EcDif-Rainville, Bedient y Bedient

QA371 R293 1998 RAINVILLE V EARL D.

11111111111111111111111111111111111111111111111111 LB004503

ECUACIONES DIFERENCIALES

http://carlos2524.jimdo.com/

Ecuaciones diferenciales OCTAVA EDICIN

Earl D. Rainville V Late Professor of Mathematics University of Michigan

Phillip E. Bedient Professor Emertius of Mathematics Franklin and Marshall College

Richard E. Bedient Professor of Mathematics Hamilton College

Traduccin: Vctor HU~Ibarra Mercado Lic. en Fsi y Matemticas ESFM, Instit to Politcnico Nacional

Revisin Tcnica: Oscar Alfredo Palmas Velasco Matemtico Facultad de Ciencias, UNAM

PRBNTICE HALL

MXICO NUEVA YORK BOGOT LONDRES MADRID MUNICH NUEVA DELHI PARS Ro DE JANEIRO SIDNEY

SINGAPUR TOKIO TORONTO ZURlCH


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RAINVILLE: ECUACIONES DIFERENCIALES, Octava Edicin

Traducido del ingls de la obra: ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, 8a. Ed.

AIl rights reserved. Authorized translation from English language edition published by Prentice-Hall, Inc.

'------Todos los derechos reservados. Traduccin autorizada de la edicin en ingls publicada por Prentice-Hall, Inc.

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Prohibida la reoroduccin total o oarcial de esta obra, por cualquier medio o mtodo sin autorizacin por escrito del editor. Derechos reservados 1998 respecto a la primera edicin en espaol publicada por:

Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. Calle 4 N9 25-29 piso Fracc. Ind. Alce Blanco, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico, c.P. 53370 ISBN 970-17-0069-4 Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Nm. 1524. Original English Language Edition Published by Prentice-Hall, Inc. A Simon & Schuster Company Copyright MCMXCVII Al! rights reserved ISBN 0-13-508011-8

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3000 1998


Para Esther, Marie, Betsy

Katey Adam


Contenido

Prefacio / Xl1l

1 Definiciones; familias de curvas / 1 1.1 Ejemplos de ecuaciones diferenciales / 1 1.2 Definiciones / 2 1.3 Familias de soluciones / 5 1.4 Interpretacin geomtrica / 10 1.5 Las isoc1inas de una ecuacin / 12 1.6 Un teorema de existencia / 14 1.7 Suplemento para computadora / 15

2 Ecuaciones de orden uno / 18 2.1 Separacin de variables / 18 2.2 Funciones homogneas / 24 2.3 Ecuaciones con coeficientes homogneos / 25 2.4 Ecuaciones exactas / 29 2.5 La ecuacin lineal de orden uno / 35 2.6 La solucin general de una ecuacin lineal / 38 2.7 Suplemento para computadora / 43

3 Mtodos numricos / 45 3.1 Observaciones generales / 45 3.2 Mtodo de Euler / 45 3.3 Una modificacin al mtodo de Euler / 48

v


vi Contenido

3.4 Un mtodo de aproximacin sucesiva / 49 3.5 Una mejora en el mtodo

de aproximacin sucesiva / 51 3.6 Uso del teorema de Taylor / 52 3.7 Mtodo de Runge-Kutta / 54 3.8 Un mtodo de continuacin / 58 3.9 Suplemento para computadora / 60

4 Aplicaciones elementales / 62 4.1 Velocidad de escape desde la Tierra / 62 4.2 Ley del enfriamiento de Newton / 64 4.3 Conversin qumica simple / 65 4.4 Crecimiento logstico y precio de mercancas / 69 4.5 Suplemento para computadora / 73

5 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno / 75 5.1 Factores integrantes determinados por inspeccin / 75 5.2 Determinacin de factores integrantes / 79

\ 5.3 Sustitucin sugerida por la ecuacin / 83 5.4 Ecuacin de Bernoulli / 86 5.5 Coeficientes lineales en dos variables / 89 5.6 Soluciones que involucran integrales no elementales / 94 5.7 Suplemento para computadora / 97

6 Ecuaciones diferenciales lineales / 99 6.1 La ecuacin lineal general / 99 6.2 Un teorema de existencia y unicidad / 100 6.3 Independencia lineal / 102 6.4 El Wronskiano / 103 6.5 Solucin general de una ecuacin homognea / 106 6.6 Solucin general de una ecuacin no homognea / 107 6.7 Operadores diferenciales / 109 6.8 Leyes fundamentales de operacin / 111 6.9 Algunas propiedades de los operadores diferenciales / 113 6.10 Suplemento para computadora / 115


Contenido

/

vii

7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes / 117 7.1 Introduccin / 117 7.2 La ecuacin auxiliar: races distintas / 117 7.3 La ecuacin auxiliar: races repetidas / 120 7.4 Una definicin de exp z para valores complejos de z / 123 7.5 La ecuacin auxiliar: races complejas / 125 7.6 Una observacin acerca de las funciones hiperblicas / 127 7.7 Suplemento para computadora / 132

8 Ecuaciones no homogneas: coeficientes indeterminados / 134 8.1

8.2 8.3 8.4 8.5

Construccin de una ecuacin homognea a partir de una solucin especfica / 134 Solucin de una ecuacin no homognea / Mtodo de coeficientes indeterminados / Solucin por inspeccin / 144 Suplemento para computadora / . 150

9 Variacin de parmetros / 152 9.1 Introduccin / 152 9.2 Reduccin de orden / 152 9.3 Variacin de parmetros / 156 9.4 Solucin de yl! + Y = ex) / 161 9.5 Suplemento para computadora / 164

10 Aplicaciones / 165 10.1 Vibracin de un resorte / 165 10.2 Vibraciones no amortiguadas / 167 10.3 Resonancia / 169 10.4 Vibraciones amortiguadas / 172 10.5 El pndulo simple / 177 10.6 Leyes de Newton y movimiento planetario 10.7 Fuerza central y la segunda ley de Kepler 10.8 Primera ley de Kepler / 180

/

137 139

/ 178 179


viii Contenido

10.9 Tercera ley de Kepler / 182 10.10 Suplemento para computadora / 184

11 Sistemas de ecuaciones lineales / 186 11.1 Introduccin / 186 11.2 Sistemas de primer orden con coeficientes constantes / 186 11.3 Solucin de un sistema de primer orden / 187 11.4 Repaso de lgebra matricial / 189 11.5 Revisin de sistemas de primer orden / 195 11.6 Valores propios complejos / 204 11.7 Valores propios repetidos / 208 11.8 Plano fase / 216 11.9 Suplemento para computadora / 222

12 Sistemas no homogneos de ecuaciones / 224

13

14

12.1 Sistemas no homogneos / 224 12.2 Carrera armamentista / 228 12.3 Circuitos elctricos / 232 12.4 Redes sencillas / 235

Existencia y unicidad de soluciones 13.1 Observaciones preliminares / 243 13.2 Un teorema de existencia y unicidad 13.3 Condicin de Lipschitz / 246

/

/

13.4 Demostracin del teorema de existencia 13.5 Demostracin del teorema de unicidad / 13.6 Otros teoremas de existencia / 251

La transformada de Laplace / 252 14.1 El concepto de transformacin / 252 14.2 Definicin de la transformada de Laplace 14.3 Transformadas de funciones elementales

243

243

/ 250 250

/ 253 / 253

14.4 Funciones continuas por secciones / 257 14.5 Funciones de orden exponencial / 258 14.6 Funciones de clase A / 261


Contenido

\

14.7 14.8 14.9 14.10

Transformada de derivadas / Derivadas de transformadas / La funcin gamma / 267 Funciones peridicas / 269

263 266

15 Transformadas inversas / 274 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10

Definicin de una transformada inversa / 274 Fracciones parciales / 277 Problemas de valor inicial / 280 Funcin escaln / 286 Un teorema de convolucin / 294

, Ecuaciones integrales especiales / 298 Mtodos de transformacin y vibracin de resortes Deflexin de vigas / 307 Sistemas de ecuaciones .. / 310 Suplemento para computadora / 316

/ 303

16 Ecuaciones no lineales / 320 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10

Observaciones preliminares / 320 Factorizacin del miembro izquierdo / 320 Soluciones singulares / 323 Ecuacin con discriminante e / 325 La ecuacin con discriminante p / 326 Eliminacin de la variable dependiente / 328 Ecuacin de Clairaut / 330 Ecuaciones sin variable dependiente explcita / 334 Ecuaciones sin variabl~ independiente explcita / 335 La catenaria / 338

17 Soluciones en series de potencias / 342 17.1 Ecuaciones lineales y series de potencias / 342 17.2 Convergencia de series de potencias / 343 V 17.3 Puntos ordinarios y puntos singulares / 345

ix

17.4 Validez de las soluciones cerca de un punto ordinario / 347 17.5 Soluciones cerca de un punto ordinario / 347 17.6 Suplemento para computadora / 256


x Contenido

18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares / 358 18.1 Puntos singulares regulares / 358

19

18.2 Ecuacin indicatriz / 360 18.3 Forma y validez de soluciones

cerca de un punto singular regular / 362 18.4 Ecuacin indicatriz cuya diferencia

entre las races no es un entero / 363 18.5 Diferenciacin de un producto de funciones / 367 18.6 Ecuacin indicatriz con races iguales / 368 18.7 Ecuacin indicatriz con races iguales:

una alternativa / 374 18.8 Ecuacin indicatriz cuya diferencia entre races

es un entero positivo: caso no logartmico / 377 18.9 Ecuacin indicatriz cuya diferencia entre races

es un entero positivo: caso logartmico / 381 18.10 La solucin para valores grandes de x / 385 18.11 Relaciones de recurrencia

que dependen de varios trminos / 388 18.12 Resumen / 392

Ecuaciones de tipo hipergeomtrico / 19.1 Ecuaciones que se tratarn en este captulo 19.2 Funcin factorial / 396 19.3 Funcin hipergeomtrica / 397 19.4 Polinomios de Laguerre / 399 19.5 Ecuacin de Bessel con ndice no entero 19.6 Ecuacin de Bessel con ndice entero / 19.7 Polinomios de Hermite / 402 19.8 Polinomios de Legendre / 403 ,

396 / 396

/ 400 401

20 Ecuaciones diferenciales parciales / 404 20.1 Observaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales / 404 20.2 Algunas ecuaciones diferenciales parciales

de matemticas aplicadas / 404 20.3 Mtodo de separacin de variables / 406


Contenido

20.4 Un problema de conduccin de calor en una lmina / 411 20.5 Suplemento para computadora / 416

21 Conjuntos de funciones ortogonales / 418 21.1 Ortogonalidad / 418 21.2 Conjuntos simples de polinomios / 419 21.3 Polinomios ortogonales / 419 21.4 Ceros (races) de polinomios ortogonales / 421 21.5 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre / 422 21.6 Otros conjuntos ortogonales

22 Series de Fourier / 425 22.1 Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos / 22.2 Series de Fourier: un teorema de desarrollo / 427 22.3 Ejemplos numricos de series de Fourier / 431 >-22.4 Series de Fourier en trminos de senos / 438 22.5 Series de Fourier en trminos de cosenos / 441 22.6 Anlisis numrico de Fourier / 443 22.7 Cmo mejorar la rapidez de convergencia / 444 22.8 Suplemento para computadora / 445

23 Problemas con valores en la frontera / 447 23.1 La ecuacin del calor en una dimensin / 447 23.2 Verificacin experimental de la validez

de la ecuacin del calor / 453

425

23.3 Temperatura superficial que vara con el tiempo / 455 23.4 Conduccin del calor en una esfera / 457 23.5 La ecuacin de onda simple / 458 23.6 La ecuacin de Laplace en ocho dimensiones / 461 23.7 Suplemento para computadora / 464

24 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace / 467 24.1 Series de potencias y transformadas inversas / 467 24.2 Funcin error / 471

xi

/


xii Contenido

24.3 Funciones de Besse1 / 478 24.4 Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables / 480

25 Ecuaciones diferenciales parciales: mtodos de transformacin / 481 25.1 Problemas con valores en la frontera / 481 25.2 Ecuacin de onda / 485 25.3 Difusin en un slido semiinfinito / 488 25.4 Variables cannicas / 491 25.5 Difusin en una lmina de ancho finito / 493 25.6 Difusin en un octante infinito / 496

Respuestas a los ejercicios / 500

ndice / 527


Prefacio

Al preparar esta nueva edicin de Ecuaciones diferenciales elementales, nos propusimos alcanzar dos objetivos de importancia primordial: primero, mantener el estilo directo que los estudiantes y maestros de las ediciones anteriores han aceptado tan bien. Segundo, como una respuesta a los cambios en la naturaleza de muchos cursos de ecuaciones diferenciales, agregamos material geomtrico nuevo, reorganizamos algunas secciones y aadimos un componente computacional al texto.

