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目 次
第 1章 複素数の演算と幾何 5
1.1 虚数単位と複素数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 複素数の四則演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 複素平面と Euler の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 複素数の極座標表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 deMoivre の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 ベキ乗根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第 2章 複素函数 21
2.1 複素函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 ベキ乗函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 指数函数と三角函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4√z, 対数函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
第 3章 正則函数 29
3.1 領域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Cauchy-Riemann の関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 さまざまな函数の正則性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 正則函数の等角性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
第 4章 Cauchy の積分定理と積分公式 37
4.1 線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Cauchy の積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5
第1章 複素数の演算と幾何
1.1 虚数単位と複素数
方程式t2 = −1
を満たす実数 t は存在しない. 実際 t が実数ならば t2 ≥ 0 となる, もしこのような実数が存在すると矛盾を生じる. しかしながらこのような数 (勿論, 実数ではあり得ない)が存在すると仮定すると利点が多い. 確かに利点があると納得して頂くのが, この本の最終的な目標であると言っても良いくらいである. そこでまずは御利益があると信じ, 虚数単位 (imaginary unit) と呼ばれる (実数以外の)数 i で
i2 = −1
をみたすものが存在すると仮定しよう. そして
z = x+ iy, x, y ∈ R
の形の数を複素数 (complex number)と言うことにする. ただし, 記号 R は実数 (real number)
全体の集合を表し, x, y ∈ R とは x, y が実数全体の集合に属すること, 短く言えば x, y がともに実数であることを意味する略記である.
さて 2 つの複素数 z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 が等しい, つまり z1 = z2 とは
(1.1.1) z1 = z2def⇐⇒ x1 = x2 かつ y1 = y2
と定める. ただし def⇐⇒ とは左辺の条件を右辺が成り立つ時と定義 (definition)するという意味の記号である.
複素数 z = x+ iy について
(1.1.2) Re zdef= x, Im z
def= y
とおいて, それぞれ z の実数部分 (実部 real part of z), z の虚数部分 (虚部 imaginary part of z)
とよぶ. また
(1.1.3) zdef= x− iy
とおいて, z の共役複素数 (conjugate complex number)という.
Remark 1.1.1 共役をきょうえきと読む人がたまにいるが, これは厳密には正しくない. もともと共役という漢字は, “共軛”と書いていたのだが, 当用漢字に無いということで第 2次世界大戦後に, 共役と書かれることになった. “役”という漢字は, “やく”または”えき”と読まれるが,
“軛” という漢 字は “えき”と読まれることは決して無い. 従って, “きょうえき”は, ”共軛”が”
共役”と書かれるようになってからの誤った読みかたである.
6 第 1章 複素数の演算と幾何
Problem 1.1.2 z = 2 + 3i について次を求めよ. Re z, Im z, z.
複素数の 0 + 0i のことを単に 0 と表すことにし, 1 + 0i のことを単に 1 と表すことにする.
複素数 z = x + iy が x = 0, つまり, z = 0 + iy = iy の形のとき純虚数 (purely imaginary
number)であるという. また y = 0 のとき, z = x + i0 の形の複素数は実数であるとみなして,
実数は複素数の 1 種であるとする.
1.2 複素数の四則演算
2 つの複素数 z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 に対して
(1.2.1) z1 + z2def= (x1 + x2) + i(y1 + y2)
とおく. この定義と実数の和についての交換法則より
z2 + z1 =(x2 + x1) + i(y2 + y1) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) = z1 + z2(1.2.2)
複素数の和に関する交換法則 (commutative law)
が成り立つ.
さて z = x+ iy に対して z +w = 0 = 0 + i0 をみたす複素数 w のことを−z と書くことにする. w = u+ iv とおいて z +w = 0 の両辺の実部と虚部を比較すれば x+ u = 0, y+ v = 0 よりu = −x, v = −y であるから−z = w = −x+ i(−y) である. そこで複素数の減法 (引き算)については
(1.2.3) z1 − z2 = z1 + (−z2)def= (x1 − x2) + i(y1 − y2)
と定義する.
次に複素数どうしの積については
(1.2.4) z1z2def= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)
と定義する. これは次のように分配法則が成り立つとして形式的な計算を行い i2 を −1 で置き換えて, i がつく部分とつかない部分に分けたと思えば良い.
z1z2 =(x1 + iy1)(x2 + iy2)
=x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + iy1iy2
=x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2
=(x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)
Problem 1.2.1 複素数の積に関する交換法則 z2z1 = z1z2 が成り立つことを証明せよ.
Problem 1.2.2 z = x+ iy 6= 0 = 0 + i0 (つまり x 6= 0 または y 6= 0 とする ) をみたす複素数z について zw = 1(= 1 + 0i) となる複素数をw = 1/z = 1
zと表す. このとき w = u + iv とお
くときu =
x
x2 + y2, v = − y
x2 + y2
で与えられることを証明せよ.
1.3. 複素平面と Euler の公式 7
さて上の Problem 1.2.2 より1
z= 1/z =
x− iy
x2 + y2
であるから, 複素数どうしの除法 (商)は
(1.2.5)z1
z2
= z1 · (1/z2)def=x1x2 + y1y2 + i(y1x2 − x1y2)
x22 + y2
2
と定義すべきであることが分かる.
Problem 1.2.3 以下のことがらが成り立つことを証明せよ.
1. z = z.
2. z が実数 ⇐⇒ z = z.
3. z が純虚数 ⇐⇒ z = −z.
4. z1 + z2 = z1 + z2.
5. z1z2 = z1z2.
6.
(
1
z
)
=1
z.
7.
(
z2
z1
)
=z2
z1
.
8. Re z =z + z
2.
9. Im z =z − z
2i.
Problem 1.2.4 z = (2 + 3i)3 について次を求めよ. Re z, Im z, z.
1.3 複素平面と Euler の公式
実数全体の集合は記号R で表されるが, 複素数の全体は記号 C と表される.
複素数 z = a+ ib は 2 次元平面の点 (a, b) とみなすことができる. このとき複素数全体 Cは,
2 次元平面 R2 に対応する. そこでC を平面とみなして, Gauss 平面 (Gaussian plane)もしくは
複素 (数)平面 (complex plane)という. 複素平面の図示の仕方は以下の図を参考にせよ. 特に x
軸, y 軸のことを, それぞれ実 (数)軸 (real axis), 虚 (数)軸 (imaginary axis)と呼び, 記号 R, iR
と表される. また複素数 a + ib のことを点 a + ib と呼んだりすることがあるが, これは複素数とは複素平面 C 内の点であるということでそう呼ぶ.
Problem 1.3.1 z = 1 +√
3i について, z2, z3, Re z, Im z −z, z, z, −z, 1z , 1
z を計算し, 複素平面に図示せよ.
8 第 1章 複素数の演算と幾何
以下に複素数 z = a+ ib の複素共役 z と−z, −z の関係を図示しておく.
O R
iR
b
z = a + ib
b
z = a − ib
b
−z = −a + ib
b
−z = −a − ib
図 1.1: 複素平面
さて複素数 z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 の和は z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2) と定義したが, z1, z2 をそれぞれ, 成分が (x1, y1),(x2, y2) の平面ベクトルとみなせば, z1 + z2 の成分は(x1 + x2, y1 + y2) になる. 従って複素数の和はベクトルの和に等しい.
O R
iR
b
z1
b
z2
b
z1 + z2
図 1.2: 複素数の和はベクトルの和
1.3. 複素平面と Euler の公式 9
複素数の積についても幾何学的 (=図形的)な意味があり図示ができるが, これを理解する為には複素数の極座標表示が必要である. 複素数の極座標には Euler の公式と呼ばれる次の等式が便利に用いられる.
(1.3.1) eiθ = cos θ + i sin θ, θ ∈ R
複素平面において, 中心が原点で半径 1 の円を単位円板 (unit disk or unit disc)という. Euler
の公式は, 点 eıθ = cos θ + i sin θ が単位円周 (unit circle)の上にあり, 原点と点 cos θ + i sin θ を結ぶ線分が実軸となす角が θ であることを意味している. また点 1 から点 eiθ = cos θ + i sin θ
までの単位円周に沿った道のりは θ であること注意すれば, θ が 0 から 2π まで速さ 1 で動くとき, 点 eiθ は点 1 から反時計回りに単位円周に沿って速さ 1 で動く.
Euler の公式には上記のような幾何学的な意味があるが, これを以下の図を見て味わうこと.
O R
iR
b
1
b
i
b
−1
b
−i
b eiθ = cos θ + i sin θ
θ
図 1.3: 単位円周と Euler の公式
それでは Euler の公式を導いておこう. まず実変数 t の実数値函数 f(t) が t = a において
f(t) =f(a) + f ′(a)(t− a) +f ′′(a)
2(t− a)2 +
f ′′′(a)
3!(t− a)3 +
f (4)(a)
4!(t− a)4 + · · ·(1.3.2)
=∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(t− a)n
10 第 1章 複素数の演算と幾何
と Taylor 展開されることを思い出そう. 勿論, どんな f(t) についてもこのような展開ができる訳ではないが, これから扱う et, cos t, sin t などの函数については, このような展開ができることを微分積分の講義で習ったことであろう. 特に a = 0 の場合は
f(t) =f(0) + f ′(0)t+f ′′(0)
2t2 +
f ′′′(0)
3!t3 +
f (4)(0)
4!t4 + · · ·(1.3.3)
=∞∑
n=0
f (n)(0)
n!tn
という Maclaurin 展開と呼ばれる公式になる.
