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Moiss Villena Muoz
Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden
44.1 4.2 4.1 4.3 4.4 4.5INTRODUCCIN. ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN LINEALES Y HOMOGNEAS. ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGENEAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR ANLISIS CUALITATIVO PARA LA ESTABILIDAD DINMICA
Objetivos.
Se pretende que el estudiante: Encuentre soluciones de Ecuaciones en Diferencias de Segundo orden y de orden superior Determine Estabilidad dinmica cuantitativa y/o cualitativamente.
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Moiss Villena Muoz
Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden
4.1 INTRODUCCIONUna diferencia de primer orden fue definida de la siguiente manera yt = yt +1 yt . Una diferencia de segundo orden sera:
2 yt = (yt ) = ( yt +1 yt ) = yt +1 yt = yt + 2 yt +1 ( yt +1 yt ) 2 yt = yt + 2 2 yt +1 + yt4.2 ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN LINEALES Y HOMOGNEASUna ecuacin en diferencia de segundo orden homognea con coeficientes constantes es de la forma ay t + 2 + by t +1 + cyt = 0 donde a, b, c IR a 0 lineales. Entonces yt +1 = k (r ) Su solucin ser de la forma yt = k (r ) , igual que todas las ecuacionest
t +1
y yt + 2 = k (r )
t +2
Ahora reemplazando y simplificando tenemos:
ayt + 2 + byt +1 + cyt = 0 kr t (ar 2 + br + c ) = 02
ak (r )
t +2
+ bk (r )
t +1
+ ck (r ) = 0t
De la ltima expresin se tiene ar + br + c = 0 . La cual llamamos Ecuacin auxiliar. La ecuacin auxiliar es una ecuacin cuadrtica que tiene tres casos de soluciones. CASO I. Races r1 , r2 reales y diferentes. En tal caso yt = k1 (r1 ) + k 2 (r2 )t t t t
CASO II. Races r1 = r2 = r reales e iguales. En tal caso yt = k1 (r ) + k 2 t (r ) CASO III. Races r1 = + i,t
r2 = i complejas conjugadas. En tal casot t t
yt = k1 (r1 ) + k 2 (r2 )Por teora de los nmeros complejos
= k1 ( + i ) + k 2 ( i )
+ i = R cos + (R sen ) i i = R cos (R sen ) i
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Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden
donde R =
2 + 2
y = arct
. Observe la figura.
Entonces:
yt = k1 ( + i ) + k 2 ( i )t t t
t t
= k1 (R cos + R sen i ) + k 2 (R cos R sen i ) = k1 R t (cos + sen i ) + k 2 R t (cos sen i ) = k1 R t e it + k 2 R t e itt
= k1 R t [cos t + i sen t ] + k 2 R t [cos t i sen t ] = R (k1 + k 2 )cos t + (k1i k 2 i )sen t k k2 1t
En definitiva, la ltima expresin puede quedar de la forma:
yt = R t [k1 cos t + k 2 sen t ]donde R = 2 + 2 y = arct
4.3 ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGENEAS La solucin de la ecuacin no homognea ay t + 2 + by t +1 + cy t = g t es de laforma:
yt = ytC + ytP
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Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden
Donde la solucin complementaria yt
C
satisface la ecuacin homognea
ay C + by C + cy C = 0t+2 t +1 t
Por tanto, la solucin complementaria se la obtiene de la manera anteriormente descrita. Lat +2
solucint +1 t
particular
ytP
satisface
la
ecuacin
no
homognea
ay P + by P + cy P = g t y depende de g t .Por ejemplo. Analicemos el caso para cuando g t = d . Como es una constante entonces yt = A . Ahora debemos encontrar el valor de A .P
Para lo cual yt +1 = A y yt + 2 = A . Reemplazando y simplificando, tenemos:P P
ay P + by P + cy P = dt+2 t +1 t
aA + bA + cA = d A=Por tanto yt =P
d a+b+c
d si a+b+c
