Ecoulements a grand nombre de Reynolds Re : couche … · 2010-11-17 · Examen des equations de Navier ... Equations de la couche limite Fluides parfait versus ... I Augmentation

Objectifs

Ecoulements a grand nombre de Reynolds Re : couche limite

Objectifs de chapitre

1. Introduction a la notion de la couche limite

2. Approximations de la couche limite

3. Equations de la couche limite

4. Couche limite sur une plaque plane : la solution de Blasius

5. L’epaisseur de la couche limite

6. Equations integrales de la couche limite

7. Couche limite sur un diedre

8. Le jet libre

9. Notions elementaires d’instabilite

Adil Ridha (Universite de Caen) Couches Limites 2010-2011 1 / 49

Introduction et remarques Rappel

Exemples d’ecoulements reels sur des obstacles


Introduction

Ecoulements reels

Ecoulements reelsTout ecoulement reel sur un corps impermeablequelconque doit satisfaire aux :

1. Condition de non-penetration aux frontieresimpermeables :

−→v · −→n = −→w · −→n

2. Condition de non-glissement aux frontieresimpermeables :

−→v · −→t = −→w · −→t .

3. Si le coprs est au repos ~w = ~0 :

Conditions a la paroi :

−→v · −→n = 0,−→v · −→t = 0.


Introduction

Effet de la viscosite


Introduction

Effet de la viscosite

Changement de vitesse ... Remarques

1. Toute particule fluide en contact avec la paroiest immobile relativement a la plaque.

2. L’ecoulement pres de la paroi est ralenti,

3. Le gradient de vitesse normal a la paroi ∂u/∂yest grand.

4. La transition :

−→v (y = 0) =−→0 =⇒ −→v (y = δ) = U∞

−→x

a lieu dans une zone generalement “fine”appelee la Couche Limite.

5. Dans cette zone la viscosite, generalement trespetit, µ 1, exerce un effet considerable ;la contrainte de cisaillement a la paroi :

τp = µ∂u/∂y |paroi

pourrait prendre des valeurs assez grandes.


Equations de la couche limite

Examen des equations de Navier–Stokes ..

1. Forme adimensionnelle de l’equation de la conservation de masse

∇.−→v = 0

2. L’equation de Navier–Stokes sans forces volumiques :

∂−→v∂t|z

accelerationlocale

+ −→v .∇−→v| z acceleration duea la convection

= −∇p| z force depression

+1

Re4−→v| z

forcevisqueuse

.

3. En pratique, le nombre de Reynolds Re pour les ecoulements externes sur un corps quelconque peut etretres grand :

103 . Re . 109

4. Approximation possible =⇒ equation d’Euler :

∂−→v∂t|z

accelerationlocale

+ −→v .∇−→v| z acceleration duea la convection

= −∇p| z force depression



Fluides parfait versus fluides reels : fluides non-visqueux versus fluides visqueux

1. Fluide parfait : =⇒ Eq. d’Euler : une degenerescence significative (exterieure) de l’equation deNavier–Stokes :

∂−→v∂t

+−→v .∇−→v = −∇p Eq. du 1erordre

8>><>>:exige l’application d’une conditionsaux limite seulement :

soit −→v .−→t |paroi = 0ou soit −→v .−→n |paroi = 0

2. Condition a appliquer a la paroi dans le cas des fluide parfaits : −→v .−→n |paroi = 0

3. Ainsi, nous sommes face a un probleme appele probleme de perturbation singuliere, carpour un fluide parfait on ne peut satisfaire a la paroi que la condition de glissement.

4. Fluide reel : =⇒ Eq. de Navier–Stokes :

∂−→v∂t

+−→v .∇−→v = −∇p +1

Re4−→v Eq. du 2ieme ordre

8>><>>:Conditions aux limites sa appliquer a la paroi :−→v .−→t |paroi = 0−→v .−→n |paroi = 0


Equations de la couche limite Approximations de la couche limite

Grandeurs caracteristiques

I Vitesse parallelement a la plaque U∞I Vitesse perpendiculairement a la plaque V0

I Longueur parallelement a la plaque L

I Longueur perpendiculairement a la plaqueδ

I Pression p d’ordre ρU2∞

I Temps L/U∞

Ordres des grandeurs

I ∂u

∂x∼ O

„U∞

L

«I ∂v

∂y∼ O

„V0

δ

«I ∂u

∂t∼ O

„U∞

L/U∞

«∼ O

U2∞L

!

