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EcuacionesdiferencialesenderivadasparcialesMétododeseparacióndevariables
3.‐ ResolucióndelaecuacióndeLaplaceencoordenadascartesianas:separacióndevariables
4.‐ ResolucióndelaecuacióndeLaplaceencoordenadasesféricaspolares:separacióndevariables.
Losarmónicosesféricos.AplicaciónenlaMecánicaCuán@ca.
2.‐ LaecuacióndeLaplace
1.‐ Ecuacionesdiferencialesenderivadasparciales.Elproblemadelascondicionesdecontorno.
1
CondicionesdecontornoenEc.DiferencialesenDerivadasParciales.
Vemosqueparadeterminarunasoluciónpar@culardeestaEDnoessuficienteconocerelvalordelafunciónenunpunto:
EjemploIISitomamosunaEDDPde2ºorden: !2"(x, y, z)
!x!y= 0 podemosbuscarlasolucióngeneral
!2"(x, y, z)
!x!y=
!
!x[!"(x, y, z)
!y] = 0 ! !"(x, y, z)
!y= µ(y, z) µ(y, z) arbitraria
!(x, y, z) =
!µ(y, z)dy + g(x, z)integrando dondeesarbitrariag(x, z)
y zLaintegraldeesunafunciónarbitrariadeyµ(y, z)!
µ(y, z)dy = f(y, z)
Porlotantolasolucióngenerales:!(x, y, z) = f(y, z) + g(x, z)
Paracalcularunasoluciónpar@cularnecesitamosconocerelvalordeambasfunciones,y.Necesitamosconocerlasoluciónsobredossuperficies.
f(y, z)g(x, z) 2
EjemploIConsideremosunaEDDPsencilladeprimerorden:
cuyasoluciónmásgenerales
!f(x, y, z)
!z
f(x, y, z) = g(x, y)
Conocerlasoluciónrequieresaberelvalordelafunción,esdecirconocerlosvaloresdelasoluciónenunasuperficie(vgr.)
!y, zz = 0
LaecuacióndeLaplaceLaecuacióndeLaplaceuotrasecuacionesderivadasdeellaesunaecuacióncentralenmuchosproblemasRsico‐químicos.
LaecuacióndeLaplacepuederesolverse–enlossistemasdecoordenadasllamadosdecoordenadasseparables‐reduciéndolaaunaseriedeecuacionesdiferencialesordinariasacopladas,[email protected]étododeseparacióndevariables. 3
MecánicaCuán@caLaecuacióndeSchrödinger
esunaecuacióndeautofunciones.Estaecuaciónpuedeinterpretarsecomounaecuacióndiferencial,enlacuallacondicióndecontornoesquelasoluciónseaautofuncióndeloperadorHamiltoniano.
[!!22m
"2 + V (!r)]!(!r, t) = i! "
"t!(!r, t)
Electrodinámica:DelasecuacionesdeMaxwellseob@enelasecuacionesdeondasparaloscamposeléctricoymagné@co:yEnelvacío
dondeceslavelocidaddelaluz
!E(!r, t) !B(!r, t)
Eloperadorlaplacianoesunoperadorlineal.LaecuacióndeLaplaceesunaecuacióndiferenciallineal;esoimplicaquesiysonsoluciones.
!1("r) !2("r)
!2!1("r) = 0
!2!2("r) = 0! "2[!"1(#r) + $"1(#r)] = 0, #!,$ $ C
!2
Esdecir:unacombinaciónlinealdesolucionesestambiénsolución.ElprocedimientopararesolverlaEDconsisteenencontrarunconjuntodesolucionesdelaecuaciónqueseacompleto,esdecirquepermitaescribircualquiersolucióncomounacombinaciónlinealdeesoselementos.Loscoeficientesdeestacombinaciónlinealsedeterminaránmediantelascondicionesdecontorno.Existeunconjuntoinfinitodeesassolucionespar@culares,deformaqueahoralascondicionesdecontornohandesercapacesdedeterminarlosinfinitoscoeficientesdelacombinaciónlinealbuscada.Lacondicionesdecontornoahorasedeterminanporlosvaloresdelasoluciónenunasuperficie,noenunpuntocomoenelcasodelasecuacionesdiferencialesordinarias.Sitomamosunaecuaciónmásgeneral,,lallamadaecuacióncompleta,lasolucióngeneraldelacompletasepuedeescribir
!GC("r) = !GH("r) + !PC("r)
dondeeslasolucióngeneraldelaec.deLaplace(homogénea)yesunasoluciónpar@culardelacompleta
!GC("r)
!PC("r)!GH("r)
4
5
Lasoluciónparaquehasumaseanuleesquelastresfuncionesseanconstantes.
