極小曲面を用いた量子ナノ構造 - Tohoku University Official ......Oguey & Sadoc, J. Phys. I France 3, 839 (1993) 極小曲面を用いた量子ナノ構造さきがけ数学塾「変分法入門」2011年3月8日

極小曲面を用いた量子ナノ構造

東北大多元研藤田伸尚

さきがけ数学塾「変分法入門」 2011年3月8日

骨子

1. 物質の安定構造

2. 周期的極小曲面

3. 曲面に拘束された電子

4. Bonnet族とバンド構造

5. 波動関数の対称性とノード線

6. まとめ



１．物質の安定構造




Cu-Mg 二元合金系の相図

Cu Cu2Mg CuMg2 Mg

Mg/(Cu+Mg)モル率

自由エネルギー最小

熱力学的平衡状態（安定構造）

- Gas- Liquid- Solid (crystal/amorphous/quasicrystal)

絶対温度


1. 物質構造の安定性

NSTU

自由エネルギー

シャボン膜の曲面構造

SS dAdA （表面積）



Plateau問題J. A. F. Plateau,

Statistique Expérimentale et Théorique des

Liquides soumis aux seules Forces

Moléculaires (Gauthier-Villars, Paris, 1873).

( : 表面張力 [J/m2=N/m] )

与えられた境界 C に対し最小面積を持つ曲面



曲面の表面積の最小化（„Surface evolver‟によるシミュレーション）

① ② ③ ④ ⑤

Wire frameScherkの第１曲面

所与の境界条件に対する面積最小化曲面

平均曲率 H が至る所でゼロである曲面

極小曲面



Laplaceの法則

p1 p2=2 H

空気圧p1

空気圧p2

シャボン膜の両側で圧力差が無い場合のみ

極小曲面が形成する

Weierstrass-Enneper表現

あらゆる極小曲面は、有理型関数 F() を用いて解析的に表現できる

)()(Re)(),( 3R

ieivuxvux

1111

2

111

2

11

3

)(2,)1)((,)1)((

)()(

dFdiFdF

C = Bonnet angle



Weierstrass-Enneper表現

曲面上の各点のGauss写像 g(x) とその複素平面（平面）へのステレオ投影

1||

1||,

1||

Im2,

1||

Re2

||)(

2

2

22

xx

xxx

vu

vug



x

g(x)g(x)

２．周期的極小曲面



周期的極小曲面高分子集合系（ソフトマター）において自己組織化により形成する



Reconstructed image from electron diffraction

O. Terasaki et al.Microsc. Microanal. 8, 35 (2002).

G曲面シリカメソ多孔体

C. Gao et al.Angew. Chem. Int. Ed. 45, 4295 (2006).

D曲面Scherkの曲面

E. L. Thomas et al.Nature 334, 598 (1988).

PS/PBブロック共重合体シリカメソ多孔体



Scherkの曲面 (H.F. Scherk, 1834)

第１曲面（二重周期）第２曲面（一重周期）



SchwarzのD曲面(1890)

P, D, G曲面（三重周期）

SchwarzのP曲面(1890)

SchönのG曲面(1970)



1

4)(

4

F

)(Re)(1

1ln2,

1

1ln

2,

1

1ln

2)(

2

2

x

ii

i

i

Weierstrass-Enneper積分の実行 (Scherk)

実部

11112

111

2

11 )(2,)1)((,)1)(()( dFdiFdF



1

4)(

4

F

)(Re)(1

1ln2,

1

1ln

2,

1

1ln

2)(

2/

2

2

iex

ii

i

i

Weierstrass-Enneper積分の実行 (Scherk)

実部

11112

111

2

11 )(2,)1)((,)1)(()( dFdiFdF



1

4)(

4

F

基本並進ベクトルの同定(Scherk)

実部

11112

111

2

11 )(2,)1)((,)1)(()( dFdiFdF

B

A

ii

i

i

)0,0,4(Re

)0,4,0(Re

4,0,4,4,4,0

1

1

C1 C1 C1C1 C1 C1

Ci Ci Ci

Ci Ci Ci

A

B

一位の極を反時計回りに周回する軌道上の積分は留数定理を用いて求められる。



1

4)(

4

F

基本並進ベクトルの同定(Scherk)