I u∂u

∂x∼ O

U2∞L

!

I v∂u

∂y∼ O

„V0U∞

δ

«I ∂p

∂x∼ O

ρU2∞

L

!

I ∂2u

∂x2∼ O

„U∞

L2

«I ∂2u

∂y 2∼ O

„U∞

δ2

«



Analyse des ordres des differents termes de l’equation de continuite

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

U∞

L

V0

δ

9>=>; =⇒ V0 = O

„δU∞

L

«

Analyse de l’equation de la quantite de mouvement dans la direction des x

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −

1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂x2+ ν

∂2u

∂y 2

U2∞L

U2∞L

δU∞

L

U∞

δ

1

ρ

ρU2∞

L

νU∞

L2

νU∞

δ2

1 1 1 11

Re

1

Re

„L

δ

«2

Que faire quand Re est grand ?

I Si δ ∼ O(L) =⇒ l’equation d’Euler.

I Si δ O(L) t.q.1

Re

„L

δ

«2

∼ O(1) =⇒ δ ∼ Re−1/2L



Analyse de l’equation de la quantite de mouvement dans la direction des x

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −

1

ρ

∂p

∂y+ ν

∂2v

∂x2+ ν

∂2v

∂y 2

δU2∞

L2

δU∞2

L2

δU∞

L

δU∞

Lδ

1

ρ

ρU∞2

δ

νδU∞

L3

νδU∞

Lδ2

δ

L

δ

L

δ

L

L

δ

1

Re

„δ

L

«1

Re

„L

δ

«„δ

L

«2 „δ

L

«2 „δ

L

«2

11

Re

„δ

L

«2 1

Re

La pression est constante par rapport a y au premier ordre d’approximations

∂p

∂y∼ O(δ2)



Equations de la couche limite - equations de Prandtl (1904)

Equation de la conservaion de masse :∂u

∂x+∂v

∂y= 0

Equations de la conservaion de quantite de mouvement :

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −

1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂y 2equation parabolique

∂p

∂y= 0

Conditions aux limites adjointesPour la vitesse :

y = 0 : u = v = 0; y = ∞ : u = Ue (x, t).

La pression est a determiner de l’ecoulement a l’exterieur de la couche limite−→v = (Ue (x, t), 0) :

∂Ue

∂t+ Ue

∂Ue

∂x= −

1

ρ

∂p

∂x,



Evolution de la couche limite sur un corps solide



Evolution de la couche limite sur un corps solide

I Profile de vitesse u(t, x, y) s’adapte avecla vitesse exterieure Ue (t, x).

I Vitesse nulle a la paroi :u(x, y = 0) = v(x, y = 0) = 0

Gradient de pression, profile de vitesse et decollement

I La pression est constante par rapport a y

I Le gradient de pression est donne par :

∂Ue

∂t+ Ue

∂Ue

∂x= −

1

ρ

∂p

∂x,

I A la paroi : 0 = −1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂y 2

!y=0

I Soit :

∂2u

∂y 2

!y=0

= −1

νUe

dUe

dx

I Cette condition donne information sur laCourbure du profile de vitesse

I Mais ne donne rien sur la tangente du profile devitesse, ∂u/∂y |y=0

I Possibilite de deux tangentes differentes pour lameme courbure

I Soit deux profiles de vitesse.



Le gradient de vitesse et la couche limite

I dp

dx< 0 =⇒

dUe

dx> 0 : acceleration dans le sens de l’ecoulement ;

gradient de pression favorable

I dp

dx> 0 =⇒

dUe

dx< 0 : deceleration dans le sens de l’ecoulement ;

gradient de pression defavorable

I Un gradient de pression defavorable peut donc provoquer un decollement

I Au point du decollement S, (∂u/∂y)y=0 = 0 : un courant de retour pres de la paroi se produit

I D’ou : le decollement des lignes de courant de la paroi.

