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学C ノート 大学 13 2・3 大学 大学院

解析学C講義ノート 偏微分方程式入門 - BIGLOBEyoshikawa/analysis-c.pdf緒言 このノートは,九州大学理学部数学科3年生の授業科目として,偏微分方程式

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解析学C講義ノート

偏微分方程式入門

九州大学理学部数学科平成13年度後期(水曜2・3時限)

����講義室

吉 川 敦九州大学

大学院数理学研究院

平成 �� 年 � 月 � 日

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緒言

このノートは,九州大学理学部数学科3年生の授業科目として,偏微分方程式

に関するもっとも基本的な知識を紹介する講義のために準備したものである.

偏微分方程式は,物理学など自然哲学(理学)の立場では,観測量とその

変動の間に成りたつ関係の記述の数学的な表現として得られるが,偏微分方

程式によって物理学的理念としての物理量が初めて定められるというわけで

は必ずしもない.

一方,工学のように,現象応用のために,物理量の詳細な情報を獲得しよ

うとする立場では,数理モデルに基づいた偏微分方程式の解を具体的な形に

得ることは最大の関心事である.

以上,いずれの立場でも,方程式の導出を支える論理が信頼に値するもの

である限り,偏微分方程式がそもそも解けるものかどうかというようなこと

は,意識にはのぼらないはずである.

しかし,数学においては,一旦,数理モデルの偏微分方程式が得られれば,

形式上の類比が関心を呼び,方程式の形そのものと解けるかどうかの関係が

分析の対象になる.

もちろん,こうして実現される数学的洗練や知見は,理学や工学の世界に

移出され,新たな解釈の道具としてこれらの分野の論理を拡大し,新規の発

見や開発を産み出す.そして,その過程で,再度,数学者の知的関心を刺激

する�

偏微分方程式は学際的な営みの鍵なのである.

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���

目 次

緒言 �

第 �章 偏微分方程式とは何か �

��� 簡単な例 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� 偏微分方程式,解,それらの解釈 � � � � � � � � � � � � � � � � �

第 �章 基本的な線形偏微分方程式 �

��� 線形偏微分作用素 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� 重ね合わせの原理 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� ����� � の公式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 変数分離法 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 弦の振動の方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 要素解の重ね合わせと収束 � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 熱方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 直線上の熱方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 熱方程式と変数分離法 � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 平面のラプラシアン � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 固有値問題の変数分離解 � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 長方形領域での �� ���� 問題 � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 円板領域と変数分離解 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 極座標と調和関数 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ������� の公式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ������ 問題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ラプラス作用素の固有値問題 � � � � � � � � � � � � � � ��

第 �章 1階の偏微分方程式 ��

��� 1階の偏微分方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ベクトル場と積分曲線 � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 1階線形微分方程式の局所解 � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 1階非線型偏微分方程式 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 特性ベクトル場 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 特性曲線の方法による偏微分方程式の局所解の構成 � � ��

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�� 緒言

付 録� 補遺としての種々の話題 ��

��� 偏微分方程式を扱うための道具立て � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 記号と規約 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ����� の公式と微分作用素 � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 数式処理ソフトによる偏微分演算 � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 基礎となる偏微分演算 � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 動径方向微分と回転方向微分 � � � � � � � � � � � � � � ��

����� 標準的な偏微分作用素 � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� フーリエ級数の収束 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

付 録 関数解析から �

!�� ヒルベルト空間 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

!���� 定義と例 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

!���� 強収束と弱収束 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

!���� "�� の定理 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

!���� 導関数概念の拡張 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

!���� #���� 空間 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

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第�章 偏微分方程式とは何か

この講義では,偏微分方程式について学ぶ.身近の話題から始めよう.

��� 簡単な例

一般に,ある空間領域で定義されている量は,空間の位置や時間に依存し

て決まるので,位置や時間を表す変数を含んでいる(これらの変数に従属し

ている)と考えられる.例えば,(室内)プールの水温を問題にする場合,水

温を測る場所と時間を示す変数(例えば,点 � $�� �� �% と � )を指定して,水

温を �$�� �� �� �% とかけば,はっきりする(図 ���).水温を常時直接に測定す

ることを試みるのことは稀であって,水温に関する何らかの法則により,限

られた回数の測定で以後の水温変化を推測するのが通例である.こういう場

合,水温の従うべき法則は,さまざまな便宜的な想定のもとながら,例えば,

���$�� �� �� �% &

��

����$�� �� �� �% '

��

����$�� �� �� �% '

��

����$�� �� �� �% $���%

のような形の偏導関数を含む関係等式で表される.

水 面

空 気

(底面)

(壁面)水�

������

� ������

点 � $�� �� �%����

����

����

����

図 ���( プール �

ここでは,プールの右隅に原点 をとり,縦横の向きに �) 及び �) 軸,深

さを �) 軸で表したつもりである.したがって,縦 �� (メートル),横 ��

(メートル),水深 ��� (メートル)のプール内の水は,

� ( � � � � ��� � � � � ��� � � � � ���

と表される�.室温が一定(例えば,��℃)に保たれているとして,プールに水�この想定は図 ��� とは対応していない.この想定通りなら極めて薄っぺらな長方体が示唆

されなければならない.

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� 第 �章 偏微分方程式とは何か

温 ��$�� �� �% � ��(℃)の水を張って �$ �%時間経った後の点 � $�� �� �%$� �%

における水温 �$�� �� �� �% は,プールの特性を方程式 $���% に加味することに

より推測できるはずである.

プールの壁面と底面が断熱されているとすれば,そのこと�は,壁面と底面

で水温が満たすべき条件式

���$�� �� �� �% & � $� & �� � & ��%

���$�� �� �� �% & � $� & �� � & ��%

���$�� �� �� �% & � $� & ���%

$���%

�$�� �� �� �% & �� $� & �% $���%

として表現できる.また,当初の水温が ��℃であったことは

�$�� �� �� �% & �� $� & �% $���%

と表すことができる.すなわち,プール � における水温 �$�� �� �� �% は,方

程式 $���% と条件式 $���% $���% $���% で(十分に)記述されていると考え,そ

の上で,これらの式を満たすもの * 解 * としての �$�� �� �� �% を計算すれ

ば,求める水温が得られたことになる.

方程式 $���% は偏微分方程式の一例である.条件式 $���% $���% $���% は境

界条件といわれる.特に,$���% は初期(� & � )の水温をデータに取り込む

ものとして,初期条件と呼ばれる.

実際に,方程式 $���% の解を示そう.

例 ����� 級数で定められる関数

�$�� �� �� �% & ��� ��

�����

��' � ����' �

��

������

���' �

���

�$���%

を(とりあえず右辺の級数への形式的な微分演算を許した上で)代入するこ

とにより,この級数が方程式 $���% を満たすことがわかる.境界条件 $���%

$���% を満足することも推察がつくであろう.初期条件 $���% の成立は

�����

��' ����

���' �

���

�&�

�$� � � &

�� � �% $���%

という式を承認することと同値である.$���%のような解の求め方は後述する.

問 ����� $���% が形式的な演算のもとで $���% を満たすことを確認せよ.�(現実的とは言えない想定ながら)壁面や底面において断熱的,すなわち,温度勾配がない

として,そのことを ����� の形に数式化する.����� は水面で ��度の空気に接していることの数式化である.

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���� 簡単な例 �

注意 ����� $���% は後述するフーリエ級数の一例である.左辺は,� )次三

角多項式(部分和)

�� $�% &�����

��' ����

���' �

���

�� � � � � �� $���%

の � � � における極限である(ことが期待される).�$�% & ���$�% と

�$�% � �� とを対比させたグラフを掲げる.

0

0.5

1s

図 ���( �$�% と �$�% のグラフは近い.

実際に,�$�� �� �� �% を $���% の形に得ることによって,さまざまなことが

わかる.例えば,境界条件や初期条件の効果によって,温度が �� � には依存

しないことがわかり,また,級数の第2項以降は,��� のとき急速に減衰するので,やがてはプールの水温が室温と同じになることが予想される.さ

らに,� � ならば指数関数項は � の増大とともにも急速に減衰するので,

�$�� �� �� �% を

��$�� �� �� �% & ��� ��

� ��

��

������

��

���

�$���%

によって近似することができる.

偏微分方程式 $���% は,係数の選び方は多分に便宜的ではあるが,プール

内の水温の分布を記述するための物理モデルに基づいて建てられたものであ

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� 第 �章 偏微分方程式とは何か

る.したがって,測定では部分的な把握しかできない �$�� �� �� �% が,方程式

$���% を通じることによって,全体像を始めて覗かせるということが大切なこ

とである.このような立場からは,解を,現象の解釈に適した数値解,近似

解あるいは形式解や漸近解の形にまで咀嚼しておくことが望まれる.

��� 偏微分方程式,解,それらの解釈

偏微分方程式は,極めて一般的には,ある数理現象の記述に関わる等式群

と解される.人間が定義する方程式だから,基本的には有限の水準で万事が

述べられるべきものである.例えば,現象が生起する領域 + は適当な次元 �

の空間(の一部)であり,関与する量も本質的に有限系として把握される.す

なわち,これらが有限個の関数系 ��� � � � � �� として適切に表現されるだけでなく,独立変数としては,+ の点 � & $��� � � � � ��% の他に,ようやく認識の対象として現象の記述に加わる有限個のパラメーター � & $��� � � � � ��% までが許されるのである.さらに,�� 以下の関数の �� � に関する偏導関数が関

わっても,全体としては,有限系に留まるべきであり,当然,偏導関数の階

数には上限 � がある.当初の数理現象は,かくて,領域の座標変数 �, 補

助パラメータ �,関数群 ��$�� �%� � � � � �� $�� �%,および,これらの � 階ま

での偏導関数���� ��� ��$�� �%� � � � の関数等式,すなわち,偏微分方程式系���������$�� �� ��$�� �%� � � � � ������ �� $�� �%% & �

� � �� $�� �� ��$�� �%� � � � � ��� ��� �� $�� �%% & �

$���%

で表される.

言うまでもなく,この設定は一般的かつ抽象的すぎて漠然としているが,

このような考え方(を若干整理した上)で,偏微分方程式が扱われるという

ことが全くないわけではない.例えば,+ �� の上の � 個の関数の � 階

までの導関数をとにかく一括して表そうとすると,これら � 個の関数が独

立だとした上で,可能な偏導関数の数を数え上げると,+ �� だから,長さが � 以下の � ' �)次元の多重指標の個数に � を乗じたもの,ここでは

�� と書き表す数,が得られる.典型的な例として � & � の場合を考える

と �� & � $�' �% である. したがって,偏微分方程式は +���� の

部分集合として表され,例えば,$���% の場合ならば,余次元 � のものが指

定されている.つまり,偏微分方程式は幾何学的な問題に帰着されてしまっ

たと言える.

もし,偏微分方程式が,数学的な動機�だけで成り立っているのなら,定式

化もきちんとしているし,上のような立場に批判の余地などあるはずがない.�ここでは多重指標(������参照)を用いた.�今の文脈は,すべてに独立に「数学的」であるというようなことが意味を持つとして,とい

うことである.

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���� 偏微分方程式,解,それらの解釈 �

しかも,すべての偏微分方程式が上述の精神で定式化されているのなら具合

の悪いものは考察の対象から排除することもできるであろう.経験上,我々

が上の立場の困難について知っていることもいくつかあるのである.

しかし,偏微分方程式は,とにもかくにも現実に生起していることの数学

的な記述から始まった.要するに,数学というものが,万事に先行して成立

していたのでは決してなく,新しい知見に遭遇するたびに合理的な軌道修正

を行う力を発揮してきたということを思い起こすことが,偏微分方程式を学

ぶ際の言わば教訓でもある.

いずれにせよ,現実に我々が取り扱える偏微分方程式系は,$���% の形に表

したとしても,強い制約条件を満たすものである.例えば,��� � � � � � が��$�� �%� � � � � ��� ��� �� $�� �% に関して線形であっても,想定された方程式系

$���% を成り立たせるような関数群,すなわち,解が全くない例もある.そ

の事情を分析してみると,方程式系に対する解の概念が整合的に拡大されれ

ば,改めて解として認識できるものが存在する場合もあれば,方程式系の形

式的な特性から解というべきものがそもそもあり得ないことが示される場合

もある.

このノートでは,偏微分方程式が何らかの現象記述に対応して得られる場

合を重視するので,解というべきものが原則として存在するはずであり,し

かも,偏導関数が定義通りに計算できて古典的な微積分の水準でも疑義の生

じないような解と方程式の関係が実現されることを理想としたい.しかし,

観測された現象の説明のためにもそのような解だけでは不十分なことがある.

要するに,偏微分方程式の扱いでは,解やその偏導関数について,関数概念

を微積分的なものから一般化しておくことが不可欠である.

標準的な立場としては,例えば,内包的拡張というべき姿勢がある.すな

わち,+ 上で関数として定義できるもの �$�% が,適当な極限操作によって,

+ 上の(微積分学的な意味の)なめらかな関数の列 �$�% の極限 �$�% &

�� �$�% として得られるときに,�$�% 自身の連続性や微分可能性は必ず

しも保証されなくても,�$�% の偏導関数 ���$�% の極限が合理的に定義

できれば,それを �$�% の対応する拡張された偏導関数 ���$�% とするので

ある.

一方,外延的拡張というべきものがあり,(微積分学的な)導関数が満たす

べき性質のうち核心をなすものを抽出し,その性質の維持だけを拡張の条件

とする.あるべき性質として広く採用されているのは,部分積分,あるいは,

, �)#��-� の定理の成立である.�$�% が必ずしも微積分学的な導関数を

持たなくても,任意のなめらかな関数 �$�% の導関数 ���$�% と組合せたとき

に,適当な関数 �$�% が �$�% と組んで , �)#��-� の定理において �$�%

の微積分学的な導関数が果たすであろう役廻りを務めるならば,�$�% を拡張

された意味の ���$�% とするのである.

これらの概念拡張は数学的には本来異なるものである.しかし,われわれ

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� 第 �章 偏微分方程式とは何か

が重要視する多くの問題では区別する必要がない.しかも,導関数概念の拡

張方式を使いこなすことにより,導関数を記号として扱っても案外自由に議

論が進められるのである.もとより,記号が指示する導関数がどのような拡

張概念のものかが論じ分けられるべきことは厳格な数学的要請ではあろうが,

主題が偏微分方程式の扱いにあるのであれば,信頼すべき文献の参照に留め

ておくのが健全な場合も多い.

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第�章 基本的な線形偏微分方程式

以下では,2変数あるいは3変数の偏微分方程式で基本とされるものを扱う.

偏微分方程式はさまざまな現象の解析の過程で出現することが多い.したがっ

て,方程式の型に応じた導出は,本来の文脈としては現象を追求する立場に

属する�.その心得が方程式についての理解を深めるものであることは疑いが

ないが,ここでは,方程式の類型がすでに与えられているとして,その違い

を典型的な解を構成することによって見ていくことに留めたい.

��� 線形偏微分作用素

本稿の冒頭で掲げた $���% は線形偏微分方程式の典型例である.$���% の右

辺を左辺に移し,改めて右辺を � とおくと��

��� ��

���� ��

���� ��

���

��$�� �� �� �% & �� $���%

すなわち,偏微分作用素

� &�

��� ��

���� ��

���� ��

���

が(特定すべき) �$�� �� �� �% に働いた結果は消える( � である)という形に

なる.作用素 � はプール � で定義されたなめらかな関数�ならどんなものに

対しても働き,その働き方は,下に説明するような意味で,線形なのである.

����� 重ね合わせの原理

一般に,偏微分作用素�

� &�

��多重指標� ������$�% �

�� $係数 ��$�% は + �� 上連続とする%

$���%

は,(��の連結開部分集合(領域)) + で定義された(� 回連続微分可能な)

関数の族 �$+% に対し,線形に働く:

�$��$�% ' ��$�%% & ��$�$�%% ' ��$�$�%%� $���%�これに関しては文献を参照していただきたい.�今の場合なら, � の点の座標の関数として少なくとも2回連続微分可能なもの.�多重指標については ������ を見よ.

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� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

(ただし, �� � � �$+%� �� � � ��とする).$���% では � は �)階までの偏

微分しか含まないが,さらに,��$�% �& � が適当な � & � に対して成立す

るならば,� の最高階の偏微分は丁度 �)階である.このとき,� は �)階の

線形偏微分作用素といわれる�.したがって,$���% に現われる � は2階の線

形偏微分作用素である.線形偏微分方程式とは,+ 上の関数 �$�% と �$�% に

対し,�$�% に線形偏微分作用素 � が働いた結果が �$�% であるという言明,

すなわち,

�$�$�%% & �$�% $���%

である.特に,�$�% � � のときは偏微分方程式 $���% は同次方程式といわれ,

�$�% �� � のときは,非同次方程式といわれる.$���% は,したがって,同次

方程式である.

数学上問題にされるのは, $���% において,�$�% が既知の(あるいは与え

られた)ものであるときに �$�% を求めることである.その際,�$�% が満たす

べきさまざまな補助的な条件を課すのが通例であり,こうして得られた �$�%

は偏微分方程式 $���%の解とよばれ,解を求める操作が偏微分方程式を解くこ

とである.

注意 ����� $���% において,係数 ��$�% がすべて定数であるとき, � は定

数係数偏微分作用素といわれる.しかし,このことは偏微分作用素を表す座

標系に依存する.例えば,平面の直交座標系( ��)座標系)で

��

���'

��

���$���%

と表される作用素は,+ & ��� �$�� �%�では,(原点を極,�)軸を始線とする)極座標系(��)座標系)によって

��

���'

��'

����

���$���%

と表される.いずれも2階の作用素であるが,$���% は定数係数だが,$���%

には�

�や

��が係数に現れる.

問 ����� 直交座標系の $���%が極座標で $���%と表されることを確かめよ�.�つまり,� は,線形空間 ����� から線形空間 ����� への線形写像になっている.このこ

とを代数的,あるいは,記号処理的に把握するだけでも相当のことが明らかになる.しかし,後に見るように,位相的あるいは解析的な基礎の上で,偏微分方程式関連の諸問題が正確に述べられ解決される.

�ヒント:直交座標は極座標により � � �� �� � � � � � と表される.直交座標で ���� ��と表される関数が極座標で ���� �� と表されるならば,��� �� �� � � � �� ���� �� である.したがって, �

��

��� � �

���

���� ��

������� �� ����� � �

��

������ ��

及び ���

���� �

���

���� ��

������� �� ����� � �

������ ��

となる.

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���� 線形偏微分作用素 �

命題 ����� �重ね合わせの原理 � は $+ 上の)線形偏微分作用素とし,

�$�%� �$�%はともに同次方程式の解であるとする.このとき,1次結合 ��$�%'

��$�% も同次方程式の解である.

実際,

�$��$�% ' ��$�%% & ��$�$�%% ' ��$�$�%%

であるが,右辺の2項はいずれも消えている.

例 ����� 重ね合わせの原理の応用として,

��

�����$�� �% & � $���%

を考察しよう.変数 � のみの関数 $�% または � のみの関数 !$�% は,それぞ

れ,� または � の偏微分で消える.したがって, $�% も !$�% も $���% の解で

ある.重ね合わせの原理により,これらの和 $�%'!$�% も $���%の解である.

例 ����� つぎに,同次方程式���

���� ��

���

��$�� �% & � $���%

を考察しよう." $# % が # のなめらかな関数のとき,�$�� �% & " $�� �% は

$���%の解であることは代入により直接検証できる.同様に,なめらかな $ $# %

に対し,�$�� �% & $ $�' �% も $���% の解となっている.したがって,

�$�� �% & " $�� �% ' $ $�' �% $���%

は $���% の解である.なお," $�� �% は � & # ' � のとき " $# % の値をとる,

すなわち,そのグラフは " $�% のグラフを右に � だけ平行移動したものであ

る.同様に,$ $�' �% は $ $�% を左に � だけ平行移動したものになる.これ

らは波(形)を表すものと考えて進行波解といわれる.$���% は左右に進む進

行波解の重ね合わせで表現できる解が $���% にあることを示すものである.

問 ����� 座標変換 � & ��

�$� ' �%�

� & ���$�� ' �%

によって,同次方程式 $���% は $���% に変換される.

問 ����� 同次方程式���

���� ��

���'

��' �

��$�� �% & � $����%

に進行波解 �$�� �% & �$� � ��% (� :定数)があるとして,� の値と波形

�$�% について考察せよ.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

さて,定数係数線形偏微分作用素には扱い易さという長所がある.例えば,

+ は �� のどんな部分領域でも意味がある.当分,断らない限り,直交座標

系によって定数係数の作用素として表されるものを考えよう.2変数の場合

でも,定数係数線形偏微分作用素は $���% の他にも,

��

���'

��

���� % $% ( 定数%�

��

���� ��

����

��

���'

��� � � �

など枚挙に暇がない.

����� �������� の公式

同次方程式 $���% を再考しよう.$���% において,予め与えられた何らかの

情報が " $# %� $ $# % を特定するようなものであれば,�$�� �% は決まってしま

う.そのような情報の例として初期値が挙げられる.すなわち,� & �� のと

きに �$�� �%� �� �$�� �% が,それぞれ,既知の関数である �$�%� �$�% と一致

するものとする�:

�$�� ��% & �$�%��

���$�� ��% & �$�%� $����%

これより,�� & � として,

" $�% ' $ $�% & �$�%� �" �$�% ' $ �$�% & �$�%

となるから,�$�% の原始関数を &$�% として,

" $�% &�

���$�% �&$�%� � $ $�% &

���$�% '&$�%�

すなわち,

�$�� �% &�

�$�$� � �% ' �$� ' �%% '

�$�&$�� �% '&$�' �%%

となる.原始関数を積分表示することにより,次の命題を得る:

命題 ����� 初期値問題 $���%$����% の解 �$�� �% は ����� � の公式

�$�� �% &�

���$� � �% ' �$� ' �%� '

�� �$�% �� $����%

で与えられる.

注意 ����� $����% 右辺の第1項は区間 .�� �� �' �/ の両端における � の

値の平均であり,第2項はこの区間における �$�% の積分平均に � を乗じた

ものとなっている(� �& �).

�これが解 ���� �� に対する初期条件である.

