Econometrie Regr Neliniara

8/16/2019 Econometrie Regr Neliniara

1/56

ECONOMETRIE


2/56

Planul cursului1. Introducere

2. Modelul de regresie liniară simplă

3. Modelul de regresie liniară multiplă4. Modele de regresie neliniară

5. Ipoteze statistice: normalitatea erorilor,homoscedasticitatea, necorelarea erorilor,multicoliniaritatea.


3/56

4. Modele de regresie neliniară4.1. Tipuri de modele

4.2. Modele liniarizabile

4.3. Modele polinomiale

4.4. Modele neliniare multiple


4/56


5/56

4.2. Modele liniarizabilea. Modele semi-logaritmice

a.1 Modele cu variabila dependentă logaritmată I. Modelul Compound (compus)II. Modelul Growth (de creştere)III. Modelul e%ponen&ial

a.2 Modele cu variabila independentă logaritmată:modelul +ogarithmic.


6/56

a.1 Modele cu variabila dependentă logaritmată I. Modelul Compound

1.

Forma generală a modelului :

cua&ia se liniarizează prin logaritmare:

ε β β e ! ⋅⋅= 1-

ε β β +⋅+= 1- lnlnln !


7/56

arametrii modelului:# - este 'aloarea lui ) pentru (/-. 0ariabila ) are

numai 'alori poziti'e, deci - satis!ace condi&ia - -.# 1 arată 'aria&ia medie procentuală a lui ) la o

'aria&ie absolută a lui ( cu o unitate. eprezintă rata

de cre$tere sau reducere a 'ariabilei ) "n raport cu'ariabila (.


8/56

Observaţii:# acă 11, atunci legătura dintre cele două 'ariabile

este directă.

# acă -11, atunci legătura dintre cele două'ariabile este indirectă.


9/56

2. "stimarea parametrilor modeluluie !ace prin M6MM:

istemul de ecua&ii normale:

n1#i # $ln% &bln'blnn ii1 =∑∑

$ln &% &bln' &bln ii2ii ∑∑∑ 1-

∑ = imminei2


10/56

( )

& &n

$ln & $ln &nbln

2

i

2

i

iiii1

∑∑

∑∑∑−

−=

( )2

i2i

iii2ii

& &n

$ln & & & $lnbln

∑∑

∑∑∑∑

−

−=


11/56

0alorile estima&iilor b $i b1 sunt prezentate "n output#ulCoe**icients, coloana +nstandardi,ed Coe**icients.

-. estarea semni*ica/iei parametrilor

Ipoteze Interpretare

0. ntensitatea legăturii dintre variabile

%emplu: raportul de determina&ie 7 s3uare8.


12/56

4. "&emplu

9n urma analizei legăturii dintre 'aloarea in'esti&iilor 7miilei8 $i 'aloarea produc&iei 7mil. lei8 "nregistrate pe un

e$antion de 5 !irme, s#au ob&inut următoarele rezultate:


13/56

Coefficients

1.139 .039 2.488 29.566 .000

15.175 2.726 5.568 .011

X

(Constant)

B Std. Error

Unstandardized

Coeffiients

Beta

Standardized

Coeffiients

t Si!.

"#e de$endent %aria&'e is 'n().


14/56

ezol'are: "cua/ia estimată a legăturii dintre cele douăvariabile este:

+ogaritmnd ecua&ia de mai sus, se ob&ine:

ln;%i/ln15,1/2,=-,13%i

ii

& & 1-5 #1164 #14 $ ⋅=


15/56

Interpretare:# 'aloarea parametrului 7 1 arată că la o cre$tere cu omie de lei a in'esti&iilor 7 ! 8, produc&ia 7 8 cre$te "nmedie cu o rată de -,13 sau cu 13?.

2. estarea semni*ica/iei parametrilor

-. "stimarea şi testarea intensită/ii legăturii dintre

variabile


16/56

a.1 Modele cu variabila dependentă logaritmatăII. Modelul Growth (de creştere)

@orma generală a modelului:

ε β β +⋅+=

! 1(e

ε β β +⋅+= ! ln1(


17/56

II. Modelul Growth (de creştere)

arametrii modelului:

- e β0 este 'aloarea medie a lui pentru !%.

