Econometrie

1

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkl

Departamentul de Învăţământ laDistanţă şi Formare Continuă

Facultatea de Ştiinte Economice

Coordonator de disciplină:Conf. univ. dr. Gabriel Sorin Badea

2

2010-2011

Suport de curs – învăţământ la distanţăContabilitate si informatica de gestiune, Anul II, Semestrul II

Prezentul curs este protejat potrivit legii dreptului de autor şi orice folosire alta decâtîn scopuri personale este interzisă de lege sub sancţiune penală

UVTECONOMETRIE

3

SEMNIFICAŢIA PICTOGRAMELOR

F= INFORMAŢII DE REFERINŢĂ/CUVINTE CHEIE

= TEST DE AUTOEVALUARE

= BIBLIOGRAFIE

= TIMPUL NECESAR PENTRU STUDIUL UNEI UNITĂŢIDE ÎNVĂŢARE

= INFORMAŢII SUPLIMENTARE PUTEŢI GĂSI PEPLATFORMA I.D.

4

CUPRINS- Studiu individual (S.I.)

1. Modulul 1. Introducere în econometrie-Unitatea de învăţare 1: Definiţiile econometriei şi geneza acesteia.Contradicţiile cu care se confruntă econometria. Econometria şi ştiinţeleeconomice

2. Modulul 2. Modelarea econometrică-Unitatea de învăţare 2: Construcţia modelelor econometrice. Variabileleşi relaţiile dintre variabile. Liniarizarea modelelor-Unitatea de învăţare 3: Utilizarea modelelor econometrice. Criticamodelării econometrice tradiţionale

3. Modulul 3. Estimarea parametrilor în modelele econometrice

-Unitatea de învăţare 4: Modelul cu o variabilă exogenă

-Unitatea de învăţare 5: Metode probabilistice

4. Modulul 4. Modelarea dinamicii variabilelor- Unitatea de învăţare 6: Metode de modelare a dinamicii variabilelor.-Unitatea de învăţare 7: Criterii de alegere a metodelor de modelare adinamicii variabilelor.-Unitatea de învăţare 8: Extrapolarea seriilor cronologice.

5. Modulul 5. Modelarea legăturii dintre variabile-Unitatea de învăţare 9: Tipuri de legături dintre variabile-Unitatea de învăţare 10: Metode de modelare a legăturii dintre variabile

6. Modulul 6. Metodologia rezolvării unor modele econometrice-Unitatea de învăţare 11: Modelul liniar unifactorial-Unitatea de învăţare 12: Serii de timp cu trei componente: trend,sezonalitate si variabila reziduală

5

MODULUL 1

INTRODUCERE ÎNECONOMETRIE

1. Cuprins2. Obiectiv general3. Obiective operaţionale4. Dezvoltarea temei5. Bibliografie selectivă

Cuprins

U.I.1:Definiţiile econometriei şi geneza acesteia. Contradicţiilecu care se confruntă econometria. Econometria şi ştiinţele economice

= 2 ore

Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privind temenulde econometrie

Obiective operaţionale: Însuşirea definiţiilor şi contradicţiiloreconometriei.

6

UNITATEA DE ÎNVÎŢARE 1

1 Definiţiile econometriei şi geneza acesteia

Dezvoltarea rapidă a econometriei a generat formularea mai multor definiţii

cu privire la domeniul acestei discipline economice. Există mai multe categorii de

definiţii:

a) definiţia istorică;

b) definiţia restrictivă;

c) definiţia extinsă.

a) Definiţia istorică a econometriei a fost formulată de R. Frisch în primul

număr al revistei „Econometrica”, în ianuarie 1933: „experienţa a arătat că fiecare din

următoarele puncte de vedere, al statisticii, al teoriei economice şi al matematicii,

este o condiţie necesară, dar nu şi suficientă, pentru o înţelegere efectivă a

realităţilor cantitative din economia modernă; unificarea lor este aceea care asigură

eficienţa. Econometria este tocmai această unificare”.

Conform acestei definiţii, susţinătorii ei consideră că prin econometrie se

înţelege studierea fenomenelor economice pe baza datelor statistice cu ajutorul

modelelor matematice.

b) Definiţia restrictivă propusă de „Cowles Commission for Research in

Economy” (Chicago, 1940-1950), consideră că nu există econometrie dacă

investigarea fenomenelor economice nu se facecu ajutorul modelelor aleatoare

(stocastice).

Susţinătorii acestei definiţii sunt L.R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier. Ei

includ în domeniul econometriei numai cercetările economice care utilizează

metodele inducţiei statistice – testarea estimaţiei, verificarea ipotezelor statistice – la

verificarea relaţiilor cantitative formulate „în” teoria economică cu privire la

fenomenele sau procesele economice cercetate.

FCtegorii de definiţii

7

Un studiu econometric presupune:

- existenţa prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau

sistemul economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care

reprezintă formalizarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul

sau sistemul investigat;

-posibilitatea aplicării metodelor inducţiei statistice la verificarea ipotezelor

teoriei economice; construirea modelului econometric şi rezolvarea acestuia.

Această definiţie restrictivă exclude din domeniul econometriei cercetările economice

care nu se fundamentează pe:

-o teorie economică, implicită sau explicită privind modelul econometric al

fenomenului, procesului sau sistemului studiat;

-o interpretare aleatoare a modelului respectiv.

c) Definiţia extinsă a econometriei, promovată de economiştii din ţările

anglo-saxone, ţine seama de puternica dezvoltare, apărută după 1950, a metodelor

cercetării operaţionale: teoria optimului, teoria stocurilor, teoria gafelor, teoria

deciziilor, teoria jocurilor etc.

Prin domeniul econometric, în sensul larg al termenului, se înţelege

econometria, definit în mod strict, adică, incluzând domeniile menţionate atunci când

ea este înţeleasă în mod restrictiv, la care adăugăm metodele cercetării operaţionale.

Utilizarea termenului de „econometrie”, obligă să fie urmărită tradiţia

încetăţenită în ştiinţele sociale, aceea de a explica şi motiva domeniul de studiu.

Studierea econometriei şi aplicarea metodelor econometrice presupuneă:

a) cunoştinţe importante de economie politică;

b) cunoştinţe de matematică ,cel puţin matematica din liceu;

c) noţiuni de statistică (regresie, dispersie etc.);

d) cunoştinţe de logică şi metodologie ştiinţifică, cel puţin elementare .

Cei care au inventat denumirea de „econometrie” au avut în vedere

dezvoltarea cercetărilor economice în legătură cu statistica şi matematica. Ei au fost

în acelaşi timp şi întemeietorii Societăţii Econometrice (Econometric Society). Nu

această societate este cea care a „inventat” însă econometria ca atare, dar în cursul

activităţii sale, a contribuit treptat, treptat lacristalizarea definiţiei adoptate.

Întemeietorii acestei societăţi sunt mari personalităţi ştiinţifice. Ragnar Frisch,

laureat al premiului Nobel pentru economie. În 1928, Frisch, „în acea vreme profesorFGernezatermenului deeconometrie

8

de economie la vârsta de 34 de ani la Universitatea din Oslo, l-a întâlnit pe Charles F.

Roos, un tânăr membru al facultăţii de matematică a Universităţii Princeton, pe atunci

secretar al secţiei K (economie, sociologie şi statistică) a Societăţii Americane pentru

Propăşirea ştiinţelor. Roos şi Frisch se hotărăsc să întreprindă acţiunea. Prima

mişcare a fost să ceară ajutorul lui Irving Fisher şi, în aprilie 1928, cei trei bărbaţi se

întâlnesc la New Haven, în casa acestuia. Fisher nu a fost prea optimist, dar a promis

să coopereze dacă Roos şi Frisch vor găsi 100 de persoane în lume care să se arate

interesate să se asocieze la o astfel de societate. Ei au întocmit o listă, dar nu au putut

înşira mai mult de 80 de nume. Totuşi s-au hotărât să continue acţiunea, primul pas

fiind intrarea în corespondenţă cu cei 80. Scrisorile s-au bucurat de o primire

favorabilă şi au rezultat încă alte aproximativ 80 de propuneri de nume noi. Şi astfel,

la 29 decembrie 1930, la Cleveland, a fost întemeiată Societatea Econometrică

(Econometric Society).

Creându-se societatea s-a creat şi termenul; noţiunea s-a cristalizat abia mai

târziu, pe baza experienţei mai vechi şi pe temeiul noilor cercetări organizate.

Prezentaţi definiţiile econometriei. Vezi pag. 1-2.

2 Contradicţiile cu care se confruntă econometria

Deoarece nici una dintre metodele cantitative nu descrie în totalitate realitatea

s-au generat trei contradicţii importante care interesează în context econometric,

1.Cotradicţia dintre structural şi fenomenologic

Nu totdeauna măsurătorile (observaţiile cantitative, statistice) se referă la

structura reală pe care este construit un obiect economic. Datele, oricât de exacte şi

corecte ar fi observaţiile noastre, pot reflecta aspecte de suprafaţă atât de depărtate de

esenţa fenomenului cercetat, încât legătura care o stabilim între ele să nu aibă nimic

comun cu legătura structurală care stă la originea lor Este, probabil, în bună măsură o

9

rezultantă a primei contradicţii.

2. Contribuţia dintre causal şi stochastic Trebuie să admitem, în multe

cazuri,ipoteze probabilistice asupra legăturii dintre variabilele observate pentru

simplu motiv că suntem ignoranţi în privinţa relaţiilor cauzale „complete”. De fapt,

această ignoranţă dă viaţă econometriei. Dacă am cunoaşte legăturile structurale

căutate, am desluşi şi sistemul relaţiilor cauzale care acţionează în ele.

Cum însă măsurătorile noastre, statistica noastră, nu se referă decât la

fenomenal, trebuie să recurgem la surogatul probabilistic.

3. Contribuţia dintre raţionalşi empiric Modelele noastre vin adesea în

contradicţie cu rezultatele cercetării empirice. La prima vedere s-ar părea că trebuie

să cedăm rezultatelor empirice. Cunoscând însă deformările la care sunt

susceptibile,va fi limpede că nu putem şi nu avem voie să renunţăm în orice

împrejurare la deducţiile strict teoretice.

Formularea contribuţiilor de mai sus ne oferă, acum, poate,şi ceva mai multă

limpezime în ceea ce priveşte deosebirea dintre economia matematică şi econometrie.

Prima tratează raţional aspectele structurale şi cauzale ale economiei. Cea din urmă,

împreună cu alte metode cantitative, tratează empiric aspectele fenomenologice şi

statistice ale obiectului economic. Dar contradicţiile enunţate nu pot fi rezolvate de o

singură metodă cantitativă, şi, astfel, econometria nu poate fi admisă ca unic principiu

de soluţie.

În acelaşi timp, vom vedea că nu poate exista o soluţie absolută a

contradicţiilor de mai sus pe plan strict cantitativ.Metodele cantitative înseşi, şi ca

atare şi econometria au contradicţiile lor interne nerezolvabile. Acestea nu sunt limite

ale cunoaşterii, ci limite ale metodei.

Econometria ca metodă de cunoaştere are limitele sale. Dar cunoaşterea

trebuie să meargă până la aceste limite pentru ca să le depăşească prin alte metode.

Adesea, depăşirea acestor limite nu mai poate fi făcută cu metode cantitative, ci

numai pur raţionale sau chiar numai intuitiv.

De aceea, cunoaşterea econometrică a fenomenelor economice se consideră a

fi o etapă sau o treaptă în procesul cunoaşterii. Chiar dacă, în multe cazuri, această

metodă nu rezolvă, ci dimpotrivă creează sau mai precis descoperă contradicţii şi

fisuri în cunoaşterea noastră, ea ne oferă tocmai prin aceasta enorm de mult. Lumea

se prezintă în faţa economistului cu totul altfel înainte şi după studiul econometriei

10

(ca şi al oricărei alte metode sau a economiei matematice).

Care sunt contradicţiile cu care se confruntă econometria ? Vezi pag. 8-9.

3.Econometria şi ştiinţele economice

Apariţia şi rapida afirmare a econometriei trebuie înţeleasă şi explicată prin

prisma raportului dialectic dintre teorie şi practică, a conexiunii inverse pozitive care

se manifestă între elementele acestui raport.

Dezvoltarea continuă şi dinamică a forţelor de producţie sub impactul

progresului ştiinţific şi etnic modifică condiţiile şi interdependenţele din producţie,

repartiţie, circulaţie şi consum, ceea ce pe plan teoretic şi practic, creează probleme

dificile privind explicarea şi dirijarea evoluţiei fenomenelor statistico-sociale către

anumiţi indicatori ţintă, formulate şi urmărite de o anumită politică economică.

Necesitatea elaborării unor instrumente de investigare şi de sporire a

eficienţei modelelor de organizare, dirijare şi conducere a economiei, pe de o parte,

şi succesele metodelor statistico-matematice în alte domenii ale ştiinţei, pe de altă

parte, au determinat adoptarea de către ştiinţele economice a acestor metode.

Econometria s-a format şi se dezvoltă prin integrarea dintre teoria economică,

matematică şi statistică.

În cadrul acestei triade, teorie economică – matematică - statistică, locul

central îl ocupă teoria economică. Fenomenele economice conţin aspecte care nu pot

fi reprezentate prin cantitate.

11

Aceste particularităţi ale fenomenelor economice constituie, în general,

limitele econometriei în sistemul ştiinţelor economice.

Raporturile econometriei cu ştiinţele economice nu sunt numai de dependenţă.

Un model econometric se poate elabora dacă nu s-a constituit o teorie economică a

obiectului cercetat. Simularea sa formală cu obiectul economic investigat depinde de

nivelul de abstractizare a teoriei, de definirea univocă şi operaţională a noţiunilor şi

categoriilor economice, de scopurile urmărite de teoria economică – scopuri euristice

sau de dirijare privind obiectul studiat.

Modelul, astfel constituit, reprezintă o verigă intermediară între teorie şi

realitate. El reprezintă o cale de confruntare a teoriei cu practica, singurul mod de

experimentare pe baza căruia ştiinţa economică îşi poate fundamenta ipotezele, din

moment ce obiectul său de cercetare poate fi numai observat, nu şi izolat şi cercetat

în laborator.

Prin această experimentare, mijlocită de modelul econometric, ştiinţele

economice validează, renunţă sau elaborează metode noi, îşi confruntă problemele de

semantică şi semiotică economică, îmbogăţindu-şi, în felul acesta, sistemul de

informaţii privind structura şi evoluţia obiectului economic.

În prezent, tipologia metodelor econometrice utilizate de ştiinţele economice

este extrem de vastă. Folosirea, din ce în ce mai amplă, a acestor modele de

investigare a fenomenelor economice se datorează progreselor însemnate făcute în

domeniul metodelor de estimare a parametrilor modelelor şi al testelor de verificare

pe care se fundamentează acestea şi, nu în ultimul rând, al utilizării calculelor

electronice care permit rezolvarea operativă a celor mai complexe modele

econometrice.

Particularizând legăturile econometriei cu unele dintre disciplinele economice,

este necesar să subliniem corespondenţa dintre modelarea econometrică şi previziune.

Previziunea macroeconomică sau microeconomică reprezintă un domeniu care

utilizează, în mare măsură, rezultatele simulării şi, mai ales, ale predicţiei

econometrice. Activitatea de previziune a economiei este aceea care oferă o serie de

elemente utile elaborării modelului privind, îndeosebi, etapa de specificare a acestuia.

În această etapă, previziunea defineşte variabile endogene şi pachetul variabilelor

exogene corespunzătoare obiectivelor urmărite în funcţie de informaţiile statistice

existente.