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���� 線形偏微分作用素 ��

�������

����

���

� ��$�%� '

�(

�$� � �% �$� ' �%

� �

� �$�� �%

$�� �%

図 ���( ����� � の公式の模式図

����

����

�' ���

�) $�� �%

�)�$�� �%

�)�$�� �%

) $�' ��� �%

)�$� ' ��� �%

)�$�' ��� �%

�$�� �%

�$�' ��� �%

*

� における変位: �$�� �%* における変位: �$�' ��� �%

図 ���( 弦の振動の模式図

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

注意 ����� $���% は弦の振動の方程式と呼ばれる.����� � の公式は,

いわば無限に長い弦が初期変位 �$�%,初速 �$�%で開始した運動が時刻 � で経

験する変位を示すものと解される.無限に長い弦は不自然であるが,理念とし

ての理想的な弦としては許されるかも知れない想定である.弦の振動の方程式

$���% の導出は,そのような理想化された弦の無限に小さな振動を古典力学に

したがって記述することにより実現される.今,直線(�)軸)に沿って位置す

る極めて細く軽く,しなやかで伸び縮みのない一様な密度の弦が,極めてわず

かな変位を伴う運動を同一の平面(��)平面)内で行っているとする.時刻 �

のときの点 �と点 �'��の間にある弦の無限小部分 .�� �'��/の運動を記述

しよう.弦の密度は一様,すなわち,定数 + �とすれば,この無限小部分の

質量は +�� である.時刻 � のときの � における変位を � & �$�� �% とすれば,

この点における加速度は(�)方向に)���$�� �%,���$�� �% である.他方,変

位に伴い,弦上の点 $�� �$�� �%%において,張力 ) $�� �% & $)�$�� �%� )�$�� �%%

が弦の接線方向に働く.すなわち,)�$�� �% & ��$�� �%,�� )�$�� �% である.

この無限小部分に働く力は ) $� ' ��� �% � ) $�� �% であり,この無限小部分

の力の釣り合いは

� & )�$�' ��� �%� )�$�� �%���

����$�� �% +�� & )�$�' ��� �%� )�$�� �%

となる.したがって,)�$�� �% � #(=正の定数)とおき,��$�'��� �%,�����$�� �%,�� & ���$�� �%,��� �� に注意すれば,

��

����$�� �% & ��

��

����$�� �%� � &

�#

+� $����%

となる.$���% では � & � としてある.

問 ����� $����% には " $� � ��% および $ $� ' ��% の形の進行波解がある

ことを確かめよ.$����% $����% (ただし,�� & �)の解は

�$�� �% &�

�$�$� � ��% ' �$� ' ��%% '

��

��

��� �$�% �� $����%

と表される(これも ����� � の公式である).

��� 変数分離法

線形偏微分方程式の解を求める手だてとして,変数分離法を紹介しておこう.

現実の弦は,材質や製造工程に伴う太さやねじれがあり,さらに運動は環境からも影響を受ける.弦のイデアとでも言うべきものを考えているのである.それにもかかわらず,この方程式が現実的な価値を持っていることは自然の不思議を感じさせる.

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���� 変数分離法 ��

����� 弦の振動の方程式

例 ����� 弦の振動の方程式 $���% を見直そう.$���% の解 �$�� �% を � に

関する周期 �� の周期条件

�$�' ��� �% & �$�� �%� �� � �� � � '�� $����%

のもとで求めよう.このとき,

���$-�% ���$-�%� - & �� �� �� � � � ����$-�% ���$-�%� ���$-�% ���$-�%� ���$-�% ���$-�%� - & �� �� � � � �

$����%

のそれぞれは $���% $����% の解である.重ね合わせの原理より,

�$�� �% &�����

�� ���$-�% ���$-�% '�����

�� ���$-�% ���$-�%

'�����

�� ���$-�% ���$-�% '�����

�� ���$-�% ���$-�%

$����%

は(収束さえすれば)同次方程式 $���% の解であり,さらに,周期条件 $����%

を満足する.ただし,�� � ��� �� � �� は定数である.この意味で,本稿では,

$����% のおのおのの関数を要素解とよぶ.要素解のそれぞれが $���% $����%

を満足していることは直接の検証で直ちにわかる.

実は,要素解は変数分離法といわれる組織的な方法で求められる具体的な

形の解であることが大切である.まず,$���% の解を変数分離解 �$�� �% &

'$�%( $�% の形で求めよう.ただし,'$�%� ( $�% はいずれも1変数 � のなめ

らかな関数で,恒等的に消えることはないとする.$���% に代入すれば,

'��$�%( $�% �'$�%( ��$�% & � すなわち'��$�%'$�%

&( ��$�%( $�%

を得る.�� � は独立な変数であるから,適当な定数 � を含む2階の常微分方

程式系

'��$�% & �'$�%� ( ��$�% & �( $�% $����%

が導かれる.定数 � を特定するために,'$�% に周期 �� の周期性

'$� ' ��% & '$�%� �� � � � '��

を仮定しよう.すると,$����% の第1式から

� &

� ��� '��$�%'$�% ��� ��

�'$�%� ��

& �� ��� '�$�%� ��� ���

'$�%� ��� � $����%

となる.� & �-� とすれば,'$�% の周期性の要請と両立するのは

- & �� �� �� � � � �

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

である.このとき,$����% から,���� ���� ��� � ��� を積分定数として,

'$�% & ��� ���$-�% ' ��� ���$-�%� ( $�% & ��� ���$-�% ' ��� ���$-�%

が従う.

問 ����� $����% において, �$�%� �$�% が周期 �� ならば,�$�� �% は �� �

それぞれについて周期的になることを確かめよ.

問 ����� 要素解 $����%のそれぞれは進行波解の重ね合わせ $���%として表

されることを確かめよ�.

問 ����� 同次方程式 $����% を周期性 $����% の要請のもとで変数分離法に

よって解け� .

例 ����� 区間 � � � � . において同次方程式 $���% を考察する.境界

条件

�$�� �% & �� �$.� �% & � $����%

のもとで,要素解 �$�� �% & '$�%( $�%$�& �% は,

�$�� �% & ��� ��.���

�� ��� ��.��' �� ���

��.���

$����%

である(� & �� �� � � �.ただし,��� �� は定数).実際,'$�%( $�% を $���%

に代入して

' ��$�% & �'$�%� '$�% & '$.% & �

( ��$�% & �( $�%

を適当な定数 � と共に得る.例 ����� の場合と同様に

� & �� �� '�$�%���� �� '$�%���

� �

がわかる.'$�% �& �� '$�% & '$.% & �� と '�$�% & � とは両立しないこと

に注意せよ.したがって,定数倍を別にして,

'$�% & ��� ��.��� � & �

��.

���

でなければならない.

�三角関数の加法定理の応用である.����� �� ���� ��� のもとで

� ����� �� ����� ���� �� ����� �� �� ���

が得られる.������ から � となる.

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���� 変数分離法 ��

問 ����� 区間 � � � � . において $���% を境界条件

���$�� �% & ��

���$.� �% & � $����%

のもとで考察する.この場合の要素解を決定せよ��.

����� 要素解の重ね合わせと収束

さて,要素解を計算しただけでは解そのものが求まったとは言えない.$����%

の三角級数が収束し,�$�� �% を定める条件を検討してみよう.まず,形式的

に � & � を代入すると

�$�� �% &�����

�� ���$-�% '�����

�� ���$-�% $����%

となるはずである.この級数は周期 �� の関数 �$�� �% を表す三角級数展開で

なければならない.同様に,$����% を形式的に � で偏微分してから � & � と

おくと,�

���$�� �% &

�����

-�� ���$-�% '�����

-�� ���$-�% $����%

が得られる.これらは,��� �� � �� � �� についての情報が初期値 �$�� �% と�� �$�� �% から求められることを示す.

命題 ����� 関数 �$�%� �$�% はそれぞれ周期 �� の ��)級,��)級の関数とする.偏微分方程式 $���% には周期条件 $����% と初期条件

�$�� �% & �$�%��

���$�� �% & �$�% $����%

を満たすなめらかな解 �$�� �% がただ一つ存在する.

.証明/ 実際, ����� � の公式 $����% は � (と �)の周期 �� の関数

�$�� �% で初期条件 $����%を満たすものを与える.しかし,重ね合わせによる

$����% の形の級数も収束してなめらかな関数を定めれば,解を与えるはずで

ある.このことを確かめよう.まず,初期条件 $����% の意味を $����% $����%

と比較することにより,明らかにしよう. $����% より

�� &�

��

��

�$/% �/�

�� &�

��

�$/% ��� -/ �/� �� &�

��

�$/% ��� -/ �/�

�� &�

-�

��

�$/% ��� -/ �/� �� &�

-�

��

�$/% ��� -/ ��

$����%

��要素解 ���� �� ���� ��� の因子は,

���� �����

��� ��� �� ���

��

�� � �� � ��

��

��� � �� ���� � � �

となる.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

(- & �� �� � � �)となるべきである.ところが,加法定理より,- � � では,

�� ���$-�% ' �� ���$-�% &�

��

�$/% ���$-$�� /%% �/

だから,$����% と $����% の第 �式との組合せは,等式

�$�% & �����

��

�'

�����

���$-$�� /%%

��$/% �/ $����%

の成立を示唆している.同様に

�$�% & �����

��

�'

�����

���$-$�� /%%

��$/% �/ $����%

も成り立つことを期待させる.ここで,

�'

�����

���$-�% &�

���$$� ' ��%�%

��� ���

$����%

に注意しよう��.さて,改めて

0� $�% &�

��

���$$� ' ��%�%

���$�� �%� � & �� �� � � � � $����%

とおけば��,$����% は

�$�% & �����

��

�0� $� � /% �$/% �/

の形になる.しかも,0� $�% は周期 �� の偶関数で,

��

0� $�% �� & �� � & �� �� � � � � $����%

を満たすから��,$����% は

�����

��

���0� $/ � �%��$/% � �$�%� �/ & � $����%

�� 実際,������ の左辺は,初項 �� ����,公比 ��,項数 �� � � の等比級数

��

����

�� � ���

�����

��

と書き表される.したがって,�

����� �� ��������

�� ��

となり,さらに,書き直して,������ の右辺を得る.���� ��� を � � ����の核関数という.��下の問 ����� 参照.

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���� 変数分離法 ��

と同等である.�$�% の周期性と1階連続微分可能性とから

1�$�% &

���

�$� ' �%� �$�%

��� ��

� � �& �

�� �$�%� � & �

$�� � � � �% $����%

は � の周期 �� の連続関数に拡張され,しかも,1�$�' �% & �1�$�� �% で

ある.さらに,�$�% が2階連続微分可能であれば,1�$�% は1階連続微分可

能になる��.$����% は

�����

�����

�$� '

�%�

�1�$�% �� & � $����%

に帰着するが,部分積分と組合せると,左辺の積分は

� ���$� ' �� %�

� ' ��

1�$�%

�����

����'

� ' ��

�����

�$� '

�%�

�1 ��$�% ��

となり,しかも,第1項は消え,第2項は � �� のとき � に収束する.す

なわち,$����%,したがって,$����% が成立する.$����% が ��)級の �$�% に

対して成立することも同様に示される��.

$����% の形の級数の収束を検討しよう.$����% 右辺の第1項と第3項とを整

理すると

�����

��

��0� $�' � � /% '0� $�� � � /%� �$/% �/

となる.一方,- � � のとき,

���$-�%

-&

� ���$-2% �2

であることに注意すると,$����% 右辺の第2項と第4項とは

�����

��

��

0� $2 � /% �$/% �/ �2

の形にまとめられる.したがって,$����% は

�$�� �% & �����

� ��

�0� $� ' � � /% �$/% �/

'

��

�0� $�� � � /% �$/% �/

'

��

��

0� $2 � /% �$/% �/ �2

� $����%

��� � � のときは明らかであろう.� � での微分可能性は定義に溯ればよい.�� ������や ������の成立のためには ����や ���� が ���級という要請は強すぎる.例えば,これらが � ��� �� 連続であっても成り立つ.後述の注意 ����� を見よ.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

と表され,したがって,$����% $����%に注意すれば,��) 級の �$�%,��)級の�$�% に対して��,$����% の右辺が ����� � の公式 $����% の形になること

がわかる.

他に(なめらかな)解がないことを確かめておこう.このような解が二つ

あるとすると,方程式の線形性から両者の差 �$�� �% は初期条件 $����% を

�$�% & �$�% & � の形で満たす $���% $����%の解に他ならない.したがって,

.�/$�% &�

��

��

���$�� �%

��

'

��

���$�� �%

�����

に着目すると, .�/$�% & �,かつ

.�/�$�% &

��

��

���$�� �% � ��

�����$�� �% '

��

����$�� �% � �

���$�� �%

���

だから,部分積分と方程式 $���% により, .�/�$�% & � である.したがって,

.�/$�% & �, すなわち,�$�� �% は定数となるが,初期条件を考慮すると

�$�� �% � � である. .証明終/

0

5

10

-2 2t

図 ���( 0� $�% のグラフ(� & �)

問 ����� �� ���� の核関数 0� $�% は周期 �� の偶関数であり,$����% を

満足することを確かめよ�.��脚注 �� 参照.� 脚注 �� 参照.

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���� 変数分離法 ��

注意 ����� $����% の収束が ��0����� 連続な �$�% に対しても成り立つこ

とは,$��� �% 上の可積分関数 1 $�% に対する

�����

�����$3�% 1 $�% �� & � $����%

の成立に基づく.実際,�$�% が ��0����� 連続ならば,$����% の 1�$�% は有

界で,当然,$��� �% 上で可積分であり,$����%を 3 & � ' �� として適用でき

る.$����% は古典的な "�����)���1� の定理(の一例)である.$!���%

の検証は,1 $�%が階段関数で近似されることを前提に行われる��.特に,1 $�%

が $��� �% の閉部分区間 .�� �/ の上で定数値 � をとり,この区間の外では �

になる場合には明らかである.

問 ����� �$�� �% を命題 ����� で与えた解とする.

.�/$�% &�

��

��

���$�� �%

��

'

��

���$�� �%

����� $����%

は .�/$�% � 定数,すなわち,

.�/$�% � �

��

��$�%� ' �$�%����

を満足することを示せ��.

境界条件が周期条件でない場合は,初期条件に境界条件との両立性に関す

る注意がいる.最初に,言わば,形式的な解を構成しよう.

補題 ����� �$�%2 �$�% は � � � � . で定義された関数とする.境界条件

$����%,初期条件 $����% のもとで弦の振動方程式 $���% には形式解

�$�� �% &�����

���$��

.�% �� ���$

��

.�% ' �� ���$

��

.�%�

$����%

が存在する.ただし,

�� &�

.

�$/% ���$��

./% �/

�� &�

��

��$/% ���$

��

./% �/

� � & �� �� � � � � $����%

��� ��� が階段関数 ���� によって誤差 � � � で近似される,すなわち,� �

���� ���� ����� �� � �

が成り立つときには,

�� �

��� ����� � ��� ��� � �� �

� �

��� ����� ���� ���

である.ここで,���� は ���� �� の互いに交わらない有限個の閉部分区間の上で定数値をとる関数であることに注意せよ.

��������� を � で微分し,部分積分と方程式 ����� と周期条件 ������ を利用して処理せよ.������� は ���� �� のエネルギー積分とよばれる.この問は,いわば,エネルギーが保存されることを示すものとも言える.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

である.

実際,$����% は $����% と同様の考え方で得られるものである.

特に,�� ���� の核関数を用いれば,補題 ����� から

�$�� �% & �����

��

�.

�0� $

.$�' � � /%%

�0� $�

.$�' � ' /%% '0� $

.$�� � � /%%

� 0� $�

.$�� � ' /%%

��$/% �/

'�

�.

� �2

�0� $

.$�' 2 � /%%

�0� $�

.$�' 2 ' /%% '0� $

.$�� 2 � /%%

�0� $�

.$�� 2 ' /%%

��$/% �/

$����%

が得られる.�$�%,�$�% を �. � � � . に奇関数として拡張したものを

��$�%,��$�% とする:

��$�% &

�$�%� � � � � .

��$��%� �. � � � �� ��$�% &

�$�%� � � � � .

��$��%� �. � � � ��

このとき,$����% は

�$�� �% & �����

��

�.

��

�0� $

.$�' � � /%%

' 0� $�

.$�� � � /%%

���$/% �/

'�

�.

� �2

��

�0� $

.$�' 2 � /%%

' 0� $�

.$�� 2 � /%%

���$/% �/

�とやや簡略化される.ここで,さらに,�$�%,�$�% が両立条件

�$�% & �$.% & �� �$�% & �$.% & � $����%

を満たしているとすれば,��$�%,��$�% は,

��$�.% & ��$.% & �� ��$�.% & ��$.% & �

を満足するので,いずれも,全直線上の周期 �. の関数として拡張でき,それ

ゆえ,��$�%,��$�% は直線上の周期 �. の関数として拡張されているものと

して扱ってよい.�$�%,�$�% が � � � � . において有界な導関数を持つなら

ば,こうして拡張された ��$�%,��$�% は ��0����� 連続である.したがって,

�$�� �% &��$�' �% ' ��$�� �%

�'

�� ��$2% �2 $����%

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���� 変数分離法 ��

が導かれる.しかも,奇関数性と周期性から

�$�� �% & �$.� �% & �

が成り立つことが容易にわかるであろう.一方,��$�% が ��)級,��$�%が ��)級であれば,$����% は ��)級のなめらかさを持つ.

補題 ����� 関数 4$�% は � � � � . において連続,� � � � . において

1階連続微分可能で,4$�% & 4$.% & � を満たし,さらに,導関数 4�$�% は�� � および �� . で有界な極限値を持つとする.このとき,4$�% の周期

�. の奇関数拡張 4�$�% は直線上で1階連続微分可能である.さらに,4$�%

が � � � � . において2階連続微分可能で,導関数 4��$�% が有界ならば,4�$�% は � �& 3.� 3 & ������ �� � � � � において2階連続微分可能で,4�$�%の1階導関数は ��0����� 連続である.4�$�% が直線上で2階連続微分可能

になるための必要十分条件は 4��$�% が �� � および �� . のときに � に収

束することである.

.証明/ 実際に必要な導関数を計算すれば明らかであろう. .証明終/

形式解が微分できて実際に解になることを,やや強すぎる印象のある条件

のもとで,示そう.

命題 ����� �$�%2 �$�% は � � � � . で定義された関数とする.�$�%� �$�%

は,それぞれ ��)級, ��)級で強い両立条件

�$�% & �$.% &� ��$�% & � ��$.% & ��

�$�% &�$.% & �$����%

を満足するならば,境界条件 $����%,初期条件 $����% のもとで弦の振動方程

式 $���% には ��)級の解 �$�� �% がただ一つ存在する.

.証明/ 解 �$�� �% は形式的には,級数 $����%の形で得られるはずである.実

際に,この �$�� �% を与える級数が収束して ��)級の関数 $����%を定めること

は,上の議論の帰結である.また,このような解が一意的であることは,命

題 ����� のときと同様に示される. .証明終/

注意 ����� 両立条件は,本来ならば,$����%だけに留められるべきだから,

$����% の2階導関数に対する要請は余計なはずである.実際,$����% は ��)級であり,� � � �& 3.� 3 & �������� � � � ならば ��)級でもある.このことは,両端 � & � および � & . から発生する特異性(の境界に反射しながら

進行して行く様子)が一般に解に反映するということを意味している.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

問 ����� 弦の振動の方程式 $���% は,初期条件 $����% ,境界条件 $3 )

�4�% のもとで ��)級の解をただ一つ持つことを示せ.ただし,�$�%,�$�%は,それぞれ ��)級,��)級で,両立条件

���$�% & �� � & �� � & .�

���$�% & �� � & �� � & .� $����%

を満たしているとする��

一方,要素解の重ね合わせで得られるものが偏微分方程式の階数にふさわ

しい微分可能性を持たなくても解として解釈できることは重要である.

例 ����� 固定端の弦の振動の方程式の初期値問題 $���% $����% $����% の解

�$�� �% を

�$�% &

��� � � � � �

�� ��� �� � � � �

$����%

および �$�% & �� � � � � �� の場合に作ってみよう.これは,長さ1の弦の

中央を高さ1まで持ち上げて静かに放した後に生ずる運動の記述に相当する.

��� & �� ����� & $��%����

$��� �%���� � & �� �� � � � �

�� & �� � & �� �� � � �だから,対応する要素解を重ね合わせたものは

�$�� �% &�

��

�����

$��%���

$��� �%����$��� �%�� ���$��� �%�� $����%

となる.一方,�$�% を全直線上に周期2の奇関数として拡張したものは

��$�% &

��� ��� ��� �

� � � � ��' ��

��' �� ��� ��' �� � � � ��' �

� � & �������� � � �

である.�$�� �% の2階偏導関数の存在は微妙だが,�$�� �% 自身は一様に収

束して �� � に関して連続な関数を定めていることは明らかであろう.事実,

$����% より

�$�� �% &�

����$� ' �% ' ��$�� �%�

である.したがって,��)平面の帯状集合 5 & .�� �/�を

��要素解の重ね合わせが利用できる.また, ���� は ��� � を満たすから

�����

������ � � � �

������ � � � � �

とおくと, ���� � ��� � であり,したがって,����� は全直線上に周期 � の ���級の偶関数として拡張される.����� も同様に ���� の周期 � の偶関数としての拡張で,���級である.初期値を �����, ����� として得られる �!���"#���の公式による解と要素解の重ね合わせによる解とは一致する.

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���� 変数分離法 ��

5 & �$�� �%6 ��'

�� � � � � �� '

�� ��

��� �

�' � � � � �� '

�' �� � � � � ���

5� & �$�� �%6 ��� �

�� � � � � �� '

�� ��

��� �

�' � � � � �� � �

�' �� � � � � ��

. & �$�� �%6 ��'

�� � � � � �� '

�� ��

��'�

�' � � � � ��'

�' �� � � � �

��

.� & �$�� �%6 ��� �

�� � � � � �� '

�� ��

��� �

�' � � � � ��'

�' �� � � � �

��

6 & �$�� �%6 �� '

�� � � � � ��'

�� ��

��� �

�' � � � � �� � �

�' ��

�� � � ��

6� & �$�� �%6 �� � �

�� � � � � ��'

�� ��

��� �

�' � � � � �� � �

�' ��

�� � � ��

(� & �������� � � �)の閉包の合併として表せば(図 �����),

�$�� �% &

���������������������

��� $�� �% � .����� $�� �% � .

��� �� $�� �% � 6����' �� $�� �% � 6

�� � ��' �� $�� �% � 5���� ' ��' �� $�� �% � 5

� � & �������� � � �

となる(図 �����参照).この解は � � � � .��� � � �� の全体では ��)級にならない.しかし,偏微分が意味を持つところでは,方程式 $���% を満

足する.

問 ���� $�� �% は ��)級のなめらかな関数で $�� �% & $.� �% & � およ

び十分大きな ) � に対し, $�� �% & �� � � ) � を満たしているとする.

例 ����� の解 �$�� �% について,積分 �

��

�$�� �%

���

���� ��

���

� $�� �% ��'

�$�%�

�� $�� �% ��

の値を求めよ��.��値は � である.積分の処理には ��� $� の方を利用せよ.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

� �

� �

� �

� �

����������

��������������������

��������������������

����

����

��������

���������� � & ���

.