ResolucióndelaecuacióndeLaplaceencoordenadascartesianasMétododeseparacióndevariables
Mul@plicandoestaecuaciónpor
dondeysonlascoordenadasdelvectorx, y, z !r
Encoordenadascartesianasellaplacianoseescribe
ElMétododeseparacióndevariablesconsisteenbuscarsolucionesdelaforma
dondeysonfuncionesdeunaúnicavariable.X(x), Y (y) Z(z)
= 0
5
d2X
dx2= !k2xX(x)
d2Y
dy2= !k2yY (y)
d2z
dz2= (k2x + k2x)Z(z)
= !k2x = !k2y = (k2x + k2y)= q2Z(z)
q2 = !(k2x + k2y)donde
6
Sonecuacionesdiferencialeslinealesconcoeficientesconstantes.Lasolucióndeestasecuacionesestrivial:
X(x) = !(kx)eikxx + "(kx)e
!ikxx
Y (y) = !(ky)eikyy + "(ky)e
!ikyy
Lasolucióndebeverificarunconjuntodetresecuacionesdiferencialesordinariasde2ºorden,queestánrelacionadasporlosdosconstantesdeseparacióny.kx ky
d2X
dx2= !k2xX(x)
d2Y
dy2= !k2yY (y)
d2Z
dz2= q2Z(z) q2 = !(k2x + k2y)donde
Z(z) = !(kx, ky)eqz + "(kx, ky)e
!qz
dondeusamoslanotación
paraloscoeficientesdelassolucionesparaindicarlosparámetrosdeseparacióndecadavariable.
!(kx),"(kx), #(ky), $(ky), %(kx, ky), &(kx, ky)
ylasolucióncorrespondientealasconstantesdeseparaciónyson:kx ky
!(kx, ky,!r) = ["(kx)eikxx + #(kx)e
!ikxx][$(ky)eikyy + %(ky)e
!ikyy]
![&(kx, ky)eqz + '(kx, ky)e
!qz]
LasolucióndelaecuacióndeLaplacecorrespondientealosparámetrosdeseparacióny
!(kx, ky,!r) = ["(kx)eikxx + #(kx)e
!ikxx][$(ky)eikyy + %(ky)e
!ikyy]
![&(kx, ky)eqz + '(kx, ky)e
!qz]
kx ky
DeestaformalasolucióndelaecuacióndeLaplaceseescribecomounacombinaciónlinealdefuncionesconocidas,,quesonsolucionesdelamismaecuación.!(kx, ky,!r)
Enestaexpresión,lasintegralesrepresentanladoblesumarespectolosdosparámetrosdeseparación.
permiteescribirlasolucióngeneraldelproblemacomounacombinaciónlinealdeestassoluciones
!("r) =!
kx,ky
!(kx, ky,"r)
losíndicesytomantodoslosvaloresrealesposibles;porlotantolasumaesrealmenteunaintegral
kx ky
!("r) =!
kx,ky
!(kx, ky,"r) ! !("r) =
"dkx
"dky!(kx, ky,"r)
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Solucióndelaec.deLaplaceencoordenadaspolaresesféricasIntentamosresolverlaecuacióndeLaplaceencoordenadaspolaresesféricas.ElvectorestádadoahoraporlascoordenadasyEllaplaciano:
Llevando[2]alaec.deLaplace(ymul@plicandoporr)
Eltérminodelaizquierdaesunafunciónderandθ,mientrasqueeldeladerechaloesdeφ.
Mul@plicandoambostérminospor
Elhechoquelaparteradial–elfactorconteniendoladependenciaenr‐seescribacomonocambiaelsen@dodelafactorialización,yeslaformahabitualmenteusadaenlostextos.r!1U(r)
8
!2!(!r) = 0!r
Lasoluciónesqueambostérminosseasunaconstantek2
= k2
Buscamossolucionesdel@po[2]
r, !, "
DeestaformadesdoblamoslaecuacióndeLaplaceendosecuacionesdiferencialesordinarias
queestánacopladasatravesdelaconstantedeseparaciónk
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Solucióndelafunciónazimutal
! = !ei2!kn
! = !e!i2!kn ! k " Z
Habitualmenteaesteenteroselellamam;deformaquelasolucióndelaecuaciónazimutalesunacombinacióndedosfuncionesquequedandeterminadasporunentero
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Lafunciónverificaunaecuacióndiferencialordinariade2ºgrado,linealconcoeficientesconstantes:
Q(!)
cuyasolucióngeneralesQ(!) = "eik! + #e!ik!
obienunaexpresiónequivalente.Q(!) = A cos(k!) +B sin(k!)
A = !+ "
B = i(!! ")equivalencia
Q(!+ 2"n) = #eik(!+2"n) + $e!ik(!+2"n)= !ei2!kneik" + "e!i2!kne!ik"
Q(!) = "eik! + #e!ik!
