DEFINICION ORDEN Y GRADOSOLUCION Y ORIGENECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL2Una ecuacin diferencial es aquella que involucra una funcin junto con sus derivadas y la variable o variables de la que depende:

1.1.-Definicin de una ecuacin diferencial: Una ecuacin diferencial es una ecuacin que relaciona una funcin desconocida (la variable dependiente), las variables de las que depende (variables independientes) y sus derivadas respecto de estas variables independientes:

En las ecuaciones diferenciales pueden aparecer ciertos trminos constantes, relacionados con el problema, que reciben el nombre de parmetros. Por ejemplo, las constantes k, m y g que hemos visto en los problemas introductorios.

Notacin:En todo libro las derivadas ordinarias se escribirn usando la notacin de Leibniz , o la notacin prima .Realmente, la notacin prima se usa para denotar solo las primeras tres derivadas

Definicin 1: Ecuacin diferencial ordinaria (E.D.O.)Una E.D.O. es una ecuacin que contiene derivadas o diferenciales de una funcin incgnita que depende de una sola variable independiente.Ejemplo:

a) (ecuacin de variables separables)

b) (ecuacin del pndulo)

c) (ecuacin de Legendre)

Definicin 2: Orden de una ecuacin diferencial ordinariaEl orden de una E.D.O. es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece.

Definicin 3: Grado de una ecuacin diferencial ordinariaLa derivada de mayor orden en una ecuacin diferencial puede estar afectada de exponentes. El mayor exponente indica el grado de la ecuacin diferencial.Ejemplo:

a) es de primer orden y de primer grado.

b) es de segundo orden y de primer grado.

c) es de tercer orden y de segundo grado.

d) es de cuarto orden y el grado no se aplica.

e) elevando al cubo es de grado 2.

NOTA:a) Si una ecuacin diferencial se puede racionalizar respecto a las derivadas que contenga y eliminar stas de sus denominadores, el exponente de la derivada de mayor orden es el grado de la ecuacin diferencial. No todas las ecuaciones diferenciales poseen grado (ejemplo d)b) Una ecuacin diferencial de orden se denota mediante

Definicin 4: Solucin de una E.D.O.

Una funcin se dice que es una solucin de una E.D.O. en (un intervalo) si sustituida en dicha ecuacin se reduce a una identidad.

Ejemplo: Para la ecuacin diferencial de Legendre ()

(1)

una solucin es en . En efecto, de se tiene reemplazando en (1): sigue que

Definicin 5: Solucin general y solucin particular de una E.D.O.

Al resolver una E.D.O. de primer orden , usualmente se obtendr una familia de curvas o funciones de la forma que contiene un parmetro arbitrario tal que cada miembro de la familia es una solucin de dicha ecuacin.De hecho, al resolver una E.D.O. de n-simo orden, como

esperaremos obtener una familia n paramtricas de soluciones dado por

La solucin de una E.D.O. que no contiene parmetros se llama solucin particular.

Ejemplo 1:

La funcin es una solucin general de la ecuacin diferencial . En efecto derivando la funcin se obtiene y tambin , que al reemplazar en la ecuacin diferencial se obtiene o sea . En este caso

Ejemplo 2:

La expresin donde c es una constante arbitraria, es una solucin de la E.D.O.

En efecto, derivando implcitamente la expresin dada

Multiplicando por

Al reemplazar la ltima expresin en la ecuacin diferencial se obtiene

que obviamente es una identidad para . (, pues de lo contrario la expresin dada inicialmente no sera una ecuacin diferencial).

Ejemplo 3:La ecuacin integral

es una solucin particular de

.Ciertamente, derivando

Recordando que

As que al reemplazar en la ecuacin dada

queda una identidad.

DADA LA SOLUCIN DE UNA EDO: HALLAR LA ECUACIN

Este es un problema conocido como eliminacin de parmetros. Veamos este caso con algunos ejemplos:Ejemplo 1:

Halle una ecuacin diferencial cuya solucin sea Veamos: Diferenciando ambos miembros de la ecuacin se tiene

(1)

De la solucin planteada obtenemos , luego en (1) da

Ejemplo 2:Obtenga la ecuacin diferencial cuya solucin es la funcin

Derivando ambos miembros respecto de :

(1)Derivando nuevamente tenemos:

Dividiendo por :

(2)

Pero la ecuacin primitiva: Luego en (2):

La ecuacin diferencial es

EL TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Es conocido tambin como problema de valor inicial. Nos proporciona condiciones para que una ecuacin diferencial sujeto a una condicin inicial tenga solucin nica en un recinto del plano.Sea el problema de valor inicial:

Si satisface dos condiciones

i) es continua sobre

ii) es continua en

entonces existe una solucin nica del problema de Cauchy en .

La condicin se llama condicin inicial. El problema de la bsqueda de la solucin de la ecuacin diferencial que satisface la condicin inicial se llama Problema de Cauchy (Agustn Cauchy, gran matemtico francs del siglo XVIII). Geomtricamente el problema significa que se busca la curva integral que pasa por el punto del plano XOY.

Ejemplo: Aplicar el teorema a

Este es un problema de Cauchy con

i) es continua en todo

ii) es continua en .

Luego segn el teorema, existe solucin nica del problema planteado en . Veremos ms adelante que tal solucin es

Ms adelante se ver que las ecuaciones de orden sujetas a condiciones iniciales tambin cumplen un teorema de existencia y unicidad.

Ejercicios:1)

Muestre que la funcin es una solucin particular de la ecuacin diferencial 2)

Pruebe que es una solucin de 3) Clasificar cada una de las ecuaciones dadas de acuerdo al orden y grado:

a)

b)

c)

d)

4) Es solucin de la ecuacin diferencial ?5) Compruebe que una familia uniparamtrica de soluciones de

es 6)Aplicando el teorema de existencia y unicidad seale el recinto en los que la ecuacin admite solucin nica:

a)

b)

7) Encuentre los valores de tales que sea una solucin de:

a)

b)

8) Un tornado cuya generatriz es perfectamente circular, se desplaza siguiendo una trayectoria sinusoidal cuyo centro se encuentra en la ecuacin . Determinar la ecuacin diferencial respectiva.