- β1 arată 'aria&ia medie procentuală a lui la o'aria&ie absolută a lui ! cu o unitate.


18/56

"&emplu9n urma analizei legăturii dintre 'aloarea in'esti&iilor7mii lei8 $i 'aloarea produc&iei 7mil. lei8 "nregistrate peun e$antion de 5 !irme, s#au ob&inut următoarelerezultate:


19/56

Coefficients

.130 .034 .912 3.843 .031

2.720 .180 15.142 .001

X

(Constant)

B Std. Error

Unstandardized

CoeffiientsBeta

Standardized

Coeffiientst Si!.



20/56

cua&ia estimată a legăturii dintre cele două 'ariabile

este:

+ogaritmnd ecua&ia de mai sus, se ob&ine:ln ! %2#62'.1-!

! 1- #62 #2 ! e

⋅+=


21/56

III. Modelul eponen!ial Forma generală a modelului :


ε β β ee ! 1 ⋅⋅=

ε β β +⋅+= ! ln ln 1


22/56

III. Modelul e%ponen&ial

arametrii modelului:

- β0 este 'aloarea medie a lui pentru !%.

- β1 arată 'aria&ia medie procentuală a lui la o'aria&ie absolută a lui ! cu o unitate.


23/56

III. Modelul e%ponen&ial

"&emplu

e consideră legătura dintre 'aloarea in'esti&iilor 7mii lei8 $i'aloarea produc&iei 7mil. lei8.

Coefficients

.130 .034 .912 3.843 .03115.175 2.726 5.568 .011

X(Constant)

B Std. Error

Unstandardized

Coeffiients

Beta

Standardized

Coeffiients

t Si!.



24/56

cua&ia estimată:

nterpretare8

+a o cre$tere a in'esti&iilor cu o mie de lei, produc&ia cre$te, "n medie, cu 13?.

! 1- # ! e164 #14 ⋅=


25/56

a.2 Modele cu variabila independentă logaritmată

Modelul 9ogarithmic

Forma generală a modelului :

- β0 este 'aloarea medie a lui pentru !%1.

- β1 arată 'aria&ia medie absolută a lui la o'aria&ie procentuală a lui ! cu o unitate.

ε β β +⋅+= ! ln 1


26/56

"&emplu

e consideră legătura dintre 'aloarea in'esti&iilor 7miilei8 $i 'aloarea produc&iei 7mil. lei8.

Coefficients

20.535 3.396 .961 6.047 .009

1.799 5.388 .334 .760

'n(X)

(Constant)

B Std. Error

Unstandardized

Coeffiients

Beta

Standardized

Coeffiients

t Si!.


27/56

cua&ia estimată a legăturii dintre cele două 'ariabile este:

nterpretare8

+a o cre$tere a in'esti&iilor cu 1 ? produc&ia cre$te, "n

medie, cu -,2-535 mil. lei 72-,535A1--8.

! ln4-4 #2655 #1 ! ⋅+−=


28/56

b. Modelul de tip putere ( Power ) (log-liniar)

1. Forma generală a modelului :


ε β

β e ! ⋅⋅= 1

-

ε β β +⋅+= ! lnlnln 1-


29/56

9n modelul putere, parametrul 1 este elasticitatea 'ariabileidependente "n raport cu 'ariabila independentă ! .

B lasticitatea unei 'ariabile "n raport cu o altă 'ariabilă ! reprezintă modi!icarea relati'ă 7procentuală8 a 'ariabilei la

o modi!icare relati'ă 7procentuală8 a lui ! cu o unitate.


30/56

lasticitatea poate !i determinată prin rela&ia:

!

!

1 !

!