Losángulosy representanRsicamenteelmismopuntodelespacio,porlotanto
! !+ 2"n, m ! ZQ(!+ 2"n) = Q(!)
Laindependencialinealdelasfuncionesimplicaquesuscoeficienteshandeseriguales.e±ik!
dondeysonlasconstantesarbitrariasasociadasaunaEDde2ºorden.!,", A B
Q±m(!) = e±im! [3]
11
Hemosvistoquelasfuncionessoluciónsondelaforma
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Ortogonalidaddelasfuncionessolucionesdelaec.azimutal
Q±m(!) = e±im! [3]
yporlotantoverifican
odeformacompacta:
Sedicequelasfuncionessonortogonales.
Separacióndelaspartesradialypolar
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dondelaconstantedeseparaciónkeraunnúmeroenterom;esdecir
HabíamosescritolaparteconladependenciaradialypolardelaecuacióndeLaplace
dejamoseneltérminodeladerechalostérminoscondependenciaenr
Eltérminodelaizquierdaesunafunciónder,mientrasqueeldeladerechaloesde!Ambastérminoshandeserconstantes.Escribimosestaconstantedeseparacióncomo.l(l + 1)
queestánacopladaspormediodelosparámetrosdeseparacióny.m l
Laconstantedeseparaciónpuedeserunnúmero(real)cualquiera.Aquísehafactorializadocomoporrazonesqueseveránalresolverlaecuaciónrela@vaalacoordenadapolar.
l(l + 1)
Deestaformaobtenemosunsistemadedosecuacionesdiferenciales
[4a]
[4b]
LaparteradialU(r)delasoluciónquebuscamossa@sfacelaEDordinariade2ºgrado:Solucióndelaecuaciónradial
Buscamossolucionesdel@po:U(r) = r! ! dU
dr= !r!!1 ! d2U
dr2= !(!" 1)r!!2
Llevandoestasexpresionesa[4a]
[4a]
!(!! 1)r!!2 ! l(l + 1)
r2r! = 0 ! !(!" 1)" l(l + 1) = 0
Lassolucionesdelaecuaciónestándadaspor !2 ! !! l(l + 1) = 0
! ! =1±
!1 + 4l(l + 1)
2=
1±!(2l + 1)2
2=
1± (2l + 1)
2
Lasolucióngeneraldelaecuación[4a]correspondientealaconstantedeseparaciónesl
estasoluciónsólodependedelaconstantedeseparación(node)l m
Ul(r) = Arl+1 +Br!l [5]
Unadelassolucionesesregularenelorigen,perodivergesi.(rl+1) r ! "Laotraesdivergenteenelorigen,peroregularalargasdistancias.(r!l) (r ! ")
Regularidaddelassoluciones
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=l
!(l + 1)
14
Solucióndelaecuaciónpolar.FuncionesdeLagrange
queeslallamadaEcuacióngeneralizadadeLegendre.
[4b]
LafunciónverificalaEDordinariade2ºordenP (!)
Hacemoselcambiodevariable,ymarcamoslasoluciónconlosíndicesdelasconstantesdeseparación
cos(!) = x, (sin2(!) = 1! x2)l,m
(1! x2)d2!lm(x)
dx2! 2x
d!lm(x)
dx+ [l(l + 1)! m2
1! x2]!lm(x) = 0 [4b! 1]
a.‐ Laconstantedeseparaciónesunnú[email protected]
Estascondicionessonnecesarias,peronoaseguranquetodaslassolucionesseancorrectas,enelintervalodado.
Laec.[4b‐1]esunaEDde2ºorden,deformaquesusolucióngeneral(paravaloresdadosdelasconstantes)sepuedeescribircomounacombinaciónlinealdedossolucioneslinealmenteindependientes.
l,m
LacondicióndequeadmitasolucionesqueseanRsicamenteaceptablesenelintervalo: implica:0 ! ! ! " " 1 # x # $1
LasFuncionesdeLegendrede1ª()y2º()especieformandosfamiliasdesolucioneslinealmenteindependientesdelaec.[4b]
Qml (x)Pm
l (x)
b..‐ Elvalorabsolutodeesmenoroiguala:lm !l " m " l
LasfuncionesdeLegendre:solucionesparam=0
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FuncionesdeLegendrede1ªespeciePolinomiosdeLegendre
DossolucionesindependientesdelaED[4b‐1]sonlasfunciones
FuncionesdeLegendrede2ªespecie
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PropiedadesdelasfuncionesdeLegendre
1.‐esunpolinomiodeorden,quesólocon@enepotenciasparesoimpares,segúnlaparidadde.Lasraícessonrealesyestánenelintervalo
2.‐Paridad.Laparidaddelafunciónestádadapor;esdecir:3.‐Regularidad.esregular(acotado)entodoelespacio(esunpolinomio).Seeligelanormalizaciónparaqueverifiquelacondición
3.‐Regularidad.esregularenelintervaloPerodivergelogarítmicamenteenellímitecorrespondientesalosángulospolaresy
1.‐seescribecomounpolinomiodeordenmul@plicandoelfactorlogarítmico,másotropolinomiodeorden.Lafunción@enecerosenelintervalo
2.‐Paridad.Laparidaddelafunciónestádadapor;esdecir: Ql(!x) = (!1)l+1Ql(x)
(!1)l+1
Soluciones no físicas
quepermitencalculartodasellasdeformasencilla(ycomputacionalmenterápida)apar@rdelosvaloresdelasprimerasfunciones.