I Le decollement est accompagne d’une formation de tourbillons et peut avoir de graves consequences :

I Instabilite de l’ecoulementI Transition au regime turbulentI Augmentation de traınee et perte de charge



Exemples des couches limites se developpant sur des obstacles differents ;dans la premiere image la couche limite est attachee (n’est pas decollee) ;S point de separation.


Equations de la couche limite Conditions d’invariance

Conditions d’invariance et solutions auto-semblables


I Continuite :

∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (1)

I Quantite de mouvement :

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −

1

p

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂y 2(2)

Transformations affines

I u = Au′, v = Bv ′ , Ue = CU′e

I p = Dp′ , ρ = Eρ′

I x = Lx′, y = Ky ′, ν = Gν′

Conditions aux limites

I y = 0 ; u = v = 0 =⇒ y ′ = 0; u′ = v ′ = 0

I u(, y →∞) = Ue =⇒ (A/C)u′ = U′e

Conditions d’invariance

I A/C = 1 =⇒ A = C

I D = EA2 = EC 2

I A/L = B/K =⇒ B = KC/L

I K 2C/GL = 1 =⇒ K = (GL/C)1/2

Transformations “invariantes”

I u = Cu′, Ue = CU′e , p = EC 2p′

I v = (GC/L)1/2v ′ , x = Lx′, ρ = Eρ′

I y = (GL/C)1/2y ′, ν = Gν′

I En eliminant C :u′

U′e=

u

Ue

I En eliminant EC 2 :p

ρU2e

=p′

ρ′U′e2

I En eliminant (GL/C) :

yq

Ue/νx = y ′q

U′e/ν′x′

I Solution : u = Ue f

„yq

Ue/νx

«Adil Ridha (Universite de Caen) Couches Limites 2010-2011 16 / 49

Equations de la couche limite Solution de Blasius

Probleme : CL a Ue = U∞ constante

I Ecoulement stationnaire et incompressible

I U∞ = Cte.

I 1

ρ

∂p

∂x= U∞

∂U∞

∂x= 0

I u(x, y = 0) = v(x, y = 0) = 0

I u(x, y →∞)→ U∞


I Continuite :∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (1)


u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −

1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂y 2(2)

I Soit :

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y 2(2bis)

car∂p

∂x= 0




I Continuite :∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (1)


u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y 2(2bis)

I Integration de (1) par rapport a y :∂

∂x

Z y

0

udy + v(x, y)− v(x, y = 0) = 0

I Alors, il existe une fonction ψ(x, y) :

ψ(x, y) =

Z y

0

udy

I ψ(x, y) satisfait a (1) :

u =∂ψ

∂y, v = −

∂ψ

∂x

avec ψ(x, y = 0) = 0.

Solution

I Cherchons donc une solution sous la forme :

ψ(x, y) =pνxU∞f (η) avec y = η

qνx/U∞

I Alors∂

∂x=

∂η

∂x

∂

∂η,∂

∂y=

„U∞

νx

«1/2 ∂

∂η

avec∂η

∂x= −

η

2xI Cela conduit a

u =∂ψ

∂y= U∞f ′(η),

v = −∂ψ

∂x

=1

2

„νU∞

x

«1/2 `ηf ′(η)− f (η)

´I De (2bis), on obtient finalement :

f ′′′ + 2ff ′′ = 0, avecf (η = 0) = f ′(η = 0) = 0 ;

f ′(η = ∞) = 1.



Solution de Blasius : f ′′′ + 2ff ′ = 0, f (0) = f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1.Comparaison avec des resultats experimentaux.

x0.4

0.2

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6 70

0

9.5× 104

3.0× 105

1.1× 106

U∞x

ν

η = y(U∞/νx)1/2

f′ =

u/U

∞



Force de traınee −→x Fx

I Pour une face, de largeur b :

Fx = b

Z `

x′=0

τpdx′

I La contrainte de cisaillement a la paroi :

τp = µ∂u

∂y

˛y=0

= µU∞

„U∞

νx

«1/2

f ′′(η = 0)

= ρU2∞Re−1/2

x f ′′(η = 0)

I Nombre local de Reynoldsbase sur x : Rex = (xU∞)/ν

Coefficient de frottement Cf

I Cf =τp

12ρU2

e

=τp

12ρU2∞

= 0.664 Re−1/2x

I Force de traınee et coefficient de traınee :

Fx = b

Z x=`

x=0

ρU2∞Re−1/2

x f ′′(η = 0)dx

= 0.664 b`ρU2∞Re

−1/2`

I Superficie de la plaque A = b`

I Coefficient de traınee :

Cx =Fx

12ρU2∞A

= 1.328 Re−1/2`

pour la solution de Blasius.