El nuevo material geomtrico aparece principalmente en las secciones 1.4 y 11.8. En la primera, introducimos el concepto de una familia de curvas como solucin para una ecua-cin diferencial; en la seccin 11.8 presentamos el concepto de plano fase de un sistema de ecuaciones. Tambin, el tratamiento de sistemas de ecuaciones lo veremos con ms antici-pacin en el presente libro.

De todas las reas de las matemticas que se cubren en un plan de estudios universitario tradicional, el campo de las ecuaciones diferenciales es tal vez sobre el que ms influencia tiene el uso de la computadora. Se han producido numerosos programas que estn disea-dos especficamente para ecuaciones diferenciales o que tienen sub aplicaciones para ese ti-po de material. En este libro tomamos la decisin, algo arbitraria, de presentar nuestros ejemplos para computadora utilizando el programa denominado Maple. Pudimos haber elegido igualmente cualquiera de los otros sistemas de lgebra computacional, como Mathe-matica, Matlah o Derive. Hay tambin varios programas muy eficaces para trazar grficas numricas y los cuales producen resultados geomtricos excelentes. Entre los ms comn-mente disponibles se encuentran MacMath y Phaser.

Cada suplemento para computadora contiene un ejemplo del captulo correspondiente y est resuelto con ayuda de Maple. Posteriormente, se presenta un conjunto de ejercicios que el estudiante puede resolver por medio de cualquiera de los programas disponibles en el mercado. Nuestro deseo es que estas introducciones, aunque breves, alienten a los lecto-res a ir ms all del texto y a emprender exploraciones adicionales con la computadora.

Queremos expresar asimismo nuestro agradecimiento a los revisores siguientes por sus comentarios al manuscrito de la octava edicin: Ebrahim Salchi, University ofNevada-Las Vegas; J. P. Mokanski, University ofGuelph; Thomas G. Berry, University ofManitoba; Gi-les Wilson Maloof, Boise State University; John H. Ellison, Grove City College; James L. Handley, Montana Tech; Baigiao Deng, Columbus College y Jay Delkin, University of Western Ontario.

Phillip. E. Bedient Richard E. Bedient

xiii


11 Definiciones;familias de curvas

)

I 1.1 I Ejemplos de ecuaciones diferencialesLa construccin de modelos matemticos para tratar los problemas del mundo real se ha des-tacado como uno de los aspectos ms importantes en el desarrollo terico de cada unade las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuacin en la queuna funcin y sus derivadas desempean papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadasecuaciones diferenciales. Como en la ecuacin (3), una derivada puede estar presente demanera implcita a travs de diferenciales. Nuestra meta es encontrar mtodos para resolvertales ecuaciones; esto es, determinar la funcin o funciones desconocidas que satisfaganuna ecuacin diferencial.

Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales:

dy(1)- = cosx,

dx

d2y(2)-2 +k2y =0,

dx

(x2 + l)dx - 2xydy =O, (3)

au = h2 (a2u + a

2u) , (4)

at ax2 ay2

d2i di 1(5)L- + R- + -i = Eto cos cot;

dt? dt ea-v a2v (6)-+--0ax2 ay2 - ,

(d2wy dw (7)--2 - xy- + w =O,

dx dx

1


2 Captulo 1 Definiciones; familias de curvas

d3x dx - +x- - 4xy = 0, dy3 dy

(8)

d2y (dy )3 - 2 + 7 - - 8y = 0, dx dx

(9)

(10)

af af x- +y- =nf.

ax ay (11)

Cuando una ecuacin involucra a una o ms derivadas con respecto a una variable en par-ticular, tal variable es llamada independiente. Una variable es dependiente si aparece una derivada de esa variable. En la ecuacin:

d 2i di l L dt 2 + R dt + C i = Ewcoswt (5)

i es la variable dependiente, t la variable independiente y L, R, e, E y ro son llamados par-metros. La ecuacin:

a2v a2 v -+-=0 ax2 ay2

tiene una variable dependiente Vy dos variables independientes. Puesto que la ecuacin:

puede ser escrita:

o

(x2 + i)dx - 2xy dy = O

dy x 2 + i - 2xy- = dx

dx (x 2 + i) - - 2xy = 0,

dy

(6)

(3)

podemos considerar a cualquiera de las variables como la variable dependiente y la otra ser la independiente .

Ejercicios ldentitique las variables independientes, las dependientes y los parmetros que existan en las ecuaciones dadas como ejemplos en esta seccin.

1 .2 Definiciones El orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada de orden ms alto que apa-rezca en la ecuacin. Por ejemplo,


1.2 Definiciones 3

(1)

es una ecuacin de "orden dos". Tambin se le denomina "ecuacin de segundo orden". En general, la ecuacin:

F( / (n)) - O x , y,y , oO . ,y - (2)

es llamada ecuacin diferencial ordinaria de "orden-n". Bajo restricciones adecuadas so-bre la funcin F, en la ecuacin (2) podemos despejar explcitamente yen) en trminos de las otras n + 1 variables x, y, y', ... , yen-l), para obtener:

(n) _ f( , (n - l)) y - x,y,y,oO.,y . (3)

Para los propsitos de este libro supondremos que esto siempre es posible. En caso contra-rio, una ecuacin como la (2) se puede representar en la prctica por ms de una ecuacin de la forma de la ecuacin (3) .

Por ejemplo, la ecuacin:

X(y')2 + 4y' - 6x 2 = O puede representarse por dos ecuaciones diferentes,

, -2+J4+6x3 y ,= ------------ o -2-J4+6x3 y' = ------------

x x

Una funcin /(x), ... , c/>(n-l)(x)),

para toda x en a < x < b. Por ejemplo, verifiquemos que:

es una solucin de la ecuacin:

d2y dy -+-- -6y=0. dx2 dx (4)

Sustituimos nuestra solucin tentativa en el miembro izquierdo de la ecuacin (4) Y encon-tramos que para todos los valores de x:

d2y dy - + -- - 6y = 4e2x + 2e2x - 6e2x == O, dx2 dx

lo cual completa la verificacin deseada.



Todas las ecuaciones que consideraremos en el captulo 2 son de orden uno y, por lo tan-to, pueden escribirse:

dy dx = (x, y).

En tales ecuaciones, a veces es conveniente usar las definiciones de clculo elemental para escribirlas en la forma: .

M(x, y) dx + N(x, y) dy = O. (5)

Un concepto muy importante en el estudio de ecuaciones diferenciales es el de lineali-dad. Una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es llamada lineal si puede ser escrita en la forma: .

dn y dn - y dy bo(x)- + b (x)-- + ... + bn- I (x) - + bn(x) y = R(x). dxn dxn- dx

Por ejemplo, la ecuacin (1) es no lineal, y la ecuacin (4) es lineal. La ecuacin: x2y" + xy' + (x 2 - n2)y = 4x3

tambin es lineal. La nocin de linealidad puede ser aplicada tambin a ecuaciones diferenciales parcia-

les. Por ejemplo, aw aw

bo(x, y)~ + b (x, Y)ay = R(x, y)

es la forma general de la ecuacin diferencial parcial lineal de primer orden con dos varia-bles independientes, y

a2w a2w a2w bo(x, y) ax2 + b l (x, y) axay + b2(x, y) ay2

aw aw + b3 (x, y) - + b4 (x, y)- + bs(x, y)w = R(x , y)

ax ay

es la forma general de la ecuacin diferencial parcial Iinal de segundo orden con dos variables independientes .

Ejercicios Del ejercicio I al 16, establezca si la ecuacin es ordinaria o parcial, lineal o no lineal , y d su orden.

1. 2.


3. 4. 5. 6.

7.

8.

9.

(x 2 + y2) dx + 2xy dy = O. y' + P(x)y = Q(x) . ylll - 3y' + 2y = O. \ yy" = x. a2u a2u a2u - +-+-=0. ax2 ay2 az2

d4y -4 = w(x) . dx

d2y d 2x x--y-=c,.

dt2 dt2

1.3 Familias de soluciones

di 10. L- + Ri = E.

dt 1l. (x + y)dx + (3x 2 -l)dy = O. 12. x(y")3 + (y' )4 - Y = O.

13. (d3wy (dWy - -2 - +yw = .

dx 3 dx

14. dy 2 - = 1-xy + y . dx

15 . y" + 2y' - 8y = x2 + cos x. 16. ada + bdb = O.

17. Verifique si sen kt es una solucin para la ecuacin del ejercicio ,l. 18. Verifique si e-2x es una solucin para la ecuacin del ejercicio 5. 19. Verifique si 3e- 2x + 4e' es una solucin para la ecuacin del ejercicio 5. 20. La funcin de Bessel de ndice cero est definida por la serie de potencias:

00 (_1)" x2n Jo(x) = ~ (n!) 2221l

Verifique si Jo(x) es una solucin para la ecuacin diferencial: xy" + y' + x y = .

5

21. Verifique si para x > O, (2 / -f3)x3/2 es una solucin para la ecuacin del ejercicio 6.

1 .3 Familias de soluciones Todo estudiante de clculo ha invertido una cantidad considerable de tiempo en encontrar-le soluciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma:

dy - = f(x). dx

Este problema de antiderivada con frecuencia es escrito:

y = f f(x )dx + C

(1)

(2)

y al estudiante se le pide encontrar una sola funcin de x cuya derivada sea idntica af(x) en algn intervalo. Una vez determinada tal funcin, se demuestra que cualquier otra funcin que satisface la ecuacin diferencial (1) difiere de la primera funcin por una cons-tante para toda x en el intervalo. Este importante teorema establece el hecho de que las so-



luciones de la ecuacin (1) no ocurren aisladas, sino como una fam ilia de soluciones con un parmetro, la llamada constante arbitraria e de la ecuacin (2) .

Si consideramos la ecuacin diferencial general de primer orden:

dy dx = f(x, y), (3)

el problema de encontrar las soluciones, esto es; funciones qy(x) que sati sfagan la ecuacin cuando se sustituya por la variable dependiente y, en general es ms difcil, si no imposi-ble. Sin embargo, como veremos, estas soluciones, cuando existen, aparecen como familias de soluciones con un parmetro.

En el captulo 2 estudiaremos varios mtodos para encontrar famili as de soluciones de algunos tipos particulares de ecuaciones de primer orden; pero, en general, no existe una frm ul a universal que resuelva todas las ecuaciones. Por el momento nos conformaremos con ilustrar lo que sucede en algunos ejemplos senci llos .

EJEMPLO 1.1 La ecuacin diferencial:

tiene la fam ili a de soluciones:

dy - = 8sen 4x dx

y = -2cos4x + e,

una senci lla antiderivac in ha producido este resultado.

(4)

(5)

Si deseamos encontrar un miembro de la familia (5) que sati sfaga la condicin adicio-nal y = 6 cuando x = O, estaremos obligados a e legir e = 8. Entonces decimos que:

y = - 2cos4x + 8

es la solucin al problema de valor inicial:

EJEMPLO 1.2

dy - = 8sen 4x , dx

y = 6, cuando x = O.

