Ecuaciones de variables separadas
Una ecuacin diferencial de variables separadas es una ecuacin de
primer orden y = f(x, y) en la que la funcin f puede expresarse en
la forma f(x, y) = g(x)k(y) o bien f(x, y) = (siendo h(y) De manera
equivalente, es toda ecuacin diferencial de primer orden que en
forma diferencial se expresa como: h(y)dy = g(x)dx (1.1) Proposicin
1 La solucin de la ecuacin (1.2)Est dada por H(y(x)) = G(x) + C
(1.3) donde H(y) es una primitiva de h(y), G(x) es una primitiva de
g(x) y C es una constante. (Dem.) Multiplicando por h(y) la ecuacin
(1.2) se obtiene
y si H(y) es una primitiva de h(y), el primer miembro es
justamente , por lo que, si G(x) es, a su vez, una primitiva de
g(x), la integral o solucin general de la ecuacin (1.2), expresada
en forma implcita, es justamente (1.3). Si es posible despejar de
ah la funcin y(x), se tendr la solucin en forma explcita comoy =
(x, C) La manera prctica de proceder consiste en separar las
variables, escribiendo la ecuacin (1.2) en su forma diferencial
(1.1) de la que, integrando ambos miembros, se obtiene la solucin
(1.3) en la forma
Si se han especificado las condiciones iniciales, y(x0) = y0, es
posible obtener la solucin particular que las satisface del
siguiente modo: H(y0) = G(x0) + C y eliminando C del sistema
formado por esta ultima ecuacin y (1.3), se obtieneH(y) H(y0) =
G(x) G(x0)o, lo que es lo mismo,
Ver ejemplos. http://www-ma4.upc.edu/~nrr/docs/edteor.pdf
