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Ecuacion de ondas
Nicolas Saintier
(Univ. Buenos Aires - Argentina)
6 de julio de 2020
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 1 / 22
Consideremos la ecuacion de ondas
∂ttu = c2∆u t > 0, x ∈ RN ,
u(0, x) = f (x), ∂tu(0, x) = g(x) x ∈ RN .
Puede verse una motivacion �sica en el apunte p111.
Vamos primero a resolver la ecuacion cuando N = 1,
Luego usando la Transformada de Fourier,
vamos a obtener un resultado de existencia e unicidad general cuando
f , g ∈ S(RN), con la contra que tendremos la solucion u a traves de
su TF u(t, ξ),
Cuando N = 1, 3 podremos invertir la TF obteniendo asi formulas
explicitas par u,
De la solucion para N = 3 obtendremos la solucion explicita para
N = 2.
En el apunte se llega a estas formulas por otro camino,
Finalmente veremos algunas propiedades cualitativas de las soluciones.
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 2 / 22
Caso N = 1
Existen varias maneras de resolver la ec. de ondas en 1D
∂ttu = c2∂xx t > 0, x ∈ R, (1)
u(0, x) = f (x), ∂tu(0, x) = g(x) (2)
Por ejemplo notemos que ∂ttu − c2∂xx = (∂t − c∂x)(∂t + c∂x) e
introduzcamos v := (∂t + c∂x)u. Entonces
(1)⇐⇒ (∂t − c∂x)v = 0, (∂t + c∂x)u = v .
Obtenemos v(t, x) = v(0, x + ct) = g(x + ct) + cf ′(x + ct) y luego
u(t, x) = u(0, x − ct) +
∫ t
0
v(s, x − c(t − s)) ds
= f (x − ct) +
∫ t
0
(g + cf ′)(x − ct + 2cs) ds.
La integral es∫ x+ct
x−ct(g + cf ′)(τ)
dτ
2c=
1
2c
∫ x+ct
x−ctg(τ)dτ +
1
2[f (x + ct)− f (c − ct)]
Luego
u(t, x) =1
2c
∫ x+ct
x−ctg(τ)dτ +
1
2[f (x + ct) + f (c − ct)]
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 3 / 22
Formula de D'Alembert
Teorema
Si f ∈ C 2(R) y g ∈ C 1(R) entonces
u(t, x) =1
2(f (x + ct) + f (x − ct)) +
1
2c
∫ x+ct
x−ctg(y)dy
es la unica solucion en C 2([0,+∞)× R).
Apunte p116-117
Note que como con la ec. de transporte, no hay efecto regularizante y la
informacion se propaga a velocidad �nita c .
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 4 / 22
Caso general con TF
∂ttu = c2∆u t > 0, x ∈ RN ,
u(0, x) = f (x), ∂tu(0, x) = g(x)
Igual que con la ec. del calor, transformamos Fourier en x :
∂tt u = −4π2c2|ξ|2u t > 0, x ∈ RN ,
u(0, ξ) = f (ξ), ∂t u(0, ξ) = g(ξ)
Es una EDO de 2ndo orden cuya solucion es
u(t, ξ) = f (ξ) cos(2πc|ξ|t) + g(ξ)sin(2πc |ξ|t)
2πc|ξ|. (3)
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 5 / 22
Estas manipulaciones se pueden justi�car cuando f , g ∈ S(RN) de la
misma manera que con la ec. del calor:
Teorema
Si f , g ∈ S(RN) entonces la ec. de ondas
∂ttu = c2∆u t > 0, x ∈ RN ,
u(0, x) = f (x), ∂tu(0, x) = g(x)
tiene una unica solucion u en C∞([0,+∞),S(RN)) dada por
u(t, ξ) = f (ξ) cos(2πc|ξ|t) + g(ξ)sin(2πc |ξ|t)
2πc|ξ|.
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 6 / 22
Prueba (1)Si buscamos una solucion u ∈ C 2([0,+∞),S) entonces ∂ttF(u(t, .)) = F(∂ttu(t, .)) y
F(∆u(t, .)) = 4π2|ξ|2u(t, .) por lo que todas las manipulaciones formales que hicimosson validas y llegamos a (3).
