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Échantillonnage-Estimation
1)Position du problème :• Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques .
•
1)Position du problème :• Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques .
• On prend alors un échantillon de la population.
•
1)Position du problème :• Si la population est trop nombreuse on ne peut étudier toutes les unités statistiques .
• On prend alors un échantillon de la population.
• Le problème est de savoir le degré de confiance que l’on peut accorder aux résultats obtenus sur cette population partielle.
2)définitions
• L’échantillonnage consiste connaissant les propriétés sur la population à déterminer les propriétés sur les échantillons
• Le problème contraire c’est l’estimation
• Le problème contraire c’est l’estimation
• Remarque :Un tirage non exhaustif c’est un tirage avec remise
3)Échantillonnage
a)Distribution d’échantillonnage des moyennes
• Soit une population de moyenne m et d’écart type σ
a)Distribution d’échantillonnage des moyennes
• Soit une population de moyenne m et d’écart type σ
• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
•
X
a)Distribution d’échantillonnage des moyennes • Soit une population de moyenne m et d’écart type σ
• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.
X
X
• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.
• Pour n assez grand, suit une loi Normale
X
)/ , ( nm
X
X
b)Distribution d’échantillonnage des proportions:
• Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée.
b)Distribution d’échantillonnage des proportions:
• Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée.
• Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.
b)Distribution d’échantillonnage des proportions:• Soit une population dont une proportion p d’éléments vérifie une propriété donnée.
• Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.
• F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.
b)Distribution d’échantillonnage des proportions:• Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.
• F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.
• Pour n assez grand, F suit une loi Normale
))1( , ( n
ppp
4)Estimation
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population )
•
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de m ( moyenne inconnue dans la population )
• c’est moyenne de l’échantillon
•
x
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population )
• •
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de p ( proportion inconnue dans la population )
• c’est f la proportion dans l’échantillon
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population )
a)Estimation ponctuelle
• Une estimation ponctuelle de σ ( écart type inconnu de la population )
• c’est s = avec n la taille de l’échantillon
1 nn
néchantillo
b)Estimation par intervalle de confiance• principe
b)Estimation par intervalle de confiance• principe• On cherche un intervalle qui contient la valeur estimée avec une certaine probabilité α (95% , 99% )
cas d’une moyenne
• dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu
cas d’une moyenne
• dans la population : m est inconnue et σ est supposé connu
• dans l’échantillon de taille n, la moyenne est:
x
• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
X
• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.
X
X
• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.
• suit une loi NormaleX )/ , ( nm
X
X
• Soit la variable aléatoire d’échantillonnage des moyennes.
• est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la moyenne de cet échantillon.
• suit une loi Normale• Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à
X )/ , ( nm
X
X
X
• Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que :
• P(-t<T<t)=α
• Π(t) – Π(-t) = α• Π(t) – [(1- Π(t)] = α• 2 [Π(t)] – 1 = α• Π(t) = (1+α )/2 d’où t
• Π(t) – Π(-t) = α• Π(t) – [(1- Π(t)] = α• 2 [Π(t)] – 1 = α• Π(t) = (1+α )/2 d’où t
• • Si α =0,95 alors t = 1,96
• On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α
x
• On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur , de la moyenne inconnue m de la population avec un coefficient de confiance α
] / / t , [ nn xtx
x
cas d’une proportion
• dans la population : la proportion p est inconnue
cas d’une proportion
• dans la population : la proportion p est inconnue
• dans l’échantillon de taille n, la proportion est f
cas d’une proportion
• Soit F la variable aléatoire d’échantillonnage des proportions.
• F est la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire prélevé avec remise et d’effectif n fixé ,associe la proportion dans cet échantillon.
• F suit une loi Normale .
• Soit T la variable aléatoire centrée réduite associée à F
))1( , ( n
ppp
• Le coefficient de confiance α étant donné (choisi à l’avance )ou le risque (1-α), on cherche t tel que :
• P(-t<T<t)=α
• On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α
• On en déduit l’intervalle de confiance, centré sur f, de la proportion inconnue p de la population avec un coefficient de confiance α
] 1)1( 1
)1( f , f [
n
ffnff
tt
FIN