指数関数 (exponential function) f(t) = et の場合には f ′(t) = et であるから, 何回微分を行っても変わらないので f (n)(t) = et となり, f (n)(0) = e0 = 1 であるので公式 (1.3.3) より
(1.3.4) et =∞∑
n=0
tn
n!
となる. g(t) = cos t, h(t) = sin t の場合は次々に微分を行うと
g(t) = cos t, g(0) =1 h(t) = sin t, h(0) =0
g′(t) = − sin t, g′(0) =0 h′(t) = cos t, h′(0) =1
g′′(t) = − cos t, g′′(0) = − 1 h′′(t) = − sin t, h′′(0) =0
g′′′(t) = sin t, g′′′(0) =0 h′′′(t) = − cos t, h′′′(0) = − 1
g(4)(t) = cos t, g(4)(0) =1 h(4)(t) = sin t, h(4)(0) =0
......
......
となるので g(t) = cos t の場合
g(2k)(0) = (−1)k, g(2k+1)(0) = 0, k = 0, 1, 2, 3, . . .
であり, h(t) = sin t の場合
h(2k)(0) = 0, h(2k+1)(0) = (−1)k, k = 0, 1, 2, 3, . . .
である. よって
cot t =∞∑
n=0
g(n)(0)
n!tn(1.3.5)
=∞∑
k=0
g(2k)(0)
(2k)!t2k +
∞∑
k=0
g(2k+1)(0)
(2k + 1)!t2k+1
=∞∑
k=0
(−1)k
(2k)!t2k
1.3. 複素平面と Euler の公式 11
となり, 同様に
sin t =∞∑
n=0
h(n)(0)
n!tn(1.3.6)
=∞∑
k=0
h(2k)(0)
(2k)!t2k +
∞∑
k=0
h(2k+1)(0)
(2k + 1)!t2k+1
=∞∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)!t2k+1
となる.
ここで eiθ について考えてみよう. 実数 t について et は定義されているが, t = iθ という純虚数の場合にどう定義すれば良いかというのが問題である. これには色々な考え方があり得ると思うが, ここでは Maclaurin 展開の公式が t = iθ の場合も成り立つように定義するのが自然であろう. つまり等式 (1.3.4) に形式的に t = iθ を代入して
eiθ =∑
n=0
(iθ)n
n!
と定義する. この式を出発点としてまず, 偶数と奇数の和に分解して, i2k = {(i)2}k = (−1)k,
i2k+1 = i{(i)2}k = i(−1)k と (1.3.5), (1.3.6) を用いれば
eiθ =∞∑
k=0
(iθ)2k
(2k)!+
∞∑
k=0
(iθ)2k+1
(2k + 1)!
=∞∑
k=0
(−1)kθ2k
(2k)!+ i
∞∑
k=0
(−1)kθ2k+1
(2k + 1)!
= cos θ + i sin θ
となり、Euler の公式が導かれた.
このように純虚数についての指数関数 eiθ が定義できたので, 複素数 z = x+ iy についての指数関数 ez(= exp z) の定義も与えておこう. それは
(1.3.7) ex+iy def= exeiy = ex{cos y + i sin y}
である. 函数 f(z) = ez は複素数の変数 z を持ち, 取る値も複素数であるから複素函数と呼ばれる. 複素解析とは複素函数の中で正則と呼ばれる良い性質を持った函数の解析を行う学問であり, 実変数の微積分で学習した多項式三角関数 cos t, sin t, 対数函数 log t, 双曲線函数 cosh t,
sinh t などは, 殆どすべて複素函数に定義しなおすことができて, 正則になることを, 次章以降で解説する.
Problem 1.3.2 以下の等式が成り立つことを証明せよ.
1. eiθ = e−iθ.
2. eiθ1eiθ2 = ei(θ1+θ2).
12 第 1章 複素数の演算と幾何
3.1
eiθ= e−iθ.
4.eiθ1
eiθ2= ei(θ1−θ2)
5. e2kπi = 1, k = 0,±1,±2, . . ..
6. ei(θ+2kπ) = eiθ, k = 0,±1,±2, . . ..
7. eiθ1 = eiθ2 ⇐⇒ θ1 − θ2 = 2kπ, k = 0,±1,±2, . . ..
1.4 複素数の極座標表示
複素数 z = x+ iy について
|z| =√
x2 + y2 z の絶対値 (abosolute value of z or modulus of z)(1.4.1)
arg z =半直線 oz と実軸のなす角の 1つ = tan−1 y
x(argument of z)(1.4.2)
ただし z = 0 のとき 0 の絶対値は 0 であるが, arg 0 は定義しないことにする.
2つの点 z1,z2について |z1−z2|は,点 z1, z2間の距離に等しい. 実際z1 = x1+iy1, z2 = x2+iy2
のとき
|z1 − z2| =|(x1 − x2) + i(y1 − y2)|=√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
より容易に分かる.
原点 O から点 z へ向かう半直線 Oz と実軸のなす角の一つが θ ならば θ+ 2kπ (k は整数)もそうである. arg z とは, それらの中の 1 つを適当に取ったものであり曖昧な用語である. 例えば−π < arg z ≤ π や, 0 ≤ arg z < 2π のように範囲を限定すれば一意に定まるが, このような場合はArgz のように先頭を大文字にする. これを偏角の主枝 (principal branch)という.
点 z = x + iy について r = |z|, θ = arg z とおけば x = r cos θ, y = r sin θ であるから, まとめて
z = x+ iy = r(cos θ + i sin θ) = reiθ
と表せる. これを z の極形式 (polar form)または極座標表示という.
1.4. 複素数の極座標表示 13
O R
iR
b z = x + iy
θ = arg z
r = |z|
図 1.4: 極形式
Problem 1.4.1 次の複素数を極形式で表せ.
(1) z = −3 (2) z =√
3 + i (3) z = i3
(4) z =1
1 − i(5) z =
1 − i
1 + i(6) z =
3
(1 −√
3)2
Problem 1.4.2 次の複素数を z = x+ iy の形で表せ.
(1) z = 2eπ/3 (2) z = e−3π/4 (3) z = (1 −√
3i)3
(4) z =(1 + i)2
1 − i(5) z =
2 −√
3i
1 + i(6) z =
1 + i
2 − 3i
Problem 1.4.3 次の等式が成り立つことを示せ.
1. |z| = |z|.
2. arg z = −arg z
3. z = r(cos θ + i sin θ) について z = r(cos θ − i sin θ).
4. zz = |z|2.
5.1
z=
z
|z|2 .
14 第 1章 複素数の演算と幾何
ここで複素数の積と極形式の関係を見ておこう. z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1), z2 = r2(cos θ2 +
i sin θ2) について
(1.4.3) z1z2 = r1r2{cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)} = r1r2ei(θ1+θ2)
が成り立つ.
∵
z1z2 =r1r2(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 + i sin θ2)
=r1r2{cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 + i(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ1)}=r1r2{cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)}
この等式より特に
|z1z2| = |z1||z2|(1.4.4)
arg z1z2 = arg z1 + arg z2(1.4.5)
が成り立つことが分かる. 従って複素数 c = ρeiϕ を用いて複素数 z = reiθ を c 倍するということは
cz = ρrei(θ+ϕ)
となることより, z の絶対値を ρ 倍し, 偏角を ϕ だけ増やすことを意味する. つまり c = ρeiϕ
倍するとは原点を中心にして ρ 倍に拡大 (ρ < 1 のときは縮小)し, 反時計回りに ϕ だけ回転を行うことである.
等式 (1.4.3) から複素数 c 倍するということが, 回転と拡大を合わせた変換を表すことが分かったが, これは次のように考えることもできる.
まず a が実数のとき az = a(x + iy) = ax + iay ゆえ, a 倍するとは, 原点を中心としで a 倍に拡大する変換である. 次に i 倍するとは iz = i(x+ iy) = −y + ix ゆえ (x, y) 7→ (−y, x) という変換であり, これは反時計回りに 90◦ の回転を表す. 従って z = x + iy を c = a + ib 倍するとは cz = az + ibz ゆえ z を a 倍に拡大して得られる点 az と b 倍に拡大して得られる点 bz をさらに 90◦ 回転して得られる点 ibz のベクトル和である.
1.4. 複素数の極座標表示 15
O R
iR
z
az
ibz
cz = az + ibz
θ = tan−1(b/a)
√a2 + b2 倍
図 1.5: 複素数の積は拡大と回転
Problem 1.4.4 次の各集合を複素平面に図示せよ.
A = {z ∈ C : |z − 1| = |z − 3|}, B = {z ∈ C : |arg z| < π
4}
C = {z ∈ C : z = −z}, D = {z ∈ C : 1 < |z − 2| < 2}E = {z ∈ C : |z − 2i| > |z − 4i|}, F = {z ∈ C : Re(eπi/3z) > 0}
Problem 1.4.5 次の不等式を証明せよ.
(1) |z1+z2| ≤ |z1|+|z2| (2) |z1−z2| ≤ |z1|−|z2| (3) |z| ≤ |Re z|+|Im z| (4) max{|Re z|, |Im z|} ≤ |z|
16 第 1章 複素数の演算と幾何
1.5 deMoivre の公式
deMoivre の公式とは
(1.5.1) (cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ, n ∈ Z
という形の公式である. ただし Z とは正負の (勿論 0 も含む)整数の全体の集合のことで,
n ∈ Z とは, この集合に n が属する, 端的に言えば n が整数であることを表す表現である.
n = 0,±1,±2, . . . と書くのと同じこと. それでは deMoivre の公式を示そう. Euler の公式eiθ = cos θ + i sin θ と指数法則 eiθ1eiθ2 = ei(θ1+θ2) を覚えていれば難しくない.