5

� & ���

6��

6

� & ����

.�

5�

5��

� & ����

� & � � & � � �

図 ���( 帯状集合 5 の区分け

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

00.2

0.40.6

0.81

y

-1

0

1

図 ���( 例 ����� の �$�� �%: � � � � �� � � � � � の部分のグラフ

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���� 熱方程式 ��

注意 ����� 問 �����は例 �����の解 �$�� �% が同次方程式 $���%(と初期条

件 $����% と)を満たすということの解釈を与えるものであるが,�$�� �% が

後述する弱い意味の2階偏導関数を持つことを示唆するわけではない��.

��� 熱方程式

同次方程式 ��

��� ��

���

��$�� �% & � $����%

は熱方程式とよばれる.名称の由来は,一様な細い(理想的な)棒の点 � に

おける時刻 � での温度 �$�� �% が従うべき方程式だからである.方程式の導出

は,点 � における(高温部から低温部への)熱流 * が温度勾配 �� に比例す

るという 7�� � の法則に基づくものであるが,詳細は省略する.また,こ

の方程式は,拡散方程式ともよばれ,確率過程を論ずる際の基本的な道具で

もある.

����� 直線上の熱方程式

まず,全直線 �� � � � '� の上で考察しよう.

問 ����� �$�� �% が $����% を � �� �� � � � '� で満足しているとする.任意に定数 % � を指定し,��$�� �% & �$%��� %�% とおくと,��$�� �% も

$����% を � �� �� � � � '� で満足することを確かめよ.

問 ����� �$�� �% は � �� �� � � � '� において熱方程式 $����% を満

足し,さらに,

�$%��� %�% & %���$�� �%� % �

を満たすとする.このとき,�$�� �% &����$

���%� � �� となるような1変

数関数 �$# % があって

�$# % ' #��$# % ' ����$# % & � $����%

が成り立つ��.

��問 %����参照.��� ��

�とおくと,���� �� ��

����� ��

�� となる.なお,��� �� は2階の常微分方程式で

あり,2個の独立な解がある.� � � �&��� ��

�� が ��� �� を満たすことは代入して確かめられる.第二の解を求めるには,階数低下法を利用する.すなわち,�� � !� �� � � とおき,��� �� に代入して得られる !�� � についての1階常微分方程式

!��� � � � � � � � �� �

�� � �!�� � !��� ��

�!�� � �

から !� � を解け.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

さて,� � に対し,

7�$�% &�

����

��

�� $����%

を熱核関数または ,����)8� �� ��� 関数という.

補題 ����� ,����)8� �� ��� 関数に対し, �

��7�$�% �� & �� � �� $����%

が成立する.また,� �� �� � � � '� のおいて,�$�� �% & 7�$�% は熱

方程式 $����% を満足する.

実際,$����% は,微積分における基本的な公式

����

���

�� &��� $����%

において,積分変数を � &���� に改めることにより導かれる.�$�� �% &

7�$�% が $����% を満たすことは直接的な計算で確かめられる��.

0

0.5

-4 -2 2 4x

図 ���( 7�$�%� � & �� ��� のグラフ(どちら?)

��なお,問 ����� 及び例 ������ を参照せよ.

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���� 熱方程式 ��

補題 ����� �$�% は直線上の連続関数で有界,すなわち,有限な

� & ��0������

�$�%

があるとする.� � に対し,積分

�$�� �% &

��7�$�� �% �$�% �� $����%

は収束する.しかも,任意の 6 � に対して

�$�� �%� �$�% � ��0� �������

�$�% � �$�% ' �� 3�$6

�% $����%

である��.特に,

��������

�$�� �% & �$�% $����%

が成り立つ.

.証明/ 積分 $����% は

��

���

����

�������

�� �$�% ��� 6 ��

の 6� '� の極限として定義される.�$�% の有界性と $����%とから,この

極限の存在は明らかである.一方,$����% を示すには,$����% を利用し,さ

らに,積分変数を変換して,

�$�� �%� �$�% &

��7�$�% ��$��

���% � �$�%� ��

と書き直せることに注意しよう.右辺の積分を � � 6 の部分 8� と � 6

の部分 8� に分け,8� については,�$�����%� �$�% の � � 6 における上

限を積分の外に出した後で,積分区間を $���'�%まで広げれば,$����% の

右辺第1項が得られる.8� については,�$�% の有界性を使えば,$����%の右

辺第2項が直ちに得られる.$����%を示すには,任意の 9 � に対し,$����%

の右辺において,第2項が 9,�より小さくなるような十分に大きい 6 � を

選び,ついで,右辺第1項が 9,� より小さくなるように � を十分に小さくと

ればよい. .証終/

以上をまとめて,次の命題を得る.

��ただし,��'��� �� ��'��� であり,��'��� は誤差関数

��'��� ���

� �

���

��"� � � ��

である.������ から � "��� ��'��� � が従う.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

命題 ����� 直線上の有界な連続関数 �$�% に対し,$����% で定められる

�$�� �% は,初期条件

�$�� �% & �$�%� �� � � � '�� $����%

を満たす熱方程式 $����% の解である.

.証明/ 確認すべきことは,� � のときに,�$�� �% がなめらかであり,熱方

程式 $����%を実際に満たすことである.このためには,補題 �����によれば,

$����% で偏微分演算と積分記号とが交換できることを確かめればよい.実際

に,被積分関数を �� � で何回偏微分しても,その結果は �� � � � '� で積分できる�� ので,この交換には障害はなく,しかも,�$�� �% は � � にお

いて ��)級のなめらかさを持つこともわかる. .証終/

問 ����� �$�% が周期 : � の周期関数ならば,$����% が定める �$�� �%

も � に関して周期 : である.

����� 熱方程式と変数分離法

命題 ����� は,いわば,無限に長い棒の温度分布の変化を与えられた初期

分布から計算できることを示している.しかし,有限の長さ( . �)の棒

の場合なら,両端での熱の出入の情報が補われるので,したがって,初期条

件に加えて境界条件が課されなければならない.例えば,左端(� & �)で0

度の(大熱容量の)物体に接し,右端(� & .)では断熱されている場合に

相当する問題は,熱方程式 $����% を � �� � � � � . で満足する �$�� �% で

あって,境界条件

�$�� �% & ���

���$�� .% & �� � �� $����%

及び初期条件

�$�� �% & �$�%� � � � � . $����%

を満たすものを求めることである.

境界条件 $����% を見るために,変数分離解を要素解として求めよう.

例 ����� 熱方程式 $����% の境界条件 $����% を満たす要素解は

�-�� ���$-�%� - &

��� �

�.�� � & �� �� � � �

��要するに,被積分関数を偏微分した結果は

��� ������ ��

������

�� ����

の形の項の1次結合になる.

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���� 熱方程式 ��

である.要素解を変数分離解 �$�� �% & ) $�%'$�% として $����% に代入すると

) �$�%'$�% � ) $�%'��$�% & � または) �$�%) $�%

&'��$�%'$�%

& �

を得る.� は適当な定数である.$����% から,'$�% は

'$�% & �� '�$.% & �

を満たす. $����% と同様に � & �-� � � がわかり,さらに, �� �& � として,

'$�% & �� ���$-�%� ���$-.% & �

であるから,

- & - &��� �

�.�� � & �� �� � � �

が得られる.したがって,� は適当な定数として,

) $�% & � �-��

である.

長さ . の棒の両端が温度0度の設定されている場合に相当するのは,熱方

程式 $����% に,境界条件

�$�� �% & �$�� .% & �� � �� $����%

を課す場合である.このときの要素解は

� ��.

���

��� ��.��� � & �� �� � � � � $����%

で与えられる.

問 ����� $����% を確かめよ.

命題 ����� 熱方程式 $����% を � �� � � � � . で満足し,境界条件

$����% と初期条件 $����% を満たす解 �$�� �% は,� � において,

�$�� �% &�����

�� �����

.��

��� ��.���

�� &�

.

��$�% ���

��.����� � & �� �� � � � �

$����%

で与えられる.ただし,初期値 �$�% は二乗可積分� �� �$�%� �� � '� とす

る�.� � � における収束性について別項を見よ.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

実際,$����% の各項は要素解である.初期値の仮定のもとでは,

�� ��

.

� �

�$�%� ��

であり,一方,� � では

�� �����

.�� � .�

���

だから,$����% は収束する.

例 ����� 初期値

�$�% &

�� ���� � � � ���

�� � � � � ���� または ��� � � � �$����%

として,$����% $����% $����% の解は,

�$�� �% & � �

�����

���

��

�� ���

��

���

���� ���$���% $����%

で与えられる��.三角級数の一般論��に従えば,$����%右辺の級数は � & � の

ときも収束し,その値は ����$�� �% ' �$�' �%� である.したがって,� & �

をこめて項数の十分に大きい有限和で解の近似が得られる.

棒の両端が断熱的な場合に相当する境界条件は

���$�� �%

�������

& ���

���$�� �%

�������

& � $����%

である.対応する熱方程式の初期値境界値問題は次のようになる.

命題 ����� 熱方程式 $����% を � �� � � � � . で満足し,境界条件

$����% と初期条件 $����% を満たす解 �$�� �% は,� � において,

�$�� �% &�

.

��$�% ��'

�����

�� �����

.��

��� ��.���

�� &�

.

�$�% ��� ��.����� � & �� �� � � � �

$����%

で与えられる.ただし,初期値 �$�% は二乗可積分� ��

�$�%� �� � '� とする��.

��

����

�� ��

��

����������

�� � �#

���� � � �# �

��� � �# ���� � � �# ��� � �#�

�# ������ � � �

である.��文献参照.��� � における収束性について別項を見よ.

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���� 平面のラプラシアン ��

.証明/ まず,この場合の要素解は

��$�� �% & �����

.�

��� ��.��� � & �� �� �� � � � $����%

となることは容易に確かめられるであろう.後の手順は,命題 ����� と同様

である. .証終/

例 ����� 初期値 $����% のもとで,$����% $����% $����% の解は,

�$�� �% &�

�����

���

��

�� ���

��

���

���� ���$���% $����%

で与えられる��.

��� 平面のラプラシアン

偏微分作用素 $���% は平面のラプラス作用素またはラプラシアンと呼ばれ

る.高次元(�)次元)の類比

��

����' � � �' ��

����$����%

は �)次元のラプラス作用素である��.$����% は,記号 9� (次元 � が了解さ

れているときには,単に, 9) で表されることも多い.

�� �� 固有値問題の変数分離解

開区間 8� & $�� �% と 8� & $�� �% (�� � �)の直積を

+��� & 8� 8� & � $�� �% 6 � � � � �� � � � � � �

とおこう.+��� の境界(すなわち,周)は

�+��� &� $�� �% 6 � & � または � & �� � � � � � �� � $�� �% 6 � & � または � & �� � � � � � �

��

� ���

�� � �

��

��������

�� � #

������ �� � �# �

�� � �# �

�� ������ � �# �

�# ������ � � �

である.��常微分作用素 ��

���は1次元のラプラシアンに相当する.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

00.050.10.15

0.2

t00.20.40.60.8 x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

図 ���( 例 ����� の �$�� �% のグラフ(� � ��� までの和による近似)

00.050.10.15

0.2

t00.20.40.60.8 x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

図 ���( 例 ����� の �$�� �% のグラフ(� � ��� までの和による近似)

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���� 平面のラプラシアン ��

である.さて,偏微分方程式���

���'

��

���

��$�� �% & %�$�� �% $����%

を +��� で満たし,境界条件

�$�� �% � ���& � $����%

を �+��� で満足するような関数 �$�� �% と定数 % を求めたい.

このような問題は,一般に固有値問題 とよばれ,自明でない解 �$�� �% は

固有関数,そのときの % の値は固有値とよばれる.

命題 ����� 固有値問題 $����% $����% の固有関数と固有値は

���$�� �% & ��� �����

��� �����

%�� & ������

��'��

��

� $�� � & �� �� � � �% $����%

で与えられる.固有関数は定数倍を除いて決まる.

$����% が方程式 $����% を満足していることは,代入してみれば直ちに確か

められる.また,$����% を満たしていることも ���$�� �% の形から明らかで

ある.

それでは,どのような手順で,$����%を発見したのであろうか.$����% $����%

の解を変数分離形 �$�� �% & '$�%( $�% �& � に想定しよう.$����% に代入す

ると' ��$�%'$�%

'( ��$�%( $�%

& %

となる.しかも,$����% を考慮に入れると,適当な定数 ; を補うことにより,

'��$�% & �;'$�%� '$�% & '$�% & � $����%

および

( ��$�% & �$�% ' ;%( $�%� ( $�% & ( $�% & � $����%

が従わなければならない.

問 ����� $����% において '$�% �& � ならば ; � でなければならないこ

とを示せ��.

��以前と同様に

$

� �

������ �� �

� �

����� � ����� ��

に注意せよ.右辺は部分積分により, �� � ����� �� に変形される.しかも,この積分値は正

でなければならない.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

したがって, ; & <� とおくと,'$�% & � ���<� ' �� ��� <� と表される.ここで,�� �� は定数である.境界条件から

� �& �� �� & �� ���<� & �

となり,したがって,< & ��となる自然数 � がある.( $�% & �� ���

����

(�� は定数)も全く同様に導かれる.

注意 ����� 固有関数系 ���$�� �%� �� � & �� �� � � � は ��$+���% の直交基

底をなしている.直交性は

���

���$�� �% ����$�� �% ���� &

���

�� $���% �& $=� 3%��

�� $���% & $=� 3%

$����%

から明らかである.基底性は 4$�� �% � ��$+���% に対し ���

4$�� �% ���$�� �% ���� & �� �� � & �� �� � � �

から 4$�� �% & � を導けばよい.しかも,この際, 4$�� �% が �� � それぞれ

の関数の積である場合だけを考えればよく,結局,4$�� �% が矩形領域の特性

関数の定数倍の場合に帰着する.ところが,この場合は明らかである.

�� �� 長方形領域での �������� 問題

次に,与えられた �$�� �% に対して境界条件

�$�� �% � ���& � $����%

のもとで, +��� における偏微分方程式���

���'

��

���

��$�� �% & �$�� �% $����%

を満足する �$�� �% を求めよう.このように境界値が消えるという設定の問

題は一般に �� ���� 問題とよばれる.

�$�� �% � ��$+���% とする.注意 ����� から,

�$�� �% &��

����

��� ���$�� �% $����%

となる.ここで,$����% から

��� &�

��

���

�$�� �% ���$�� �% ���� $����%

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���� 平面のラプラシアン ��

である.ただし,$����% は ��$+���% の収束の意味で成り立つ.すなわち,十

分大きな � に対し,

�� $�� �% &�

��������� ���$�� �%

とおけば,��$+���% において,����� �� & � となる.しかも,$����%から

���

�$�� �% � ���� &��

������

�� � $����%

である.

ところが,$����% の右辺の �$�� �% を �� $�� �% に置き換えるとこの問題は

容易に解ける.

補題 ����� �$�� �% を �� $�� �% に置き換えた �� ���� 問題 $����% $����%

の解は

�� $�� �% &�

������

���%��

���$�� �% $����%

で与えられる.

実際,命題 ����� からほとんど直ちに従う帰結である.しかも,�� $�� �%

はなめらかな関数の有限和だから,なめらかでもある.

補題 ����� �� $�� �%���

����� $�� �%�

��

������ $�� �%�

��

����� $�� �% は,い

ずれも,� �� のときに ��$+���% において収束する.

.証明/ 実際,

��

��:���� ���$�� ' ��% � %�� � ��

������� ��� $�� ' ��%

にまず注意しよう.�� $�� �% が ��$+���% で収束することは

������

����%��

��

����:���� ���

��

�� ������

��� � � '�

によってわかる.また,例えば,��

����� $�� �% の収束をみるには,

��

����� $�� �% &

�������

�� ���%��

����

��

����$�� �%

だから,

����

%���� � ��:���� ���

����

�� ' ��� ��:���� ���

��

によってわかる.他の2階の偏導関数の収束も同様である. .証明終/

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

問 ����� � ' � & 3 を満たす �� � & �� �� � � � について3������ ' �� � 3

である��.

問 ������

���� $�� �%�

���� $�� �% は � � � のときに ��$+���% におい

て収束することを示せ�� .

以上から,��$+���% の元

�����$�� �% & �����

���

�������� $�� �%� � � > ' ? � ��

が定まる.ただし,わずらわしいので,�����$�� �% は単に �$�� �% と書こう.

したがって,極限移行により,次の補題を得る.

補題 ����� �$�� �% は +��� 内でなめらか( �� 級)で,しかも,境界 �+���

の近くでは消えるような任意の関数とする��.このとき,� � >' ? � � につ

いて, ���

�����$�� �% �$�� �% ���� &

&$��%��

���

�$�� �%���

�������$�� �% ����

$����%

が成り立つ.

$����% は,�����$�� �% が �$�� �% の弱い意味での偏導関数

�����$�� �% &���

�������$�� �%

であることを示す.したがって,�$�� �% は #���� 空間� ��$+���% の元で

ある.

補題 ����� �$�� �% は

�$�� �% &��

����

���%��

���$�� �% $����%

で与えられ, ���

�$�� �% � ���� &��

������

���%��

� $����%

を満足する.しかも,�$�� �% は +��� で一様収束し,連続関数を定める.��図を描けば明らかであろう.なお,このような �#��� は � � � 個ある.��補題 �� �� の証明と同様.��このような ���� �� を � � ��������� と表す.� 付録 % 参照.

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���� 平面のラプラシアン ��

最後の文言だけを確かめよう.$����% が実は一様収束することを示せばよ

い.ところが,

�$�� �% ���

����

���%��

����� ��

����

��� ����� ��

����

%�� �

であるが,問 ����� と $����% により,この右辺は収束する.

以上の議論をまとめて,次を得る.

命題 ����� 上で得た �$�� �% は �� ���� 問題 $����% $����% の弱い意味で

の解,すなわち,�$�� �% は $����% を満足し,さらに,任意の � � ��� $+���%

に対し, ���

�$�� �%

���

����$�� �% '

��

����$�� �%

�����

&

���

�$�� �% �$�� �% ����

$����%

を満たすものである.

00.5

11.5

2x

00.2

0.40.6

0.81

y

00.20.40.60.8

1

図 ���( 例 ����� の右辺 �$�� �% のグラフ

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

例 ����� +��� で考える.

�$�� �% &

�����

�� ���� � � � ���� ���� � � � ���

���� ���� � � � ���� ���� � � � ���

�� その他

に対応して,$����%で与えられた $����% $����%の解を �$�� �%とする.�� � &

�� �� � � � � として,

�� &�

����

�� ���

���

�� � ���

���

�'���

����

�� ���

����

��

���� ��

�� ���

���

��であり,� が �� の倍数,または � が � の倍数ならば �� & � となること

は容易に見て取れる.

00.511.52x

00.5

y

-0.016

-0.014

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

図 ����( 例 ����� の解 �$�� �% のグラフ

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���� 円板領域と変数分離解 ��

��� 円板領域と変数分離解

変数分離法は解を発掘するための極めて有力な方法ではあるが,偏微分作

用素が働く関数が定義されている領域 + が変数の分離を保証する直積構造を

持っており,しかも,それが偏微分作用素と整合していなければ全く意味が

ない.しかし,一旦,直積構造と偏微分作用素との整合性があるならば変数

分離法の有効性は定数係数の場合に限定されない.

����� 極座標と調和関数

+ �� における偏微分方程式���

���'

��

���

�4$�� �% & � $����%

の解 4$�� �% を(+ における)調和関数という.

例 ����� + & �� の関数 4$�� �% で,(原点を極,�)軸を始線とする)極座

標��で,

����

�� � � ���$���% ' � ���$���% �� � & �� �� �� � � � � $����%

の形に表されるものは調和関数である��.ここで,�� � は定数である.実

際,$���% $���% で注意したように,

@$�� �% & 4$� ��� �� � ��� �% $����%

とすれば, ���

���'

��'

����

���

�@$�� �% & � $����%

となるはずである.ここで,重要なのは $����% ならば, 4$�� �% の原点の近

くでの正則性から @$�� �% は � � � に際して少なくとも有界でなければなら

ないことである.今,変数分離解を

@$�� �% & 6$�%;$�% $����%

として $����% に代入すると,�6��$�% '

�6�$�%

�;$�% '

��6$�%;��$�% & �

��したがって,� � �� �� � � � � � である.���� と複素平面とを同一視して,

�� � ��� �� � ��

���� � �を対応させると,�� での調和関数は整関数,すなわち,� 上の正則関数の実部または虚部として特徴付けられる.しかし,調和関数には正則関数とは独立の興味もある.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

あるいは��6��$�% ' �6�$�%

6$�%& �;��$�%

;$�%& �

を得る.ここで,� は適当な定数である.しかも,;$�% は � の周期 �� の関

数で, �� � であるから,� & -�� - & �� �� �� � � � � すなわち,

;$�% & �� ���$-�% ' A� ���$-�% $��� A� ( 定数%

とならなければならない.さらに,

��6��$�% ' �6�$�% � -�6$�% & �$�6�$�%%� � -�6$�% & �

から

6$�% & B��� ' ��

�� $B� � Æ� ( 定数%

となる.ここで,� � � で有界に留まるためには Æ� & � が必要である.そ

れゆえ, $����% より,

@$�� �% & �� ���$-�% または �� ���$-�% $����%

は �� � のときの有界性の条件をみたす $����% の解である.さらに,��)座

標で表したときに,原点を含めてのなめらかさを保証するには - が偶数でな

ければならない.また,重ね合わせの原理から,$����% の1次結合も $����%

の解である.結局,$����% を得る.

問 ����� �� ���$��%� �� ���$��% は ��)座標系ではどう表されるか.一般に,

��� ���$�-�%� ��� ���$�-�%� (- & �� �� � � �)ではどうか.

問 ����� � � � のとき,

�����

�� ���$-�% および�����

�� ���$-�%

は収束する.これらはどのような関数を表すか��.

例 ����� $�� �% �& $�� �% において �$�� �% & ���� ' �� は調和である.

実際,$����% に代入すればよい��.極座標を用いれば,�$�� �% & � �� � &��� ' �� �� であり,$���% による検証は一層容易である.

��()��� の等式��

��� ���%�� ���� � ��%��

を利用すると総和を計算し易い.����

� �����

�� ������

�� � �� � ����� � � �

�� �� �� � � ��

であり,これの実部,虚部を求めることになる.��なお,例 ����� 参照.

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���� 円板領域と変数分離解 ��

注意 ����� $�� �% �& $�� �% で定義された関数

��$�� �% & � �

���1 ��� ' ����

は対数ポテンシャル(の密度関数)である.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

0

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

図 ����( ��$�� �� � �% (対数ポテンシャルの平行移動)のグラフ

問 ����� 9 � とする.