Reciprocamente, a t dado, la funcion ξ → f (ξ) cos(2πc|ξ|t) + g(ξ) sin(2πc|ξ|t)2πc|ξ| esta en S
porque f , g ∈ S. Luego puedo de�nir u(t, .) ∈ S por (3) o sea
u(t, x) =
∫ {f (ξ) cos(2πc|ξ|t) + g(ξ)
sin(2πc|ξ|t)
2πc|ξ|
}e2iπξx dξ.
Se ve facilmente que u ∈ C∞(R× RN) y se obtiene las derivadas derivando adentro de laintegral. De hecho cualquier derivada en (t, x)) del integrando se puede acotar por(polinomio en ξ) ×(|f |+ |g |) ∈ S. De ahi sale que u es solucion.Para ver que u ∈ C∞([0,+∞),S(RN)) falta ver que ∂k
t u ∈ C([0,+∞),S). Hacemoscomo con la ec. del calor:
Dαx ∂
kt u(t, x) =
∫(h1(ξ) cos(2πc|ξ|t) + h2(ξ) sin(2πc|ξ|t))e2iπξx dx
con h1, h2 ∈ S, y luego
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 7 / 22
Prueba (2)
xkβDαx ∂
kt u(t, x) = Cste.
∫(h1(ξ) cos(2πc|ξ|t) + h2(ξ) sin(2πc|ξ|t))Dβ
ξ (e2iπξx) dx
= Cste.
∫Dβξ (h1(ξ) cos(2πc|ξ|t) + h2(ξ) sin(2πc|ξ|t))e2iπξx dx
Es una suma de terminos de la forma tk∫h(ξ) cos(2πc|ξ|t)e2iπξx dx (con cos o sin) que
son claramente continuos en t uniformemente en x ∈ RN .
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 8 / 22
Vamos primero a veri�car que cuando N = 1 obtenemos bien la solucion
que encontramos al principio.
Luego vamos a buscar una expresion explicita para u cuando N = 3.
Como cos(2πc|ξ|t) = ddt
sin(2πc|ξ|t)2πc|ξ| basta antitransformar sin(2πc|ξ|t)
2πc|ξ| .
Seguimos suponiendo que f , g ∈ S. Veremos despues si se puede relajar
eso.
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 9 / 22
N = 1
Como F(1[−a,a])(ξ) = sin(2πξa)πξ , tomando a = ct, obtenemos
F( 1
2c1[−ct,ct]
)(ξ) =
sin(2πcξt)
2πcξ
Por otro lado recordando que δa = e−2iπξa podemos antitransformar cos:
cos(2πcξt) =1
2[e2iπcξt + e−2iπcξt ] = F
(12
[δ−ct + δct ])
(ξ).
Luego la sol. de la ec. de ondas u(t, ξ) = f (ξ) cos(2πc|ξ|t) + g(ξ) sin(2πc|ξ|t)2πc|ξ| es
u(t, x) =1
2
(f ∗ (δ−ct + δct)
)(x) +
1
2c(g ∗ 1[−ct,ct]
)(x)
=1
2(f (x + ct) + f (x − ct)) +
1
2c
∫ x+ct
x−ctg(y)dy
lo que ya encontramos antes. Recuerde que (f ∗ δa)(x) = (δa, f (x − ·)) = f (x − a)
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 10 / 22
N = 3
Vimos en los slides sobre TF que la TF de la medida super�cial σ sobre la
esfera S(0, 1) es σ(ξ) = 2 sin(2π|ξ|)|ξ| . Luego la TF de σS(0,ct), la medida
super�cial de la esfera S(0, ct), es
F(σS(0,ct))(ξ) =
∫S(0,ct)
e−2iπξx dσS(0,ct)(x)x=cty
=
∫S(0,1)
e−2iπ(ctξ)y (ct)2 dσ(y)
= (ct)2σ(ctξ) =2ct sin(2πc|ξ|t)
|ξ|
Luegosin(2πc |ξ|t)
2πc |ξ|= F
( 1
4πc2tσS(0,ct)
)(ξ).
