UNIVERSITATEA “AUREL VLACIU” ARAD

FACULTATEA DE ŞTIINŢE ECONOMICE

SPECIALIZAREA: FINANŢE BĂNCI

E C O N O M E T R I E

Titular curs:

Lector univ. Drd. Săbău Florentina Simona

1

Cuprins

Capitolul 1 Introducere în econometrie

1.1 Obiective 3

1.2 Prezentare sintetică 3

1.2.1 Scurt istoric privind apariţia şi dezvoltarea econometriei 3

1.2.2 Definiţiile econometriei 4

1.2.3 Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiinţelor economice 6

1.2.4 Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei 8

1.3 Întrebări 15

1.4 Probleme rezolvate 16

1.5. Probleme propuse 37

1.6. Bibiliografie 40

Capitolul 2 Testarea ipotezelor statistice

2.1 Obiective 41

2.2 Prezentare sintetică 41

2.2.1 Concepte şi erori în testarea ipotezelor statistice 41

2.2.2. Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ) pentru eşantioane de volum mare 45

2.2.3 Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de volum mare 49

2.2.4.Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ) pentru eşantioane de volum redus 51

2.2.5.Testarea ipotezei privind proporţia populaţiei pentru eşantioane mari 52

2.2.6. Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de volum redus 53

2.2.7. Testarea ipotezei privind dispersia unei populaţii 55

2.2.8.Testarea ipotezei privind raportul dintre două dispersii 56

2.3 Întrebări 58

2.4.Probleme rezolvate 60

2.5.Bibiliografie 66

Capitolul 3 Modelul de regresie

3.1 Obiective 67

3.2 Prezentare sintetică 67

3.2.1 Specificarea unui model de regresie 67

3.2.2 Modelul de regresie clasic 67

3.3 Întrebări 74

3.4 Probleme rezolvate 79

3.5.Bibiliografie 80

2

Capitolul 1

Introducere în econometrie

1.1 OBIECTIVE: introducerea studenţilor în sfera şi noţiunile specifice econometriei

1.2 PREZENTARE SINTETICĂ:

1.2. 1 Scurt istoric privind apariţia şi dezvoltarea econometriei

Un moment important în constituirea şi dezvoltarea Econometriei ca disciplină economică

de frontieră, apărută în domeniile de interferenţă ale teoriei economice, statisticii şi

matematicii, se consideră anul 1930 (29 decembrie), când s-a înfiinţat la Cleveland Societatea

de Econometrie (Econometric Society), avându-i ca iniţiatori pe: Irving Fischer - preşedinte, L. V.

Bortkiewicz, R. Frisch, H. Hotelling, L. Schumpeter, N. Wiener şi alţii.

Un rol deosebit în dezvoltarea şi popularizarea econometriei l-a avut revista acestei

societăţi, „Econometrica", care apare trimestrial, începând din ianuarie 1933.

Etimologic, termenul de econometrie provine din cuvintele greceşti: eikonomia (economie)

şi metren (măsură). El a fost introdus (1926) de către Ragnar Frisch, economist şi statistician

norvegian, prin analogie cu termenul „biometrie", folosit de Fr. Galton şi K. Pearson la sfârşitul

secolului XIX, care desemna cercetările biologice ce utilizau metodele statisticii

matematice.

Dar nu cei care au introdus termenul şi au înfiinţat Societatea de Econometrie au şi

„inventat" această disciplină.

Sub aspect istoric, studierea cantitativă a fenomenelor economice este mult mai veche.

Printre precursorii econometriei moderne pot fi citaţi: F. Quesnay, W. Petty, Gregory King, A.

Cournot, Leon Walras, E. Engel, A. Marshall, R. A. Fisher, K. Pearson şi alţii.

În perioada contemporană, contribuţii importante la dezvoltarea econometriei au fost aduse

de:

- în domeniul analizei economice a cererii: M. Friedman, T. Haavelmo, R.

Stone, H. Wald, ş.a.;

- în domeniul funcţiilor de producţie: C. W. Cobb, P. H. Douglas, K. J. Arrow, G.

Tintner;

3

- în domeniul modelelor macroeconomice: A. S. Goldberger, O. Onicescu, V.

Kantarevici, L. R. Klein, J. Tinbergen, H. Theil1;

- în domeniul metodelor de analiză a datelor sau al econometriei „fără modele": T. W.

Anderson, J. P. Benzécri, H. Hotelling, R. A. Fisher şi alţii.

În momentul actual, impulsionată puternic de revoluţia tehnico-ştiinţifică - cu

realizări de vârf în domeniul calculatoarelor electronice - econometria a devenit un instrument

metodologic de bază, indispensabil teoriei şi practicii economice pentru investigarea riguroasă a

fenomenelor şi proceselor economice.

1.2. 2 Definiţiile econometriei

Dezvoltarea rapidă a econometriei a generat formularea mai multor definiţii cu

privire la domeniul acestei discipline economice. Totuşi, marea majoritate a acestora poate

fi încadrată în următoarele trei grupe:

a) definiţia istorică;

b)definiţia restrictivă;

c) definiţia extinsă.

a) Definiţia istorică a econometriei a fost formulată de R. Frisch în primul număr

al revistei „Econometrica", în ianuarie 1933: „experienţa a arătat că fiecare din

următoarele trei puncte de vedere, al statisticii, al teoriei economice şi al matematicii,

este o condiţie necesară, dar nu şi suficientă, pentru o înţelegere efectivă a realităţilor

cantitative din economia modernă; unificarea lor este aceea care asigură eficienţa.

Econometria este tocmai această unificare".

Conform acestei definiţii, susţinătorii ei consideră că prin econometrie se

înţelege studierea fenomenelor economice pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor

matematicii.

b) Definiţia restrictivă propusă de Cowles Commission for Research in

Economics (Chicago, 1940-1950), consideră că nu există econometrie dacă investigarea

fenomenelor economice nu se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stochastice).

Susţinătorii acestei definiţii, L. R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier, includ în

domeniul econometriei numai cercetările economice care utilizează metodele

inducţiei statistice - teoria estimaţiei, verificarea ipotezelor statistice - la verificarea

1 Numele scrise cu italice îi desemnează pe laureaţii Premiului Nobel în econometrie

4

relaţiilor cantitative formulate în teoria economică cu privire la fenomenele sau procesele

economice cercetate.

Conform acestor definiţii, un studiu econometric presupune:

- existenţa prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau

sistemul economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care

reprezintă formalizarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul

sau sistemul investigat;

- posibilitatea aplicării metodelor inducţiei statistice la verificarea ipotezelor

teoriei economice; construirea modelului econometric şi rezolvarea acestuia.

Această definiţie restrictivă exclude din domeniul econometriei cercetările

economice care nu se fundamentează pe:

- o teorie economică - implicită sau explicită privind modelul econometric al

fenomenului, procesului sau sistemului studiat;

- o interpretare aleatoare a modelului respectiv.

Astfel, analiza seriilor cronologice, modelul lui Leontief (B.L.R.) ca şi statistica

economică (care se fundamentează pe metoda balanţelor) nu intră în sfera de cuprindere a

econometriei: prima, deoarece existenţa unei teorii economice nu este necesară, iar

ultimele două, fiindcă nu permit aplicarea metodelor inducţiei statistice.

c) Definiţia extinsă a econometriei, promovată de economiştii din ţările anglo-

saxone, ţine seama de puternica dezvoltare, apărută după 1950, a metodelor cercetării

operaţionale: teoria optimului, teoria stocurilor, teoria grafelor, teoria deciziilor, teoria

jocurilor, etc.

Prin econometrie, în sensul larg al termenului, se înţelege econometria,

definită în mod restrictiv, adică, include domeniile menţionate atunci când ea este înţeleasă

în sens restrictiv, la care se adaugă metodele cercetării operaţionale. În prezent, în

domeniul econometriei se includ şi tehnicile moderne de analiză a datelor sau analiza

marilor tabele.

Deoarece încă nu s-a cristalizat o concepţie unitară privind „frontierele"

econometriei, în manualele sau tratatele de econometrie, autorii, de regulă, îşi

menţionează concepţia pe baza căreia şi-au structurat lucrările.

În ţara noastră, atât în literatura de specialitate, deşi rareori se fac precizări exprese,

cât şi prin structura planurilor de învăţământ de la facultăţile economice, econometria

5

este concepută şi aplicată ca metodă generală de investigare cantitativă a fenomenelor şi

proceselor economice -adică, în accepţiunea largă a termenului.

Un domeniu mai puţin abordat, atât teoretic, cât şi practic, îl constituie

metodele econometriei, în sensul restrictiv al termenului, respectiv modelele aleatoare

(stochastice).

Modelele deterministe, utilizate în mod curent şi de multă vreme în teoria şi practica

economică din ţara noastră, sunt de multe ori inadecvate pentru a explica şi, mai ales,

pentru a prognoza pertinent evoluţia fenomenelor, proceselor sau sistemelor economice,

elemente dinamice prin natura lor.

De asemenea, în studiile mult mai recente, se insistă asupra faptului că studiul

seriilor de timp privind evoluţia fenomenelor economice nu poate fi independent de teoria

economică. Se au în vedere, în acest sens, nu atât determinarea şi extragerea econometrică

a tendinţei, cât şi aspectele legate de efectul întârziat în timp, propagarea impulsului unor

variabile exogene asupra variabilei prognozate, natura oscilaţiilor de diferite frecvenţe etc.

Acestea sunt motivele care au determinat ca modelele dinamice - bazate pe analiza

evoluţiei în timp a fenomenelor economice - să-şi găsească locul în arsenalul modelelor

econometrice prezentate în acest curs.

1.2. 3 Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiinţelor economice

Apariţia şi rapida afirmare a econometriei trebuie înţeleasă şi explicată prin prisma

raportului dialectic dintre teorie şi practică, a conexiunii inverse pozitive ce se manifestă între

elementele acestui raport.

Dezvoltarea continuă şi dinamică a forţelor de producţie sub impactul progresului

ştiinţific şi tehnic modifică condiţiile şi interdependenţele din producţie, repartiţie, circulaţie

şi consum, ceea ce, pe plan teoretic şi practic, creează probleme dificile privind explicarea şi

dirijarea evoluţiei fenomenelor economico-sociale către anumiţi indicatori ţintă, formulaţi şi

urmăriţi de o anumită politică economică.

Necesitatea elaborării unor instrumente de investigare şi de sporire a eficienţei

metodelor de organizare, dirijare şi conducere a economiei, pe de o parte, şi succesele

metodelor statistico-matematice în alte domenii ale ştiinţei - fizică, chimie, astronomie etc. - pe

de altă parte, au determinat adoptarea de către ştiinţele economice a acestor metode.

6

Econometria s-a format şi se dezvoltă nu în urma unui proces de diversificare a ştiinţei

economice, ci prin integrarea dintre teoria economică, matematică şi statistică.

În cadrul aceastei triade, teorie economică - matematică - statistică, locul central îl ocupă

teoria economică. Deşi penetrarea ştiinţei economice de către metodele statistico-matematice

reprezintă un progres calitativ, nu trebuie uitat faptul că fenomenele economice, pe lângă

componenta lor cuantificabilă, conţin aspecte care nu pot fi reprezentate prin cantitate. Aceste

particularităţi ale fenomenelor economice constituie, în general, limitele econometriei în

sistemul ştiinţelor economice.

De remarcat că raporturile econometriei cu ştiinţele economice nu sunt numai de

dependenţă.

Într-adevăr, un model econometric nu se poate elabora dacă nu s-a constituit o teorie

economică a obiectului cercetat. Similitudinea sa formală cu obiectul economic investigat

depinde de nivelul de abstractizare a teoriei, de definirea univocă şi operaţională a noţiunilor şi

categoriilor economice, de scopurile urmărite de teoria economică - scopuri euristice sau de

dirijare privind obiectul studiat.

Modelul astfel construit reprezintă o verigă intermediară între teorie şi realitate. El

reprezintă o cale de confruntare a teoriei cu practica, singurul mod de experimentare pe baza

căruia ştiinţa economică îşi poate fundamenta ipotezele, din moment ce obiectul său de

cercetare poate fi numai observat, nu şi izolat şi cercetat în laborator.

Prin această experimentare, mijlocită de modelul econometric, ştiinţele economice

validează, renunţă sau elaborează metode noi, îşi confruntă problemele de semantică şi

semiotică economică, îmbogăţindu-şi în felul acesta sistemul de informaţii privind structura şi

evoluţia obiectului economic.

În prezent, tipologia metodelor econometrice utilizate de ştiinţele economice este extrem

de vastă. Folosirea din ce în ce mai amplă a acestor modele la investigarea fenomenelor

economice se datorează progreselor însemnate făcute în domeniul metodelor de estimare a

parametrilor modelelor şi al testelor de verificare pe care se fundamentează acestea şi, nu în

ultimul rând, al utilizării calculatoarelor electronice care permit rezolvarea operativă a celor

mai complexe modele econometrice.

