ECUACIÓN DE BESSEL Y SUS APLICACIONES

La función Bessel fue encontrada como solución de un problema de movimiento planetario por el matemático y astrónomo Friedrich Wilhem Bessel. La aplicación de las funciones Bessel (es más extensa que la de las funciones gamma) se extiende a los campos de ingeniería eléctrica, acústica, hidrodinámica, termodinámica, electricidad y mecánica celeste.

(1)Las funciones Bessel son soluciones particulares de la ecuación diferencial:

Que recibe el nombre de ecuación de Bessel de orden n, aunque por supuesto, la ecuación la ecuación diferencial es de orden 2; n es cualquier número real o complejo. La forma de la solución general depende del carácter de n. para cuando n es real positivo, usando el método de Frobenius, donde se postula que la solución es de la forma:

Ya que inmediatamente se ve que x0 = 0 es un punto singular regular de la ecuación (1).Entonces esta solución debe ser válida en ahora sigue hacer el cuadro correspondiente:

La ecuación inicial se encuentra a partir de los términos con menor exponente

Cuando 2n es igual a un entero positivo, se tiene la certeza de una solución de la forma (1), la cual corresponde a la raíz más grande, c1 = n

Del cuadro se encuentra:

Por consiguiente:

Nótese que todas las aes con subíndice impar valen cero. Con las aes pares se construyen los coeficientes en términos de a0 :

Así:

Por ende el término general de y1 es:

Recuerden que la función de Bessel es una solución particular de la ecuación diferencial (1), por ello es conveniente seleccionar a a0 para que este término general que se acaba de encontrar se simplifique. Se podria tomar a0 = 1; pero resulta mejor:

Porque de esta forma tanto el exponente de X como el de 2 se hacen iguales; además los factores (n + 1):::(n + k) se combinan con r(n + 1) para dar r(n + k + 1). Por consiguiente, la solución particular, y1, que se busca es:

Esta es la definición de la función Bessel de orden (n 0). La serie converge uniformemente en cualquier intervalo finito:

También hay convergencia absoluta para cualquier X finita, puesto que:

Para toda K y toda X. Esta es la prueba M de Weierstrass. Por consiguiente la serie que define a Jn(x) es uniformemente convergente.

Funciones de Bessel de primera especie y orden arbitrario

Jº(x) ´ función de Bessel de primera especie y orden º (x; º 2 R).

Ejercicio: Comprobar que Jº(x) y J¡º(x) son soluciones de la ecuación de Bessel

Nota: La solución general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden

Viene dada por:

Siendo C1 y C2 constantes arbitrarias, y1(x) e y2(x) soluciones linealmente independientes de la ecuación.En el caso de la ecuación diferencial de Bessel, no es complicado comprobar que las solucionesJº(x) y J¡º(x) son linealmente independientes siempre que , sin embargo para n = 1; 2; 3, ……………

Por lo que para , Jn(x) y J¡n(x) no son linealmente independientes. Este hecho motiva la búsqueda de otras soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que sean linealmente independientes con Jº(x) incluso cuando

Funciones de Bessel de segunda especie

Las funciones de Bessel de segunda especie y orden v, denotadas por Yº(x), vienen definidas por la formula

La función Yº(x) es solución de la ecuación de Bessel, ya que es combinación lineal de Jº(x) y J¡º(x) que son soluciones de la misma. Además Yº(x) es linealmente independiente con Jº(x) y con J¡º(x) (las tres juntas no lo son).Para garantizar la buena definición de Yn(x), basta garantizar la existencia del límite correspondiente. Para lo cual se usa la regla de L'Hopital.

Por último podremos expresar la solución general de la ecuación de Bessel de orden º como

Propiedades

Funciones de Bessel esféricas

Consideremos ahora las funciones de Bessel de orden

Teniendo en cuenta

Con lo que se obtiene:

De forma similar

Haciendo uso de la relación

Para las funciones de Bessel de segunda especie hay que tener en cuenta que:

Y a partir de aquí se actúa igual.