�����

����� ���

��$�� �% ����

の収束を確かめよ��.

問 ����� �$�% を � � � で連続な関数とする.� � で ��)級の �$�% が

��

���

���$�%

�& �$�%� � � � � � $����%

��原点を極とする極座標で表せば

� "���

��

� �

��&'������

の収束を論ずることになる.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

�$�% & �� �$�'% & �����

�$�% が存在する

を満たすならば,

�$�'% & �����

�$�% � �1 � �� $����%

である��.�$�% が満たす微分方程式が $����% ではなくて,� � � として,

�����

��

�����

���$�%

�& �$�% $����%

ならば,$����% はどう変るか��.

命題 ����� �$�� �%は平面内の領域 +において調和であるとする.$��� ��% �+ とし,この点を中心とする半径 + � の円板が + に含まれるとする.こ

のとき,

�$��� ��% &�

��

��

�$�� ' + ��� �� �� ' + ��� �% �� $����%

が成り立つ.すなわち,調和関数の値は,その点を中心とする円周上での関

数値の平均になる��.

.証明/ 点 $��� ��% を極,� & �� を始線とする極座標を $�� �% とし,�$�� �% &

�$�� ' � ��� �� �� ' � ��� �% および �$�% &�

���1

+とおく.9 � を十分小

さくとって, 領域

+��� & �$�� �%6 9� � �� �� � ' � � �� � � +�� +

において,9� & �,9� & � であり,また,

9� � � � � �9� &

��

���

��� � � � � � � �

���

�'

���

��

��

��� � � � � � �

���

だから,� & + で � & � となることに注意すると,

� &

���

�9� � � � � �9�� ����

&

��

��� � � �

���

�������

����

��� � � � � � � �

���

��������

���

��!��� ��* � とすると,

��

���

���

�! � �

��

���

��!

��

��

��

��� � ! � � � �

��!

��

となる.��� � � として

����� �

�� �

� �

����� ���

となる.詳細は ������ の導出と基本的には同様である.ただし,!��� ���� ��

��� � �� を��* � の代わりに考察する.

�������� を調和関数の平均値原理ということがある.

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���� 円板領域と変数分離解 ��

が導かれる.9� � として,$����% を得る. .証明終/

次に掲げる最大値の原理は $����% の帰結である.

命題 ����� 連結開集合 + における調和関数 �$�� �% が $��� ��% � + で最

大値 � をとるならば,実は,+ において �$�� �% �� である.

.証明/ + � が十分小さければ,中心 $��� ��%,半径 + � の円周は,その

内部をこめて, + に含まれる.$����% から,この円周上で �$�� �% の値は �

でなければならないことがわかる.したがって,�$�� �% が最大値 � をとる

点から成る集合 + & �$�� �% � +6�$�� �% & �� は + の開部分集合である.

一方,+ は,�点集合 ��� の連続関数 � による逆像,+ & ���$���%2でもあるから,閉集合でもある.すなわち,+ の連結性から,+ & + であ

る. .証明終/

����� ������� の公式

+� �� を,原点 � を中心とする半径 6 � の開円板とする.このと

き,境界 �+� は中心 �,半径 6 の円周である.(境界 �+� の近くで)予め

与えられた関数と �+ 上で値が一致するような調和関数を求めよう.すなわ

ち,極座標で表せば,この境界値問題は,与えられた周期関数 �$�% から���

���'

��'

����

���

��$�� �% & �� � � � � 6� � � � � ��

�$6� �% & �$�%� � � � � ��

$����%

となるような関数 �$�� �% を求めることになる.ただし,直交座標では原点で

もなめらかであると考えるから,� � � のときに �$�� �% は収束するものと

する.

命題 ����� $����% の解は

�$�� �% &�

��

��

6� � ��

6� � �6� ���$� � �% ' ���$�% ��

� � � � 6� � � � � ��

$����%

で与えられる.$����% は ������� の積分公式とよばれる.

.証明/ まず,�$�% は周期 �� の関数と考えることができるので,7�� � 級

数に展開しよう:

�$�% &�

��� '

�����

��� ��� �� ' �� ������ $����%

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

ただし,

�� &�

��

��$�% ��� �� ��� � & �� �� �� � � �

�� &�

��

�$�% ����� ��� � & �� �� � � �$����%

である.そこで,境界値が ����� または ����� であるような調和関数を要

素解として,これらを重ね合わせると,� � 6 のとき,

�$�� �% &�

��� '

�����

�6

����� ��� �� ' �� ������

が得られる.$����% と余弦関数の加法定理より,

�$�� �% &�

��

��

� ' �

�����

�6

����� �$� � �%

��$�% ��

となる��.一方,� � 6 ならば,

� ' ������

�6

����� �$� � �% &

6� � ��

6� � �6� ���$� � �% ' ��$����%

は容易に示される. .証明終/

問 ����� $����% を検証せよ�.

例 ����� � � + � 6� � � � �� とする. 境界値

�$�% & � �

���1�6� � �6+ ���$� � % ' +�

�$����%

に対して,$����% の解を �$�� �6 +� % とすると,

�$�� �6 +� % & � �

���

��

$6� � ��% �1$6� � �6+ ��� � ' +�%

6� � �6� ���$� � � �% ' ����

と表される.特に,

&�$�� �6 +� % & � �

���1��� � ��+ ���$� � % ' +�

�� �$�� �6 +� % $�����%

とおくと,&�$�� �6 +� % は �� � の関数として,$�� �% �& $+� % において,調

和であり,さらに,境界値は

&�$�� �6 +� % ��� & � $�����%

となる.��積分記号と総和記号の交換は � � ( の基づく.� ����� � �� が ������� の実数部分であることを利用して左辺を処理せよ.問 ����� 参照.

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���� 円板領域と変数分離解 ��

注意 ����� 現実には &�$�� �6 +� % を例 ����� のように計算するのは得策

ではない.点 *$+ ��� � + ��� % を円 +� に関して反転した点 *� を考えよ

う.*�$+� ��� � +� ��� %,+� &6�

+である.したがって,

�$�� �6 +� % & � �

���1

��� � �

6��

+���$� � % '

6�

+�

�'

���1

6

+

である��.したがって,

&�$�� �6 +� % & � �

���1

6�$�� � ��+ ���$� � % ' +�%

��+� � �6��+ ���$� � % ' 6�

となる.

さて,+� で与えられた有界連続な関数 � に対し,�9� & � を +� で満

足し,境界 �+� の上では消える(つまり,値が � となる)ような有界連続

な関数 � を求めよう.すなわち,(極座標で表せば)境界値問題���

���'

��'

����

���

��$�� �% & ��$�� �%�

� � 6� � � � � ��

$�����%

�$6� �% & �� � � � � �� $�����%

を考えることになる.� � 9 � 6� + とし,

+��$+� % &

$�� �%6

$� ��� � � + ��� %� ' $� ��� � � + ��� %� 9��

� � � � 6� � � � � ��

とおく.+��$+� % は,開円板 +� から中心 $+ ��� � + ��� %,半径 9 の閉円板

C�$+ ��� � + ��� % を取り除いて得られる領域を表す.特に,&$�� �6 +� %は,

+��$+� % において調和である.一方,+�

�$+� % の境界は �+� (を反時計廻

りに向き付けたもの)と C�$+ ��� � + ��� % の周 �C�$+ ��� � + ��� %(を時

計廻りに向き付けたもの)からなる.

� & �$�� �%� � & &�$�� �6 +� % として,

9� � � � � �9� &�

��

��

��� � � � � � �

���

�'

��

��

��� � � � � � �

���

に , � の定理�� を適用しよう.

������ � の解は後述の注意 ����� と同様にして一意に定まることがわかる.��(���(直交)座標系では)定理の主張はつぎの通り:平面領域 � の境界 �� は区分的になめらかで,正(左手に � の内部があるよう)に向き付けられているとする.) ��� ��� *��� ��が � � �� で連続,� で微分可能ならば,��

��

��) ��� �� �

��*��� ��

����

���

�) ��� �� �� �*��� �� ���

がなりたつ.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

+��$+� % では9� � � � � �9� & �� � � であり,�,� のいずれの境界値も

境界 �+� で消えるから,

���� �

� � � ����

& ��!��� ��� �� ��� �

� ���

��� �� � �

��� ��

'

�!��� ��� �� ��� �

� ���

��� �� � �

��� ��

� $�����%

である. $�����% の整理のために,$��� ��% & $+ ��� � + ��� % を極.� &

を始線とする極座標�� $��� ��% を利用する.$�����% 左辺は,9� � のときに

収束し��,したがって,積分範囲を +� に改めてよい.�C�$+ ��� � + ��� %

では�

��� �� � �

��� �� & 9

���� ���

だから,特に,

9�

���� & � �

��� 9

����

であり,したがって,$�����% 右辺第2項は

�����

�!��� ��� �� ��� �

� ���

��� �� � �

��� ��

�& ��$��� ��%

となる.$�����% 右辺第1項は

9

��

�$�1 9'�%

����

����

となり,これは 9� � のとき,� に収束する.

ここまでの議論をまとめて,次の命題を得る.

命題 ����� �$�� �% は � に関し周期 �� の関数で,� � � � 6� � � � � ��

について連続とする.境界値問題 $�����%$�����%の解 �$�� �% は

�$+� % &

��

&�$�� �6 +� % �$�� �% ��� $�����%

で与えられる.ここで,&�$�� �6 +� % は $�����% で定めたものであり,この

境界値問題の , � 関数とよばれる.

言うまでもないことではあるが,$�����% や $�����% は極座標の代わりに直

交座標でも表せる.円板 +� の代わりに,なめらかな境界 �+ を持つ平面領

���� �

�� � +� � ��+ ���� � ,�� �� �

��+�� ��� � ,� となる.

��問 ����� 参照.� が �� で有界であれば十分である.

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���� 円板領域と変数分離解 ��

域 + �� において微分方程式を考察する場合は,一般には,+ に即した座

標系はないから,�� の直交座標を使わざるを得ない.まず,�+ (の近傍)

で与えられた任意の関数 �$�� �% に対し,�+ での境界値が �$�� �% と一致す

るような + における調和関数 �$�� �% が求まるとしよう:9 �$�� �% & �� $�� �% � +

�$�� �% & �$�� �%� $�� �% � �+ $�����%

+ 内部の点 $��� ��% をとり,�$�� �% & ��� �1�$�� ��%� ' $� � ��%�� を境界

値とする + における調和関数を求め,�$�� �6��� ��% と名づけよう.そこで,

& $�� �6��� ��% & � �

���1�$�� ��%

� ' $� � ��%�� ��$�� �6��� ��% $�����%

とおくと,これは $�����% に相当し,+ における境界値問題�9 �$�� �% & �$�� �%� $�� �% � +

�$�� �% & �� $�� �% � �+ $�����%

の , � 関数である.ここで,�$�� �% は,+ において積分可能な連続関数

とする��.したがって,命題 �����の $�����% を導いたのと全く同様に,境界

値問題 $�����% の解 �$�� �% は

�$��� ��% &

& $�� �6��� ��% �$�� �% ����� $��� ��% � +� $�����%

と表される.

注意 ����� $�����% が解を持つかどうかは明らかなことではない.しかし,

1階偏導関数が + において二乗可積分であるような解はせいぜい1個しかな

い.実際,�$�� �%� �$�� �% が共通の境界値 �$�� �% をとる $�����% の解とす

れば,両者の差のエネルギー積分

�$�� �% &

��

��$� ��%

��

'

��

��$� � �%

���

����

が消えるからである��.したがって,� � � は定数となるが,境界で � にな

るから,� � � & � とならなければならない.

問 ����� $�����% の導出を確かめよ.

������ �� に課せられるべき条件については別に論ずることにする.��実際,被積分関数は

��

��� � !�

����� !�

��

��

��� � !�

���� � !�

� �� � !��, � �,!�

と書き直せるが,最後の項は消え,残りは -���� の定理により,境界 �� の上の積分になる.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

問 ����� + は半平面 �� & �$�� �%6 � �� とする.�$�� �% が有界連続の

とき,$�����% の解は

�$�� �% &

��

$�� /%� ' ���$/� �% �/� � �� $�����%

で与えられる��.

問 ���� 2 � とする.

�$�� �% & � �

���1$�� ' 2�%

に対しても $�����%の �$�� �% は定義できることを確かめよ.この �$�� �% と

�� における関数

� �

���1��� ' $� ' 2%��

との関係はどうか.

問 ����� + & �� に対する境界値問題 $�����% の , � 関数として

&$�� �6 /� 2% & � �

���1

$�� /%� ' $� � 2%�

$�� /%� ' $� ' 2%�$�����%

が選べることを示せ.このとき, $�����% の �$�� �% が $�����% の収束のため

に満たすべき条件を論ぜよ.

����� ������� 問題

さて,境界条件としては境界値を指定する代りに,境界における法線方向微

分を指定することも考えられる.例えば,円板 +� の内部の調和関数 �$�� �%

を,円周 �+� における動径方向微分が(予め与えられていた)関数 4$�% と

一致するように決定する:すなわち,有界な �$�� �% を�������

9 �$�� �% & �� � � � � 6� � � � � ��

���$�� �% & 4$�%� � & 6� � � � � ��

$�����%

から解くという問題は一例である.この問題は ������ 問題といわれる.

���� ������.�� � � � ��� に注意せよ� � � � のとき, �������の右辺の積分が収束し,しかも,�� � に関して ���級であることは明らかであろう.さらに,被積分関数は �� �

の調和関数であることも容易にわかる.境界条件の検証は,� � � のとき ���� �� � ���� ��となることを示せばよい.そのためには,

���� �� � ����

� ��

��

��� -�� � �����-���� ���� ����-

の成立に注意し,ついで,積分変数を . �- に改めてみよ.

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���� 円板領域と変数分離解 ��

命題 ����� $�����% が解を持つためには

��

4$�% �� & � $�����%

の成立が必要である.

.証明/ �$�� �% � � として,, � の公式

���

��

�9 � �� � � �9 �� �� & 6

��

��� �� � � � �

���

���

を利用する.左辺は消え,右辺の整理から $�����% が従う. .証明終/

例 ����� 4$�% & ��� �� または 4$�% & ��� �� (� & �� �� � � �)として,$�����% の解を求めよう.$����% を考慮すれば,求める解は

�$�� �% &6

�6

������� または

6

�6

�������

である.

この結果より,4$�% が

4$�% &�����

��� ��� �� ' �� ������ $�����%

と 7�� � 級数展開される��ならば,$�����% の解 �$�� �% は �� を任意の定数として,

�$�� �% & �� '�����

��

6������ ����� ' �� ������

と表されるはずである.以下,命題 ����� を導いたのと同様に考えよう.

まず,次のことに注意しよう.

補題 ����� � � � � � とする.

�����

�������

�& ��

��1$�� �� ��� � ' ��% $�����%

である.

.証明/ � � � � �� � � � � �� において,この級数は(広義一様)収束する.

この級数の定める関数を -$�� �% とおこう.-$�� �% & � �1$� � �% は明らか

であろう.また,�

��-$�� �% & �

�����

�� �����

�������� 参照.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

である.右辺は,

>�����

���"��

& >��"

�� ��"

の実数部分だから,

��-$�� �% & � � ��� �

�� �� ��� � ' ��� -$�� �% & � �1$�� �%

を得る.これを解けば,$�����% が出る. .証明終/

以上をまとめて,次を得る.

命題 ����� � � � � 6 とする.

� $�� �% & � 6

���1

��� �

6��� � '

��

6�

�$�����%

とおく.$�����% のもとで,������ 問題 $�����% の解は

�$�� �% & � '

��

� $�� �� �% 4$�% ��� � � � � 6� � � � � ��� $�����%

と表される.

�� ����問題 $����%と������問題 $�����%の関係を調べよう.�������

の積分公式 $����% を熟視すると,

�$�� �% &�

��

��

6� � ��

6� � �6� ���$�% ' ����$�' �% � �$�%� ��' �$�%

がわかる.これは,境界 �+� における動径微分の計算の際に予想される積

分の特異性の処理に有効であると期待される.特に,�$�% の 7�� � 級数展

開に対する効果をみるために �$�' �% � �$�% を ����$�' �% � ��� �� または

����$�' �%� ����� で代替した積分を考えると,被積分項に ����� を含むも

のは � の奇関数の積分としていずれも消えてしまうことがわかる.したがっ

て,$����% から,境界 �+� における動径微分の 7�� � 級数展開

���$�� �%

�������

&�����

��

��6

��

�� �����

�� ��� ���

���� ��� �� ' �� ������

が出る.

問 ������ � & �� �� � � � に対し�

��

��

�� �����

�� ��� ��� & �

となることを示せ��.��左辺の積分は,�� � �

� ��� � ���� などにより,複素平面の単位円周 / 上の線積分

��0

��

��� "���

��� "���"

"�

��0

��

�"��� � � � �� ���

"��"

に帰着される.したがって,留数を計算すればよい.

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���� 円板領域と変数分離解 ��

問 ������を参考にすれば,�� ����問題 $����%と ������ 問題 $�����%

は,$�����% のもとで,

4$�% &�

6

�����

� ��� ��� �� ' �� ������ $�����%

によって関係づけられることになる.したがって,7�� � 級数の水準では,

$�����% $�����% を考慮して,与えられた 4$�% の 7�� � 係数 から計算した

�� &6

���� �� &

6

���� � & �� �� � � �

を 7�� � 係数として持つ �$�% を境界値とする �� ���� 問題の解が 4$�%

に対応する ������ 問題の解を与えるのである.

ところで,$�����% 右辺は形式的に

��

� �����

��� ����� � �� �������

&�

��

��

��

�����

����$� � �% �$�% ��

を 6 で除したものとして表される.一方,� � � � � として

�����

�� ����$� � �% &� ���$� � �%

�� �� ���$� � �% ' ��

であり�,しかも ��

� ���$� � �%

�� �� ���$� � �% ' ���� & �

である.したがって,�$�% がなめらかならば,

�����

��� ����� � �� ������

& �����

��

� ���$� � �%

�� �� ���$� � �% ' ����$�% � �$�%� ��

&�

��

��

���$� � �%

�� ���$� � �%��$�%� �$�%� ��

という解釈ができる.$�����% は,かくて,

4$�% &�

��

��

��6

��

���$� � �%

�� ���$� � �%��$�%� �$�%� ��

�$�����%

とかける.

� �������を使え.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

注意 ����� ������ 問題は,+� に替えて一般の領域 + としても設定で

きる.境界 �+ が区分的になめらかであるような有界な + の場合には,命題

����� と全く同様の論法で,$�����% の類比が成り立つことがわかる.

簡単な非有界な例として,上半平面 + & �� の場合を考えよう.

9�$�� �% & �� �� � � � '�� � ��

���$�� �% & 4$�%� �� � � � '��

$�����%

4$�% が直線上で可積分, �� �$�� �% が半平面 �

� 上で可積分ならば,この

場合も, �

��4$�% �� & � $�����%

が成り立つことが必要である.

問 ������ $�����% を検証せよ��.

���� ラプラス作用素の固有値問題

一般の平面領域 + において,�� ���� 境界条件のもとでの固有値問題を

考える.すなわち,

9�$�� �% & % �$�� �%

� � & �$�����%

が定数 % と自明でない(実数値)関数 � によって満たされるとしよう.長方

形領域の場合と同じく,% は固有値であり,対応する固有関数が � である.

補題 ����� 固有値は負の実数 % & �<� � � でなければならない.

.証明/ まず,

% � � � & 9� � � & 4��$� � ��%��� � ��

に注意しよう.したがって,

% & ���

�� � �� ������ �� ����

となる.右辺の分子が消えるのは � � 定数 のときだが,境界条件から � は

自明,� � � となり,� に対する非自明という要請に反する. .証明終/

固有値が異なると,固有関数は直交する.

��-���� の公式の応用である.

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���� 円板領域と変数分離解 ��

補題 ����� ��$�� �%� ��$�� �% はそれぞれ固有値 %�� %� に対応する固有関

数とする.%� �& %� ならば

��$�� �% ��$�� �% ���� & �

となる.

.証明/ , � の公式と境界条件より,

�9��$�� �% � ��$�� �% � ��$�� �% �9��$�� �%� ���� & �

である.ところが,��� �� が固有関数だから,左辺は,

$%� � %�%

��$�� �% ��$�� �% ����

に他ならない. .証明終/

半径 + � の円板 +� の場合を考察しよう.原点を +� の中心とし,原点

を極, �)軸を始線とする極座標で考える.固有値問題 $�����% は,次の形に

なる:

��

����$�� �% '

���$�� �% '

����

����$�� �% & �<��$�� �%��$+� �% & �

$�����%

を満足する < �& � と �$�� �% �& � を求めよ.ただし,�$�� �% は +� において

なめらかであるべきだから,� に関しては,本来,周期 �� であり,極では

特異性が現われない,つまり,� � � のときに,�$�� �% の極限値が存在する

ことを要請しなければならない.

まず,�$�� �% を変数分離型 �$�� �% & 6$�%;$�% として検討しよう.この際,

;$�% は �� だから

;$�% & ����� $� & �� �� �� � � �%または ����� $� & �� �� � � �%

として考える.6$�% については

6$+% & � および �����

6$�% が存在する

ことを要請する.�$�� �% & 6$�%;$�% を $�����% に代入すれば,

6��$�% '�

�6�$�% � ��

��6$�% & �<�6$�%

すなわち

��6��$�% ' �6�$�% ' $<��� � ��%6$�% & � $�����%

が従う.

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�� 第 �章 基本的な線形偏微分方程式

ところで,常微分方程式

�����$�% ' ���$�% ' $�� � ��%�$�% & � $�����%

は,�)次の !�� の微分方程式とよばれ,(変数 � を複素領域まで広げて)詳

しく研究されている.$�����% には正則な解があり,第1種 �)次 !�� 関数

D�$�% とよばれる.D�$�% の詳細な性質に立ち入る余裕はないが,$�����% を

満たす 6$�% は(定数倍を除いて)

6$�% & D�$<�%

と表されることがわかる.さらに,6$+% & � の要請は

D�$<+% & �

となるから,D�$�% の零点の情報から,$�����% の固有値 < もわかる.すなわ

ち,固有値問題 $�����%は,!�� 関数の情報に集約されてしまうのである.

第一種 �)次 !�� 関数 D�$�% の正の零点を � � ��� � ��� � ��� � � � �とする.すると,上の注意から,$�����% の固有値は

�����+

��

� � & �� �� �� � � � � 3 & �� �� �� � � �

となる.対応する固有関数は

D�$���+�% ������ D�$

���+�% �����

である.