Del clculo, aprendimos que la derivada de la Funcinf(x) = ce2.x esj'(x) = 2ce2.x. Expre-sado en el lenguaje de ecuaciones diferenciales, decimos que la ecuacin diferencial:

d y - =2y dx (6)


1.3 Familias de soluciones 7

tiene la familia de soluciones:

y = ee2x .

Si buscamos una solucin de la ecuacin (6) que satisfaga: d y dx = 2y , y = 4, cuando x = 0,

entonces, de la ecuacin (7) vemos que e = 4 Y la solucin de (8) es: y = 4e2x .

EJEMPLO 1.3 Considere la ecuacin de segundo orden:

1/ 12 2 Y = x.

Al integrar ambos miembros de esta ecuacin con respecto a x se obtiene:

y' = 4x3 + el.

Una segunda integracin produce: 4 Y = x + el x + e2

(7)

(8)

(9)

(lO)

(11)

En este ejemplo hay dos constantes arbitrarias, de modo que tenemos una familia de solu-ciones con dos parmetros. Esto significa que para aislar a un miembro de esta familia necesitamos proporcionar dos partes de informacin. Por lo comn stas son dadas especi-ficando los valores de y y y '_para el mismo valor de x. Por ejemplo, suponga que queremos encontrar la solucin de (9) que tambin satisfaga y (O) = 1 Y y'(O) = 2. Sustituyendo x = y y' = 2 en (10) vemos que el = 2, de modo que:

y = x 4 + 2x + e2.

Por ltimo, sustituyendo x = 0, y = 1, vemos que e2 = 1, de modo que la solucin reque-rida es:

EJEMPLO 1.4 Considere la familia de curvas con un parmetro:

(12)



Una diferenciacin de ambos miembros de esta ecuacin con respecto ax produce: 2 2 d y 3x - 3x - - 6xy = O

dx o

dy x - 2y cuando x =f- O. (13) dx x

De haber iniciado este ejemplo con la ecuacin (13) y tratando de encontrar la familia de curvas dadas por la ecuacin (12), nos habramos enfrentado a un problema mucho ms desafiante que los de los ejemplos anteriores. Aprenderemos cmo resolver la ecuacin (13) en el captulo 2. Aquslo indicaremos que el valor x = O crea cierta dificultad tanto para la ecuacin diferencial (13) como para su familia de soluciones:

obtenida de la ecuacin (12).

EJEMPLO 1.5 Considere la familia de crculos:

(x - 2)2 + (y + 1)2 = e2 . Una sencilla diferenciacin con respecto a x produce:

dy 2(x - 2) + 2(y + 1)- = O dx

o

dy dx =

-(x - 2) y + 1 ' cuando y =f- -1 .

(14)

(15)

Aqu estamos obligados a pensar en la familia de crculos como en dos familias de semi-crculos, una familia:

y = -1 + J e2 - (x - 2)2 (16) y la otra:

y = -1 - J e2 - (x - 2)2 . (1 7) En la ecuacin (16) tenemos una familia de soluciones de la ecuacin diferencial para y > -1, mientras que en la ecuacin (17) tenemos una familia de soluciones de (15) para y < - 1. Para resolver el problema de valor inicial:

dy dx

- (x - 2) y + 1 '

y = 2, cuando x = - 1, (18)


dy dy 41. -=x3+2x. 4. -dx dx x2 - 1dy 3 dy 2

2. - 5. -dx x dx x2 +4

3. dy dy 3- = 4cos6x. 6. -\ dx dx x2 +xResuelva los problemas de valor inicial de los ejercicios 7 al 12.

e:

(13)

a familiachomsecuacintad tanto

(14)

(15)

de semi-

(16)

(17)

cial parade (15)

(18)

1.3 Familias de soluciones 9

debemos elegir el parmetro e de la ecuacin (16), ya que 2 > -1. Tenemos 2 =-1 + ~e2 - 9 o e =m. Por lo tanto, la funcin:

y = -1 + J18 - (x - 2)2

es la solucin que buscamos. Su grfica es la de un semicrculo de radio m.

Ejercicios

Resuelva las ecuaciones diferenciales de los ejercicios 1 al 6.

dy7. - = 3ex y = 6, cuando x = O.

dx '

8. ~~ = 4e-3x, y = 2, cuando x = O.

dy9. dx = 4y, Y = 3, cuando x = O.

dy10. dx = -5y, Y = 7, cuando x = O.

dy11. - = 4 sen 2x, y = 2, cuando x = tt /2.

dxdy

12. dx = x2 + 3 + e2x, y = -1, cuando x = O.

13. Demuestre que la familia de crculos (x + 1)2 + (y - 3)2 = e2puede ser interpretadacomo dos familias de soluciones para la ecuacin diferencial:

dy -(x + 1)dx y - 3

14. Demuestre que la familia de parbolas y = ax2 puede ser interpretada como dosfamilias de soluciones para la ecuacin diferencial:

dy 2ydx x



despus encuentre la solucin al problema de valor inicial:

d y dx

2y x

y = 2, cuando x = - l.

Para qu valores de x es vlida la solucin? Tambin observe que no hay solucin de esta ecuacin diferencial que satisfagll la condicin inicial y = 2 cuando x = O.

1.4 Interpretacin geomtrica En la seccin 1.3 vimos que por lo comn una ecuacin de primer orden tiene una familia de soluciones. Una tcnica til para entender la naturaleza de estas soluciones es trazar las grficas de las soluciones representativas de esta familia.

EJEMPLO 1.6 Trace la grfica de varios miembros de la familia de sol uciones para la ecuacin:

dy -=8sen4x. dx

(1)

Recuerde de la seccin 1.3 que la familia de soluciones es:

y = -2cos4x + c. (2)

Al trazar la grfica de las soluciones correspondientes a e = 2, 1, 0, -1 obtenemos la figu-ra 1.1. No es difcil imaginar cmo se ver el resto.

y

Figura 1.1


1.4 Interpretacin geomtrica 11

La familia de curvas solucin con un parmetro del ejemplo 1.6 satisface una propiedad importante, a saber: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la familia de soluciones. Formalizaremos este hecho en la seccin 1.6; por ahora slo afirma-mos que esto es verdadero para las soluciones de cualquier ecuacin diferencial de primer orden con las restricciones adecuadas.

Si especificamos un punto en el plano, por la propiedad mencionada tendremos exacta-mente una solucin que pase por ese punto. La nica curva que resulta es la curva solucin del problema con valor inicial. Esta es la versin geomtrica del proceso descrito en la seccin 1.3.

Si ampliamos el sentido de estas ideas y las aplicamos en ecuaciones de orden ms alto, encontraremos que slo se puede conservar parte de la interpretacin geomtrica.

EJEMPLO 1.7 Trace la grfica de varios miembros de la familia de soluciones de la ecuacin:

d 2y - = 12x2 (3) dx2

Como vimos en la seccin 1.3, la familia de soluciones es:

y = x 4 + CX + C2. (4) Al trazar las grficas de las soluciones correspondientes a las parejas de constantes c = 2, c2 = 1; c = 0, c2 = y c l = 0, c2 = 1 obtenemos la figura 1.2.

Puede apreciarse claramente que estas soluciones no satisfacen la propiedad de unici-dad del caso de primer orden. Hayal menos dos soluciones que pasan por los puntos (0, 1) Y por un punto cercano ( - 112, O). Sin embargo, observemos que este par de soluciones no tiene la misma pendiente en su punto de interseccin. Esto es, al especificar una solucin particular para una ecuacin de segundo orden, podramos especificar tanto el punto por

y

----~~~~--~----~----~--- x

Figura 1.2


12 Captulo J Definiciones; familias de curvas

donde pasa la solucin como la pendiente en dicho punto. En este caso, dada esta informa-cin, concluimos que hay una solucin nica.

Entonces, la versin de segundo orden de la propiedad geomtrica establecida anterior-mente se transforma en: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la familia de soluciones que tiene una pendiente dada. Esta propiedad ser analizada con de-talle en el captulo 6 .

Ejercicios l . Para los ejercicios 1 al6 de la seccin 1.3, dibujar una muestra representativa de cur-

vas solucin. 2. En los ejercicios 7 al 10 de la seccin 1.3, dibujar la grfica de la solucin para el pro-

blema de valor inicial.

1 .5 Las isoclinas de una ecuacin En la seccin 1.4 conocimos algunas propiedades geomtricas de las familias de solucio-nes que habamos encontrado por los mtodos analticos de la seccin 1.3. En esta seccin veremos que podemos usar mtodos geomtricos para encontrar curvas solucin.

Considere la ecuacin de orden uno:

dy dx = f(x, y). (1)

Podemos pensar en la ecuacin (1) como una mquina que asigna a cada punto (a, b) en el dominio def, alguna direccin con pendientef(a, b). As, podemos hablar del campo de di-recciones de la ecuacin diferencial. En un senlido real , cualquier solucin de la ecuacin (1) debe tener una grfica, la cual presentar en cada punto la direccin que la ecuacin (1) requiere.

Una manera de visualizar esta idea bsica es dibujar una pequea marca en varios pun-tos para indicar la direccin asociada con cada uno de esos puntos. Esto puede hacerse un poco sistemticamente dibujando primero curvas llamadas isoclinas, esto es, curvas en las que la direccin indicada por la ecuacin (1) es fija.

EJEMPLO 1.8 Considere la ecuacin:

dy --y dx - . (2)

Las isoclinas son lneas rectasf(x, y) = y = c. Para cada valor de c obtenemos una recta en la que, en cada punto, la direccin impuesta por la ecuacin diferencial es el nmero c. Por ejemplo, en cada punto de la recta y = 1, la ecuacin (2) determina una direccin con pen-diente 1. En la figura 1.3 hemos dibujado varias curvas isoclinas, indicando las direcciones


l. dy 3.dy 2y

-=2x. -dx dx x

Il- 2.dy Y 4.

dy- - = y-x.

es dx x dx

a-

or-lade-

ur-

ro-

i'n

eldi-in(1)

n-unlas

(2)