Consideremos por separado los casos f = 0 y g = 0. Para concluir bastara
sumar las dos soluciones obtenidas.
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 11 / 22
N = 3 con f = 0.
Supongamos primero que f = 0:
u(t, ξ) = g(ξ)sin(2πc |ξ|t)
2πc|ξ|= F
(g ∗ 1
4πc2tσS(0,ct)
)(ξ)
Note que
(g ∗ σS(0,ct))(x) = (σS(0,ct), g(x − ·)) =
∫S(0,ct)
g(x − y) dσS(0,ct)(y)
=
∫S(x ,ct)
g .
Luego
u(t, x) =t
|S(x , ct)|
∫S(x ,ct)
g .
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 12 / 22
N = 3 con g = 0
Supongamos ahora que g = 0 por lo que u(t, ξ) = f (ξ) cos(2πc |ξ|t) con
cos(2πc |ξ|t) =d
dt
sin(2πc |ξ|t)
2πc |ξ|=
d
dt
{( 1
4πc2tσS(0,ct)(ξ)
}= − 1
4πc2t2σS(0,ct)(ξ) +
1
4πc2t
d
dtσS(0,ct)(ξ).
Luego
u(t, x) = − 1
|S(x , ct)|
∫S(x ,ct)
f +1
4πc2t(f ∗ d
dtσS(0,ct))(x) (4)
Falta calcular ddtσS(0,ct). Necesitamos determinar el limite en S ′ de
σS(0,c(t+h))−σS(0,ct)h cuando h→ 0.
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 13 / 22
Para toda φ ∈ S(R3),(σS(0,c(t+h)) − σS(0,ct)
h, φ)
=1
h
{∫S(0,c(t+h))
φ−∫S(0,ct)
φ}
=1
h
∫S(0,1)
{φ(c(t + h)x)c2(t + h)2 − φ(ctx)(ct)2
}dσ(x)
h→0−→ 1
t
∫S(0,ct)
2φ(x) + x∇φ(x) dS(x)
Entonces ddtσS(0,ct) es la distribucion temperada de�nida por( d
dtσS(0,ct), φ
)=
1
t
∫S(0,ct)
2φ(x) + x∇φ(x) dS(x) φ ∈ S(R3).
Luego
(f ∗ d
dtσS(0,ct))(x) =
( d
dtσS(0,ct), f (x − ·)
)=
1
t
∫S(0,ct)
2f (x − y)− y∇f (x − y) dS(y)
es decir
(f ∗ d
dtσS(0,ct))(x) =
1
t
∫S(x,ct)
2f (y) + (y − x)∇f (y) dS(y)
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 14 / 22
Volviendo a (4), obtenemos que la sol. con g = 0 es
u(t, x) =1
|S(x , ct)|
∫S(x ,ct)
f (y) + (y − x)∇f (y) dS(y)
Sumando la sol. del caso f = 0, obtenemos �nalmente que
Dado f , g ∈ S(RN), la unica solucion de
∂ttu = c2∆u t > 0, x ∈ RN ,
u(0, x) = f (x), ∂tu(0, x) = g(x)
en C∞([0,+∞),S(R3)) viene dada por la formula de Kirchho�
u(t, x) =1
|S(x , ct)|
∫S(x ,ct)
tg(y) + f (y) + (y − x)∇f (y) dS(y)
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 15 / 22
Se puede bajar las hipotesis de regularidad sobre f , g :
Teorema
Si f ∈ C 3(R3) y g ∈ C 2(R3) entonces u dado por la formula de Kirchho�
anterior es la unica solucion en C 2([0,+∞)× R3) de
∂ttu = c2∆u t > 0, x ∈ R3,
u(0, x) = f (x), ∂tu(0, x) = g(x)
ver Apunte p118-120 - La prueba del apunte usa un metodo distinto para
obtener la formula de Kirchho�.
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 16 / 22
N = 2
Sea u una sol. de la ec. de ondas para N = 2:
∂ttu = c2∆u t > 0, x ∈ R2,
u(0, x) = f (x), ∂tu(0, x) = g(x)
Pensamos R2 ↪→ R3 con x ∈ R2 → (x , 0) ∈ R3.