Equations de la couche limite Epaisseur de la couche limite

L’epaisseur de la couche limite, δ

I Il existe plusieurs definitions pour δ. Pourquoi ?

I Car l’epaisseur de la couche limite est etroitement liee a une limite asymptotique.

I Une definition naturelle :

u(x, y = δ) = 0.99× Vitesse exterieure a la couche limite = 0.99Ue

I La couche limite le long d’une plaque plane :

δ = δ0,99 ' 5xRe−1/2x .


Parametres caracteristiques

Parametres caracteristiques de la couche limites

I Definitions basees sur les notions de conservation de la masse, quantite de mouvement et d’energie :

1. δ1 : l’epaisseur de deplacement2. δ2 : l’epaisseur de la quantite de mouvement3. δ3 : l’ epaisseur en energie


Parametres caracteristiques Epaisseur de deplacement

Epaisseur de deplacement

Les lignes de courants en ecoulement visqueuxsont deplacees par rapport a leurs positions enfluide non-visqueux.

Ce deplacement est exploites pour definir uneepaisseur tel que les aires A et A′ soient egales :

A =

Z ∞0

(Ue − u)dy = A′ = δ1Ue

D’ou : δ1 =

Z h→∞

0

„1−

u

Ue

«dy .

I Les lignes de courants en ecoulementvisqueux sont deplacees par rapport a leurspositions en fluide non-visqueux.

I

I Ce deplacement est exploites pour definirune epaisseur tel que les aires A et A′

soient egales :

A =

Z ∞0

(Ue − u)dy = A′ = δ1Ue

I D’ou : δ1 =

Z h→∞

0

„1−

u

Ue

«dy .

Epaisseur de deplacement

I Soit Qp le debit volumique pour l’ecoulementnon-visqueux :

Qp =

Z h→ ∞

0

Ue dy

I Soit Qv le debit volumique pour l’ecoulementvisqueux :

Qv =

Z h→ ∞

0

u dy

I L’epaisseur de deplacement decrit le deficit de debitQp − Qv comme si l’ecoulement pres de la paroietait en fluide non-visqueux :

Ueδ1 =

Z h→∞

0

Ue dy −Z h→∞

0

udy

d’ou δ1 =

Z h→∞

0

„1−

u

Ue

«dy .


Parametres caracteristiques Epaisseurs de la quantite de mouevement et en energie

Epaisseur de la quantite de mouvement

De la meme maniere,on definit l’epaisseur de la quantite de mouvement δ2 :

U2e δ2 =

Z h→∞

0

Ue u dy −Z h→∞

0

u2dy

d’ou δ2 =

Z h→∞

0

u

Ue

„1−

u

Ue

«dy ,

Epaisseur en energie

Similairement,on definit l’epaisseur en energie δ3 :

U2e (Ueδ3) =

Z h→∞

0

U2e u dy −

Z h→∞

0

u3dy

D’ou

δ3 =

Z h→∞

0

u

Ue

1−

u2

U2e

!dy .


Parametres caracteristiques Relations utiles

Relations utiles

Ces relations permet d’introduire les relations suivantes :

Z δ

0

u dy =

Z ∞0

u dy −Z ∞δ

u dy

=

Z ∞0

u dy −Z ∞δ

Ue dy

=

Z ∞0

u dy −Z ∞

0

Ue dy −Z 0

δ

Ue dy

= Ue (δ − δ1)Z δ

0

u2 dy = U2e (δ − δ1 − δ2)Z δ

0

u3 dy = U3e (δ − δ1 − δ3)


Parametres caracteristiques Solutions approchees

Solutions approchees

I τp , δ1, δ2 et δ3 peuvent etre calcules a partir de u(x, y).

I Dans la majorite des applications industrielles, le champs de vitesse est souvent tres difficile a determiner.