∵
n = 0, 1 のときは自明
n ≥ 2 のときは
(cos θ + i sin θ)n = eiθ · · · eiθ = ei(θ+···+θ) = einθ = cosnθ + i sinnθ
n = −k ≤ −1 のときは
(cos θ + i sin θ)n
= (cos θ + i sin θ)−k
= {(cos θ + i sin θ)−1}k =
{
1
cos θ + i sin θ
}k
= (cos(−θ) + i sin(−θ))k = cos(−kθ) + i sin(−kθ).
上の式変形から分かるように deMoivre の公式は
(eiθ)n = einθ
とも書き直せる. deMoivre の公式 (1.5.1) において n = 2 とし, 左辺を実際に展開すると
(cos θ + i sin θ)2 = cos2 θ − sin2 θ + 2i cos θ sin θ = cos 2θ + i sin 2θ
となる. そこで両辺の実部と虚部を比較すれば
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ, sin 2θ = 2 cos θ sin θ,
となり倍角の公式が得られる.
Problem 1.5.1 deMoivre の公式 (1.5.1) において n = 3, 4 とし, 左辺を展開してから両辺の実部と虚部を比較し cos 3θ, sin 3θ 及び cos 4θ, sin 4θ を cos θ, sin θ で表す, 3 倍角, 4 倍角の公式を導け.
deMoivre の他の応用例として (−1 + i)6 を x+ iy の形に表すという問題を考えてみよう. 計
算を厭わなければ (a+ b)n =∑n
k=0
(
n
k
)
an−kbk を用いて (−1 + i)6 を展開して求めるところで
あるが, もう少し楽をしようと思えば−1 + i =√
2ei3/4π と deMoivre の公式を用いて
(−1 + i)6 =(√
2ei3/4π)6
=√
26(ei3/4π)6
=8ei6·3/4π = 8ei9/2π = 8ei2·2π+iπ/2 = 8eiπ/2 = 8i
1.6. ベキ乗根 17
Problem 1.5.2 次の複素数を x+ iy の形に表せ.
(1) (√
3 + i)4 (2)
(
1
1 − i
)5
(3)
(
2 −√
3i
1 + i
)3
1.6 ベキ乗根
自然数 n と複素数 c(6= 0) について n 次方程式
zn = c
の根 (root) (=解)を cの n乗根 (n-th root of c)という. 特に n = 2の時は平方根 (square root),
n = 3 の場合は立方根 (cubic root)と呼ぶ. この節では与えられた複素数の n 乗根を求める方法を考えよう.
まず z = reiθ, c = ρeiϕ と極形式で表して zn = c に代入すれば
(1.6.1) rneinθ = ρeiϕ
となる, 両辺の絶対をを比較すれば rn = ρ となるので r = n√ρ である. ただし n
√ρ とは n 乗す
れば r になる正の数のことであり, これは既知とする. rn = ρ ゆえ上式の左辺を rn で, 右辺をρ で割れば
einθ = eiϕ ⇐⇒ nθ = ϕ+ 2πk, k = 0,±1,±2, . . .
となる. 従ってz = n
√ρei ϕ+2πk
n , k = 0,±1,±2, . . .
が得られる. この式を見れば整数 k の一つ一つに根が対応するので, 一見, 根は無数にあるように思えるが, 実際に相異なるものは n 個である. これは
ei ϕ+2πkn = ei ϕ
n ei 2πkn = ei ϕ
nωkn, ωn = ei 2π
n (1 の原始 n 乗根)
より,
z = n√ρei ϕ
nωkn
となる. そこで ωkn をこれを複素平面上に図示すれば次のようになる. ここでは n = 5 として描
画する.
18 第 1章 複素数の演算と幾何
O R
iR
b
1 = ei2π0/5
(k = 0)
b
i
b
−1
b
−i
b
ei2π/5 (k = 1)
2π/5
ei4π/5
(k = 2)
2π/5
ei6π/5
(k = 3)
2π/5
ei8π/5
(k = 4)
2π/5 2π/5
図 1.6: n = 5
このように
ω0n =ei2π0/n = 1,
ω1n =ei2π1/n = ωn,
ω2n =ei2·2π/n,
...
ωn−1n =ei2·(n−1)π/n,
ωnn =ei2·nπ1/n = e2πi = 1 = ω0
n
となり k = 0, 1, . . . , n− 1 までは相異なるが k = n では単位円周上を反時計回りに 1 回って出発点の 1 = e12π0/n に戻ってしまうのである. k が負の場合でも k が 1 減るごとに, 偏角が 2π/n
だけ減る, つまり時計回りに 2π/n 進むだけである.
1.6. ベキ乗根 19
以上をまとめて zn = c = ρeiϕ の根は
(1.6.2) z = n√ρei ϕ+2πk
n = n√ρei ϕ
nωkn k = 0, 1, 2, . . . , n− 1
の n 個である.
Problem 1.6.1 次の複素数の n 乗根を求め, x+ iy の形に表し, 複素平面上に図示せよ.
(1) iの平方根 (2) 1の立方根 (3) − 2 + 2√
3iの 4 乗根.
21
第2章 複素函数
2.1 複素函数
この章では複素変数 z = x+ iy を独立変数に持ち, 同じく複素変数 w = u+ iv を従属変数に持つ函数 w = f(z) について解説をする. このような函数を複素函数 (complex function)という.
Remark 2.1.1 函数と書いているのは関数と同じ意味で,勿論, “かんすう”と読むのも同じである. もともと”かんすう”は函数と表記されていたのだが, 当用漢字に”函”の字がないことから, 関数と表記されるようになった. どちらにしても英語では function である. 筆者も函数と書く方が好きなので, この字を使うことにする. 読者にもお付き合いを願う.
函数という以上, 定義域つまり z が動く範囲と値域 (w が属す範囲)を明示する必要があるが,
はじめのうちはともに複素平面 (=複素数の全体) C もしくは複素平面から 1 点を除いた集合とするのでいちいち断らないことにする. 普通, 式で表された函数は考えうる限り, できるだけ広い範囲で定義されているものとみなすという暗黙の了解に従うことにしよう.
複素函数 w = f(z) は独立変数と従属変数をともに実部と虚部に分解することにより
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
と分解ができる.
例えば w = f(z) = z2 の場合は z2 = (x + iy)2 = x2 − y2 + i2xy ゆえ u(x, y) = x2 − y2,
v(x, y) = 2xy である.
Problem 2.1.2 次の複素函数 w = f(z) について u(x, y), v(x, y) を求めよ.
(1) w = f(z) = z3 (2) w = f(z) =1
z(z = 0 では定義されない)
(3) w = f(z) =z
z(z = 0 では定義されない).
複素函数のグラフ表示には, z = x + iy の x軸, y 軸以外に w = u + iv の u 軸と v 軸の, 計 4 本の軸が必要になる. つまり 4 次元が必要になり, 複素函数のグラフ表示は諦めざるを得ない. とは言うものの, 図形的な理解は必要である. そこで例えば実部 u(x, y) や虚部v(x, y)は x, y 軸以外にもう u 軸または v 軸の計 3 軸で表せるからグラフ表示ができる. また|f(z)| =
√
u(x, y)2 + v(x, y)2 のグラフ表示も良く行なわれている. しかしながら良く使われるのは, 函数 w = f(z) を写像とみて, z 平面上の特徴的な図形がw 平面上のどのような図形に写されるかを図示するという方法である. ここでは節をあらためて色々な函数についての実際の図示を行なってみよう.
22 第 2章 複素函数
2.2 ベキ乗函数
まずは 1 次函数の場合を考えよう. つまり a, b を複素定数とし w = f(z) = az + b の形の函数である. ρ = |a|, ϕ = arg a とおけば az + b とは, 原点中心に ρ 倍の相似変換を行い, 同じく原点を中心として反時計回りに角 ϕ だけ回転し, 最後に b だけ平行移動するという変換を表す.
O R
iR z-plane
preimage
O R
iR w-planeimage
w = f(z) = az + b
図 2.1: w = az + b
次に 2 次函数の中で最も簡単な w = f(z) = z2 の場合を考えよう.
O R
iRz-plane
r
z = reiθ
θθ + π
w = f(z) = z2
O R
iRw-plane
r2
r2e2iθ
2θ
図 2.2: w = z2
2.3. 指数函数と三角函数 23
Problem 2.2.1 a, b を実数の定数とする. 函数 w = f(z) = z2 によるw 平面上の直線 Rew =
a, Imw = b の原像は z 平面上の双曲線 x2 − y2 = a, 2xy = b であることを示せ.
一般の 2 次函数 w = f(z) = c2z2 + c1z + c0 は,
f(z) = c2
(
z +c12c2
)2
+4c0c2 − c21
4c2
と書き直せるので,
z 7→ z1 = z +c12c2
(平行移動),
z1 7→ z2 = z21 (2 乗),
z2 7→ z3 = c2z2 (回転と相似変換),
z3 7→ w = z3 +4c0c2 − c21
4c2(平行移動)
という 4 つの簡単な写像の合成として表せる.
f(z) = zn の場合も n = 2 の場合と同じような写像としての図示ができる. 一般の n 次函数f(z) = cnz
n + cn−1zn−1 + · · ·+ c1z + c0 は, c(z + a)n + b の形に表せるわけではないのでどのよ
うな写像となっているかをみるのは容易ではない.