1

! .i* mod :

.i* mod : " ⋅=

⋅

⋅

== ∆

∆

∆

∆


31/56

2. "stimarea parametrilor modelului

rin M6MM

n1,i 1- =∑∑ # $ln% &lnb'blnn ii

$ln &ln% )

&(lnb'

&lnbln

iiii ∑∑∑

2

1-


32/56

. !estarea semni"i#aţiei parametrilor

$. %&emplu

9n urma prelucrării datelor pri'ind 'aloarea produc&iei industriale 7mil. lei8 $i ni'elul

in'esti&iilor nete din industrie 7mii lei8 "n omnia,"n perioada 1>>-#2-1-, s#au ob&inut următoarelerezultate:


33/56

Coefficients

*960 *012 *999 79*735 *000

1*603 *143 11*204 *000

'n(X)

(Constant)

B Std. Error

Unstandardized

Coeffiients

Beta

Standardized

Coeffiients

t Si!.



34/56

Model Summary

*999 *998 *998 *116

+ + S,-are

d/-sted

+ S,-are

Std. Error of

t#e Esti0ate

"#e inde$endent %aria&'e is X.


35/56

ANOVA

86*240 1 86*240 6357*625 *000

*190 14 *014

86*429 15

+e!ression

+esid-a'

"ota'

S- of S,-ares df ean S,-are Si!.

"#e inde$endent %aria&'e is X.


36/56

e,olvare8

1. "cua/ia estimată a modelului putere este:

rin logaritmare se ob&ine:

5;( #( ! ! ;(- #1 ⋅=

! ln5; #062 # ! ln5; #;- #1ln ln ! ⋅+=⋅+=


37/56

Interpretare:

roduc&ia industrială cre$te "n medie cu -,>C?, la o cre$terecu 1? a in'esti&iilor nete "n industrie.

anta dreptei 7parametrul 18 reprezintă elasticitatea 7 " 8in'esti&iilor "n raport cu produc&ia.

2. estarea semni*ica/iei parametrilor

-.


38/56

4.3. Modele polinomialea. Modelul parabolic: cel mai simplu model polinomial este

modelul parabolic 7=uadratic8.

+a ni'elul e$antionului:

ε β β β +⋅+⋅+=2

21- ! !

221 ! ! b ! bb ⋅+⋅+=


39/56

9n economie, modelul polinomial este !olosit pentrudescrierea rela&iei dintre costul unitar $i produc&ia realizată:costul unitar scade concomitent cu cre$terea produc&iei pnă

la un ni'el optim al produc&iei, după care, dacă produc&iacontinuă să crească, "ncepe să crească $i costul unitar.


40/56

%emplu

.40.0030.0020.0010.00 9.008.007.006.005.004.003.002.00Productia


41/56

%emplu 9n studiul legăturii dintre costul unitar $i produc&ia

unui bun 7sute bucă&i8, "nregistrate pentru une$antion de !irme, s#au ob&inut următoarele rezultate:


42/56

%emplu

Coefficients

25.795 3.895 5.322 6.623 .000

2.114 .351 4.842 6.026 .001

89.041 9.231 9.646 .000

rod-tia

rod-tia 2

(Constant)

B Std. Error

Unstandardized

CoeffiientsBeta

Standardized

Coeffiientst Si!.


43/56

%empluModel Summary

.941 .886 .853 4.484

+ + S,-are

d/-sted

+ S,-are

Std. Error of

t#e Estiate

"#e inde$endent %aria&'e is rod-tia.

ANOVA

1091.326 2 545.663 27.133 .001

140.774 7 20.111

1232.100 9

+e!ression

+esid-a'

"ota'

S- of

S,-ares df ean S,-are Si!.

"#e inde$endent %aria&'e is rod-tia.


44/56

Interpretare: 2o, deci legătura de tip parabolic admite un punct de

minim.

6oordonatele punctului de minim arată ni'elul produc&ieioptim pentru care costul unitar este minim. Dbscisa acestui

punct este:

#b1A2b2/25,A4,22/C,11. entru o produc&ie de C11 bucă&idin produsul D, costul este minim.