I Cette difficulte est a l’origine de la recherche pour des solutions approchees.

I Les solutions approchees pour u doivent satisfaire a des conditions aux limites a la paroi et aux limitesexterieures de la couche limite definies par δ(x)

I Pour cela on commence par les equations de Prandtl : .

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= Ue

dUe

dx+ ν

∂2u

∂y 2

avec les conditions aux limites

y = 0 : u = v = 0; y = ∞ : u = Ue (x, t).



Deduites conditions aux limites

I Aux conditions aux limites precedentes on peut deduire d’autres pour la fonction u en appliquant leursderivees par rapport a y :

y = 0 : u = 0,∂2u

∂y 2= −

1

νUe

dUe

dx

∂3u

∂y 3= 0,

∂4u

∂y 4=

1

ν

∂u

∂y

∂2u

∂x∂y, etc · · ·

y →∞ : u → Ue ,∂u

∂y→ 0, · · · ,

∂nu

∂y n→ 0

9>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>;I Forme de la solution u :

u(x, y) = Ue (x)f (η) avec η =y

δ(x)

δ(x) est l’epaisseur de la couche limite.



Conditions aux limites appliquees a f (η)

en y = 0, η = 0 f (0) = 0, f ′′(0) = −δ2

ν

dUe

dx

f ′′′(0) = 0 f ′′′′(0) =δ3

νf ′(0)

d

dx

„Ue f ′(0)

δ

«, etc · · ·

en y = δ, η = 1 f (1) = 1, f ′(1) = f ′′(1) = f ′′′(1) = · · · = 0

La solution approchee prend la forme d’un polynome :

u

Ue= f (η) = c1η + c2η

2 + c3η3 + c4η

4

Les constantes ci sont a determiner en utilisant les conditions aux limites.Cette forme satisfait identiquement la condition u(x, y = 0) = 0.



Conditions aux limite a appliquer pour u/Ue = f (η) = c1η + c2η2 + c3η

3 + c4η4

en η = 0; f ′′(0) = −δ2

ν

dUe

dx= −Λ

en η = 1; f (1) = 1, f ′(1) = f ′′(1) = 0

On trouve :

u = Ue

»2η − 2η3 + η

4 +1

6Λη(1− η)3

–



Tableau des solutions approchees quand Ue = U∞ = Cte.

Repartition δ1×τp

µU∞× Cx× H =

de vitesse α1 α2 β1

rU∞

νx

rνx

U∞

rU∞`

ν

δ1

δ2u

U∞= f (η)

1 f (η) = η1

6

1

21 1.732 0.289 1.155 3.00

2 f (η) =3

2η −

1

2η

3 39

280

3

8

3

21.740 0.323 1.292 2.70

3 f (η) = 2η − 2η3 + η4 37

315

3

102 1.752 0.343 1.372 2.55

4 f (η) = sin( 12πη)

4− π2π

π − 2

π

π

21.741 0.327 1.310 2.66

5 exacte — — — 1.721 0.332 1.328 2.59

Glossaire : δ2 = α1δ, α1 =

Z 1

0f (1 − f )dη, δ1 = α2δ, α2 =

Z 1

0(1 − f )dη, β1 = f ′(0), Cx

U∞`

ν

!1/2= 2δ2

U∞

νx

!1/2.


Equation integrale de von Karman

Utilisation en pratique

I En pratique, l’ingenieur fait recours aux methodes approchees conduisant aux resultats satisfaisants.

I Pour le calcule de traınee, on utilise l’equation

dδ2

dx=

τp

ρU2e

−1

Ue

dUe

dx(2δ2 + δ1) =

1

2Cf −

δ2

Ue

dUe

dx(H + 2)

ou H = δ1/δ2 est connue sous la denomination parametre de forme.