2.3 指数函数と三角函数
複素数 z = x+ iy について, その指数函数 (exponential function)を ez = ex(cos y+ i sin y) と定義した.
性質.
(a) 加法定理 ez1+z2 = ez1ez2 が成り立つ.
(b) 周期 2πi の周期函数である. つまり ez+2πi = ez が成り立つ.
(c) 指数函数は零点を持たない. つまり任意の複素数 z について ez 6= 0 である.
Proof. 実数 t1, t2, θ1, θ2 について
et1+t2 = et1et2
ei(θ1+θ2) = eiθ1eiθ2
が成り立つことと Euler の公式を利用すると, (a) は次のように示せる.
ez1+z2 = ex1+x2+i(y1+y2)
= ex1+x2{cos(y1 + y2) + i sin(y1 + y2)}= ex1+x2ei(y1+y2)
= ex1ex2eiy1eiy2
= ex1eiy1ex2eiy2
= ez1ez2 .
24 第 2章 複素函数
また (b) は, 第 1 式と Euler の公式より
ez+2pii = eze2πi
= ez{cos 2π + i sin 2π}= ez
となることより従う.
(c) については ez = ex(cos y + i sin y) より
|ez| = |ex|| cos y + i sin y| = ex > 0
となることから分かる. 他に背理法による証明もできる. 実際 ez0 = 0 をみたす z0 がもし存在すれば
1 = e0 = ez0−z0 = ez0e−z0 = 0e−z0 = 0
となり矛盾が起こる. �
それでは指数函数の写像的性質を調べよう. a, b を実定数とする. 直線 Re z = a はパラメータ (parameter) t により z = a+ it と表せ, その像はw = ez = ea+it = ea(cos t+ i sin t) となるので, 原点中心で半径が ea の円周である. 特に t が 0 から 2π まで動くとき, 対応する ez は, 原点中心で半径が ea の円周を ea から出発し反時計回りに 1 周回る.
O R
iRz-plane
a
a + 2πi
O R
iRw-plane
ea
w = f(z) = ez
図 2.3: 指数函数によるRe z = aの像は円
次に直線 Im z = bは z = t+ ibと表せ, 直線上の各点の像はw = ez = et+ib = et(cos b+ i sin b)
である. t が −∞ から +∞ を動くとき et は 0 から +∞ を動くので, 実軸と角 b をなす原点から延びる半直線を描く.
2.3. 指数函数と三角函数 25
O R
iRz-plane
ibb
t + ib
O R
iRw-plane
b
ea(cos b + i sin b)
b
w = f(z) = ez
図 2.4: 指数函数による Im z = bの像は半直線
Problem 2.3.1 図 2.5 の 12 個の長方形のそれぞれは図 2.6 のどの部分に写像されるかを考えよ.
OR
iR
iπ/2
iπ
i3π/2
i2π
−1 1 2
図 2.5: z 平面の長方形
26 第 2章 複素函数
R
iR
1/e 1 e e2
図 2.6: w 平面における前図の像
Euler の公式より, 任意の実数 t について
cos θ =1
2
(
eiθ + e−iθ)
, sin θ =1
2i
(
eiθ − e−iθ)
が成り立つ. そこで複素数 z = x+ iy について三角函数 (trigonometric functions)を
(2.3.1) cos zdef=
1
2
(
eiz + e−iz)
, sin zdef=
1
2i
(
eiz − e−iz)
, tan zdef=
sin z
cos z
と定義する.
Problem 2.3.2 cos2 z + sin2 z = 1, cos(−z) = cos z, sin(−z) = − sin z が成り立つことを示せ.
上の問題の中の等式のように, cos, sin に関して実数の範囲で成り立つ等式で,複素数に拡張しても成り立つ等式は数多い. しかし残念ながら絶対値がからむ不等式は, 複素数の範囲ではもは
2.4.√z, 対数函数 27
や成り立たないことが多い. 例えば | cos z| ≤ 1, | sin z| ≤ 1 などは成り立たない. 実際
cos i =1
2(e−1 + e1) =
e2 + 1
2e= 1.5429 · · · > 1
である.
双曲線函数についても
(2.3.2) cosh zdef=
1
2
(
ez + e−z)
, sin zdef=
1
2
(
ez − e−z)
, tan zdef=
sinh z
cosh z
と定義する.
2.4√z, 対数函数
話を簡単にするために w = f(z) = z2 で考えよう. 複素数 wが与えられたとき, f(z) = z2 = w
を満たす複素数 z のことを√w(= f−1(w)) と表す.
√w は w = ρeiϕ のとき前章 (ベキ乗根)で
求めたように w 6= 0 ならば √w =
√ρeiϕ/2, −√
ρeiϕ/2,
の 2 つであり, w = 0 のときは z = 0 の 1 つである. このように√w は与えられた w に対し
てただ 1 つに定まるわけでは無いから函数と呼ぶのは厳密な意味では正しくないのだが, 値が2 個ということで複素解析学では伝統的に 2 価函数と呼んでいる. 同じように f(z) = zn の時の f−1(w) = n
√w は値が n 個であるから n 価函数と呼ばれる.
複数個の値を持つ函数は総称して多価函数と呼び, 通常の, 値が 1 つの函数のことを 1 価函数と呼ぶ.
次に w = f(z) = ez の場合を考えよう. この場合, 与えられた w 6= 0 に対してw = ez を満たす z = x+ iy はw = ex(cos y + i sin y) より
|w| = ex, argw = y
である. これを複素数での対数函数とみなして
logw = log |w| + iargw
と表す. ただし argw は 2π の整数倍だけ異なるものが無数にあるので, logw は無限多価函数である.
対数函数を多価函数として扱うのが不適当な場合も多い. 対数函数の多価性は argw の多価性より生じるから, これを −π < argw ≤ π に制限した偏角をArgw と書くことにして
Logw = log |w| + iArgw
とおくと, Logw は 1 価函数となる. このとき
logw = Logw + 2kπi, k ∈ Z
が成り立つ.
28 第 2章 複素函数
一般のベキ複素数 a 6= 0 と b について
(2.4.1) ab = eb log z
と定義する. ab は一般に無限多価であるが b が整数のときには 1 価である.
Problem 2.4.1 次の複素数を x+ iy の形に表せ.
(1) e2−(π/3)i) (2) sin(π − i)) (3) cos{(π/3) − 2i} (4) sin iy
(5) cos iy (6)√i (2 つ) (7) 3
√8 (3 つ) (8) log 5
(9) log(−1) (10) log 2i (11) 22+i (12) ii
29
第3章 正則函数
3.1 領域
前章までで扱ってきた複素関数の殆どは, 複素平面 C 全体を定義域とするものであったから,
定義域について考える必要はなかったが, これからは函数の連続性や微分を扱うために, ある程度の考慮をしなければならない.
複素平面の部分集合 E が与えられたとして, 点 z0 が E の内点 (interior point)であるとは,
ある正の数 ε > 0 でD(z0, ε) ⊂ E を満たすものが存在することと定義する. 但し
D(z0, ε) = {z ∈ C : |z − z0| < ε} (点 z0 から距離が ε 以内の点の z の集まり
= 点 z0 中心で半径が ε の円板)
である. 集合 E に属する全ての点が内点であるとき, E は開集合 (open set)であるという. 例えばD = D(c, r) のときD は開集合である. 実際, z0 ∈ D ならば |z0 − a| < r が成り立つがε = r − |z0 − c| と置けば ε > 0 であり, D(z0, ε) ⊂ D が成り立つ.
Dba r
bz0jz0 � aj r � jz0 � aj
図 3.1: D(c, r) は開集合
また R = {z ∈ C : a1 < Re z < a2, b1 < Im z < b2} とするとき, R も開集合である. これには z0 ∈ R ならば a1 < Re z0 < a2 かつ b1 < Im z0 < b2 が成り立つので ε =
min{Re z0 − a1, a2 −Re z0, Im z0 − b1, b2 − Im z0} と置けば ε > 0 であり, D(z0, ε) ⊂ R が成り立つからである.
30 第 3章 正則函数
R
a1 + ib1 a2 + ib1
a2 + ib2a1 + ib2z0
図 3.2: 境界を含まない長方形は開集合
しかしながらD(c, r) = {z ∈ C : |z − c| ≤ r} などは開集合ではない. この集合は円周上の点も含んでいるが, その円周上の点がすべて内点では無いからである.
はなはだ直観的な話で申し訳ないが, このようにすべての境界点を含まない集合が開集合であり, すべての境界点を含む集合のことを閉集合という. 複素平面 C を全体集合として, 開集合の補集合は閉集合であり, 閉集合の補集合は開集合になるという命題が成り立つ.
さてこれから考える複素函数の定義域としては,開集合でかつ (弧状)連結 ((arcwise) connected)
であるもののみを考える. ここで集合 E が連結であるとは, E の任意の 2 z0, z1 について連続函数 z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [0, 1] で z(t) ∈ E が全ての t ∈ [0, 1] について成り立ち, かつ z0 とz1 を結ぶつまり z(0) = z0, z(1) = z1 を満たすものが存在するときを言う. 勿論, z(t) が連続とは x(t), y(t) がともに連続であることに他ならない. 例えばE = D(0, 1)∪D(3, 1) は連結でないが, 個々の円板D(0, 0), D(3, 1) は連結である.
bOz0 b
b3 z1b
z(t)E = D (0; 0) [ D (3; 1)
図 3.3: 連結性
連結な開集合のことを領域 (domain または region)というが, これから考える複素函数はすべて, 複素平面内の領域を定義域とするもののみを考える.
