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série de tempo
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ECONOMETRIA 1
Métodos ingênuos de previsão
Método mais simples de previsão de uma variável é aquele em que
usamos p/a previsão justo o ultimo valor da variável, ou seja, o
comportamento:
(1)
O valor de Y em t é o valor que ela possuía em t-1 adicionado de um
componente de erro εt. Tal processo é conhecido como passeio aleatório.
(randow walk)
possui as mesmas características do da regressão linear
ttt YY 1
Microsoft Equation 3.0
t ji ,0 e ²var ji
ECONOMETRIA 1
Logo a melhor forma de prever Yt é por Yt-1. Aplicando o operador
de esperança em (1):
Como é conhecido e
Portanto tal comportamento só serve p/o modelo do tipo randow
walk.
ttt YY 1
Microsoft Equation 3.0
1 tt YY
1tY 0 t
ECONOMETRIA 1
Estacionaridade das Séries
Uma série é dita estacionária se os valores em todos os instantes t tem
momentos de todas as ordens constantes, dentre eles, a média, isto é, os
valores oscilam em torno da média.
Para o comportamento em (1), a série é dita não – estacionária, pois se
em um dado t ocorre , este valor fica eternamente incorporado
em Yt. Um processo estacionário:
(2)
0 t
ttt YY 18.0
ECONOMETRIA 1
Supondo que em (2) ocorra um choque:
em t e zero para período posteriores: 20 t
192.8024.108.08.0
24.1008.128.08.0
8.120168.08.0
160208.08.0
202008.0
0008.0
434
323
212
11
1
121
ttt
ttt
ttt
ttt
ttt
ttt
YY
YY
YY
YY
YY
YY
ECONOMETRIA 1
Verificamos que Yt tende para seu valor histórico zero, o que não
acontece em (1). Logo, (2) é chamada de série estacionária.
Detalhadamente, uma série é dita (fracamente ou de 2ªordem ou em
covariância) estacionária se:
1 –
2 –
3 -
Qualquer que seja t. Esta cov é também conhecida como auto
covariância, já que mede a dependência de Yt com Yt-1.
ordem)1ª de (momento t. todopara constante tY
finita. e t p/todo constantevar 22 ttt YYY
.lagou last o para constante .0 ,Cov LkYY ktt
ECONOMETRIA 1
Fortemente estacionária: inclui séries com ou
com momentos de qualquer ordem constante. Se os valores de Yt
em todo t tiverem uma distribuição normal multivariada
(conjuntamente gaussianos), a estacionaridade fraca implicará em
estacionaridade forte.
A partir de agora, toda série será denominada estacionária.
tY
Microsoft Equation 3.0
tYvar
ECONOMETRIA 1
Como o modelo em (2) é estacionário e :
Mas não necessariamente precisa ser zero, basta ser constante.
0 t ttt YY 18.0
02.0 tY
0 tY
ECONOMETRIA 1
Um processo com :
Sua variância:
0 tY
ttt YyY 10 8.0
02.0 yYt 05yYt
²77.2²36.0
1var
²var64.0var
var8.0varvar
1
1
t
tt
ttt
Y
YY
YY
ECONOMETRIA 1
Procedimento Box e Jenkins (1976) - ARIMA
Consiste em explicar uma variável por meio de valores passados e/ou
choques (Modelo univariado)
Modelos AR(p) e MA(q)
Um modelo de classe AR(1):
(3)
O intercepto pode ou não ser incluído.
Denominamos esse processo de AUTO – REGRESSIVO DE
ORDEM 1 OU AR(1).Constituindo a regressão de Yt por Yt-1.
= apresenta as mesmas condições do modelo da regressão
linear, é estacionário e chamado de RUÍDO BRANCO.
ttt YY 1
t
ECONOMETRIA 1
Determinando média e variância para AR(1):
Por ser estacionário:
110
110
tt
ttt
YY
YY
1
0
1
tY
ECONOMETRIA 1
Para :
Sendo estacionário:
Para um processo de qualquer ordem AR(p)
tYvar
ttt YY varvar²varvar 110
²1
²var
1
tY
tptpttt YYYY ......2211
ECONOMETRIA 1
Reescrevendo, resumidamente, podemos utilizar o operador L(defasagem):
Para AR(p):
nttn
tt
tt
YYL
YYL
YLY
22
1
ptp
ptttt YLYLLYY ......22
211
ECONOMETRIA 1
Embora L não seja um número, pode ser tratado como tal. Colocando Yt
em evidência:
Temos um polinômio de ordem p na “variável” L que em suma chamamos
de
De maneira sintética:
(4)
)......1( 221
pptt LLLY
Lp
ppp LLLL ......1 2
21
ttp YL
ECONOMETRIA 1
Processo MA(q)
É quando Yt depende de uma combinação de choques εt, de t a t – q. A
combinação de ordem 1 ou MA(1):
(5)
Um processo MA(q)
Refazendo o uso do operador L:
1 tttY
Microsoft Equation 3.0
qtqttttY .....2211
tq
qtttt LLLY .....²21
ECONOMETRIA 1
Colocando em evidência:
Em síntese teremos:
Para MA(q) pode ser escrito:
(6)
qqtt LLLY .....²1 21
Lq
tqt LY
t
ECONOMETRIA 1
Combinando os dois processos, por Box e Jenkins para ARMA(1,1)
e reordenando em termos de L:
Sinteticamente:
qqtp
pt LLLLLLY .....²1)......1( 212
21
tqtp LYL
ECONOMETRIA 1
Estacionaridade e Invertibilidade
São as garantias de que AR(p) e MA(q) são suficientemente
estacionários.