a+b+c0
Para el caso de que a + b + c = 0 tenemos yt = AtP
Bien, entonces yt +1 = A(t + 1) y yt + 2 = A(t + 2 )P P
Reemplazando y simplificando aA(t + 2 ) + bA(t + 1) + cAt = d d A= a(t + 2) + b(t + 1) + ct d A= at + 2a + bt + b + ct d A= (a + b + c )t + 2a + b d A= 2a + b Por tanto yt =P
ay tP2 + by tP1 + cy tP = d + +
d t si 2a + b
2a + b 0 y a + b + c = 0
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Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden
Para el caso de que tenemos:
2a + b = 0 y a + b + c = 0 . Es decir, como b = 2aa+b+c=0 a 2a + c = 0 c=a
ytP 2 = A(t + 2 ) +
La solucin particular ser de la forma yt = AtP
2
entonces yt +1 = A(t + 1) yP 2
2
Reemplazando y simplificando tenemos:
ay P + by P + cy P = dt+2 t +1 t
aA(t + 2 ) + bA(t + 1) + cAt 2 = d2 2
d 2 a(t + 2 ) + b(t + 1) + ct 2 d A= 2 a (t + 4t + 4 ) + b(t 2 + 2t + 1) + ct 2 d A= 2 (a + b + c )t + 2(2a + b )t + 4a + b A=2
En la ltima expresin reemplazando a + b + c = 0 y b = 2a resulta
A=Por tanto yt =P
d 2aa + b + c = 0 y b = 2 a
d 2 t cuando 2a
EN RESUMEN
La solucin de la ecuacin ay P + by P + cy P = d ,t+2 t +1 t
a, b, c IR a 0
es:d 2 t 2a
1. Si a + b + c = 0 y b = 2a entonces yt = ytC + 2.Sia+b+c=0 d yt = ytC + t 2a + b
y
b 2 a
entonces
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Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden
3.Si a + b + c 0 entonces yt = ytC +Ejemplo 1Hallar y t para y t + 2 + y t +1 2 y t = 12 ; y 0 = 4 , y1 = 5 SOLUCIN: La solucin general es de la forma y t = y tC + y tP
d a+b+c
Primero: La solucin complementaria satisface la ecuacin homogneay tC 2 + y tC 1 2 y tC = 0 + +
Su ecuacin auxiliar es r 2 + r 2 = 0 Factorizando tenemos (r + 2 )(r 1) = 0 entonces r1 = 2 y r2 = 1 Por tanto y tC = k1 ( 2 )t + k 2 (1)t = k1 ( 2)t + k 2 Segundo: Ahora hallamos la solucin particular Aqu a = 1 , b = 1 , c = 2 y d = 12 Como a + b + c = 0 y b 2a entonces
y tP =
d 12 12 t= t = t = 4t 2a + b 2(1) + 1 3
Por lo tanto : y t = k1 ( 2)t + k 2 + 4t Ahora con las condiciones y 0 = 4 , y1 = 5 hallamos los valores los valores de k1 y k 2 .y 0 = 4 = k1 ( 2)0 + k 2 + 4(0 ) 4 = k1 + k 2 y1 = 5 = k1 ( 2)1 + k 2 + 4(1) 5 = 2k1 + k 2 + 4 1 = 2k1 + k 2
y
k1 + k 2 = 4 Resolviendo el sistema resulta k1 = 1 y k 2 = 3 2k1 + k 2 = 1
Finalmente y t = ( 2)t + 3 + 4t Note que no es dinmicamente estable debido a quet
lim y t = y = ( 2) + 3 + 4( ) =
Ejemplo 2Hallar y t para y t + 2 + 6 y t +1 + 9 y t = 4 . SOLUCIN: Primero: La solucin complementaria satisface la ecuacin homogneay tC 2 + 6 y tC 1 + 9 y tC = 0 + +
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Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden
Su ecuacin auxiliar es r 2 + 6r + 9 = 0 Factorizando tenemos (r + 3)(r + 3) = 0 entonces r1 = r2 = 3 Por tanto y tC = k1 ( 3)t + k 2 t ( 3)t Segundo: Ahora hallamos la solucin particular Aqu a = 1 , b = 6 , c = 9 y d = 4 Como a + b + c 0 entonces
y tP =
d 4 4 1 = = = a + b + c 1 + 6 + 9 16 4
Finalmente: y t = k1 ( 3)t + k 2 t ( 3)t + 1 4 Note que no es dinmicamente estable
Ejemplo 3Hallar y t para y t + 2 4 y t +1 + 16 y t = 2 . SOLUCIN: Primero: La solucin complementaria satisface la ecuacin homognea
y tC 2 4 y tC 1 + 16 y tC = 0 + +Su ecuacin auxiliar es r 2 4r + 16 = 0r1 , r2 = ( 4 ) 16 4(1)(16 ) 2 4 16[1 4]
Empleando la formula general
2 44 3 = 2 r1 , r2 = 2 2 3 i y = arct
=
En este casoytC = Rt [k1 cos t + k2 sen t ] donde R = 2 + 2
Como = 2 y = 2 3 entoncesR=
