1 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definiciones y Termino-lega Una ecuacin diferencial es una ecuacin cuya incgnita es una funcin y en la que aparecen algunas derivadas de esa funcin. Si la funcin que interviene tiene slo una variable independiente, la ecuacin se llama ecuacin diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la funcin tiene varias variables independientes, se dice que es una ecuacin diferencial en derivadas parciales (E.D.P.). En este tema restringimos nuestra atencin a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Adems del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican segn su orden. El Orden de una ecuacin diferencial viene determinado por la derivada de orden ms alto que aparece en dicha ecuacin. En su forma ms general una ecuacin diferencial de orden se puede escribir como:

0),...,,( / nyyyxF

Veamos algn ejemplo:

ECUACION TIPO ORDEN

1)

24// yy Ordinaria 3

2)

322

2

dt

sd

Ordinaria

2

3)

xeyy 3)( 2/ Ordinaria 1

4)

02

2

2

2

ay

ua

ax

a

Parcial

2

5)

0/ senyy Ordinaria 1

Una funcin y = f (x) se dice que es una solucin de una ecuacin diferencial si la

ecuacin se satisface al sustituir, en ella, y y sus derivadas por f (x) y sus derivadas

respectivas. Por ejemplo:

1.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN (Variables Separables):

Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma 0)()( dx

dyyhxg , con g y h

continuas, se dice que es separable o de variables separables. Se puede reescribir

separando las variables en la forma dxxgdyyh )()( .

Ejemplo 1:

Hallemos la solucin general de la ecuacin de variables separables

xydx

dyx )4( 2 .

Al separar variables, queda la expresin dxx

xdy

y 4

12

. Integrando ambos miembros,

tenemos:

1

2

1

2

24ln)4ln(

2

1ln

4CxCxydx

x

x

y

dy

En consecuencia,

444 2122 11 xCyxeyxey CC

Si buscamos la solucin partculas que cumplen una condicin inicial dada, por ejemplo, y

(2)=1, entonces tenemos 41 21 xC , lo que implica que 22

11 C . La solucin ser

422

1)( 2 xxy . Elevando al cuadrado, obtenemos la hiprbola 48 22 xy . La

solucin es la rama positiva 0) >(y .

Ejemplo 2:

En primer lugar, observamos que una E.D.O. de primer orden que es fcil resolver

es:

)(y/ xf (1)

Donde f es una funcin integrable. Para resolver basta integrar ambos miembros

con respecto a x y as se obtiene :

cdxxf )(y/ (2)

De modo que su solucin general viene dada por (2), y en ella se recogen todas las

soluciones de la ecuacin (1).

Mas generalmente, toda ecuacin de primer orden

)(

)(y /

yh

xg (3)

Se llama ecuacin de variables separables.

Para resolver (3) se multiplican ambos miembros por h (y) para obtener

)(dx

dyh(y) xg (4)

Ahora se observa que si

)()())(( / xgxfxfh

Por lo que al integrar se obtendr

cdxxgdxxfxfh )()())((/ (5)

Pero como dxxfdy )(/ , entonces (5) se puede escribir as:

cdxxgdyyh )()( (6)

De modo que (6) constituye una familia un paramtrica de soluciones, que

generalmente vienen expresadas de forma implcita.

El razonamiento anterior nos sugiere un mtodo para resolver la ecuacin (3):

De la ecuacin (3) pasamos a dxxgdyyh )()( y finalmente integraremos ambos

miembros para obtener la solucin general de la ecuacin dada.

Nota._ Las ecuaciones )()(/ yhxgy ,)(

)(/

xg

yhy tambin sin de variables

separables y se resuelven de forma similar.

1.3. ECUACIONES DE PRIMER ORDINARIAS (Homogneas):

Una ecuacin diferencial de la forma

,0),(),( dyyxNdxyxM

Donde M y N son funciones homogneas del mismo grado, se dice que es una ecuacin

diferencial homognea. Estas ecuaciones se resuelven haciendo el cambio y =vx (donde

v=v(x) es derivable), transformndolas en ecuaciones de variables separables.

Ejemplo 1:

Hallar la solucin general de 03)( 22 xydydxyx .