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��

第�章 1階の偏微分方程式

��� 1階の偏微分方程式

� を適当な �)次元領域とし,� ��� で定義されたなめらかな実数値関数

1 $�� �� �%� � & $��� � � � � ��% � �� $�� �% & $�� ��� � � � � ��% � ����

が,超曲面 1 $�� �� �% & �において $�% のいずれかに依存している,すなわち,��

���1 $�� �� �%� � � � � �

���1 $�� �� �%

��& $�� � � � � �% $���%

が成立つとする.

このような 1 に対し,� 上の実数値の量(関数)�$�% & �$��� � � � � ��% とその偏導関数 ���$�%� � � � � ���$�% の間の関係が, 1 における �� ��� � � � � ��にそれぞれ �$�%� ���$�%� � � � � ���$�% を代入して

1 $�� �$�%� ���$�%� � � � � ���$�%% & �� � � �� $���%

と表されるとしよう.$���% は �$�% の1階までの偏導関数を含む関数等式で

あり,�$�% についての1階の偏微分方程式とよばれる.� & � ならば,平面

�� から原点を除いた領域 � 上の

���� ' ����� ���� � �����

を 1 とすれば,

�����$��� ��% ' �����$��� ��% & �� �����$��� ��% � �����$��� ��% & ��

は $���% の例になる.

問 ����� � & �� とし,

��� ' ��� � � �とおく.$���% に対応する1階偏微分方程式を求めよ�.

�求める方程式は����� ���������� ��� � ������� ��� �

である.非粘性 %)�*��� 方程式という.

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�� 第 �章 1階の偏微分方程式

����� ベクトル場と積分曲線

�)次元領域 + �� において,なめらかな関数 ��$�%� ? & �� � � � � �� を係数とする1階の線形偏微分作用素

� &��

���

��$�%�

���$���%

を考えよう.係数を成分とするベクトル $��$�%� � � � � ��$�%% は,+ にベクト

ル場

�$�% & $��$�%� � � � � ��$�%%と対応する常微分方程式系

<� & �$�% すなわち <�� & ��$�%� � � � � <�� & ��$�% $���%

を定める( < は � & �$�% として ��� を表す).

命題 ����� ベクトル場 �$�% は + 上いたるところ � にならないとする.

任意の � � + に対し,� & � で � (すなわち,�$�% & �)となる常微分方

程式系 $���% の(局所)解 � & �$�% がただ一つ存在する.この解を改めて

� & '$�6 �% とかけば,� & '$�6 �% は + 内の点 � を通る曲線を定める.こ

の曲線はベクトル場 �$�% の積分曲線である.

これは常微分方程式の一般論から従う.ただし,解が �� � � � '� に対して存在するかどうかは + の形状や �$�% の構造に依存することなので,こ

こではこれ以上言及しない�.当分,話を簡単にするために,必要なら + を

さらに制限することにより,+ において ��$�% �& � が成り立つと仮定する.

例 ����� + & �� � ��� �� 上のベクトル場 �$�% & $��� ��% を考える.� &

$��� ��% �& $�� �% を通る積分曲線は

'$�6 �% & $�� �� ��

�%� �� � � � '�

である.特に, �� & �� � �& � の範囲では, � &

����によって,� が消去で

きて, �� &������ となる.

例 ����� + & �� � ��� �� 上のベクトル場 �$�% & $������% を考える.

� & $��� ��% �& $�� �% を通る積分曲線は

'$�6 �% & $�� ��� � ' �� ��� �� �� ��� � � �� ��� �%� �� � � � '�

すなわち,中心が $�� �%,半径が���� ' ��� の円周を描く.特に,$��� ��% &

$�� +%� + �� の近傍で,� が十分に小さいときは,� を消去して �� &���� ' ��� � ��� と表すことができる.�文献,例えば,�����/ を見られたい.

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���� 1階の偏微分方程式 ��

命題 ����� ベクトル場 �$�% において ��$�% & � とする.点 �� � + の近

傍の任意の点 � & $��� � ��% を通る積分曲線を

�� & ��� �� & '�$��� �%� � � � � �� & '�$��� �%�

と表すことができる.特に,�� & ��� の近傍で

$��� ��� � � � � ��% �� $��� '�$��� �%� � � � � '�$��� �%% $���%

は微分同相である.

実際,命題 ����� のパラメータ � によると,�� & '�$�� �% & �' ��� となる

べきだから, � & �� � ��� となり,'�$�� �% 以下にこの � を代入したものを

改めて '�$��� �% などと書き表すことができる.あるいは,��$�% � � より,

����� &

<��<��

&��$�%

�& ��$�%� � � � �

と書くこともできる.$���% は微分方程式系の解だから1対1は明らかであ

る.逆写像の微分可能性はヤコビアン

D$��% &4�

��$��� '�$��� �%� � � � � '�$��� �%%

�$��� ��� � � � � ��%�

&4�

��$'�$��� �%� � � � � '�$��� �%%

�$��� � � � � ��%�

を計算する.D$���% & � であって,さらに,

���D$��% &

�� �����

�����$�%

����������#��� � �

D$��% $���%

だから,D$��% が意味を持つ限り,D$��% � である.したがって,$���% は

局所的な微分同相である.

問 ����� $���% の成立を確かめよ.

$���% の逆写像

$��� ��% �� $��� (

�$��� ���� ��%% $���%

は点 �� の近傍での座標変換 $��� ��% �� $��� �

�% を引起こす.ここで, � は,�� & $��� � � � � ��% のように,添え数が �� � � � � � の部分を表す.

命題 ����� ベクトル場 �$�% において ��$�% � � とする.このとき,�� の

近傍における座標系 $��� ��% で,1階偏微分作用素 � は

���に変換される.

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�� 第 �章 1階の偏微分方程式

実際," $��� ��% を �)座標に引き戻すには �$��� �

�% & " $��� (�$��� ���� �

�%%,あるいは " $��� ��% & �$��� ' �$��� �%% だから,

���" $��� �

�% & �$�%$��� '�$��� �%%

である.

問 ����� $���% $���% において,

'�$��� ���� (�$��� ���� �

�%% & ��� ( �$��� ���� '�$��� ���� �

�%% & ��

が成り立つことを示せ.

問 ����� >� ? & �� � � � � � について,��

���

���'�$��� �

��� �

�%

����� ��$ ����� ����

��

� �

���(�$��� �

��� �

�% & ��

が成り立つことを確かめよ.ただし,

�� &

�� > & ?

�� > �& ?

(クロネッカーのデルタ)である.

問 ����� >� ? & �� � � � � � について��

���

���(�$��� �

��� �

�%

��������#� ���� ���

��

� �

���'�$��� �

��� �

�% & ��

が成り立つことを確かめよ.

つぎの問は命題 ����� の別な表現でもある.

問 ����� > & �� � � � � � について,

���(�$��� �

��� �

�% '��

���

��$��� ��%

���(�$��� �

��� �

�% & �

が成り立つことを示せ.

����� 1階線形微分方程式の局所解

�$�% は + 上の関数とする.偏微分方程式

�$�%$�% &��

���

��$�%�

����$�% & �$�% $���%

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���� 1階の偏微分方程式 ��

を考えよう $ $���% 参照).+ において ��$�% �& � とする.このとき,必要な

ら $���% の両辺を ��$�% で割っておくことにより, ��$�% � � と仮定するこ

とができる.

命題 ����� �$�% は + 上の連続関数とする.1階線形偏微分方程式 $���%

は(局所的に)解ける.

実際,�� の近傍で,命題 ����� で採用した座標系 $��� ��% に $���% を変換

すると�

���" $��� �

�% & &$��� ��% $���%

となる.ただし,

" $��� ��% & �$��� '

�$��� ���� ��%%� &$��� �

�% & �$��� '�$��� ���� �

�%%

である.したがって,

" $��� ��% & " $���� �

�% ' ��

��

&$�� ��% ��

& �$���� ��% '

��

��

�$��'�$�� ��� � ��%% ��

となる.もとの座標系にもどすには,$���% によって,�� & ( �$��� ���� ��% を代入すればよい.

注意 ����� 上の構成により,任意に $�� �%)変数の連続関数 4$��% をとり,

�� & ��� において,

�$��� � ��% & 4$��% $����%

を指定して $���%の局所解が得られることがわかる.しかも,そのような局所解

は一意的である.実際,�$�% & �および�$��� � ��% & �を満足する解は,�� の近

傍で �$�% � �だけである.すなわち,$���%では,&$��� ��% & �� " $�� ��% & �

であり,したがって,微分可能な解は, " $��� ��% & �,もとの座標系で,

�$�% & � しかない.

注意 ����� ��$�% & �$��� � (�$��� ���� ��%% が�$��%$�% & �を満たすことが,

問 ����� を利用すると直ちにわかる.同様に,

��$�% &

��

��

�$��'�$�� ���� (�$��� ���� �

�%% ��

が �$��%$�% & �$�% を満足することも容易に確かめられる.

例 ����� + & � $��� ��% � �� 6 �� � � において,方程式���

���' ��

���

��$��� ��% & �

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�� 第 �章 1階の偏微分方程式

を考える.1 $# % を # の微分可能な任意の関数とする. �$��� ��% & 1 $����

%

は解である.実は,この方程式の場合,原点を極,��)軸を始線とする極座標

�� & � ��� �� �� & � ��� �

が自然な座標系である.事実,極座標に改めると,方程式は

��

��" $�� �% & �� " $�� �% & �$� ��� �� � ��� �%�

となり,解 " $�� �% は � に依存せず,� のみの関数でなければならないこと

がわかる.また,領域 + は �� � �$�� �%� にまで自然に拡げられる.

問 ����� �� � �$�� �%� (の適当な部分領域)において,偏微分方程式���

���� ��

���

��$��� ��% & �

を解け.

��� 1階非線型偏微分方程式

さて,1階偏微分方程式 $���% は,一般的には,�$�% に関する線形性は期

待できない.しかし,解 �$�% の状況については,局所理論が中心ではあった

が,昔から詳しく調べられている.

まず,偏微分方程式 $���%

1 $�� �$�%� ��$�%% & �

の解 �$�% の満たすべき条件を洗い出そう� .�� � � の近くで定義された$��� ��� ��% � � ��� を通る偏微分方程式 $���% とは,� ��� 内の�)次元の部分集合 � & �$�� �$�%� �$�%%61 $�� �$�%� �$�%% & �� であって

1 $�� �$�%� �$�%% & �� �� & �$��%� �� & �$��% $����%

を満たし,しかも,� 上のなめらかな�関数 �$�% が存在して

�$�% & �$�%� �$�% & ��$�% $����%

が成り立つようなものを指す�.当然,$���% が成り立つ(�$�% は解である).

�0+�+��1��/��230�3�������� �� ������� �� ����� ������� �������� �� ��� ���

� �� ��� �� ����� ������� �������� �� ��� � �3 4��/����+23 5��3 ��$� 参照.�少なくとも2回連続微分可能な�もってまわった表現であるが,������と ������の内容の違いをはっきりと意識するためで

ある.特に,������ の第2式は � の座標系の選択に依存する.ただし,ここでは座標変換の効果は追求しない.

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���� 1階非線型偏微分方程式 ��

����� 特性ベクトル場

1階偏微分方程式 $���% の解を求める準備として,1 $�� �� �%から自然に従

うベクトル場

�% $�� �� �% &

��1

���$�� �� �%� � � � � �1

���$�� �� �%�

�����

���1

���$�� �� �%�

� �1

���$�� �� �%� ��

�1

��$�� �� �%� � � � �� �1

���$�� �� �%� ��

�1

��$�� �� �%

�$����%

と対応する1階偏微分作用素

�% &�����

�1

���$�� �� �%

���'

���

���

���1

���$�� �� �%

��

��

���

���

��1

���$�� �� �% ' ��

�1

��$�� �� �%

��

���

$����%

を考えよう.$����% を 1 の特性ベクトル場あるいは ��1 ��1)=�� 0�� のベ

クトル場,$����% を 1 の特性微分作用素あるいは ��1 ��1)=�� 0�� の偏微

分作用素という�. 1 の特性ベクトル場の積分曲線を 1 の特性曲線という.

命題 ����� �% $�� �� �%の特性曲線に沿って 1 $�� �� �%は一定である.すな

わち,

�% $1 %$�� �� �% & �� $�� �� �% � � ����が成り立つ.

実際に,代入計算を実行すればよい.

注意 ����� ��1 ��1)=�� 0�� の偏微分作用素 �% の意味を説明しよう.$���% の解 �$�% が得られているとする.$���% を �� で偏微分すれば,

�1

���'�1

�����'

�����

�1

�������� & � $����%

となる.ここで,�� を通る � 内のなめらかな曲線 � & '$�%� '$�% & ��2 を

想定しよう.� ��� に拡張するために,

E$�% & �$'$�%% & �$'$�%%� � $�% & �$'$�%% & ��$'$�%% $����%

とおこう.パラメータ � で微分すると,

<E &�����

��� <'�� <�� &�����

����� <'� $����%

�いずれも本稿だけでの用語である.

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�� 第 �章 1階の偏微分方程式

となる.$����% の第2式と $����% から

<�� '�1

���'�1

����� &

�����

�����

�<'� � �1

���

�� ? & �� � � � � �� $����%

が得られる.そこで,'$�% が

<'� &�1

���$'$�%� �$'$�%%� ��$'$�%%%� > & �� � � � � �� $����%

を満足しているとすれば,$����% の右辺が消え,左辺は

<�� &� �1

���$'$�%� �$'$�%%� ��$'$�%%%

� �1

��$'$�%� �$'$�%%� ��$'$�%%% ���$'$�%%

? & �� � � � � ��

$����%

となる.また,$����% から, $����% の第1式は

<E &�����

���$'$�%%�1

���$'$�%� �$'$�%%� ��$'$�%%% $����%

と書きなおされる.$����% を考慮すると,� & '$�%� � & E$�%� � & � $�% は,

� ��� 内の

<'� &�1

���$'$�%� E$�%� � $�%%�

<�� & � �1

���$'$�%� E$�%� � $�%%� �1

��$'$�%� E$�%� � $�%% ��$�%

<E &��

���

��$�%�1

���$'$�%� E$�%� � $�%%

> & �� � � � � �� ? & �� � � � � ��

$����%

を満たす曲線,すなわち,ベクトル場 �% の積分曲線,特性曲線である.

例 ����� � & � とし,

1 $�� �� �% & ��� ' �� $����%

を考える.

�% & $�� �� ��� ' �������������%と対応する偏微分作用素

�% & ��

���'

���' $��� ' ��%

��� ���

���� ����

���

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���� 1階非線型偏微分方程式 ��

である.

�% $��� ' ��% & �

の成立は明らかである.また,$/�� /�� F� 2�� 2�% を通る �% の積分曲線は

�� &�

�$2� ' 2�F%�

� ' F� ' /�� �� & �' /��

� & $2� ' 2�F%�' F� �� &2�

2��' �� �� &

2�2��' �

�$����%

で与えられる.したがって,2��' � � となるような � に対してのみ積分曲

線は意味を持つ.

����� 特性曲線の方法による偏微分方程式の局所解の構成

さて,偏微分方程式 $���% を解くという観点からは,�% の積分曲線が微分

形式

G & �� ������

����� $����%

に及ぼす効果を確認することが重要である.$��� ��� ��% の近傍に,パラメー

ター % & $%�� � � � � %% に依存する �)次元曲面

5 ( � & /$%%� � & F$%%� � & 2$%% $����%

$�� & /$%�%� �� & F$%�%� �� & 2$%�%% を考えよう.5 上では,$����% は

G &����

G��$%%�%�� G�

�$%% &�F

�%�$%%�

�����

2�$%%�/��%�

$%%

である.この曲面 5 を通る �% の積分曲線の族を

� & '$�� %%� � & E$�� %%� � & � $�� %%

と表そう $$'$�� %% & /$%%� E$�� %% & F$%%� � $�� %% & 2$%%%%.この積分曲線

族に沿って,$����% は

G & G� ��'����

G� �%�

となる.ただし,

G� & <E$�� %%������

��$�� %% <'�$�� %%

G� &�

�%�E$�� %% �

�����

��$�� %%�

�%�'�$�� %%

$����%

"� 1�� � � � � 1� が独立変数 � ���� � � � � ��� の関数ならば2 � �� 1��� �"���� 0 �� � � � � �

である.2 � を � ���� � � � � ��� について直接示す代わりに,特性ベクトル場と相性がよく,しかも � に変換できる変数系で試みる.

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�� 第 �章 1階の偏微分方程式

である.まず, G� & � となることは $����% から直ちにわかる.G�� 3 � ��

を調べよう.

<G� &�

�%�<E$�� %%�

�����

<��$�� %%�

�%�'�$�� %%�

�����

��$�� %%�

�%�<'�$�� %%

に注意して, $����% を適用すると,

<G� &�����

���1

���$'$�� %%� E$�� %%� � $�� %%%

�%���$�� %%

'�1

���$'$�� %%� E$�� %%� � $�� %%%

�%�'�$�� %%

'�1

��$'$�� %%� E$�� %%� � $�� %%%

�����

��$�� %%�

�%�'�$�� %%

となる.右辺をさらに整理し,命題 ����� を利用しすると,

<G� '�1

��$'$�� %%� E$�� %%� � $�� %%%G� &

�%�1 $/$%%� F$%%� 2$%%%

3 & �� � � � ��$����%

が得られる.

以上を次のようにまとめられる.

命題 ����� �)次元曲面 5 の上で,1 $�� �� �% &定数 とする.5 上で微分

形式 G & � ならば,5 を通る特性曲線族の上で G & � である.

例 ����� 例 ����� を再度取り上げる.微分可能な関数 $%% を予め選んで

おく./� & %� /� & �� F & $%%� 2� & �$%% とし,2� & �$%% $%% として,$����% の積分曲線を考える.このとき,

�� & '�$�� %% & $%%�' %� �� & '�$�� %% & �� � & E$�� %% & $%%�

�� & ��$�� %% & �$%%

�$%%�' �� �� & ��$�� %% & � $%% �$%%

�$%%� ' �

となる.一方,2� の選び方より,1 $/� F� 2% & � である( $����% 参照.).

� & � として $����% を扱うことになるが,� & � において G� & � だから,

積分曲線が意味を持つ限り,G� & � である.一方,ヤコビアンは

�$��� ��%

�$�� %%&

� $%% �$%%� ' �

� �

だから, �$%%�' � �& � ならば,�� % を ��� �� で

� & ) $��� ��%� % & >$��� ��%

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���� 1階非線型偏微分方程式 ��

と表すことができる.さらに,

�$��� ��% & $>$��� ��%%

とおけば,

�$��� ��%�

����$��� ��% '

����$��� ��% & �� �$��� �% & $��%

の成立がわかる�.

問 ����� $%% & ���� �� � % � '�� として,変換 $�� %% �� $��� ��%

について論ぜよ.

例 �����の議論を一般化すれば,偏微分方程式 $���% の(局所)解の構成が

できる.

命題 ����� 点 $��� ��� ��% において,

1 $��� ��� ��% & ���1

���$��� ��� ��% �& � $����%

とする.このとき,適当ななめらかな関数 �$�% が � & �� の近傍で

1 $�� �$�%� ��$�%% & �� �$��% & ��� ��$��% & ��

を満足する.

実際,$����% により,適当ななめらかな関数 �$�� �� ��%� �� & $��� � � � � ��%�によって,$��� ��� ��% の近傍で,1 $�� �� �% & � と

�� & �$�� �� ��%� ��� & �$��� ��� ���%�

とが同値になる.また,必要なら平行移動によって,��� & � と仮定できる.

��� & $���� � � � � ���% & %� の($� � �%)次元)近傍で定義されたなめらかな関

数 ��$%%� % & $%�� � � � � %���%� を(任意に)とる.�� & $��� � � � � ��% & �� と

して,

��$%% & �$�� %� ��$%%� ����$%%%

とすれば,

1 $�� %� ��$%%� ��$%%� ����$%%% & �

である.そこで,

� & $�� %%� � & ��$%%� � & $��$%%� ����$%%%

�ただし,,������ � � � に相当する条件の制約があり,一般には局所的にしか意味のない解である.

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�� 第 �章 1階の偏微分方程式

を通る �% の積分曲線を

� & '$�� %%� � & E$�� %%� � & � $�� %%

とすれば,$����% により,

G� & �� 3 & �� �� � � � �� & �� ��

である.ところで, $��� ��� ��% で,ヤコビアン

�$'$�� %%%

�$�� %%

��������&�� ��

&

� �

�%���

$��� ��� ��% � � �� � � � � � ���� � � �

������

� � �� � �

� � � � � � � � �

�!!!!!!!!�

は正則だから,この点の近傍で,� & '$�� %% から �� % を � の関数として

表せる.したがって,E$�� %% を � の関数 �$�% に変換できる.この �$�% は

$���% を $��� ��� ��% の近傍で満たすとともに,

�$�� ��% & ��$��% $����%

を満足する.

問 ����� & $��� ��� ��%� $��� ��� ��% � ��� であって,

��� � ��� � ��� & �� $�� ��� ��% & 2��� ' 2���

をみたすものを求めよ.ただし,2�� 2� は,2�� ' 2�� � であるような定数

とする�.

例 ����� 1階の偏微分方程式に対して,特性曲線の方法が常に簡便とは限

らず,また,よい解を導くとも言えない.

1 $��� ��% & ��� ' ��� � �

�� ��� "� 1� 1�� � 1�� � 1�� である.3� �

3�� � 3�� とすれば,3�� � 3�� � 3�� � とな

る.特性曲線は

�� �3�� ��

3�� � 3���� �� -� � �3��� �� -� � �3��

したがって,�� -�� -� を ��� ��� �� で表すと

� ��

��

3�� � 3��

� -� �� 3����3�� � 3��

� -� �� 3����3�� � 3��

となり,

,���� ��� ��� -�3� � -�3� ��3� � ��3� �

3� � 3�� ��

が求める解である.検算も容易である.

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���� 1階非線型偏微分方程式 ��

を考えよう.対応する偏微分方程式は,�$�%� � & $��� ��%�はなめらかとして,���

���$�%

��

'

���

���$�%

��

� � & � $����%

である.特性ベクトル場は,��� ' ��� & � として,$���� ���� �� �� �%� だから,

$/%� / & $/�� /�%� について,1 $ '� � '�% & � ならば,$/�� /�� � '�� '�% を

通る特性曲線を考えた上で,

�� & � '�$/%� ' /�� �� & � '�$/%� ' /��

から, / を �� � の関数として表し,� & ��' $/% に代入すれば,� & �$�%

が得られるはずである.ここで,例えば,

$/% &"/�� ' /�� $����%

とすると,

�� & '�$/%$��' $/%%� �� & '�$/%$�� ' $/%%�

したがって,

� & ��' $/% & �"��� ' ��� $����%

となる.この解は $��� ��% & $�� �% においてなめらかさを失う.一方,

$/% & $����%/� ' $����%/� $����%

ならば,

/� & �� � �$����%�� /� & �� � �$����%�

だから

� & �$�% & $����%�� ' $����%�� $����%

となる.この解は,すべての � に関してなめらかである.解 $����% は変数

分離法でも得られる.すなわち, �$�% & �$��% ' �$��% を想定し,$����% に

代入すると,��$��%� ' ��$��%� & � だから,

��$��%� & �� ��$��%� & �� & 定数

となる.ここで,� & ���� とおくことができる.

