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esperanza-san-martin-mora
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EC. DIFERENCIAL
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Ej:1) Hallar la solución de:
1)0(,0' yyy no tiene solución ya que y=0 es la única solución.
2) Hallar la solución de y’= x y(0) =1
Tiene precisamente una solución , a saber,
12
1 2 xy
3) Hallar la solución de xy’=y-1 y(0)=1
Tiene un número infinito de soluciones , a saber y=1+cx donde c es arbitraria.
EC. DIFERENCIAL
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4) El problema del tipo puede tener ninguna, precisamente una, o más de una solución. Esto conduce a plantearse dos problemas fundamentales.
00 )();,(')( yxtyxfyI
a) Problema de Existencia. ¿en qué, condiciones un problema con valor inicial de la forma tiene por lo menos una solución .)(I
b) Problema de Unicidad. ¿en qué condiciones un problema tiene una solución única?
Estas condiciones se rigen por los teoremas de existencia de unicidad, respectivamente.
Las condiciones para la existencia y unicidad de la solución son relativamente sencillas. Si es continua en alguna región del plano xy que contiene al punto.
Entonces el problema tiene por lo menos una solución. Si además, la
)(I
derivada parcial y
f
es continua en una región, entonces el problema tiene)(I
precisamente una solución.
EC. DIFERENCIAL
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Teorema de existencia.
Si es continua en todos los puntos (x,y) en alguna región R),( yxf
R: para todo
byyaxx 00Kyxf ),( Ryx ),(
entonces tiene como mínimo, una solución00 )();,(' yxYyxfy y(x), la cual está definida por lo menos para todo x en el intervalo
Donde es el menor de los números 0xx Kbya ,
Ecuación de primer orden y de grado “n” con respecto a y’.
0),('),(....)')(,()'( 11
1 yxpyyxPyyxPy nnnn1)
Resolvemos esta ecuación con respecto a y’. Sean “2”)(),(');,(' 21 nKyxfyyxfy
Las soluciones reales de la ecuación “1”
El conjunto de las integrales. ”3”
.0),,(1 cyx 0),,(,....0),,(2 cyxcyx k
EC. DIFERENCIAL
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donde (x,y,c)=0 es la integral de la ecuación representa la integral general de la ecuación “1” .
)....1(),(' kiyxfiy Por lo tanto, por cada punto del dominio en que y’ toma valores reales, pasan
curvas integrales .1 k n
Ej: 1) Resolver la ecuación
0')('2 xyyxyy
Solución: Despejando y’ tenemos
EC. DIFERENCIAL
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222
22
11
22
2
,
'2
)('
1'2
)('
2
2'
2
4)('
cxycxy
y
xy
y
yxxyy
yy
yxxyy
y
yxyxxyy
y
xyyxxyy
Continuando....
EC. DIFERENCIAL
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0)(')2(' 22 xyxyyxy2)
cx
y
xyyyx
y
soluciónlaobtenerdetratecQdxeyeQPydx
dy
siguientelaaplicandoresuelveseecuaciónestayxyyyx
y
yyxy
xyxyxyxyxy
xyxyxyxy
PdxPdx
2
'2
2'
'2
2'
2
2'
2
44442'
2
)(4)2(2'
2
22
11
2
222
22
sustitución
EC. DIFERENCIAL
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Factor de integración en Ec. Diferenciales
1) 02)1( 22 xydydxyx
Sabemos que 2y
xdyydx
y
xd
222
22
222
222
222
22
22
)1(
2)1(
)1(
22
)1(
)22()1(
1
yx
xydydxyx
yx
xydydxxdxydxxdx
yx
ydyxdxxdxyx
yx
xd
Luego vemos que varia en un signo por lo tanto tenemos que romper otra diferencial.
EC. DIFERENCIAL
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222
22
222
222
222
22
22
)1(
2)1(
)1(
22
)1(
)22()1(
1
yx
xydydxyx
yx
xydydxxdxydxxdx
yx
ydyxdxxdxyx
yx
xd
Luego tenemos que 22222
)1(
1/02)1(
yxxydydxyx
/01(
)1(
2)1(
22
222
22
yx
xd
yx
xydydxyx
1
1
1
21
122
22
xxcy
xcyx
cyx
x
EC. DIFERENCIAL
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2) 0)22()52( 32 dyxxdxyyx
carctgxyx
arctgxdxyd
x
dxxdyydx
xdyx
dxydx
xdyxxdxxy
5*2
/;0)(5)2(
01
522
021
52
1
1/;0)1(25)1(2
2
2
222
EC. DIFERENCIAL
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Ecuaciones diferenciales Transformadas de Laplace.