Particularizând legăturile econometriei cu unele dintre disciplinele economice, este

necesar să subliniem corespondenţa dintre modelarea econometrică şi previziune. Previziunea

macro sau microeconomică reprezintă un domeniu care utilizează în mare măsură rezultatele

simulării şi, mai ales, ale predicţiei econometrice. Activitatea de previziune a economiei este

7

aceea care „oferă" o serie de elemente utile elaborării modelului privind, îndeosebi, etapa de

specificare a acestuia. În această etapă, previziunea defineşte variabilele endogene (rezultative)

şi pachetul variabilelor exogene corespunzătoare obiectivelor urmărite în funcţie de informaţiile

statistice existente. Econometria, la rândul ei, contribuie la obţinerea variantelor economice,

oferind informaţii cu privire la comportamentul variabilelor endogene în diverse alternative de

acţionare a pârghiilor economice. În acest fel, previziunii economice i se oferă o perspectivă în

legătură cu ceea ce s-ar putea întâmpla în viitor, fie şi în linii mari, în raport cu diferitele variante

ale politicii economice care ar putea fi aplicate.

Menţionăm, de asemenea, legătura econometriei cu sistemul financiar-contabil, domeniu

în care modelarea pătrunde tot mai mult - vezi modelele ARCH. De asemenea, trebuie remarcat

faptul că, la elaborarea modelelor econometrice, se recomandă, cu o tot mai mare insistenţă,

introducerea relaţiilor financiar-bancare, ca fiind deosebit de semnificative pentru descrierea

mecanismelor economice.

Domeniul cooperării economice internaţionale, ca, de altfel, şi cel privind comerţul

interior, domeniu în care previziunile sunt greu de realizat, altfel decât cu ajutorul metodelor

statistice, reprezintă, de asemenea, sectoare ale economiei ce pot beneficia de rezultatele

econometriei în ceea ce priveşte planificarea şi eficientizarea activităţilor desfăşurate. Este

totodată necesar să subliniem frecvenţa tot mai mare a aplicării metodelor econometrice în lucrări

din domeniul biologiei, medicinei, demografiei şi, în special, în domeniul marketingului,

managementului sau viitorologiei.

În concluzie, se poate reţine ideea că metoda econometriei este metoda modelării sau

metoda modelelor. Modelul econometric - expresie formală, inductivă a unei legităţi economice

- reprezintă un mijloc de cunoaştere a unui obiect economic, iar modelarea econometrică este

o metodă care conduce la obţinerea de cunoştiinţe sau informaţii noi privind starea, structura

(conexiunile dintre elemente) şi evoluţia unui proces sau sistem economic.

1.2. 4 Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei

Metoda modelelor sau metoda modelării reprezintă principalul instrument de investigare

econometrică a fenomenelor econometrice.

Dar, modelarea sau metoda modelelor nu constituie o noutate în ştiinţa economică.

Tabloul economic al economistului fiziocrat F. Quesnay (1738), legile lui Engel (1857),

coeficientul de elasticitate formulat de Marshall (1890) reprezintă momente istorice de la

8

care cercetarea economică trece de la etapa descriptivă la etapa de explicare formală a

cauzelor şi formelor de manifestare ale fenomenelor economice.

În general, MODELUL reprezintă un instrument de cercetare ştiinţifică, o imagine

convenţională, homomorfă, simplificată a obiectului supus cercetării.

Fiind o construcţie abstractă, în care se neglijează proprietăţile neesenţiale, modelul este

mai accesibil investigaţiei întreprinse de subiect, aceasta fiind una din explicaţiile multiplelor

utilizări pe care modelul le are în epoca contemporană.

Utilizat în economie, modelul - imagine abstractă, formală a unui fenomen, proces sau

sistem economic - se construieşte în concordanţă cu teoria economică, rezultând modelul

economic.

Modelul economic, reproducând în mod simbolic teoria economică a obiectivului

investigat, prin transformarea sa în model econometric, devine un obiect supus cercetării şi

experimentării (verificării), de la care se obţin informaţii noi privind comportamentul

fenomenului respectiv.

În acest mod, reprezentările econometrice, spre deosebire de modelele economice

care explică structura fenomenului sau procesului economic de pe poziţia teoriei economice,

au întotdeauna o finalitate practică, operaţională, ele devenind instrumente de control şi

dirijare, de simulare şi de previziune a fenomenelor economice.

VARIABILELE care formează structura unui sistem econometric, după natura lor, pot

fi:

a) variabile economice;

b) variabila eroare (aleatoare), u;

c) c) variabila timp, t.

a) Variabilele economice, de regulă, se împart în variabile explicate, rezultative sau

ENDOGENE, Yi, i = 1,n , şi variabile explicative, factoriale sau EXOGENE, Xj, j = 1 ,k ,

independente de variabilele endogene Yi ; (n = numărul variabilelor rezultative; k = numărul

variabilelor factoriale). În cazul modelelor de simulare sau de prognoză, variabilele Xj se mai

împart în variabile exogene predeterminate (variabile de stare a sistemului -c a p a c i t a t e a

d e p r o d u c ţ i e a u n e i î n t r e p r i n d e r i , s a u c u lag - xt-1, yt-1) şi variabile

instrumentale sau de comandă economică (dobânda, impozitul pe profit etc.)

b) Variabila ALEATOARE, u, sintetizează ansamblul variabilelor, cu excepţia

variabilelor Xj, care influenţează variabila endogenă Yi, dar care nu sunt specificate în modelul

econometric. Aceste variabile (factori), pe baza ipotezelor teoriei economice, sunt

9

considerate factori întâmplători (neesenţiali), spre deosebire de variabilele Xj, care

reprezintă factorii determinanţi (esenţiali) ai variabilei Yi.

De asemenea, variabila eroare reprezintă eventualele erori de măsură - erori întâmplătoare

şi nu sistematice - conţinute de datele statistice privind variabilele economice.

Pe baza acestor premise economice se acceptă că variabila aleatoare „U" urmează o lege

de probabilitate L(u), în acest scop formulându-se o serie de ipoteze statistice cu privire la

natura distribuţiei acestei variabile, ipoteze statistice care vor trebui testate cu teste statistice

adecvate fiecărei ipoteze.

c) Variabila TIMP, t, se introduce în anumite modele econometrice ca variabilă

explicativă a fenomenului endogen Yi, imprimându-se acestora un atribut dinamic, spre deosebire

de modelele statice.

Deşi timpul nu poate fi interpretat ca variabilă concretă (economică), se recurge la această

variabilă explicativă (fictivă) din două motive:

- în primul rând, timpul, ca variabilă econometrică, permite identificarea unor

regularităţi într-un proces evolutiv, ceea ce constituie un prim pas spre specificarea precisă a

unor variabile care acţionează în timp;

- în al doilea rând, el reprezintă măsura artificială a acelor variabile care acţionează

asupra variabilei Y care, fiind de natură calitativă, nu pot fi cuantificate şi, ca atare, nici

specificate în modelul econometric.

Un exemplu cunoscut în acest sens îl constituie funcţia de producţie Cobb -

Douglas cu progres tehnic autonom:

Q = A · Kα · Lß · ect · u (1.3.1)

unde:

Q = volumul fizic al producţiei;

K = capitalul;

L = forţa de muncă;

e = numărul natural;

t = timpul;

u = variabilă aleatoare;

A, α, β şi c= parametrii funcţiei,

c estemăsura econometrică a influenţei progresului tehnic asupra volumului producţiei.

10

Sursa de date - Variabilele economice se introduc într-un model econometric cu

valorile lor reale sau empirice (yi = y1, y2, — ,yn; xi = x1, x2,..., xn; n = numărul unităţilor

observate). Aceste valori ale variabilelor unui model se pot obţine pe două căi: fie pe baza

sistemului informaţional statistic (banca de date), fie prin efectuarea de observări statistice

special organizate - de tipul anchetelor statistice.

O problemă fundamentală care se ridică în această etapă o reprezintă calitatea datelor

statistice, respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora. Dacă un model economic se

construieşte cu date false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficienţe, fiind

compromis sub aspect operaţional.

Deoarece problema autenticităţii datelor economice ţine de domeniul statisticii economice,

ne vom rezuma numai a aminti că datele statistice care privesc variabilele economice specificate în

model trebuie să fie culese fără erori sistematice de observare şi de prelucrare, îndeplinind

condiţiile de omogenitate. Omogenitatea datelor presupune:

- colectarea lor de la unităţi statistice omogene;

- reprezentarea aceloraşi definiţii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de

cuprindere ale acestora în timp sau în spaţiu;

- descrierea evoluţiei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs

modificări fundamentale privind condiţiile de desfăşurare a procesului analizat;

- exprimarea variabilelor în aceleaşi unităţi de măsură, condiţie care se referă, în mod

special, la evaluarea indicatorilor economici în preţuri comparabile sau preţuri reale.

„Materia primă" pentru calcule economice o constituie seriile cronologice (serii de timp

sau serii dinamice), mai rar seriile teritoriale, ale variabilelor economice respective, preluate sau

construite pe baza băncii de date statistice existente.

O serie cronologică se construieşte prin observarea variabilelor Y şi X pe perioade egale

de timp (t = 1,2,.., T, t reprezentând luni, trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică:

t 1 2 ... T

xt x1 x2 ... xT

y t y1 y2 ... yT

În comparaţie cu aceasta, o serie de spaţiu rezultă prin observarea variabilelor Y şi X

într-o anumită perioadă de timp - lună, trimestru, semestru, an - la un anumit număr de

11

unităţi socio-economice omogene, i = 1,n, unde n = numărul unităţilor de acelaşi profil, ce

aparţin aceluiaşi sector economic etc. O astfel de serie se prezintă, de regulă, sub următoarea

formă:

xi x1 x2 ... xn

yi y1 y2 ... yn

Într-un model econometric, un fenomen economic X={xi},i = 1,n poate fi introdus cu

următoarele valori:

1) Valori reale sau empirice, xi = (x1, x2,.., xn), valori exprimate în unităţi de măsură

specifice naturii fenomenului X, ele fiind mărimi concrete şi pozitive, deci aparţin sistemului

numerelor raţionale. Vectorul valorilor lui X, xi= (x1, x2,.., xn), poate fi definit prin doi parametri:

- media aritmetică a variabilei X

(1.3.2)

- abaterea medie patratica a variabilei X

(1.3.3)

fiind dispersia variabilei.

De obicei, se considera ca variabila X urmeaza o distributie normala de medie si de

abatere medie patratica σx : L(x) = N( , σx).

2) Valorile centrate :

12

Aceste valori sunt tot mărimi concrete, dar ele aparţin sistemului numerelor reale având

atât valori pozitive cât şi negative.

Se poate demonstra uşor că aceste valori centrate au media egală cu zero, iar dispersia lor

este egală cu dispersia valorilor reale:

(1.3.4)

(1.3.5)

3) Valori centrate şi normate sau abateri standard:

Media si dispersia acestor valori este:

(1.3.6)

(1.3.7)

În plus faţă de aceste două proprietăţi L(x**) = N(0;1) 2 , abaterile standard sunt mărimi

abstracte (adimensionale). Aceste calităţi conduc, atât la diminuarea calculelor statistice cu

2 Relaţia L(x**) = N(0;1) se citeşte: variabila urmează legea de probabilitate

normală având media egală cu zero iar abaterea medie pătratică este egală cu unu (legea normală, centrată şi redusă).

13

aceste valori, cât şi la efectuarea de comparaţii între distribuţiile mai multor fenomene

economice de naturi diferite.

Un model econometric poate fi format dintr-o singură relaţie sau dintr-un sistem de

relaţii statistice. Aceste relaţii pot fi: relaţii de identitate sau deterministe, relaţii de

comportament, relaţii tehnologice şi relaţii instituţionale.

Relaţiile de identitate sunt de tipul ecuaţiilor de balanţă folosite în „Sistemul de balanţe

ale economiei naţionale"

Relaţiile de comportament sunt acele ecuaţii stochastice care reflectă şi modelează

un proces de luare a deciziei, care încearcă să descrie răspunsul variabilei endogene Y, sub forma

deciziei, la un set de valori ale variabilelor exogene. De exemplu, într-un model

macroeconomic, relaţiile de comportament se referă la dependenţe privind consumul,

investiţiile, importul şi exportul, sistemul de preţuri, cererea monetară, etc.

Relaţiile tehnologice descriu atât imperativele de ordin tehnologic privind producţia cât

şi relaţiile tehnico-economice existente în producţie, forţa de muncă şi fondurile de producţie ale

unei unităţi, ale unei ramuri sau ale economiei naţionale. Aceste relaţii tehnologice sunt

reprezentate de cunoscutele funcţii de producţie de diferite tipuri.

Relaţiile instituţionale sunt folosite pentru a explica în mod determinist sau stochastic

fenomenele care sunt determinate fie de lege, fie de tradiţie sau fie de obiceiuri. Din rândul

acestora fac parte, de exemplu, ecuaţiile care explică stabilirea impozitelor sau a cotizaţiilor în

funcţie de venit.

Tipologia modelelor econometrice este extrem de vastă. Totuşi, un model econometric

poate fi construit prin intermediul unei singure ecuaţii de comportament, tehnologice sau

instituţionale, sau cu ajutorul unui sistem de ecuaţii de genul celor patru relaţii, menţionate mai

sus, denumite modele cu ecuaţii multiple.