1.5 Las isoclinas de una ecuacin 13

y

~~~----~~----~~~----~~---------x-----" .......~-+- .....--~.......>'r_---~~~-e = -112~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~c=-I

Figura 1.3

asociadas con cada isoclina mediante pequeas marcas. Si empezamos en cualquier puntoen el plano y nos movemos a lo largo de una curva cuya direccin sea siempre la de las mar-cas de direccin, entonces obtendremos una curva solucin. En la figura 1.3 podemos apre-ciar varias curvas solucin.

EJEMPLO 1.9Use el mtodo de isoclinas para bosquejar algunas de las curvas solucin para la ecuacin:

dy = x2 + ldx

Aqu las isoclinas sern los crculos x2 + l = e, con e> O. Cuando e = 1, la isoclinatiene radio 1; para e = 4 el radio es 2. En la figura 1.4 hemos dibujado estas isoclinas, mar-cando cada una con el indicador de direccin apropiado y, por ltimo, bosquejando variascurvas que representan soluciones para la ecuacin (3).

(3)

Ejercicios

Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, dibuje varias isoclinas con los indicadores de di-reccin apropiados y bosqueje varias curvas solucin.


14 Captulo J Definiciones; familias de curvas

y

----~----~~~--r-~~~----_+----x

Figura 1.4

5.dy

8.dy 2--=x+y+l. -- =y-x

dx dx

6.dy dy x--=x-y-l. 9. --dx dx ydy dy -x

7. -- = 2x - y. 10. --dx dx y

I 1.61 Un teorema de existenciaDebe ser claro, an para el lector casual, que dibujar isoclinas no es una herramienta prc-tica para encontrar soluciones a cualquier ecuacin diferencial distinta de aquellas que in-volucren las funciones ms simples. Antes de estudiar algunas de las tcnicas analticaspara determinar soluciones, estableceremos un teorema importante en lo que concierne ala existencia y unicidad de tales soluciones. En el captulo 13 estudiaremos con detalledicho teorema.

Considere la ecuacin de orden uno:

dydx = f(x, y). (1)

Sea T la regin rectangular definida por:

Ix -xol::: a y Iy - yol ::: b,una regin con el punto (xo' Yo) en su centro. Suponga quef y af/ay son funciones conti-nuas de x y y en T.


1.7 Suplemento para computadora 15

Bajo las condiciones impuestas sobref(x, y) anteriormente, existe un intervalo alrede-dor de xo' Ix - xol ::; h, Y una funcin y(x) que tiene las propiedades:

(a) y = y (x) es una solucin de la ecuacin (1) en el intervalo Ix - xo l ::; h. (b) En el intervalo Ix - xol


i i i ! ~ ///~ ~ /~ II /~ / I

i/~/~/~/~ j~ / III I / / / 1//// ////..--///----//..----

--..--/ /1 ---- ///1 ..--///// / / / / I / / / / I / / ji

Figura 1.5

Un enfoque ms directo se da al considerar un conjunto de puntos {Xi} sobre el eje X y un conjunto de puntos {Yj } sobre el eje y. Esto da lugar a una cuadrcula de puntos {(Xi' y)} en el, plano xy. Despus cada una de estas parejas puede ser sustituida en (1) para determinar la pendiente en ese punto, dibujando luego la direccin apropiada de la pendiente. La cantidad de trabajo necesario para producir un solo indicador de pendiente no es mucho, pero encon-trar indicadores de pendiente para una cuadrcula de 10 por 10 constituye una tarea conside-rable. Una vez que el campo de pendientes haya sido dibujado deberemos bosquejar varias curvas solucin que sean representativas. La facilidad con que podamos hacerlo estar en ' proporcin directa con el nmero y densidad de los indicadores de pendiente que dibujemos.

Esta clase de clculos repetitivos es muy adecuada para implementarla en computadora. Programas como MacMath (Macintosh) y Phaser (DOS) estn diseados especficamente para realizar un proceso de este tipo, y programas ms generales como Maple, Mathemati-ca y Matlab tienen comandos para dibujar campos de pendientes y curvas solucin.

Por ejemplo, en la seccin 1.5 dibujamos un campo de pendientes para la ecuacin: d y 2 2 -=x + y dx

(2) usando el mtodo de las isoclinas. Podemos lograr el mismo objetivo con el programa Maple , donde el comando: > DEplotl ( diff(y(x) ,x)=xA 2+y A 2 , y(x), x=-2 . . 2, y=-2 .. 2 ); producir la figura 1.5.

Para trazar las curvas solucin agregamos selectivamente varios puntos a partir de los cuales podamos eTi;pezar. El comando: > DEplotl (diff(y(x) ,x)=xA 2+y A 2 ,

y(x) , x=-2 .. 2 , {[O,2],[O,O],[O,1]L y=-2 .. 2 ); produce la figura 1.6.


y unfnel,lfrlatidad

(2)

ama

e los


I I I II I I II I I II I / II I / II / / I/ / / // / ,/ // / // / /

,/ / / /- ~,/ ,/ /- / /,/ ,/ ---- --- ,/ ,/ / / / // ,/ ,/ ,/ ,/ / / I / // / / / / / I / / II I / / I I / / I I/ / / / / / / / I II / / / / I I I I II I I I I I I I I II I I I I I I I I I

Figura 1.6

Ejercicios

1. En los ejercicios 1 a 10 de la seccin 1.5, utilice el programa de computacin de su pre-ferencia para trazar los campos de pendientes y las curvas solucin representativas.

2. Considere el problema de dibujar isoclinas para la ecuacin dyldx = y sen(y + x).ste es un problema muy difcil. Luego utilice la computadora para dibujar el campode pendientes y las curvas solucin representativas.

3. Qu puede decir acerca de las curvas dibujadas en el ejercicio 2 cuando x ~ 00 ycuando x ~ -oo? Sus respuestas dependen de las condiciones iniciales?


Ecuaciones de orden uno 2 11

18

2.1 Separacin de variables En este captulo estudiaremos varios mtodos elementales para resolver ecuaciones dife-renciales de primer orden. Empecemos con una ecuacin de la forma:

Mdx+ Ndy = 0,

donde M Y N pueden ser funciones de x y y. Algunas ecuaciones de este tipo son tan senci-llas que pueden ser puestas en la forma:

A(x) dx + B(y) dy = O; (1) esto es, las variables pueden separarse. En este caso, una solucin puede ser escrita casi de inmediato. Para ello slo tenemos que encontrar una funcin F cuya diferencial total sea el miembro izquierdo de (1). Por lo tanto, F = e, donde e es una constante arbitraria, es el re-sultado deseado.

EJEMPLO 2.1 Resuelva la ecuacin

dy dx

2y x

para x > O Y Y > O. (2)

Advertimos que para la funcin de la ecuacin (2) es aplicable el teorema de la seccin 1.6, lo que asegura la existencia de una solucin continua nica que pasa por cada punto en el primer cuadrante. Separando las variables podemos escribir:

dy 2dx y x

De aqu obtenemos una familia de soluciones:

Inlyl=2Inlxl+c (3)

o, ya que estamos en el primer cuadrante,

(4)


2.1 Separacin de variables 19

Ahora, si ponemos el = , podemos escribir: y=ex2 , cO.

EJEMPLO 2.2 Resuelva la ecuacin (2) del ejemplo 2.1 para x 4= O.

(5)

Aqu el argumento debe ser hecho en dos partes. Primero, si y 4= 0, podemos proceder como antes en la ecuacin (3). Sin embargo, la ecuacin (5) debe ser escrita como:

Iyl = c)x2 , e) > O. (6) Segundo, si y = 0, de inmediato vemos que como x 4= 0, Y = es una solucin vlida

para la ecuacin diferencial (2). Por convencin, las soluciones encontradas mediante la ecuacin (6) se escriben gene-

ralmente como: 2 Y = e2X , (7)

donde e2 es un nmero real arbitrario. Esta forma de expresar las soluciones incluye el caso especial y = O. Varias curvas solucin representativas son mostradas en la figura 2.3.

Sin embargo, debemos ser cautelosos. La funcin definida por:

g(x)=x2 , x>O x:::: 0,

y representada con una lnea ms oscura en la figura 2.1, obtenida al juntar dos arcos parab-licos diferentes, tambin podra ser considerada solucin de la ecuacin diferencial, aun-

y

--------------~~~~~-------------- x

Figura 2.1


20 Captulo 2 Ecuaciones de orden uno

que dicha funcin no est incluida en la familia de la ecuacin (7). El enunciado de unici-dad en el teorema de la seccin 1.6 nos indica que, en tanto restrinjamos nuestra atencin a un punto (xo' Y~ con Xo =1= O, Y considerando un rectngulo con centro en (xo' Yo) que no contenga puntos en los que x = O, entonces en ese rectngulo existe una solucin nica que pasa por (xo' Yo) y es continua dentro del rectngulo.

EJEMPLO 2.3 Resuelva la ecuacin:

con la "condicin inicial" de que cuando x = O, Y = -1. Si escribimos esta ecuacin en la forma:

dy -(1 + y2) dx 1 + x2 '

(8)

observamos que el miembro derecho y su derivada parcial con respecto a y son continuas cerca de (O, -1). Deducimos entonces que existe una solucin nica para la ecuacin (8) que pasa por el punto (O, -1).

De la ecuacin diferencial obtenemos:

~+~-O 1 + x2 1 + y2 - , de la cual se concluye inmediatamente que:

arctan x + arctan y = c. (9) En el conjunto de soluciones (9), cada "arctan" representa el valor principal de la inver-

sa de la tangente y est sujeta a la restriccin: 1 1

-27l" < arctan x < 27l"

La condicin inicial de que y = -} cuando x = O nos permite determinar el valor de e que debe ser usado para obtener la solucin particular deseada. Ya que arctan O = O Y arctan( -1) = - t 7T, la solucin al problema de valor inicial es:

arctan x + arctan y = - i 7l". (10) Ahora suponga que deseamos bosquejar la grfica de (10). Mediante un recurso de tri-

gonometra, tomamos la tangente de cada lado de (10). Como:

y

tan(arctan x) = x tanA+tanB

tan (A + B) = -----1 - tan A tan B


obtenemos la ecuacin:

o

x + y --- = - 1, 1 - xy


xy - x - y - 1 = O. (11) Ahora (11) es la ecuacin de una hiprbola equiltera con asntotas x = 1 Y Y = l. Pero si

regresamos a (10), vemos de: arctan x = - ~ 7r - arctan y

que, como ( - arctan y) < ! 7T, arctan x < ~7r.

Concluimos que x < 1, Y que la ecuacin (10) slo representa una rama de la hiprbola (11). En la figura 2.2, la curva trazada con una lnea continua es la grfica de la ecuacin (10); dicha curva junto con la trazada en lnea discontinua forman la grfica de la ecuacin (l1).

Cada rama de la hiprbola (11) representa una solucin de la ecuacin diferencial; una ra-ma para x < 1 Y la otra para x > 1. En este ejemplo nos vimos forzados a circunscribirnos a la rama izquierda, ecuacin (10), por la condicin inicial de que y = - 1 cuando x = O.

Puede advertirse una distincin entre las ecuaciones (10) y (11) observando que una computadora, dada la ecuacin diferencial (8) y buscando una solucin que pase por el punto (O, -1), estara condicionada a prolongar la rama izquierda de la curva en la figura 2.2. La barrera (asntota) en x = 1 impedira a la computadora detectar la existencia de la otra rama de la hiprbola (11).

