Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Problemas de valor inicial Campo de direcciones Métodos numéricos para el problema de valor

inicial Método de Euler Método de Heun Método de Euler modificado Método de Runge-Kutta

Problemas de valor inicial

Ecuación diferencial

Condición inicial

Ejemplo: modelo de población de Verhulst

y t f t y t t a b( ) ( , ( )) , [ , ]

y a y( ) 0

y t ay t by t y t y( ) ( ) ( ) , ( )20 0

Campo de direcciones

Curvas solución de una ecuación diferencial

Pendiente de las curvas solución

Campo de direcciones

y y t t a b ( ) , [ , ]

m y t f t y t t a b ( ) ( , ( )) , [ , ]

( , ) ( , ( , )), [ , ], [ , ]t y f t y t a b y c d 1

Campo de direcciones

t=a:h:b; y=c:h:d;

[tt,yy] = meshgrid(t,y);

uno = ones(size(tt));

dy = f(tt,yy);

quiver(tt,yy,uno,dy)

Campo de direcciones

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Ecuación LogísticaEcuación Logística

Métodos numéricos para el P.V.I.

Problema de Valor Inicial

Discretización

Forma integral del problema de valor inicial

y t y t f s y s dst

t

( ) ( ) ( , ( )) 00

y t f t y t t a b y a y( ) ( , ( )), [ , ], ( ) 0

a t t t b

y y t y y t y y tn

n n

0 1

0 0 1 1

( ), ( ), ( )

Métodos numéricos para el P.V.I.

Error local del método iterativo

Error máximo

Convergencia

Método de orden p:

e y y tk k k ( )

E h max ek

k( )

limE hh

0

0( )

E h Mh M constp( ) , .

Método de Euler

Forma integral de la ecuación diferencial

Aproximación (Fórmula de los rectángulos)

Paso fijo

Método de Euler: para k=1,2...,n

y t y t f t y t dtt

t

( ) ( ) ( , ( ))1 00

1

y y t t f t y1 0 1 0 0 0 ( ) ( , )

y y hf t y1 0 0 0 ( , )

y y hf t yk k k k 1 ( , )

Método de Euler

function [t,y]=mieuler(a,b,y0,n)

h=(b-a)/n; t=a:h:b;

y=zeros(size(t)); y(1)=y0;

for k=1:n

y(k+1)=y(k)+h*f(t(k),y(k));

end

Soluciones aproximadas (Euler)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Ecuación LogísticaEcuación Logística

Método de Heun

Forma integral de la ecuación diferencial

Aproximación (Fórmula de los trapecios)

Aproximación por Euler (predicción)

Método de Heun (correccción)

y t y t f t y t dtt

t

( ) ( ) ( , ( ))1 00

1

f t y dt h f t y f t yt

t

( , ) / ( ( , ) ( , ))0

1

2 0 0 1 1

y y hf t yp1 0 0 0 ( , )

y y h f t y f t yp1 0 0 0 1 12 / ( ( , ) ( , ))

Método de Heun

function [t,y]=heun(a,b,y0,n) h=(b-a)/n; t=a:h:b; y=zeros(size(t)); y(1)=y0; for k=1:n k1=f(t(k),y(k)); ykp=y(k)+h*k1; k2=f(t(k+1),ykp); y(k+1)=y(k)+h/2*(k1+k2); end

Método de Euler modificado

Forma integral de la ecuación diferencial

Aproximación (Fórmula del punto medio)

Aproximación por Euler

Método de Euler modificado

y t y t f t y t dtt

t

( ) ( ) ( , ( ))1 00

1

f t y dt hf t h y t ht

t

( , ) ( / , ( / ))0

1

0 02 2

y t h y y h f t y( / ) / ( , )/0 1 2 0 0 02 2

y y hf t h y1 0 0 1 22 ( / , )/

Método de Euler modificado

function [t,y]=eulermod(a,b,y0,n)

h=(b-a)/n; t=a:h:b;

y=zeros(size(t)); y(1)=y0;

for k=1:n

yk2=y(k)+h/2*f(t(k),y(k));

y(k+1)=y(k)+h*f(t(k)+h/2,yk2));

end

Método de Runge-Kutta

Forma integral de la ecuación diferencial

Aproximación de la integral (Regla de Simpson)

y t y t f t y t dtt

t

( ) ( ) ( , ( ))1 00

1

f t y dt

hf t y f t y f t y

t

t

( , )

( ( , ) ( , ) ( , ))/ /

0

1

640 0 1 2 1 2 1 1

Método de Runge-Kutta (cont.)

Estimaciones previas

Aplicación de la fórmula

y y h k k k k1 0 1 2 3 46 2 2 / ( )

k f t y

k f t h y h k

k f t h y h k

k f t h y hk

1 0 0

2 0 0 1

3 0 0 2

4 0 0 3

2 2

2 2

( , )

( / , / )

( / , / )

( , )

Método de Runge-Kutta

function [t,y]=rungekut(a,b,y0,n) h=(b-a)/n; t=a:h:b; y=zeros(size(t)); y(1)=y0; for k=1:n k1=f(t(k),y(k)); tk2=t(k)+h/2; k2=f(tk2,y(k)+h/2*k1); k3=f(tk2,y(k)+h/2*k2); k4=f(t(k+1),y(k)+h*k3); y(k+1)=y(k)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); end

Comparación de métodos

Método Orden delerror

Evaluacionesfuncionales

Euler h 1

Heun h2 2

Eulermodificado

h2 2

Runge-Kutta h4 4