ECUACIONES ECUACIONES DE LA RECTADE LA RECTA

Ángela Durán

Miriam Izquierdo

Ampliación de matemáticas

11 de junio de 2013

¿Qué es la ecuación de una recta?•La ecuación de una recta es una expresión analítica en x e y que cumplen las coordenadas de todos los puntos por los que pasa

Ejemplo:La ecuación general de la recta r es: 5x+3y-6=0 La propia recta pasa por los puntos A(0,2) y B(3,-3)Si se sustituyen esos valores en la ecuación se verifica: 5*0+3*2-6=05*3+3*(-3)-6=0

Ecuación Vectorial•Sea P(Px,Py) un punto de la recta y el vector de dirección d=(dx,dy) , si (x,y) son las coordenadas de un punto cualquiera de la recta, tendremos que las coordenadas de dicho punto son iguales a las del punto dado (P) más t veces el vector. t puede tomar todos los valores dentro de los números reales.

tdydxtPyPxyx

dydxd

PyPxP

),,(),(),(

),(

),( (x,y)=(1,2)+t(4,1), tЄlR

Ecuación paramétrica

tdytPyy

dxtPxx

dydxd

PyPxP

,

),(

),(

•Desarrollando la ecuación continua igualamos x e y a lo que corresponda, de donde sacamos que x es igual a la coordenada x del punto dado más t veces la coordenada x del vector de dirección, d. La y es igual pero con las coordenadas y. En esta ecuación también la t puede tomar todos los valores de los números reales.

tty

tx,

45

32

Ecuación continua

dy

Pyy

dx

Pxx

dydxd

PyPxP

),(

),(

•De la ecuación continua se despeja t y se igualan los resultados dados. De esta manera nos quedan dos fracciones: en el primer término las coordenadas en x y en el segundo, las coordenadas en y

3

2

4

1

yx

Ecuación general o implícita

0

),(

),(

CBxAx

dydxd

PyPxP

•Se desarrolla la ecuación continua para pasar todos los datos al mismo miembro igualándolo a 0. Al pasar todos los términos a un mismo miembro se obtiene la ecuación general, su forma es A x + B y + C = 0.

2x+4y+2=0

Normal

02

=B+A

C+Bx+Ax

dy)(dx,d

Py)P(Px,

2

•Esta ecuación es igual a la ecuación general o explícita dividida entre el módulo del vector de dirección, que es igual a la raíz de A al cuadrado más B al cuadrado.•Esta ecuación es la que utilizamos para hallar la distancia de un punto a una recta: sustituimos las coordenadas x e y en el lugar que corresponde y el resultado dado es la distancia del punto a la recta en unidades.

042

24222

yx

Explícita

n+mx=y

dy)(dx,d

Py)P(Px,

•Es la ecuación normalmente empleada a la hora de determinar una recta junto con la general. En ella m es igual a la pendiente (dy/dx) y n es la ordenada en el origen (coordenada de y cuando corta al eje OY).•Puede sacarse a partir de la ecuación general o, conociendo la pendiente, a partir de la punto-pendiente.

y=x

Canónica

1=b

y+a

x

dy)(dx,d

Py)P(Px,•En esta ecuación nos encontramos con la x y la y divididas por distintos números. En este caso a es la coordenada x del punto que corta el eje OX y b la coordenada y del punto que corta el eje OY. Así si x=a, y=0, por lo que la ecuación es igual a 1. Y de la misma manera al contrario: si y=b, x=0, con lo que la ecuación es igual a 1.

Punto-pendiente

P(Px,Py )

m=dxdy

y−Py=m( x−Px )

•Esta ecuación de la recta se saca a partir de la pendiente y un punto por el que pasa. También se puede obtener de un vector de dirección, pues la pendiente, m=dy/dx.•Con esta ecuación queda una expresión analítica que despejada es igual a la ecuación explícita o la implícita (según como se despeje)

Dos puntosP(Px,Py )Q (Qx,Qy )x−PxPx−Qx

=y−PyPy−Qy

Esta ecuación se consgiue con las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta. En realidad es la ecuación implícita en la que las coordenadas del vector están desglosadas: dx=Px-Qx y dy=Py-Qy