12

Econometria la rândul ei, contribuie la obţinerea variabilelor endogene în

diverse alternativede acţionare a pârghiilor economice. Previziunii economice i se

oferă o perspectivă în legătură cu ceea ce s-ar putea întâmpla în viitor, fie şi în linii

mari, în raport cu diferitele variante ale politicii economice care s-ar putea aplica.

Menţionăm legătura econometriei cu sistemul financiar- ontabil, modelele

ARCH. La elaborarea modelelor econometrice se recomandă, cu o tot mai mare

insistenţă, introducerea relaţiilor financiar-bancare, ca fiind deosebit de semnificative

pentru descrierea mecanismelor economice.

Domeniul cooperării economice internaţionale, ca, de altfel, şi cel privind

comerţul interior, domeniu în care previziunile sunt greu de realizat, altfel decât cu

ajutorul metodelor statistice, reprezintă sectoare ale economiei ce pot beneficia de

rezultatele econometriei în ceea ce priveşte planificarea şi eficientizarea economiilor

desfăşurate. Este necesar să subliniem frecvenţa tot mai mare a aplicării metodelor

econometrice în lucrări din domeniul biologiei, medicinei, demografiei şi, în special,

în domeniul marketingului, managementului sau viitorologiei. În concluzie, se poate

reţine ideea că metoda econometriei este metoda modelării sau metoda modelelor.

Modelul econometric expresie formală, inductivă, a unei legităţi economice,

reprezintă un mijloc de cunoaştere a unui obiect economic, iar modelarea

econometrică este o metodă care conduce la obţinerea de cunoştinţe sau informaţii

noi privind starea, structura şi evoluţia unui proces sau sistem economic.

Economia matematică are ca principal obiectiv construirea unor modele

matematice bazate pe date colectate empiric. După rezolvarea modelului apar o serie

de probleme ce îşi au originea în contradicţia datelor empirice cu cele reale.

Realitatea economică se referă la procese sau obiecte ce trebuie cercetate şi este

prezentată sub forma agregată. Studiile cantitative folosesc modele matematice

stabilind legături între relaţie şi variabilele economice.

Problema care apare însă este că nu se încearcă reconstituirea modelului

pentru date reale şi la nivelul economiei naţionale. Econometria încearcă să

depăşească abordările prostatistice folosind o serie de mecanisme şi legături între

variabile. În cazul analizelor microeconomice nu se realizează doar studiul economiei

întreprinderii, ci şi comportamentul agentului economic.

De exemplu, funcţia cantităţii cerute în raport de preţ, se poarte generaliza

pentru n bunuri, rezultnd un model:

13

Qi = f(p), i = 1…n, n este numărul bunurilor respectiv ecuaţiilor.

Astfel, se realizează trecerea de la modelele microeconomice la cele

macroeconomice. Scopul ajustării şi estimării funcţiei econometrice reprezintă

crearea unor noi instrumente de prognoză. Caracterizarea erorilor în cadrul modelelor

economice se realizează folosind legea de distribuţie Gauss–Laplace cu legea

distribuţiei normale. Valoarea erorilor trebuie să se încadreze în jurul valorii 0.

Prezentaţi definiţiile modelului econometric şi modelării econometrice? Vezi

pag.11- 12.

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ

1. Anghelache C., Badea S.G., Capanu I., Wagner P., Bazele statisticii

teoretice şi economice, Editura Economică, Bucureşti, 2005.

2. Mieilă M., Topliceanu V., Econometrie.Sinteze şi aplicaţii, EdituraCartea studenţească, Bucureşti, 2010

14

MODULUL 2MODELAREA ECONOMETRICĂ


Cuprins

U.I. 2:Construcţia modelelor econometrice. Variabilele şirelaţiile dintre variabile.Liniarizarea modelelor.

= 2 ore

U.I. 3:Utilizarea modelelor econometrice.Critica modelăriieconometrice tradiţionale

= 2 ore

Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privindconstrucţia şi utilizarea modelelor.

Obiective operaţionale: Însuşirea mecanismelor şi etapelor deelaborare a modelelor.

15

UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 2

1. Construcţia modelelor econometrice

Lucrările de la sfârşitul anilor ’40 ale laureaţilor Nobel, J. Tinbergen şi L.

Klein, au determinat ca modelarea economică să dobândească un loc important,

realizându-se lucrări de analiză şi previzune deosebit de complexe. Construcţia

modelelor econometrice începe prin construirea unor bănci de date folosind seriile

statistice. Alături de acestea mai sunt utilizate seriile referitoare la ocuparea forţei de

muncă, cele care corespund contabilităţii naţionale.

O dată ce banca de date a fost construită se poate începe construirea modelului

propriu zis.

Modelarea econometrică este condiţionată de utilizarea următorilor factori:

a)- multiplicatorul keynesian;

b)- evicţiunea financiară;

c)- evicţiunea prin preţuri.

a) Atunci când o componentă este exogenă, cererea creşte, determinând şi

creşterea producţiei, rezultă o distribuire de venituri suplimentare care determină o

nouă creştere,mai intensă decât cea iniţială, astfel apărând noţiunea de multiplicator

keynesian.

b) Efectul mutiplicatorului e influenţat crescător sau descrescător de

evicţiunea financiară. În cazul unei politici monetare staţionare (oferta de bani nu

variază),o creştere exogenă a cererii (o politică bugetară expansionistă care

antrenează creşterea cheltuielilor publice) generează tensiuni pe pieţele financiare de

două tipuri:

1) exces al cererii de credite din partea întreprinderilor ce doresc să

investească mai mult;

2) exces al emisiunii titlurilor de stat pentru finanţarea cheltuielilor publice

fără a apela la emisiunea monetară.

Tensiunile de pe pieţele financiare generează în ambele cazuri sporirea ratei dobânzii

care reduce creşterea cererii. Acest efect se numeşte evicţiune financiară.

FFactoriimodelării

16

c) Evicţiunea prin preţuri are loc atunci când se înregistrează o creştere a

cererii şi a ratei utilizării capacităţii de producţie care generează o creştere a preţului

(inflaţie prin cerere). Acest proces stimulează ocuparea forţei de muncă, fapt care se

reflectă în creşteri salariale şi cu influenţe asupra preţurilor (inflaţie prin costuri).

Evicţiunea financiară şi cea prin preţuri nu sunt modele pur keynesiene deoarece

include efecte de oferte de două tipuri:

- efecte directe asupra profiturilor din investiţii;

- efecte ale costurilor de producţie care se reflectă

asupra preţului.

Un model pur keynesian presupune că la o creştere a salariilor are loc o

creştere a cererii, dar într-o mai mică măsură. În cadrul modelelor economice, acest

aspect expansionist este compensat de reducerea investiţiilor care diminuează pe

termen lung capacitatea de producţie. Mecanismele prezentate pot fi reprezentate

schematic folosind trei sectoare:

1. sectorul real în care sunt determinate cererea, producţia

şi ocuparea forţei de muncă;

2. spirala preţuri-salarii;

3. sistemul monetar-financiar.

O dată ce baza de date a fost constituită se trece la elaborarea modelului.

Folosind datele cunoscute se conturează funcţiile de regresie care cuprind variabile

endogene, exogene, de ecart (întârziere) şi pertrbatoare.

Expresia de mai jos este o ecuaţia de regresie care conţine tipurile de

variabile precizate anterior: endogenă (a0), exogenă (xt), de ecart (yt-1) şi

perturbatoare(u):

yt = a0 + a1 * xt + a2 * yt—1 + ...+ u =

Se trece la aplicarea unor metode matematice de rezolvare a ecuaţiei (metoda

celor mai mici pătrate). În cazul apariţiei erorilor, sunt realizate o serie de modificări

fie pentru ecuaţia de regresie, fie în bazele de date. Erorile medii în valoare absolută

cu privire la preţuri, consum, PIB, trebuie să se situeze sub 1%, iar pentru investiţii şi

comerţ exterior sub 3%.

17

Care sunt factorii care condiţionează modelarea econometrică ? Vezi pag.2.

2. Variabilele şi relaţiile dintre variabile

Încă din secolul al XVII-lea se pun bazele primelor metode de analiză

econometrică, ele referindu-se la finanţe şi comerţ internaţional.

Analiza variabilelor economice presupune obţinerea de informaţii şi

prelucrarea acestora cu ajutorul indicatorilor statistici. Indicatorii pot fi folosiţi atât

din punct de vedere dinamic, cât şi din punct de vedere al evoluţiilor pentru anumite

perioade (sub forma seriilor cronologice). Informaţiile obţinute prezintă variaţii ale

procesului economic. Variabilele economice se clasifică astfel:

a) după natura lor:

-variabile endogene – sunt dependente şi

caracterizează ieşirile din cadrul proceselor economice;

-variabile exogene – sunt independente şi se referă la

intrările în procesele de producţie;

-variabile aleatoare – sunt de tip stocastic şi reflectă

perturbaţiile din modele.

b) după modul de prezentare:

-variabile incerte;

-variabile certe.

În cadrul modelelor, pentru a putea exprima fidel un proces economic,

variabilele trebuie prelucrate folosind scala de măsurare sau alte procedee statistice.

În cercetările econometrice se urmăreşte determinarea variabilelor dependente în

raport de cele independente, cea mai cunoscută fiind determinarea consumului în

funcţie de venituri.

Variabilele economice sunt testate folosind metode statistice şi anume testul

Student.

18

Pentru măsurarea intensităţii legăturilor dintre variabile se foloseşte

coeficientul de contingenţă. În cazul variabilelor exprimate cantitativ se folosesc:

- analiza dispersională;

- măsurarea intensităţii legăturilor dintre variabile şi

coeficienţii de determinare.

Dependenţa dintre cererea de consum (y) şi venit (x) se scrie sub forma unei

ecuaţii de tip liniar astfel:

Yt= a0 + a1*Xt; a0 , a1 >0, parametrii constanţi.

Această relaţie poate fi influenţată şi de alţi factori cum ar fi:

-măsuri de politică bugetară;

-modificarea veniturilor şi a puterii de cumpărare.

Factorii care determină influenţe greu de cuantificat şi sunt de natură

aleatoare se numesc perturbaţii sau variabile aleatoare ,În aceste condiţii .(tع)

ecuaţia de mai sus devine:

Yt= a0 + a1 xt + عt

În cadrul modelelor econometrice se întâlnesc următoarele tipuri de relaţii :

1. de identitate– au rolul economic de balanţă şi contribuie la determinarea

formei reduse a modelului econometric.

2. tehnologice– se referă la restricţiile impuseproducţiei în raport cu intrările

defactori (bunuri de capital disponibil forţa de muncă).

Matematicianul Cobb-Douglas a exprimat funcţia de producţie de tip

exponenţial:

Q = β *Iα * L α-1 ,α , β > 0 constante

Liniarizarea funcţiei se face prin logaritmare ca orice funcţie exponeţială.

3. instituţionale– aceste relaţii cuprind ansamblul măsurilor legislative ale

economiei naţionale.

4. de comportament – se referă la modificarea consumului şi

investiţiilor sub impulsul viziunilor hedoniste. Prin hedonism se înţelege obţinerea

satisfacţiei maxime cu minim de efort. Pentru a putea exemplifica legăturile dintre

variabilele economice, economiştii au încercat să explice intensitatea efectului

modificării unei variabile asupra celorlalte şi să transpună numeric relaţia analizată.

Conexiuni de tip cauză-efect apar pentru prima dată la reprezentanţii liberalismului

clasic. Adam Smith afirma că proporţia existentă pe piaţă dintr-un anumit bun şi

19

cererea pentru bunul respectiv influenţează preţul acestora.

Cel care a revoluţionat gândirea economică la nivelul macroeconomic a fost

J.M. Keynes, care a pus problema legăturii dintre cererea globală şi mărimea masei

monetare. În lucrarea sa „Teoria probabilităţilor”, Keynes formulează critici la adresa

econometriei şi a metodelor folosite de aceasta. Argumentele folosite au fost:

-datele statistice sunt colectate empiric fapt ce generează erori de prognoză şi

programe;

-referitor la multicoliniaritate (ce reprezintă o caracteristică a variabilelor de a

fi corelate între ele);

-evenimentele din economie pot afecta estimatorii;

-diferenţa dintre variabilele exprimate cantitativ şi cele exprimate calitativ

va genera erori de predicţie.

Pentru a prezenta relaţia dintre variabile se prezintă exemplul:

Cantitatea cerută dintr-o marfă pe piaţă este privită ca funcţie de preţ Q = f

(p). Această relaţie este numită de simplă cauzalitate şi se referă la două variabile.

Realitatea economică demonstrează că o cantitate cerută dintr-un anumit produs

este influenţată pe lângă preţ de venitul disponibil(yD) şi preţul mărfurilor

substituibile(ps).

Q=f( p, ps yD,)

La constituirea modelului economic, un loc aparte îl ocupă gruparea

variabilelor în modele. Numărul de relaţii determină complexitatea modelului şi

gradul de corectitudine al rezultatelor obţinute.

Pe piaţă există trei ecuaţii: ecuaţia cererii, ecuaţia ofertei, ecuaţia de ajustare a

pieţei.

În majoritatea modelelor (macroeconomice sau microeconomice,) ele

înfăţişează caracteristici fundamentale ale domeniului de analiză. Comportamentul

variabilelor economice este determinat de numărul relaţiilor şi va surprinde trăsăturile

dominante ale sectorului. Corectitudinea realizării modelului conduce la previziuni ce

pot fi extrapolate pentru sectoare reale.

Pentru construirea unui model macroeconomic se poate presupune existenţa

a trei ipoteze (condiţii):

a) consumul este o funcţie crescătoare de venit disponibil, dar creşterea lui

este mai lentă decât a venitului;

20

b) investiţiile sunt o funcţie crescătoare de venit şi descrescătoare faţă de o

variabilă reglementată de Guvern;

c) venitul naţional este suma dintre consum, investiţii şi cheltuieli

guvernamentale.

Următorul pas în construirea modelului este transpunerea acestor ipoteze sub

forma matematică. De asemenea, se va urmări tipul relaţiilor dintre variabile (relaţii

liniare, relaţii neliniare care pot fi de tip exponenţial, logaritmic, polinomial etc.).

I. Ct = α + (yt - Tt )→ Ct este consumul, Tt este impozitul pe venit, iar

diferenţa (yt - Tt )este venitul disponibil;

II.It = β1 *Y t-1 - β2* Rt →unde simbolurile It reprezintă investiţiile care sunt

considerate o variabila endogenă întârziată; Rt reprezintă rata dobăzii bancare.

III. Yt = Ct + It + Gt→ Gt reprezită transferurile guvernamentale şi

constituie o variabila exogenă.

Celelalte simboluri (α. β1, β2) sunt mărimi pozitive şi subunitare şi au

semnificaţiile următoare:

- α →este consumul autonom;

- β1→ reprezintă sporul de investiţii când venitul creşte cu o unitate;

- β2 → exprimă sporul de investiţii când rata dobânzii scade cu o unitate.

Ecuaţiile I şi II descriu relaţii de comportament, iar ecuaţia III descrie o

relaţie de identitate.

În cazul modelării econometrice vor fi folosite metode de estimare şi stare ale

variabilelor pentru a se determina corectitudinea întocmirii modelului şi a bazei de

date statistice.

Econometria foloseşte ecuaţii din matematica economică, iar prin asocierea

acestora cu datele economice se obţin ecuaţii care pot fi exprimate cantitativ. În teoria

monetară se sugerează că cererea agregată de bani din economie depinde de o

variabilă „scară” (venitul naţional sau avuţia naţională) şi o variabilă aferentă ratei

dobânzii (costul sau oportunitatea deţinerii de bani). Această teorie ne arată că

mărimea variabilei scară conduce la o creştere a cererii de monedă, în timp ce o

creştere a ratei dobânzii ar conduce la o scădere a cererii de bani.