Extendemos u, f , g a R3 por
u(t, (x , x3)) := u(t, x), f (x , x3) := f (x), g(x , x3) := g(x).
Entonces
∂tt u = c2∆u t > 0, x ∈ R3,
u(0, x) = f (x), ∂tu(0, x) = g(x)
por lo que u esta dada por la formula de Kirchho�.
Con un par mas de cuentas, obtenemos una formula para u:N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 17 / 22
N = 2
Teorema
Si f ∈ C 3(R2) y g ∈ C 2(R2) entonces la unica solucion en
C 2([0,+∞)× R2) de
∂ttu = c2∆u t > 0, x ∈ R2,
u(0, x) = f (x), ∂tu(0, x) = g(x)
es
u(t, x) =1
2
1
|B(x , ct)|
∫B(x ,ct)
ctf (y) + ct2g(y) + ct(y − x)∇f (y)√(ct)2 − |y − x |2
dy .
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 18 / 22
La ecuacion de ondas no-homogenea
Vamos a discutir el problema no-homogeneo
∂ttu − c2∆u = f (t, x) t > 0, x ∈ RN ,
u(0, x) = ∂tu(0, x) = 0(5)
usando el ppio de Duhamel que vimos con la ec. del calor.
Reescribamos (5) como un sistema para X := (u, v)T donde v = ∂tu:
(5)⇐⇒ (6) ∂tX = LX + F , X0 = (0, 0)T
con
L =
(0 1
c2∆ 0
), F (t, x) =
(0
f (t, x)
).
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 19 / 22
Dada una cond. inicial Y , notamos PtY (x) la sol. de ∂tX (t, x) = LX (t, x)con X (0, x) = Y (x).Con PtY (x) = (a(t, x), b(t, x))T , eso signi�ca que ∂ta = b y ∂tb = c2∆ao sea ∂tta = c2∆a con a(0, .) y b(0, .) = ∂ta(0, .) dados por Y .
El ppio de Duhamel para (6) con X0 = (0, 0)T da
X (t, x) = PtX0(x) +
∫ t
0
(Pt−sF (s, .))(x) ds =
∫ t
0
(Pt−sF (s, .))(x) ds
Mirando la 1era componente, volvemos a la ec de ondas explicitamente,
u(t, x) =
∫ t
0
us(t − s, x) ds
donde us es la solucion de
∂ttus(t, x) = c2∆us(t, x) t > 0, x ∈ RN ,
us(0, x) = 0, ∂tu(0, x) = f (s, x)
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 20 / 22
Haciendo un cambio de variable, se puede reescribir
u(t, x) =
∫ t
0
w s(t, x) ds (6)
donde w s es la solucion de
∂ttws(t, x) = c2∆w s(t, x) t > s, x ∈ RN ,
w s(s, x) = 0, ∂tws(s, x) = f (s, x)
Teorema
Sea f ∈ C 1((0,+∞)× RN). El problema
∂ttu − c2∆u = f (t, x) t > 0, x ∈ RN ,
u(0, x) = ∂tu(0, x) = 0
tiene una unica solucion en C 2((0,+∞)× RN) dada por (6).
apunte: Teo 8.6.1 p123
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 21 / 22
Comentario sobre la sol. fundamental
Se puede probar que una distribucion E tq E (t, ξ) = sin(2πc|ξ|t)2πc|ξ| 1t>0 es una
sol. fundamental para la ec. de ondas o sea veri�ca
∂ttu − c2∆u = δ(0,0) en S(R× RN)′
Intuitivamente (e informalmente) E veri�ca
∂ttu = c2∆u t > 0, x ∈ R2,
u(0, x) = 0, ∂tu(0, .) = δ0
Por ejemplo
E =
1
2c 1[−ct,ct]1t>0 N = 1
1
2πc
[(ct)2 − |x |2
]− 121{|x |<ct}, N = 2,
1
4πc2tσS(0,ct)1t>0 N = 3
N. Saintier Ecuacion de ondas 6 de julio de 2020 22 / 22