45/56

b. Modelul cubic

9n economie acest model este !olosit pentru descrierearela&iei dintre costul total $i 'aloarea produc&iei.

entru acest tip de legătură se poate determina punctul dein!le%iune al curbei, prin anularea deri'atei de ordinul 2 in(.

ε β β β β +⋅+⋅+⋅+= 332

21- ! ! !


46/56

40200 220000150001000050000PIBloc


47/56

Coefficients

2*931 *071 1*197 41*218 *000

3*9E007 *000 *361 4*932 *000

7*73E014 *000 *165 . .

3962*660 11506*083 *344 *737

B

B 2

B 3

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoeffiients

Beta

StandardizedCoeffiients

t Si!.


48/56

4.4. Modele de regresie neliniară multiplă.Modelul puterea. >orma generală a modelului:


ε β β β β e ! ! ! p21 p21 ⋅⋅⋅⋅⋅=

ε β β β β +⋅++⋅+⋅+= p p2211 ! ln ! ln ! lnln ln


49/56

nterpretare8

parametrul β0 este ni'elul mediu al lui atunci cnd ! i%1.

parametrii 7 i reprezintă elasticitatea 'ariabilei dependente "n raport cu 'ariabilele independente ! i.


50/56

b. "&emplu din economie

# !unc&ia de produc&ie de tip 6obb#ouglas.

b.1. Pre,entarea modelului


51/56

unde:

?ariabilele modelului sunt:

este produc&ia !inală sau output#ulE

! 1 sunt !ondurile !i%e, capitalul sau input#ulE

! 2 este !or&a de muncă 7input8.Coe*icien/ii modelului:

β0 este ni'elul mediu al produc&iei 7) cnd ! i%1.

ε β β β e ! ! ⋅⋅⋅= 21 21-


52/56

7 1 este elasticitatea par&ială a produc&iei "n raport cu !ondurile!i%e sau !actorul capital.

7 2 este elasticitatea par&ială a produc&iei "n raport cu !or&a demuncă.

(7 1' 7 2 ) este elasticitatea totală a produc&iei "n raport cu cei doi

!actori. Dceastă 'aloare poartă numele de randament de scară.


53/56

nterpretare8

(7 1' 7 2 )@18 un spor al !actorilor de produc&ie generează ocre$tere a output#ului dar "ntr#o propor&ie mai mică 7proces de

produc&ie cu randament de scară descrescător8E (7 1A ' 7 2 )B18 un spor al !actorilor de produc&ie generează o

cre$tere a output#ului dar "ntr#o propor&ie mai mare 7procesde produc&ie cu randament de scară crescător8E

(7 1A ' 7 2 ) %18 sporul !actorilor de produc&ie genereazăcre$terea output#ului "n aceea$i propor&ie 7randament de scarăconstant8.


54/56

b.'. %&emplu numeri#

ă presupunem că, "n urma prelucrării datelor pri'ind'aloarea input#urilor 7 9, !or&a de muncăE , 'aloareacapitalului !i%8 $i a output#urilor ob&inute "ntr#un anumit

domeniu de acti'itate 7 , 'aloarea produc&iei8, s#au ob&inuturmătoarele rezultate:

sFuare/-,G


55/56

nterpretare8

# pentru perioada analizată, dacă se consideră constantă'aloarea capitalului !i% 7 8, atunci o cre$tere cu un procent ani'elului 'ariabilei 9 duce la cre$terea medie cu 1,35? a'alorii produc&iei ob&inute.

# pentru perioada analizată, dacă se consideră constantă'aloarea !or&ei de muncă 7 98, atunci o cre$tere cu un procenta 'alorii capitalului !i% 7 ) duce la cre$terea medie cu -,C3?

a 'alorii produc&iei ob&inute.


56/56

# suma elasticită&ilor par&iale este egală cu 1,>G ceea ce aratăcă, "n perioada analizată, procesul de produc&ie s#acaracterizat printr#un randament de scară crescător.

# G

Documents

Econometrie Regr Neliniara