Testele statistice3 sunt instrumente de lucru indispensabile investigaţiei

econometrice. Necesitatea utilizării acestora este determinată de faptul că demersul

econometric constă într-o înşiruire logică de ipoteze privind semnificaţia variabilelor exogene, a

calităţii estimaţiilor obţinute, a gradului de performanţă a modelelor construite.

Acceptarea sau respiungerea ipotezelor formulate în econometrie se poate face cu ajutorul mai

multor teste, cele mai uzuale fiind: testul χ2, testul t, testul F etc.

3 Vezi- ipoteză statistică, test, eroare de gradul 1 şi gradul 2, preg de semnificaţie, nivel de semnificaţie- Dicţionar statistic economic, D.C.S., Bucureşti, 1969

14

Pe lângă aceste teste statistice, în practica curentă, în diverse domenii, se foloseşte

frecvent un test denumit „testul erorii". În general, aplicarea acestui test presupune compararea a

două valori:

0 = valoarea observată sau estimată;

T = valoarea teoretică, aşteptată sau prognozată.

Pe baza celor două valori se definesc:

- eroarea absolută, ;

- eroarea relativă,

Se construiesc cele două ipoteze:

H0: 0 ≈ T ;

H1: 0 ≠ T.

Stabilindu-se arbitrar o valoare absoluta (Ea) sau relativa (Er) 4 de echivalare a celor doua

valori, (0) si (T), regula de (alegere) decizie a celor doua ipoteze este urmatoarea:

15 este acceptată ipoteza H0 dacă Ea ≤ ea sau Er ≤ er . → cele două valori, (0) şi (T), sunt

echivalente, adică diferenţele dintre ele sunt întâmplatoare şi nu sistematice;

15 este acceptată ipoteza H1 dacă Ea > ea sau Er > er . → cele doua valori, (0) si (T), diferă

semnificativ si nu pot fi considerate ca echivalente, respectiv extrase din aceeaşi urnă sau dintr-o

colectivitate omogenă.

Acest test al erorii este utilizat în mod curent în domeniul analizei statistico-economice a

variatiei în timp şi/sau în spaţiu a unui fenomen economic, dar poate fi aplicat şi în domeniul

econometriei, dar cu discernamânt şi nu în mod excesiv.

4 Un astfel de test şi criteriu de decizie se utilizează în comerţul cu produse îmbuteliate sau ambalate pentru care, de regulă, criteriul de decizie este de 5% din volumul sau greutatea , T, a ambalajului

15

1.3. Întrebări

1. Care este definiţia istorică a econometriei formulată de catre R. Frisch?

2. Care este definiţia extinsă a econometriei promovată de economiştii din

ţările anglo-saxone?

3. Definiţi modelul economic.

4. Definiţi variabilele economice.

5. Definiţi variabilele aleatoare.

6. Care sunt cele două motive pentru care se recurge la variabila timp?

7. Ce presupune omogenitatea datelor?

8. Care sunt relaţiile statistice ce formează un model econometric?

Definiţi-le.

9. Cu ce valori poate fi introdus un fenomen economic într-un model

econometric?

10. Ce presupune testul erorii?

16

1.4. Probleme rezolvate

A. Caz privind asocierea a două variabile alternative (binare)

O societate comercială se aprovizionează de la 2 furnizori A şi B. După primirea

ultimelor două loturi de piese se ştie că:

- furnizorul A a trimis 400 de piese din care 60 au fost rebuturi;

- furnizorul B a trimis 600 de piese din care 70 au fost rebuturi.

Conducerea societăţii ar dori să renunţe la furnizorul A pe motivul unei calităţi

inferioare a produselor sale în raport cu cele ale furnizorului B. Este corectă această decizie?

Rezolvare:

Fundamentarea statistică a deciziilor corecte se poate realiza prin sistematizarea

datelor într-un tabel de forma:

Tabelul 1.

Denumirea

furnizorului (x

)

Calitatea pieselor (y ) Total

(N )Rebuturi bune

A 60 340 400

B 70 530 (n ) 600

Total ( N ) 130 870 1000 (N)

unde:

X = { x }, i = variabila independentă,

x = furnizorul A,

17

x2 = furnizorul B,

Y = {y } , j = variabila dependentă,

y = piese rebut,

y = piese bune,

n = frecvenţele condiţionate ale variabilei Y, de exemplu:

n = piesele rebut trimise de furnizorul A,

n = piesele bune trimise de furnizorul B.

În urma acestei sistematizări a rezultat o serie statistică bidimensională, cu două

variabile binare X şi Y, rezultând două distribuţii marginale:

şi două distribuţii condiţionate ale variabilei Y (calitatea pieselor) în funcţie de furnizori:

N = frecvenţele marginale ale variabilei X,

N = frecvenţele marginale ale variabilei Y,

N = N = N = n = numărul total al observaţiilor.

În cazul unei distribuţii bidimensionale, în funcţie de modul de distribuire al

frecvenţelor n , se poate constata:

a) independenţă totală între cele două variabile dacă

n = = ct sau n = =ct ;

b) o dependenţă strictă între cele două variabile dacă frecvenţele condiţionate n se

distribuie numai pe diagonala principală a tabelului (corelare pozitivă, x cu y şi x2 cu y ) sau

18

numai pe diagonala secundară a tabelului (corelare negativă, x cu y şi x2 cu y ), pentru

celelalte rubrici ale tabelului aceste frecvenţe fiind egale cu zero;

c) o dependenţă statistică dacă frecvenţele condiţionate n se distribuie într-un mod

diferit de cele două cazuri a) şi b); în această situaţie, analiza statică va conduce fie la acceptarea

cazului a) (independenţă), fie la acceptarea cazului c) (dependenţă slabă, medie, puternică etc).

Analizând datele din tabelul 1.1.1. se observă că distribuţia frecvenţelor

condiţionate n se încadrează în cazul c). Deci, în cadrul acestei probleme, decizia corectă

poate fi luată pe baza a cel puţin trei procedee statistice.

a) Testul diferenţei două medii

Se ştie că dacă:

t = t ,

cele două medii şi sunt semnificativ diferite de zero şi, invers, = dacă:

t = < t

unde:

ta = argumentul distribuţiei normale, dacă n 3 0 , sau argumentul distribuţiei

Student, dacă n < 30;

= pragul de semnificaţie (riscul) cu ajutorul căruia se alege decizia corectă; de

regulă, în economie se lucrează cu un prag de semnificaţie de 0,05 (5%) sau, cel mult, de 0,01

(1%).

În cazul de faţă, aplicarea acestui test constă în efectuarea următoarelor calcule:

- calculul procentului mediu al rebuturilor pe fiecare furnizor:

19

f = = = 0,15 sau 15% f = = = 0,1167 sau 11,67%

- calculul dispersiilor:

= f (1 - f ) = 0,15 0,85 = 0,1275

= f (1 - f ) = 0,1167 0,8833 = 0,1031

- alegerea pragului de semnificaţie şi preluarea valorii acestuia din tabelul

distribuţiei respective; pentru = 0,05,din tabela distribuţiei normale se preia valoarea t =

1,96 .

- compararea valorii empirice a variabilei tc cu valoarea sa teoretică t :

t = =1,5

- interpretarea testului:

Deoarece t = 1,5 < t = 1,96 rezultă că între calitatea pieselor livrate de cei doi

furnizori, cu o probabilitate de 0,95 (95%), nu se poate accepta o diferenţă semnificativă şi, ca

atare, nu este corectă decizia de a se renunţa la furnizorul A pe motivul unei mai slabe calităţi a

pieselor.

b) Testul

Aplicarea testului constă în compararea unei valori empirice cu o valoare teoretică

, unde:

= pragul de semnificaţie;

v= (k-1)(m - 1) = numărul gradelor de libertate, m fiind numărul de grupe în funcţie

de variabila Y (y ,,j = ), iar k este numărul de grupe în funcţie de variabila X (x ,i =

), preluat din tabela distribuţiei în funcţie de un prag de semnificaţie şi de numărul

gradelor de libertate . În acest caz, pentru = 0,05 şi = (2 - 1)(2 - 1) =1, din tabel

rezultă =3,84,iar pentru = 0,01 rezultă = 6,63 .

Valoarea empirică a variabilei aleatoare se calculează cu relaţia:

20

=

unde:

nij = frecvenţele reale, i = 1,2, j =1,2;

n* = frecvenţele teoretice în cazul independenţei totale a celor două variabile x şi y ;

n =

- calculul acestor frecvenţe teoretice rezultă din următoarele relaţii:

n = =

n = =

n =

n =

-calculul valorii empirice:

=

=

Utilizarea testului se bazează pe următoarele reguli de decizie:

- dacă < , rezultă că cele două variabile X şi Y sunt independente;

- dacă , rezultă că cele două variabile X şi Y nu sunt independente.

21

Deoarece = 2,36 < =3,84, rezultă că cele două variabile sunt independente, deci

calitatea pieselor nu depinde de tipul furnizorilor şi, ca atare, nici decizia de a rezilia contractul

cu furnizorul A nu este justificată.

c) În cazul unei grupări combinate de 2x2, adică 2 variabile care au 2 variante,

analiza statistică a legăturii dintre acestea se poate face şi cu ajutorul coeficientului de

asociere al lui Yulle, definit prin relaţia:

cu abaterea medie pătratică:

Acest coeficient este definit în intervalul , având semnificaţia:

= -1 corelaţie strict negativă între variabile;

= 0 independenţă între variabile;

= 1 corelaţie strict pozitivă între variabile.

Pentru cazul analizat, valorile acestor indicatori sunt:

Ştiind că variabila este o variabilă aleatoare ce urmează o

distribuţie normală N(0, ), valoarea empirică se acceptă că este

semnificativ diferită de zero daca, rezulta ca intre cele doua

variabilesemnificativ diferită de zero dacă

22

rezultă că între cele doua variabile există o legătură, iar dacă < rezultă că valoarea

lui nu este semnificativ diferită de zero, ceea ce presupune că cele două variabile sunt

independente.

Ştiind că t = 1,96 iar valoarea = =1,55< t =1,96 ,

rezultă că cele două variabile sunt independente, situaţie care conduce la aceeaşi concluzie ca

şi în cazul punctelor a) şi b): rezilierea contractului cu furnizorul A nu poate fi justificată de

aprecierea unei calităţi mai slabe a produselor acestuia.

B. Caz privind asocierea a două variabile calitative nealternative

În urma efectuării unui sondaj statistic s-au obţinut următoarele date privind distribuţia pe

ramuri ale economiei naţionale a şomerilor, grupaţi pe trepte de calificare:

Tabelul 1

Ramuri

ale

economiei

Trepte de calificare a şomerilor Total

persoanenecalificaţi

calificare

medie şi

profesională

calificare

superioară

Industrie400

500

257

200

143

100800

Construcţii

100

100

64

50

36

50200

Alte

ramuri

200

100

129

200

71

100 400

Total

persoane 700 450 250 1400 (N)

Analizaţi datele din tabel şi precizaţi dacă se poate admite o asociere între profilul

ramurilor economice şi calificarea şomerilor.

23

Rezolvare:

Datele problemei se referă la dependenţa dintre două variabile nominale

- ramurile economiei naţionale) şi - trepte de calificare ale

şomerilor) ale căror variante sunt în număr mai mare de două (k=3>2, m= 3>2)- cazul unui tabel

de k m rubrici. Deoarece frecvenţele condiţionate nu sunt nici constante pe liniile tabelului

şi nici distribuite numai pe rubricile diagonalei principale sau secundare, distribuţia acestora arată

că poate fi acceptată ipoteza unei dependenţe statistice între cele două variabile. În acest caz,

acceptarea sau respingerea ipotezei de dependenţă statistică dintre cele două variabile se poate

face cu ajutorul testului . Utilizarea acestui test presupune următoarele operaţii:

- preluarea valorii teoretice a variabilei din tabel în funcţie de un prag de

semnificaţie şi de numărul gradelor de libertate respectiv pentru =

0,05 şi = (3-1)(3-1)=4 din tabelă rezultând , iar pentru = 0,01,

.

- calculul valorii empirice a variabilei aleatoare cu ajutorul relaţiei:

=

unde: n = frecvenţele reale, i = j=

= frecvenţele teoretice în cazul independenţei totale a celor două variabile X şi Y;

Pe baza datelor din tabel, aceste frecvenţe teoretice sunt egale cu:

24

-compararea valorii empirice cu valoarea sa teoretică:

Deoarece = 160 > rezultă că ipoteza de independenţă dintre

variabile nu poate fi acceptată şi, deci, distribuţia şomerilor pe trepte de calificare este

influenţată de structura pe ramuri ale economiei naţionale. Cu alte cuvinte, trecerea în şomaj a

salariaţilor nu s-a făcut întâmplător, predominând şomerii necalificaţi, urmând cei cu pregătire

medie şi, pe ultimul loc, şomerii cu pregătire superioară

C. Caz privind asocierea dintre o variabilă calitativă independentă şi o

variabilă numerică dependentă

O întreprindere de automobile poate să-şi echipeze vehiculele cu două tipuri de

pneuri A şi B. În urma încercării a două loturi de 100 de pneuri din fiecare tip au rezultat

următoarele date:

Tabelul.3.