実部

11112

111

2

11 )(2,)1)((,)1)(()( dFdiFdF

Ce

Ce

ii

i

i

i

i

)4,0,0(Re

)4,0,0(Re

4,0,4,4,4,0

2/

1

2/

1

C1 C1 C1C1 C1

Ci Ci Ci

Ci Ci Ci

C

C1

一位の極を反時計回りに周回する軌道上の積分は留数定理を用いて求められる。

I II

1

2

34

56

7

8

1

2

34

56

7

8



84141

1)(

F

Weierstrass-Enneper積分の実行(P, D, G曲面)

3,2,1,0

4

)12(

8,...,2,12

13}{

n

ni

jj e

二位の分岐点（branch point）

F(z)の定義域：２枚の複素平面を接合したRiemann面



84141

1)(

F

3,2,1,0

4

)12(

8,...,2,12

13}{

n

ni

jj e

二位の分岐点（branch point）

F(z)の定義域：２枚のGauss球面を接合したRiemann面


3

2

4

1

6

7

8

5

I II3

2

4

1

6

7

8

5



)(Re)(

1

1

2

1)(

)1()1

1(),

1

2(),

1

2()(

0 42

2

2

22

iex

df

ffi

ff

84141

1)(

F

P D G

0 90 51.985


1

2

34

56

7

8



84141

1)(

F

基本並進ベクトルの同定(P, D, G曲面)

),,(

),,(

),,(

3

2

1

risis

isris

isisr

686.1,156.2

)(2 3/26/

sr

eKeisr ii

C1

C2

C3 C5

C4 C6

)0,,(

),0,(

),,0(

6

5

4

isrisr

isrisr

isrisr

Oguey & Sadoc, J. Phys. I France 3, 839 (1993)



基本並進ベクトルの同定(P曲面)

),0,0(Re

)0,,0(Re

)0,0,(Re

3

2

1

r

r

r

686.1,156.2

)(2 3/26/

sr

eKeisr ii

)0,,(Re

),0,(Re

),,0(Re

6

5

4

rr

rr

rr


SchwarzのP曲面(1890)

2

1

354

6



基本並進ベクトルの同定(D曲面)

686.1,156.2

)(2 3/26/

sr

eKeisr ii


SchwarzのD曲面(1890)

24

6

5

1

3 )0,,(Re

),0,(Re

),,0(Re

3

2

1

ssi

ssi

ssi

)0,,(Re

),0,(Re

),,0(Re

6

5

4

ssi

ssi

ssi



基本並進ベクトルの同定(G曲面)

686.1,156.2

)(2 3/26/

sr

eKeisr ii


SchönのG曲面(1970) 22 sr

rsb

2

3

1

4

6

5

),,(Re

),,(Re

),,(Re

322

222

122

bbbsr

irs

bbbsr

irs

bbbsr

irs

)0,2,0(Re

)0,0,2(Re

)2,0,0(Re

622

522

422

bsr

irs

bsr

irs

bsr

irs



曲面の基本単位に関する考察

I

12

34

56

78

II

12

34

56

78



P・D・G曲面の定義域なるRiemann面

双曲平面上の対辺を同一視した十二角形(3-torus)

Fundamental patch（単位胞 Unit cell）

同相写像（特異点以外は等角写像？）

等角写像（共形変換）

96 個の合同な(2,4,6)三角形からなる

Poincaréモデル

0°

primitive cell (P)

P表面



2

1

3

5

4

6

9°



18°



27°



36°



45°



51.985°

primitive cell (I)

s

rarctan



5

64

1

3

2

G表面

54°



63°



72°



81°



90°

primitive cell (F)

D表面



4

5

6

1

2

3

u

vP(SC)

0

u

vD(FCC)

2/

u

vG(BCC)

)/arctan( sr



Bonnet族

Bonnet変換

同一のF() に対して、一般に異なるBonnet角を持つ幾つかの極小曲面が存在する。（極小曲面のBonnet族）



３．曲面に拘束された電子



曲面上のSchrödinger 方程式

Jensen & Koppe, Quantum Mechanics with Constraints, Ann. Phys. 63, 586 (1971).

da Costa, Quantum mechanics of a constrained particlePhys. Rev. A 23, 1982 (1981)

