差回来后，将办公室的日历连续翻了 10张，这些日历的日期之

和为 265。老张几号上班?（ ）

A.20 B.4

C.2 D.1

【例 7】某商店 10月 1日开业后，每天的营业额均以 100元的 速度上涨，已知该月

15号这一天的营业额为 5000元，问该商店 10月份的总营业额为多少元（ ）

A．163100 B．158100

C．155000 D．150000

【例 8】商店本周从周一到周日出售 A、B两种季节性商品，其中 A商品每天销量相同，

而 B商品每天的销量都是前一天的一半。已知周五和周六，A、B两种商品的销量之和分别

为 220件和 210件，问从周一到周日 A商品总计比 B商品多卖出多少件？（ ）

A.570 B.635

C.690 D.765

第八讲 命题思维

【例 1】某三年制普通初中连续六年的在校生人数分别为：X1，X2，X3，X4，X5，X6。

1 ( 1) na a n d

1

1 ( 1 0, 1) n

na a q a q

1

1( 1 0, 1)

1

n

n

qS a a q

q

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15

假设该校所有学生都能顺利毕业，那么前三年的入学学生总数与后三年的入学学生总数之差

为（ ）。

A.（X1+X2+X3）-（X4+X5+X6） B. X1-X4

C. X3-X6 D.（X3-X1）-（X6-X4）

【例 2】某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可以完成一项生产

任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前 1小时完成任务；如果交换工人丙

和丁的岗位，其他人不变，也可以提前 1小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗

位，其他人不变，可以提前多少时间完成？（ ）

A.1.4小时 B.1.8小时

C.2.2小时 D.2.6小时

【例 3】某部队组织新兵从甲地到乙地进行长途拉练。去的时候第一天走 25公里，以

后每天都比前一天多走 5公里，结果最后一天只走 25公里便到达了目的地。回程时，第一

天走 35公里，以后还是每天比前一天多走 5公里，结果最后一天只走 30公里便回到出发

地。则甲乙两地相距（ ）公里。

A.175 B.200

C.225 D.250

【例 4】如下图，正方形 ABCD边长为 10厘米，一只小蚂蚁 E从 A点出发均速移动，沿

边 AB、BC、CD前往 D点。问哪个图形反映了三角形 AED的面积与小蚂蚁行走时间的关系？

（ ）

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16

【例 5】A地到 B地的道路是下坡路。小周早上 6:00从 A地出发匀速骑车前往 B地，

7:00时到达两地正中间的 C地。到达 B地后，小周立即匀速骑车返回，在 10:00时又途经

C地。此后小周的速度在此前速度的基础上增加 1米/秒，最后在 11:30回到 A地。问 A、B

两地间的距离在以下哪个范围内？（ ）

A. 小于 30公里 B. 30~40公里

C. 40~50公里 D. 大于 50公里

【例 6】某城市 9月平均气温为 28.5度，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超

过 10度，则该月平均气温在 30度及以上的日子最多有多少天？（ ）

A. 24 B. 25

C. 26 D. 27

【例 7】草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在 1至 5米之间，且任意两根旗杆

的距离都不超过它们高度差的 10倍。如果用一根绳子将所有旗杆都围进去，在不知旗杆数

量和位置的情况下，最少需要准备多少米长的绳子? （ ）

A. 40 B. 100

C. 60 D. 80

【例 8】甲、乙两名运动员在 400米的环形跑道上练习跑步，甲出发 1分钟后乙同向

出发，乙出发 2分钟后第一次追上甲，又过了 8分钟，乙第二次追上甲，此时乙比甲多跑

了 250米，问两人出发地相隔多少米？（ ）

A.200 B.150

C.100 D.50

答案

第一讲 代入排除法 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.C 7.C

第二讲 十字交叉法 1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.D 7.C

第三讲 枚举法 1.A 2.B 3.C 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B

第四讲 排列与概率问题 1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B

第五讲 最值问题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B

第六讲 星期日期问题 1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C 8.C 9.A

第七讲 溶液和等差数列 1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.D 7.B 8.D

第八讲 命题思维 1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 6.B 7.D 8.B

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