Tipuri de

pneuri

Rezistenţa la uzură (1000 km parcurşi)

Total

25

Recomandaţi întreprinderii ce tip de pneu va trebui să folosească, ştiind că preţul de

vânzare a celor două tipuri de pneuri este acelaşi.

Rezolvare:

Această problemă abordează cazul dependenţei dintre două variabile de natură diferită.

Variabila cauzală X - tipurile de pneuri, este o caracteristică nominală, în timp ce variabila

efect Y - rezistenţa la uzură, este o variabilă numerică.

Rezolvarea acestei probleme presupune parcurgerea a două etape:

- prima etapă se referă la acceptarea sau respingerea ipotezei de dependenţă dintre

cele două variabile;

- a doua etapă urmează numai în cazul acceptării ipotezei de dependenţă între

variabile şi necesită alegerea tipului de pneu cu cea mai mare rezistenţă la uzură; se deduce

uşor că în cazul independenţei dintre cele două variabile, rezistenţa la uzură nu depinde

de tipul pneului, întreprinderea putând utiliza oricare dintre ele.

O astfel de problemă poate fi rezolvată cu ajutorul mai multor procedee statistice -

testul , testul diferenţei dintre două medii şi metoda analizei variaţiei.

Deoarece primele două procedee au fost deja expuse (vezi problemele A şi B) şi, în

plus, acestea necesită calcule suplimentare, pentru etapa a doua recomandăm abordarea unor

probleme de acest tip cu ajutorul metodei analizei variaţiei.

Metoda analizei variaţiei se fundamentează pe discuţia următoarelor distribuţii:

- distribuţia marginală a variabilei

- distribuţiile condiţionate ale variabilei Y în funcţie de variantele variabilei factoriale

Pe baza acestor distribuţii se calculează trei mărimi:

- varianţa totală (sau dispersia totală ) calculată pe baza distribuţiei

marginale a lui Y cu ajutorul relaţiei:

26

unde:

reprezintă media distribuţiei marginale,iar sunt mediile condoţionate ale variabilei Y in

funcţie de variantele variabilei factoriale X.

Această mărime, , măsoară variaţia totală a variabilei Y generată de influenţa întregului

complex de factori ce o determină.

- varianţa dintre grupe este măsura variaţiei variabilei Y generată de variaţia

caracteristicii factoriale X. Această mărime se calculează cu relaţia:

- varianţa reziduală este o mărime care exprimă variaţia caracteristicii Y generată

de factorii consideraţi aleatori, exceptând influenţa factorului X. Relaţia de calcul a acestei mărimi

este:

Se poate demonstra că între cele trei mărimi există relaţia:

= +

Raportând relaţia de mai sus la se obţine contribuţia relativă a factorului esenţial

şi a factorilor întâmplători la explicarea variaţiei totale.

27

100=

Indicatorul poartă numele de raport de corelaţie empirică şi

exprimă intensitatea legăturii dintre cele două variabile. Se deduce uşor că acest indicator

este definit în intervalul

Interpretarea valorilor raportului de corelaţie empirică se face pe baza următoarelor reguli:

Dacă datele provin dintr-o cercetare selectivă, înainte de a explica variaţia lui Y şi a

interpreta valoarea raportului de corelaţie empirică va trebui să se verifice semnificaţia

rezultatelor. Testarea semnificaţiei rezultatelor se face cu ajutorul testului “F” - testul Fisher-

Snedecor.

Rezultatele se consideră semnificative (R este semnificativ diferit de zero) dacă există

inegalitatea:

unde: , reprezintă valoarea empirică a variabilei Fisher-Snedecor;

28

, este valoarea teoretică preluată din tabela distribuţiei Fisher-

Snedecor în funcţie de un prag de semnificaţie şi de numărul gradelor de libertate

şi .

Pe baza datelor din tabelul 4 se vor calcula indicatorii necesari aplicării metodei analizei

variaţiei:

- calculul rezistenţei medii la uzură şi a dispersiei pentru pneurile de tip A.

Fie: k = mărimea intervalului de grupare, k=5;

a= mărimea centrului de interval cu frecvenţa maximă, a=37,5.

29

k = 5, a = 37,5 Tabelul. 4

Rezistenţa la uzură

(1000 km parcurşi)

20-25 22,5 2 -3 -6 18

25-30 27,5 8 -2 -16 32

30-35 32,5 20 -1 -20 20

35-40 37,5 40 0 0 040-45 42,5 20 1 20 20

45-50 47,5 10 2 20 40

Total - 100 - -2 130

30

- calculul rezistenţei medii la uzură şi al dispersiei ) pentru pneurile de tip B.

k = 5, a= 32,5 Tabelul 5

Rezistenţa la

uzură (1000 km

parcurşi)

20-25 22,5 17 -2 -34 6825-30 27,5 13 -1 -13 1330-35 32,5 40 0 0 035-40 37,5 20 1 20 2040-45 42,5 8 2 16 3245-50 47,5 2 3 6 18Total - 100 - -5 151

- calculul rezistenţei medii la uzură şi al dispersiei pe ansamblul celor două tipuri de

pneuri (distribuţia marginală a variabilei Y).

Tabelul 6

Rezistenţa la

uzură

(1000 km parcurşi)

20-25 22,5 19 -2 -38 7625-30 27,5 21 -1 -21 2130-35 32,5 60 0 0 035-40 37,5 60 1 60 6040-45 42,5 28 2 56 11245-50 47,5 12 3 36 108Total - 200 - 93 377

-

calculul varianţelor:

Varianţa totală

Varianţa dintre grupe:

Varianţa reziduală:

- interpretarea rezultatelor se realizează utilizând tabelul analizei variaţiei:

Tabelul 7

Sursa de

variaţie

Măsura

variaţiei

Nr.

grade de

libertate

Dispersia

corectată

Valoarea testului F

Varianţa

dintre

grupe

k-1=1F0,05;1;198=3,89

F0,01;1;198=6,76

Varianţa

reziduală N-k=198

- -

Varianţa

totală N-1=199 - - -

Deoarece testul Fisher-Snedecor arată că rezultatele obţinute nu sunt întâmplătoare, cu

un prag de semnificaţie de 1%

ci sistematice, se vor calcula contribuţia relativă a

factorului X - marca pneurilor, la explicarea variaţiei variabilei Y şi raportul de

corelaţie empirica (R):

Întrucât marca pneurilor explică în mică măsură variaţia totală a uzurii pneurilor,

respectiv numai 15,89%, iar raportul de corelaţie are o valoare de asemenea mică, 0,399,

rezultă faptul că tipul de pneuri nu reprezintă un factor important al uzurii şi, prin urmare,

ierarhizarea pneurilor nu se poate face în funcţie de acest factor. Din acest punct de vedere,

întreprinderea de automobile îşi poate echipa vehiculele cu orice tip de pneu, eventual alegerea

putându-se realiza după alţi factori: facilităţi de aprovizionare, renumele mărcii etc.

D Caz privind corelaţia dintre două variabile numerice

În urma unui studiu statistic efectuat asupra unui eşantion de 110 societăţi comerciale

cu acelaşi profil a rezultat următoarea distribuţie a acestora în funcţie de capitalul social şi de

profitul brut realizat:

Tabelul 8

Grupe de societăţi

după mărimea

capitalului (mii. lei)

Grupe de societăţi după profitul brut (mii.lei) Total

sub 30 30-

50

50-

70

70-

90

90-

110

110-

130

130-

150

peste

150sub 50 7 2 1 - - - - - 10

50 - 100 2 10 9 4 - - - - 25100 - 150 1 4 15 10 6 4 - - 40150 - 200 - - - 5 9 4 2 - 20peste 200 - - - - 3 7 5 15

Total 10 16 25 19 15 11 9 5 110 (N)

Pe baza acestor rezultate se poate considera că mărimea profitului brut depinde în mod

hotărâtor de capitalul social al societăţilor de acest profil?

Rezolvare:

Tabelul 8 poartă numele de tabel de corelaţie deoarece în cadrul acestuia, a fost

sistematizată distribuţia celor 110 societăţi în funcţie de două variabile numerice:

X - capitalul social al societăţilor comerciale - variabilă factorială;

Y - profitul brut al societăţilor comerciale - variabilă rezultativă.

Un astfel de tabel se foloseşte în scopul acceptării sau respingerii ipotezei de lucru,

respectiv din ansamblul factorilor de influenţă ai variabilei Y, factorul X este factorul hotărâtor,

determinant al variabilei Y.

Fiind o serie bidimensională analiza acesteia se efectuează după aceleaşi principii

prezentate în aplicaţia A. Deoarece frecvenţele se distribuie cu cele mai mari valori de-a

lungul diagonalei principale, dar înregistrând valori şi la stânga şi la dreapta faţă de această

diagonală, rezultă că între cele două variabile se manifestă o legătură statistică în sens direct.

În acest caz, discuţia legăturii statistice se poate face cu ajutorul mai multor procedee cum

ar fi:

a) metoda analizei variaţiei ;

b) şi metoda regresiei.

Întrucât metoda regresiei necesită precizări suplimentare, care vor fi făcute în capitolul

următor, caracterizarea statistică a dependenţei dintre capitalul social şi profitul brut al

societăţilor se va face numai cu ajutorul metodei analizei variaţiei. Utilizarea sa în acest scop va

decurge în mod analog cu aplicarea sa din problema precedentă:

- calculul mediilor parţiale 5 - numărul grupelor de societăţi după mărimea

capitalului) şi al dispersiilor parţiale

profitul mediu brut şi dispersia societăţilor comerciale al căror capital este

mai mic de 50 mii lei (a=20; K=20).

Tabelul 9

Profitul brut

(mii. lei)

10-30 7 20 0 0 030-50 2 40 1 2 250-70 1 60 2 2 4Total 10 - - 4 6

pentru celelalte grupe de societăţi comerciale în funcţie de capital, profiturile medii

brute şi dispersiile corespunzătoare s-au calculat pe baza distribuţiilor condiţionate

respective, rezultând următoarele valori:

mii. lei/s.c.;

mii. lei/s.c.;

mii. lei/s.c.;

mii. lei/s.c.;

profitul mediu brut pe ansamblul celor 110 societăţi comerciale şi dispersia aferentă

au fost calculate pe baza distribuţiei marginale a variabilei rezultative, obţinându-se

următoarele valori:

= 79,45 mii. lei/s.c.; = 14508,

-calculul varianţelor:

varianţa totală:

varianţa dintre grupe:

varianţa reziduală:

- interpretarea rezultatelor se realizează utilizând tabelul analizei variaţiei:

T a b e l u l 1 0

Sursa de

variaţie

Măsura variaţiei Nr.

grade

de

libertate

Dispersia

corectată

Valoarea testului F

Varianţa

dintre

grupe k-1=1

Varianţa

reziduală N-k=108 - -

Varianţa

totală N-

1=109

- - -

Deoarece testul Fisher-Snedecor indică faptul că rezultatele sunt semnificative cu un prag

de semnificaţie de 1% , se vor calcula contribuţia relativă a

factorului X - capitalul social, la explicarea variaţiei variabilei Y şi raportul de corelaţie

empirică (R):

Deoarece mărimea capitalului social al societăţilor comerciale explică 73,65% din

variaţia profitului brut al acestora, iar raportul de corelaţie are o valoare de 0,858 (apropiată de

limita maximă 1) rezultă că acest factor determină în mare măsură profitul brut al societăţilor de

acest profil.

1.5. Probleme propuse

A. Într-o secţie de prelucrare a unei întreprinderi există două prese (A şi B), pe fiecare

din ele prelucrându-se câte un lot de piese de acelaşi tip.

Datorită diminuării cererii acestui produs întreprinderea trebuie să renunţe la una din

prese. Să se menţioneze la care presă trebuie să se renunţe cunoscând următoarele rezultate

obţinute în urma unei selecţii:

- dintr-un lot de 1000 de piese executate la presa A, 2,5% au fost rebuturi;

- dintr-un lot de 800 de piese executate la presa B, 4,5% au fost rebuturi.

B. O fabrică de frigidere primeşte motoare de la trei furnizori diferiţi. În ultimii 5 ani s-

au efectuat o serie de înregistrări referitoare la gravitatea problemelor constatate la motoarele

returnate de clienţi pentru service în timpul perioadei de garanţie. Aceste defecţiuni au fost

clasificate în trei categorii: minore, majore şi "înlocuit".

În tabelul următor sunt prezentate datele culese aleator referitoare la tipurile de defecţiuni

constatate la motoarele returnate, grupate pe furnizori:

Furnizori Tipul defecţiunii: Total motoare

defecteminoră majoră înlocuit

A 15 25 18 58B 8 16 10 34C 18 26 20 64

Apreciaţi dacă se poate admite că există o diferenţă calitativă semnificativă între

motoarele livrate de cei trei furnizori.