Ikegami & Nagaoka, Quantum Mechanics of an Electron on a Curved InterfaceProg. Theor. Phys. 106, 235 (1991)

Ikegami, Nagaoka, Takagi & Tanzawa, Quantum Mechanics of a Particle on a Curved Surface – Comparison of Three Different Approaches

Prog. Theor. Phys. Suppl. 88, 229 (1992)



u1

u2




),(),()(8

1

2

21212

21

22

1,

2

uuEuumu

ggugm kj

k

jk

j

曲面の計量kj

jk dudugds 2

主曲率 21,

u

v




),(),()(8

1

2

21212

21

22

1,

2

uuEuumu

ggugm kj

k

jk

j

2222

222

)||1(|)(|)(

)(

F

dvduds

複素座標 ivu

曲面の計量

極小曲面

主曲率 21,

u

v




),(),()||1(

4

)(

1

2 222

2

2

22

vuEvuvum

2222

222

)||1(|)(|)(

)(

F

dvduds

複素座標 ivu

曲面の計量

極小曲面

主曲率 21,

u

v




),(),()||1(

4

)(

1

2 222

2

2

22

vuEvuvum

Aoki, Koshino, Takeda, Morise & Kuroki, Electronic structure of periodic curved surfaces: Topological band structure , Phys. Rev. B 65, 035102 (2001).

ieivu2

cot

2

2

2

2

22

2

2

4

8

),(),(1sin

1cot

|)(|

)cos1(

Em

F

曲率・対称性・トポロジーが電子波の伝播と干渉を規定し、定常波(共鳴状態)を決定する

幾何学的に制御された電子構造(スペクトル）

曲面上に拘束された電子

“Can one hear the shape of a drum ?” Marc Kac, Am. Math. Mon. 73, 1-23 (1966).



４．Bonnet族とバンド構造



結晶のバンド構造



固体電子論におけるブロッホの定理（Bloch‟s theorem)

周期ポテンシャル中の電子固有関数系・固有値（ブロッホ関数）

並進対称群の1次元表現

（バンド構造）)(

)(

kEE

ReTk

Rki

kR

RRTHHTR

ˆˆ に対して、

子はハミルトニアン演算但し、H

EH

ˆ

ˆ

)()(

)( *

kEGkE

GGkk

、及び、は同一の表現を与える。



),(),(1sin

1cot

|)(|

)cos1(2

2

22

2

2

4

F

周期的極小曲面の場合（Riemann面上）

)0,4,0( B

)0,0,4( A

Aki

ke

Aki

ke

k

Bki

ke

Bki

ke

)( BAki

ke

)( BAki

ke

)( BAki

ke

)( BAki

ke

Scherkの第1曲面

Re

Im

i

i

11O

)exp( Bki

)exp( Aki

)exp( Bki

)exp( Aki

バンド構造

)(k

Re

Im

i

i

11O

)exp( Cki

)exp( Cki

)exp( Cki

)exp( Cki



),(),(1sin

1cot

|)(|

)cos1(2

2

22

2

2

4

F


バンド構造

)(k

)4,0,0( C

k

Cki

ke

Cki

ke

Scherkの第2曲面

Re

Im

i

i

11O

)exp( 1

ki

)exp( iki

)exp( 1

ki

)exp( iki



),(),(1sin

1cot

|)(|

)cos1(2

2

22

2

2

4

F


バンド構造

)(k

)4,0,0( C

k

Cki

ke

Cki

ke

Scherkの第2曲面

)0,4,0( B

)0,0,4( A

Aki

ke

Aki

ke

k

Bki

ke

Bki

ke

)( BAki

ke

)( BAki

ke

)( BAki

ke

)( BAki

ke

Scherkの第1曲面

Scherk曲面族



j

R6

Riemann面上の閉曲線に対するWE積分 Bloch位相

jki

exp

Bonnet族のバンド構造

)(kE

個別曲面のバンド構造

)( )(kE

Re

Im

i

i

11

)exp( 1

ki

)exp( iki

)exp( 1

ki

)exp( iki

周期的極小曲面のバンド構造

),(),(1sin

1cot

|)(|

)cos1(2

2

22

2

2

4

F

Schrödinger eq.