y \ \

I ... __

I _ _ _ L __ _ _______ _

I

o -----~~-+_-~------x

Figura 2.2



EJEMPLO 2.4 Resuelva el problema de valor inicial:

2x(y + l)dx - ydy = 0,

donde x = y y = - 2. Al separar las variables en la ecuacin (12), obtenemos:

2xdx = (1 -_1_) dy, y:j:.-l. y+1

Una vez integrado conseguimos una familia de soluciones dada implcitamente por:

x2 = y - In Iy + 11 + c.

(12)

(13) Ya que buscamos un rruembro de esta farrulia que pase por el punto (0, - 2), debemos tener:

= -2 - In I - 11 + c , o

c = 2.

As, la solucin al problema est dada implcitamente por:

x2 = y -In Iy + 11 + 2.

Debe usted observar cmo se aplica el teorema de la seccin 1.6 a este problema para in-dicar que hemos encontrado implcitamente la solucin nica al problema de valor inicial, solucin que es continua para y < -l. Podemos apreciar una muestra representativa de cur-vas solucin en la figura 2.3, donde la solucin particular fue trazada con una lnea ms oscura. Observe que algunas de estas curvas no son grficas de funciones y deben dividirse en arcos separados en el punto donde crucen a la recta y = 0, como se hizo en el ejemplo 2.2.

y

----~~_+------+-----_+--~----- x

Figura 2.3



Ejercicios En los ejercicios 1 al6 obtenga la solucin particular que satisfaga la condicin inicial dada. En cada ejer-cicio interprete su respuesta a la luz del teorema de existencia de la seccin 1.6 y dibuje una grfica de la solucin. --

1. dr/dt = -4rt; cuando t = O, r = ro . 2. 2xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. 3. xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. 4. 2ydx = 3xdy; cuando x = 2, Y = 1. 5. 2y dx = 3x dy; cuando x = - 2, Y = l. 6. 2ydx = 3x dy; cuando x = 2, Y = -1.

En los ejercicios 7 al 10 obtenga la solucin particular que satisfaga la condicin inicial dada.

7. y' = X exp (y - X2); cuandox = O, Y = O. 8. xy2 dx + eX dy = O; .cuando x --+ 00, y --+ 4. 9. (2a2 - r2) dr = r3 sene de; cuando e = O, r = a.

10. v(dv/dx) = g; cuando x = xo, v = Vo

En los ejercicios 11 al 37 obtenga la solucin general.

11. (1 - X)y' = y2. 24. (1 - y)y' = x2. 12. sen x seny dx+cos x cos y dy = O. 25. x2yy' = eY. 13. xy3 dx + ex2 dy = O. 26. tan2 ydy = sen 3 x dx. 14. 2ydx = 3xdy. 27. y' = cos2 X cos y. 15. mydx = nxdy. 28. y' = Y secx. 16. y' = xy2. 29. dx = t(1 + t2) sec2 x dt. 17. dV/dP = -V/P. 30. (e2x + 4)y' = y. 18. ye2xdx = (4 + e2x ) dy. 3l. a df3+f3 da+af3(3 da+d(3) = O. 19. dr = b(cose dr + rsene de). 32. O+lnx)dx+(1+1ny)dy =0. 20. xy dx - (x + 2) dy = O. 33. x dx - J a2 - x2 dy = O. 2l. x 2dx + y(x -l)dy = O. 34. xdx + Ja2 - x 2dy = O. 22. X cos2 y dx + tan y dy = O. 35. a2 dx = xJx2 - a2 dy . 23. xy3 dx + (y + l)e-X dy = O. 36. ylnxlnydx + dy = O. 37. (xy +x)dx = (x2y2 +x2 + y2 + l)dy.



2.2 Funciones homogneas Los polinomios en los que todos los trminos son del mismo grado, como:

x 2 -3xy +4l , x

3 + i, x

4 y + 7i, (1)

son llamados homogneos. Ahora deseamos ampliar el concepto de homogeneidad y apli-carlo a otras funciones ms que a polinomios.

Si asignamos una dimensin fsica, digamos una longitud, a cada variable x y y en los polinomios dados en (1), entonces cada polinomio tendr tambin una dimensin fs ica, una longitud a :!lguna potencia. Esto sugiere la generalizacin deseada. Si, cuando ciertas variables son conceptualizadas como longitudes, una funcin tiene la dimensin fsica lon-gitud elevada a la k-sima potencia, entonces decimos que la funcin es homognea de grado k en esas variables. Por ejemplo, la funcin:

(Y) X4 f(x, y )=2i exp - ---x x + 3y

(2)

es de dimensin (longitud)3 cuando x y Y son longitudes. Por lo tanto, se dice que esa funcin es homognea de grado 3 en x y y .

Permitimos que el grado k sea cualquier nmero. La funcin -V x +4 Y es llamada homo-gnea de grado t en x y y. La funcin:

x

es homognea de grado cero en x y y. Una definicin formal de homogeneidad es: lafuncinf(x, y) es homognea de grado k

en x y Y si, y slo si,

f(h , Ay ) = Ak f(x , y ). (3) Puede extenderse fcilmente el sentido de esta definicin y aplicarse a funciones de ms de dos variables.

Para la funcinf(x, y) de la ecuacin (2), la definicin formal de homogeneidad nos lle-va a considerar:

Pero vemos de inmediato que:

fCh , Ay) = A3 f(x, y); en consecuencia f(x, y) es homognea de grado 3 en x y y, como se estableci antes.

Los teoremas siguientes demostrarn su utilidad en la prxima seccin.


2.3 Ecuaciones con coeficientes homogneos 25

Teorema 2.1 Si M(x, y) y Nix, y) son homogneas ydel mismo grado, lafuncinM(x, y)lN(x, y) es homo-gnea de grado cero.

La demostracin del teorema 2.1 se deja al estudiante.

(1)Teorema 2.2 Si f( x, y) es homognea de grado cero en x y y, entonces f( X, y) es solamente unafuncin de x/y.

y apli-Demostracin. Supongamos que y = vx. El teorema 2.2 establece que sif(x, y) es ho-mognea de grado cero, entonces f(x, y) ser slo una funcin de v. Ahora.:

f(x, y) = f(x, vx) = xo fO, v) = f(1, v), (4)en losfsica,ciertascalon-grado

en la que la x est desempeando el papel tomado por A. en la definicin (3). Por (4),f(x, y) slo depende de v, como se establece en el teorema 2.2.

Ejercicios

(2) Determine en cada ejercicio si la funcin es o no homognea. Si es homognea establezca el grado de lafuncin.

ue esal. 4x2 - 3xy + y2. 1l. x

2 + 3xy2. x3_xy+y3.

x -2y

x53. 2y+Jx2+y2. 12. x2 + 2y24. rx=y. 13. (u2 + v2)3/2.5. eX. 14. (u2 _ 4v2)-1/2.

X6. tanx. 15. ltan-

exp (~).y

7. (x2+y2)1/216. (x2 _ y2) 1/2 .

3y8. tan-o 17. a +4bx ---

(x2 + y2) exp (2;) + 4xy. a -4b9. 18. xIn-.y

y x 19. x Inx - y In y.10. x sen - - y sen -.

x y 20. x Inx - x Iny.12.3 1 Ecuaciones con coeficientes homogneos

Suponga que los coeficientes M y N en la ecuacin de orden uno,

M(x, y) dx + N(x, y) dy = O, (1)

horno-

radok

(3)

sde

os lle-



son ambas funciones homogneas y del mismo grado en x y y. Por los teoremas 2.1 y 2.2 de la seccin 2.2, el cociente M/N slo es una funcin de y Ix. De aqu que la ecuacin (1) pueda expresarse en la forma:

dy + g (~) = O. dx x

(2)

Esto sugiere la introduccin de una nueva variable v haciendo y = vx. Entonces (2) se transforma en:

dv x - + v + g(v) = 0,

dx (3)

donde las variables son separables. Podemos obtener la solucin de (3) por el mtodo de la seccin 2.1, introduciendo y Ix por v, y llegar as a la solucin de (l) . De esta manera de-mostramos que la sustitucin y = vx transformar la ecuacin (1) en una ecuacin en v y x donde las variables son separables.

El mtodo anterior habra sido igualmente til si se usara x = vy para obtener, a partir de (1), una ecuacin en y y v. Vase el ejemplo 2.6. .


(x 2 - xy + l) dx - xy dy = O. (4) Ya que los coeficientes en (4) son homogneos y de grado dos en x y y, hacemos y = vx.

Entonces (4) se transforma en: (x 2 - x 2 v + x 2 v2 ) dx - x 2v(v dx + x dv) = 0,

de la cual el factor x? ser eliminado de inmediato. Hecho eso, tenemos que resolver:

(1- v + v2)dx - v(vdx + xdv) = 0,

o

(l-v)dx-xvdv=O.

Por lo que separamos las variables para obtener:

Entonces de:

dx + vdv = O. x v-I

- + 1+-- dv=O dx [ 1 ] x v - 1


2.3 Ecuaciones con coeficientes homogneos 27

una familia de soluciones ser:

In Ixl + v + In Iv - 11 = In lel,

o

x(v - 1)ev = e. En trminos de las variables originales, estas soluciones estn dadas por:

o

EJEMPLO 2.6 Resuelva la ecuacin

x (~ - 1) exp (~) = e,

(y - x) exp (~) = c.

xydx + (x 2 + l)dy = O.

(5) donde los coeficientes son de nuevo homogneos y de grado dos. Podramos usar y = vx, pero la simplicidad relativa del trmino dx en (5) sugiere que hagamos x = vy. Entonces dx = v dy + y dv, y la ecuacin (5) es remplazada por:

vl(v dy + Y dv) + (v2l + y2) dy = 0, 0

v(v dy + Y dv) + (v2 + 1) dy = O. De aqu que necesitemos resolver:

vy dv + (2v2 + 1) dy = 0, (6) lo cual nos conduce de inmediato a:

In (2v2 + 1) +4lnlyl = lne, o

y\2v2 + 1) = c. As, las soluciones deseadas estn dadas por:


'-


esto es,

(7)

Ya que el miembro izquierdo de la ecuacin (7) no puede ser negativo, podemos, por sime-tra, cambiar la constante arbitraria a e 14, escribiendo:

Es til, principalmente para el estudiante, resolver la ecuacin (5) usando y = vx. Ese mtodo conduce directamente a la ecuacin:

(v 3 + 2v) dx + x(v2 + 1) dv = O.

En las ecuaciones con coeficientes homogneos, a menudo es por completo irrelevante si se utiliza y = vx o x = vy. Sin embargo, algunas veces es ms fcil sustituir la variable cuya diferencial tenga el coeficiente ms sencillo.

Ejercicios En los ejercicios 1 al 21 obtenga una familia de soluciones.

1. 3(3x2 + y2) dx - 2xy dy = O. 2. (x - 2y)dx + (2x + y)dy = O. 3. 2(2x2 + y2) dx - xy dy = O. 4. xy dx - (x2 + 3y2) dy = O. 5. x2y' = 4x2 + 7xy + 2y2. 6. 3xy dx + (x 2 + y2) dy = O. 7. (x - y)(4x + y)dx +x(5x - y)dy = O. 8. (5v - u)du + (3v -7u)dv = O. 9. (x2 + 2xy - 4y2) dx - (x 2 - 8xy - 4l) dy = o.

10. x(x2 + y2)2(y dx - x dy) + y6 dy = O. lI. (x 2 + y2) dx + xy dy = O. 12. xydx - (x + 2y)2dy = O. 13. v2dx +x(x + v)dv = O. 14. [x csc (ylx) - y]dx +xdy = O. 15. x dx + sen2 (ylx)[y dx - x dy] = O. 16. (x - ylny + ylnx)dx +x(1ny -ln x)dy = O. l7. [x - y arctan (y Ix)) dx + x arctan (y Ix) dy = O. 18. y2dy = x(xdy - ydx)ex / y 19. t(s2 + t 2) ds - s(s2 - t 2) dt = O.


2.4 Ecuaciones exactas 29

20. ydx=(x+Jy2-x2)dy. 21. (3x 2 - 2xy + 3y2) dx = 4xy dy. 22. Demuestre que con ayuda de la sustitucin y = vx, puede resolverse cualquier ecua-

cin de la forma

y" f(x) dx + H(x, y)(y dx - x dy) = O,

donde H (x, y) es homognea en x y y.

En los ejercicios 23 al 35 encuentre la solucin particular indicada.