Definirea modelelor econometrice din punct de vedere al formalizării

FModele derelaţii dintrevariabile

21

matematice duce la o folosire facilă a sistemului economic. Modelele economice

folosesc bănci de date ce cuprind atât înregistrări statistice, cât şi date intuitive.

Statistica matematică identifică legăturile dintre variabile dezvăluind raportul cauzal

dintre realitatea economică şi abordarea teoretică.

Care sunt tipurile de relaţii dintr-un model econometric? Vezi pag.5.

3.Liniarizarea modelelor

Nu pentru toate procesele economice funcţiile ce le exprimă pot fi de tip

liniar. Econometria, cu ajutorul metodelor statistice realizează transformarea

ecuaţiilor iniţiale în forme liniare şi măsoară intensitatea legăturilor dintre variabile.

Pentru ca soluţiile oferite de model să fie corecte, ecuaţiile acestuia trebuie să

îndeplinească urmatoarele condiţii:

a) să reflecte procesul economic printr-o construcţie simplă;

b) ecuaţia să fie plauzibilă din punct de vedere economic;

c) observaţiile folosite să fie riguros colectate;

d) parametrii modelului să poată fi extrapolaţi.

Pentru corectitudinea rezultatelor, parametrii exprimaţi cu ajutorul metodelor

matematice se exprimă pentru eşantioane. Exprimarea parametrilor şi calitatea lor se

bazează pe respectarea criteriilor:

-coeficientul de determinaţie R2 trebuie să fie maxim;

-abaterea dintre valorile empirice şi valorile rezultate în aplicarea modelului

să fie minimă;

-estimările să fie nedistorsionate;

-costul metodelor de estimare să fie minim.

Metoda care întruneşte aceste criterii se numeşte metoda celor mai mici

pătrate.

22

În cadrul modelelor, care folosesc ecuaţii de regresie cu n variabile este mai

uşor de aplicat varianta matricială. Astfel, ecuaţia de regresie lineară devine una

matricială:

Y= B*X + U

U-vectorul variabilei aleatoare,

Y- vectorul consumului,

B-matricea pa

X-vectorul venitului disponibil.

În cazul sistemelor economice există o serie de factori care suferă variaţii

pentru intervalul de timp (t).

Pentru atenuarea acestor variaţii se construieşte un set de variabile ce surprind

fluctuaţiile în cadrul modelelor (tipurile de fluctuaţii folosite în modelele

econometrice sunt: cheltuielile de consum, volumul producţiei, volumul masei

monetare, nivelul şomajului).

În cadrul modelului există şi factori ce rămân constanţi de-a lungul perioadei

de timp (t). Aceşti factori se numesc invarianţi.

Invarianţii formează structura sistemului, iar erorile din cadrul acestuia se

reduc. Spre exemplu, să analizăm interacţiunea cererii şi a ofertei de bunuri

electrocasnice.

Cantitatea oferită din aceste bunuri este dependentă în raport cu: volumul

înzestrării tehnice şi a ratei de înlocuire determinată de uzura produsului.

În cazul cererii aceasta este dependentă de înzestrarea tehnică şi venituri. În

cazul echilibrului, pe această piaţă rezultă o relaţie de identitate cu ajutorul căreia se

determină forma redusă a modelelor econometrice. Pentru a se putea ajunge la această

formă trebuie urmărit ca variabilele economice să nu fie dublate şi să coincidă cu

situaţii ale teoriei economice reale.

Modelele surprind relaţii autonome sub forma ecuaţiei de regresie cu ajutorul

cărora sunt descrise relaţii economice şi interdependenţele dintre acestea.

FModelulmatricial

23

Prezentaţi ecuaţia de regresie liniară cu n variabile. Vezi pag. 9.


1. Utilizarea modelelor econometrice

Modelele econometrice sunt utilizate pentru:

a) a analiza măsurile de politică economică şi a variaţiilor din mediul

economic;

b) efectuarea de previziuni, scopul modelului fiind acela de funcţie a

perioadei viitoare pornind de la date prezente. Pentru a se putea realize această

previziune se parcurg următoarele etape:

-formularea de ipoteze asupra variabilelor exogene ale modelului (pentru

cheltuielile publice,preţul materiilor prime, inflaţie, cursul de schimb);

-testarea modelului folosind date prezente;

-minimizarea valorilor variabile de ecart dintre evoluţia simulată şi cea

obţinută în condiţii reale;

-proiecţia valorilor pentru variabile de ecart (este o activitate deosebit de

importantă în cadrul modelării economice).

Teoretic, dacă relaţia economică corespondentă nu include previziuni viitoare

ale acestor variabile, rezultatele sunt incorecte.

Cel care previzionează valorile simulate ale ecartului trebuie să ajusteze în

fiecare etapă aceste valori. Coerenţa economică a unui model furnizează direcţia de

evaluare şi va reflecta echilibrele sau dezechilibrele existente în cadrul problemei

abordate.

24

La ce sunt utilizate moodelele econometrice? Vezi pag.10.

2. Critica modelării econometrice tradiţionale

Criticile referitoare la modelarea economică au la bază limitele şi

insatisfacţiile determinate de modele. Dintre acestea amintim:

1.comportamentul nu întotdeauna justificat al cercetătorului pentru o teorie

sau alta;

2. folosirea unor metode economice simpliste;

3. incertitudini şi divergenţe referitoare la rezultatul obţinut;

4. amplitudinea erorilor de previziune şi numărul mare de corecţii aplicate

pentru a se obţine rezultate apropiate de realitate.

Dintre criticile cele mai pertinente se înscriu:

1. reprezentarea anticipaţiilor;

2. critica lui Sims; ipoteze teoretice şi de cauzalitate;

3. funcţia de reacţie a autorităţilor şi critica lui Lucas;

4. modele economice cu regimuri multiple.

1.Critica referitoare la reprezentarea anticipaţiilor rezultă în cadrul modelelor

economice, anticipările fiind reprezentate prin combinaţii de valori.

Anticipaţiile sunt de următoarele tipuri:

a) naïve ,care se bazează pe extrapolarea unor valori din prezent pentru valori

viitoare;

b) adaptative ,care se bazează pe modele economice ale căror erori au fost

corectate;

c) extrapolative, când variaţiile curente sunt prelungite în

perioada viitoare;

d) raţionale, considerate cele mai bune previziuni deoarece corespund cu realitatea.

Anticiparea raţională a unei variabile endogene depinde de valorile anticipate ale

FCritici alemodelării

25

variabilei exogene care o determină. În cazul în care politica monetară de expansiune

ea a fost anticipată, creşterile preţurilor şi a salariilor sunt deasemenea anticipate.

Astfel ,pe perioada în care plitica monetară se desfăşoară, regulile de politică

monetară vor rămâne neschimbate.

2. Critica lui Sims rezultă în construirea modelului său. Sims pleacă de la

decizia autorităţilor pe care o consideră variabila de politică economică de tip exogen,

în sensul că nu se încearcă explicarea comportamentului acestora. Sims a remarcat că

ipotezele folosite de modelator influenţează structura şi rezultatele modelului. El

propune renunţarea la ipotezele teoretice, importante fiind legăturile de cauzalitate

dintre variabilele economice.

Sims va introduce un nou concept: „ inovaţia unei variabile”. Acest concept

se defineşte ca parte din evoluţia unei variabile care nu este influenţată de activităţi

trecute. Cu ajutorul acestei variabile se poate calcula efectul decalat sau instantaneu

asupra variabilelor în cadrul şocurilor economice.

3. Modelul variabilelor foloseşte teoriile lui Sims referitoare la inovaţii.

Inovaţiile sunt considerate funcţii decalate unele faţă de celelalte, nefăcându-se

distincţie între tipul variabilelor (exogene sau endogene). Acest model este de tip

cutie neagră, în sensul descrierii într-o manieră structurală a comportamentelor

agenţilor economici, iar precizia estimărilor pe termen scurt este destul de mare.

4. Critica lui Lucas

Lucas a observat că neluarea în seamă a funcţiei de reacţie a autorităţilor are

efecte negative asupra comportamentului agentului economic, dar şi asupra

economiei naţionale. Agentul economic trebuie să-şi creeze modele cu ajutorul cărora

poat estima politicile promovate de autorităţi, deciziile lor fiind în aceste condiţii

foarte apropiate de situaţiile reale.

Spre exemplu: dacă agenţii economici cunosc că în următoarele perioade va

avea loc o creştere a preţurilor îşi vor ajusta propriile politici prin măsuri restrictive

asupra costurilor. În funcţie de politica monetară promovată de autoritatea centrală,

agenţii economici îşi vor structura viitoarea politică de investiţii şi creşteri salariale.

Modelele econometrice reprezintă modalităţi importante de analiză şi

previziune, dar între anumite limite. Modelele de echilibru contribuie la dezvoltarea

econometriei fie pentru forme particulare, fie la nivelul economiei naţionale.

În concluzie, modelele econometrice sunt instrumente indispensabile pentru

26

analiza şi previziunea economică, dar este bine să le cunoaştem limitele. O utilizare

prea încrezătoare a acestor modele poate fi periculoasă dacă echipele de modelatori

se mulţumesc numai să comenteze tabelele cu rezultate fără să le interpreteze critic.

Prezentaţi principalele critici aduse modelării econometrice tradiţionale.

Vezi pag.11- 12.





27

MODULUL 3

ESTIMAREA PARAMETRILOR

ÎN MODELELE ECONOMETRICE


Cuprins

U.I.4:Modelul cu o variabilă exogenă.

= 2 ore

U.I.5:Metode probabilistice.

= 2 ore

Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privind estimareaparametrilor

Obiective operaţionale: Însuşirea metodologiilor de estimare aparametrilor.

28


1. Modelul cu o variabilă exogenă

Estimarea parametrilor aj reprezintă modalitatea de exprimare a relaţiilor

dintre variabile în cazul modelelor econometrice. Estimarea parametrilor se realizează

cu ajutorul seriilor de date şi a funcţiilor de regresie care descriu fenomenele

economice analizate.

Cea mai simplă formă a funcţiei de regresie este ecuaţia dreptei:

y= a0 + a1•x + εtRelaţiile dintre variabile în cadrul modelului presupun folosirea unor relaţii

bijective. Pentru valori date ale lui x (variabilă exoxgenă, cauză) îi corespund lui y

(variabilă dependentă) valori dintr-un anumit interval caracterizat prin tipuri de

probabilităţi.

Parametrii aj sunt consideraţi drept necunoscute ale

modelului, iar în cazul unor eşantioane nereprezentative pentru a-i putea determina

se pot folosi estimaţii sau abateri ale acestora (â – parametru ajustat).

Abaterea εt (perturbaţia, variabila aleatoare) urmează o lege de distribuţie

normală. Termenul de variabilă aleatoare se referă la faptul că aceste elemente

perturbă relaţiile deterministe dintre variabile, transformându-le în relaţii de tip

stocastic.

Metodele de estimare a parametrilor se aplică după definirea modelului şi

parcurgerea etapelor de specificare şi identificare. Pentru a putea fi determinaţi

parametrii, este necesară respectarea unor ipoteze de lucru :

a) forma funcţiei de regresie trebuie să fie corectă;

b) valorile variabilelor x, y trebuie să fie fără erori de

observare;

c) media variabilei aleatoare să fie nulă.

Dacă dispersia variabilei aleatoare εt este constantă şi procesul este staţionar,

apare fenomenul de homocedasticitate (variabilele prezente în model sunt egal

împrăştiate). În caz contrar dacă variabilele aleatoare presupun dispersii diferite,

fenomenul se numeşte heteroscedasticitate.

Estimarea parametrilor ajustaţi se realizează cu ajutorul mai multor metode:

FFuncţia de

regresie linearăsimplă

29

-metoda celor mai mici pătrate;

-metoda punctelor echidistante;

-metoda verosimilităţii maxime;

-metode baysiane etc.

Importanţa obţinerii valorilor parametrilor aj este dată de necesitatea

interpretării ecuaţiei fenomenelor studiate. Astfel, parametrii aj ne indică modificarea

variabilei dependente y atunci când cea exogenă xj creşte cu o unitate:

xaj

j

yDD

=

Metodele enunţate sunt folosite pentru obţinerea de valori numerice.

Care sunt metodele cu care se estimează parametrii ajustaţi? . Vezi pag. 2.


1. Metode probabilistice

a). Metoda verosimilităţii maxime

În cazul în care între variabila dependentă y şi variabila independentă x există

o distribuţie comună, se calculează parametrii aj folosind metoda vrosimilităţii

maxime cu ajutorul seriilor de date.Funcţia utilizată în cadrul acestei metode

presupunând că repartiţia este normală este dată de funcţia densităţii de repartiţie.

Funcţia prezintă probabilitatea simultană a observaţiilor privite în funcţie de

un parametru. Pentru determinarea parametrilor se aplică teorema lui Fermat în care

derivatele parţiale trebuie să fie minime. În urma calculelor se ajunge la obţinerea de

valori a parametrilor modelului de maximă verosimilitate.

FSemnificaţia

parametrului aj

30

b).Analiza bayesiană

Utilizează instrumentele matematice din teoria probabilităţilor şi se

structurează în două parţi:

1. Postulatul bayesian.

2. Metoda bayesiană de estimare.

1. Postulatul bayesian se referă la probabilităţile apriorice de natură empirică

pentru o mulţime de ipoteze.

Considerând că parametrului θ îi corespunde o probabilitate φ(θ) definită de o

mulţime Ω, densitatea φ(θ) se numeşte apriorică. În ipoteza că volumul selecţiei este

z, densitatea de probabilitate a lui θ se numeşte aposteriorică φz(θ).

Postulatul lui Bayes prezintă legea dintre probabilitatea apriorică şi cea aposteriorică

reflectând elemente din teoria probabilităţilor şi anume operaţiile cu probabilităţi.

2. Metoda bayesiană de estimare

Dacă metoda celor mai mici pătrate presupune că parametrii aj sunt

necunoscuţi, metoda bayesiană consideră cunoscută legea de distribuţie care

influenţează parametrii ce trebuie estimaţi.

Metoda foloseşte postulatele:

- parametrii necunoscuţi θ aparţin unor clase de distribuţie cunoscute aprioric;

- orice metodă de estimare a parametrilor este considerată întâmplător

potrivită şi conduce la abateri mai mici sau mai mari ce depind de distribuţia

particulară a parametrilor;

- metoda bayesiană de estimare defineşte un procedeu de selectare a celei mai

bune metode definind clase alternative de estimări şi evaluându-le în termenii

valorilor aşteptate ale funcţiilor.

Metoda bayesiană poate fi aplicată atât ecuaţiilor unifactoriale, cât şi celor

multifactoriale cu condiţia ca distribuţia să poată fi aproximată.

31

c). Proprietăţile estimatorilor

În situaţia în care fenomenul economic este depreciat matematic şi

îndeplineşte condiţiile de identificare şi specificare, pentru estimarea parametrilor aj

este necesar să fie îndeplinite condiţiile:

-estimatorii să fie nedeplasaţi. Când probabilitatea de distribuţie a unui

estimator are o medie m, atunci pentru orice eşantion valoarea estimată a parametrului

este egală cu m. Prin deplasare înţelegem abaterea sistematică a unui rezultat obţinut

cu metode statistice de la valorile reale;

-estimatorii trebuie să aibă dispersie minimă;

-estimatorii să fie eficienţi (cel care este nedeplasat şi are dispersia minimă);

-estimatorul să fie consistent (când probabilitatea parametrului aj diferă de

valoarea absolută cu o mărime pozitivă prestabilită).