さて D を領域として, D を定義域とする複素函数 f(z) が与えらたとする. このとき f(z)
が点 z0 で連続であるとはlimz→z0
f(z) = f(z0)
が成り立つことと定義し, (複素)微分可能であるとは, 極限値
limz→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
= f ′(z0)
が存在することを云う. 特に定義域 D 全体で連続であるとき, 単に D で連続であると云い, D
全体で微分可能なときは正則 (regular), 解析的 (analytic or holomorphic)であると云う.
3.1. 領域 31
連続性や微分可能性の定義は 1 年時で学習する実変数の微分積分での定義と形式的に殆ど同じであり, 同じような定理が殆ど同じように成り立つ. たとえば
Theorem 3.1.1 複素函数 f(z), g(z) が領域 D で連続であれば
(i) αf(z) + βg(z), f(z)g(z) も D で連続であり, g(z) 6= 0 が D で成り立てばf(z)
g(z)も D
で連続である.
(ii) 複素函数 h(w) の定義域 D̃が f(z) の値域 f(D) を含んでいて h(w) は D̃ で連続ならばh(f(z)) は D で連続である.
が成り立つ. また
Theorem 3.1.2 複素函数 f(z), g(z) が領域 D で正則であれば
(i) αf(z) + βg(z), f(z)g(z) も D で正則であり
{αf(z) + βg(z)}′ = αf ′(z) + βg′(z), {f(z)g(z)}′ = f ′(z)g(z) + f(z)g′(z)
g(z) 6= 0 が D で成り立てばf(z)
g(z)も D で正則であり
{
f(z)
g(z)
}
′
=f ′(z)g(z) − f(z)g′(z)
g(z)2
が成り立つ.
(ii) 複素函数 h(w) の定義域 D̃が f(z) の値域 f(D) を含んでいて h(w) は D̃ で正則ならばh(f(z)) も D で正則であり
{h(f(z))}′ = h′(f(z))f ′(z)
が成り立つ.
Remark 3.1.3 z0 → z0 のときの f(z) や f(z)−f(z0)z−z0
の極限を考えて連続性や微分可能性を定義したが, このときに z0 が f(z) の定義域 D に属すことを仮定するのはあたり前であるが, z → z0
のときの z が D に属すかどうかは D が一般の集合の場合, 無条件に保証されるわけでは無い.
実際に D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} で z0 = 1 のときは, z が z0 に近いからと言って z ∈ D となるとは限らない. そこでこのようなことが起こらない為には z0 が D の内点であることが必要である. そして複素関数の定義域としては, 全ての z0 ∈ D について z0 が D の内点であること, つまり D が開集合であることを仮定するのである. もう一つの条件の連結性については, 次章以降でこう仮定したほうが良い理由を解説する.
32 第 3章 正則函数
3.2 Cauchy-Riemann の関係式
前節で見たように実変数函数の連続性や微分可能性と複素函数のそれが, ほとんど同じであるならば何も特に複素函数などと呼んで特別扱いにしないでもよさそうなものであるが, 実は
limz→z0
f(z) − f(z0)
z − z0
= f ′(z0)
において z − z0 という複素数で割り算を行っていることと, z → z0 つまり z が z0 に十分近くにありさえすれば, 近づいていく方向には何の関係も無く f(z)−f(z0)
z−z0が一定の値 f ′(z0) に近づい
ていくということから次の関係式が導かれる.
Theorem 3.2.1 函数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x+ iy が複素平面内の領域 D で正則であるための必要充分条件は次の 2 条件が満たされること.
(a) u(x, y), v(x, y) はD で全微分可能である.
(b) D で Cauchy-Riemann の関係式と呼ばれる
∂u
∂x(x, y) =
∂v
∂y(x, y),
∂u
∂y(x, y) = −∂v
∂x(x, y)
が成り立つこと.
Remark 3.2.2 証明の前にφ(x, y)が (x0, y0)で全微分可能であるとは√
(x− x0)2 + (y − y0)2 →0 のときに
φ(x, y) − φ(x0, y0) − A(x− x0) −B(y − y0)√
(x− x0)2 + (y − y0)2→ 0
となることであり, これが成り立つとき
A = limx→x0
φ(x, y) − φ(x0, y0)
x− x0
=∂φ
∂x(x0, y0), B = lim
y→y0
φ(x, y) − φ(x0, y0)
x− x0
=∂φ
∂y(x0, y0)
である.
Proof. f(z)が D で正則ならば, 任意の点 z0 = x0 + iy0 ∈ D において√
(x− x0)2 + (y − y0)2 =
|z − z0| → 0 のとき∣
∣
∣
∣
f(z) − f(z0)
z − z0
− f ′(z0)
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
f(z) − f(z0) − f ′(z0)(z − z0)
z − z0
∣
∣
∣
∣
→ 0
が成り立つ. f ′(z0) = α+ iβ と置くとき
Re {f(z) − f(z0) − f ′(z0)(z − z0)} = u(x, y) − u(x0, y0) − α(x− x0) + β(y − y0)
Im {f(z) − f(z0) − f ′(z0)(z − z0)} = v(x, y) − v(x0, y0) − β(x− x0) − α(y − y0)
3.3. さまざまな函数の正則性 33
と |Rew| ≤ |w|, |Imw| ≤ |w| より√
(x− x0)2 + (y − y0)2 = |z − z0| → 0 のとき∣
∣
∣
∣
∣
u(x, y) − u(x0, y0) − α(x− x0) + β(y − y0)√
(x− x0)2 + (y − y0)2
∣
∣
∣
∣
∣
≤∣
∣
∣
∣
f(z) − f(z0) − f ′(z0)(z − z0)
z − z0
∣
∣
∣
∣
→ 0
∣
∣
∣
∣
∣
v(x, y) − v(x0, y0) − β(x− x0) − α(y − y0)√
(x− x0)2 + (y − y0)2
∣
∣
∣
∣
∣
≤∣
∣
∣
∣
f(z) − f(z0) − f ′(z0)(z − z0)
z − z0
∣
∣
∣
∣
→ 0
が成り立つ. 従って u(x, y), v(x, y) は (x0, y0) で全微分可能であり,
∂u
∂x(x0, y0) = α =
∂v
∂y(x0, y0),
∂u
∂y(x0, y0) = −β = −∂v
∂x(x0, y0)
が成り立つ.
逆に u(x, y), v(x, y) がD で全微分可能で, Cauchy-Riemann の関係式を満たせば,
α =∂u
∂x(x0, y0) =
∂v
∂y(x0, y0), β =
∂v
∂x(x0, y0) = −∂u
∂y(x0, y0)
と置くと,√
(x− x0)2 + (y − y0)2 = |z − z0| → 0 のとき∣
∣
∣
∣
∣
u(x, y) − u(x0, y0) − α(x− x0) + β(y − y0)√
(x− x0)2 + (y − y0)2
∣
∣
∣
∣
∣
→ 0
∣
∣
∣
∣
∣
v(x, y) − v(x0, y0) − β(x− x0) − α(y − y0)√
(x− x0)2 + (y − y0)2
∣
∣
∣
∣
∣
→ 0
が成り立つ. よって |w| ≤ |Rew| + |Imw| より∣
∣
∣
∣
f(z) − f(z0) − (α+ iβ)(z − z0)
z − z0
∣
∣
∣
∣
≤∣
∣
∣
∣
∣
u(x, y) − u(x0, y0) − α(x− x0) + β(y − y0)√
(x− x0)2 + (y − y0)2
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
v(x, y) − v(x0, y0) − β(x− x0) − α(y − y0)√
(x− x0)2 + (y − y0)2
∣
∣
∣
∣
∣
→ 0
となる. 従って f(z) は z0 で複素微分可能であり f ′(z0) = α+ iβ である.
上の証明中で, 次の系を示している.
Corollary 3.2.3 f(z) が z = z0 で複素微分可能ならば
f ′(z0) =∂u
∂x(x0, y0) + i
∂v
∂x(x0, y0) =
∂v
∂y(x0, y0) − i− ∂u
∂y(x0, y0)
が成り立つ.
3.3 さまざまな函数の正則性
この節では様々な複素函数について正則かどうかを具体的に見ていこう. 準備段階として複素多項式 (complex polynomial) f(z) = anz
n + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 が C 上で連続で
34 第 3章 正則函数
あることを見よう. n = 0 で f(z) ≡ a0 のときは明らかである. また f(z) = z の場合もlimz→z0
f(z) = limz→z0z = z0 = f(z0)であるからC上で連続である従って f(z) = a1z+a0 の場
合も Theorem 3.1.1を用いれば連続であることが分かる. f(z) = anzn +an−1z
n−1 + · · ·+a1z+a0
の場合も Theorem 3.1.1を繰り返し用いればやはり C 上で連続である.
次に
f(z) =Q(z)
P (z),
ただし
P (z) = anzn + an−1z
n−1 + · · · + a1z + a0,
Q(z) = bmzm + bm−1z
m−1 + · · · + b1z + b0
のように多項式割る多項式の形の函数を有理函数 (rational function) というが, 有理函数は分母の零点, つまり Q(z) = 0 となる点を除いて連続である. これも Theorem 3.1.1 より分かる.
それでは多項式が複素平面 C で正則であることを示そう. これにはまず
(a) f(z) ≡ c のときは
f ′(z0) = limz→0
f(z) − f(z0)
z − z0
= limz→0
c− c
z − z0
= 0
となるので z = z0 で複素微分可能であり, z0 は任意であるから C で正則である.