Se definen en términos de la integral impropia. Recordar la integral de Ricmann.
b
adxxf )( : Si se hacen los límites infinitos.
”1” , para continua , se define
0)( dxxf f ,0
0
)( dxxf R
limR
dxxf0
)( , si dicho límite existe dice que “1” converge
(si no converge).(De aquí el criterio de convergencia de la integral).
Si el integrado contiene un parámetro, supóngase continua ),( xsf
0 Byxs
Y que la integral converge .
0
),( dxxsf )(s ,s
EC. DIFERENCIAL
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Ej: Encontrar los valores de s para los cuales
0
2 )1()( dxess sxconverge y
encontrar una fórmula para . )(s
Si s=0 , la divergeSi
dxess sx
0
2 )1(0R
lim dxesR sx
0
2 )1(
)1(
1)1( 2 sRe
ss
R
lim
si 0s R
lim0 sRs : límite existe
si 0s lim no existe
Por lo tanto la integral converge 0 s y para otros valores de s :
s
ss
21)(
EC. DIFERENCIAL
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Transformadas de Laplace.
Supóngase que )(xf es función en ,0 tal que dxxfe sx )(0
converge para algunos valores de s.
Esta integral depende y de s. se puede determinar una función)(xf
,asociada con tal que))(( xfL )(xf
dxxfexfL sx )())((0 , para esos valores de s para los cuales la integral converge.
se llama la Transformada de Laplace de.
NOTA: L es un operador.Propiedades
))(())(())()(( xbLxfaLxbxafL 1)
EC. DIFERENCIAL
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2) si f y son continuas en ,0 y ))((2))(( xxfL entonces )()( xxf
3) si es continua en y entonces existe en s. Si ' ,0x
lim0)( xfe sx ))(( xfL
Y sólo si existe en s y.
))(( xfL
4) (como lo del anterior) Supongamos continua en y sí f ,0 x
dtxfxF0
)()(
existe entonces, existe y = , ))(( xfLx
lim0)( xFe sx))(( xfL ))(( xfL ))((
1xfL
s
que significa lo mismo que
xxfL
sdtxfL
0))((
1)(
1) 1)demostrar que para s
L1
)1( 0s
Dem: dxeL sx1)1(
0 R
lim dxeR sx
0
dxd
x
sx
sx
es
ed
1
EC. DIFERENCIAL
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=
R
lim
dxess
xe R sx
Rsx
00
1
rsx
sR
ess 0
2
1Re
=
R
lim
2
sR-2
11
1
se
s
R
lim=
Otra forma de hacerlo.
Aplicando propiedad “4” se tiene
Sea 1)( xf
x
sxFxdtxf0
0);()(
xlim
)(xFe sx
xlim 0 sxxe
EC. DIFERENCIAL
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2
1)1(
1)(
)))(((1
))((
sL
sxL
xfLLs
xfL
Análogamente si , entonces xxf 2)( 2)( xxF
y xlim
)(xFe sx
xlim 02 xe sx
322 21
*2
)(2
)2(1
)(sss
xLs
xLs
xL
NOTA: Las transformadas de pueden calcularse como anteriormente .
,.....)3,2,1( nxn
IEC. DIFERENCIAL
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Ejercicios:
1) resolver
4
21))((4)0(')0())((
)()())((4))(''(
)()4''(
0)0(')0(;24''
222
ssxyLysyxyLs
senxLxLxyLxyL
senxxLyyL
yyxsenxyy
22
122
1
)4(
12
)4(
1)(
sL
ssLxy
A B
Por “15” : xxxB 2cos22sen8
1
EC. DIFERENCIAL
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)4(
44)()(
)4(
44
4)4(
1
22
23
22
2323
2222
ss
BAssDBscA
ss
DscsBBsAsAs
s
Dcs
s
B
s
A
ssA
14
04
0
0
B
A
DB
cA
4
1
04
1
0
D
C
B
A
)4(4
1
4
122
ss
A
EC. DIFERENCIAL
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por “2” y “9” se tiene
xxxsenxsenxBAy
xsenxA
2cos4
12
8
12
8
1
4
1
28
1
4
1
xxxy 2cos4
1
4
1
1) Resolver la ecuación:
0322
2
ydx
dy
ax
yd
Se puede resolver utilizando la ecuación auxiliar.