Estacionaridade
Para AR(1):
Para AR(1) ser estacionário é necessário que . Se , os
choques não são amortecidos e a série se torna EXPLOSIVA.
Observando que:
ttt YY 11
11 11
LL 11 1
ECONOMETRIA 1
Calculando a raiz de L, ou seja, obtemos
Isto é, temos que ter ou , para estacionaridade.
Assim, dizemos: Para AR(1) ser estacionário é necessário que a raiz de
caia fora do circulo unitário.
Em(1), a série é não – estacionária pois , logo
a medida que t aumenta.
Para que as raízes de L caiam fora do circulo unitário, os coeficientes
em AR(2):
01 11 LL 11 L
1L 11
Microsoft Equation 3.0
01 L
11 tYvar
11- ; 1 ; 1 21221
ECONOMETRIA 1
Condição de Não – Estacionaridade
Para a série ser estacionária é condição necessária e suficiente que
todas as raízes de L caiam fora do circulo unitário. Então para ser
não – estacionária basta que haja uma raiz dentro do circulo
unitário. Tais raízes são chamadas de RAIZES UNITÁRIAS.
Considerando AR(p)
Para haver raiz unitária, ou seja, surge:
tqt LY
1L
1.........321 p
ECONOMETRIA 1
Assim, se A série é não – estacionária.
Se não afirmamos que a série é estacionária, pois
é apenas uma condição necessária.
p
ii
1
1
p
ii
1
1
ECONOMETRIA 1
Invertibilidade
Para MA(1) implica , caia fora do circulo
unitário.
Para MA(q) as raízes para que o modelo possa ser
inversível.
11 01 L
0 tq L
ECONOMETRIA 1
Processo de Integração I(d)
Quando Yt é não-estacionário podemos definir uma Zt como sendo
a primeira diferença de Yt
(7)
Se Yt é não – estacionária, mas Zt é, diz – se que Yt é Integrada
de Ordem (1) ou I(1). Para a d – ésima diferença de Yt :
tttt YYYZ 1
td
t YZ
ECONOMETRIA 1
Se Zt segue um ARIMA(p, d, q)
Então Yt segue:
qtqttptpttt ZZZZ ........ 112211
qtqttptd
ptd
td
td YYYY ....... 112211
ECONOMETRIA 1
Identificando um ARIMA
É feito por meio das funções de Autocorrelação(FAC) e Autocorrelação
Parcial (FACP).
Para AR(1) sendo Yt estacionária, a COV (leia-se coeficiente de
correlação) entre Yt e Yt-k é constante. Portanto:
t
kttkttk
tt
Y
YYCovYYCorr
YYCorr
var
,,
, 11
ECONOMETRIA 1
Como
Sendo
Para sabermos o comportamento da FAC, basta vermos a autocovariância de
e etc.
Como processo tem média zero.
²var t
t
kttk
Y
YYCov
var
,
0
0 k
k
²1
²var 0
tY
k , , 21
kttk YYCov ,
kttk YYE
ECONOMETRIA 1
Dado que:
Então:
Assim:
Para :
121
1
ttt
ttt
YY
YY
Microsoft Equation 3.0
11 tt YY 111 ttt YY 111 ² ttt YY
111 ² ttt YY 0²11 tY 011 var tY
1
22
2
ECONOMETRIA 1
Como , logo e assim em diante, de
modo que a FAC de AR(1) é declinante necessariamente, mas
não o suficiente p/identificar AR(1).
O conceito da FACP se refere a correlação entre duas variáveis,
eliminando o efeito de outras. De fato, a FACP é dada pelos
coeficientes e etc. é encontrado:
E :
232
Microsoft Equation 3.0
21 ,1
ttt YY 11
2
tttt YYY 2211
1
ECONOMETRIA 1
Se o processo é AR(1), logo não existe. Assim, AR(p) apresenta
declínio em FAC e truncamento da ordem do processo em FACP.