I Cette equation est trouvee en considerant l’integrale generale sur un volume de controle de la couchelimite comme suit :



Volume du controleABCD un volume elementaire de controle delargeur unite

Bilan de debit massique

I Debit massique entrant a travers AB :

m =

Z δ

0

ρu dy = ρUe (δ − δ1)

I Debit massique sortant a travers CD :

mCD = m +∂m

∂xdx

I Debit massique entrant a travers BC :

mBC =∂m

∂xdx



Volume du controleABCD un volume elementaire de controle delargeur unite

Bilan la quantite de mouvement

I Quantite entrant a travers AB :

M =

Z δ

0

ρu2dy = ρU2e (δ − δ1 − δ2)

I Quantite sortant a travers CD :

MCD = M +∂M

∂xdx

I Quantite entrant a travers BC :

MBC = Ue∂m

∂xdx



Application du theoreme de la quantite de mouvement

I Le theoreme de la quantite de mouvement donne :

−M +

„M +

∂M

∂xdx

«− Ue

∂m

∂xdx = pδ −

„p +

∂p

∂xdx

«„δ +

∂δ

∂xdx

«+

+ p∂δ

∂xdx − τpdx

I On obtient apres simplifications :∂M

∂x− Ue

∂m

∂x= −δ

∂p

∂x− τp

I En utilisant les expressions pour m et M , et :∂p

∂x= −ρ Ue

∂Ue

∂x,

I on obtient, par la suite :

2Ue∂Ue

∂x(δ − δ1 − δ2) + U2

e

∂

∂x(δ − δ1 − δ2)− Ue

∂Ue

∂x(δ − δ1)− U2

e

∂

∂x(δ − δ1)

= δUe∂Ue

∂x−

1

ρτp

I Finalement, on obtient l’equation integrale de von Karman :

U2e

dδ2

dx=τp

ρ− Ue

dUe

dx(2δ2 + δ1)


Equation integrale de von Karman Couche limite sur un diedre

L’ecoulement non-viqueux sur un diedre

I Ue (x) = Cxm, C = constante

I C =2q

2− β, q = constante

I m =β

2− β

I ∂p

∂x= −ρUe

∂Ue

∂x= −mC 2x2m−1

Couche limite sur un diedre

I Equations de Prandtl :∂u

∂x+∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= mC 2x2m−1 + ν

∂2u

∂y 2

∂p

∂y= 0

I Conditions aux limites :

u(x, y = 0) = v(x, y = 0) = 0,

u(x, y →∞)Ue (x)



Solutions “auto-semblables”

I On cherche des solutions autosembles : fonction de courant ecrit sous la forme

ψ(x, y) = Qx r f (η), r et Q a determiner,

I ξ = x , η = kyxn, k et n a determiner,

I Alors :∂

∂x=

∂

∂ξ+

n

xη∂

∂η,

∂

∂y= kxn ∂

∂η,

∂2

∂y 2= k2x2n ∂

2

∂η2

I On deduit : u =∂ψ

∂y= kQx r+nf ′ =⇒ kQ = C , r + n = m, v = −

∂ψ

∂x= −Qx r−1(rf + nηf ′)

I Et :∂u

∂x= kQxm−1[mf ′ + nηf ′′],

∂u

∂y= k2Qxm+nf ′′,

∂2u

∂y 2= k3Qxm+2nf ′′′

I Equation :

k2Q2x2m−1[mf ′ + nηf ′′]f ′ − Q2k2x2m−1(rf + nηf ′)f ′′ = mC 2x2m−1 + νk3Qxm+2nf ′′′

I Division par k2Q2x2m−1 :

[mf ′ + nηf ′′]f ′ − (rf + nηf ′)f ′′ =mC 2

Q2k2+νk

Qx2n−m+1f ′′′



A la recherche de solution auto-semblable

Equation : (mf ′ + nηf ′′)f ′ − (rf + nηf ′)f ′′ =mC 2

Q2k2+νk

Qx2n−m+1f ′′′

2eme une condition a satisfaire : 2m − 2r − 2n = n − r + 1 =⇒ 2n − m + 1 = 0

Ainsi : n =m − 1

2=⇒ r =

m + 1

2

Equation : f ′′′ +Q(m + 1)

2νkff ′′ −

mQ

νkf ′

2+

mC 2

νk3Q= 0

Posons k =Q

ν. Alors, avec C = kQ, l’on obtient :

Equation : f ′′′ +1

2(m + 1)ff ′′ + m(1− f ′

2) = 0

Conditions aux limites : u(x, y = 0) = 0 =⇒ f ′(η = 0) = 0, v(x, y = 0) = 0 =⇒ f (η = 0) = 0,

u(x, y → δ) = Ue =⇒ f ′(η →∞)→ 1.