C. În urma prelucrării datelor unui sondaj statistic s-au obţinut următoarele

rezultate:

Dimensiunea

societăţilor

Rata profitului (%) Numărul

societăţilor sub 5 5-10 10-15 15-20 peste

20mici - 13 17 40 15 85

mijlocii 4 16 30 20 15 65mari 2 8 15 12 8 45

Pe baza acestor date, se poate accepta ipoteza că rentabilitatea societăţilor

comerciale este invers proporţională cu mărimea lor?

D Rezultatele obţinute în urma unui sondaj efectuat în vederea stabilirii dacă între

vârsta unui şofer şi numărul abaterilor de circulaţie efectuate de către acesta există vreo

legătură sunt ilustrate în tabelul următor:

Vârsta

(ani)

Numărul de abateri0 1-2 3-4 5 şi peste

18-25 6 24 20 1026-50 12 18 6 451-75 4 16 8 3

Poate fi considerată ca semnificativă vârsta persoanelor în explicarea numărului de

abateri de circulaţie efectuate?

E. O societate comercială care desface zilnic un produs (lapte) trebuie să încheie

un contract cu furnizorul privind aprovizionarea zilnică. La fiecare litru vândut în ziua

respectivă firma câştigă 2000 lei şi pierde 500 lei dacă nu-l desface în ziua respectivă.

O statistică a desfacerilor din anul trecut se prezintă astfel:

Cerere (litri

vânduţi)

Număr

de zile90 80100 120130 60150 50160 30200 20

Total 360

Acceptând că distribuţia cererii pe zilele anului este relativ stabilă, recomandaţi cantitatea

cu care trebuie să se aprovizioneze zilnic firma pentru a obţine profit maxim.

BIBLIOGRAFIE

1. Andrei, T. - Statistică şi econometrie Editura Economică,

Bucureşti, 2004.

2. Bourbonnais R , Econometrie , Ed. Dunod , Paris , 1998

3. Dormont B , Introduction a l’econometrie , Ed.

Montchrestien , Paris , 1999

4. Florea I.(coordonator), Culegere de modele econometrice, Ed.

Muntele Sion,2000.

5. Iacob, A.I., Tănăsoiu, O. Econometrie, Studii de caz, Ed. ASE,

Bucureşti, 2005.

Capitolul 2

Testarea ipotezelor statistice

2.1.OBIECTIVE: introducerea studenţilor în sfera şi noţiunile specifice testării

ipotezelor statistice

2.2.PREZENTARE SINTETICĂ:

2.2.1. Concepte şi erori în testarea ipotezelor statistice

În statistică, ipotezele apar întotdeauna în perechi: ipoteza nulă şi ipoteza alternativă.

Ipoteza statistică ce urmează a fi testată se numeşte ipoteză nulă şi este notată, uzual, H0. Ea

constă întotdeauna în admiterea caracterului întâmplător al deosebirilor, adică în presupunerea că

nu există deosebiri esenţiale. Respingerea ipotezei nule care este testată implică acceptarea unei

alte ipoteze. Această altă ipoteză este numită ipoteză alternativă, notată H1. Cele două ipoteze

reprezintă teorii, mutual exclusive şi exhaustive, asupra valorii parametrului populaţiei sau legii

de repartiţie. Spunem că ele sunt mutual exclusive deoarece este imposibil ca ambele ipoteze să

fie adevărate. Spunem că ele sunt exhaustive, deoarece acoperă toate posibilităţile, adică ori

ipoteza nulă, ori ipoteza alternativă trebuie să fie adevărată.

Procedeul de verificare a unei ipoteze statistice se numeşte test sau criteriu de

semnificaţie. O secvenţă generală de paşi se aplică la toate situaţiile de testare a ipotezelor

statistice. Ipotezele se vor schimba, tehnicile statistice aplicate se vor schimba, dar procesul

rămâne acelaşi şi anume:

1). Se identifică ipoteza statistică specială despre parametrul populaţiei sau legea de

repartiţie (H0). Ipoteza statistică – numită şi ipoteză nulă – reprezintă status quo-ul, ceea ce este

acceptat până se dovedeşte a fi fals.

2). Întotdeauna ipoteza nulă este însoţită de ipoteza alternativă (de cercetat), H1, ce

reprezintă o teorie care contrazice ipoteza nulă. Ea va fi acceptată doar când există suficiente

dovezi, evidenţe, pentru a se stabili că este adevărată.

După natura posibilităţilor de construire a ipotezelor nule şi alternative, deosebim ipoteze

alternative simple sau compuse. Astfel, dacă ipoteza nulă constă în afirmaţia că parametrul θ al

unei distribuţii este egal cu o anumită valoare θ0, iar ipoteza alternativă constă în afirmaţia că

parametrul este egal cu θ1, avem o ipoteză alternativă simplă, iar dacă ipoteza alternativă constă

în afirmaţia că parametrul θ ia una din mai multe valori, , atunci avem o

ipoteză alternativă compusă.

3). Se calculează indicatorii statistici în eşantion, utilizaţi pentru a accepta sau a respinge

ipoteza nulă şi se stabileşte testul statistic ce va fi utilizat drept criteriu de acceptare sau de

respingere a ipotezei nule.

4). Se stabileşte regiunea critică, Rc. Regiunea critică reprezintă valorile numerice ale

testului statistic pentru care ipoteza nulă va fi respinsă. Regiunea critică este astfel aleasă încât

probabilitatea ca ea să conţină testul statistic, când ipoteza nulă este adevărată să fie α, cu α mic

(α=0.01 etc). Verificarea ipotezei nule se face pe baza unui eşantion de volum n, extras din

populaţia X, care este o variabilă aleatoare. Dacă punctul definit de vectorul de sondaj x1,x2,…,xn

cade în regiunea critică Rc, ipoteza H0 se respinge, iar dacă punctul cade în afara regiunii critice

Rc, ipoteza H0 se acceptă. Regiunea critică este delimitată de valoarea critică, C – punctul de

tăietură în stabilirea acesteia.

În baza legii numerelor mari, numai într-un număr foarte mic de cazuri punctul rezultat din

sondaj va cădea în Rc, majoritatea vor cădea în afara regiunii critice. Nu este însă exclus ca

punctul din sondaj să cadă în regiunea critică, cu toate că ipoteza nulă despre parametrul

populaţiei este adevărată. Cu alte cuvinte, atunci când respingem ipoteza nulă, trebuie să ne

gândim de două ori, deoarece există două posibilităţi: ea este falsă într-adevăr şi ea este totuşi

adevărată, deşi pe baza datelor din sondaj o respingem.

La fel şi pentru situaţia în care acceptăm ipoteza nulă H0. Când ipoteza nulă nu poate fi

respinsă (nu există suficiente dovezi pentru a fi respinsă), sunt două posibilităţi: ipoteza nulă este

adevărată şi ipoteza nulă este totuşi falsă, greşită deşi nu am respins-o. De aceea, este mai corect

să spunem că pe baza datelor din eşantionul studiat, nu putem respinge ipoteza nulă, decât

să spunem că ipoteza nulă este adevărată.

Eroarea pe care o facem eliminând o ipoteză nulă, deşi este adevărată, se numeşte eroare

de genul întâi. Probabilitatea comiterii unei astfel de erori reprezintă riscul de genul întâi (α) şi

se numeşte nivel sau prag de semnificaţie.

Nivelul de încredere al unui test statistic este (1-α) iar în expresie procentuală, (1-α)100

reprezintă probabilitatea de garantare a rezultatelor.

Eroarea pe cere o facem acceptând o ipoteză nulă, deşi este falsă, se numeşte eroare de

genul al doilea, iar probabilitatea (riscul) comiterii unei astfel de erori se notează cu β. Puterea

testului statistic este (1-β).

Tabelul de mai jos ilustrează legătura dintre decizia pe care o luăm referitor la ipoteza nulă

şi adevărul sau falsitatea acestei ipoteze.

Erorile în testarea ipotezelor statistice

Decizia de

acceptare

Ipoteza adevărată

H0 H1

0 1 2

H0 Decizie corectă

(probabilitate 1-α)

Eroare de gen II

(risc β)

H1 Eroare de gen I

(risc α)

Decizie corectă

(probabilitate 1-β)

Cu cât probabilităţile comiterii erorilor de genul întâi şi de genul al doilea sunt mai mici, cu

atât testul este mai bun. Acest lucru se poate realiza prin mărirea volumului eşantionului, n.

Nivelurile riscurilor se stabilesc în funcţie de considerente economice şi de natura testului.

Am văzut că:

α= P(respingere H0 ׀ H0 este corectă)=P(eroare de gen I)

β= P(acceptare H0 ׀ H0 este falsă)=P(eroare de gen II)

Alegerea nivelului (pragului) de semnificaţie depinde şi de costurile asociate cu

producerea unei erori de genul I.

Spre exemplu, pragul de semnificaţie ales de o firmă ce fabrică îngheţată, interesată în

greutatea medie a cutiilor de îngheţată va putea fi diferit de pragul de semnificaţie ales de o

companie farmaceutică, interesată de cantitatea medie a unui ingredient activ dintr-un tip de

medicament. Evident, costul în prima situaţie prezentată este mult mai mic, comparativ cu costul

asociat în cazul producerii unei erori de genul I pentru compania farmaceutică: o cantitate prea

mică de ingredient activ poate face medicamentul ineficient; o cantitate prea mare de ingredient

activ poate cauza efecte secundare, dăunătoare sau poate avea, chiar, efecte letale.

Similar, există costuri asociate cu producerea unei erori de genul al II-lea. Între eroarea de

genul I şi eroarea de genul al II-lea există o legătură, o condiţionare. O modalitate de a vizualiza

această legătură este să presupunem că există doar două distribuţii care ne interesează. O

distribuţie corespunde ipotezei nule H0, iar cealaltă corespunde ipotezei alternativei H1. În acest

caz, presupunem că şi ipoteza nulă şi cea alternativă sunt ipoteze simple. Într-o manieră uşor de

înţeles, să considerăm că ipoteza nulă este de forma H0: μ=μ0, iar ipoteza alternativă este de forma

H1:μ=μ1 (vezi fig):

Legătura dintre probabilităţile α şi β

Pe grafic se observă că cele două distribuţii se suprapun şi, din procesul de testare a

ipotezei nule, pot rezulta două tipuri de erori.

Eroarea de genul I apare atunci când respingem ipoteza nulă H0, în situaţia în care, de fapt,

aceasta este adevărată. Adică, deşi distribuţia lui este cea corespunzătoare ipotezei H0,

respingem H0, deoarece media de sondaj este mai mare decât valoarea critică, C şi se situează în

regiunea critică. Probabilitatea comiterii unei astfel de erori () este aria de sub curba de dis-

tribuţie H0 care se situează la dreapta valorii critice C.

Eroarea de genul al doilea apare atunci când nu respingem (adică acceptăm) H0, deşi H1 în

loc de H0 este corectă. În acest caz, deşi distribuţia lui este cea corespunzătoare ipotezei H1,

acceptăm H0 deoarece media de sondaj este mai mică decât valoarea critică, C (nu se află în

regiunea critică). Probabilitatea comiterii unei astfel de erori (β) este aria de sub curba de

distribuţie H1 care se situează la stânga valorii critice, C.

Dacă alegem un prag de semnificaţie, α, mai mic (adică reducem riscul comiterii unei erori

de genul întâi), va creşte β ( riscul comiterii unei erori de genul al doilea). Cu toate acestea, prin

creşterea volumului n al eşantionului, este posibil să reducem riscul β, fără a creşte riscul α.

Cum , o dată cu creşterea volumului n al eşantionului, abaterile medii pătratice

ale distribuţiilor pentru H0 şi H1 devin mai mici şi, evident, atât α, cât şi β descresc (vezi fig.).

α şi β când volumul eşantionului n' > n

5) După ce am stabilit pragul de semnificaţie şi regiunea critică, trecem la pasul următor, în

care vom face principalele presupuneri despre populaţia sau populaţiile ce sunt eşantionate

(normalitate etc.).

6) Se calculează apoi testul statistic şi se determină valoarea sa numerică, pe baza datelor

din eşantion.

7) La ultimul pas, se desprind concluziile: ipoteza nulă este fie acceptată, fie respinsă,

astfel:

a) dacă valoarea numerică a testului statistic cade în regiunea critică (Rc),

respingem ipoteza nulă şi concluzionăm că ipoteza alternativă este adevărată.

Vom şti că această decizie este incorectă doar în 100 α % din cazuri;

b) dacă valoarea numerică a testului nu cade în regiunea critică (Rc), se

acceptă ipoteza nulă H0.

Ipoteza alternativă poate avea una din trei forme (pe care le vom exemplifica pentru

testarea egalităţii parametrului „media colectivităţii generale“, μ cu valoarea μ0):

i) să testăm dacă parametrul din colectivitatea generală (media μ) este egal cu o anumită

valoare (inclusiv zero, μ0), cu alternativa media diferită de valoarea μ0. Atunci:

H0: μ = μ0

H1: μ ≠ μ0 (μ < μ0 sau μ > μ0);

şi acest test este un test bilateral;

ii) să testăm ipoteza nulă μ = μ0, cu alternativa media μ este mai mare decât μ0.