Curentul Bayesian a apărut în secolul al XVI-lea, dar ideile promovate nu au

convins. Adepţii curentului susţin că metodele bayesiene sunt calitativ superioare

celor tradiţionale, mai précis celor statistice ce folosesc frecvenţe.

Valorile obţinute cu metodele bayesiene sunt mai corecte şi foarte apropiate

de cele reale. Esenţa teoriei constă în faptul că explică cum se schimbă ideile

existente în condiţiile unor noi probe. Metoda se aplică unor situaţii concrete

pentru care prezintă evenimente sub forma funcţiilor de tip cauză –effect (consumul

de droguri şi vârsta celor care se droghează; fumatul şi efectul său negative).

Care sunt proprietăţile estimatorilor? . Vezi pag. 4.

FProprietăţileestimatorilor

32


I. Tratate şi monografii.




33

MODULUL 4

MODELAREA DINAMICII VARIABILELOR

16. Cuprins

17. Obiectiv general

18. Obiective operaţionale

19. Dezvoltarea temei

20. Bibliografie selectivă

Cuprins

U.I.6: Metode de modelare a dinamicii variabilelor.

= 2 ore

U.I.7: Criterii de alegere a metodelor de modelare a

dinamicii variabilelor.

= 2 ore

U.I.8: Extrapolarea seriilor cronologice.

= 2 ore

Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe despre dinamica

variabilelor.

Obiective operaţionale: Însuşirea metodologiei de modelare a

dinamicii variabilelor.

34


1. Metode de modelare a dinamicii variabilelor

Evoluţia în timp a unei variabile este efectul acţiunii factorilor esenţiali

(sistematici) şt neesenţali (întâmplatori, aleatori, reziduali). Acţiunea factorilor

imprimă evoluţiei atât regularitate cât şi abateri de la ceea ce este normal.

Seria cronologica se poate descompune în mai multe componente:

-trendul (tendinţa generală, fundamentală);

-sezonalitatea;

-ciclicitatea;

-variaţia aleatoare (reziduală).

Trendul (Tt) se manifestă ca o mişcare negulată şi continuă a fenomenului.

Trendul se poate sesiza dacă ne referim la o lungă perioada de timp. Trendul

(tendinţa) este efectul factorilor esenţali şi reflectă direcţia evoluţiei.

Sezonalitatea (St) se manifestă ca o variaţie periodică, regulată în cadrul

seriei, pentru perioade scurte sub un an (luni, trimestre). Aceste oscilaţii se manifesta

în jurul trendului şi se datoreaza unor factori ca: obiceiuri, clima, condiţii de

producţie.

Ciclicitatea (Ct) se manifestă ca oscilaţii multianuale în jurul tendinţei. Durata

acestor variaţii este intre 3 si 12 ani. Ciclicitatea este efectul factorilor conjuncturali şi

psihologici. Ciclicitatea se studiază împreună cu trendul, iar eliminarea varaţiilor

ciclice este diferită.

Variaţia reziduală (Rt) are caracter aleatoriu şi sintetizează acţiunea factorilor

imprevizibili, aleatori ( catastrofele, grevele).

Nivelul termenilor empirici poate fi abordat ca o funcţie de inf1uenţele

prezentate anterior:

),,,( RtStCtTtfyt =

Modelul de combinare a influenţelor poate fi aditiv sau multiplicativ.

Modelul aditiv presupune că factorii acţionează independent, iar compunerea

factorilor se face prin însumare. Se alege acest model atunci când variaţiile sezoniere

35

nu depind de trend ( valorile sezoniere sunt egate la aceleaşi momente de timp

indiferen dacă trendul este scăzator sau crescator.

Funcţia modelului este:

RtStCtTtyt +++=

Pentru un astfel de model modulul variaţiilor este constant:

kdddd ==== ...321

In realitate modulul variaţlilor sezoniere 1d este diferit de la un moment la

altul.

De regulă variaţiile sezoniere sunt proporţionale cu valorile trendului.

Modelul multiplicativ se utilizează atunci când oscilaţiile sezoniere sunt

variabile de la un moment la altul.

Pentru acest model se presupune că factorii sunt în interacţiune, iar

compunerea factorilor se face prin înmultire:

RtStCtTtyt ***=

Care sunt componentele seriei cronologice? . Vezi pag.3.

Prin efectuarea analizei seriilor cronologice se urmăreşte cunoaşterea regularitaţii,

adică a efectului acţiunii factorilor esenţali. Pentru aceasta se va separa efectul

acţiunii factorilor sistematici (care impun tendinţa) de efectul factorilor aleatori care

generază abateri de la trend. Acest obiectiv al cercetării se realizeaza prin ajustare.

Ajustarea seriilor cronologice constă în eliminarea factorilor întâmplători din

mărimea termenilor empirici. Prin ajustare se vor înlocui termenii empirici (yt) cu

termenii teoretici (calculaţi) care exprimă tendinţa fenomenului ( ty ).

Pentru realizarea ajustării seriilor cronologice se pot folosi metodele:

- metoda grafică;

- metoda mediilor mobile;

- metoda modificării medii absolute;

- metoda indicelui mediu;

- metode analitice.

FDefiniţiaajustării

serieicronologice

FMetode de

ajustare a serieicronologice

36

a). Metoda grafică constă în reprezentarea grafică a seriei cronologice

folosind cronograma. Se traseaza o linie care uneşte punctele extreme astfel încât

linia să se apropie cât mai mult de valorile empirice. Metoda este utilizată la alegerea

funcţiei analitice cu care se va descrie tendinţa fenomenului.

b). Metoda mediilor mobile (glisante) se recomandă la stabilirea trendului

dacă valorile empirice prezintă variaţii alternative. Mediile mobile provoacă netezirea

unor astfel de variaţii. Netezirea devine mai pronunţata cu cât numărul termenilor

empirici este mai mare. Mediile mobile sunt medii aritmetice simple. Fiecare medie

mobilă exclude din calculul ei primul termen al mediei stabilit anterior şi va include

în calculul şi următorul termen al seriei.

Dacă numărul de termeni empirici din care se calculează media mobilă este impar

(m=2k+l), atunci fiecare medie mobilă va înlocui termenul empiric central din care s-

a calculat respectiva medie.

Pentru mediile mobile determinate din câte trei termeni empirici se vor folosi

următoarele relaţii de calcul:

3321

1yyyy ++

= ,3

4322

yyyy ++= ,

3543

3yyyy ++

= ,...

Dacă numărul de termeni empirici din care se calculează mediile mobile este par (m=

2k) atunci se vor parcurge două etape:

a). In prima etapă se vor calcula mediile mobile provizorii. Fiecare medie

mobilă se va plasa intre doi termeni empirici din care s-a calculat media.

Pcntru mediile mobile provizorii determinate din câte patru termeni se vor folosi

urmăltoarele relaţii de calcul:

44321

1yyyyy +++

= ,4

54322

yyyyy +++= ,

46543

3yyyyy +++

= ,...

b). In etapa a doua se vor calcula mediile finale, folosind câte două medii

mobile provizorii.

221

1yyy +

= ,2

322

yyy += ,

254

3yyy +

= ,…

37

Mediile definitive reprezintă valori ajustate şi vor înlocui valorile empirice.

Este important de reţinut că stabilirea numărului de termeni empirici din care se

calculează mediile mobile are în vedere lungimea unui ciclu.

Dacă valorile empirice lunare prezintă intr-o lună sau două valori foarte mari se vor

calcula medii mobile din 12 termeni (număr par de termeni).

Dacă valorile empirice se referă la trimestru se vor calcula medii mobile din patru

termeni (număr par de termeni).

Cu cât numărul de termeni empirici este mai mare cu atât numărul termenilor

empirici care nu au o valoare corespondentă teoretică va fi mai mare.Se constată că

seria constiuită din medii mobile este mai scurtă decât seria constituită din termeni

empirici (numărul de medii mobile este mai mic decât numărul de termeni empirici).

Realizarea unei ajustări cu medii mobile presupune că seria empirică are oscilaţii

sezoniere dar şi un număr mare de termeni.

c). Metoda modificării mediei absolute se utilizează atunci când termenii

empirici tind să formeze o progresie aritmetică ( modificările absolute cu bază în lanţ

sunt apropiate ca valoare). In cazul când modificările absolute cu bază în lanţ sunt

constante conograma va reprezenta o dreapta.

Această metodă utilizează modificările absolute cu baza în lanţ.

Suma modificărilor absolute cu bază în lanţ este egală cu modificarea absolută dintre

primul si ultimul termen al seriei empirice.

11

1/1/ yyn

n

tttn -=D=D å

=-

Pentru o serie empirică cu n termeni se obţin (n-1) modificări absolute cu bază în lanţ.

Dacă modificările absolute cu bază în lanţ sunt constante, atunci se pot scrie relaţiile:

D-==

-=D-=D

)1(

)1(

1

11/

tyy

yyn

t

nn

Termenul yl poate fi primul termen empiric al seriei cronologice, dar si oricare

termen al seriei cu condiţia să fie reprezentativ (să se inscri în trend, să fie cel mai

apropiat

38

de linia trendului).

Dacă termenul yl este un termen din centrul seriei empirice atunci:

- pentru a afla termenii din stanga lui yl se dau valori lui t=-2, -3, -4, etc.;

- pentru a afla termenii din dreapta lui yl se dau valori lui t= +2. +3. +4, etc.

d). Metoda indicelui mediu de modificare se recomandă când termenii seriei

empirice formează o progresie geometrica (indicii cu bază în lanţ sunt aproximativ

egali, iar cronograma are forma unei funcţii exponenţiale).

Această metodă foloseşte indicii cu bază în lanţ.

Produsul indicilor cu bază în lanţ este egal cu raporul dintre primul şi ultimul ţermen

al seriei empirice.

Õ=

- ==n

t

nttn y

yII1 1

1/1/

Pentru o serie empirică cu n termeni se obţin (n-1) indici cu bază în lanţ.

Dacă indicii cu bază în lanţ sunt constanţi, atunci se pot scrie relaţiile:

)1(1

)1(11/

-

-

·=

·=t

t

nn

Iyy

IyI

Valoarea yl poate fi oricare termen al scrici empirice care indeplineşte

condiţia dc reprczentativitate (mai apropiat de linia trcndului).

Cele două metode sunt uşor de aplicat, dar au ca dezavantaj faptul că valorile

ajustate(teoretice) depind numai de primul termen (y1). De asemenea în realitate

modificările absolute şi relative cu bază în lanţ nu sunt egale (omogene).

e). Metode analitice de ajustare a seriilor cronologice

Cu aceste metode se identifică o funcţie cu care se descrie tendinţa de evoluţie

şi calcularea valorilor teoretice (yt) cu ajutorul respectivei funcţii. Alegerea funcţiei

se realizează cu ajutorul unor criterii:

-criteriul reprezentării grafice,

-criteriul modificării absolute si relative cu bază în lanţ,

-criteriul diferenţelor.

a). Criteriul reprezentării grafice presupune realizarea cronogramci şi

interpretarea formei acesteia.

* Dacă graficul sugerează o modificare absolută uniformă (termenii scriei

formează o progresie aritmetică) atunci se alege o funcţie lineara:

39

btaty +=ˆ

Coeficientul a reprezintă nivelul la care ajunge variabila y dacă influenţa

tuturor factorilor ar fi constantă pe toată perioada.

Coeficientul b exprimă cu cât se modifică variabila y în condiţiile modificării

variabilei timp cu o unitate:

tybDD

=

Se pun în evidenţă urmatoarele cazuri:

b>0, variabila y este staţionară

b=0, variabila y are tendinţa de creştere

b<0, variabila y are tendinţa de scădere.

• Dacă graficul sugerează o modificare relativă uniformă ( termenii seriei

formează o

progresie geometrică se va folosi funcţia exponenţială:

baty ¢= *ˆ

• Dacă graficul sugerează o curbă cu un maxim sau un minim atunci se

alege funcţia unei parabole de gradul al doilea:

2ˆ ctbtaty ++=

b). Criteriul modificării absolute / relative cu bază în lanţ presupune

calcularea diferenţelor absolute cu bază în lanţ sau a indicilor de dinamică cu bază in

lanţ :

- dacă 1/ -D tt , are valori aproximativ egale se va alege funcţia lineară,

- dacă 1/ -ttI , are valori aproximativ egale se va alege funcţia exponenţială.

c). Criteriul diferenţelor constă în calcularea diferenţelor absolute în modul de

diferite ordine.

După alegerea funcţiei se va trece la estimarea parametrilor funcţiei şi apoi la

calcularea valorilor teoretice cu ajutorul funcţiei stabilite.

Pentru estimarea parametrilor se va folosi metoda celor mai mici pătrate

(MCMMP), care presupune minimizarea sumei pătratelor diferenţelor (S) dintre

valorile empirice (yi) si valorile teoretice ( ty )

40

å=

=-=n

tti imyyS

1

2 min)(

Pentru exemplificare se va determina funcţia unui trend linear

btaty +=ˆ

å å= =

-+-=-=n

t

n

iiti imbtayyyS

1 1

22 min)]([)(

O condiţie necesara pentru ca suma să aibă un extrem (punct de minim în

cazul acesta) este ca derivatele parţiale să se anuleze.

[ ] 0)1()(2 1 =-+-=¶¶ å btay

aS

[ ] 0)()(2 1 =-+-=¶¶ å tbtay

aS

Calculând derivatele parţiale ale sumei în raport cu parametrii a şi b şi egalându-le cu

zero se obţine un sistem de două ecuaţi cu variabilele a şi b.

å å ååå+=

+=2tbtayt

tbnay

In cazul seriilor cronologice variabila timp reprezintă criteriul dc ordonare a

datelor şi nu factorul care determină variabilitatea valorilor empirice.

Pentru simplificarea rezolvării sistemului, se va proceda la schimbarea originii

de timp aslfel încât Σt=0. Variabila timp formează o progresie aritmetică cu raţia +1.

Schimbând originea de timp sistemul devine:

å åå

=

=2tbyt

nay

yn

ya ==å

åå= 2t

tyb

Pentru realizarea condiţiei Σt=0, valorile variabilei t se aleg în fuţie de

numărul de termeni ai seriei empirice.

41

• Dacă seria are un numar impar de termeni se va atribui variabilei timp

aferentă

termenului central valoarea zero (t=0). Pentru termenii din stanga lui t=0

se vor atibui valori negative (t=-l, l=-2, t=-3.........), iar pentru termenii din

dreapta lui t=0 se vor atribui valori positive (t=+l, t=+2, t=+3,....).

• Dacă seria are un număr par de termeni, centrul seriei se va afla între doi

termeni centrali. Acestor doi termeni se vor atribui pentru variabila t

valorile +1, +3, +5... şi -1, -3, -5... deoarece originea de timp se află între cei doi

termeni centrali, iar distanţa dintre ei este de două unităţi de timp.