Como )(),( 22 yxyxM y xyyxN 3),( son ambas homogneas de grado 2,

hacemos vry . As, vdxxdvdy , de modo que, sustituyendo y y dy en la

ecuacin, obtenemos:

03)2(0))((3)( 3222222 vdvxdxxvxudxxdvvrxdxxvx

0)3()21( 222 dvvxxdxvx

Esta segunda ecuacin es de variables separables. Dividiendo entre 2x y

separando variables, queda:

32

2

432

2

4

2

2

1

2

2

2

)21()21(lnln

ln)21ln(3ln4)21ln(4

3ln

21

33)21(

vCxvCx

CvxCvx

dvv

v

x

dxvxdvdxv

Una vez resuelta la segunda ecuacin, se deshace el cambio x

yv , para obtener:

2322

3

2

2

4 )2()(21 Cxyxx

yCx

Ejemplo 2:

Resolvamos la ecuacin homognea:

x

xeyy

xy // 2

En primer lugar, expresamos el segundo miembro como funcin de xy /

xyex

yy // 2

Ahora, realizamos el cambio de variables z= y /x, con lo que al ser zxzy // , la

ecuacin queda de la forma:

zezzxz 2/

Esta ecuacin es de variables separables, y la integraremos como tal:

CxeCxe

Cdxx

dzex

zeexzezzxz

zz

zzzz

2

///

lnln2

22

Ahora, finalmente, se deshace el cambio de variable y tenemos:

Cxe xy 2/ ln

Casos Aplicativos

CASO 1. Se puede predecir la poblacin de un pas? La siguiente tabla muestra el nmero de millones de habitantes que haba en toda la

Repblica Mexicana, de acuerdo al censo del ao que se indica

Ao 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960

Poblacin

(millones

de hab.)

13.61 15.16 14.33 16.53 19.65 25.78 34.92

Con base en los datos de la tabla y ubicndonos en el ao de 1960, se podra haber hecho

una estimacin para la poblacin de los aos 1970 y 1980?

Solucin. Una suposicin razonable es que la rapidez de variacin de la poblacin con

respecto al tiempo es proporcional a la poblacin, es decir si P (t) denota la poblacin al

tiempo t entonces

xPdt

dP

Donde x es una constante positiva.

As, para conocer la poblacin en cualquier tiempo hay que resolver la ecuacin anterior.

La solucin es P (t) = ceat, con c una constante arbitraria. Para determinar c tenemos la

condicin inicial que en t = 0 (correspondiendo al ao de 1950) la poblacin

es 25.78, de donde P(t) = 25.78eat.

Para encontrar la constante de proporcionalidad podemos usar que P (IO) = 34.92.

En consecuencia:

tetP 0303461.078.25)(

Ahora para 1970 la poblacin aproximada sera P(20), que da por resultado:

30.47)20( P

La poblacin para 1980 se estimar en F(30) = 64.07.

Es interesante comparar los valores calculados con los que se reportaron en los censos

respectivos. Los censos realizados mostraron que la poblacin en 1970 y 1980 fue de 48.22

y 67.41 millones de habitantes, respectivamente.

CASO 2. Es posible medir el impacto de la publicidad? Cierta compaa produce un artculo destinado a una poblacin en la que hay un nmero M

de potenciales compradores. La compaa decide establecer una campaa de publicidad

para promocionar su producto. Los propietarios de la compaa han solicitado a su

departamento de publicidad una medida del impacto de la publicidad. Se puede ayudar a

los publicistas?

Solucin. Hay varias maneras de medir el impacto de la publicidad, una es la siguiente.

Sea y (t) el nmero de personas que conocen el producto al tiempo t. Supongamos que la

velocidad con que vara el nmero de personas que conocen el producto es proporcional

tanto al nmero de personas que conocen el producto, como al de las que todava no lo

conocen. Entonces

)( yMkydt

dy (1.1)

Donde k es una constante positiva. Su solucin es la funcin

kMte

Mty

1)( (1.2)

Con c una constante.

En la literatura econmica a la ecuacin (1.2) se le conoce como ecuacin de la curva

logstica, la cual nos da una medida del nmero de personas que conocen el producto al

tiempo t. La forma general de su grfica se muestra en la figura 1.1.

