Modelo Tobit

Tobin(1958), Estimation of relationships for limited dependent variables,

Econometrica

Jhon Ortega Garcia

jhortegarcia@gmail.com Modelo Tobit 22 de diciembre de 2013 1 / 6

Contenido

1

Deniciones Previas

2

El Modelo

Especicacin

Estimacin

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Deniciones Previas

Deniciones Previas

Teoremas

Densidad de una Variable Aleatoria Truncada Sea una funcion de densidad

f(x),y a R, entonces

f(x|x > a) = f(x)f(x > a)(1)

Momentos de una Distribucin Normal Truncada Si f N [, 2] y a R,entonces

E[x|x > a] = + () (2a)V ar[x|x > a] = 2 [1 ()] (2b)donde = (a )/, () es la funcin de densidad normal estandar y

() =()

1 () si x > a () =()()si x < a

() = () [() ]jhortegarcia@gmail.com Modelo Tobit 22 de diciembre de 2013 2 / 6

El Modelo Especicacin

El Modelo

Especicacin

Sea Yi una variable aleatoria dependiente limitada con limite inferior li1

.

Se supone una relacin lineal entre las variables explicativas X y la variableobservabaYi, tal que

Yi = Xi + ei

de tal manera que Y tomara valores de acuerdo a la siguiente especicain

Especicacin

Yi = li si Yi li

Yi = Yi ei si Y i > li

1

El limite no es necesariamente el mismo para todas las observaciones

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El Modelo Especicacin

las pobabilidades asociadas a Yi, son:

Primero la probabilidad de Yi = li

P (Yi = li) = P (Yi li) = P (ei Yi li)

estandarizando

P

(ei o Yi li

)= 1

(Yi li

)Ahora la probabilidad asociada a cada valor de Yi = Y

i

P (Yi = Yi = x > li) = P (Y

i ei > x) = F (ei < (Yi x)/)Funcin de distribucin acumulada de YiF (x) = 0 si x < L

F (L) = 1 (Yili

)F (x) = F (ei < (Yi x)/) si x > Ljhortegarcia@gmail.com Modelo Tobit 22 de diciembre de 2013 4 / 6

El Modelo Estimacin

Estimacin

Maxima Verosimilitud

Suponiendo que hay q observacion donde Yi ei ai indexados porj = 1, 2...q y r observaciones donde Yi ei ai indezados por j = 1, 2...rSea (a0, a1, a2...am, a) los estimados de (0/, 1/, 2/...m/, 1/)Sea

I i = Yi a = a0 + a1X

1i, a2X

2i..., X

mi y

Ij = Yja = a0 + a1X1j , a2X2j ..., XmjLa funcin de versoimiltud de la muestra es:

(a0, a1, a2...am, a) =

qi=1

F (L)

rj=1

f(x)

=

qi=1

Q

(Y i Y i

1/a

) rj=1

aZ

(Y j Y j

1/a

)

=

qi=1

Q(I i aW i

) rj=1

aZ(I j aW j

)jhortegarcia@gmail.com Modelo Tobit 22 de diciembre de 2013 5 / 6

El Modelo Estimacin

Estimacin

Funcin de Log-verosimilitud

El logaritmo de ,

ln =

qi=1

lnQ(I i aW i

)+ r ln a r

2ln 2pi 1

2

rj=1

(I j aW j

)2Los test de especicacin son los usuales(Wald, LM LR)

La resolucin del modelo se puede realizar mediante el metodo de

Gaus-Newton.

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Definiciones PreviasEl ModeloEspecificacinEstimacin