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��

付 録� 補遺としての種々の話題

偏微分方程式の実際上の取り扱いで重要な話題でありながら,余りにも技術

的過ぎるという印象を与えるものがいくつかある.いずれも何らかの意味で

合理的な計算の遂行に関わることであるが,それゆえ,体系性が見えにくい.

付録としてまとめる所以である.

��� 偏微分方程式を扱うための道具立て

偏微分方程式は基本的に古典的な微積分学の言葉で記述される.しかし,

独立変数や従属変数の数も多く,関係する偏導関数の階数もさまざまである.

したがって,表現が煩雑にならないように記法上の規約を設けることは重要

なことである.

����� 記号と規約

議論が �)次元 ?���4 空間 �� の部分集合� で行われていれば,� の一般の点を $��� � � � � ��% という � 成分の座標で表すことができる.このとき,導

関数は座標を利用して計算できる.微積分の教科書などで,偏微分の順序が

重要であるとして,麗々しく,

���

��

����$��� ��%

��& �

���

��

����$��� ��%

となるような �$��� ��% と点 $��� ��% の例が挙げてある.しかし,なめらか

な関数に対しては偏微分をする順序は導関数の値に影響しない.われわれは

今後必ずしもなめらかではない「関数」も考察の対象にするけれども,その

場合,偏微分についてその順序が結果に影響するかもしれない解釈を採用し

なければならないことだけは当面排除したいと考えている.なぜか.偏微分

をするということを,作用素(あるいは演算子)として把握したいからであ

る.特に,�� に関する偏微分が � あり,� � � �� に関する偏微分が � あると

き,その順序がどうであれ,皆同じ表現

�����

��� � � �����を用いられるためには,偏微分の結果が順序に関係しないことが重要だから

である.

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

さて,座標系が特定されているときは,$��� � � � � ��% で表される点を � と

かき,

�� &�

���� � � � � ���� &

��

������� � � �

などと略記�しよう.さらに,

�� & ���� � � ���� &

�������

����� � � �����

� � & $��� � � � � ��%� $���%

という簡便な表現も多用する.ここで,� & $��� � � � � ��% は(�)次元の)多重指標と呼ばれる.�� の階数は �� ' � � �' �� であるが,これを

� & �� ' � � �' �� $���%

とかき,多重指標 � の長さという.また,$���% に対応して,

�� & ���� � � ���� $���%

とかくこともある.多重指標は一般的な記法として便利である.

多重指標の比較は辞書式の順序 � で行う.すなわち,� & $��� � � � � ��%,A & $A�� � � � � A�% に対し,

� � A ��

�������������������������

�� A�

または

�� & A�� �� A�

� � ��� & A�� � � � � ���� & A���� �� A�

または

�� & A�� � � � � �� & A�

$���%

という順序を定めることができる.

問 ����� �� A� B は多重指標とする.次の関係式を確かめよ.

� � �

� � A� A � � &� � & A

� � A� A � B &� � � B

さて,� � A に対し,多重指標の差

�� A & $�� � A�� � � � � �� � A�% $� � A% $���%

も多重指標になる.�座標系を示唆する

��� � � � � � ����� � � � �などの表現の意味も明らかであろう.

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���� 偏微分方程式を扱うための道具立て ��

問 ����� �� A は多重指標とする.

��$��% &

���

�@

$�� A%@����� � � A

�� それ以外$���%

である.ここで, �@ & ��@ � � ���@ は多重指標の階乗を意味する.

一方,多重指標の和

�' A & $�� ' A�� � � � � �� ' A�% $���%

は順序の制限なしに定義される多重指標である.

����� ������ の公式と微分作用素

なめらかな二つの関数 �$�% と �$�% の積 �$�% � �$�% の偏導関数は

����$�% � �$�%� & ���$�% � �$�% ' �$�% � ���$�%������$�%�$�%� & ����$�% � �$�% ' ����$�% � ���$�% ' �$�% � ����$�%�

������$�%�$�%� & �����$�% � �$�% ' ���$�% � ���$�%'���$�% � ���$�% ' �$�% � �����$�%

� � �

と計算される.

命題 ����� 一般には,

����$�%�$�%� &����

��

A

������$�% � ���$�% $���%

が成り立つ�.ただし,� � A に対し,��

A

�&

�@

A@$�� A%@$���%

である�.

�これを �� #� � の公式ということがある.������ を多項係数 ということがある.多項定理は

��� � � � �� ���� #6

������

��

46� � ���� � � � � ����

の形に表される.� � ならば2項定理に帰着する.

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

�)変数 / & $/�� � � � � /�% の �)次多項式

*$/% &�����

�� /� $����%

において各 /� を �� で置き換えれば,偏微分作用素

*$�% &�����

�� �� $����%

を得る.

問 ����� A は(長さが � 以下の)多重指標とする.

*���$/% & ��' *$/% &�����

�� ��' $/�%

は $� � A %)次の多項式である.

問 ����� なめらかな関数 �$�%� �$�% に対し,

*$�%$�$�%�$�%% &�����

A@*���$�%$�$�%% ���$�%

が成り立つ�.

さて,$����% の係数 �� が � になめらかに依存するとき,*$/% を

*$�� /% &�����

��$�% /� $����%

とかき,また, / に � を「代入」して

*$�� �% &�����

��$�% �� $����%

とかくことができる.*$�� �% は偏微分作用素,すなわち,本来なめらかな

関数 �$�% に働いて, �����

��$�% ���$�%

として意味を持つものである.��$�% �& � となる � & � があれば,$����%

は確かに �)階の偏微分を含む.このとき,偏微分作用素 *$�� �% の階数 は

�,あるいは,*$�� �% は �)階という.一方,$����% に基づけば,当然,多

重指標 A に対し,*���$�� /% & ��'*$�� /% となる.したがって,

*���$�� �% &�

��������

�@

$�� A%@��$�% �

��� $����%

�命題 ����� の応用である.一般化された �� #� � の公式とよばれることがある.

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���� 数式処理ソフトによる偏微分演算 ��

である.また,

��$*$�� �%$�$�%%% &���(

�����

A@

$A � B%@B@$���(��$�%%��(�$�%

となる.そこで,

*���$�� /% & ��*$�� /% &�����

$����$�%% /� $����%

とかけば,

��$*$�� �%$�$�%%% &���(

�A

B

�*���(�$�� �%$�(�$�%%

と表される.

��� 数式処理ソフトによる偏微分演算

偏微分演算は関与する変数も多く注意深い丹念な計算が必要である.みず

から頭と手を働かせてのこのような計算は,問題そのものに対する数学的な

実体験の獲得上欠かせないものではある.しかし,検算や予測の手段として,

数値計算だけではなく,形式的な演算のかなりの部分が計算機の助けを借り

て実行できるのである.この講義は計算機の利用を前提にはしておらず,ま

た,特定のソフトを強調するわけにはいかないものの,実際に,計算機を利

用して,記号処理としての偏微分演算の有効性を A�0 � � によって示して

おく.

����� 基礎となる偏微分演算

まず,偏微分階数の多重指標に相当する自然数のリスト� & .��� � � � ���/,

変数のリスト ' & .��� � � � � ��/ 及び偏微分すべき関数の記号 � が与えられ

たとき,�$��� � � � � ��% の偏導関数��

����

� � � ��

����

�$��� � � � � ��%

を記号として出力するプロシデュアを掲げる.

プロシデュア ����� 変数(のリスト) � の関数 � に対する階数(のリス

ト) � の偏導関数の計算は

� ������������� �� ����� ����

�7+��� $ は 8+������ 7+��� 5�� の登録商標である.ちなみに,以下は(このノートの時点では最新の) 7+��� 7 でも動く(から,多分,7+��� �� � � � でも可ならむ).

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

� ���� �� ������ � �

� ������� ��� � ���� � �� ��� �� ��

� �� ������ ���� ���� ����� ��� ��� ���

� ��� ���

� �������� ��������������� �����

� ��� � ���� � �� ��� �� ��

� ������������������������ ��������

� ��� ���

� ������

� ����

で実行できる.

このプロシデュアの鍵は �$'�� � � � � '�% を

� �������� ��������������� �����

とおいてから,変数 ���� に対する ����階偏導関数を計算するコマンド

� �������������� �����

を利用することである.計算を反復させるために,プロシデュア内では演算

結果を改めて ����� とおいている.このコマンドだけでは ����& � の場合

に対応できないために ���� � を満たす添え数の集合 � を作り,� に属す

る添え数についてだけ上のコマンドを使うようにしてある.このために,こ

のプロシデュアは � を含むやや複雑な構造になった.なお,��� はリスト

に対しては成分の個数を示す.

つぎに,プロシデュア ��� の使用例を挙げる.

例 ����� �$�� �% を $�� �%)階,すなわち,全く偏微分しないものと,$�� �%)

階,すなわち,� に関する1階の偏導関数を与えている.

� !����������"�#����!�����������"�#�����

� !����������"�#����!�����������"�#����$

04�$.�� �/� .�� �/� �% & �$�� �%� 04�$.�� �/� .�� �/� �% & ��� �$�� �%

なお,ここでは,偏導関数の $�� �% での値を表す記号になっていることに注

意してほしい.

プロシデュア ��� を利用して,係数 5���$�%� � � � � 5�� �$�% と階数の多重指

標 ����� � � � � ��� � から偏微分作用素

�����

5���$�% �����

を生成するプロシデュアを与えることができる.

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���� 数式処理ソフトによる偏微分演算 ��

プロシデュア ����� データは,係数のリスト %��%��������%�&��,多重

指標(階数)のリスト '��'��������'�&�� および変数(のリスト)� と関

数の記号 � である.係数は � の関数として扱われる.

� ()*�����%���� ��'���� ������� ����

� ���� ��+�������,�-�

� �� ��� %�.���� '� ���� /012/&34�� �����3� ��� ���

� ������ %��

� ,�� ��������������� ����

� ��� + ���� � �� � ��

� -�+���%�+�,�5���'�+������

� ��� ���

� ������# ��-������������,��

� ����

出力は,� から対応する偏微分作用素を � に施したものの � での値への写像

である.

プロシデュア中の ��� %����� '� は,係数の個数と多重指標の個数

が一致していない場合を排除するためである.ただし,ここでは,' の成分

である多重指標がすべて同じ次元であるかどうかの判定はしていない.プロ

シデュア中の , はリスト � の成分を関数の独立変数として利用するために掛

けている手間である.-�+� は,係数 %�+�,�,(つまり,, での値)と多重

指標 '�+� 階の �,� の偏導関数との積であり,これらの和(, での値)を

計算してから,������# というコマンドによって,, に計算結果を対応させ

る写像として,最終的に出力させている.

計算例をいくつか挙げる.

例 ����� 2変数の例である.係数の関数を 5���� 5��� は,それぞれ,変数

の組の第1,第2成分への射影として与えてある.

� %�����"�#�6�"�%�7���"�#�6�#�

� !()*�%����%�7�������������������������!

� �()*�%����%�7�������������������������$

��B$.5�� 5�/� ..�� �/� .�� �//� .�� H/� �% & $$�� H%� � 4�C$�$�� H%� �% ' H 4�C$�$�� H%� H%%

すなわち,

$�� H% �� ��

���$�� H% ' H

�H�$�� H%

が出力されている.変数を $�� H% として,()* を実行していることに注意し

てほしい.

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

例 ����� ()*%�'����� は,% をリスト � の成分を独立変数とする関数

と認識するので,% の成分が具体的な関数として与えられていなくても,変

数を補って関数として扱う.

� !()*���4�����������������"�#����!

� �()*���4�����������������"�#����$

��B$.�� �/� ..�� �/� .�� �//� .�� �/� �% &

$$�� �%� �$�� �% 4�C$3$�� �%� �% ' �$�� �% 4�C$3$�� �%� �%%

すなわち,

$�� �% �� �$�� �%�

���$�� �% ' �$�� �%

���$�� �%

が出力される.定数係数を扱うためには,定数値の関数を改めて定義しなけ

ればならない.

� ����"�#�6������� 44��"�#�6�4����

� !()*���4�����������������"�#����!

� �()*����44�����������������"�#����$

��B$.�� �/� ..�� �/� .�� �//� .�� �/� �% & $$�� �%� � 4�C$3$�� �%� �% ' A 4�C$3$�� �%� �%%

つまり,出力結果は

$�� �% �� ��

���$�� �% ' A

���$�� �%

となった.ただし,数値定数の場合は,これらをリスト % にまとめてお

けばよい.

� !()*���������������������"�#����!

� �()*���������������������"�#����$

��B$.�� �/� ..�� �/� .�� �//� .�� �/� �% & $$�� �%� 4�C$�$�� �%� �% ' 4�C$�$�� �%� �%%

すなわち,

$�� �% �� �

���$�� �% '

���$�� �%

が出力されている.

例 ����� プロシデュア ()*%�'�����は � を � の成分を変数とする関数

として認識し,計算結果を � の成分の関数と把え,変数の組から計算結果へ

の写像の形で出力している.したがって,変数の組を与えれば,計算結果を

その変数に対する記号値として表す.

� !()*���4�����������������"�#������ �!

� �()*���4�����������������"�#������ �$

��B$.�� �/� ..�� �/� .�� �//� .�� �/� �%$�� �% & �$�� �% $ ���

3$�� �%% ' �$�� �% $ ��)

3$�� �%%

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���� 数式処理ソフトによる偏微分演算 ��

プロシデュア ()* を使うことにより,いろいろな偏微分作用素を定義し,

記号として計算機上で操作できる.しかし,作用素としての反復や相互作用

の考察には直接 ()* を利用するよりも,()* から作った補助的なプロシデュ

アが便利である.次の例では,いわば,

� & �$�� �%�

��' �$�� �%

��

D & �$�� �%�

��' �$�� �%

��

をプロシデュアとして作っている.

例 ����� まず,1階偏微分作用素 � を

� (�������

� ()*���4�����������������"�#�����

� ����

によって,定義し,ついで,D を

� 8�������

� ()*��������������������"�#�����

� ����

によって定める.しかる後に,�$D$�%%$�� �%�D$�$�%%$�� �% を計算し,9

と置いている.

� 9�� ������#(8���"�#�68(���"�#��$

� (& �$�� �% $ ��� �$�� �%% $ �

�� �$�� �%% ' �$�� �% $ ��� 4$�� �%% $ �

� �$�� �%%

' �$�� �% $ ��

�$�� �%% $ ���

�$�� �%% ' �$�� �% $ ��

4$�� �%% $ ��

�$�� �%%

� �$�� �% $ ��� �$�� �%% $ �

�� �$�� �%% � �$�� �% $ ��� �$�� �%% $ �

� �$�� �%%

� 4$�� �% $ �� �$�� �%% $ �

�� �$�� �%% � 4$�� �% $ �� �$�� �%% $ �

� �$�� �%%

実は,9 は

E & �$�� �%�

���$�� �% ' �$�� �%

���$�� �%

の形をしている. �$�� �% は,すなわち,

� ����9������"�#��"����$

�$�� �% $ ��� �$�� �%% ' �$�� �% $ �

� �$�� �%% � �$�� �% $ ��� �$�� �%% � 4$�� �% $ �

� �$�� �%%

である.�$�� �% は

� ����9������"�#��#����$

�$�� �% $ ��� 4$�� �%% ' �$�� �% $ �

� 4$�� �%% � �$�� �% $ ��� �$�� �%% � 4$�� �% $ �

� �$�� �%%

と計算される.

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

����� 動径方向微分と回転方向微分

やや複雑な作用素,例えば,動径方向微分

���

���' � � �' ��

���$����%

などは,()*%�'����� を利用したプロシデュア化によって,いろいろな計

算を実行できる.係数となる関数のリスト % の第 ?)成分の関数は,変数の

リスト � の第 ?)成分に相当する.これを関数として生成するプロシデュアを

示す.

プロシデュア ����� このプロシデュア ��+ には,変数のリスト � と番号

? を与える.��+ は + が � の成分の個数(��� ��)以下であることを確認

してから,� の全成分を改めて変数 � として整理し,� に �の第 ?)成分 ��+�

を対応させる写像を出力させる.

� ��+���������� ��+���� ����

� ���� ������

� �� +���� �� ���� /012/&3������������� �����3� ��� ���

� ���������������� ����

� �6���+��

� ����

出力例も示しておく.

� !��+�"�#�:��7�!���+�"�#�:��7��

� !��+�"�#�:��7�"�#�:�!���+�"�#�:��7�"�#�:�$

0 F$.�� �� �/� �% & $� � .�� �� �/�%� 0 F$.�� �� �/� �%$�� �� �% & �

写像としてはプロシデュア ��+ の内部パラメータの � が顔を出してしまう

が,$�� �� �% での値を評価すれば第2変数 � になるのである.

プロシデュア ()* に適用するためには,これらを係数関数のリストとして

整理しなければならない.

プロシデュア ����� これは本来プロシデュア ����� と一括して扱われる

べきものである.

� ������������ ��

� ���� ��

� � ����+������������� �����

� ����

��+ の出力結果を列として並べてリストを作っているだけであることは,出

力例

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���� 数式処理ソフトによる偏微分演算 ��

� !���"�#�:��!����"�#�:��$

� 4$.�� �� �/% & .� � .�� �� �/�� � � .�� �� �/�� � � .�� �� �/�/

から明らかであろう.

$����% を ()*%�'����� によって実現するためには多重指標のリスト '

を与えなければならない.' の成分である多重指標は,単位多重指標,すな

わち,いずれかの1成分のみが � で他の成分はすべて � であるようなもので

ある.そこで,& を与えて,& 次元の単位多重指標をすべて羅列するプロシ

デュアをまず掲げよう.

プロシデュア ����� このプロシデュアは &&の2次元配列 ����+�を

対角線成分が �,他は �になるように作り,�番目の単位多重指標 ;���を

��������� � ������&�� として定めて,列 ;����� � ��;�&� を出力する.� <�������&���� ����

� ���� ��+�;���

� ��� � ���� � �� & ��

� ��� + ���� � �� & ��

� �� +�� ���� ����+����

� �� � ����+����

� ��� ���

� ��� ���

� ��� ���

� ��� � ���� � �� & ��

� ;������ ������+��+����&��

� ��� ���

� ��;���������&�

� ����

&& � の出力例は次の通り:

� !<��=�!�<��=�$

G�4�$�% & $.�� �� �/� .�� �� �/� .�� �� �/%

()* は,これら多重指標を成分とするリストを要求するので,<��の出力結

果を � � に入れて利用する.

以上をまとめると,動径方向微分 $����% を生成するプロシデュアを作る

ことができる.

プロシデュア ����� 変数のリスト � と関数の記号 � が与えられたとき,

� ������������� ����

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

� ���� ��+�&�%�'�

� &����� ���

� %�������

� '���<��&���

� ()*%�'������

� ����

は � の成分を変数とする $����% を � に働かせる.出力は ()* 同様写像で

ある.

出力例をいくつか挙げる.最初のものは出力の検証である.

例 ����� ���"�#�:� の例である.

� !����"�#�:����!�����"�#�:����$

�4$.�� �� �/� �% & $$�� �� �%� � 4�C$�$�� �� �%� �% ' � 4�C$�$�� �� �%� �% ' � 4�C$�$�� �� �%� �%%

すなわち,

$�� �� �% �� ��

���$�� �� �% ' �

���$�� �� �% ' �

���$�� �� �%

が得られる.

つぎの例は,��� を �$�� �� �% &��� ' �� ' �� に作用させた計算結果を

示すものである.

例 ����� 最初に �$�� �� �% を写像として定義する.

� ���"�#�:�6�">7?#>7?:>7�>�@7��!�"�#�:�!��"�#�:�$

$�� �� �% &��� ' �� ' ��

次に,�$�� �� �% に ��� を適用すると,

� !����"�#�:����!"�#�:�� ������#����"�#�:����"�#�:��$

�4$.�� �� �/� �%$�� �� �% &��� ' �� ' ��

となる.人力での計算でも結果は同じ記号値である.

例 ���� ��� を作用素として反復適用する例である.

� !����"�#�:������"�#�:�����"�#�:�!

� � ������#����"�#�:������"�#�:�����"�#�:��$

�4$.�� �� �/� �4$.�� �� �/� �%%$�� �� �% & � $ ��� �$�� �� �%% ' �� $ ��

��� �$�� �� �%%

' �� � $ ��

� �� �$�� �� �%% ' �� � $ ��

�& �� �$�� �� �%% ' � $ �� �$�� �� �%%

' �� $ ��

� � �$�� �� �%% ' � � � $ ��

�& � �$�� �� �%% ' � $ ��& �$�� �� �%% ' �� $ ��

�&� �$�� �� �%%

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���� 数式処理ソフトによる偏微分演算 ��

出力結果には A�0 � 固有の計算方式が反映し,このままでは見にくい.見

易い形への整理は,しかし,ソフトに関する話題であるから,ここでは立ち

入らない.

プロシデュア ()* の応用例として,回転方向微分

��

���� ��

��$� � �% $����%

を生成するプロシデュアを作成しよう.

プロシデュア ����� データは変数のリスト �,自然数 �,� および関数の

記号 � である. このプロシデュアは,��� として,�)軸から �)軸への回転

を表す偏微分作用素 $����% を生成する.� と � の大小関係が想定通りかど

うか判定させ,また,これらが本来 � の成分に振られた番号なのだから,成

分の個数を超えていないことを確かめさせてから,出力すべき ()* の作成を

する.

� ������������� ������� ��������� ������

� ���� &�A���4�;�

� �� ���� ���� /012/&3������������� ����� �3� ��� ���

� &����� ���

� �� ��& ���� /012/&3������������� ����� �3� ��� ���

� A�� ������������&��

� ���A�6������

� 4��A�6�6�����

� ;��<��&��

� ()*���4���;����;����������

� ����

例 ����� 計算例を挙げる.

� !����"�#�:����7���!�����"�#�:����7���$

��$.�� �� �/� �� �� �% & $$�� �� �%� � 4�C$�$�� �� �%� �% � � 4�C$�$�� �� �%� �%%

すなわち,出力は

$�� �� �% �� ��

���$�� �� �%� �

���$�� �� �%

という写像である.

この場合も,特定の計算をするには,さらに,プロシデュア化しておくべ

きだろう.