Pentru cazul când graficul seriei cronologice sugerează o funcţie de gradul al

doilea. atunci funcţia utilizată este:

y = a + bt + ct2 (l)

Deoarece trebuie determinaţi trei parametri (a, b, c) este necesar să se

constuiască un sistem de trei ecuaţi cu necunoscutele a, b, c. Pentru aceasta se parcurg

trei etapc:

- se sumează relaţia (1) şi se obţine prima ecuaţie normală:

å åå ++= 2tctbnay

- se înmulţeşte relaţia (1) cu t, iar relaţia obţinută se sumează obţinându-se a

doua ecuaţie

normală:

yt = at + bt2+ ct3 (2)

åå å å ++= 32 tctbtayt

- se înmulţeşte relaţia (2) cu t, iar relaţia obţinută se sumează obţinându-se a

treia ecuaţie normală

yt = at + bt2+ ct3 (2)


42

In final sistemul de ecuatii normale va fi:

å åå ++= 2cttbnay



Deoarece 03 ==åå tt se obţine un sistem echivalent care se poate rezolva

folosind meloda determinantilor:

åå += 2tcnay



Daca graficul sugereaza o funcţe exponenţială se va proceda la logaritmarea

funcţiei prin care se asigură liniaritarea expresiei iniţiale şi apoi se aplică procedeul

de la funcţia liniara.

btnybay

logloglog ·+=

¢·=

å å åå å

·+·=·

·+·=2logloglog

logloglog

tbtayt

tbany

Deoarece å = ot se obţine un sistem echivalent cu care se determină parametrii

a şi b:

åå

åå åå

·=

=

·=·

·=

2

2

loglog

loglog

loglog

loglog

tyt

b

ny

a

tbyt

any

43

Care sunt metodele de ajustare a seriilor cronologice ? . Vezi pag. 3-10.

2. Criterii de alegere a metodelor de modelare a dinamicii variabilelor

Alegerea unui procedeu de ajustare a serieii cronologice se face cu unul din criteriile

de mai jos.

a). Dacă suma valorilor empirice este egală cu suma valorilor teoretice atunci

estimarea parametrilor funcţiei de ajustare este corectă:

å å= ti yy

Efectuând calcule în relaţia de mai sus se ajunge la concluzia că estimarea

parametrilor este corectă dacă suma diferenţelor dintre valorile empirice şi cele

teoretice este zero:

ååååå =-Þ=-Þ= 0)(0 tititi yyyyyy

b).Este considerat cel mai bun procedeu de ajustare acela care asigură un nivel minim

pentu suma pătratelor abaterilor dintre valorile empirice şi valorile teoretice:

å =-= imyyS ti min)( 2

c).Procedeul care asigură coeficientu] de variaţie (CV) cel mai mic este considerat că

descrie cel mai bine tendinţa de evoluţie a fenomenului studiat:

,1001

yydCV =

ny

y iå= , 111 yydy -= ,n

yyndy

yd titt

åå -==

FCriterii dealegere a

pedeului deajustare

44

d). Procedeul care asigură valoarea cea mai mică a coeficientului de eroare (e) este

considerat cel mai bun:

100/*y

yye tis= ,

nyy

yy titi

2)(/* å -

=s

Prezentaţi criteriile de alegere a metodelor de modelare a dinamicii variabilelor.

Vezi pag.11.

3. Extrapolarea seriilor cronologice

Prin extrapolarea seriilor cronologice se înţelege extinderea trendului

manifestat în trecut în afara orizontului de timp, în ipoteza că acţiunea factorilor în

viitor nu se modifică semnificativ. Extrapolarea are la bază datele empirice obţinute

pe perioade anterioare.

Extrapolarea se realizează cu metodele de ajustare prezentate anterior.

Valorile extrapolate pot fi afectate de erori care sunt generate dc următoarele

categorii de cauze:

- modificarea în viitor a factorilor de influenţă,

- alegerea modelului de ajustarea.

Dacă se face ipoteza că în viitor nu se modifică influenţa factorilor, atunci valorile

extrapolate (teoretice) se obţin prelungind valorile timpului dincolo de orizontul de

timp.

Pentru cazul unui trend liniar ( seria empirică are termeni care formează o

progresie aritmetică ) se poate folosi pentru extrapolare funcţia care utilizeaza sporul

mediu:

D-+= )1(1 tyyt

FMetode de

extrapolare a seriei

cronologice

45

Pentru cazul când seria empirică are termeni care formează o progresie

geometrică se poate folosi pentru extrapolare funcţia care utilizează indicele mediu:)1(

1-

·=t

t Iyy

In condiţiile când parametrii funcţiei cu care se modelează trendul rămân

nemodificaţi, iar condiţia Σt=0 se menţine şi pentru valorile extrapolate, se pot utiliza

pentru extrapolare funcţiile de mai jos pentru tendinţa lineara, parabolica sau

exponenţială:

tt

t

t

abyctbtay

btay

=

++=

+=2

Orizontul de timp pentru care se face extrapolarea nu va depăşi jumătatea

lungimii seriei empirice. Lungimea seriei empirice pe baza căreia se face extrapolarea

(măsurată în număr de termeni), se recomandă a fi constituite din cel puţin 12-15

termeni pentru a se putea evidenţia o tendinţă în evoluţia fenomenului studiat.

Cum se efectzează extrapolarea seriilor cronologice ?

Vezi pag.12.

46

Problemă rezolvată

Exportul de utilaje agricole al unei ţări X a cunoscut evoluţia din tabelul 1.

Să se elaboreze variantele de modele de ajustare analitică liniară şi curbilinie

(arc de parabolă de gradul doi), folosind valorile anuale ale exportului (milioane

unităţi monetare). Să se elaboreze cronograma seriei pentru a sprijini alegerea

variantei celei mai potrivite de ajustare analitică.

Tabel 1. Evoluţia exportului din ţara X

Anul Exportul(mil .um.)

1991 731992 931933 801994 1001995 551996 1181997 1421998 2161999 2582000 3222001 3622002 3462003 5032004 6812005 692

Rezolvare:

A) Ajustarea analitică liniară, foloseşte ecuaţia dreptei:

f(t) = a + bti.

Dacă se satisface condiţia S ti= 0, atunci parametrii dreptei de ajustare rezultă

din:

,; 2i

iii

tytb

nya

SS

=S

=

unde yi reprezintă termenii seriei cronologice analizate.

Cu totalurile coloanelor 2-5 ale tabelului 2. se obţine:

.3,44280

12405;4,26915

4041 ==== ba

47

Prin urmare, funcţia de ajustare analitică liniară a acestei serii cronologice

este: f(t) = 269,4 + 44,3 ti, unde ti este o progresie aritmetică cu valoarea iniţială de –

7, iar raţia de creştere este de +1. Astfel, S ti= 0.

Tabelul 2.Anul yi ti ti yi ti

2 ti2yi ti

4

1 2 3 4 5 6 71991 73 -7 -511 49 3577 24011992 93 -6 -558 36 3348 12961933 80 -5 -400 25 2000 6251994 100 -4 -400 16 1600 2561995 55 -3 -165 9 495 811996 118 -2 -236 4 472 161997 142 -1 -142 1 142 11998 216 0 0 0 0 01999 258 1 258 1 258 12000 322 2 644 4 1288 162001 362 3 1086 9 3258 812002 346 4 1384 16 5536 2562003 503 5 2515 25 12575 6252004 681 6 4086 36 24516 12962005 692 7 4844 49 33908 2401

Total4041 0 12405 280 92973 9352

Potrivit funcţiei liniare de ajustare analitică, în perioada analizată, exportul de

utilaj agricol a avut o tendinţă medie anuală de creştere cu câte 44,3 milioane de

unităţi monetare.

În prima parte a tabelului 3. sunt prezentate nivelurile teoretice ale exportului

anual de utilaj agricol (Yi), obţinute prin înlocuirea argumentului ti al funcţiei de

ajustare, cu valorile sale (-7, -6, ......, 6, 7). Totodată, sunt prezentate diferenţele (yi -

Yi), care servesc la măsurarea intensităţii variaţiei faţă de funcţia de ajustare.

O medie aritmetică simplă ( d ) a mărimii absolute a acestor diferenţe sau, mai

frecvent, o medie pătratică (abaterea standard “S”) permite calcularea unui fel de

coeficient de variaţie a valorilor reale (yi) faţă de dreapta de ajustare, pe care se află

înşirate valorile teoretice (Yi). Acest indicator permite calculul coeficientului de

eroare a funcţiei de ajustare analitică (e).

48

Tabelul 3.Ajustarea liniară Ajustarea

curbilinieAnul yi ti Yi yi-Yi

(yi-Yi)2

Yi yi-Yi

(yi-Yi)2

1 73 -7 -41 +114 12996 88 -15 2252 93 -6 4 +89 7921 77 +16 2563 80 -5 48 +32 . 75 +5 .4 100 -4 92 +8 . 81 +19 .5 55 -3 136 -81 . 95 -40 .6 118 -2 181 -63 . 118 0 .7 142 -1 225 -83 . 150 -8 .8 216 0 269 -53 . 190 +26 .9 258 1 314 -56 . 239 +19 .

10 322 2 358 -36 . 296 +26 .11 362 3 402 -40 . 361 +1 .12 346 4 447 -101 . 435 -89 .13 503 5 491 +12 . 518 -15 .14 681 6 535 +146 . 609 +72 .15 692 7 580 +112 12644 709 -17 289

Total 4041 0 4041 0 92470 4041 0 17864

Se observă că prima valoare ajustată pe baza dreptei este negativă (Y1 = -41

milioane u.m.), ceea ce este un non-sens economic.

Urmărind coloana diferenţelor (yi -Yi) se constată că primele şi ultimele

diferenţe sunt pozitive, iar cele de la mijlocul seriei cronologice sunt negative.

Această succesiune ordonată a diferenţelor sugerează deja (fără alte calcule

suplimentare) că există o funcţie curbilinie care asigură o ajustare analitică mai

potrivită decât ajustarea liniară. Altfel spus, în diferenţele (yi -Yi) pentru ajustarea

liniară mai există o componentă sistematică de natura trendului sau tendinţei

evolutive.

Pentru a putea totuşi compara această variantă de ajustare liniară cu cea

curbilinie se determină:

.,.4,6815

1026 mumilioanen

Yyd ii ==

-S=

ceea ce înseamnă că există o diferenţă medie de aproape 70 milioane u.m. între

exporturile anuale reale şi cele estimate pe baza tendinţei liniare. Faţă de exportul

mediu anual al perioadei ( 4,269=y milioane u.m.), această abatere este destul de

mare (25,4%).

49

Dacă se aplică eroarea standard (S) şi coeficientul de eroare (e), atunci

ajustarea analitică liniară prezintă:

..5,7815

92470)( 2

mumilioanen

YyS ii ==-S

=

%1,291004,269

5,78100 =×=×=ySe

Eroarea ajustării liniare este mult prea mare pentru a putea accepta funcţia

liniară ca expresie satisfăcătoare a tendinţei evolutive a seriei.

B).Ajustarea analitică pe baza arcului de parabolă de gradul doi foloseşte

funcţia:

f(t) = a + b t + c t2,

cu condiţia satisfăcută S ti= 0, presupune următoarele calcule prin preluarea

totalurilor din tabelul 1.:

ïî

ïí

ì

S=S+S

S=S

S=S+

,242

2

2

iiii

iii

ii

yttcta

yttbytcna

unde b = 44,303 este deja cunoscut din ajustarea liniară.

Ceilalţi doi parametrii rezultă din rezolvarea sistemului de ecuaţii:

îíì

=+=+

929739352280404128015

caca

Se obţine: a = 190,029 şi c = +4,252.

Funcţia polinomială de gradul doi:

Fig. 1. Evoluţia exportului de utilajeagricole

0

200

400

600

800

0 5 10 15 20

Anii

Expo

rtul

de

utila

j agr

icol

50

f(t) = 190,029 + 44,303 t +4,252 t2, cu t = -7, -6, ........, 6, 7

arată că, în perioada analizată, creşterea exportului de utilaj agricol prezintă o

tendinţă de accelerare de la un an la altul, exprimată prin parametrul pozitiv

c = 4,252.

Faţă de această funcţie de ajustare, diferenţele (yi -Yi) prezintă o alternare

dezordonată a semnelor + şi - , ceea ce sugerează absenţa unei mişcări sistematice în

mulţimea acestor diferenţe (reziduale faţă de tendinţa curbilinie de creştere).

Totodată, diferenţele, în mărime absolută, sunt mult mai mici.

Ele permit următoarele determinări:

..5,2415368 mumilioaned == ,

..5,3415

17864 mumilioaneS ==

%.8,121004,2695,34

==e

Evident, ajustarea curbilinie este mult mai potrivită decât cea liniară. Trebuie

remarcat faptul că o variabilă economică nu suportă creşteri parabolice de lungă

durată, oricât ar fi de susţinută exogen dinamica ei. Prin urmare, folosirea funcţiilor

parabolice de gradul doi în analiza economică trebuie făcută cu maximă precauţie.

Problemă propusă pentru rezolvare

Producţia internă şi importul de biciclete au avut, în perioada 1993-2002 în

România evoluţia din tabelul 2.:

Tabelul 4. Producţia internă şi importul de biciclete în România

în perioada 1993-2002

UM=mii bucăţi

Anul 1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Producţia debiciclete 136 107 67 42 28 22 19 6 6 3

Importul debiciclete 13 18 22 31 28 40 63 71 77 85

51

Se cere:


(arc de parabolă de gradul doi), folosind valorile anuale ale producţiei interne şi

importului de biciclete. Să se elaboreze cronogramele serilor pentru a sprijini alegerea






2. Mieilă M., Topliceanu V., Econometrie.Sinteze şi aplicaţii, Editura

Cartea studenţească, Bucureşti, 2010

52

MODULUL 5

MODELAREA LEGĂTURII DINTRE VARIABILE

21. Cuprins





Cuprins

U.I .9: Tipuri de legǎturi dintre variabile

= 2 ore

U.I.10: Metode de modelare a legăturii dintre variabile

= 2 ore

Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe despre legăturile

dintre variabilele statistice.

Obiective operaţionale: Însuşirea metodologiei de analiză a

legăturilor dintre variabilele statistice.

53


1. Tipuri de legǎturi dintre variabile

Intre fenomene şi procese existǎ relaţii de cauzalitate. Se noteazǎ cu :

y – variabila dependentǎ (rezultativǎ, efect),

x – variabila dependentǎ (factorialǎ, cauzalǎ).

Se pot pune în evidenţǎ urmǎtoarele tipuri de legǎturi :

a) legǎturǎ univocǎ (x determinǎ pe y ; yx ® )

b) legaturǎ reciprocǎ ( yx Û )

c) variabile cu evoluţie similarǎ (când x şi y sunt determinate de o altǎ variabilǎ)

d) variabilele au o evoluţie întâmplǎtor similarǎ (între variabile neexistând o

legǎturǎ)

In continuare se abordeazǎ legǎturile univoce şi reciproce.

1. Dupǎ natura legaturii existǎ :

- legǎturi deterministe (funcţionale) când x determinǎ univoc pe y ( )( xfy = )

- legǎturi stohastice (statistice) frecvent întâlnite in societate şi în economie

exxfy += ,....),( 21

f(x1, x2,……)=variaţie determinată de factorii esenţiali,

e= variaţie determinată de factorii aleatori, eroare sau variaţie

aleatoare,rezidualǎ, partea neexplicatǎ determinatǎ de factori consideraţi

neesenţiali.

xi= variabilǎ esenţialǎ

Legatura statisticǎ (stohasticǎ) nu se indentificǎ la nivelul unitǎţii ci la nivelul

colectiivitǎţii. Egǎtura se mainifestǎ ca tendinţǎ şi se pune în evidenţǎ pentru un

numǎr mare de înregistrǎri.