(2)2 + (2
3
)2 =
4 + 12 = 4
2 3 = arct 2 = arctg 3 = 3
Por tanto y tC = 4 t k1 cos t + k 2 sen t 3 3 Aqu a = 1 , b = 4 , c = 16 y d = 2 Como a + b + c 0 entonces
[
]
Segundo: Ahora hallamos la solucin particular
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Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden
y tP =
d 2 2 = = a + b + c 1 4 + 16 13
2 Finalmente: y t = 4 t k1 cos t + k 2 sen t + 13 Note que no es dinmicamente estable 3 3
[
]
Ejemplo 4Hallar y t para y t + 2 + 5 y t +1 + 6 y t = 7 t SOLUCIN: Primero: La solucin complementaria satisface la ecuacin homogneay tC 2 + 5 y tC 1 + 6 y tC = 0 + +
Su ecuacin auxiliar es r 2 + 5r + 6 = 0 Factorizando tenemos (r + 3)(r + 2) = 0 entonces r1 = 3 y r2 = 2 Por tanto y tC = k1 ( 3)t + k 2 ( 2)t Segundo: Ahora hallamos la solucin particular Como g t = 7 t entonces y tP = A(7 )t . Ahora debemos encontrar el valor de A , para lo cual y tP 1 = A(7 )t +1 y y tP 2 = A(7 )t + 2 . + + Reemplazando tenemos:y tP 2 + 5 y tP 1 + 6 y tP = 7 t + + A(7 )t + 2 + 5 A(7 )t +1 + 6 A(7 )t = 7 t A= A=
7 t + 2 + 5 7 t +1 + 6 7 t
( ) ( ) ( ) )
7t
7 t 7 2 + 5 71 + 6 1 1 A= = 49 + 35 + 6 90
(
7t
Entonces y tP =
1 90
(7 )t
1 Finalmente y t = k1 ( 3)t + k 2 ( 2 )t + 90 7 t
( )
Note que no es dinmicamente estable
Ejercicios propuestos 4.1Encuentre yt para: 1. 2. 3. 4. 5.y t + 2 + 3 y t +1 7 y t = 9 ; 4 y t + 2 2 y t +1 + 2 y t = 1 ; y 0 = 6, y 0 = 3, y1 = 3 y1 = 4
y t + 2 yt +1 +
1 4
yt = 2 ;
y 0 = 4,
y1 = 7
y t + 2 4 y t +1 + 16 y t = 1 ; y 0 = 3 , y1 = 4
2 y t + 2 10 y t +1 + 12 y t = 5
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Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Ordeny t + 2 + 2 y t +1 + y t = 3t y t + 2 5 y t +1 6 y t = 2(6 t )
6. 7.
8. 3 y t + 2 + 9 y t = 3(4 t ) 9. y t + 2 2 y t +1 + 5 y t = t 10. y t + 2 2 y t +1 + 5 y t = 4 + 2t 11. y t + 2 + 5 y t +1 + 2 y t = 18 + 6t + 8t 2 12. y t 5 y t 1 + 6 y t 2 = 3 t 13. y t + 2 + y t +1 + y t = 3t 2 14. y t + 2 5 y t +1 + 6 y t = 4 t + t 2 + 3 15. y t + 2 3 y t +1 + 2 y t = 3(5 t ) + sen t 2
4.4
ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
Para encontrar las soluciones de ecuaciones en diferencias lineales de orden mayor a dos, se emplea la misma tcnica que se emplea para ecuaciones en diferencia de primer orden y segundo orden. EjemploHallar y t para 32 y t +3 28 y t + 2 + 4 y t +1 + y t = 288 SOLUCIN: La solucin general es de la forma y t = y tC + y tP Primero: La solucin complementaria satisface la ecuacin homognea32 y tC 3 28 y tC 2 + 4 y tC 1 + y tC = 0 + + +
Su ecuacin auxiliar es 32r 3 28r 2 + 4r + 1 = 0 Factorizando tenemos (2r 1)(2r 1)(8r + 1) = 0 (Revise la divisin sinttica para factorizar) entonces r1 =1 2
, r2 =
1 2
y r3 = 1 8
Por tanto y tC = k1
(1 )t + k 2 t (1 )t + k 3 ( 1 )t 2 2 8
Segundo: Ahora hallamos la solucin particular Como g t = 288 entonces y tP = A . Ahora debemos encontrar el valor de A , para lo cual y tP = A , y tP = A y y tP = A +1 +2 +3 Reemplazando tenemos:
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Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden32 y tP 3 28 y tP 2 + 4 y tP 1 + y tP = 288 + + + 32 A 28 A + 4 A + A = 288
A=
288 288 = = 32 32 28 + 4 + 1 9
Por tanto y tP = 32 . Finalmente y t = k1
(1 )t + k 2 t (1 )t + k 3 ( 1 )t + 32 2 2 8 (1 ) + k 2 t (1 ) + k 3 ( 1 ) + 32 2 2 8
Note que es Dinmicamente estable. Debido a quey = k1
Converge a y = 32
Ejercicios propuestos 4.2Encuentre yt para: 1.