H0: μ = μ0

H1: μ > μ0

care este un test unilateral dreapta;

iii) să testăm ipoteza nulă μ = μ0, cu alternativa media μ este mai mică decât μ0.

H0: μ = μ0

H1: μ < μ0

care este un test unilateral stânga.

Regiunea critică pentru testul bilateral diferă de cea pentru testul unilateral. Când încercăm

să detectăm o diferenţă faţă de ipoteza nulă, în ambele direcţii, trebuie să stabilim o regiune

critică Rc în ambele cozi ale distribuţiei de eşantionare pentru testul statistic. Când efectuăm un

test unilateral, vom stabili o regiune critică într-o singură parte a distribuţiei de eşantionare, astfel

(vezi fig.):

μ μ μ

a) b) c)

Regiunea critică pentru a) test bilateral; b) test unilateral stânga; c) test unilateral dreapta

2.2.2. Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ)

pentru eşantioane de volum mare

Utilizarea eşantioanelor de volum mare (n > 30) face posibilă aplicarea teoremei limită

centrală. Putem întâlni teste unilaterale sau bilaterale, astfel:

i) în cazul testului bilateral, ipotezele sunt:

H0: μ = μ0 (μ - μ0=0)

H1: μ ≠ μ0 (μ - μ0≠0) (adică μ < μ0 sau μ > μ0);

Testarea se face pe baza mediei eşantionului şi, pentru a o efectua, este nevoie să

construim un test cu un nivel de semnificaţie α prestabilit. Utilizând teorema limită centrală am

văzut că dacă volumul eşantionului este mare, media eşantionului este aproximativ normal

distribuită. De aceea, variabila aleatoare z urmează o distribuţie normală standard.

Dacă pragul de semnificaţie (α) este stabilit, putem determina valoarea zα/2, pentru care

P(z> z α/2)= α/2. Aceasta înseamnă că regiunea critică Rc este dată de:

Rc: z< - z α/2 sau z> z α/2

Regula de decizie este, deci:

Respingem H0 dacă

sau

ii) pentru testul unilateral dreapta, ipotezele sunt:

H0: μ = μ0 (μ - μ0=0)

H1: μ > μ0 (μ - μ0>0);

Testul statistic calculat este:

Regiunea critică este dată de:

Rc: z > zα

Regula de decizie este:

Respingem ipoteza H0 dacă

iii) Pentru testul unilateral stânga, ipotezele sunt:

H0: μ = μ0 (μ - μ0=0)

H1: μ < μ0 (μ - μ0<0);

Testul statistic calculat este:

Regiunea critică este dată de:

Rc: z < –zα

Regula de decizie este:

Respingem ipoteza H0 dacă :

Să remarcăm că în nici una dintre aceste situaţii nu trebuie făcută o presupunere

specială, deoarece teorema limită centrală ne asigură că testul statistic va fi aproximativ normal

distribuit, indiferent de forma distribuţiei din colectivitate.

2.2.3.Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii

pentru eşantioane de volum mare

Multe cazuri de analiză statistică implică o comparaţie între mediile a două colectivităţi

generale. Spre exemplu, un patron al unui restaurant doreşte să vadă dacă există diferenţe între

vânzările realizate înainte şi după o campanie de publicitate, un grup de consumatori doreşte să

vadă dacă există o diferenţă semnificativă între consumul electric pentru două tipuri de cuptoare

cu microunde etc.

În aceste situaţii, un estimator al diferenţei (μ1- μ2) este diferenţa dintre mediile

eşantioanelor ( ).

Proprietăţile distribuţiei de eşantionare a diferenţei ( ) sunt:

a) distribuţia de eşantionare pentru ( ) este aproximativ normală pentru

eşantioane de volum mare (n1 > 30 şi n2 > 30);

b) media distribuţiei de eşantionare a lui ( ) este (μ1 – μ2);

c) dacă cele două eşantioane sunt independente, abaterea medie pătratică a distribuţiei

de eşantionare este:

unde şi sunt dispersiile celor două populaţii eşantionate, iar n1 şi n2 sunt volumele

eşantioanelor respective.

Mărimea lui indică variabilitatea în valorile , aşteptată în distribuţia de

eşantionare, datorită întâmplării.

În cazul în care dispersiile celor două populaţii eşantionate sunt egale, = = , abaterea

medie pătratică a distribuţiei de eşantionare va avea forma:

În aceste condiţii, ipotezele statistice ce urmează a fi testate vor fi:

i) test bilateral

H0: (μ1- μ2) = D

H1: (μ1- μ2) ≠ D

[(μ1- μ2)>D sau (μ1- μ2)<D]

ii) test unilateral dreapta

H0: (μ1- μ2) = D

H1: (μ1- μ2) > D

iii) test unilateral stânga

H0: (μ1- μ2) = D

H1: (μ1- μ2) < D

unde D reprezintă diferenţa ipotetică dintre mediile populaţiilor, deseori egală cu 0.

Testul statistic utilizat are forma:

Regiunea critică este dată de:

i) z< - z α/2 sau z> z α/2

ii) z> z α

iii) z< - z α

2.2.4.Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ)

pentru eşantioane de volum redus

În afaceri, multe decizii trebuie luate pe baza unor in-formaţii foarte limitate, adică pe baza

datelor provenite din eşantioane mici (de volum redus, n≤30). În aceste situaţii, efectul imediat

este acela că forma distribuţiei de eşantionare a mediei depinde, acum, de forma populaţiei

generale din care a fost extras eşantionul. În cazul eşantionului de volum redus se utilizează testul

statistic t. Distribuţia de eşantionare a lui va fi normală (sau aproximativ normală), în cazul

eşantioanelor de volum redus, doar dacă colectivitatea generală este distribuită normal (sau

aproximativ normal).

Pe de altă parte, dacă nu se cunoaşte dispersia din colectivitatea generală ( ), atunci dispersia

eşantionului ( ), poate să nu ofere o aproximare foarte bună a lui (în cazul eşantioanelor mici).

Ca atare, în locul statisticii z care necesită cunoaşterea (sau o bună aproximare) a lui , vom folosi

statistica:

,

unde: .

Elementele procesului de testare a ipotezelor statistice privind media colectivităţii generale

(μ) pe baza datelor din eşantioane de volum redus, devin atunci:

- pentru test bilateral;

H0: μ = μ0,

H1: μ ≠ μ0 (μ < μ0 sau μ > μ0);

- pentru test unilateral dreapta;

H0: μ = μ0,

H1: μ > μ0,

- pentru test unilateral stânga;

H0: μ = μ0,

H1: μ < μ0.

Testul statistic utilizat:

.

Presupunerea specială ce trebuie făcută este aceea că po-pulaţia generală este normal sau

aproximativ normal distribuită.

Regiunea critică este dată de:

i) t > t α/2,n-1 sau t < - t α/2,n-1,

ii) t > t α,n-1,

iii) t < - t α,n-1.

2.2.5.Testarea ipotezei privind proporţia populaţiei

pentru eşantioane mari

Ne amintim că, pentru variabile alternative, media în eşantion era notată cu f (proporţia

succeselor), dispersia f(1-f), iar abaterea medie pătratică . De asemenea, despre

distribuţia de eşantionare a proporţiei ştim că proporţia eşan-tionului (f) este aproximativ normal

distribuită, de medie p şi eroare standard , pentru n mare ( şi ):

şi .

Pentru testarea ipotezelor statistice privind proporţia este necesar să lucrăm cu eşantioane

mari(n>100).

Cum proporţia f este aproximativ normal distribuită, rezultă că variabila standardizată

este aproximativ normal standardizat distribuită. (Atenţie! Dacă volumul

eşantionului este mic, distribuţia de eşantionare a proporţiei nu este o distribuţie t şi orice inferenţă

asupra lui p trebuie să se bazeze pe distribuţia lui f, care este o distribuţie binomială!)

Ipotezele nule şi alternative pentru testarea proporţiei se construiesc în aceeaşi manieră cu

ipotezele pentru testarea mediei . Adică, ipoteza nulă indică faptul că p este egală cu o valoare

specificată:

,

Exemplu

în timp ce ipoteza alternativă răspunde la una dintre cele trei întrebări:

- dacă proporţia este diferită de valoarea specificată (test bilateral): ;

- dacă proporţia este mai mare decât valoarea specificată (test unilateral dreapta): ;

- dacă proporţia este mai mică decât valoarea specificată (test unilateral stânga): .

Testul statistic pentru proporţia p este:

.

Regiunea critică (Rc) este dată de:

sau pentru testul bilateral;

pentru testul unilateral dreapta;

pentru testul unilateral stânga.

Aşadar, regula de decizie este: se respinge ipoteza nulă şi se acceptă ipoteza alternativă, dacă

z se situează în regiunea critică (Rc) stabilită în funcţie de probabilitatea dorită de garantare a

rezultatelor .

2.2.6. Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii

pentru eşantioane de volum redus

În cazul în care dorim să testăm semnificaţia diferenţei dintre mediile a două eşantioane de

volum redus, va trebui să construim, ca şi în cazul anterior, o statistică t, Student. Pentru aceasta

vom presupune că:

- ambele colectivităţi generale din care s-au extras eşan-tioanele sunt normal sau aproximativ

normal distribuite;

- dispersiile în cele două colectivităţi generale sunt egale;

- eşantioanele aleatoare sunt selectate independent unul de celălalt.

În condiţiile în care presupunem că cele două colectivităţi generale au dispersii egale ( =

= ), un estimator al dispersiei (variabilităţii) totale din cele două populaţii combinate este:

sau

.

Aşadar, dispersia combinată este media aritmetică pon-derată a dispersiilor celor două

eşantioane, şi .

Dacă dispersiile nu sunt egale (σ2x1≠σ2

x2), atunci testul statistic are forma:

cu gradele de libertate:

Ipotezele statistice vor fi, în aceste condiţii:

- pentru test bilateral;

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = D),

H1: μ1 ≠ μ2 (μ1- μ2 ≠ D),

- pentru test unilateral dreapta;

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = D),

H1: μ1 > μ2 (μ1- μ2 > D),

- pentru test unilateral stânga;

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = D),

H1: μ1 < μ2 (μ1- μ2 < D).

Testul statistic t va avea forma:

.

Regiunea critică este dată de:

- pentru test bilateral: t< –t sau t> t ;

- pentru test bilateral dreapta: t> t ;

- pentru test bilateral stânga: t< – t .

Trebuie să facem o remarcă asupra presupunerilor privind normalitatea distribuţiei în

colectivitatea generală: teoria statistică a dezvoltat teste pentru verificarea normalităţii

distribuţiilor, teste prin care se verifică ipoteza nulă conform căreia legea de repartiţie este cea

normală N(μ, σ2), cu μ şi parametrii necunoscuţi ce urmează a fi estimaţi pe baza datelor

eşantionului considerat. Cele mai cunoscute teste pentru verificarea normalităţii sunt testul χ2 de

concordanţă cu legea normală, testul Kolmogorov - Smirnov, testul de normalitate al lui Lilliefors

(vezi Trebici, V. (coord.) — Mică enciclopedie de statistică, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică,

Bucureşti, 1985).

Dacă ipoteza nulă nu este acceptată, vom putea apela la teste statistice neparametrice, în

cadrul cărora nu se fac presu-puneri speciale asupra formei distribuţiei.

2.2.7. Testarea ipotezei privind dispersia unei populaţii

Aşa cum am văzut în capitolul anterior, suma pătratelor diferenţelor (care este,

de fapt, egală cu sau pentru eşantioane mici), împărţită la dispersia colectivităţii

generale, are o distribuţie hi-pătrat ( ) (dacă populaţia eşantionată este normal distribuită).

Aşadar, testul statistic utilizat în testarea ipotezei privind este: ,

care are o distribuţie cu (n-1) grade de libertate, când populaţia eşantionată este normal

distribuită, cu dispersia .

Valoarea lui pentru care aria de sub curbă (situată la dreapta ei) este egală cu α, se

noteaza . Nu putem folosi notaţia pentru a reprezenta punctul la care aria din stânga este

α, deoarece statistica este întotdeauna mai mare decât zero. Dar reprezintă punctul pentru

care aria de sub curbă situată la stânga lui este α.

Spre exemplu:

Ipoteza nulă este:

cu ipoteze alternative:

- pentru test bilateral ,

- pentru test unilateral drept ,

- pentru test unilateral stâng .

Regiunea critică este dată de:

sau pentru test bilateral,

pentru test unilateral dreapta,

pentru test unilateral stânga.

Factorii ce identifică testul privind dispersia unei populaţii:

Obiectiv: caracterizarea unei colectivităţi;

Aspectul vital: variabilitatea;

Tipul datelor: cantitative.

2.2.8.Testarea ipotezei privind raportul dintre două dispersii

Am văzut că testarea ipotezei privind dispersia poate fi utilizată pentru a trage concluzii

privitoare la consistenţa unor procese economice ori privitoare la riscurile asociate. În acest

subcapitol vom compara două dispersii, ceea ce ne va permite să comparăm consistenţa a două

procese sau riscurile a două portofolii de investiţii etc.