(b) f(z) ≡ z のときも
f ′(z0) = limz→0
f(z) − f(z0)
z − z0
= limz→0
z − z0
z − z0
= 1
より上と同様にして, C で正則である.
(c) f(z) = zn のときは
f ′(z0) = limz→0
f(z) − f(z0)
z − z0
= limz→0
zn − zn0
z − z0
= limz→0
(z − z0){zn−1 + zn−2z0 + · · · + zzn−20 + zn−1
0 }z − z0
= limz→0
{zn−1 + zn−2z0 + · · · + zzn−20 + zn−1
0 }
= zn−10 + zn−1
0 + · · · + zn−10 + zn−1
0 = nzn−10
である.
(d) f(z) が多項式つまり f(z) = anzn + an−1z
n−1 + · · · + a1z + a0 のときは上の結果を組み合わせて, C で正則であり
f ′(z) = nanzn−1 + (n− 1)an−1z
n−2 + · · · + a1
となることが, Theorem 3.1.2 を繰り返し用いることよりより分かる.
3.3. さまざまな函数の正則性 35
(e) f(z) が有理関数つまり f(z) = Q(z)/P (z) (多項式 /多項式)のときは f(z) は C から P (z)
の零点を除いた領域で正則であり,
f ′(z) =
(
Q(z)
P (z)
)
′
=Q′(z)P (z) −Q(z)P ′(z)
P (z)2
となることが Theorem 3.1.2より分かる.
指数函数 f(z) = ez も C で正則になるのであるが, これを複素微分を直接計算することにより示すのは容易ではない. ここではその代わりに Cauchy-Riemann の関係式を満たすことを確かめて Theorem 3.2.1 を利用して示そう. まず ez = exeiy = ex{cos y + i sin y} よりf(z) = u(x, y) + iv(x, y) と分解すれば
u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y
である. u(x, y), v(x, y) の偏微分を計算すると
∂u
∂x(x, y) = ex cos y,
∂u
∂y(x, y) = −ex sin y,
∂v
∂x(x, y) = ex sin y,
∂u
∂y(x, y) = ex cos y
である. まず u(x, y) の 2 つの偏導函数 ∂u∂x
(x, y) ∂u∂y
(x, y) はともに C で連続であるから, u(x, y)
は C で全微分可能である. 同様な理由から v(x, y) も C で全微分可能である. また u(x, y),
v(x, y) はCauchy-Riemann の関係式 ∂u∂x
(x, y) = ∂v∂y
(x, y), ∂u∂y
(x, y) = − ∂v∂x
(x, y) を C で満たすので, 結局 Theorem 3.2.1より C で正則であり, Corollary 3.2.3 を用いて
(ez)′ =∂u
∂x(x, y) + i
∂v
∂x(x, y) = ex cos y + iex sin y = ez
が成り立つ.
Theorem 3.3.1 指数関数 ez, 三角函数 cos z, sin z 双曲線函数 cosh z, sinh z は C で正則であり,
(ez)′ = ez, (cos z)′ = − sin z, (sin z)′ = cos z, (cosh z)′ = sinh z, (sinh z)′ = cosh z
が成り立つ. さらに tan z はC から π2
+ kπ (k は整数) を除いたところで正則であり, tanh z はC から i{π
2+ kπ} (k は整数) を除いたところで正則である.
Problem 3.3.2 ez = ew ならば z − w = 2kπi (k は整数) が成り立つことを示せ.
Problem 3.3.3 Cauchy-Riemann の関係式が成り立つかどうかを確かめることにより次の函数が正則であるかどうかを調べ, 正則ならば正則である範囲をとそこでの導函数を求めよ.
(1) f(z) = x2 − y2 − 2x+ 3 + 2i(x− 1)y (2) f(z) = z
(3) f(z) = Im z (4) f(z) = |z|2
(5) f(z) =x+ 1 − iy
x2 + y2 + 2x+ 1
36 第 3章 正則函数
Problem 3.3.4 x = r cos θ, y = r sin θとおいてϕ(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ), ψ(r, θ) = v(r cos θ, r sin θ)
とおくときCauchy-Riemann の関係式
∂u
∂x=∂v
∂y,
∂u
∂y= −∂v
∂x
は∂ϕ
∂r=
1
r
∂v
∂θ,
∂ψ
∂r= −1
r
∂u
∂θ
に変換されることを示せ.
Problem 3.3.5 z = reiθ について n√z = n
√rei(θ+2kπ)/n, k = 0, 1, . . . , n − 1 であった. 各 k に
ついて fk(z) = n√rei(θ+2kπ)/n, −π < θ < π とおくとき, fk(z) が −π < θ < π で正則であること
を前問を利用して示せ.
Problem 3.3.6 f(z) = Log z = log |z|+ iArg z が −π < θ < π で正則であることを示せ. ただし log |z| は実函数としての log であり, Arg z = tan−1 y
xに注意せよ.
3.4 正則函数の等角性
点 c(∈ C) を始点とする微分可能な 2 曲線 z1(t), z2(t), a ≤ t ≤ b の c における接ベクトルz′1(t), z
′
2(t) がなす角, つまり arg z′2(a) − arg z′1(a) を 2 曲線のなす角と呼ぶ. このとき
Theorem 3.4.1 函数 f(z) が点 c で複素微分可能で f ′(c) 6= 0 ならば函数 f(z) は c で等角である. つまり c を始点とする 2 曲線が c においてなす角とこれらの曲線の f(z) による像曲線の f(c) におけるなす角は向きも込めて等しい.
Proof. これは像曲線 f(z1(t)), f(z2(t)) の f(c) における接ベクトルがそれぞれ f ′(z1(a))z′
1(a) =
f ′(c))z′1(a), f′(z2(a))z
′
2(a) = f ′(c)z′2(a) であるから像曲線のなす角は
arg (f ′(c))z′2(a)) − arg (f ′(c))z′1(a)) = arg z′2(a) − arg z′1(a)
となり, z1(t), a2(t) が始点 c においてなす角と等しい.
37
第4章 Cauchy の積分定理と積分公式
4.1 線積分
複素平面 C 内の連続曲線 Γ : z = z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b が長さ有限 (求長可能rectifiable)であるとは, ある正の定数 L で次の性質を満たすものが存在するときと定義する. 区間 [a, b] のどのような分割∆ : a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b に対しても
n∑
k=1
|z(tk) − z(tk−1)| ≤ L
またこのような L の最小値を Γ の長さと云い, L(Γ) と表そう. 特に Γ が t について C1-級つまり x(t), y(t) が t について微分可能かつ, x′(t), y′(t) が連続ならば
(4.1.1) L(Γ) =
∫ b
a
|z′(t)| dt
が成り立つ. f(z) が 領域 D 上で連続で, Γ : z = z(t), a ≤ t ≤ b が長さ有限な D 内の連続曲線であるとする. このとき分割∆ : a = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn−1 ≤ tn = b と∆ に適合する分点 {τk},t0 ≤ τ0 ≤ t1 ≤ τ2 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tn−1 ≤ τn−1 ≤ tn に対して
S(∆, {τk}) =n∑
k=1
f(z(τk−1)){z(tk) − z(tk−1)}
とおいて, 分割の幅 |∆| = max{tk − tk−1 : k = 1, 2, . . . , n} を ∆ → 0 とすれば, S(∆, {τk}) は一定の極限値に収束することが証明できる. この極限値を
∫
Γ
f(z) dz
と表して, f(z) の曲線 Γ に沿う (複素)線積分 (line integral) と云う. Γ が C1-級の場合は
(4.1.2)
∫
Γ
f(z) dz =
∫ b
a
f(z(t))z′(t) dt
が成り立つ.
同様に
S̃(∆, {τk}) =n∑
k=1
f(z(τk−1))|z(tk) − z(tk−1)|
もを |∆| → 0 のとき S(∆, {τk}) 一定の極限値に収束することが証明できる. この極限を∫
Γ
f(z) |dz|
38 第 4章 Cauchy の積分定理と積分公式
と表し, f(z) の曲線 Γ に沿う弧長に関する積分と云う. Γ が C1-級の場合は
∫
Γ
f(z) |dz| =
∫ b
a
f(z(t))|z′(t)| dt
が成り立ち, 特に f(z) ≡ 1 のとき
L(Γ) =
∫ b
a
|z′(t)| dt
が成り立つ.
具体的な例について計算を行う前に簡単にわかる線積分の性質をまとめておこう.
Theorem 4.1.1 α を複素定数, Γ を長さ有限な曲線とし, f(z), g(z) を Γ を含む領域で連続な函数とする.
(a)∫
Γ
αf(z) dz = α
∫
Γ
f(z) dz ±∫
Γ
g(z) dz.
(b)∫
Γ
{f(z) ± g(z)} dz =
∫
Γ
f(z) dz ±∫
Γ
g(z) dz.
(c) 曲線 Γ が 2 つの部分曲線 Γ1, Γ2 に分けられるとき,
∫
Γ
f(z) dz =
∫
Γ1
f(z) dz +
∫
Γ2
f(z) dz.
(d) Γ : z = z(t), a ≤ t ≤ b の向きを逆にした曲線を−Γ : z = z(−t), −b ≤ t ≤ −a で表すとき∫
−Γ
f(z) dz = −∫
Γ
f(z) dz.
(e)∣
∣
∣
∣
∫
Γ
f(z) dz
∣
∣
∣
∣
≤∫
Γ
|f(z)| |dz|.