Avec : η =

„Ue

νx

«1/2

y et ψ = (νUe x)1/2 f (η).



Solution de l’equation de Falkner–Skan : f ′′′ +1

2(m + 1)ff ′′ + m(1− f ′

2) = 0

Profils de vitesse a l’interieur de la couche limite pour un ecoulemnet exterieur Ue (x) = Cxm ;

η =

„Ue

νx

«1/2

y .


Jet libre

Ecoulement type couche limite : Jet libreplan a petit orifice rectangulaire de petitehauteur b et grande largeur

u(x,y)=0

u(x,y)=0

y p = Constante

u(x,y)

x

0U

b

Ecoulement type couche limite agrande nombre de Reynolds

I Orifice rectangulaire (a × b) tel que a b,

I fluide entourant le jet etant a repos,

I debit massique augmentant vers l’aval,

I flux de quantite de mouvement constant,

I flux d’energie cinetique decroissant vers l’aval,

I la seule force agissant sur le jet etant le flux dequantite de mouvement traversant l’orifice, F

Equations et caracteristiques

I Continuite :∂u

∂x+∂v

∂y= 0,

I Eq. de Prandtl :

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y 2(1)

I Soit un volume de controle delimite parx = Cte(> 0), y ∈]−∞,∞[, et un demi-cerclea grand rayon dans la region de x negative.

I Alors, F est constante et independante de x :

F ≈Z ∞−∞

u2dy , constante (2)

I Cherchons une solution auto-semblable, afonction de courant :

ψ(x, y) ∝ xp f (η), η ∝ y/xq

I De l’Eq. (1) on tire : p + q = 1. Et de (2)2p − q = 0

I D’ou p =1

3, q =

2

3


Jet libre

Analyse et solution

u(x,y)=0

u(x,y)=0

y p = Constante

u(x,y)

x

0U

b

Ecoulement type couche limite agrande nombre de Reynolds

I F =

Z ∞−∞

u2dy = constante.

I η ∝ y/x2/3,

I ψ ∝ x1/3

I Ces resultats conduit a :

ψ = 6νx1/3f (η), η = y/x2/3,

Equations et caracteristiques

I u = 6νx−1/2f ′, v = −2νx−2/3(f − 2ηf ′)

I Eq. (2) donne :

f ′′′ + 2ff ′′ + 2f ′2

= 0

I Conditions aux limites :

1. fluide au repos loin du jet :

f ′(η)→ 0 quand η → ±∞,

2. le jet est axi-symetrique :

f (η) = f (−η).

I Solution : f (η) = α tanhαη, α= constante.

I Eq. (1) :

F = 36ν2α

4Z ∞−∞

cosh−4αηdη = 48ρν2

α3


Notions elementaires d’instabilite

Ecoulements naturels .... Ecoulements industriels

Instabilites ... Notions elementaires

I Ecoulements dans la natures ou dans l’activite industrielle sont a :

1. viscosite ν faible (pour l’eau et de l’air),2. grand nombre de Reynolds compte tenu de ν et des echelles de longueur mises en jeu,3. les ecoulements sont souvent turbulents,4. multiplicite d’echelles spatiales

I Ces caracteristiques empechent l’application des resultats obtenus en negligeant les termes dus a laviscosite dans l’equation de Navier-Stokes

I Le declenchement de l’instabilite conduit au passage de l’ecoulement laminaire a la turbulencedeveloppee.


Notions elementaires d’instabilite Instabilite de Taylor–Couette

Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux, l’exterieur immobile, l’interieur en rotation

Source : Lim, Chew & Xiao : Phys Fluids, Vol. 10, no :12)

I a faible nombre de Taylor Ta =(R2 + R1)(R2 − R1)3Ω2

2ν2(resp. a faible Ω) :

I les lignes de courant sont des cercles concentrique,I pas de structures particulieres visibles

I au dela d’un nombre critique de Taylor (resp. Ω critique) :

I des “rouleaux” apparaissent periodiquement le long de l’axe des cylindres,I les “rouleaux” sont constitues d’une composante de vitesse axiale et une

composante de vitesse radiale,I les trajectoires s’enroulent sur des tores,I il s’agit d’une instabilite due a la force centrifuge.