Riemann面上の基本閉曲線に対する位相の回転

branch cut

I II



jki

exp

P・D・G曲面の場合

j

j

jk

,但し、 R6 （C3）Bonnet族のバンド構造

)(k

)()(2

k

Tki

k

je

jj TT~



)0,,,0,,(),0,,,,0,0(

),0,,,0,(),,0,,0,,0(

),,0,,,0(),,,0,0,0,(

63

52

41

ssrrssr

ssrrssr

ssrrssr

実空間R6(C3)における

並進対称群6を生成

基本格子ベクトル

),0,0,0,,(),0,,,0,,(

)0,,0,,0,(),,0,,,0,(

)0,0,,,,0(),,,0,,,0(

63

52

41

srrQssrrQ

srrQssrrQ

srrQssrrQ

ijjiQ 2

ssrr /1,/1 但し、

基本逆格子ベクトル逆格子空間R6(C3)における


1exp jiQi



バンド構造は、 -周期関数)(k

6

*

6),()( GkGk

),0,0,0,,(),0,,,0,,(

)0,,0,,0,(),,0,,,0,(

)0,0,,,,0(),,,0,,,0(

63

52

41

srrQssrrQ

srrQssrrQ

srrQssrrQ

ijjiQ 2

ssrr /1,/1 但し、

基本逆格子ベクトル逆格子空間R6(C3)における


1exp jiQi

P表面のバンド構造

mPmmIm 3/3



)( k

EP

各エネルギー準位に付記されている数字は、当該波数における空間群の既約表現の番号J. Zak et al, “The Irreducible Representations of Space Groups”(Benjamin, New York, 1969)


P表面のバンド構造

mPmmIm 3/3



)( k

EP

G表面のバンド構造

324/3 1IdIa



)( k

EG


D表面のバンド構造

mFdmPn 3/3



)( k

ED




二つの曲面X, Yに対してを満たす波数における位相の回転は等価

*

6, GkGk YX

YX kk

,

EP

EGED

k

エネルギー固有値とは厳密に一致バンド構造において二つの部分空間上の断面が交差する（バンド交差）

)( Xk

)( Yk

)(k

N. Fujita and O. Terasaki, “Band structure of theP, D, and G surfaces” Phys. Rev. B 72, 085459 (2005).



バンド交差 P曲面Pm3m(Im3m)

D曲面Fd3m(Pn3m)

G曲面I4132(Ia3d)

I G1 G1 H1 G1 G1 R1 G1

II M3 ( N6 ) X3 ( M3, X3 ) ―

III R1 ( P2 ) ― H1

単純立方格子

kx

kz

kySM Z

X

R

STG D

kxky

kz

PF

H

GN

DG

S

D

体心立方格子

kxky

kz

PF

H

GN

DG

S

D

体心立方格子

５．波動関数の対称性とノード線



ノード線ｆｆｆｆｆ

曲面と垂直交差する鏡映面曲面上の二回軸

mirror plane

surface

0 0

0

2-fold axis

surface

0

00

曲面上の曲線を不変に保つ対称操作に対して既約表現が奇ならば、ノード線が存在する

00

0



P表面



D表面



ノード線（高密度）波動関数は大きな空間的変化

大きな運動エネルギーが必要

多くノード線を伴う既約表現の固有関数は、低エネルギー領域には存在しないが、エネルギーの上昇と共に出現する。

周期的極小曲面の電子構造の大局的な特徴を理解する上で、ノード線が重要な手掛かりとなると期待される

PD



６．まとめ• Weierstrass-Enneper表現による周期的極小曲面の記述

•曲面のトポロジーは高次元におけるトポロジーの投影

•周期的極小曲面に拘束された電子に対するSchrödinger方程式はWE表現に基づいて定式化可能

•同一のBonnet族に属する周期的極小曲面に拘束された電子は、リーマン面上等価なSchrödinger方程式に従う

•リーマン面上の特異点を囲む任意の閉曲線における位相の回転が曲面のトポロジーによって指定される（Bloch条件）

•個別曲面のバンド構造は高次元の仮想的バンド構造の物理空間断面として記述可能（各バンド構造の接続）

•ノード線の発生と空間群の既約表現との関連付け



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