計算例 1 f(z) ≡ 1 のとき Γ : z = z(t), a ≤ t ≤ b について
S(∆, {τk}) =n∑
k=1
1{z(tk) − z(tk−1)}
=z(t1) − z(t0) + z(t2) − z(t1) + z(t3) − z(t2) + · · · + z(tn−1) − z(tn−2) + z(tn) − z(tn−1)
=z(tn) − z(t0)
=z(b) − z(a) =終点−始点.
従って∫
Γ
dz = z(b) − z(a) =終点−始点
4.1. 線積分 39
が成り立つ.
次の計算例にうつる前に 2 点 z0 = x0 + iy0 と z1 = x1 + iy1 を結ぶ線分のパラメータ表示を求めておこう. これにはこの線分を t : 1− t に内分する点を考えれば良い. この内分点の x 座標は(1− t)x0 + tx1 であり y 座標は (1− t)y0 + ty1 であるから z(t) = (1− t)z0 + tz1 と置けば, t が 0
から 1 を動くとき, z(t) は z0 から出発して z1 まで線分上を動く. 従って z(t) = (1− t)z0 + tz1
が z0 と z1 を結ぶ線分のパラメータ表示である.
公式 (線分のパラメータ表示) z0 と z1 を結ぶ線分のパラメータ表示は
z(t) = (1 − t)z0 + tz1, 0 ≤ t ≤ 1
である.
計算例 2 f(z) = zn (n = 1, 2, . . .) として Γ : z(t) = (1 − t)z0 + tz1, 0 ≤ t ≤ 1 とする. このとき (4.1.2) を用いて
∫
Γzn dz を求めよう. まず z′(t) = z1 − z0 であるから
∫
Γ
zn dz =
∫ 1
0
{(1 − t)z0 + tz1}n (z1 − z0) dt
=
[
1
n+ 1{(1 − t)z0 + tz1}n+1
]1
0
=1
n+ 1{zn+1
1 − zn+10 }.
実際には積分路には関係なく Γ の始点が a, 終点が b ならば∫
Γ
zndz =1
n+ 1{bn+1 − an+1}
が成り立つことが示せる. これはもっと一般化されて微分積分学の基本定理と同じ形の次の定理が成り立つ.
Theorem 4.1.2 函数 f(z) と F (z) が領域 D 上で正則で F ′(z) = f(z) を D で満たせばD 内の任意の長さ有限な曲線について
∫
Γ
f(z) dz = F (b) − F (a)
が成り立つ. ただし a, b はそれぞれ Γ の始点と終点である.
Proof. Γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β が C1-級で z′(t) 6= 0 の場合に限定して示そう. まず
d
dtF (z(t))|t=t0 = lim
t→t0
F (z(t)) − F (z(t0))
t− t0
= limt→t0
F (z(t)) − F (z(t0))
z(t) − z(t0)
z(t) − z(t0)
t− t0= F ′(z(t0))z
′(t0) = f(z(t0))z′(t0)
であるから∫
Γ
f(z) dz =
∫ β
α
f(z(t))z′(t) dt =
∫ β
α
d
dt{F (z(t))} dt = F (z(β)) − F (z(α)).
40 第 4章 Cauchy の積分定理と積分公式
が成り立つ. z(α) = a, z(β) = b であるから定理の等式が成り立つ.
関係式 F ′(z) = f(z) が成り立つときF (z) を f(z) の原始函数と云う. 上の定理は複素線積分の計算が, 原始函数を用いて行えることを示している. 実 1 変数の函数の場合, 連続な函数はつねに原始函数を持つので話が簡単であるが, 複素正則函数の場合は領域の形によって原始関数が存在したりしなかったりという現象が起こるので状況は複雑である. 原始函数が存在しないで,
積分が始点と終点だけでは決まらず積分路に依存する場合の簡単な例を与えておこう. その準備として円弧のパラメータ表示を考えよう. これには Euler の公式 eiθ = cos θ + i sin θ が役にたつ.
公式 (円弧のパラメータ表示) 中心 c, 半径 r で角 θ0 から θ1 までの円弧は
z(t) = c+ rit, θ0 ≤ t ≤ θ1
と表示される.
計算例 3 f(z) = z−1 について 1 から出発して単位円周上を反時計回りに半周まわり−1 に達する上半円周 Γ1 : z(t) = eit, 0 ≤ t ≤ π と時計回りにまわる下半円周 Γ2 : z(t) = e−it, 0 ≤ t ≤ π
上で積分してみよう. Γ1 での積分は∫
Γ1
1
zdz =
∫ π
0
1
eit(eit)′ dt =
∫ π
0
ieit
eitdt = iπ
であるが Γ2 での積分は∫
Γ2
1
zdz =
∫ π
0
1
e−it(e−it)′ dt =
∫ π
0
−ie−it
e−itdt = −iπ
となるので, 始点と終点が同一でも積分路によって積分値は相異なる. いまの場合の函数 f(z) =
z−1 おいて原点 z = 0 は分母が 0 になる点であるから, この点では f(z) は正則では無い. このような点のことを f(z) の特異点 (singular point)と云う. 特異点を持つ函数の複素線積分は, 始点と終点のだけでは積分値は決まらず, 特異点のまわりをどう回るかによっても積分値が異なるという一般的な現象があるが, 上の例はその 1 例である. ここでは特異点を持つ函数は次章で扱うことにして, ここでは特異点を持たない函数について基本的な Cauchy の積分定理と呼ばれる大変重要な定理を述べよう.
閉曲線, 単純閉曲線 曲線 γ : z = z(t), α ≤ t ≤ β の始点と終点が一致するとき, つまりz(α) = z(β) が成り立つ時, Γ は閉曲線 (closed curve) であると云う. また α ≤< t1 < t2 < β を満たす任意の t1, t2 について z(t1) 6= z(t2) が成り立つならば単純閉曲線 (simple cloesd curve)
または Jordan 曲線であると云う. 単純閉曲線は複素平面を C をその内側と外側の 2 つの領域と自分自身の 3 つの部分に分ける. この事実は Jordan の曲線定理と呼ばれ, 簡単なようで証明をしようと思うと大変難しい.
単連結領域 さて円環領域 {z ∈ C : r1 < |z − z0| < r2} のように内側に穴があいているのではなく, 単位円板 D = {z ∈ C : |z| < 1} のように穴があいていない領域のことを単連結 (simply
connected)であると云う. しかしながらこの穴があいていないという表現は, 数学の定義としてははなはだ直感的であり, きちんと定義しようと思うと穴とは何でああり どのように定義するべきかなども考えないといけなくなり, 収拾がつかなくなる. ここでは迂遠なようであるが領域D 内の任意の Jordan 曲線についてその内側の領域も D に含まれるとき D は単連結であると定義しておく.
4.1. 線積分 41
Theorem 4.1.3 D を領域とし, 函数 f(z) はD で正則とする. また Γ は単純閉曲線で Γ 及び Γ の内部はともにD に含まれるとする. このとき
∫
Γ
f(z) dz = 0
が成り立つ.
Proof. Γ を D 内の折れ線よりなる閉曲線の列 {Γn} で近似することにより,
∫
Γ
f(z) dz = limn→∞
∫
Γn
f(z) dz
とできる. 従って Γ が折れ線よりなる閉曲線の場合に∫
Γf(z) dz = 0 を示せば十分である.
また Γ が折れ線よりなる閉曲線の場合, 有限個の 3 角形の周よりなる閉曲線に分解できる.
従って Γ が 3 角形の周よりなる閉曲線の場合に∫
Γf(z) dz = 0 を示せば十分である.
またさらに折れ線よりなる閉曲線は有限個の 3 角形の周よるなる閉曲線の和に分解できるので, 結局 Γ が三角形の周の場合に
∫
Γf(z) dz = 0 を示せば十分である.
∣
∣
∣
∣
∫
Γ
f(z) dz
∣
∣
∣
∣
= M
と置く. また Γ の各辺を等分して Γ を合同な 4 つの三角形 ∆0, ∆1, ∆2, ∆3 に分解する. このとき
∫
Γ
f(z) dz =
∫
∆1
f(z) dz + · · · +∫
∆4
f(z) dz
が成り立つので三角不等式 (|z + w| ≤ |z| + |w| ) より
M =
∣
∣
∣
∣
∫
Γ
f(z) dz
∣
∣
∣
∣
≤∣
∣
∣
∣
∫
∆1
f(z) dz
∣
∣
∣
∣
+ · · · +∣
∣
∣
∣
∫
∆4
f(z) dz
∣
∣
∣
∣
が成り立つので少なくとも 1 つの ∆j について∣
∣
∣
∣
∣
∫
∆j
f(z) dz
∣
∣
∣
∣
∣
≥ M
4
そこでこのような ∆j (の 1 つ)を Γ1 と置く. Γ1 の各辺も等分して 4 つの合同な 3 角形に分解し Γ に行ったのと同じ操作を行い, Γ2 を取る. 以下, 次々に同じ操作を行うと 3 角形の減少列{Γk}∞k=1 で
∣
∣
∣
∣
∫
Γk
f(z) dz
∣
∣
∣
∣
≥ M
4k
を満たすものが得られる. Γ の長さを ℓ とすれば Γk の長さは 4−kℓ である. また作り方より{Γk}∞k=1 は 1 点に収束するので, 極限点を z0 と置く. f(z) は z = z0 で微分可能であるから
f(z) = f(z0) + f ′(z0)(z − z0) + ε(z)(z − z0),
但しε(z) → 0, z → z0
42 第 4章 Cauchy の積分定理と積分公式
と表せる. このとき
M
4k≤∣
∣
∣
∣
∫
Γk
f(z) dz
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∫
Γk
{f(z0) + f ′(z0)(z − z0) + ε(z)(z − z0)} dz∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
f(z0)
∫
Γk
dz + f ′(z0)
∫
Γk
(z − z0) dz +
∫
Γk
ε(z)(z − z0)} dz∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∫
Γk
ε(z)(z − z0)} dz∣
∣
∣
∣
≤ maxz∈Γk
|ε(z)| ℓ
2 · 4k
ℓ
4k
よって
0 ≤M ≤ maxz∈Γk
|ε(z)| ℓ2
2 · 4k→ 0, k → ∞
となるので, M = 0 である.