Source : Lim, Chew & Xiao : Phys Fluids, Vol. 10, no :12)

I en augmentant le nombre de Taylor (resp. Ω) ), au dela d’un deuxieme nombre critique de Taylor, il

apparaıt :

I une deuxieme instabilite ,I une ondulation des rouleaux.I la vitesse devient periodique en temps.

I en continuant d’augmenter le nombre de Taylor :

I la vitesse devient aleatoire dans le temps,I on dit que l’ecoulement est devenu turbulent





Notions elementaires d’instabilite Instabilite de Rayleigh-Benard

Instabilitee de Rayleigh-Benard : instabilite thermoconvective, nombre de Rayleigh, Ra =αgd3∆T

νκ

I Film liquide mince chauffe par le bas dans le champs de gravite.

I Le fluide chaud est deplace par la force d’Archimede vers la haut.

I La diffusion thermique tend a homogeneiser la temperature et a reduire les gradients de densiteresponsable de la convection.

I La viscosite tend a ralentir la convection.

I La diffusion thermique et la diffusion due a la viscosite sont les deux effets stabilisants.

I Lorsque ∆T est assez grande, on voit apparaıtre des rouleaux de convection reguliers dont la largeur estvoisine de l’epaisseur de la couche de fluide.

I En augmentant encore ∆T , la structure de l’ecoulement se complique de plus en plus et finit pardevenir chaotique.

I Carateristiques communes : l’apparition d’une structure spatiale periodique dans l’instabilite primaire.


Notions elementaires d’instabilite Instabilite de Rayleigh-Benard

Exemple de l’instabilite de Rayleigh-Benard


Notions elementaires d’instabilite Instabilite de Kelvin-Helmholtz

Instabilite de Kelvin Helmholtz

Instabilite de Kelvin–Helmholtz entre deux couches atmospheriques se

deplacant a des vitesse differentes. (Cliche Brooks Martner, NOAA/ETL)

Calcule numerique par Fluent

Instabilite de Kelvin-Helmholtz a l’interface de deux fluides non-miscibles. Resultatsexperimentaux.Source : http :

//www.ladhyx.polytechnique.fr/activities/couches fr.html

Configuration : deux couches paralleles en mouvement a vitesse differentes

I Exemple : un vent soufflant parallelement a la surface de l’eau.

I Consequence : le vent induit la formation de vagues, qui peuvent s’amplifier jusqu’au moutonnement ouau deferlement.

I De telles structures de vortex paralleles produites a l’interface de deux jets de vitesses differentspersistent meme quand la turbulence est tres presente.



Instabilite de Kelvin Helmholtz

Configuration

I Ecoulement de deux fluides non-miscibles

I Ils se deplacent parallelement a des vitessesdifferentes.

I Representation du champ de vitesse comme

superposition de :

1. une translation globale2. un ecoulement relatif de vitesse

moyenne nulle.

Caracteristiques

I Ecoulement presque partout irrotationnel.

I Ecoulement rotationnel au fort cisaillement auconfluent de deux ecoulements.

I Le profil de vitesse presente un point d’inflexion.

I Le moteur de l’instabilite est l’inertie du fluide et leterme non lineaire −→u .

−→∇−→u dans l’equation de

mouvement.

I La viscosite a tendance ‘a stabiliser l’ecoulement.

I Le parametre qui decrit ces instabilites est le nombrede Reynolds.

I Une succession d’instabilites :I tourbillons periodiques dans la couche de

melange,I periodicite spatiale et temporelle,I interactions entre les tourbillons provoquant

une modification locale de la periodicite,I apparition de structures tridimensionnelles.



Un autre exemple

Instabilite d’un jet circulaire de CO2 penetrant dans l’air a Re = 30000. L’instabilite se developpe a laperipherie du jet qui devient rapidement completement turbulent. Visualisation par ombroscopie. Photo par F.

Landis et A. Schapiro


Documents

Ecoulements a grand nombre de Reynolds Re : couche … · 2010-11-17 · Examen des equations de Navier ... Equations de la couche limite Fluides parfait versus ... I Augmentation