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arturo-rodriguez
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Ejercicios en los que se demuestra que las soluciones de ciertas ecuaciones se pueden escribir como combinaciones de funciones elementales.
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8. a)
i) P. D. que ∫dx
√1+x ⁰es una combinación algebraica de funciones elementales.
Dem. Por un lado ∫dx
√1+x ⁰=∫
dx
√1+1=∫
1
√2dx . Definamos f (x)=
1
√2y consideremos la
función F( x)=1
√2x+C , donde C es un número real fijo y arbitrario. Ahora F '( x)=
1
√2,
entonces por el teorema fundamental del cálculo tenemos que F es primitiva de f (F'=f), lo quedemuestra que la primitiva de f puede escribirse en términos de funciones elementales ■
ii) P. D. que ∫dx
√1+xes una combinación algebraica de funciones elementales.
Dem. Definamos f (x)=1
√1+ xy consideremos la función F( x)=2√1+ x+C , donde C es un
número real fijo y arbitrario. Ahora F '( x)=212(1+x )
−12=
1
√1+x, entonces por el teorema
fundamental del cálculo tenemos que F es primitiva de f (F'=f), lo que demuestra que la primitiva de fpuede escribirse en términos de funciones elementales ■
iii) P. D. que ∫dx
√1+x ²es una combinación algebraica de funciones elementales.
Dem. Definamos f (x)=1
√1+ x ²y consideremos la función F( x)=ln(x+√x ²+1)+C , donde C es
un número real fijo y arbitrario. Ahora F '( x)=1+
x√x ²+1
x+√ x ²+1=
√x ²+1+x√x ²+1
x+√x ²+1=
√x ²+1+x(√ x ²+1)(x+√ x ²+1)
,
=1
√ x ²+1entonces por el teorema fundamental del cálculo tenemos que F es primitiva de f (F'=f),
lo que demuestra que la primitiva de f puede escribirse en términos de funciones elementales ■
b) P. D. Las integrales de la forma ∫dx
√1+xn, con n entero y n ≥ 3 no se pueden escribir en términos
de funciones elementales.
Dem. Aplicando el teorema de Chébishev, con m=0, p=1/2, basta con demostrar que i) 12
no es
entero, ii) 1n
no es entero ó iii) 1n+
12
no es entero para todo n natural y n ≥ 3.
Caso i) Al ser p = 12
, es un número racional irreducible, por lo que no es entero.
Caso ii) La expresión 1n
no resulta en un número entero para cualquier n ≠ 1.
Caso iii) La expresión1n+
12
no resulta en un número entero para cualquier n ≠ 2.
Por lo tanto, para todo n entero y n ≥ 3, la integral de la forma ∫dx
√1+xnno se puede expresar en
términos de funciones elementales (NOTA: se anexa una demostración del teorema de Chébishev) ■
g) ∫ √a+x√a−x
dx=∫ a+x√a ²−x ²
dx=∫ a√a ²−x ²
dx+∫ x√a ²−x ²
dx , donde:
- Mediante la sustitución x=a sin (θ) tenemos que
∫a
√a ²−x ²dx=a∫ sec(θ)cos(θ)d θ=a∫ dθ=aθ con θ=arcsin (
xa) .
- Mediante la sustitución u=a ²−x ² tenemos que
∫ x√a ²−x ²
dx=−12∫ du
√u=
−12
√u12
=−√u=−√a ²−x ² .
Por lo tanto:
∫ √a+x√a−x
dx=∫ a√a ²−x ²
dx+∫ x√a ²−x ²
dx=aarcsin(θ)−√ x ²−a ²+C .
l) ∫dx
a ² sin ²( x)+b ² cos ²(x ), mediante la sustitución t=tan (x) tenemos que dx=
dt1+t ²
,
a ² sin ² (x)=a ² t ²1+t ²
y b ² cos ²(x)=b ²
1+t ², por lo que
∫
11+t ²
dt
a ² t ²+b ²1+t ²
=∫1
a ² t ²+b ²dt=
1a ²∫
dt
t ²+(ba)²
=a
a ²barctan (
atb
)=1ab
arctan (a tan(x )
b)+C .