Corollary 4.1.4 函数 f(z) が単連結領域D で正則ならば D 内の任意の閉曲線 Γ について∫
Γ
f(z) dz = 0
が成り立つ.
Proof. この場合も Γ を折れ線で近似して行けば結局 Γ が D 内の 3 角形の周の場合に示せば良い事になる. この場合 D が単連結という仮定より, Γ の内部も D に含まれるので, Theorem
4.1.3 より,∫
Γf(z) dz = 0 が分かる.
Corollary 4.1.5 函数 f(z) は単連結領域D で正則とする. このときD 内の 2 つの曲線 Γ1,
Γj の始点と終点が一致すれば∫
Γ1
f(z) dz =
∫
Γ2
f(z) dz
が成り立つ.
Proof. 始点と終点を a, b としΓ1 に沿って a から b へ進み, Γ2 を逆向きにたどって b から a へ向かう閉曲線を Γ1 − Γ2 と書けば, Corollary 4.1.4 から
0 =
∫
Γ1−Γ2
f(z) dz =
∫
Γ1
f(z) dz −∫
Γ2
f(z) dz
となることより従う.
Theorem 4.1.6 函数 f(z) が単連結領域 D で正則ならば, f(z) の D における原始函数が存在する. すなわち D 上の函数 F (z) で F ′(z) = f(z) を満たすものが存在する.
4.2. Cauchy の積分公式 43
Proof. z0 ∈ D を任意に取り,
F (z) =
∫ z
z0
f(ζ) dζ
と置く. このとき∫ z
z0とは始点が z0で終点が z の D 内の曲線に沿った積分を表すが, これが曲
線の取り方に依らないことは上のCorallary より従う. このとき
F (z + h) − F (z)
h=
1
h
∫ z+h
z
f(ζ) dζ =
∫ 1
0
f(z + ht) dt→ f(z), h→ 0
より F ′(z) = f(z) であることが分かる.
注意 原始函数は定数差を除いて 1 意に定まる. つまり F̃ も D における原始函数とすればF (z) − F̃ (z) ≡定数 が成り立つ.
Problem 4.1.7 上の注意が成り立つことを示せ. (ヒント Theorem 4.1.2を利用せよ.)
Problem 4.1.8 Theorem 4.1.2を用いて次の複素線積分の値を求めよ. ただし積分路は積分記号の下端を始点とし, 上端を終点とする任意の長さ有限な曲線とする.
(1)
∫ iπ/2
0
ezdz (2)
∫ iπ
π
cos(2z)dz (3)
∫ 1
0
ze−z2
dz
4.2 Cauchy の積分公式
Cauchy の積分定理の 1 つの応用として, それ自身としても重要なCauchy の積分公式 (積分表示)がある.
Theorem 4.2.1 単純閉曲線 Γ 及びその内部で, 函数 f(z) が正則ならば, Γ の内部にある任意の点 z について
f(z) =1
2πi
∫
Γ
f(ζ)
ζ − zdζ
が成り立つ. 但し Γ は正の向き (= 反時計回り)に回るものとする.
Proof. z 中心で Γ の内部にある小円周 κr : |ζ − z| = r を取る. このとき Γ の内部で, κr の外部において f(ζ)/(ζ − z) は ζ の函数として正則であるからCauchy の積分定理により
0 =
∫
Γ−κr
f(ζ)
ζ − zdζ =
∫
Γ
f(ζ)
ζ − zdζ −
∫
κr
f(ζ)
ζ − zdζ.
ここで∫
κr
f(ζ)
ζ − zdζ = f(z)
∫
κr
1
ζ − zdζ +
∫
κr
f(ζ) − f(z)
ζ − zdζ
において∫
κr
1
ζ − zdζ =
∫ 2π
0
1
reit + z − zireit dt = 2πi
44 第 4章 Cauchy の積分定理と積分公式
また ζ が κr 上にあるときmaxζ∈κr|f(ζ) − f(z)| → 0 (r → 0) であるから
∣
∣
∣
∣
∫
κr
f(ζ) − f(z)
ζ − zdζ
∣
∣
∣
∣
≤ maxζ∈κr
|f(ζ) − f(z)| · 1
r2πr → 0, r → 0.
以上より
0 =
∫
Γ−κr
f(ζ)
ζ − zdζ − 2πif(z) +
∫
κr
f(ζ) − f(z)
ζ − zdζ
において r → 0 とすれば右辺の第 2 項が → 0 となるので定理の公式が成り立つ.
Cauchy の積分公式から正則函数の色々な性質が導かれる. 例えば “2 つの正則函数が単純閉曲線上で一致すれば, その内部でも一致する”ことなどが直ちに分かる. 他に
Theorem 4.2.2 単純閉曲線 Γ 及びその内部で, 函数 f(z) が正則ならば, Γ の内部にある任意の点 z0 において f(z) は何回でも (複素)微分可能で
f (n)(z0) =n!
2πi
∫
Γ
f(z)
(z − z0)n+1dz
が成り立つ. 但し Γ は正の向き (= 反時計回り)に回るものとする.
Proof. n = 1 の場合は
f ′(z0) = limh→0
f(z0 + h) − f(z0)
h
= limh→0
1
2πi
∫
Γ
f(z)1
h
{
1
z − z0 − h− 1
z − z0
}
dz
= limh→0
1
2πi
∫
Γ
f(z)
(z − z0 − h)(z − z0)dz
=1
2πi
∫
Γ
f(z)
(z − z0)2dz
となるからである. 一般の場合は帰納法を用いて証明できる. これは読者の演習問題としよう.
注意. f (n)(z0) = (2πi)−1n!∫
Γf(z)(z − z0)
−(n+1) dz において, 左辺は Γ に依存しないので右辺は一見すると Γ の取り方によって積分値が変わりそうに見えるが, 実は Γ に依存せず一定である.
Corollary 4.2.3 正則函数 f(z) は何回でも (複素)微分可能である.
Theorem 4.2.4 函数 f(z) は領域 D で正則とする. z0 ∈ D について, z0 から D の境界 ∂D
までの距離を ρ(z0) = min{|w − z0| : w ∈ ∂D} とすると,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(z0)
n!(z − z0)
n, |z − z0| < ρ(z0)
の形に展開できる.
4.2. Cauchy の積分公式 45
Proof. |z − z0| < r < ρ(z0) を満たす r を取り Γ を z0 中心で半径が r の反時計まわりの円周とするとCauchy の積分公式より
f(z) =1
2πi
∫
Γ
f(ζ)
ζ − zdζ
が成り立つが, ζ ∈ Γ つまり |ζ − z0| = r のときに |z − z0| < ρ(z0) = |ζ − z0| より
1
ζ − z=
1
ζ − z0 − (z − z0)=
1
(ζ − z0)
{
1 − z − z0
ζ − z0
} =∞∑
n=0
(z − z0)n
(ζ − z0)n+1
が成り立つ. そして最右辺の級数は ζ ∈ Γ について一様に収束する. よって
f(z) =1
2πi
∫
Γ
f(ζ)
ζ − zdζ
=1
2πi
∫
Γ
∞∑
n=0
f(ζ)(z − z0)n
(ζ − z0)n+1dζ
=∞∑
n=0
{
1
2πi
∫
Γ
f(ζ)
(ζ − z0)n+1dζ
}
(z − z0)n
=∞∑
n=0
f (n)(z0)(z − z0)n.
上記の定理は正則函数は収束するベキ級数で表されることを示しているが, これの逆も成立する. つまり収束するベキ級数により表される複素函数
g(z) =∞∑
n=0
an(z − z0)n
は正則である. これを証明するにはベキ級数の収束半径や絶対収束などの事項を習得してからでないと行えないが, 残念ながら時間の関係上ここで筆を置かなければならないので省略せざるを得ない. 最後の注意として, 正則函数についての
正則性 (複素微分可能性) ⇐⇒ Cauchy-Riemannの関係式⇐⇒ベキ級数展開可能性
が成り立つことを挙げておこう.
Problem 4.2.5 Cauchy の積分定理または積分公式を利用して次の単純閉曲線 Cj について∫
Cj
dz
z2 + 1を求めよ. ただし曲線はすべて正の向き, つまり反時計まわりとする.
(1) C1 : 中心 2 半径 1 の円周 (2) C2 : 中心 i 半径 1 の円周
(3) C3 : 中心 −i 半径 1 の円周 (4) C4 : 中心 0 半径 3 の円周
Problem 4.2.6 Γ を中心 o で半径が 2 の反時計まわりの円周とする. z 6∈ Γ について
f(z) =
∫
Γ
2ζ2 + 7ζ + 1
ζ − zdζ
と置くときCauchy の積分定理または積分公式を利用して, 次の函数値を求めよ.
(1) f(1) (2) f(3) (3) f(1 − i) (4) f(1 + i)