AR(p) AR(1)
2
1 2 3 4 5 6 7
FAC
1
FACP AR(1)
ECONOMETRIA 1
Para FAC e FACP no processo MA(1):
A variância:
Para a autocovariancia de ordem 1:
Logo:
11 tttY
Microsoft Equation 3.0
221)1()( tYVar
2111 tttt ² 11 t
21
21 1
ECONOMETRIA 1
Assim, o ponto de truncamento em FAC determina a ordem do processo
MA(q):
Para FAC teremos:
Mas
Substituindo e repetindo o processo indefinidamente:
Que representa um AR(∞). Portanto, a FACP de MA(1) é equivalente a um
processo AR (∞).
1 ttt Y
211 ttt Y
.....33
22
1 ttttt YYYY
ECONOMETRIA 1
Identificação dos processos ARMA
Processo FAC FACP
AR(p) Declinante Truncada em p
MA(q) Truncada em q Declinante
ARMA(p,q) Declinante Declinante
ECONOMETRIA 1
Teste de Raízes Unitárias
Vimos as condições para que AR(p) seja estacionária. Mas caso o
polinômio L = 1, suas raízes são chamadas de RAÍZES UNITÁRIAS.
Em AR(1) O teste para verificar se a raiz é unitária é chamado de
Dickey e Fuller – DF.
Em AR(p) Onde p > 1, usa – se o Dickey e Fuller Aumentado –
DFA.
ECONOMETRIA 1
Teste DF em AR(1):
Se . Logo, quando t se eleva Y t é altamente
persistente
O teste DF não é feito diretamente sobre AR(1) mas sobre uma
transformada de AR(1) onde se subtrai Yt-1 do modelo acima:
ttt YY 1
Microsoft Equation 3.0
11 L )( tYVar
ttt
ttt
ttttt
YY
YY
YYYY
1
1
111
1
ECONOMETRIA 1
Assim montamos: H0: O processo é não – estacionário pois H1: O processo é estacionário pois
Ou seja, aceitar a hipótese básica significa que o processo é não estacionário. Para este teste usa – se a estatística que tem a mesma sistemática da t de student.
0 L11 11 L
0
t
ECONOMETRIA 1
Porem é calculada com os valores limites de uma tabela elaborada por Dickey e Fuller, que fornece os valores críticos para os seguintes modelos:
AR puro:
AR com intercepto:
AR com tendência:
ttt YY 1
ttt YY 11
tttt YY 1
ECONOMETRIA 1
Para DFA:
- s/ intercepto.
- c/intercepto.
- c/ tendência.
t
p
iititt YwYY
111
t
p
iititt YwYY
1111
t
p
iitittt YwYY
111
ECONOMETRIA 1
Co – integraçãoCo – integração (COINT)
Tomando duas séries não estacionárias Z1 e Z2,
respectivamente I(d1) e I(d2) são ditas cointegradas se tiverem o
mesmo grau de integração, d1 = d2, de tal forma que a
combinação linear destas seja uma série estacionária, ou seja, se
existirem constantes a e b:
A combinação com W estacionário é equivalente a regressão
entre as variáveis . Onde os εt formem uma
série estacionária, pois são um ruído branco.
21 bZaZW
ttt ZZ ,2,1
ECONOMETRIA 1
Engle e Granger (1987)
Se Z1 e Z2 formarem um vetor de coeficientes que gerem εt
estacionários, diz – se que as séries cointegram. Logo, é possível afirmar
uma relação estável e constante de longo prazo. Isto é, uma regressão
do tipo:
Devendo gerar resíduos I(0).
A correlação mede a interdependência de curto prazo e a COINT a de
longo prazo.
ttt ZY 10
ECONOMETRIA 1
Tanto em (A) como em (B) os pares tem elevado grau de correlação, porem,
em (B), a velocidade de crescimento discrepantes, isto é, forma – se uma
série não – estacionaria. Em (A), as variáveis caminham juntas.
ECONOMETRIA 1
RAÍZES UNITÁRIAS E ENGLE E GRANGER.
Se duas séries são COINT:
Os resíduos da regressão de Yt sobre Zt devem formar I(0)
Portanto, para testar duas séries de I(d) são COINT, testamos se há raiz
unitária nos resíduos. Não havendo raiz unitária, a série de resíduos será
estacionária e, logo as séries serão COINT.
OBS:Outros testes.
Philips – Ouliaris (1990): Assim como em Engle/Granger, verifica
somente se as variáveis são ou não COINT.
Johansen – Juselius (1990): Determina o número de vetores de COINT
existente entre as variáveis.
ttt ZY 10