Presione Enter
13
0)1)(3(
032
21
2
d
EC. DIFERENCIAL
Según la solución general
xx ececy 2121
xx ececy 2
31
1)
05'4'' yyy3)
Ecuación algebraica característica.
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EC. DIFERENCIAL
)(
2
2
542
054
212
)2(2
)2(1
2
1
2
ixixx
xixi
ececey
ececy
i
i
Se puede aplicar la relación de Euler.
isenxccxccey
isenxxcisenxxcey
isenxxe
isenxxe
x
x
ix
ix
)(cos)(
)(cos)(cos
cos
cos
21212
212
EC. DIFERENCIAL
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Sea 121 Kcc
221 )( Kicc
)sencos( 212 xKxKey x
4) xyyY sen58'2''
xx ececYh
yhhyhY
42
21
21 4;2
811
08'2''
EC. DIFERENCIAL
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senxABxBAsenx
senxxBAsenx
BsenxxAxBAsenxYhpYpY
xBAsenxpY
BsenxxApY
xBAsenxYp
5)29(cos)29(
5cos88
)cos(2cos8'2''
cos''
cos'
cos
092
529
BA
BA2
17
9
85
45
458517
2
85
10
1085
A
A
B
xxececY xx cos17
2sen
17
942
21
EC. DIFERENCIAL
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Ecuación lineal homogénea de 2º orden con coeficientes constantes:
“1” 0''' byayY con a y b ctes.Sean y dos números tales que:1 2
b
a
21
21
“2”
Estos números están bien determinados, ya que cumplen dos condiciones independientes entre sí. Para determinarlo bastaría resolver el sistema “2”. Reemplazando “2” en “1”.
0')('' 2121 yyY
0)'(''' 121 yyyyY ”3” Sea yY 1' “4”
Siendo “ ” función de x ; ) (x
EC. DIFERENCIAL
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'''' 1YY Reemplazando en “3” se tiene:
que es una ecuación de 1ª orden para .0' 2
Tiene como solución general
xKe 2 “5”
“5” en “4”
x
xxx
x
eyY
yeeYeY
KeYY
1
11
2
)'(
)('*
**)'(
'
1
1
1
Es el primer miembro de nuestra ecuación diferencial.
EC. DIFERENCIAL
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xxx
xx
ekyeeY
eekyY
)(11
11
1211
1
2
'
**'
Integramos respuesta a “x”
xx
xxx
xx
eKeK
Y
eKe
KYe
KdxeKdxey
12
1
121
121
212
2)(
12
2)(
1'*
Sea 212
112 c
KcK
xx ececY 2121
EC. DIFERENCIAL
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Casos particulares:
a) 02
2
ba 21
b) 0
2
2
ba IR 21
c) 02
2
ba son complejas conjugadas.
Como b) ..Sí 21
Se tiene: 0''' bYaYY21 y
b
a
21
21
EC. DIFERENCIAL
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2)(
21
1
)(1
)(11
11
1
2
1
1
121
121
211
211
2111
1
2
2
'
)('
'
0'
''''
'.
0)'('''
0')(''
KeK
ye
dxekdxye
Kyeey
eeKyy
eK
yy
yySea
yyyy
yyy
xx
xx
xxx
xx
x
EC. DIFERENCIAL
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Siempre que 21
Si quede 21
dxKdxye x1'
xx
eKxKye
21
21 KxKey x
1) Resolver:
2354''3''' 23 xxyyy
Ec. Característica.
0)1()2(
043
04''3'''
2
23
yhhyhy
EC. DIFERENCIAL
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1
2
2
3
2
1
xxx ececxecyh 32
22
1
Solución particular
2354466)184(44
23544446186
6'''
26''
23'
2323
2323
2
23
xxDBBAACxBxAx
xxDCxBxAxBAxA
Apy
BAxpy
CBxAxpy
DCxBxAxyp
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34
2466
0184
54
B
DBA
AC
A
4
454
34
5
C
B
A
8
11
4
45
4
3
4
5 23 xxxyp
2
1
4
45
4
3
4
5 233
22
21 xxxececxecy xxx
EC. DIFERENCIAL
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