RelacionesderecurrenciadelasfuncionesasociadasdeLegendreEstasfuncionesverificanlasllamadasrelacionesderecurrencia
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Lasfuncionesde2ªespeciesa@sfacenlasmismasrelacionesderecurrencia.
Existentambiénlassoluciones‐funcionesde2ªespecie‐quetampocosonregularesen.No@enensen@doRsico.
Sinembargo,todasoluciónRsicadebeseracotadaenelintervalodevariacióndelánguloθ.Estoimplicaqueelcoeficientedelafunción‐quedivergeenlospolos‐debeanularse.
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SoluciónregulardelaecuacióndeLegendreLasolucióngeneraldelaecuacióndeLegendrelasconstantesdeseparaciónyes
PorlotantolasoluciónRsicageneraldelaecuacióndeLegendresereducea
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SoluciónesregularesdelaecuacióndeLegendreElprocedimientopuedegeneralizarseparacalcularlassolucionesregulares:sonlasllamadasfuncionesdeLegendrede1ªespecie,osimplementefuncionesasociadasdeLegendrequegeneralmenteserepresentancomo
Comofuncionesde Comofuncionesde
sim<0sepuedenobtenerdelosvaloresanteriores:
Escribiendoestarelacionentérminosdelángulopolarθ (x=cosθ)
Lasfuncionesquecorresponenaunmismovalordelaconstantedeseparaciónsonortogonales,esdecirverifican
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OrtogonalidaddelasfuncionesasociadasdeLegendre
ArmónicosesféricosLaparteangulardelasolucióndelaecuacióndeLaplace,correspondientealasconstantesdeseparacióneselproducto
Z
21
representaeláreadelasuperficieformadaenunaesferaderadiounidadenelpuntodecoordenadaspory.
Esasuperficie–medidasobreunaesferaderadiounidad‐sellamaángulosólido.
ylarelacióndeortogonalidadseescribe
Cualquierfunciónsobrelaesferaunitariasepuedeescribircomounacombinaciónlinealdelosarmónicosesféricos(Teoremadecomple@tud).
quesonortogonalesenlaesferaunidad:
Construimoselconjuntodefunciones:
porejemplo:21
LaexpresiónsepuedeobtenerdirectamentedelasrelacionesdeortogonalidaddelasfuncionesdeLegendreydelassolucionesazimutales:
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23
Tabladearmónicosesféricos
puedeescribirsecomounacombinaciónlinealdelassolucionesparcialesquehemoscalculado:
dondeAlyBlsonconstantesquesedeterminanaplicandolascondicionesdecontorno.
Porelcontrariolaspotenciasnega@vessonregularesalargasdistancias,perodivergenenelorigen.
Estodalugaraquelasoluciónrestrinjael@podesolución,dependiendodelazonadelespacio.:
SolucióngeneraldelaecuacióndeLaplace
ResolverlaecuacióndeLaplacesereducealcálculodeunconjunto–infinitoperonumerable‐deconstantes(AlyBl)quedependendelascondicionesdecontornodelproblema.
mientrasqueenlazonaIIloscoeficientesAl=0(l>0)
Regularidaddelasolución
I
II
EnlazonaI(quecon@eneelorigen)todosloscoeficienteslBl=0
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Laspotenciasposi@vasde[6],consonregularesenelorigen,perodivergen
Eltérminoeslasolucióntrivial,.
25
Ejemplo:elpotencialdeCoulombElpotencialdeCoulomb,creadoenunpuntoarbitrariaporunacargaunidadenreposoenelpunto
sa@sfacelaecuacióndePoisson
dondeesladensidaddecargaqueennuestrocasoes
que,salvoenelpunto,sereducealaecuacióndeLaplaceLasoluciónseescribedeformadiferenteenlasdoszonasdelespacio
quesonregularesentodoelespacio(salvopara)Estasexpresionessepuedenescribirdeformacompactacomo
dondeysonrespec@vamentelamenorylamayordeambasdistanciasy.
r > r!