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

プロシデュア ���� 3次元で,座標 $�� �� �% の場合に扱いが限定されて

いるときを考える./���:� は �)軸の回りの(無限小の)回転であって,")

軸の正の向きから #)軸の正の向きに向かうものである./���#�,/���"� も

同様である.これらの偏微分作用素をまず生成させる.

� /���:��������

� ����"�#�:����7����

� ����

� /���"��������

� ����"�#�:��7�=����

� ����

� /���#��������

� 6����"�#�:����=����

� ����

計算例を示す.

例 ������

� !/���#���"�#�:�!�/���#���"�#�:�$

��� $�%$�� �� �% & �� $ ��&

�$�� �� �%% ' � $ ���

�$�� �� �%%

例 ������ /���:� と /���"� の交換子を計算したら,�/���#� が得られることを示唆する�.

� !/���:�/���"����"�#�:�6/���"�/���:����"�#�:�!

���&$����$�%%$�� �� �%� ����$���&$�%%$�� �� �% & � $ ��& �$�� �� �%% � � $ ��� �$�� �� �%%

����� 標準的な偏微分作用素

�)次元のラプラス作用素,波動作用素,熱作用素を生成するプロシデュア

を掲げておく.

まず,�)次元のラプラス作用素

��

����' � � �' ��

����

を生成するプロシデュアを示す.

�このような表現をしたのは,ソフトによる計算結果を鵜呑みにしないという趣旨である.

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���� 数式処理ソフトによる偏微分演算 ��

プロシデュア ����� データは,次元 �,変数のリスト �,関数の記号 � で

ある.��� は,変数と次元の整合性の検証のためである.()*%�'�����

を使うために,係数のリスト % を全成分が � のものとして作り,多重指標の

リスト ' は <���� の成分を2倍にしたものとする.

� ���������������� ��������� �� ��

� ���� %���'�;�

� �� ��� ��.�� ����

� /012/&3���� � ���� ����3�

� ��� ���

� %��� �������������

� '�����;6�75;��<�������

� ()*%�'������

� ����

計算例を示す.

例 ������

� !������7��"�#����!�������7��"�#����$

�0��$�� .�� �/� �% & $$�� �%� 4�C$4�C$�$�� �%� �%� �% ' 4�C$4�C$�$�� �%� �%� �%%

すなわち,

$�� �% �� ��

����$�� �% '

��

����$�� �%

が出力される.$�� �% での記号値で表せば,

� !������7��"�#����"�#�!�������7��"�#����"�#�$

�0��$�� .�� �/� �%$�� �% & $ ��

����$�� �%% ' $ ��

� ��$�� �%%

となる.

具体的な関数を与えて,それに ������ を適用してみよう.

例 ������ �次元のラプラス作用素の基本解に相当する関数を考察す

る.

� ���"�#�:�6�">7?#>7?:>7�>6�@7��!�"�#�:�!��"�#�:�$

�$�� �� �% &��

�� ' �� ' ��

� !������=��"�#�:����"�#�:�!�

� ������#������=��"�#�:����"�#�:��$

�0��$�� .�� �� �/� �%$�� �� �% & �

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

�$�� �� �% は関数としては $�� �� �% �& $�� �� �% で定義されている.しかし,数

式処理ソフトは �"�#�:� を記号としてのみ認識しており,解析的な意味で

の定義域には無頓着である.

例 ������ �次元の場合の同様の例である.

� 9��"�#�6���">7?#>7�>�@7��� !9"�#�!�9"�#�$

E$�� �% & �$��� ' ��%

� !������7��"�#��9�"�#�!�

� ������#������7��"�#��9�"�#��$

�0��$�� .�� �/� �%$�� �% & �

解析的には �$�� �% は $�� �% �& $�� �% でのみ定義されていることに注意して

ほしい.

つぎに,�)次元の波動作用素

��

����� ��

����� � � � � ��

����

を生成するプロシデュアを示す.� � � である.

プロシデュア ������ プロシデュアのアイデアは基本的に ������ と同

様である.

� 9������������� ��������� �� ��

� ���� �� %� '� ;�

� �� �.7 ����

� /012/&3 ���� �����3�

� ��� ���

� �� ��� ��.�� ����

� /012/&3���� � ���� ����3�

� ��� ���

� %����� ��6��������6����

� '�����;6�75;��<�������

� ()*%�'������

� ����

なお, � � � は %����6��� � ��6�� となるために必要なのである.

出力例を挙げる.

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���� 数式処理ソフトによる偏微分演算 ��

例 ������ �次元の波動作用素を計算する.

� !9���7��"�#����!�9���7��"�#����$

E��$�� .�� �/� �% & $$�� �% � 4�C$4�C$�$�� �%� �%� �%� 4�C$4�C$�$�� �%� �%� �%%

すなわち,

$�� �% �� ��

����$�� �%� ��

����$�� �%

が出力されている.$�� �% での記号値は

� !9���7��"�#����!"�#��9���7��"�#����"�#�$

E��$�� .�� �/� �%$�� �% & $ ��

����$�� �%% � $ ��

� ��$�� �%%

によって計算される.

つぎの計算も記号処理の範疇に属する.

例 ������ まず,記号的に関数を定義する.

� 9��"�#�6��"?#�?B"6#��!9"�#�!�9"�#�$

E$�� �% & 3$�' �% ' 1$�� �%

この 9 について 9���7��"�#��9�の "�#� における記号値を計算する

と消える.

� !9���7��"�#��9�"�#�!�9���7��"�#��9�"�#�$

E��$�� .�� �/� �%$�� �% & �

最後に,�)次元の熱作用素

���� ��

����� � � � � ��

����

を生成するプロシデュアを示す.

プロシデュア ������ ������ や 9��� と同様のアイデアであるが,

偏微分に低階のものがあるということの処理が新しい.

� �������������� ��������� ����

� ���� ��%�C���;�'�

� �� �.7 ����

� /012/&3 ���� �����3�

� ��� ���

� �� ��� ��.�� ����

� /012/&3������������� �����3�

� ��� ���

� %����� ��6��������6����

� C����� ����������6����

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

� ������;6�75;��<�������

� '���C� ���������7������

� ()*%�'������

� ����

なお, � � � は ' の構成に必要である.

出力例を示す.

例 ������ �次元の場合を試みる.

� !����7����"����!�����7����"����$

���$�� .�� �/� �% & $$�� �%� 4�C$�$�� �%� �%� 4�C$4�C$�$�� �%� �%� �%%

すなわち,

$�� �% �� �

���$�� �%� ��

����$�� �%

が出力される. $�� �% での記号値は

� !����7��"�#����"�#�!�����7��"�#����"�#�$

���$�� .�� �/� �%$�� �% & $ ���

�$�� �%% � $ ��

� ��$�� �%%

によって得られる.

具体的な関数を与えて記号処理を行うこともできる.

例 ����� 熱核関数あるいは ,����)8� �� ��� 関数といわれるもの

を与える.

� �����"�6��@75(�5��>6�@7�5�"�6"6��>7@D5����

� !���"�!����"�$

�$�� �% &�

���*�������

��

�� �

プロシデュア ���� を適用すると消える.

� !����7����"������"�!� ������#����7����"������"��$

���$�� .�� �/� �%$�� �% & �

解析的には � � が �$�� �% の定義に必要である.

��� フーリエ級数の収束

�$�% を直線上の周期 �� の関数とする.�$�% は,フーリエ係数が定義でき

るためには ���1� 可積分であればよいが,級数の収束を論ずるためには,

収束の程度に応じた正則性が必要になる.

�� &�

��

�$�% ��� �� ��� � & �� �� �� � � � $����%

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���� フーリエ級数の収束 ��

を �$�% の余弦係数といい,

�� &�

��

�$�% ��� �� ��� � & �� �� �� � � � $����%

を正弦係数という.三角級数

��� '

�����

��� ����� ' �� ������ $����%

は �$�% の 7�� � 級数とよばれる.

注意 ����� 周期関数 �$�% の挙動の記述という立場からは,7�� � 級数

の第1項 ���� は(1周期上の)平均値として,�$�% の振舞いの基準線を示

し,第2項以下は,基準線のまわりでの振動を表すものと解釈できる.

$����% の収束を論ずるために,関数 �$�% が有界変動な場合を考えよう.

考察を,1周期,すなわち,区間 .�� ��/ の上に限定することにする.区間

.�� �/� � � � � ��� 内に有限個の分点をとって,分割

9� $�% ( � & �� � �� � � � � � �� & � $� & �� �� � � �%

を定める.

H� $��9� $�%% &�����

�$�� %� �$����%

は分割9� $�% に関する �$�% の変動量である.これらの上限

H� + $�% & ��0�� �"�

H� $� 69� $�%%

が �$�% の区間 .�� �/ における全変動量を表す.全変動量 H� + $�% が � の単

調増大関数であることは定義から明らかであろう.�$�% は,周期上での全変

動が有界,すなわち,H� + $��% � '� のとき,有界変動といわれる.

例 ����� ��0����� 連続な周期関数 �$�% は有界変動である.また,�$�%

が,微分可能で,可積分な導関数 � �$�% を持てば,�$�% は有界変動である.実際,�$�% が ��0����� 連続ならば, �$�% � �$��% � . �� �� が成り立つような定数. � がある.したがって,H� + $�% � .�� � � � � �� が成り

立つ.� �$�% が可積分な場合は,� &� ��� � �$�% �� として,�$�% は(� を

��0����� 定数とする)��0����� 連続な関数である.

問 ����� 周期内で

� $�% &H� + $�% ' �$�%

�� � $�% &

H� + $�% � �$�%

は共に単調増大関数である. � ��� ��定数という.

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�� 付 録 � 補遺としての種々の話題

周期的な有界変動関数 �$�% は周期上の単調増大関数の差 $�% & � $�%� � $�%

として表せる.したがって,周期内の不連続点はたかだか可算個であり,し

かも,各点 � において

�$� � �% & ��������

�$� � 9%

が存在する.言うまでもなく,�$�% が � で連続なことは

�$�% & �$� � �% & �$� ' �%

が成り立つことと同値である.

7�� � 級数の収束に関する古典的かつ基本的な命題を次に掲げる.

命題 ����� �$�% は周期 �� の有界偏導関数とする.7�� � 級数 $����%

は,各点 � � � � �� で収束し,その極限値は �$� � �%,�$� ' �% の相加平

均である:

��� '

�����

��� ��� �� ' �� ������ &�$� � �% ' �$� ' �%

�$����%

.証明/ � � � � �� とする.任意の � & �� �� � � � に対し,

�� $�% &�

��� '

�����

��� ��� �� ' �� ������

とおく.�� ���� の核関数を用いると

�� $�% &

��

�$� � �%0� $�% �� &

��

0� $� � �%�$�% ��

となる.右辺は,さらに, "

0� $� � �%�$�% ��'

��

"

0� $� � �%�$�% ��

と表すことができる.右辺第1項,第2項は,� � � のとき,それぞれ,���$� � �%, �

��$� ' �% に収束する.実際,第1項ならば

"

0� $� � �%��$�% � �$� � �%� ��' "

0� $� � �% �� �$� � �%

だからである�.� & � (または � & ��)のときも周期性を利用した補正に

よって同様の議論に帰着できる. .証明終/

�� � � � � � �� とする.

� "���

� �

������ ��

��

�� � � � � ���� � � � または � ��� � � � または � � �

である.

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��

付 録� 関数解析から

偏微分方程式に伴う無限次元性の処理は微積分学の水準では間に合わない.

必要となる関数解析の基礎的な事項を確認しておきたい.

��� ヒルベルト空間

����� 定義と例

�は実数体 �(または複素数体 �)をスカラー体とするベクトル空間と

する.すなわち, �� �� � ��2 �� A� B � �(または �) に対し,1次結合 ��' A� ��� � � � が定義され,これについて

�� & �� �$A�% & $�A%�

�$�' �% & ��' ��� $�' A%� & �� ' A�

�' � & � ' �

$�' �% '� & �' $� '�%

が成り立ち,さらに,ゼロ・ベクトル� ��が存在して,

�'� & �' � & �� �� & �

および, � に対しては ��が存在し

�' �� & �� ' � & �

が成立している.�� は通例 �� と書き表され,�' $��% は �� � と略記される.

�の上の対称形式

C (��� $���% �� C$���% � � $!��%

すなわち,

C$���% & C$���% $!��%

C$��' A���% & �C$���% ' AC$���% $!��%

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�� 付 録 ! 関数解析から

が� ,さらに,

C$���% � � $!��%

C$���% & � &� � & � $!��%

を満たすとき,内積とよばれる�.

問 ���� C$ � � � % はベクトル空間 �の内積とする.�� � ��に対し,

C$���% ��C$���%

�C$���% $!��%

が成り立つ�.

注意 ���� C$ � � � % はベクトル空間 �の内積とする.

� $�% &�C$���%� � ��� $!��%

とおく.� $�% は �上のノルム,すなわち,

� $�% � �� � $�% & � &� � & � $!��%

� $��% & � � $�% $� はスカラー% $!���%

および

� $�' �% � � $�% '� $�% $!���%

の3条件を満足する�.実際,いずれも内積の性質(と問 !����% から直ちに

従うことである.特に,�のベクトル �� � に対し,点と見た両者の距離と

して � $�� �% を採用することにより,�を幾何的に取り扱う道が開かれる.

以下では,内積は � � � � (あるいは,単に $� � �% など)で表し,ノルムは � � � (あるいは,単に � など)で表す.内積 � � の定義されたベクトル空間�の点列(ベクトルの列)���6 � &

�� �� � � �� は, � � から導かれたノルム � � に関して

������ ��� � �� & � $!���%

�スカラー体は �とする.スカラー体が � のときは 4��" �� 対称形式:�%��� を

5����� 5����� �%� �

に改めたものとする.�内積の定義されているベクトル空間を内積空間あるいは前ヒルベルト空間ということがある.�0+)�2の不等式とよばれる.なお,スカラー体が � のときは証明に若干の注意が要る.例

えば,文献にあたられたい.�ノルムが定義されているベクトル空間をノルム空間ということがある.内積空間はノルム空

間にもなるのである.

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!��� ヒルベルト空間 ��

を満たすとき�に基本列または =����I 列とよばれる.さらに,

����� ��� � �� & � $!���%

となる � ��が存在する�とき,この点列は収束列 とよばれる.

すべての基本列が収束列であるような内積空間を J�� � 空間という.

例 ���� + を �)次元 ?���4 空間 �� の領域(連結開集合)とする.+ 上

の( ���1� 可測な)関数 �$�% で二乗可積分条件

�$�% � �� � '� $!���%

を満たすものの全体を ��$+% とおく�.ただし,二つの関数 �$�%� ��$�% が

ほとんど到るところで一致する:

� � � + 6 �$�% �& ��$�% � が �)次元の零集合である

ときは,これらは区別しない(できない)ものとする�.このとき,��$+% は

その要素 �$�%� �$�% の1次結合を � �� ��$�% ' A�$�% の定める関数��とす

ることにより,ベクトル空間になる.実数値の関数のみを考察するときはス

カラーは実数とすべきであるが,複素数値のものも許容するときは複素数体

をスカラー体とするのがよい.このとき,(実数値の場合も複素数値の場合も

通用する表現では)

� �� � &

�$�% �$�% ��� �� � � ��$+% $!���%

が ��$+% の内積であって,これにより,��$+% は J�� � 空間になる.完備

性の検証の詳細は積分論の教科書をご覧いただきたい.

�正式には,任意に � � � を採る毎に適当な自然数 �� が得られて

��� � ��� � �� �6 # � ���

が成り立つとき�このことを,文脈の上で誤解のおそれがない場合には,

� "��� �� �

と略記することがある. 基本列が収束列になるかどうかはノルムについて述べられている.すべての基本列が収束列

になることを完備という.ノルム空間であって完備なものは %+�+� 空間とよばれる.�� 上の二乗可積分関数の空間あるいは � 上のエルトゥー空間という.なお,� が直線上の

区間 7 ��� ��, �� � � � � � �� のときは, ���7� の代わりに ����� �� と書くことも多い.

�この意味で,���� と ����� も区別しないとすれば,����� と ����� も区別できないことに注意せよ.すなわち,

� � . ����� � ����� � � � � . ����� � ���� � � � � . ����� � ���� �であるが,右辺の集合はいずれも零集合なのである.

��すなわち,�4� � 8����� と書くべきだが,4����� 8���� とも略記しよう.

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�� 付 録 ! 関数解析から

J�� � 空間 �は J�� � 空間 �のベクトル空間としての部分空間であっ

て,�の内積は �の内積を �に制限したものに一致するとする.しかも,�

が �の閉部分集合であるとき,�は �の閉部分空間 とよばれる.一般に,

J�� � 空間 �の線形部分空間 � の直交補空間

� & � � ��6 � ��� & �� � �� � $!���%

は,(� が閉部分空間でなくても)�の閉部分空間になる.

例 ���� 1次元の区間 .�.�./ 上の二乗可積分関数の空間 ��.�.�./ の任意の関数 4$�% は

4$�% & 4�$�% ' 4,$�%�

4�$�% &4$�%� 4$��%

�� 4,$�% &

4$�% ' 4$��%�

$!���%

と奇関数と偶関数の一意的な和(直和)��に分解される.すなわち,��.�.�./に属する奇関数の全体および偶関数の全体のなす部分空間を,それぞれ,

�����.�.�./ および ��

,-,�.�.�./ で表せば,直和分解

��.�.�./ & �����.�.�./� ��

,-,�.�.�./ $!���%

が成り立つ.�����.�.�./も ��

,-,�.�.�./も ��.�.�./ の閉部分空間である.しかも,

�$�% � �����.�.�./� �$�% � ��

,-,�.�.�./ &� �

���$�% �$�% �� & �

$!���%

が成立する.すなわち,�����.�.�./ と ��

,-,�.�.�./ は相互に直交補空間である.

例 ���� 実数(または複素数)の無限数列 � & $��� ��� � � � % であって,二乗総和可能性,すなわち,

�����

�� � � '� $!���%

を満たすものの全体を =� と書き,二乗総和可能な数列空間(またはスモール

エルトゥー空間)という��.=� は成分毎の和,成分毎のスカラー倍を経由し

て,�(または �)上のベクトル空間になる.�� � � =� に対し,内積を

� ��� &�����

�� �� $!���%

��奇関数かつ偶関数となるのは0の値をとる定数関数だけである.��数列の添え数集合は,この例のように, � ����� � � � � にとるとは限らない.�

������� � � � � のこともあるし,偶数全体や奇数全体など,状況に応じた可算集合が用いられる.必要な場合には,9����,9����などと添え数集合が明示される.

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!��� ヒルベルト空間 ��

によって定義する��.したがって,� � =� のノルムは

��� &

���� �����

�� � $!���%

である.=� の基本列は ��6� & �� �� � � ��(� & $��� ��� � � �%)であって,

�� � ���� &�����

�� � ��� � � �� �� 3 � �

を満たすものである.特に,各 � について, ���� �� & � が存在し,

� & $��� ��� � � � % という数列が定まる.しかも,

� � =�� ���� �� � �� & �

が成り立つ.つまり,任意の基本列が収束するから, =� は完備,言い換えれ

ば, J�� � 空間である.

�を内積 � �� � の J�� � 空間とする. �のベクトルの系 ���6� &

�� � �� � � �� は,� ��� � &

�� � & �

�� � �& �$!���%

および � ��について

� �� �� & �� � & �� �� � � � &� � & � $!���%

を満たすときに,�の正規直交基底とよばれる.

正規直交基底が存在すれば,任意のベクトルが,その1次結合の極限とし

て表される.

命題 ���� ���6� & �� �� � � �� はヒルベルト空間 �の正規直交基底とす

る.任意の � ��について

� &�����

� �� �� �� $!���%

が成り立つ��.しかも,

���� &�����

� �� �� � $!���%

��スカラーが複素数の場合も通用する形に表した.この内積の定義可能性には証明が要る.��ここで,�%����の等号は,��

����� � ���� � �� として,� "��� ������ �

を意味する.なお,

���� ������

� � �� �� � �� ��� ���� � �

である.特に,�%��$� の右辺は収束し,�%���� の右辺が�のベクトルを定める.�%���� の等号の成立は �%�� � に拠る.

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�� 付 録 ! 関数解析から

が成立する.特に,

����� � �� �� & � $!���%

となる.

詳細は省略する.$!���% は 7�� � 級数展開の一般化である.以下に正規

直交基底の例を掲げる.このような具体的な場合に始めて変数の値の水準で

の級数展開ともとの関数との比較が可能になる.

命題 ���� J�� � 空間 �に正規直交基底 ���6� & �� �� � � �� があるとする.このとき,写像

I (�� � �� � & $��� ��� � � � % � =�� �� &� �� �� � � & �� �� � � � � $!���%

は,�から =� の上へのユニタリ写像,すなわち,線形全単射写像で,内積

を保存する:

� ��� &� I$�%� I$�% � $!���%

ただし,左辺は �で,右辺は =� での内積である.

検証は省略する.関数解析の教科書を見られたい.

例 ���� 直線の上の周期 . の二乗可積分関数全体のなす J�� � 空間を

区間 .�� ./ (. �)の上の ��.�� ./ と同一視して扱うことにする.三角関

数系

��.�

��

.���

����

.�

��

��

.���

����

.�

�� � & �� �� � � � � $!���%

は ��.�� ./ の正規直交基底である.実際,��.�� ./において,任意の �$�% を

周期 . のなめらかな関数の列 ��$�% で近似できることに注意しよう��.とこ

ろが,�$�% がなめらかならば,

�$�% &�

.

�$�% ��

'�����

.

�$�% ���

����

.�

��� ���

����

.�

'�����

.

��$�% ���

����

.�

��� ���

����

.�

�$!���%

������� を -+)���8� �����+��関数とすると,����� �������� �� ���� �� はなめら

かな周期関数である.しかも,������ より

������ ������� �� �

������� �� ��

� �

������� �������� ������ ��

である.右辺第1因子は � である.第2因子の積分変数を � ����" によって " に改めて

から,両辺を ��� � 上で � で積分せよ.積分の順序と範囲に注意しながら, � � � とすれば,右辺,したがって,左辺の ��� � 上の積分は � に収束する.

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!��� ヒルベルト空間 ��

が,周期上で一様収束する.したがって, �

��$�% �� & ��

�$�% ���

����

.�

��� & ��

�$�% ���

����

.�

��� & ��

� & �� �� � � � �

ならば、当然, �$�% � � となる.

例 ���� ��.�� ./ において,関数系��

.��� ��.��� � & �� �� � � � $!���%

は正規直交基底である.実際,��.�� ./ の関数 �$�% は奇関数

��$�% &

�$�%� � � � � .