2. Dupǎ numǎrul variabilelor factoriale:

- legǎturi simple ( )( xfy = ) celelalte variabile au o acţiune constantǎ (cu

influenţǎ semnificativǎ sau nesemnificativǎ)

FTipuri delegături

54

- legǎturi multiple ( ),...,,( 21 nxxxfy = )

3. Dupǎ natura caracteristicilor :

- legǎturi de asociere (între douǎ variabile calitative ; o variabilǎ calitativǎ şi

una cantitativǎ)

- legǎturi de corelatie (legǎturi între una sau mai multe variabile cantitative)

4. Dupǎ direcţia legǎturii :

- legǎturi directe (x şi y se modificǎ în aceleşi sens)

- legǎturi inverse (x şi y se modificǎ în sensuri diferite)

5. Dupǎ forma funcţiei (expresia analiticǎ a legǎturii):

- legǎturi liniare bxay += )( 10 xaay +=

- legǎturi neliniare 2cxbxay ++= )( 2210 xaxaxay ++=

6. Dupǎ timpul realizǎrii legǎturii

- legǎturi sincrone(concomitente) x şi y se modificǎ simultan

- legǎturi asincrone(cu decalaj de timp)

Ex : legǎtura preţ-cheltuieli este sincronă; legǎtura investiţii-PIB este una

asincronă.

Prezentaţi tipurile de legături dintre variabile. Vezi pag.1-2.


1. Metode de modelare a legăturii dintre variabile

Analiza legăturilor presupune parcurgerea urmăroarelor etape :

55

- identificarea variabilelor cauzǎ şi ierarhizarea lor,

- culegerea datelor despre variabilele presupuse corecte,

- verificarea existentei legǎturii şi formei legaturii cu metode simple,

- calculul indicatorilor de corelaţie,

- testarea semnificaţiei îndicatorilor de corelaţie.

2.1. Metode simple de analizǎ a legǎturii dintre variabile

Dupǎ culegerea datelor, pentru variabilele presupuse corelate se va verifica :

- existenţa corelaţiei

- forma analiticǎ a corelaţiei

Principalele metode simple de analizǎ sunt:

- metoda seriilor paralele interdependente

- metoda grupǎrilor

- metoda tebelului de corelaţie

- metoda graficǎ

a) Metoda seriilor paralele interdependente: se recomandǎ pentru un numǎr redus

de valori pereche (xi,yi) inregistrate.

Valorile xi se vor ordona crescǎtor dupǎ care se asociazǎ valorile yi. In acest

fel se pune in evidentǎ forma şi direcţia legǎturii:

- dacǎ modificǎrile sunt în acelaşi sens pt xi şi yi, corelaţia este inversǎ

- comparând modificarea lui y cu modificarea lui x apreciem intensitatea

legǎturii, care aste o mǎrime marginalǎ ÷øö

çèæDD

xy

b) Metoda grupǎrilor se aplicǎ atunci când existǎ un numǎr mare de valori

pereche (xi,yi). Unitǎţile observate se vor grupa dupǎ xi. Pentru fiecare grupǎ

de unitǎţi calculam valoarea medie a variabilei dependente ( iy ).Intre

variabilele x şi y exista corelaţie dacǎ mediile condiţionate iy reacţionaeazǎ la

modificǎrile xi. åå=

ij

ijii n

nyy

*

Se recomandǎ intervale egale de grupare, iar numǎrul de grupe sǎ nu fie foarte

mare pentru a evita pierderea de informaţii. Cu cât mediile de grupǎ diferǎ

mai mult între ele cu atât influenta variabilei x este mai puternicǎ.

FMetode simple

de analiză alegăturii

56

c) Metoda tabelului de corelaţie realizeazǎ gruparea unitǎţilor dupǎ variaţia a

duoǎ variabile, x şi y, şi asigurǎ interpretarea tendinţelor de ordonare a

frecventelor. Acest tabel este unul cu dublǎ intrare. In capetele coloanelor se

trec valorile pentru yi iar in capetele liniilr se trec valorile pentru xi. La

intersecţia liniei „i” cu coloana „j” se trece numǎrul unitǎtilor (frecvenţa) nij.

Valorile yj şi xi se trec astfel:

o crescǎtor pentru yj de la sta la dreapta

o crescǎtor pentru xi de sus în jos

Dacǎ frecvenţele nij se ordoneazǎ dupǎ diagonala principalǎ (dp) corelaţia este

directǎ.Dacǎ frecvenţele nij se ordoneazǎ dupǎ diagonala secundarǎ (ds)

corelaţia este inversǎ.

„m” grupe

„r” grupe

mjri ¸=¸= 11 ;

åå=

ij

ijii n

nyy

* ;

å

å=

=

ijij

jiij

nn

nn

Metoda graficǎ – asigurǎ vizualizarea corelaţiei sub forma unui nor de puncte

(corelograma). Intr-un sistem de coordonate xoy se trec perechile (xi,yi) de

puncte. In funcţie de forma norului de puncte şi orientarea sa se sugereazǎ

tipul legǎturii (directǎ, indirectǎ, linearǎ, nelineara). Dacǎ punctele sunt

dezordonat aşezate in planul xoy nu existǎ legaturǎ, variabilele sunt

independentǎ. Cu cât tendinţa de ordonare dupǎ o linei este mai pronunţatǎ pe

o anume direcţie, atunci legatura este mai intensǎ.

Prezentaţi metodele simple de analizǎ a legǎturii dintre variabile

Vezi pag. 4-5.

yj

xi y1-y2 y2-y3 ... Ym-1-ymTotal

x1-x2 n11 n12 nm2

x2-x3 n21 n22 nm2

xr-1-xr

Total

57

2.2. Metode parametrice de analizǎ a legǎturii

Aceste metode oferǎ posibilitatea de a descrie analitic dependenţa şi de a

mǎsura intensitatea legǎturilor.

Principalele metode parametrice sunt:

- metoda regresiei

- metoda corelaţiei

Ø Metoda regresiei utilizeazǎ o expresie analiticǎ denumitǎ funcţia de regresie

pentru a descrie dependenţa variabilei efect y în raport cu una sau mai multe

variabile cauzǎ (xi)

Observaţie: funcţia de regresie exprimă cum se comportă in medie variabila efect y

sub acţiunea uneia sau mai

multor variabile cauză (esenţiale sau aleatoare) care acţionează constant

sau exercită influenţa

neesenţială.

Expresia funcţiei de regresie este:

exxxfy nxi += ),...,( 21

Simbolul e este variabila aleatoare,perturbatoare (eroare) care sintetizează influenţa

factorilor neesenţiali (neluate în calcul).

Pentru o singura variabilă esentială se obţine regresia unifactorială (liniara sau

neliniară).

Pentru mai multe varaibile esenţiale se obţine regresia multifactorială.

Alegerea funcţiei de regresie poate fi sugerată cu metoda grafică

§ Regresia unifactorială liniară.F

Rregresiaunifactorială

lineară

58

Acest model de regresie se alege atunci când valorile variabilei cauză x şi cele ale

variabilei efect y tind să formeze o progresie aritmetică (xi şi yi se modifică cu

sporuri constante).

Tendinţele de a forma o progresie aritmetica se evidenţiază cu două metode.

a) Valorile variabilei x se ordoneaza crescator, apoi se ataşează corespunzator

valorile variabilei y. Dacă diferenţele (xi-xi-1) şi (yi-yi-1) sunt aproximativ

constante atunci există o progresie aritmetica în modificarea variabilelor, deci se

poate opta pentru o regresie liniară.

b).Se reprezintă grafic posibila corelaţie dintre x şi y. Dacă norul de puncte se

poziţionează în jurul unei drepte atunci se optează pentru o regresie lineară.

Funcţia de regresie lineară are expresia:

ebay xixi +*+=

Simbolurile folosite în expresie au semnifaţiile de mai jos:

yxi = valorile teoretice ale variabilei y in funcţie de x;

xi = valorile empirice ale variabilei factoriale;

a,b = parametrii funcţiei de regresie;

a = ordonata la origine;

a = y(0) , x=0 (dacă „a=0” atunci între x şi y este o legătură funcţională,

deterministă);

b = coeficientul de regresie;

xyb

DD

= ( b = sporul lui y determinat de variaţia cu o unitate a lui x);

b = panta dreaptei de regresie;

-dacă b>0 ,legătură directă;

-dacă b=0, lipsă legătură (variabile necorelate);

-dacă b<0, legătură inversă.

După alegerea funcţiei se vor estima parametrii a şi b care vor sta la bază

calculării valorilor teoretice ale dreptei de regresie.Estimarea paremetrilor a şi b se

face cu metoda celor mai mici pătrate, adică minimizarea pătratelor erorilor

( min2 =ie ).

Eroarea este diferenţa (yi-yxi), expresie în care simbolurile folosite reprezintă:

yi - valoare empirică;

59

yxi - valoarea teoretică.

Suma pătratelor abaterilor trebuie să fie suma

min))((min)( 2

1

2

1=*+-=Þ=-= åå

==xi

n

iixi

n

ii baySyyS

S are extrem dacă derivatele parţialeîn raport cu a şi b sunt nule.

Se obţine sistemul:

ïïî

ïïí

ì

=-+-=¶¶

=-+-=¶¶

å

å

=

=

0)()]([2

0)1()]([2

1

1

i

n

iii

n

iii

xbxaybs

bxayas

Se obţine:

ïî

ïíì

+=

+=

å å åå å

2iiii

ii

xbxaxy

xbnay

Utilizând calculul cu determinanţi obţinem:

åå

å=D

2i

i

i x

xx

n

åå

å

åå

åå

=D

=D

ii

i

i

i

i

ii

i

xy

yx

nb

x

x

xy

ya

2

å åå å å

åå

å

åå

å-

-==

DD

= 22

2

2

2

)(***

ii

iiiii

i

i

i

i

i

ii

i

xxnyxxxy

x

xx

n

x

xyx

y

aa

å åå å å

åå

å

åå

å-

-==

DD

= 22

2

)(***

ii

iiii

i

i

i

ii

i

i

xxnyxxyn

x

xx

n

xy

yx

n

bb

60

După ce s-au aflat parametrii a şi b calculăm valoarea teoretică (yxi) înlocuind în

ecuaţia de regresie valorile empirice xi.

Corectitudinea estimării parametrilor a şi b presupune ca åå = xii yy , respectiv

(suma valorilor empirice este egală cu suma valorilor teoretice)

Dacă numărul unităţilor observate este mare, se recomandă sistematizarea

datelor pe intervale egale de variaţie ale variabilelor x şi y, adică se va proceda la

includerea datelor într-un tabel cu dublă intrare.

În acest caz metoda de calcul a parametilor a şi b este similară cu cea

prezentată anterior, cu deosebirea că valorilor xi, yi şi (xi*yi) se ataşează frecventele

corespunzătoare nx , ny şi nxy.

ïî

ïíì

=*+*

=*+*

å ååå å

nnnnn

xyiixixi

yixi

yxxbxa

yxban

**)*()*(

)*()*(2

nx = frecvenţele corespunzătoare intervalelor variabilei x

ny = frecvenţele corespunzătoare intervalelor variabilei y

nxy = frecvenţele corespunzătoare valorilor xiyi

§ Regresia unifactorială nelineară

Printre cele mai frecvente funcţii nelineare utilizate sunt:

- funcţia polinom de gradul doi;

- funcţia exponenială;

- funcţia hiperbolică.

Funcţia se alege pe baza reprezentării grafice punând condiţia

å =-= min)( 2xii yys

Funcţia de regresie polimomială de gradul doi:2iii cxbxay ++=

Se obţine un sistem de ecuaţii normale, de trei ecuaţii, deoarece există trei parametrii

de determinat. Se înmulţeşte ecuaţia de mai sus pe rând cu xi şi xi2. prin sumarea

consecutivă se obtine sistemul de ecuaţii normale:

FRegresia

unifactoeialăneliniară

61

ïïî

ïïí

ì

++=

++=

++=

å å å åå å å å

å åå

432

32

2*

iiiii

iiiii

iii

xcxbxaxy

xcxbxaxy

xcxbnay

Pentru a stabilii parametrii a, b şi c se foloseşte calculul cu determinanţi. După

stabilirea parametrilor se determină valorile teoretice yxi, înlocuind valorile empirice

xi în funcţia de regresie.

Funcţia exponenţiala de regresie:xi

xi bay *=

Se logaritmează funcţia de mai sus pentru a liniariza funcţia:

bxay ii log*loglog =

Se obţine sistemul de ecuaţii normale ca la funcţia de regresie lineară, înmulţind

ecuaţia de mai sus cu xi şi apoi sumând.

ïî

ïíì

=+

=+

å å åå å

)log*(log*log

logloglog2

iiii

ii

yxxbxa

yxban

Se determină log a şi log b şi apoi parametrii a şi b. Mărimile log a şi log b se

determină folosind calclul cu determinanţi.

§ Regresia multifactorială

In realitate variabila dependentă este influenţată de mai multe cauze. Se vor

lua în calcul cel puţin factorii cu influenţăsemnificativă.

Regresia multifactorială are expresia:

exxxfy kxi += ),...,,( 21

Modelul multifactorial liniar este:

kkxkxx xaxaxaay ++++= ...22110,...,2,1

a0 – explică influenţa tuturor factorilor neluaţi în calcul;

Parametrii a1,a2,...,ak – sunt coeficienţi de regresie parţiali, care se detemină cu

relaţiile:

ii x

yaDD

= saui

i xya

¶¶

= , considerând ceilalţi factori constanţi.

FRegresia linearămultifactorială

62

Pentru trei variabile se obţine sistemul de ecuaţii normale cu patru parametrii

(a0,a1,a2,a3):

3322110 xaxaxaayi +++=

ïï

î

ïï

í

ì

+++=

+++=

+++=

+++=

å å å ååå å åååå ååååå ååå

233322311303

233222211202

313212211101

3322110

)(

)(

)(

*

iiiiiiii

iiiiiiii

iiiiiiii

iiii

xaxxaxxaxaxy

xxaxaxxaxaxy

xxaxxaxaxaxy

xaxaxaany

Intre variabilele factoriale pot exista dependenţe reciproce, fenomen denumit

multicoliniaritate .

Pentru o corelaţie simplă dacă perechile de valori empirice (xi;yi) din reprezentarea

grafică sugerează mai multe funcţii se va calcula pentru fiecare funcţie eroarea

standard:

( )n

yy xii

xy

xii

å -=

2

s

Se alege funcţia care asiguraxi

ix

ys cu mărimea cea mai mică.

Impărţind eroarea standard la media valorilor empirice ( )y se obţine eroarea

procentuală:

ny

y iå= ; 100*y

xii

xys

- eroarea exprimată procentual

Prezentaţi metodele parametrice de analizǎ a legǎturii dintre variabile.

Vezi pag. 6-11.

2.3. Metoda corelaţiei

63

Metoda regresiei descrie analitic dependenţa variabilei efect de variabilele

cauză. Este necesar să se stabilească şi intensitatea legăturii.

Măsurarea intensităţii legaruri se realizează cu metoda corelaţiei care utilzează

indicatorii:

- covarianţa - cov(x,y)

- coeficientul de corelaţie lineară- (r)

- raportul de corelaţie- (R)

Ø Covarianţa (cov(x,y)) este media aritmetică simplă a produselor abaterilor

valorilor empirice de la mediile lor aritmetice:

ny

y

nx

x

yydy

xxdx

i

i

ii

ii

å

å

=

=

-=

-=

n

yyxx

n

dydxyxCov

ii

ii

i )()(*),(

--==åå

Se obţin cazurile:

- dacă cov(x,y) > 0 – corelaţie directă

- dacă cov(x,y) < 0 – corelatie inversă

Observaţie: Covarianţa se aplică rar deoarece:

- nu are interval fix de variaţie (cu cât corelaţia este mai intensă cu atât

covarianţa este mai mare)

- covarianţa se exprimă in unităţile caracteristicelor implicate, făcând dificile

comparaţiile.