CASO 3:

Cierta ciudad tena una poblacin de 25000 habitantes en 1960 y una poblacin 30000

habitantes en 1970 suponiendo que su poblacin contine creciendo exponencialmente con

un ndice constante Qu poblacin esperara los urbanistas que tenga en el ao 2011?

KXdt

dx

Separamos variables:

cKtxegrandokdtxdx

)ln(int

Aplicando propiedades de logaritmos que dara de esta forma:

Ktcex

Se toma to en 1960 de tal modo que:

25000=x(0)

Sustituyendo se obtiene:

2500025000 )0( cce Kt

Sustituyendo:

Ktex 25000

De 1970 a 1960 han transcurrido 10 aos y la poblacin ha aumentado 30000

018232.010

)2.1ln(10

5

62500030000

30000)10(

)10()10(

Kee

x

KK

Al sustituir se obtiene la frmula que nos permite calcular el tamao de la poblacin en

funcin del tiempo donde tex 018232.0)10( .

Del ao 1960 al ao 2010 han transcurrido entonces esa poblacin actualmente tiene:

personasxex 5157.62207)51()51( )51(18232.0

CASO 4:

Una persona solicita un prstamo de 8000 pesos para comprar un automvil el

prestamista carga el inters a una tasa anual del 10% si se supone que el inters se

compone de manera continua y que el deudor efecta pagos continuamente con una cuota

anual de constante K, Determine la cuota de K necesaria para cubrir el adeudo en 3 aos?

Y Determine el inters que se paga durante el periodo de 3 aos?

S (t): cantidad de dinero en cualquier momento t

S(0)=So=800 cantidad de dinero prestado (en T=0)

K: Cantidad de dinero inyectada anualmente

Esta es la frmula separando variables, integrando y aplicando propiedades de los

logaritmos:

)1(8000

8000)8000(

:

80008000

:

)(

)ln(1

)0(

rtrt

rtrtrt

r

crrt

crrt

er

Kes

r

Ke

r

Kes

r

Ke

r

Ks

doSustituyen

r

Kc

r

Kce

doSustituyen

r

ec

r

Kces

eKrscrrtKrsr

dtKrs

dsKrs

dt

ds

Cuando la deuda se cancela, s=0 de tal manera que :

0)1(8000 rtrt er

Ke

Despejamos K de la ecuacin de arriba:

92.12598000)64.3086(3

64.30861

8000

1

)1.0(8000

:

3

1.0%10

1

80008000)1(0)1(8000

3.0

3.0

)3)(1.0(

)3)(1.0(

Ke

e

e

eK

doSustituyen

T

R

e

reKee

r

Ke

r

Ke

rt

rtrtrtrtrt

La cuota anual seria de 3086.64 y su inters aproximado de 1259.5

CASOS 5:

Encuentra el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en que se descubre el cadver, si la temperatura del cadver en el momento que lo encontraron es de 85F y son horas ms tarde ha bajado 74F adems la temperatura del ambiente permanece constante a 32 F.

T: temperatura del cadver en el tiempo t

Tm= 32F: temperatura ambiente

Momento donde se descubre el cadver

t=0 T= 85F

La ecuacin para este momento es:

:0)( KTTKdt

dTm Constante de proporcionalidad

As que:

)32( TKdt

dT

Separando variables e integrando:

cKtTkdt

T

dT)32ln(

)32(

Aplicando propiedades de logaritmos 32 KtccKt eeTe

As quedara:

)(32 cKt ecceT

Sustituyendo la ecuacin de arriba

35328532853285 0)0( cccece K

Esto quedara: 3253 KtceT

Ahora ya tienen valores: t=2, T=74

Sustituyendo se obtiene:

2326223.0)261.1ln(242

535342325374 22)2( Keee KKK

K=0.1163111

As que la temperatura del cadver en el tiempo t, en horas, esta dada por:

3253 116311.0 teT

La temperatura de ser humano vivo es de 98.6F

utostt

eee ttt

min58)60(9638.09638.1116311.0

2884.0)7957.0ln(1163.0

6.66

53

53

6.6632536.98 1163.01163.0011163

La hora de muerte se produjo aproximadamente 1 hora 58 minutos.