��$��%� �. � � � �$!���%

として,区間 .�.�./ に拡張(し,さらに,全直線上に周期 �. の関数 K� $�%

として拡張)することができる.しかも,$!���% は

��.�� ./ � �$�% �� ��$�% � �����.�.�./

の線形全単射であり,さらに,�$�%� �$�% � ��.�� ./ に対し,

����$�% ��$�% �� & �

�$�% �$�% ��

が成り立つ.一方,��.�.�./ の正規直交系として三角関数系

���.

��

.��� ��.��� � � ���

.��� ��.��� � � ��

を考えると,前半は ��,-,�.�.�./ に属し,後半が ��

���.�.�./ に属する.以上を整理すれば,$!���% が ��.�� ./ の正規直交系をなすことがわかる.

問 ���� 三角関数系

��.�

��

.��� ��.��� � & �� �� � � � � $!���%

は ��.�� ./ の正規直交基底である.

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�� 付 録 ! 関数解析から

例 ���� 単項式関数 ��� � & �� �� �� � � � は区間 .��� �/ の上の二乗可積分

関数の空間 ��.��� �/ に属し,しかも,この区間で,任意の連続関数を多項

式列で一様に近似することができる��から,

�$�% � ��.��� �/�

���� �$�% �� & �� � & �� �� �� � � � &� �$�% & � $!���%

である.��� � & �� �� �� � � � は1次独立な系であるが,必ずしも互いに直交しない.これらから正規直交系を作り出そう.� を次数が � を超えない多項

式の全体とする(� & �� �� �� � � �).� は ��.��� �/ の �' �)次元の閉部分

空間であり,特に,�� & �,�� �� � である.H$�% � � を �

�� �� � H$�% � �� & ��3

.����

�� �� � H$�% ���

となるように求めよう.H$�% & �� ' ���' � � �' �� とおき, �

����� � H$�%� �� �� & �� � & �� �� � � � �� $!���%

から,��� � � � � � を決めればよい�.その結果,

��$�% & �� ��$�% &

��

��� � � � � ��$�% &

-���� � H$�%�� � � � �

ただし,-�� &� ��� $�� � H$�%%� ��,とおけば��,

����$�% ��$�% �� &

�� ? �& 3

�� ? & 3

である.すなわち,���$�%6� & �� �� �� � � �� は ��.��� �/の正規直交基底をな

す��.

����� 強収束と弱収束

�は,内積 � � ,ノルム � � のヒルベルト空間とする.�のベクトルの列 �� がベクトル � に収束するということは $!���% を意味するのであった.

しかし,ヒルベルト空間には,内積を利用しても収束が定義できる.��8� �����+�� の多項式近似定理.� �%��$� は :��� ��� として,

�����

� �

������� � :����� �:����� ��

が � � で最小値をとる条件であり,

���� � :���� � ���に他ならない.:���� は ���� の �� への直交射影(または,正射影)である.

��他にも

1���� �

��

��� � �

�� 1���� �

��

��� � �

��

�� � � �

である.��これらは ��次の ��*��/��多項式をそのノルムで除して得られる多項式と一致する.

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!��� ヒルベルト空間 ��

任意のベクトル� ��との内積が収束するとしよう.すなわち,

����� � ���� &� ��� � � ��� $!���%

このとき,�� は � に弱収束するという.これに対し,$!���% の収束を強収

束という��.

補題 ����

�� 強収束列は弱収束する.

�� 強収束列のノルムは収束する.

�� 弱収束列が強収束するための必要十分条件はノルムが収束することで

ある.

.証明/ �� だけ確認して置こう.必要性は �� �� による.逆を示すために,

�� が � に弱収束しているとする.

��� � ��� & ����� ' ���� � � � ����

に注意しよう.右辺第3項は,������ に収束するから,

�� ��0���

��� � ��� & �� ��0���

������ � �����

である. .証終/

弱収束固有の現象の例を挙げよう.

例 ���� ���6� & �� �� � � �� はヒルベルト空間 �の正規直交基底とする.

�� はゼロベクトル � に弱収束する.実際,$!���% の主張に他ならない.し

かし,���� & � だから,強収束はしない.

例 ��� ��.�� ./ の正規直交系 $!���% を思い出そう.任意の �$�% ���.�� ./ に対し,

�����

�$�% �>� ��.

��� & � $!���%

である.ちなみに,�$�% が区間 $�� .% の部分区間 $�� �% (� � � � � � .)

の上で定数値ならば $!���% はすぐ分かる.したがって,�$�% が階段関数,す

なわち,このような関数の1次結合の場合にも成り立つことは明らかである.

一般の二乗可積分関数は階段関数列の(強収束による)極限として表される

から,$!���% は,この場合,ほとんど直接に証明できる��.

��このノートでの強弱の収束の区別は,主に用語の使い分けの便宜のためである.より深くは,関数解析の専門書をご覧いただきたい.

������ を近似する階段関数の列を ������� とし,� �

����� � ��

��

� ��

� �

������ � ��

��

� ���

� �

������� ������ � ��

��

� ��

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�� 付 録 ! 関数解析から

����� ����� の定理

(内積 � � ,ノルム � � の)ヒルベルト空間 �からスカラー体 �(ま

たは � )への写像は汎関数 といわれる.特に,汎関数 . が線形性を満たす

とき,すなわち,ベクトル �� �$��%とスカラー �� � に対し

.$��' ��% & �.$�% ' �.$�%

が成り立つとき,. は線形汎関数といわれ,さらに,有界性,すなわち,適

当な正数 5 � に対し,

.$�% � 5���� � ��が満足される��ならば,. は有界線形汎関数といわれる.

例 ���� 任意の � ��に対し,.$�% &� ��� とおくと,. は有界線

形汎関数である.

例 !���� の逆の主張が "�� の定理である.

命題 ���� . は �上の有界線形汎関数とする.このとき,� がただ一つ

定まって,

.$�% &� ��� � � �� $!���%

が成り立つ.

.証明/ � の一意性は明らかであろう(内積の性質から)..$�% � � ならば

� & � にとればよい.そうでないときは,. の零空間

& �� ��6.$�% & ��

の直交補空間 を考える. は �の閉部分空間( �& �)である.� � � � �& �� ならば .$�% �& � であり,したがって,必要なら .$�% で割れば

よいから,� � を.$�% & � を満たすようにとれる.一方,任意の � ��に対し,� � .$�%� � である.したがって,� �� .$�%��� & � とな

る.定理は,

� &�

������ � � � .$�% & �

ととることにより証明される. .証明終/

"�� の定理は J�� � 空間論の基本であり,応用上も重要である.しか

し,ここではこれ以上立ち入らない.に注意する.右辺第二項の絶対値は � を選んであらかじめ指定しておいた(いくらでも小さい)数 �

� � � � より小さくできる.この ����� は階段関数だから,右辺第1項は � を十分大きくして,その絶対値を �

� � より小さくでき,したがって,左辺は � を超えない.��/ の下限を有界線形汎関数 のノルムといい,� �� と表すことがある:

� �� �)�������

� ������� 6

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!��� ヒルベルト空間 ��

���� 導関数概念の拡張

�)次元領域 + で定義された ��)級のなめらかな関数で,+ の境界の近傍

では消えるようなものの全体を ��� $+%と書き表す.

そのような関数が実際に構成できる例を挙げる.

例 ����� 直線上の関数

2$�% &

�����

��

� � � �

�� � � �

$!���%

は ��)級のなめらかさを持つことに注意しよう��.したがって,

2�$�% &�� �

� 2$�%2$� � �% ��

��2$�% 2$�� �% �� $!���%

は,� � � で 2�$�% & �,� � � では 2�$�% & � を満足する非減少な ��)級の

関数である.

直線上の関数

+$�% & 2�$�� ��% $!���%

は, � � � で +$�% & �,�� � � � � では � � +$�% � � となる ��)級の関

数で

+$�% & �� +���$�% & �� 3 & �� �� � � � � $!���%

を満足する.

�� の場合,� & $��� � � � � ��% の関数

+�$�% & +$ � % & 2�$�� � �%� � &"��� ' � � �' ��� $!���%

は,単位球の外部 � � � では消え,内部 � � � では正,かつ +�$�%� � が

� & � において無限次の零点をもつ.

また,

G$�% &�

:+�$�%� : &

+�$�% �� � $!���%

��実際に問題になるのは,� � におけるなめらかさだけである.� � � として,��階導関数を ���次の多項式 1�� � を利用して

3������ 1���

�� 3���� � �� �� � � �

と表せる.ここで,1�� � �� 1���� � �1�� �� �1��� �

である.したがって,すべての � について

� "������

3������ � "���� 1�� � �

�� �

となる.

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��� 付 録 ! 関数解析から

0

0.2

0.4

0.6

-0.5 0.5 1 1.5 2t

図 !��( � & � の近くでの関数 2$�% のグラフ

0

0.5

1

1t

図 !��( 2�$�% のグラフ

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!��� ヒルベルト空間 ���

は, � � � で消え, � � � で正,かつ�

G$�% �� & � $!���%

を満足する ��)級の関数である.

補題 ���� 9 � とし,

G�$�% &�

9�G$�

9%

とおく.任意の �$�% � ��$��% に対し,

��$�% &

G�$�� �% �$�% �� $!���%

とおく と,��$�% は ��)級の二乗可積分関数であり,しかも,

�����

��$�%� �$�% � �� & � $!���%

が成り立つ��.

.証明/ ��$�% のなめらかさは,$!���% における G�$�� �% のなめらかさに拠

る.$!���% から,�G�$�% �� & �,したがって,

��$�%� �$�% &

G�$�� �% ��$�% � �$�%� ��

である.積分変数を �� � & 9� を満たす � に改めると,右辺は�

G$�% ��$�� 9�%� �$�%� ��

となる��.この積分の絶対値の二乗は,�&���

G$�% ��

�&���

G$�% �$�� 9�%� �$�% � ��

を超えないから,$!���% の検証は

�����

�&���

G$�% �$�� 9�%� �$�% � �� �� & �

を示すことに帰着する.これは,上の積分の順序を変更し,�$�% � ��$��%

の平行移動に関する連続性を用いればよい. .証終/

���%� ��の左辺を ;����� と書いて,この操作を作用素 ;� として認識すると,�%� ��は ;�が恒等作用素の近似であることを意味する.作用素 ;� は必ずしもなめらかではない関数をなめらかに(あるいは軟らかく ��� "��� '2� )する効果を持つので,軟化子と呼ばれる.

��実際の積分範囲は �"� � � である.

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��� 付 録 ! 関数解析から

�� の(境界が区分的になめらかな)一般の領域 + の場合は,次のように

考える.まず,6 � として,

+� & � � � + � � 6 �

とおけば,+� は + の有界な部分領域である.+ が有界であることは,十分

に大きな 6 � に対し,+� & + が成立することということができる.一方,

点 � � +� と境界 �+� の距離は

4���$�� �+�% & ��3 �

�� � $!���%

で与えられる.6 � が十分に大きく,Æ � が十分に小さいとき,

+�Æ & � � � +� 6 4���$�� �+�% Æ �

は,+ の部分領域である.+�Æ の特性関数は

J�Æ $�% &

�� � � +�

Æ

�� � �& +�Æ

である. J�Æ $�%�$�% � ��$+% が �$�% � ��$+% に対して成り立ち,しかも,

�����

����

�$�%� J�Æ $�% �$�% � �� & �

を満たすことは明らかであろう.

補題 ���� � � 9 � Æ とする.任意の �$�% � ��$+% に対し,

����$�% &

G�$�� �% J�Æ $�% �$�% ��

とおく. ��Æ��$�% � ��� $+% であって,かつ,

�����

����

�����

����$�% � �$�% � �� & �

となる.

実際,この補題は基本的に補題 !���� の応用として得られる.この補題の

意義は,��$+% において,��� $+% が稠密,すなわち,任意の �$�% � ��$+%

に対し,��� $+% の関数列 ��$�%� - & �� �� � � � を

�$�%� ��$�% � �� � �� - � ��

が成り立つように選び出せることを示していることにある.

今,�$�% � ��$+% に(��)級の)なめらかな近似列 ��$�% � ��$+% があ

り,その � 階の偏導関数の列 ����$�% も ��$+% で収束するとしよう.この

極限を ����$�% と表し, �$�% の � 階の一般化された偏導関数とよぶ.

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!��� ヒルベルト空間 ���

例 ����� ��.��� �/ において,関数 �$�% & �� � はなめらかな関数列

��$�% &�

�'

��

�����

$�3 � �%����$�3 � �%��� - & �� �� � � � �

で近似される.導関数列

���$�% & � �

�����

�3 � ����$�3 � �%��

は - < �� のとき �

�� ���$�% � ��/$�% � �� &

��

��

����/�

$�3 � �%�� �

だから,����$�%� は ��.��� �/ で収束する.実際,

� �

�����

�3 � ����$�3 � �%��

は,�$�% の一般化された導関数

�$�% &

��� � � � � �

�� �� � � � �

の正弦級数展開であり,通常の微分演算でも � �& � では,��$�% & �$�% である.

この観察は次の補題に整理される.

補題 ���� (実数値)関数 �$�% � ��.��� �/ の三角級数展開が

�$�% &�

��� '

�����

��� ������ ' �� ������� $!���%

で与えられているとする.�$�% が一般化された導関数を持つための必要十分

条件は�����

�� ���� ' ��� � � '� $!���%

の成立である.このとき,�$�% の一般化された導関数 ��$�% の三角級数展開は

��$�% & �

�����

���� ������� ��� ������ � $!���%

で与えられる.

導関数の概念の拡張には別な筋もある.�$�% � ��$+% に対し,適当な

�$�% � ��$+% が決まって,等式 �$�% ���$�% �� & $��%���

�$�% �$�% �� $!���%

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��� 付 録 ! 関数解析から

が �$�% � ��� $+% を任意に選んで成立するときは,�$�% は �$�% の � 階の弱

い意味の偏導関数とよばれる��.この �$�% も ����$�% と書くことにする.さ

らに,���$�% と書き表すこともある.

問 ���� $����% の �$�% を考える.�$�% � ��.�� �/であり,弱い意味の導

関数 ��$�% を持つ.ここで,

��$�% &

�� � � � � �

��� �� � � � �

である.また,��$�% には弱い意味の導関数は存在しない�.

補題 ���� �$�% � ��$+% には � 階の一般化された偏導関数 ����$�% があ

るとする.この ����$�% は弱い意味の偏導関数でもある.

実際,��$�% を �$�% のなめらかな近似列,�$�% � ��� $+% とすると,

$��%���

����$�% �$�% �� & �����$��%���

����$�% �$�% ��

である.右辺は,部分積分により

�����

��$�% ���$�% �� &

�$�% ���$�% ��

となる.

注意 ���� + & �� の場合,弱い意味の偏導関数は一般化された偏導関数

である.実際,�$�% � ��$��% は �$�% � ��$��% の �)階の弱い意味の偏導関

数とする.��$�% &��

G�$�� �% �$�% ��� 9 �� とおき,��$�% も同様に定

義すると,

��� �G�$�� �%� & $��%����� �G�$�� �%�だから,����$�% & ��$�% である.したがって,9 � � のとき,����$�% は

�$�% に収束する.一般の + の場合,本ノートのように区分的になめらかな

境界を考えている場合には,弱い意味の偏導関数は一般化された偏導関数と

なり,したがって,両者を区別する必要はない��.しかし,境界 �+ の形状

によっては,弱い意味の導関数は必ずしも一般化された導関数とはならない.��9 ��� の定理を念頭に置けば

� ����

���� ������ ��

が ����� 上の有界線形汎関数に拡張されることを意味する.

� ����� に弱い意味の導関数が存在したとすると,任意の ,��� � �������� に対し,

, ��� �

������,������ � ,�

��

が ������� 上の有界な線形汎関数に拡張されなければならない.ところで,+��� �� ��� � �

��

+��� �� かつ �+������� � を満たす(実数値)関数 +��� を選び,上式に ,���

����+����� �� �� �� � �� を適用してみよ.

��詳細は省略する.

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!��� ヒルベルト空間 ���

補題 ���� ��$�% は �$�% に弱収束する ��$+% の元の列とし,各 ��$�%

には �)階の弱い意味の導関数 ����� $�% � ��$+% が存在するとする.����� $�%

が �$�% � ��$+% に弱収束するならば,�$�% は �$�% の �)階の弱い意味の導

関数である.

実際,�$�% � ��� $+% に対し,

��$�% ���$�% �� & $��%���

����� $�% �$�% ��

において,- �� とすれば,

�$�% ���$�% �� & $��%���

�$�% �$�% ��

となる.

注意 ���� 補題 !���� は,弱収束を強収束に改めて成立する.このとき,

当然

����� $�%� �$�% � �� � �

である.

����� ������ 空間

+ �� は区分的になめらかな境界を持つ領域とする.� & �� �� � � � に対し,+ 上の二乗可積分関数 �$�% であって,�)階までの弱い意味の導関数

����$�% � ��$+%� � � �� が存在するようなもの全体のなす空間を �)階の

#���� 空間といい,�$+% で表す.��$+% は �)階の #���� 空間とも考

えて ��$+% と表すことがある.

命題 ���� #���� 空間 �$+% は J�� � 空間になる.その内積は

� �� � &�����

����$�% ����$�% �� $!���%

で与えられる��.

.証明/ $!���% が内積を定めていることは明らかであろう.この内積が定め

るノルムを � � とする.��$�% ��$+% がこのノルムに関する基本列であ

るとしよう.各 � について,����� が ��$+% における基本列になることに注

意しよう.したがって,補題 !���� とその後の注意により,��$�% は�$+%

で収束する. .証終/

��実数値関数だけを考えているときは � は不要である.

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��� 付 録 ! 関数解析から

注意 ���� � � ならば,�$+% ��$+%は明らかであろう.しかも,

���� � ���� � ��$+%

である.

問 ���� 例 ����� で構成した �$�� �% は,各 � において � の関数として,

#���� 空間 ��$�� �% に属することを確かめよ.

半空間 + & ��� & � $�� �% 6 � � ��� � �� の場合,境界

�+ & � $�� �% 6 � � �� �

を �� で表すことができる.したがって,�+ 上の #���� 空間を考え易い.

これと + 上の #���� 空間と比較しよう.

補題 ���� �$�� �% � ��$��� % とする.このとき,�$�� �% � ��$��% で

あり, ��

�$�� �% � �� � � ����� $!���%

が成り立つ.� � は適当な定数である.

.証明/ �$�� �% は � について微分可能としてよい.したがって,

�$�� �% & �$�� �%� �

�#�$#� �% �#

から,

�$�� �% � �$�� �% '��� �

� ����$�� �% � ��

が導かれる.両辺に ���*� を乗じて,さらに,� で積分すれば,

�� �$�� �% �

��

� �

�$�� �% � ��'��L$�

�%

� �

����$�� �% � ��

となる.両辺を二乗して � で積分すれば,$!���% を得る. .証終/

注意 ���� $!���% は,��$��� % の元は境界値 �$�� �% � ��$��% をとる

ことを意味する.しかも,�� � ��$��� % が �$�� �% に収束するならば,境

界値 ��$�� K% も �$�� �% に収束する.特に,

���$�

�� % & � �$�� �% � �� $���

%6�$�� �% & � � $!���%

は ��$��� % の閉部分空間である.

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���

索 引

ラプラシアン2 ��

1階の偏微分方程式2 ��

一般化された偏導関数2 ���

一般化された ����� の公式2 ��

エネルギー積分2 ��2 ��

�階2 �

エルトゥー空間2 ��

解2 �

階数2 ��

階数低下法2 ��

階段関数2 ��

回転方向微分2 ��

,����)8� �� ���関数2 ��2 ��2 ��

拡散方程式2 ��

重ね合わせの原理2 �

完備2 ��

消える2 ��

基本列2 ��

境界条件2 �

強収束2 ��

, � 関数2 ��

, �)#��-� の定理2 ��

弦の振動の方程式2 ��

=����I の不等式2 ��

=����I 列2 ��

誤差関数2 ��

固有関数2 ��

固有値2 ��

固有値問題2 ��

最大値の原理2 ��

三角級数展開2 ��

二乗可積分関数の空間2 ��

二乗可積分条件2 ��

二乗総和可能な数列空間2 ��

辞書式の順序2 ��

弱収束2 ��

収束列2 ��

初期条件2 �2 ��

初期値2 ��

進行波解2 �

数式処理ソフト2 ��

スモールエルトゥー空間2 ��

整関数2 ��

正規直交基底2 ��

正弦係数2 ��

正射影2 ��

積分曲線2 ��

ゼロ・ベクトル2 ��

線形2 �

線形汎関数2 ��

線形偏微分作用素2 �

線形偏微分方程式2 �

前ヒルベルト空間2 ��

全変動量2 ��

#���� 空間2 ��

対数ポテンシャル2 ��

多項係数2 ��

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��� 索 引

多項定理2 ��

多重指標2 ��

多重指標の階乗2 ��

多重指標の差2 ��

多重指標の長さ2 ��

多重指標の和2 ��

����� � の公式2 ��2 ��

単位多重指標2 ��

稠密2 ���

調和関数2 ��

直和2 ��

直和分解2 ��

直交射影2 ��

定数係数偏微分作用素2 �

�� ���� の核関数2 ��

�� ���� 問題2 ��

動径方向微分2 ��

同次方程式2 �

解く2 �

特性曲線2 ��

特性微分作用素2 ��

特性ベクトル場2 ��

内積2 ��

内積空間2 ��

軟化子2 ���

2項定理2 ��

熱核関数2 ��2 ��

熱作用素2 ��2 ��

熱方程式2 ��

������ 問題2 ��

ノルム2 ��

ノルム空間2 ��

波動作用素2 ��2 ��

!����� 空間2 ��

汎関数2 ��

非同次方程式2 �

非粘性 !� 1 � 方程式2 ��

J�� � 空間2 ��

フーリエ級数2 �

分割2 ��

平均値原理2 ��

閉部分空間2 ��

ベクトル空間2 ��

ベクトル場2 ��

!�� 関数2 ��

!�� の微分方程式2 ��

変数分離解2 ��

変数分離法2 ��2 ��

変動量2 ��

偏微分作用素2 ��

偏微分方程式2 �

������� の積分公式2 ��

A�0 72 ��

A�0 �2 ��

有界線形汎関数2 ��

有界変動2 ��

ユニタリ写像2 ��

要素解2 ��

余弦係数2 ��

弱い意味の偏導関数2 ��2 ���

����� の公式2 ��

��1 ��1)=�� 0��のベクトル場2 ��

��1 ��1)=�� 0��の偏微分作用素2

��

ラプラス作用素2 ��2 ��

ラプラス作用素の基本解2 ��

"�� の定理2 ��

"�����)���1� の定理2 ��

��0����� 定数2 ��

��0����� 連続2 ��

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索 引 ���

両立条件2 ��

零空間2 ��