23. (x - y)dx + (3x + y)dy = O; cuando x = 3, Y = -2. 24. (y - Jx 2 + y2)dx - xdy = O; cuando x = O, y = l. 25. (y + Jx2 + y2) dx - x d y = O; cuando x = .)3, y = l. 26. [x cos2 (y/x) - y] dx + x dy = O; cuando x = 1, y = 71: / 4. 27. (y2 + 7xy + 16x2) dx + x2 dy = O; cuando x = 1, y = 1. 28. y2 dx + (x 2 + 3xy + 4y2) dy = O; cuando x = 2, y = l. 29. xy dx + 2(x2 + 2y2) d y = O; cuando x = O, Y = l. 30. y(2x2 - xy + y2) dx - x2(2x - y) dy = O; cuando x = 1, y = ~. 3l. y(9x - 2y)dx - x(6x - y)dy = O; cuando x = 1, y = 1. 32. y(x2 + y2) dx + x(3x2 - 5y2) d y = O; cuando x = 2, y = l. 33. (16x + 5y) dx + (3x + y)dy = O; la curva pasa por el punto (1, -3). 34. v(3x + 2v) dx - x2dv = O; cuando x = 1, v = 2. 35. (3x2 - 2y2) Y I = 2xy; cuando x = O, y = -1 . 36. De los teoremas 2.1 y 2.2 de la seccin 2.2, se deduce que si F es homognea de gra-

do k en x y y, F puede ser escrita en la forma:

(A)

Utilice la ecuacin (A) para demostrar el teorema de Euler: si F es una funcin homognea de grado k en x y y, entonces:

aF aF x-+y-=kF.

ax ay

2.4 Ecuaciones exactas En la seccin 2.1 se hizo notar que cuando una ecuacin puede ser puesta en la forma:

A(x) dx + B(y) d y = O,



siempre ser posible determinarle un conjunto de soluciones por medio de integracin, es-to es, encontrando una funcin cuya diferencial sea A (x) dx + B (y) dy.

Esa idea puede ampliarse y ser aplicada en algunas ecuaciones de la forma:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) en las que la separacin de variables no es posible. Suponga que se puede encontrar una funcin F(x, y) en la que su diferencial tenga la expresin M dx + N dy; esto es,

dF = M dx + N dy. (2) Entonces, naturalmente,

F(x, y) = c (3) defina de manera implcita un conjunto de soluciones para la ecuacin (1). De (3) se deduce que:

dF=O,

o, en vista de (2),

Mdx+ Ndy = 0,

como se deseaba. En este punto son necesarias dos cosas: (1) encontrar bajo qu condiciones impuestas a

M y N tiene lugar una funcin F tal que su diferencial total sea exactamente M dx + N dy; Y (2), si dichas condiciones son satisfechas, determinar realmente la funcin F. Si existe una funcin F tal que:

Mdx +Ndy

sea precisamente la diferencial total de F, decimos que la ecuacin (1) es una ecuacin exacta. Si la ecuacin:

Mdx+Ndy=O

es exacta, entonces, por definicin, existir una F donde:

dF= Mdx + Ndy.

Pero, por razones de clculo, se tiene:

de modo que:

aF aF dF = -dx + -dy,

ax ay

aF M=-ax'

aF N=-. ay

(1)



Estas dos ecuaciones nos conducen a:

aM ay

Y, de nuevo por clculo, tenemos:

aN y =

ax axay

a2 F a2 F ayax - axay'

a condicin de que estas derivadas parciales sean continuas. Por lo tanto, si (1) es una ecua-cin exacta, entonces:

aM ay

aN ax

As, para que (1) sea exacta es necesario que (4) sea satisfecha.

(4)

Ahora mostraremos que si la condicin (4) se satisface, entonces (1) es una ecuacin exacta. Sea cP(x, y) una funcin para la cual:

acP = M. ax

La funcin cP es el resultado de integrar M dx con respecto a x mientras y se mantiene cons-tante. Luego,

a2cP aM ayax ay ,

en consecuencia, si (4) se satisface, tambin: a2cP aN

= (5) axay ax

Integramos ambos miembros de la ecuacin (5) con respecto a x, manteniendo fija a y. En la integracin con respecto a x, la "constante arbitraria" puede ser cualquier funcin de y. Le llamamos B 'ey), por comodidad al indicar su integral. Entonces la integracin de (5) con respecto a x produce:

acP = N + B'(y). ay

Ahora puede ser representada una funcin F, a saber,

para la cual:

F = cP(x, y) - B(y),

dF = acP dx + acP dy - B'(y) dy ax ay

= M dx + [N + B'(y)] dy - B'(y) dy =Mdx+Ndy.

(6)



De aqu concluimos que la ecuacin (1) es exacta. As terminamos una demostracin del teorema establecido a continuacin.

Teorema 2.3 Si M, N, aM / ay y aN / ax son funciones continuas de x y y, entonces una condicin nece-saria y suficiente para que:

Mdx +Ndy = O (1) sea una ecuacin exacta es que:

ay ax (4)

Adems, la demostracin contiene el principio del mtodo que utilizaremos para obte-ner un conjunto de soluciones en los ejemplos 2.7 y 2.8.


Primero, como:

3x(xy - 2) dx + (x 3 + 2y) dy = O.

y

concluimos que la ecuacin (7) es exacta. Por lo tanto, su solucin es F = c, donde:

y,

aF 2 - = M = 3x y - 6x ax

aF 3 ay=N=x +2y.

(7)

(8)

(9)

Tratemos de determinar F a partir de la ecuacin (8). Al integrar ambos miembros de (8) con respecto a x, manteniendo constante a y, se obtiene:

(10) donde la constante arbitraria usual en la integracin indefinida ahora es necesariamente una funcin T (y), hasta ahora desconocida. Para determinar T (y), usamos el hecho de que la funcin F de la ecuacin (10) debe satisfacer la ecuacin (9). De aqu que:

x 3 + T'(y) = x 3 + 2y, T'(y) = 2y.



No se necesita una constante arbitraria en la obtencin de T (y), puesto que ser introduci-da una en el lado derecho en la solucin F = c. Entonces:

y de (10)

Por ltimo, un conjunto de soluciones para la ecuacin (7) est definido por: x3y - 3X2 + y2 = c.


Aqu,

(2x 3 - xl- 2y + 3) dx - (x2y + 2x) dy = O.

aM aN - = -2xy-2 = -ay ax'

de modo que la ecuacin (11) es exacta.

y

Un conjunto de soluciones para (11) es F = c, donde: aF 3 2 - = 2x - xy - 2y + 3 ax

aF 2 - = -x y-2x. ay

(11)

(12)

(13)

Ya que (13) es ms sencilla que (12), y para variar un poco, iniciamos la determinacin de F a partir de la ecuacin (13). Veamos,

F = -4x2l- 2xy + Q(x),

donde Q (x) ser d@terminadade(12). De la ltima se obtiene:

Por lo tanto,

-xl- 2y + Q'(x) = 2x 3 - xl - 2y + 3, Q'(x) = 2x 3 + 3.



y el conjunto de soluciones deseado para (11) est definido de manera implcita por:

o

Ejercicios Analice cada una de las ecuaciones siguientes para saber si son exactas y resulvalas. Las que no lo sean podrn resolverse con los mtodos estudiados en las secciones anteriores.

1. 2. 3. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

(x + y) dx + (x - y) dy = O. (6x+y2) dx+y(2x-3y) dy = O. (2xy-3x 2) dx+(x2+y) dy = O.

4. (2xy + y) dx + (x 2 - x) dy = O. 5. (x-2y)dx+2(y-x)dy=0. 6. (2x-3y)dx+(2y-3x)dy = o.

Resuelva el ejercicio 5 con otro mtodo. Resuelva el ejercicio 6 con otro mtodo. (y2 _ 2xy + 6x) dx - (x 2 - 2xy + 2) dy = O. v(2uv2 - 3) du + (3u 2v2 - 3u + 4v) dv = O. (cos 2y - 3x2y2) dx + (cos 2y - 2x sen 2y - 2x3 y) dy = O. (1 + y2) dx + (x 2y + y) dy = O. (1 + l + xy2) dx + (x 2y + y + 2xy) dy = O. (w 3 + wz2 - z) dw + (Z3 + w 2z - w) dz = O. (2xy - tan y) dx + (x 2 - x sec2 y) dy = O. (cosx cos y - cotx)dx - sen x senydy = O. (r + sen e - cos e) dr + r(sen e + cos e) de = O. x(3xy - 4 y 3 + 6) dx + (x 3 - 6x2y2 - 1) dy = O. (sen e - 2r cos2 e) dr + r cos e(2r sen e + 1) de = o. [2x + y cos (xy)] dx + x cos (xy) dy = O. 2xydx + (y2 +x2)dy = O. 2xy dx + (l - x2) dy = O. (xy2 + y - x) dx + x(xy + 1) dy = O. 3y(x2 - 1) dx + (x 3 + 8y - 3x) dy = O; cuando x = O, Y = 1. (1 - xy)-2 dx + [y2 + x2(1 - xy)-2] dy = O; cuando x = 2, Y = 1. (3 + Y + 2l sen2 x)dx + (x + 2xy - y sen 2x) dy = O. 2x[3x + y - y exp (_x2)] dx + [x2 + 3y2 + exp (_x2)] dy = O. (xy2 +x - 2y + 3)dx +x2ydy = 2(x + y)dy; cuando x = 1, Y = 1.


2.5 La ecuacin lineal de orden uno 35

I 2.5 I La ecuacin lineal de orden uno En la seccin 2.4 estudiamos las ecuaciones diferenc!ales de primer orden que eran exac-tas. Si una ecuacin no es exacta, es natural que se intente hacerla exacta introduciendo un factor adecuado, el cual es llamado factor de integracin. En la seccin 2.1 multiplicamos por un factor de integracin para separar las variables y con eso obtuvimos una ecuacin exacta.

En general, es muy poco lo que se puede decir acerca de la teora de factores de integra-cin para ecuaciones de primer orden. En el captulo 5 probaremos algunos teoremas que nos ayudarn en ciertas situaciones aisladas. Sin embargo, hay una clase importante de ecuaciones en las que la existencia de un factor de integracin s puede ser demostrada. Es-ta clase es la de las ecuaciones lineales de orden uno.

Una ecuacin que es lineal y de orden uno en la variable dependiente y por definicin (seccin 1.2) debe ser de la forma:

dy A(x) dx + B(x)y = C(x).

Al dividir cada miembro de la ecuacin (1) entreA(x), obtenemos: dy - + P(x)y = Q(x), dx

a la que elegimos como la forma cannica para la ecuacin lineal de orden uno.

(1)

(2)

Por el momento suponga que para la ecuacin (2) existe un factor de integracin posi-tivo v (x) > 0, una funcin que es solamente de x. Entonces,

v(x) [~~ + P(X)Y] = v(x) Q(x) (3) debe ser una ecuacin exacta. Pero (3) se puede anotar fcilmente en la forma:

Mdx+Ndy =

con,

M = vPy - vQ

y

N= v,

en las que v, P y Q son funciones exclusivas de x . Por lo tanto, si la ecuacin (3) es exacta, el requisito:

aM aN ay ax



implica que v debe satisfacer la ecuacin: dv

vP=-. dx

De la ecuacin (4), v puede ser obtenida fcilmente, ya que:

de modo que,

o

dv Pdx =-,

v

Inv=fPdx,

v = exp (f P dx ) .

(4)

(5)

Esto es, si la ecuacin (2) tiene un factor de integracin independiente de y, entonces ese factor debe estar dado por la ecuacin (5).

Nos falta demostrar que la v dada por la ecuacin (5) es en realidad un factor de integra-cin de:

dy dx + P(x)y = Q(x). (2)

Multiplicamos (2) por el factor de integracin, obteniendo:

exp (f P dx ) ~~ + P exp (f P dX) y = Q exp (f P dX) . (6) El miembro izquierdo de (6) es la derivada del producto:

el miembro derecho de (6) es una funcin exclusiva dex. De aqu que (6) sea exacta, lo cual queramos demostrar. Por supuesto, es suficiente un solo factor de integracin. En conse-cuencia, podemos utilizar en el exponente (f P d x) cualquier funcin cuya deri vada sea P.

Debido a la gran importancia de las ideas que acabamos de analizar, y como es frecuente la presencia de ecuaciones lineales de primer orden, a continuacin resumimos los pasos involucrados en la solucin de tales ecuaciones:

a) Escribir la ecuacin en forma cannica: dy dx + Py = Q.


2.5 La ecuacin lineal de orden uno 37

b) Obtener el factor de integracin exp (f P d x). c) Multiplicar ambos miembros de la ecuacin (escrita en forma cannica) por el factor

de integracin. d) Resolver la ecuacin exacta resultante.