Statisticienii testează, adesea, egalitatea dintre două dispersii înainte de a decide ce procedeu

să folosească în verificarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii.

Vom compara dispersiile a două populaţii, determinând raportul dintre ele. În consecinţă,

parametrul ce ne interesează este . Dacă dispersia eşantionului este (aşa cum am văzut) un

estimator nedeplasat şi consistent al dispersiei colectivităţii generale, să notăm că raportul

este estimator punctual al raportului de dispersii .

Distribuţia de eşantionare a raportului este o distribuţie F, dacă eşantioanele au fost

extrase independent din populaţii normal distribuite.

Valoarea lui F pentru care aria de sub curbă (situată la dreapta ei) este α, se notează cu Fα (cu

gradele de libertate gl1 şi gl2).

Din matematică ştim că raportul dintre două variabile hi-pătrat independente împărţite la gradele

lor de libertate are o distribuţie F. Gradele de libertate ale distribuţiei F sunt identice cu gradele de

libertate ale celor două distribuţii hi-pătrat. Atunci:

,

cu şi grade de libertate.

În cele ce urmează, ipoteza nulă este întotdeauna specificată ca egalitatea între două

dispersii, adică sub forma egalităţii raportului cu unitatea.

.

Ipoteza alternativă poate fi construită astfel: fie că raportul este diferit de 1, fie mai mare, fie

mai mic decât 1.

Tehnic, testul statistic este , dar în condiţiile ipotezei nule, adică , testul

statistic devine: , care urmează o distribuţie F cu şi grade de libertate.

Regiunea critică este dată de:

sau pentru test bilateral,

pentru test unilateral dreapta,

pentru test unilateral stânga.

gl1 = n1 –1gl2 = n2 –1

2.3. Întrebări

1. Cum apar în statistică ipotezele?

2. Cum se stabileşte regiunea critică, Rc pentru testul bilateral?

3. Cum se stabileşte regiunea critică, Rc pentru testul unilateral ?

4. În testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ)

pentru eşantioane de volum mare , în cazul testului bilateral, care sunt

ipotezele ?

5. În testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru

eşantioane de volum mare, care sunt proprietăţile distribuţiei de

eşantionare a diferenţei ( ) ?

2.4.Probleme rezolvate

Exemplu 1 - Testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ) pentru eşantioane de volum mare

Presupunem că un fabricant de materiale de construcţii comercializează ciment în pungi,

care trebuie să conţină 12 kg/pungă. Pentru a detecta eventuale abateri în ambele sensuri de la

această cantitate, selectează 100 de pungi, pentru care calculează kg, sx= 0,5 kg. Pentru

α = 0,01 (grad de încredere (1- α)100=99%) să se determine dacă se acceptă ipoteza nulă, aceea

că greutatea pungilor este în medie de 12 kg.

H0: μ = 12

H1: μ ≠ 12 ( μ < 12 sau μ > 12);

z α/2=z0,005=2,575

Regiunea critică: z< - z α/2 sau z> z α/2

Cum z = - 3,0 < - 2,575 rezultă că sunt suficiente evidenţe pentru a respinge ipoteza nulă

H0 şi a accepta ipoteza alternativă, aceea că greutatea pungilor diferă, în medie, de 12 kg.

Exemplu 2 : Testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de volum mare

Managerul unui restaurant doreşte să determine dacă o campanie de publicitate a dus la

creşterea veniturilor medii zilnice. Au fost înregistrate veniturile pentru 50 de zile înainte de

desfăşurarea campaniei. După desfăşurarea campaniei şi trecerea unei perioade de 20 de zile

pentru ca această campanie să îşi facă efectul, se înregistrează veniturile pentru 30 de zile. Aceste

două eşantioane vor permite testarea ipotezei privind efectul campaniei asupra veniturilor. Din

prelucrarea datelor pentru cele două eşantioane, rezultă:

Înainte de campanie După campanie

n1=50 n2=30

mil. lei mil. lei

s1=2,15 mil. lei s2=2,38 mil. lei

Dorim să vedem dacă veniturile au crescut (μ2> μ1), aşadar, vom efectua un test unilateral

stânga:

H0: μ1 = μ2 (μ1 - μ2 = 0)

H1: μ1 < μ2 (μ1 - μ2 < 0)

Pentru un prag de semnificaţie α = 0,05 (probabilitate de garantare a rezultatelor (1-

α)100=95%, zα=z0,05=1,645. Să notăm că regiunile critice, pentru cele mai comune valori ale lui α

sunt date de (vezi tab.):

Regiumile critice pentru diferite valori

α Test

unilateral stânga

Test

unilateral dreapta

Test bilateral

0 1 2 3

0,10 z < - 1,28 z > 1,28 z < - 1,645 sau z > 1,645

0,05 z < - 1,645 z > 1,645 z < - 1,96 sau z > 1,96

0,01 z < - 2,33 z > 2,33 z < - 2,575 sau z > 2,575

Presupunând că cele două eşantioane (înainte şi după campanie) sunt independente, vom

calcula testul z:

Cum valoarea calculată nu este mai mică decât –z0,05= –1,645, rezultă că nu ne aflăm în

regiunea critică. Eşantioanele nu oferă aşadar, suficiente dovezi (la α = 0,05) pentru ca managerul

restaurantului să concluzioneze că veniturile au crescut în urma campaniei de publicitate.

Exemplu 3 - testarea ipotezei privind media populaţiei generale (μ) pentru eşantioane de

volum redus

Conducerea unei companii apelează la 5 experţi pentru a previziona profitul companiei în anul

curent. Valorile previzionate sunt: 2,60; 3,32; 1,80; 3,43; 2,00 (miliarde lei, preţurile anului anterior).

Ştiind că profitul companiei în anul anterior a fost de 2,01 mld. lei, sunt suficiente dovezi

pentru a concluziona că media previziunilor experţilor este semnificativ mai mare decât cifra

anului anterior (pentru α = 0,05)?

Media previziunilor experţilor este mld. lei, cu dispersia:

şi abaterea medie pătratică:

mld. lei.

Elementele procesului de testare a ipotezei statistice sunt:

H0: μ = 2,01,

H1: μ > 2,01 (test unilateral dreapta).

.

În scopul folosirii statisticii t, vom face presupunerea că populaţia generală din care s-a extras

eşantionul este normal distribuită.

Cum tα,n-1 = t0,05;4 = 2,132, regiunea critică este dată de t>tα,n-1. Cum t=1,874< t0,05;4=2,132, nu

putem trage concluzia că media profitului previzionată de cei 5 experţi pentru anul curent este

semnificativ mai mare decât profitul anului trecut, de 2,01 mld. lei.

Exemplu 4 : testarea ipotezei privind proporţia populaţiei pentru eşantioane mari

Managerul unui laţ de magazine consideră în urma unei analize financiare că - pentru un nou

produs - comercializarea este profitabilă, dacă procentul cumpărătorilor care ar dori să

achiziţioneze produsul este mai mare de 12%. El selectează 400 de cumpărători potenţiali şi află

că 52 dintre aceştia vor achiziţiona produsul. Pentru o probabilitate de 99% sunt suficiente dovezi

care să convingă managerul să comercializeze produsul?

Ipotezele sunt:

,

(test unilateral dreapta).

Testul statistic este:

.

Cum şi , rezultă că nu ne aflăm în regiunea critică (Rc), nu avem

suficiente dovezi să respingem ipoteza nulă, deci procentul nu este mai mare de 12%.

Exemplu 5 : testarea ipotezei privind diferenţa dintre două medii pentru eşantioane de

volum redus

Presupunem că dorim să testăm ipoteza conform căreia între două mărci de autoturisme nu

există diferenţe semni-ficative privind cheltuielile de funcţionare. Pentru aceasta 20 de posesori

de autoturisme (8 posesori ai primei mărci şi 12 po-sesori ai celei de-a doua) sunt rugaţi să ţină,

cu acurateţe, evidenţa cheltuielilor de funcţionare pe o perioadă de un an de zile. Pentru α=0,1

(probabilitate de garantare a rezultatelor (1-α)100 = 90%) să se testeze această ipoteză, dacă

rezultatele prelucrării datelor în eşantioane sunt:

Marca 1 Marca 2

n1=8 n2=12

mil. lei mil. lei

sx1=0,485 mil. lei sx2=0,635 mil. lei

3379,0

2128

635,0112485,018s

222c

Ipotezele statistice sunt:

H0: μ1 = μ2 (μ1- μ2 = 0),

H1: μ1 ≠ μ2 (μ1- μ2 ≠ 0) [μ1> μ2 sau μ1< μ2].

Testul statistic este:

5943,1

2653,0

423,0

12

1

8

13379,0

0273,5696,5t

Cum tα/2,n1+n2-2= t0,05;18 = 1,734, se observă că t < tα/2,n1+n2-2, aşadar nu ne aflăm în regiunea

critică.

Rezultă, deci, că nu există suficiente dovezi pentru a concluziona că sunt diferenţe

semnificative între cheltuielile de funcţionare ale celor două mărci de autoturisme.

Exemplu 6 : testarea ipotezei privind dispersia unei populaţii

Pentru următoarele date privind cererea unui produs (selectate dintr-o colectivitate normal

distribuită), să se testeze (pentru o probabilitate de 95%), ipotezele:

,

.

Datele sunt: 85, 59, 66, 81, 35, 57, 55, 63, 63, 66.

În eşantion: , .

.

Testul statistic este:

.

Cum , şi vom respinge ipoteza nulă şi vom accepta

ipoteza alternativă, .

Exemplu 7 : testarea ipotezei privind raportul dintre două dispersii

Un analist doreşte să compare împrăştierea veniturilor pe familie, pentru colectivitatea turiştilor

ce preferă turismul litoral, cu împrăştierea veniturilor, pentru colectivitatea turiştilor ce preferă

turismul balnear. Presupunând că distribuţiile veniturilor (mil. lei), în cele două colectivităţi sunt

aproximativ normale au fost selectate două eşantioane, de volum 60 şi 50 de persoane, iar abaterile

medii pătratice (mil. lei) sunt: şi . Se utilizează o probabilitate de garantare a

rezultatelor de 95%.

Ipotezele statistice sunt:

,

.

Testul statistic are valoarea:

.

Regiunea critică (pentru ) este dată de:

.

Cum ipoteza nulă se respinge (aceea că raportul dintre dispersii este 1) şi se

acceptă ipoteza alternativă. Acest lucru înseamnă că se acceptă ipoteza conform căreia

împrăştierea veniturilor pentru turiştii din zona litorală este semnificativ mai mare decât cea a

turiştilor din zona balneară.

În general - dacă la numărător se trece dispersia cea mai mare - testul F este un test unilateral

dreapta.

2.5. BIBLIOGRAFIE

1. Andrei, T. - Statistică şi econometrie Editura Economică, Bucureşti, 2004.

2. Bourbonnais R , Econometrie , Ed. Dunod , Paris , 1998

3. Dormont B , Introduction a l’econometrie , Ed. Montchrestien , Paris , 1999

4. Florea I.(coordonator), Culegere de modele econometrice, Ed. Muntele Sion,2000.

5. Iacob, A.I., Tănăsoiu, O. Econometrie, Studii de caz, Ed. ASE, Bucureşti, 2005.

6. Pecican, E.... Econometrie pentru economişti, Ed. Economică, Bucureşti, 2004.

Capitolul 3

3.1.OBIECTIVE: introducerea studenţilor în sfera şi noţiunile specifice

modelului de regresie,

3.2.PREZENTARE SINTETICĂ:

3.2.1 Specificarea unui model de regresie

Un studiu econometric începe cu o serie de presupuneri teoretice despre anumite aspecte

ale economiei.

Investigaţiile empirice furnizează estimatori pentru parametri necunoscuţi ai modelului.

Keynes: C=f(x)

Suma cheltuită pentru consum depinde de:

mărimea venitului pe de o parte

alte obiective în funcţie de circumstanţe (de exemplu investiţiile)

alte nevoi subiective

Legea psihologică fundamentală: „o persoană este dispusă de regulă şi în medie să îşi

crească consumul pe măsura creşterii venitului dar nu în aceeaşi măsură”

un nivel absolut mai mare al venitului va tinde de regulă să mărească diferenţa între venit

şi consum:

Presupunerea cea mai simplă: C=+X, 0<<1 este o relaţie deterministă neadecvată.

În model trebuie inclus şi factorul aleator:

C=f(X,)

Modelul cel mai simplu:

C=+X+

Modelul general ce trebuie estimat are forma:

yi = + xi + i, i=1,n

unde: - xi este nestochastic (situaţie experimentală)

- analistul alege valorile regresiei xi şi apoi observă yi

Valoarea parametrului arată modificarea proporţională a variabilei efect (Y) la

modificarea cu o unitate a variabilei cauză (X).

Valoarea parametrului arată punctul în care linia interceptează (taie) axa OY

i reprezintă componenta reziduală (eroarea aleatoare) pentru fiecare unitate, adică partea

din valoarea variabilei Y care nu poate fi măsurată prin relaţia sistematică existentă cu variabila

X.