Ø Coeficientul de corelaţie liniară (r)

Este un indicator sintetic care măsoară intensitatea legăturilor lineare simple.

Mărimea lui se calculează:

64

- ca raport între covcovarianţă şi produsul abaterilor medii patratice ale

variabilelor implicate

nyy

nxxyxCovr i

yi

xyx

åå -=

-==

22 );

)(;

*),( ss

ss

- ca medie aritmetică a produselor abaterilor normale notate cux

i xxs-

şi

y

i yys-

.

n

yyxx

nyyxx

r y

i

x

i

yx

ii ss

ss

)(*

)()(*)(

--

=--

=åå

Mediile se calculează cu relaţiile:ny

ynx

x ii åå == ;

Abaterile medii pătratice se determină folosind relaţiile:22

÷÷ø

öççè

æ-= åå

nx

nx ii

xs şi

22

÷÷ø

öççè

æ-= åå

ny

ny ii

ys

Efectuând substituţiile şi calculele se obţine:

( )[ ] ( )[ ]å åå åå å å

-*-

-*=

2222 **

*)*(

yynxxn

yxyxnr

Relaţia de mai sus este valabilă dacă datele înregistrate pentru cele două variabile se

prezintă sub forma a două serii simple (fără frecvenţe).

Indicatorul r ia valori între -1 şi +1

Semnul lui r coincide cu cel al coeficientului de regresie b.

Dacă r > 0 corelaţia este directă

Dacă r < 0 corelaţia este inversă

Dacă rà ± 1 legatura este mai intensă

Dacă r = 1 legătura este direct funcţională

Dacă r =-1 legătura este invers funcţională

Dacă r = 0 nu există legătură

65

Dacă numărul valorilor xi şi yi este foarte mare, atunci se procedează la

gruparea acestora pe intervale egale, datele sistematizându-se într-un tabel cu dublă

intrare, în rubricele caruia se trec frecvenţele.În cazul existenţei frecvenţelor,

variabilei xi se ataşează frecvenţa nx , variabilei yi se ataşează frecvenţa ny , perechii

(xi , yi) se va ataşa frecvenţa nxy , iar coeficientul de corelaţie se va determina cu

relaţia de mai jos:

. [ ][ ]å ååååå å å

--

×-=

2222 )()( yiyixixi

yixixyii

nynynnxnxn

nynxnyxnr

Pentru a verifica dacă ceficientul de corelaţie liniară este semnificativ se

aplică testul „t”.

2*1 2

--

= nr

rtcalculat

Simbolurile utilizate în formulă au următoarele semnificaţii:

r - coeficient de corelaţie simplă;

n - numărul observaţiilor;

(n-2) - numărul gradelor de libertate.

Valoarea calculată (tcalculat) se compară cu valoarea tabelată (tteoretic) din tabelul

funcţiei Student pentru un prag de semnificaţie α (de obicei α = 0.05) şi (n-2) grade

de libertate (pentru că dreapta are doi parametrii: a şi b). Se consideră că r este

semnificativ dacă tcalculat > tteoretic.

Ø Raportul de corelaţie (R) este un ndicator sintetic care măsoară intensitatea

legăturilor lineare şi nelineare.

Calculul lui R se bazează pe faptul că modificarea lui y se compune din două

părti :

- o parte explică influenţa caracteristicii factoriale (xi)

- o parte explică influenţa factorilor aleatori reziduali perturbatori

Cunoscând valorile empirice (yi), valorile teoretice calculate cu funcţia de

regresie yxi şi media valorilor empirice y se pot pune în evidenţă trei categorii

de valori:

)()( yyyyyy xixiii -+-=-

FRaportul de

corelaţie

66

Acestea sunt:

a) )( yy i - este abaterea valorilor empirice (yi) de la media lor ( y ).

Media y presupune că toţi factorii de influenţă sunt constanţi, iar valorile

empirice sunt efectul acţiunii tuturor factorilor (esenţiali / neesenţiali).

Dispersia calculată pe baza )( yy i - este dispersia totală şi se notează cu 2ys .

b) Abaterea )( xii yy - măsoară diferenţa dintre valorile empirice yi şi

valorile teroretice yxi. Valorile teoretice exprimă influenţa factorilor esenţiali.

Abaterea )( xii yy - exprimă influenţa factorilor neesenţiali (perturbatori), iar

dispersia se notează cur

y2s - dispersia reziduală.

c) Abaterea )( yy xi - exprimă influenţa factorilor esenţiali, iar

dispersia se notează cux

y 2s - dispersia sistematică.

Pe baza relaţiei )()( yyyyyy xixiii -+-=- se pot determina cele trei

dispersii menţionate:

- dispersia totală →( )

nyyi

y

2

2 å -=s

- dispersia reziduală →( )

nyy xii

ry

2

2 å -=s

- dispersia sistematică →( )

nyy xi

xy

2

2 å -=s , explicată prin influenţa

factorului x.

Intre cele trei dispersii se stabileşte relaţia 222

xy

ryy sss +=

Ultima relaţie stă la baza calculului a doi indicatori:

R2 = coeficientul de determinaţie care explică influenţa factorului x

2

2

2

y

xy

Rs

s=

K2 = coeficientul de determinaţie care explică influenţa factorilor reziduali

(aleatori, perturbatori)

67

2

2

2

y

ry

Ks

s=

Dar 222

ryy

xy sss -= , atunci pentru R se determină astfel 2RR = .

2

22

2

2

y

ryy

y

xy

Rs

ss

s

s -==

2

2

1y

ry

Rs

s-=Þ

Tinând cont de relaţiile care determină dispersiile se obţine:

åå

å

å

-

--=

-

-

-=2

2

2

2

)(

)(1

)(

)(

1yy

yy

nyy

nyy

Ri

xii

i

xii

Indicatorul R ia valori între 0 şi 1.

Dacă R se apropie de 1 legătura este mai intensă.

Dacă R se apropie de 0 legătura este mai puţin intensă.

Dacă legătura dintre variabile este lineară atunci Rr = .

Dacă Rr ¹ legătura este nelineară. In acest caz se va identifica funcţia

nelineară şi se vor calcula valorile yxi cu acestă funcţie şi se va determina R.

Relaţia de mai sus pentru calculul lui R se aplică dacă numărul perechilor de

valori (xi,yi) nu este mare, iar datele apar sub forma a două serii simple (fără

frecvenţe).

Dacă datele s-au sistematizat sub forma unui distribuţii bidimensionale (în

tabel de corelaţie), atunci se va tine cont de frecvenţa de aparitie.

åå

-

--=

yii

yixixii

nyynyy

R*)(*)(

1 ,

Prezentaţi metoda corelaţiei.

Vezi pag.12-16.

68

2.4. Metode neparametrice

Metodele parametrice se aplică în următoarele condiţii:

- variabilele sunt de natura cantitativă (numerică)

- repartiţiile variabilelor tind spre distribuţia normală

Dacă aceste condiţii nu se îndeplinesc, se recomandă folosirea metodelor

neparametrice cu care se calculează indicatorii:

o coeficientul de asociere Yule;

o coeficientul de corelaţie a rangurior Spearman;

o coeficientul de corelaţie a rangurilor Kendall.

Ø Coeficientul de asociere Yule (Q) se aplică atunci când variabilele corelate

sunt alternative. Aceste variabile iau valorile DA şi NU (1 şi 0). Repartiţia

celor două variabile se prezintă într-un tabel de asociere (o variantă

simplificată a tabelului cu dublă intrare)

xy y1 y2 Total

x1 a b a+b

x2 c d c+d

Total a+c b+d a+b+c+d

cbdacbdaQ

****

+-

=

Indicatorul Q ia valori între -1 şi +1:

- pentru Q < 0 – asociere inversă

- pentru Q > 0 – asociere directă

Când Qà ±1 – asociere puternică

Când Q = 0 Intre variabile nu există legătură de asociere

FIndicatori ai

metodelorneparametrice

69

Ø Coeficientul de corelatie a rangurilor se aplică în cazul când valorile sau

formele de manifestare ale variabilelor pot fi ierarhizate.

Aceşti indicatori se recomanda atunci când cel puţin o variabilă este

nenumerică (caliatativă) sau când distributia nu este cunoscută.

Determinarea acestor indicatori nu porneşte de la valorile empirice ale

variabilelor şi de la numere care indică locul fiecărei valori (forme de

manifestare) în serie, numere care poartă numele de ranguri (Rx, Ry). Deci se vor

înlocui valorile empirice sau formele de manifestare cu ranguri.Se ordoneaza

rangurile după x (cel mai mic nivel are rangul 1) şi se ataşează apoi rangurile

pentru y.

a) Coeficientul de corelaţie a rangurilor Spearman (rs) se determină pe

baza rangurilor variabilelor Rx şi Ry:

RyRxdnn

dr

i

is

-=-

-= å)1(

1 2

2

n = numărul unităţilor observate

Indicatorul rs ia valori între -1 şi +1 şi se interpretează ca şi coeficientul de

corelaţie r.

b)Coeficientul de corelaţie Kendall (rk) se calculează numai pe bază

rangurilor variabilei y, adică Ry.

å å =-=

-=

scorulQiPiSnn

Srk )1(2

å Pi = suma rangurilor superioare care urmează în continuare după rangul „i”

analizat.

åQi = suma rangurilor inferioare care urmează în continuare după rangul

analizat.

Indicatorul (rk) ia valori între -1 şi +1.

Dacă rk > 0 corelaţia este directă.

Dacă rk < 0 corelaţia este inversă.

Dacă rk à ±1 corelaţia este mai intensă.

70

Prezentaţi metodele neparametrice

Vezi pag.17-19.

Problemă rezolvată

Folosind datele referitoare la exportul şi importul de mărfuri al României în

perioada 1991 – 1999 (vezi tabelul 1.), să se modeleze analitic dependenţa importului

de export cu o funcţie liniară.

Tabelul1. Exportul şi importul României în perioada 1991-1999

Anul

Export

(mild.

$)

Import

(mild.

$)

1991 4,3 5,4

1992 4,4 5,8

1993 4,9 6,0

71

1994 6,2 6,6

1995 7,9 9,5

1996 8,1 10,6

1997 8,4 10,4

1998 8,3 10,9

1999 8,5 9,6

Rezolvare

Între exportul şi importul unei ţări există, în mod ipotetic, o legătură directă,

de obicei de formă liniară, deoarece încasările din export condiţionează nivelul

importurilor, iar nevoia de a completa oferta internă cu mărfuri din import determină

fiecare ţără să stabilească măsuri de politică comercială de promovare a exporturilor.

Prin urmare, între export şi import există o interdependenţă statistică.

Modelul liniar va descrie analitic legătura import ca variabilă dependentă şi

export ca variabilă independentă..

Pentru a estima parametri funcţiei de regresie liniară y = a + bx , pe baza

datelor din tabelul de mai sus, se scrie sistemul de ecuaţii normale:

îíì

×S=S+S

S=S+

iiii

ii

yxxbxayxbna

2 ®îíì

=×+×=×+

4,53902,440618,74619ba

ba

Rezolvarea acestui sistem conduce la obţinerea următoarele rezultate: a =

0,04 şi b = 1,22.

Tabelul 2.

Anul

Export

(mild.

$)

Import

(mild.

$)

Yi yi - Yi (yi - Yi)2

1991 4,3 5,4 5,3 + 0,1 0,01

1992 4,4 5,8 5,4 + 0,4 0,16

1993 4,9 6,0 6,0 0 0

1994 6,2 6,6 7,6 - 1,0 1,00

1995 7,9 9,5 9,7 - 0,2 0,04

1996 8,1 10,6 9,9 + 0,7 0,49

72

1997 8,4 10,4 10,3 + 0,1 0,01

1998 8,3 10,9 10,2 + 0,7 0,49

1999 8,5 9,6 10,4 - 0,8 0,64

Total 61,0 74,8 74,8 0 2,84

Prin urmare, dreapta care aproximează relaţia dintre importul şi exportul

României în perioada 1991 – 1999 este:

iixy 22,104,0 +=

Parametrul a nu are semnificaţie economică, dar parametrul b, numit şi

coeficient de regresie, arată prin semnul său sensul influenţei variabilei factoriale

asupra celei rezultative, iar prin mărimea sa, cuantumul acestei influenţe: b = +1,22

înseamnă că, între export şi import există o relaţie directă, iar în perioada analizată, la

fiecare modificare a exportului cu o unitate (un miliard de dolari SUA), importul

tinde să se modifice în acelaşi sens cu 1,22 unităţi (respectiv, cu 1,22 miliarde de

dolari SUA).

Pentru a analiza calitatea funcţiei liniare de regresie (capacitatea funcţiei de a

reda evoluţia importurilor României pe baza influenţei liniare a exporturilor sale), se

poate recurge fie la coeficientul de eroare a funcţiei de regresie, fie la coeficientul de

determinaţie specific funcţiei.

În prealabil, este necesară stabilirea valorilor teoretice (Yi), prin înlocuirea

argumentului (xi) cu valorile anuale ale exportului în perioada 1991 – 1999. Aceste

valori teoretice, trecute în coloana a patra a tabelului de mai sus, exprimă nivelul

anual al importului României sub influenţa exclusivă a evoluţiei exportului în

perioada analizată, toate celelalte influenţe fiind considerate constante.

Coeficientul de eroare a funcţiei de regresie presupune, mai întâi aflarea

erorii standard a funcţiei, numită şi abatere medie pătratică a valorilor reale faţă de

cele teoretice (înşirate pe dreapta de regresie).

$562,0984,2)( 2

mildn

YyS ii ==-S

=

73

Rezultatul arată că în fiecare an al perioadei cercetate, între valorile reale şi

cele estimate pe baza funcţiei liniare de regresie există o diferenţă medie (distanţă

medie) de 0,562 miliarde de dolari SUA. Expresia relativă a acestui indicator se

obţine prin compararea cu media anuală a importurilor ( y = 8,311 miliarde de dolari

SUA). Deci, coeficientul de eroare a funcţiei de regresie este o expresie procentuală a

intensităţii împrăştierii valorilor reale ale importurilor în jurul funcţiei liniare care

descrie influenţa exporturilor asupra importurilor în perioada analizată:

%8,6100311,8562,0100 =×=×=

ySe

Coeficientul de eroare obţinut arată că eroarea standard de 0,562 miliarde de

dolari SUA înseamnă doar 6,8 % faţă de media anuală a importurilor, ceea ce se poate

considera ca o eroare relativ redusă. Altfel spus, funcţia de regresie descrie relativ

corect evoluţia importurilor României în perioada 1991 – 1999.

Coeficientul de determinaţie a funcţiei de regresie arată cât de mare este acea

parte a variaţiei caracteristicii rezultative (în problema de faţă, importul României în

perioada 1991 – 1999) care este sintetizată (cuprinsă) în funcţia de regresie, folosind

relaţia:

%3,9310043,42

84,21100)()(

1 2

2

=×÷ø

öçè

æ -=×÷÷ø

öççè

æ-S-S

-=yy

YyD

i

ii

Rezultatul arată faptul că funcţia liniară de regresie surprinde 93,3 % din

totalul variaţiei importurilor anuale ale României în perioada 1991 – 1999, ceea ce

permite aprecierea că această funcţie realizează o descriere satisfăcătoare a evoluţiei

caracteristicii rezultative (doar diferenţa de 6,7% până la 100 % scapă acestei expresii

analitice).