Observe que en la integracin de la ecuacin exacta la integral del lado izquierdo siempre es el producto de la variable dependiente multiplicada por elfactor de integracin utilizado.


2(y - 4x2) dx + x dy = O. La ecuacin es lineal en y . Al escribirla en forma cannica se transforma en:

dy 2 - + - y = 8x dx x

cuando x =f. O.

Entonces un factor integrante es:

exp (1 2 :x) = exp (21n Ix 1) = exp (In x2) = x 2. Ahora se aplica el factor de integracin a (7), as se obtiene la ecuacin exacta:

x2 dy + 2xy = 8x3 d x '

que de inmediato se puede escribir como:

Al integrar (9) encontramos que:

(7)

(8)

(9)

(lO)

Esto puede ser verificado. De (10) obtenemos (8) por diferenciacin. Luego la ecuacin diferencial original se deduce de (8) por un ajuste sencillo. De aqu concluimos que (10) define un conjunto de soluciones para la ecuacin original.


y dx + (3x - xy + 2) dy = O.



Ya que el producto y dy aparece aqu, deducimos que la ecuacin no es lineal en y. Pero s es lineal en x. Por lo tanto, reacomodando los trminos como en:

ydx + (3 - y)xdy = - 2dy

y pasando a la forma cannica,

~: + (~ - 1) x = ~2 para y # O. Ahora,

f (~ -1) dy = 31n Iyl - y + Cl, de modo que un factor de integracin para la ecuacin (1) es:

exp (3 In Iyl - y) = exp (3 In Iyl)e- Y = exp (In IY I3)e-Y = IYI3e- y

(11)

Se deduce que cuando y> O, y3e- Y es un factor de integracin para la ecuacin (11), Y cuan-do y < O, _y3e- Y sirve como factor de integracin. Cualquiera de estos casos nos conduce a la ecuacin exacta:

de la cual obtenemos:

xie- Y = -2 f le- Y dy = 2le- Y + 4ye-Y + 4e-Y + c.

As que una familia de soluciones queda definida de manera implcita por: xi =2l+4y+4+ceY

2.6 La solucin general de una ecuacin lineal

En la seccin 1.6 establecimos un teorema de existencia y unicidad para ecuaciones dife-renciales de primer orden. Si sucede que la ecuacin diferencial en ese teorema sea una ecuacin lineal, podemos demostrar un teorema un poco ms difcil.

Considere la ecuacin diferencial lineal:

dy - + P(x)y = Q(x). dx

(1)


2.6 La solucin general de una ecuacin lineal 39

Suponga que P y Q son funciones continuas en el intervalo a < x < b, Y que x = Xo es cual-quier nmero en ese intervalo. Si Yo es un nmero real arbitrario, existe una solucin nica y = y (x) de la ecuacin diferencial (1) que tambin satisface la condicin inicial:

Adems, esta solucin satisface la ecuacin (1) en todo el intervalo a < x < b. En esencia, la demostracin de este teorema fue hecha en la seccin 2.5 . Al multiplicar

la ecuacin (1) por el factor de integracin v = exp (f P dx) e integrando se obtiene:

yv = f vQdx + c. Ya que v * O, podemos escribir:

y = v- 1 f vQdx+cv-1 (2) Es muy sencillo demostrar que como v * O y contina en a < x < b, (2) es una familia de soluciones para la ecuacin (1) .

. Tambin es fcil advertir que dada una Xo en el intervalo a < x < b junto con cualquier nmero Yo' podemos seleccionar la constante c de modo que y = Yo cuando x = xo

El resultado de nuestro argumento es que toda ecuacin con la forma de la ecuacin (1), para la cual P y Q tengan algn intervalo comn de continuidad, tendr un conjunto nico de soluciones, el cual poseer una constante de integracin que puede ser obtenida intro-duciendo el f~ctor de integracin apropiado. Como estamos seguros de la unicidad de es-tas soluciones, debemos esperar que cualquier solucin obtenida por otro mtodo sea una de las funciones contenidas en nuestra familia de soluciones con un parmetro. Es por es-ta razn que a este conjunto de soluciones se le llama solucin general de la ecuacin (1). La palabra "general" quiere decir que se han encontrado todas las posibles soluciones que satisfacen la ecuacin diferencial en el intervalo a < x < b .

Ejercicios En los ejercicios l al 24 encuentre la solucin general.

l. (x 5 + 3y) dx - x dy = O. 6. y'=x - 4xy. 2. y' = X - 2y . 7. y' = cscx + y cotx. 3. (y + 1) dx + (4x - y) dy = O. 8. y' = cscx - Y cotx . 4. u dx+(1-3u)x du = 3u2e3u duo 9. (y - cos2 x) dx + cos x dy = O. 5. udx + (1 - 3u)xdu = 3udu . 10. y' = x - 2y cot2x.



11. (y - x +xy cotx)dx +xdy = O. 12. 2(2xy +4y - 3)dx + (x + 2fdy = O. 13. (2xy + X2 + x 4 ) dx - (1 + x2 ) dy = O. 14. y ,_ my = CIen .. ", donde c l y m son constantes. 15. y ,_ m 2y = cIen/Ix, donde c l ' mI' m 2 son constantes y mI =1= m 2 16. v dx + (2x + 1 - vx) dv = O. 19. 2y dx = (x 2 - l)(dx - dy). 17. x(x2 + 1)y' +2y = (x 2 + 1)3 . 20. dx - (1 +2xtany)dy = O. 18. 2y(y2_X)dy =dx. 21. y'=1+3ytanx. 22. (1 + cos x) y' = sen x (sen x + sen x cos x - y). 23. (x2 + a2) dy = 2x[(x2 + a2)2 + 3y] dx; a es una constante. 24. (x + a)y ,= bx - ny; a, b, n son constantes con n =1= O, n =1= -1. 25 . Resuelva la ecuacin del ejercicio 24 para los casos excepcionales donde n = O Y

n = -1. 26. En la forma cannica dy + Pydx = Qdx, haga y = VW, para obtener:

w(dv + Pvdx) + vdw = Qdx. Luego, seleccionando primero v de modo que:

dv + Pvdx = O

y determinando despus w, demuestre cmo completar la solucin de:

dy + Pydx = Qdx.

En los ejercicios 27 al 33 encuentre la solucin particular indicada.

27.

28.

29.

30.

31. 32.

33 .

(2x + 3)y I = Y + (2x + 3) 112; cuando x = - 1, y = O. Y I = .x3 - 2xy; cuando x = 1, y = 1.

L di + Ri = E ; donde L, R Y E son constantes, cuando t = O, i = O. dt di

L- + Ri = E senwt; cuando t = O, i = O. dt

Encuentre la solucin de y ,= 2(2x - y) que pase por el punto (O, -1). Encuentre la solucin de y I = 2(2x - y) que pase por el punto (O, 1). (1 + t 2) ds + 2t [st 2 - 3(1 + t 2)2] dt = O; cuando t = O, s = 2.

Ejercicios diversos En cada ejercicio encuentre el conjunto de soluciones, a menos que el enunciado del ejercicio indique otra cosa.

1. y' = exp (2x - y). 2. (x 4 + 2y) dx - x dy = O.


2.6 La solucin general de una ecuacin lineal 41

3. (3xy + 3y - 4) dx + (x + 1)2 dy = O. 4. (x + y)dx +xdy = O. 5. y2dx -x(2x +3y)dy = O. 6. (x2 + l)dx +x2y2 dy = O. 7. y' = x 3 - 2xy; cuandox = 1,y = 2. 8. senedrjde = -1-2rcose. 13. dxjdt=cosxcos2 t. 9. y(x + 3y) dx + x2 dy = O. 14. 3x3y' = 2y(y - 3).

10. dyjdx = sec2 x sec3 y. 15. xy(dx - dy) = x2 dy + y2 dx. 11. O+x2)y' = x 4y4. 16. (y-sen2x)dx+senxdy = 0. 12. (2x2-2xy _ y2)dx + xydy =0. 17. (x+2y)dx+(2x+y)dy = 0. 18. (2xy - 3x2) dx + (x2 + 2y) dy = O. 19. (x 3 + l) dx + y2(3x + ky) dy = O; k es una constante. 20. y(2x3 - x2y + y3) dx - x(2x3 + y3) dy = O. 21. y(3 + 2xy2) dx + 3(x2y2 + X - 1) dy = O. 22. y(x2 + y2) dx + x(3x2 - 5y2) dy = O; cuando x = 2, y = 1. 23. y '+ ay = b; a y b son constantes. Resulvala con dos mtodos. 24. (x - y) dx - (x + y) dy = O. Resulvala con dos mtodos. 25. (sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y) d y = O. 26. 0+ 4xy - 4x2y) dx + (x2 - x 3) dy = O; cuando x = 2, y = ~. 27. (2y cosx + sen4 x) dx = sen x dy; cuando x = !Jr, Y = 1. 28. a2(dy - dx) = x2 dy + y2 dx; a es una constante.

Al resolver los ejercicios 29 al 33 recuerde que el valor principal arcsen x de la funcin inversa del seno, est restringido como sigue: -! 7T::S arcsen x ::S! 7T. Los ejercicios 30, 31 Y 32 se refieren a los segmen-tos de arco de la figura 2.4 que muestra la grfica de la elipse:

29. JI=Yidx + vT=X2dy = O. 30. Resuelva la ecuacin del ejercicio 29 con la condicin adicional de que cuando x = O,

31. Resuelva la ecuacin del ejercicio 29 con la condicin adicional de que cuando x = O,

32. Demuestre que despus de eliminar las respuestas a los ejercicios 30 y 31, los arcos restantes de la elipse



y

------~------~------~------ x

Figura 2.4

no son soluciones de la ecuacin diferencial:

JI"=Y2dx + ~dy = O. Para lograr este objetivo tome en consideracin el signo de la pendiente de la curva.

33. Para la ecuacin

JI"=Y2dx - ~dy =0 plantee y resuelva cuatro problemas anlogos a los ejercicios 29 al 32.

34. u du = (e V + 2uu - 2u) du. 36. y(y2 - 3x2) dx + x 3 dy = O. 35. y2dx-(xy+2)dy=0. 37. y'=ytanx +cos x. 38. (x 3 - 3xy2) dx + (y3 - 3x2y) dy = O. 39. (l-x2)y' =1 -xy-3x2+2x4 . 42. x 2y' = y(1 - x) . 40. (y3 _x3 ) dx = xy(x dx + ydy). 43. xy' = x - y +xy tanx. 41. y' = secx - y tanx. 44. y2 dx + x2 dy = 2xy dy. 45. ydx = (3x + y3 - y2)dy; cuandox = 1, Y =-1. 46. (x 2 - 2xy - y2) dx - (x2 + 2xy - y2) dy = O. 47. y2dx + (xy + y2 -l)dy = O; cuando x = -1, Y = l. 48. y' = cosx - ysecx; cuando x = O, Y = l.

,

49. Encuentre la solucin de y ,= 3x + y que pase por el punto (-1, O) . . 50. Encuentre la solucin de y I = 3x + y que pase por el punto ( -1, 1).



51. (x 2 - 1 + 2y) dx + (1 - x2) dy = O; cuando x = 2, Y = 1. 52. (y2 + y) dx - (y2 + 2x y + x) d Y = O; cuando x = 3, Y = 1. 53. (3x 4 y - 1) dx + x 5 dy = O; cuando x = 1, Y = 1. 54. (sen x sen y + tan x) dx - cos x cos y dy = O. 55. (3xy - 4y - 1) dx + x(x - 2) dy = O; cuando x = 1, Y = 2.

I 2.7 I Suplemento para computadora En este captulo iniciamos el proceso para resolver ecuaciones diferenciales de manera analtica. La mayor parte de los mtodos descritos involucra la integracin de alguna ma-nera y, por lo tanto, estn sujetos a resolverse utilizando los Sistemas de lgebra Compu-tacional (SAC) que pueden integrar de manera simblica. Como una sencilla muestra considere la ecuacin diferencial separable del ejemplo 2.1 en la seccin 2.1 :

dy 2y = dx x

La solucin dada en el texto implica la separacin de las variables y la integracin inme-diata de ambos miembros de la ecuacin resultante. Las integraciones pueden ser realizadas en Maple por medio del siguiente comando: >int(1/y,y) =int(2/x,x)+C;

ln(y) = 2 ln(x) + e Esta solucin implcita puede ser resuelta para y y simplificada por: >so l ve(" , y);

e21n(x)+C

>s implify ( " ) ;

Consideremos tambin la ecuacin (7) dada en el ejemplo 2.7 de la seccin 2.4, 3x(xy - 2) dx + (x 3 + 2y) dy = O.

Aqu el primer paso es verificar si la ecuacin es exacta. Maple puede hacer esto como sigue: >M: =3*x* (x*y- 2) ;

M := 3 x (xy - 2) >N: = (x"3+2*y) ;

N:= x 3 +2y >di ff (M, y) ;

>di f f (N, x) ;