Modelul liniar unifactorial y=1+0,5x

Modelul probabilistic conţine:

a) componenta deterministică, adică partea din valoarea lui Yi care poate fi determinată

cunoscând valoarea Xi ( + Xi = Yi')

b) componenta reziduală care nu poate fi determinată cunoscând valoarea individuală Xi (i)

Atunci,

Yi = + Xi + i

Yi = componenta predictibilă (detrministică) + eroarea aleatoare

Yi = Yi' + i

Dacă datele disponibile provin dintr-un eşantion avem la dispoziţie n perechi de observaţii (x1,

y1), (x2,y2), ... (xn, yn), pe care le vom folosi pentru estimarea parametrilor ecuaţiei de regresie

liniară simplă, şi .

Modelul de regresie liniară în eşantion este yi = a + bxi + ei

cu componenta predictibilă:

a şi b sunt estimatorii punctului de intercepţie () şi pantei liniei drepte (), obţinuţi pe eşantion

ei este valoarea reziduală (pentru unitatea i) în eşantion:

ei = yi – (a + bxi)

Abaterea ei de la linia de regresie

Ipotezele modelului de regresie liniară

Pentru a obţine proprietăţile dorite ale estimatorilor regresiei, se fac, de obicei, cinci

presupuneri (ipoteze) standard pentru modelul din populaţia generală:

Ipotezele ce trebuie verificate:

1. Forma funcţională: yi = + xi + i, i=1,n

2. Normalitatea erorilor: i N(0,2)

3. Media zero a erorilor: μ(i)=0 i

4. Homoscedasticitatea: σ2i)=2 constantă i

5. Non autocorelarea erorilor: Cov(i,j)=0 ij

6. Necorelarea între regresor şi erori: Cov(xi,j)=0 i şi j

Ipoteza 1: Forma funcţională

a. y=a+bx

a. y=a+bz, z=ex

b. y=a+br, r=1/x

c. y=a+bq, q=ln(x)

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

-1 0.003 0.008 0.013 0.018 0.023 0.028 0.033 0.038 0.043 0.048 0.053 0.058 0.063 0.068X

Y

xba

1 xbea

bxa

xba ln

Fig. - Modele ce pot fi linearizate

Sau y=Ax ln(y)=+ln(x)

Forma generală: f(yi)= +g(xi)+i

Contra exemplu: nu poate fi transformat în model liniar.

Erorile

Ipoteza de linearitate a modelului include şi aditivitatea erorilor.

Forma modelului:

y = + x + ,

De exemplu modelul se transformă prin logaritmare în modelul liniar:

ln(y)=ln(A)+ln(x)+ .

Însă modelul nu mai poate fi transformat în model liniar.

Dacă ipoteza de linearitate este verificată, variabila dependentă observată este suma a

două elemente:

- un termen nestochastic: +x

- o variabilă aleatoare

Ipoteza 2: normalitatea erorilor

Se presupune că variabila aleatoare i este normal distribuită :

Distribuţia de probabilitate pentru i

Ipoteza 3: media erorilor este zero: μ( i)=0 i

Este naturală atâta timp cât este văzută ca suma efectelor individuale, cu semne diferite.

Dacă media erorilor este diferită de zero, ea poate fi considerată ca o parte sistematică a

regresiei:

μ()= + x + = (+) + x + (-)

media erorilor este acum nulă.

Această presupunere indică faptul că media valorilor Y, condiţionat de X, (Y/X = Xi) =

+ Xi, adică nu există variabile omise asociate cu regresia în populaţie.

Ipoteza 4 (de homoscedasticitate): Var( i)= 2 constantă i

Dispersia reziduurilor în populaţie este constantă peste toate valorile Xi

Functia de consum

0

200

400

600

800

1000

1200

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

venit

con

sum

a) constantă b) constantă

Dispersia reziduurilor a) constantă; b) constantă

Discuţie:

Profiturile firmelor mari vor varia mult mai mult ca profiturile firmelor mici.

variaţia cheltuielilor gospodăriilor în funcţie de venit sau de mărimea lor poate fi diferită.

Ipoteza 5: Non autocorelarea erorilor: μ( ij)=0 i j

Această ipoteză nu implică faptul că yi şi yj sunt necorelate, ci faptul că deviaţiile

observaţiilor de la valorile lor aşteptate sunt necorelate.

Variabilele aleatoare i sunt statistic independente una de alta, adică = 0, pentru i j.

Acest lucru înseamnă că eroarea asociată cu o valoare a variabilei Y nu are nici un efect asupra

erorilor asociate cu alte valori ale lui Y;

nu există deci corelaţie între reziduuri;

OBSERVAŢIE: De asemenea este convenabil a considera că erorile sunt independente

şi normal distribuite cu medie zero şi variaţie constantă pentru obţinerea de rezultate statistice

exacte.

Estimarea parametrilor modelului de regresie clasic

Parametrii necunoscuţi ai reacţiei stochastice sunt cei ce trebuie estimaţi:

yi = + xi + i, i=1,n

Modelul estimat va fi scris:

Eroarea asociată unui punct i este:

i = yi - - xi

Pentru orice valori estimate a şi b, erorile estimate vor fi:

ei = yi - a - bxi

Pentru estimarea parametrilor şi pe baza datelor observate, un criteriu natural

este cel de maximizare a potrivirii modelului cu datele observate, deci de minimizare a

erorilor observate:

Condiţiile de ordin 1 de minimizare a funcţiei sunt:

Rămâne de verificat dacă este verificată condiţia de ordin 2, adică soluţia găsită este un

punct de minim. Matricea derivatelor parţiale de ordin doi trebuie să fie pozitiv definită:

Deci matricea este pozitiv definită.

3.2.2 Modelul de regresie clasic

Evaluarea validităţii modelului de regresie clasic

Estimatorii a (intercepţia) şi b (panta) ai parametrilor şi sunt daţi de :

Se observă că obţinem din ecuaţia:

împărţind prin n :

şi, înlocuind în ecuaţia :

pe xi cu deviaţia obţinem:

Cum primul termen situat în partea stângă a ecuaţiei este egal cu zero, rezultă:

şi în final:

Estimatorul a (intercepţia) poate lua valori negative sau pozitive.

Estimatorul b (panta liniei drepte) numit şi coeficient de regresie are întotdeauna semnul

indicatorului sxy,

sxy este covarianţa între x şi y.

Linii de regresie cu a) pantă pozitivă b) pantă negativă c) pantă egală cu zero

În evaluarea validităţii modelului se verifică dacă variaţia lui x este un bun predictor pentru

variaţia lui y.

Doi indicatori alternativi pot fi utilizaţi pentru a măsura calitatea ajustării pentru regresia

statistică :

Abaterea medie pătratică (eroarea standard) a reziduurilor (măsură absolută a calităţii

ajustării pe baza regresiei în eşantion)

Coeficientul de determinaţie (indicator relativ).

Este necesar să analizăm componentele indicatorilor de variaţie a lui y.

În aplicarea metodei regresiei, sunt asociate variabilei dependente y două medii:

media totală ( ) şi

media condiţionată ( ).

variaţia (abaterea) totală ( ) poate fi împărţită în :

abaterea neexplicată de model ( ) şi

abaterea explicată ( ), astfel:

Abaterea ( ) nu poate fi explicată de linia de regresie, deoarece atunci când xi se

modifică, ambele valori yi şi se modifică;

abaterea ( ) poate fi explicată, deoarece când xi se schimbă, rămâne constant

Abaterea valorilor individuale yi de la medie

Prin ridicarea la pătrat a fiecărei abateri şi însumarea pentru toate observaţiile, obţinem:

Putem nota:

= varianţa totală, suma pătratelor abaterilor totale.

= varianţa neexplicată, suma pătratelor erorilor.

= varianţa explicată, suma pătratelor abaterilor datorate regresiei.

Vom avea, atunci:

se mai notează:

Variaţia variabilei dependente y este definită în termeni de deviaţie de la valoarea ei medie:

Deci: SST = SSR + SSE

Variaţia totală = Variaţia de regresie + Variaţia reziduală

Putem calcula şi discuta cei doi indicatori ai calităţii ajustării astfel :

tabelul ANOVA este pentru testarea calităţii ajustării

Tabelul ANOVA

Sursa variaţieiSuma pătratelor Grade de libertate Media pătratelor

(dispersia corectată)0 1 2 3

Datorată regresieiReziduală

k

n – k – 1

Totală n – 1

Unde:

k reprezintă numărul variabilelor independente luate în consideraţie (pentru regresia

liniară simplă, k = 1).

Dacă se împart varianţele la (n – 1), avem:

relaţie care poate fi scrisă ca

deoarece:

abaterea medie pătratică a erorilor în eşantion este:

unde este un estimator nedeplasat al dispersiei reziduurilor . o mărime relativă a

calităţii ajustării, prin exprimarea ponderilor dispersiilor (explicată şi reziduală) în dispersia totală

este:

Coeficientul de determinaţie este:

Raportul reprezintă proporţia variaţiei totală care este explicată de linia de regresie.

Sau se poate scrie

Coeficientul de determinare ca proporţia variaţiei explicată de modelul de regresie în variaţia

totală:

R2 = 0 dacă b=0, , deci dacă ecuaţia de regresie este o dreaptă orizontală. În acest caz

variabila x nu are putere explicativă.

R2 = 1 dacă punctele determinate de observaţiile făcute asupra variabilelor x şi y se află toate pe o

dreaptă, caz în care erorile vor fi zero.

În cazul în care toate valorile lui y se află pe o dreaptă verticală, R2 nu are nici o semnificaţie şi nu

poate fi calculat.

Aşadar, R2 reprezintă măsura în care variabila independentă, X, explică variaţia variabilei

rezultative Y.

Coeficientul de determinaţie nu este ajustat cu gradele de libertate. Dacă utilizăm estimatorii

nedeplasaţi şi , obţinem valoarea ajustată a coeficientului de determinaţie .

Valoarea lui este întotdeauna mai mică decât valoarea lui R2.

Observaţii:

1. R2 poate fi interpretat ca procentul variaţiei lui y explicată de variaţia veriabilei x doar pentru

cazul în care metoda celor mai mici pătrate este aplicată modelului liniar de regresie.

2. Pentru orice model coeficientul R2 poate fi calculat ca:

unde

3.3. Probleme rezolvate

Exemplu : Modelul de regresie clasic I. Estimarea parametrilor

Ecuaţiile normale pentru exemplul din primul paragraf privind consumul şi veniturile

sunt:

Deci:

C = -67,58 + 0,98 V

Interpretare:

1. La o variaţie a venitului cu o unitate monetară, consumul va varia în aceeaşi direcţie cu

0,98 unităţi monetare.

2. Termenul liber se interpretează în general ca nivelul variabilei dependente pentru cazul

în care variabila independentă este zero. În cazul exemplificat, valoarea termenului liber este

negativă, iar consumul nu poate fi negativ, deci singura interpretare ce poate fi dată este că va

avea loc a consumul de la un nivel al venitului de: 67,58/0,98=69.

II. Determinarea coeficientului de determinare

Pentru exemplul anterior se mai cunosc:

Scc=64972,12; Sxx=67192,44; Sxc=65799,34

SST = Scc = 64972,12

SSR = b2Sxx = 0,979267*67192,44 = 64435,12

SSE = SST-SSR = 64972,12 - 64435,12 = 537

Deci: R2 = SSR/SST = 64435,13/64972,12 = 0,99173

Interpretare:

1. 99,17% din variaţia consumului este datorată variaţiei venitului.

2. 99,17% din variaţia consumului este explicată de modelul de regresie.

III. Testarea coeficientului de determinare

Tabelul ANOVA

Sursa variaţiei Măsura variaţiei Numărul gradelor

de libertate

Suma pătratelor

Variaţia de

regresie

64435,12 1 64435,12

Variaţia reziduală 537 8 67,124

Variaţia totală 64972,12 9 7219,12

Fcalc = 64435,12/67,124 = 959,94

F0,95;1,8 = 5,32

Fcalc F0,95;1,8 deci R2 este reprezentativ.

Bibliografie generală

1. Andrei, T. - Statistică şi econometrie Editura Economică, Bucureşti,

2004.

2. Bourbonnais R , Econometrie , Ed. Dunod , Paris , 1998

3. Dormont B , Introduction a l’econometrie , Ed. Montchrestien ,

Paris , 1999

4. Florea I.(coordonator), Culegere de modele econometrice, Ed.

Muntele Sion,2000.

5. Green W H , Econometric Analysis , Ed. Pretince Hall , Londra ,

1997

6. Giraud R , Chaix N , Econometrie , Ed. P.U.F. , Paris , 1989

7. Gourieroux C , Monfort J , Statistique et modeles econometriques ,

Ed. Economica , Paris , 1989

8. Iacob, A.I., Tănăsoiu, O. - Modele econometrice Volumul I, Ed. II

rev., Ed. ASE, Bucureşti, 2005.

9. Iacob, A.I., Tănăsoiu, O. Econometrie, Studii de caz, Ed. ASE,

Bucureşti, 2005.

10. Pecican E., Econometrie, Ed. Intercredo, Deva, 1997.

11. Pecican, E.... Econometrie pentru economişti, Ed. Economică,

Bucureşti, 2004.