Observaţie: O modalitate simplă de apreciere a calităţii funcţiei de regresie

este şi testul semnelor. Urmărind semnele diferenţelor dintre valorile reale şi cele

teoretice ale variabilei rezultative (yi - Yi), se constată că de-a lungul perioadei

analizate semnul plus alternează neregulat cu semnul minus, ceea ce permite o

concluzie rapidă, de obicei necontrazisă de testele parametrice, şi anume că funcţia

74

liniară de regresie reprezintă o expresie analitică valabilă, care poate fi folosită în

descrierea variaţiei importului României în perioada 1991 – 1999.

Intensitatea legăturii dintre cele două variabile poate fi măsurată fie cu

ajutorul coeficientului de corelaţie (pentru că relaţia este de formă liniară), fie cu

raportul de corelaţie (indicator cu aplicabilitate nelimitată de forma legăturii).

Coeficientul de corelaţie:

[ ][ ]9655,0

)8,741,6649)(6102,4409(8,74614,5399

)()(

22

2222

+=-×-×

×-×=

=S-SS-S

SS-S=

iiii

iiii

yynxxnyxyxnr

Rezultatul atestă existenţa unei legături directe foarte intense între cele două

variabile.

Raportul de corelaţie:

9655,0)()(

1100 2

2

=÷÷ø

öççè

æ-S-S

-==yy

YyDRi

ii

Se obţine, evident, acelaşi rezultat, cu aceeaşi semnificaţie ca şi în cazul

utilizării coeficientului de corelaţie. Doar sensul legăturii nu mai poate fi precizat,

dacă nu se determină şi parametrii funcţiei de regresie.

Problemă propusă pentru rezolvare

Producţia internă şi importul de biciclete au avut, în perioada 1993-2002 în

România evoluţia din tabelul 2.:

Tabelul 2. Producţia internă şi importul de biciclete în România

între1993-2002

UM=mii bucăţi

75

Anul 19

93

19

94

19

95

19

96

19

97

19

98

19

99

20

00

20

01

20

02

Producţia

de biciclete136 107 67 42 28 22 19 6 6 3

Importul

de biciclete13 18 22 31 28 40 63 71 77 85

Se cere:


(arc de parabolă de gradul doi), folosind valorile anuale ale producţiei interne şi

importului de biciclete. Să se elaboreze cronogramele serilor pentru a sprijini alegerea








76

MODULUL 6

METODOLOGIA REZOLVĂRII UNOR

MODELE ECONOMETRICE

26. Cuprins





Cuprins

U.I .11: Modelul liniar unifactorial

= 2 ore

U.I.12: Serii de timp cu trei componente: trend,

sezonalitate si variabila reziduală

= 2 ore

Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe despre legăturile

dintre variabilele statistice.

Obiective operaţionale: Însuşirea metodologiei de analiză a

legăturilor dintre variabilele statistice.

77


1. Modelul liniar unifactorial

Un model econometric unifactorial are forma:

( ) uxfy +=

Simbolurile utilizate au semnificaţiile de mai jos:

y - valorile variabilelor dependente;

x - valorile variabilelor independente;

u - variabila reziduala (influenta factorilor întâmplatori asupra variabilei y).

Dacă se consideră că f(x) este lineară,adică ( ) xbaxf ×+= , atunci

rezulta că:

uxbay +×+=

Rezolvarea modelului econometric folosind metoda celor mai mici patrate

porneste de la urmatoarea relatie:

xYuxy

ii

iii

ba

ba

×+=

+×+=

ˆˆ

Simbolurile folosite au semnificaţiile de mai jos:

· Y reprezinta valorile teoretice ale variabilei endogene y obtinute numai in

functie de valorile factorului esential (variabila exogena) x si valorile estimate

ale parametrilor a si b, respectiv a si b (ce reprezinta valorile ajustate)

· ( ) ( ) xYyu iiii bbaa ×-+-=-= ˆˆ reprezinta estimaţiile valorilor variabilei

reziduale

Se obţine şi se rezolvă sistemul de ecuaţii normale:

ïî

ïíì

×å=å×+å×

å=å×+×

yxxxyx

iiii

ii

ba

bna2ˆˆ

ˆˆ

Pentru estimarea parametrilor se completează cu date rubricile tabelului de

mai jos şi se rezolvă sistemul:

FCapul de tabelpentru calcule

78

Nr.

crt.

xi yi xi2 xi · yi Yi=a+b ·xi xxi -

ui=yi-Yi ui2

yyi-

Nivelul mediu pentru fiecare variabilă se calculează cu relaţiile:

= ; =

Dispunând de estimatiile parametrilor se pot calcula valorile teoretice (estimate) ale

variabilei endogene, Yi .

Pe baza acestor date se pot calcula urmatorii indicatori:

• abaterea medie patratica a variabilei reziduale:

( )knYy

S iiu -

-å=2

ˆ

• abaterea medie patratica a estimatorului a :

( ) úúú

û

ù

êêê

ë

é

å+×=

-xxSS

i

xnua 2

2ˆ

2ˆ

1

• abaterea medie patratica a estimatorului b :

( ) úúú

û

ù

êêê

ë

é

å×=

-xxSS

iub 22ˆ

2ˆ

1

Verificarea ipotezelor de fundamentare a metodei celor mai mici patrate

Variabilele observate nu sunt afectate de erori de masura.

Aceasta conditie se poate verifica cu regula celor 3 sigma, care consta în verificarea

79

urmatoarelor relatii:

xi ( з · σx); yi ( з · σy)

σx= σy=

Variabila aleatoare (reziduala) u este de medie nula M( u )=0, iar dispersia ei S u

2ˆ

este constanta si independenta de x - ipoteza de homoscedasticitate, pe baza careia se

poate admite ca legatura dintre x si y este relativ stabila. Acceptarea acestei ipoteze se

face prin intermediul mai multor procedee. Procedeul grafic consta în construirea

corelogramei privind valorile factoriale x si ale variabilei reziduale u.

Daca graficul prezinta o distributie oscilanta, se poate

afirma despre cele doua variabile ca sunt independente si nu corelate, daca nu, atunci

cele doua variabile ca sunt dependente si corelate.

Testul Durbin-Watson consta în calcularea termenului empiric cu ajutorul

relaţiei de mai jos:

( )å

å -

=

=-

= n

ii

n

i

u

uu iid

1

2

2

2

ˆ

ˆˆ 1

Se compară mărimea calculată d cu doua valori teoretice d1 si d2 preluate din

tabelul Durbin-Watson în functie de un prag de semnificatie α, arbitrar ales, de

numarul variabilelor exogene (k) si de valorile observate (n>15).

· Coeficientul de autocorelatie de ordin 1:

å

å

=-

=-

×= n

ii

n

iii

u

uur

2

2

1

21

1

ˆ

ˆˆ

Daca r1→0 rezulta ca poate fi acceptata ipoteza de independenta a variabilelor

80

reziduale.

Verificarea ipotezei de normalitate a valorilor variabilei reziduale

Daca erorile urmeaza legea normala de medie zero si de abatere medie

patratica S u atunci are loc relatia:

( ) aa

-=×£ 1ˆˆ Stu uiP

Verificarea semnificatiei estimatorilor si a verosimilitatii modelului

Pentru verificarea semnificatiei estimatorilor se calculeaza rapoartele:

tS a

aa

ñˆ

ˆtS b

ba

ñˆ

ˆ

Verificarea verosimilitatii modelului

Pentru a accepta ipoteza de liniaritate se calculeaza coeficientul de corelatie

liniara, definit în intervalul [-1;1].

( ) ( ) ( )ssss yx

ii

yxx

yn

xyxy xyr ××

-×-å=

×=

,cov

Mărimea lui r xy indica intensitatea corelatiei liniare dintre cele doua

variabile.

Verificarea verosimilitatii modelului se face cu ajutorul analizei dispersionale.

Pe baza datelor din tabel de mai jos se poate calcula raportul de corelatie dintre

cele doua variabile:

VV

VVR ux

xy 2

0

2

2

0

2

1-==

Verificarea semnificatiei raportului de corelatie si, implicit, a coeficientului de

corelatie liniara se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor:

( )R

RF nC 2

2

12

-×-=

Sursa de

variaţie

Măsura

variaţiei

Număr

grade de

Dispersii

corectate

Valoarea testului F

FC ( )vvF

21,,a

81

Prezentaţi cum efectuează verificarea ipotezelor de fundamentare a metodei

celor mai mici patrate

Vezi pag.4.


1. Serii de timp cu trei componente: trend, sezonalitate si variabilă reziduală

a) Alegerea modelului de ajustare privind descrierea fenomenului.

Modelul este structurat pe trei componente:

Variaţia

dintre

grupe ( )å -=

=10

1

2

2

i

x

yY

V

i

k

kVS x

xy

22 =

( )R

RFn

C

2

2

12

-×-

=

( )vvF

21,,a

Variaţia

reziduală ( )å -=

=10

1

2

2

i

u

YyV

ii

n-k-1

1

2

2ˆ

--

=

knV

Su

u

- -

Variaţia

totală ( )å -=

=10

1

2

2

0

iyy

V

i

n-1

- - -

FRetineti relaţiile

de calcul

82

yt = f(t) + s(t) + ut

Simbolurile utilizate au următoarea semnificaţie:

yt - valorile reale ale fenomenului;

s(t) - componenta sezoniera, care este un efect al actiunii factorilor

sezonieri, a caror influenta se exercita pe perioade mai mici de un an;

f(t) - componenta trend, care este un efect al influentei factorilor

esentiali, reprezentând tendinta de evolutie a fenomenului pe termen lung,

tendinta care, pe baza graficului, poate fi descrisa cu ajutorul unei functii

liniare;

ut - componenta reziduala, care este un efect al influentei factorilor

întâmplatori.

a1) Metoda analizei variatiei

Modelul de ajustare se bazeaza pe relatia de mai jos:

( ) ( )åå +--

åå -åå -åå -

+

++== =

i j

i ji j

n

i

m

j

yyyy

yyyyyy

jiij

jiij

)(

)(

0

0002

22

1 1

2

Se folosesc notaţiile de mai jos:

( )( )

åå +--D

åå -D

åå -D

åå -D

=

=

=

== =

i j

i j

i j

n

i

m

j

yyyy

yy

yy

yy

jiijuy

jsy

ity

ijy

)(

)(

0/

0/

0/

0

22

22

22

1 1

22

83

Semnificaţiile simbolurilor utilizate sunt următoarele:

D2y - variatia totala a fenomenului;

D2/ ty - variatia lui y explicata de trend;

D2/ sy - variatia lui y explicata de componenta sezoniera;

D2/ uy -variatia lui y datorata factorilor întâmplatori;

Testarea semnificatiei rezultatelor se poate face cu testul “F”.

( )( )

( )( )11:

12

11:

11

2

/

2

/

2/

2/

---=

---=

DD

DD

mnmcal

mnncal

uysy

uyty

F

F

Din tabela distributiei Fisher-Snedecor se preiau valorile teoretice

corespunzatoare celor doua valori calculate Fcal1 si Fcal

2.

Dacă: Fcal1 > F1

tab şi Fcal2 > F1

tab se accepta modelul stabilit de tipul

yt =f(t) + s(t) + ut cu un prag de semnificatie de 1 %, componenta trend detinând x %

din variatia totală.

Prezentaţi în ce constă metoda analizei variaţiei

Vezi pag. 7-8.

b) Estimarea componentei sezoniere si determinarea seriei cronologice

84

desezonalizată

În functie de modalitatile de exprimare a tendintei, sezonalitatea se poate exprima prin

mai multe procedee:

b1) Procedeul mediilor aritmetice consta în compararea valorilor empirice cu

mediile anuale si calculul mediilor aritmetice ale acestor valori pe subperioadele

anilor.

Sezonalitatea în valoare absoluta este:

yyyyyy

S j

n

i i

n

i ij

n

i iij

j nnn 0

111-=-=

÷øöç

èæ -

=ååå ===

Sezonalitatea în valoare relativa este calculata cu relatia:

n

n

ii

ij

j

yy

kå=

=1

b2) Procedeul mediilor mobile. Deoarece numarul subperioadelor anuale este „n”

rezulta ca numarul de termeni din care se vor calcula mediile mobile este tot „n”.

Coeficientii de sezonalitate trebuie sa respecte egalitatea sum(kj) = m. Daca sum(kj)

este diferit de m, atunci coeficientii kj vor trebui corectati.

b3) Procedeul tendintei analitice: calculul componentei sezoniere si a seriei C.S.V.

pe baza tendintei analitice a seriei. Acest procedeu consta în estimarea valorilor

tendintei fenomenului central cu o functie de ajustare specificata pentru valorile

fenomenului yij, dupa care se vor calcula coeficientii de sezonalitate kj.

Functia de ajustare este o functie liniara:

tbayt×+=

ttbta

tbTa

yy

t

t

×=×+×

=×+×

åå åå å

2ˆˆ

ˆˆ

85

Prezentaţi procedeele de exprimare a sezonalităţii

Vezi pag. 9-10.

c) Specificarea functiei de ajustare privind tendinta fenomenului si estimarea

parametrilor.

Estimarea valorilor componentei trend si a valorilor variabilei estimate.

Functia de ajustare privind tendinta fenomenului într-o anumita perioada se deduce

pe baza valorilor C.S.V. adica a seriei de timp corectata de variatiile sezoniere si seria

desezonalitata. Seria initiala desezonalizată cu ajutorul mai multor procedee, estimarea

celor doua componente – trend si variabila reziduala – se poate face utilizând

rezultatele obtinute la oricare din aceste metode.

Anii t yt* t2 t.yt Yt

* ut ut2 (t-tmed)2

(yt* - y*

med)2 (yt* - Yt

*)2 (Yt* - y*

med)2

tytdtc

ytdTc

t

t

×=×+×

=×+×

åå åå å

*

*

2))

))

Rezulta: c si d .

d) Verificarea semnificatiei functiei de ajustare specificându-se pragul de

semnificatie.

Pentru a verifica semnificatia parametrilor si a functiei de ajustare se vor calcula:

FCapul de tabelpentru calcule

86

· dispersia variabilei reziduale

å×--= us tu kT

22

11

· dispersiile estimatorilor

( ) ÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ+×=å -

-

tttss Tuc 2

222

ˆ

1

( )å -=

ttss u

d 2

22ˆ

· valoarea raportului de corelatie

( )å -

å**

-=

yyu

t

R t2

2

1

Utilizând ecuatia analizei variatiei :

( ) ( ) ( )å -å -å - **+**=** yYYyyy ttt

222

rezulta ca modelul econometric explica procentul din variatia totala a fenomenului.

Daca numarul gradelor de libertate este T < 30 vom utiliza

distributia Student cu T-k-1 grade de libertate, unde k reprezinta numarul valorilor

explicative. Pentru un prag de semnificatie α, din tabela distributiei Student se preia

valoarea tα;T-k-1:

Daca indicatorii sunt semnificativi diferiti de zero, cu un prag de semnificatie

notat cu α.

tsts calcd

calcc

dcññ

ˆˆ

ˆˆ

87

Verificarea semnificatiei raportului de corelatie se face cu ajutorul testului Fisher

–Snedecor:

2

2

11

RR

kkTF c -

×--

=

Din tabela distributiei Fisher - Snedecor, în functie de un prag de semnificatie

de α si de numarul gradelor de libertate υ1 = k si υ2 = T-k-1 se preia valoarea Fc.

Daca Ftab > Fcalc , atunci valoarea raportului de corelatie este semnificativ

diferita de zero, cu un prag de semnificatie de α.

Prezentaţi în ce constă verificarea semnificatiei functiei de ajustare specificându-se

pragul de semnificatie.

Vezi pag. 11-12.







Documents

Econometrie