La ecuacin resulta ser exacta. Podramos usar la computadora para completar los pasos restan-tes del proceso. Afortunadamente, los programas que trabajan con expresiones simblicas, en su mayor parte, estn diseados para encargarse de todos los pasos de una sola vez. Primero, re-grese al primer ejemplo citado anteriormente. Podemos introducir la ecuacin diferencial como >diff(y(x) , x) =2*y / x;

d 2 y -y(x) =-d x x

Esta ecuacin puede ser resuelta en un comando: >dsolve ( " ,y(x ));

y(x) = X 2 _el El segundo ejemplo es casi igual de fcil:

>(3*x*(x*y- 2) )+(xA3+2*y)*diff(y(x) , x)=O ; d

3x (xy - 2) + (x3 + 2 y ) -y(x) = dx

>dsolve ( " ,y(x));

Por ltimo, la computadora tambin puede resolver problemas de valor inicial. Veamos, considere la ecuacin (8) en el ejemplo 2.3 de la seccin 2.1 :

(1 + l) dx + (1 +x2) d y = 0, con la "condicin inicial" de que cuando x = 0, y = - l . La ecuacin es introducida como: >diff(y(x) , x) =-(l+y(x)A2) / (l+xA2 ) ;

d 1 + (y(x2 dx Y(x) = - 1 +x2

y luego resuelta mediante: >dsolve({" , y(O) =-l } ,y (x)) ;

y(x) = tan ( - arctan (x) - ) . Ejercicios 1. Utilice un Sistema de lgebra Computacional para resolver una muestra representati-

va de los problemas trabajados en el presente captulo. Asegrese de incluir algunos con condiciones iniciales y otros sin stas. Es probable que se encuentre con algunos problemas que el SAC no podr resolver usando tcnicas bsicas. Verifique si su siste-ma tiene tcnicas ms avanzadas para resolverlos.

2.. Un SAC es capaz de resolver an ecuaciones tan generales como dy/dx + P(x)y = Q(x). Intntelo en su sistema.


Mtodos ,/

nUmerlCOS

3. 1 Observaciones generales No existe un mtodo general que nos d una forma explcita para encontrar la solucin de una ecuacin diferencial. En la prctica, nos encontramos con ecuaciones especficas para las que no se conoce un mtodo de resolucin o para las cuales las formas explcitas de solucin no son las adecuadas para los clculos. Por estas razones, son tan importantes mto-dos sistemticos y eficaces que nos lleven a una aproximacin numrica de las soluciones. Desafortunadamente, el dominio de buenos mtodos numricos exige mucho tiempo de prctica y la disponibilidad de una computadora adecuada.

Este captulo est restringido a un estudio parcial de algunos de los mtodos ms senci-llos y tiles. Aqu el propsito es dar al estudiante un concepto de los principios fundamenta-les para obtener aproximaciones numricas a las soluciones. Considerarem0s un problema que no es posible resolver con los mtodos desarrollados hasta el momento y le aplicare-mos varios procesos numricos.

3.2 Mtodo de Euler Buscamos obtener la solucin de la ecuacin diferencial:

y'=y-xl (1) para la cual y = 1 cuando x = O. Deseamos aproximar la solucin y = y (x) en el intervalo o:::;x:::;l

La ecuacin (1) puede ser escrita en forma diferencial como: (2)

La figura 3.1 muestra el significado geomtrico de la diferencial dy y de ~ y, el cambio real en y, inducido por un incremento dx (o ~) aplicado a x. En clculo se muestra que cerca de un punto donde exista la derivada, dy puede hacerse tan aproximado a ~y como se desee to-mando un ~ x lo suficientemente pequeo.

Digamos que, conociendo el valor de y en x = O, deseamos calcular y para O :::; x :::; -. Suponga que elegimos ~ = 0.1; entonces dy puede ser calculado de:

dx = cY - X2) ~.

45


46 Captulo 3 Mtodos numricos

A saber, dy = (1 - 0)(0.1) = 0.1. As, para x = O + 0.1, el valor aproximado de y es 1 + 0.1. Ahora tenemos x = 0.1, Y = 1.1. Otra vez elegimos Llx = 0.1. Entonces:

de modo que dy = 0.12. De aqu que en x = 0.2, el valor aproximado de y sea 1.22. El clcu-lo completo usando Llx = 0.1 se muestra en la tabla 3.1. Los clculos se realizaron con seis cifras decimales y despus el resultado se redonde a tres cifras decimales.

El incremento Llx no necesita ser constante a lo largo de todo el intervalo. Donde la pen-diente sea grande, se toma un incremento pequeo. Por simplicidad en los clculos, aqu se usarn incrementos iguales.

Es til repetir los clculos con un incremento ms pequeo y notar los cambios que resultan en los valores aproximados de y. La tabla 3.2 muestra un clculo con Llx = 0.05.

En la tabla 3.3 tenemos los valores de y que se obtuvieron de los clculos en las tablas 3.1 y 3.2, Y los valores de y obtenidos usando Llx = 0.01 (no se muestran los clculos), ade-ms de los valores correctos de y redondeados a tres cifras decimales.

y


de y es

con seis

elapen-s, aqu se

bios queulo con

as tablasos), ade-

3.2 Mtodo de Euler 47TABLA 3.2 ~x = 0.05

x y y2 x2 (y2 _ X2) dy

0.00 1.000 1.000 0.000 1.000 0.0500.05 1.050 1.102 0.002 1.100 0.0550.10 1.105 1.221 0.010 1.211 0.0610.15 1.166 1.359 0.022 1.336 0.0670.20 1.232 1.519 0.040 1.479 0.0740.25 1.306 1.706 0.06~ 1.644 0.0820.30 1.388 1.928 0.090 1.838 r 0.0920.35 1.480 2.192 0.122 2.069 0.1030.40 1.584 2.508 0.160 2.348 0.1170.45 1.701 2.894 0.202 2.692 0.1350.50 1.836

TABLA 3.3Cuando ~x = 0.1 ~x = 0.05 Sx = 0.01 Correcta

x y y y y

0.0 1.000 1.000 1.000 1.0000.1 1.100 1.105 1.l10 1.l110.2 1.220 1.232 1.244 1.2470.3 1.365 1.388 1.411 1.4170.4 1.542 1.584 1.625 1.6370.5 1.764 1.836 1.911 1.934

Los valores correctos fueron obtenidos mediante el mtodo que veremos en la seccin3.7. Su disponibilidad en cierto sentido es accidental. Con frecuencia no sabemos de quforma obtener el valor correcto de y con un grado especfico de exactitud. En tales casos escostumbre recurrir a la disminucin del tamao del incremento hasta que los valores de ymuestren cambios no mayores que los errores que estamos dispuestos a permitir. Entoncesse espera que el cambio constante de los valores de y se deba a que nos encontramos cercade la solucin correcta, en lugar de atribuido a la lentitud de convergencia del proceso uti-lizado (lo cual tambin es posible).

Para el problema ms general de valor inicial:

dy- = f(x, y); cuandox = Xo, y = yo,dx

(3)

la sucesin de aproximaciones descritas anteriormente puede ser expresada en trminos de lasrelaciones de recurrencia:



Xk+ 1 = Xk + h Yk+1 = Yk + hf(xk, Yd, (4)

para k = O, 1, 2, ... . Aqu hemos usado h para el valor de ru:. La tcnica descrita lneas arriba es conocida como el mtodo de Euler, aunque no invo-

lucra nada ms que la aproximacin lineal de clculo elemental.

Ejercicios En cada uno de los ejercicios siguientes, utilice el mtodo de Euler con el Dx indicado para aproximar la solucin al problema de valor inicial en el intervalo dado. En los ejercicios 1 al 6, resuel va el problema por mtodos elementales y compare los valores aproximados de y con los valores correctos.

1. y' = x + y; cuando x = O, Y = 1; box = 0.1 Y O ::: x ::: 1. 2. Utilice ru: = 0.05 en el ejercicio l. 3. y' = x + y; cuando x = O, Y = 2; box = 0.1 Y O ::: x ::: 1. 4. y' =x +y; cuandox = l,y=l; box=0.lyl:::x :::2. 5. y' = x + y; cuando x = 2, y = -1 ; box = 0.1 Y 2::: x::: 3. 6. y' = 2x - 3y; cuando x = O, y = 2; ;0.x = 0.1 Y O::: x::: 1. 7. y' = e-xy ; cuando x = O, Y = O; box = 0.2 Y O::: x ::: 2. 8. Utilice ru: = 0.1 en el ejercicio 7. 9. y' = (1 +x2 + /)-1; cuando x = O, y = O; box = 0.2 Y O::: x::: 2.

10. Utilice ru: = 0.1 en el ejercicio 9. ] 1. y' = (cosx + seny)1 /2; cuando x = O, y = 1; box = 0 .2 Y O::: x::: 2. 12. Utilice ru: = O.] en el ejercicio] 1.

13. cuando x = O, y = O; box = 0.2 Y O ::: x ::: 2.

3.3 Una modificacin al mtodo de Euler

En cada paso del mtodo de Euler, como se describi en las ecuaciones (4) de la seccin 3.2, la nueva aproximacin Yk+1 utiliza la pendientef(xk, Yk). Esta pendiente es calculada en (xk' yk), un punto que est en el extremo izquierdo del intervalo xk :::; x :::; xk + h. Es ra-zonable suponer que se obtendra una mejor aproximacin para el valor de Yk+1 si la pen-diente fuera calculada en el punto medio del intervalo en lugar de usar el extremo. izquierdo. Una modificacin en el mtodo de Euler hace uso de esta observacin.

Procedemos de la siguiente manera: a partir del punto inicial (xo' Yo) y mediante el m-todo de Euler determinamos el punto (XI' y), luego repetimos este paso empezando otra


(4)

no invo-

xirnar lalema por

seccinalculadah. Es ra-ila pen-extremo

eel m-do otra

3.4 Unmtodo de aproximacin sucesiva 49

vez en el punto inicial (xo' Yo)' Sin embargo, en la segunda ocasin usamos el mtodo deEuler con un tamao de incremento de 2h y tomando el valor de la pendiente en el punto(xl' y,), un punto que est a la mitad del nuevo intervalo

Xo ::::x ::::Xo + 2h.

Por lo tanto, las frmulas para el mtodo modificado de Euler son:

Xl = Xo + h,Yl = yo + hf(xo, yo)

y

Xk+2 = Xk + 2h, k ::::0,Yk+2 = Yk + 2hf (Xk+ 1 , Yk+l), > O.

Al aplicar el mtodo modificado de Euler al problema:

Xo = 0, Yo = 1,

se obtienen los resultados de la tabla 3.4. Por comparacin con la tabla 3.3 vemos que hayuna mejora considerable en la precisin de los valores calculados de y.

TABLA 3.4Cuando h = 0.1 h = 0.05 h = 0.01 Correcta

X y Y Y Y0.0 1.000 1.000 1.000 1.0000.1 l.l00 l.l00 l.l11 l.l110.2 1.240 1.245 1.247 1.2470.3 1.400 1.414 1.417 1.4170.4 1.614 1.631 1.637 1.6370.5 1.888 1.922 1.933 1.934

Ejercicios

En cada uno de los ejercicios de la seccin 3.2, utilice el mtodo modificado de Euler para aproximar lasolucin del problema de valor inicial en el intervalo dado. Compare estos resultados con los obtenidospor el mtodo de Euler.

I 3.4 I Un mtodo de aproximacin sucesivaAhora abordaremos nuevamente el problema anterior,

X = 0, y = 1, (1)



con la y requerida en el intervalo O ::5 x ::5 ~, por el mtodo sugerido en el anlisis delteorema de existencia del captulo 13.Una vez aplicados los enunciados hechos en ese an-lisis, concluimos que la solucin deseada es y = y(x), donde:

y(x) = lim Yn(x)n->oo

y la sucesin de funciones ylI(x) est dada por Yo(x) = 1, Y para n 2: 1,

Yn(X) = 1+ lx [Y~_I (t) - t2] dt.Para el problema en cuestin,

YI(X) = 1+ lXO-t2)dt,=1+x-tx3.

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EcDif-Rainville, Bedient y Bedient