y t +3
1 2
y t + 2 yt +1 +
2. y t +3 2 y t + 2 +
1 y 2 t 5 y 1y 4 t +1 4 t
=0=1
Observe que las trayectorias son convergente si r < 1 . Determinar yt puede resultar un trabajo engorroso. Para evitar este trabajo disponemos de un anlisis cualitativo que permite determinar si las races son menores que 1 o no, sin necesidad de hallar yt .
4.5 ANLISIS CUALITATIVO PARA LA ESTABILIDAD DINMICA.TEOREMA DE SCHUR
Las races de la ecuacin polinmica de grado "n"a0 r n + a1r n1 +
+ an1r + an = 0
sern todas menores que 1 si y slo si los " n " determinantes siguientes son todos positivos:
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Cap. 4 Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden
a0 a11 = a0 an an a0
0 a0
0 0 a0 0 0 an
an 0 0 a0 0 0
an 1 an 0 a1 a0 0
a1 a2 an an 1 an 2 a0
;
a0 0 a1 a0 2 = an 0 an 1 an
an 0 a0 0
an 1 an a1 a0
; ...;
n =
an 1 an 2 0 an an 1 an a1 a2
EjemploDetermine cualitativamente si y t es dinmicamente estable para:32 y t + 3 28 y t + 2 + 4 y t +1 + y t = 0
SOLUCIN: Aplicando el teorema de Schur. Aqu a0 = 32 , a1 = 28 , a2 = 4 y a 3 = 11 = a0 a3 a 3 32 1 = = (32 )2 1 > 0 a0 1 32 0 a0 0 a3 0 a0 a1 0 a3 a2 a3 0 a0 0 0 0 a0 0 0 a3 a2 32 0 1 4 a3 28 32 0 1 = >0 a1 1 0 32 28 a0 4 1 0 32 a3 0 0 a0 0 0 a2 a3 0 a1 a0 0 a1 32 0 0 1 4 28 a2 28 32 0 0 1 4 a3 4 28 32 0 0 1 = >0 a2 1 0 0 32 28 4 a1 4 1 0 0 32 28 a0 28 4 1 0 0 32
a0 a 2 = 1 a3 a2 a0 a1 a 3 = 2 a3 a2 a1
Como todos los determinantes son positivos entonces todas las raices son menores que 1 y por tanto y t es una trayectoria dinmicamente estable.
Ejercicio propuesto 4.3Determine cualitativamente si y t es dinmicamente estable para: 1. 2.yt +2 + yt +2 1 2 1 2
y t +1 yt = 1
1 2
yt = 3
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Miscelneos1. Encuentre la solucin yt de las siguientes ecuaciones en diferencia: a) 4 y t 4 y t 1 + y t 2 8 = 0; y 0 = 4, y1 = 7 b) y t + 2 2 yt +1 + 5 yt = 3 2t ; y0 = 4, y1 = 7 c) yt + 2 2 yt +1 + 2 yt = et ; y0 = 3, y1 = 4 d) 2 y t + 2 5 y t +1 = t + 1 e) 2 y t + 2 4 y t +1 + 4 y t = 2 f) yt + 2 + 3 yt +1 + 2 yt = 4e t 2. Sea: 4 y t + 2 + 6 y t +1 + 9 y t = 2t + 5 t a) Encuentre la solucin complementaria y determine si es convergente o divergente. b) Encuentre la solucin General. 3. Sean la demanda y la oferta: a) b)
; y 0 = 3;
y1 = 4
Qdt = 9 Pt + Pt +1 + 3Pt + 2
Qst = 1 + 4 Pt Pt +1 + 5 Pt + 2 y Hallar la trayectoria del precio, suponiendo que: Pt +1 = Pt 0.4(Qst Qdt ) Determinar si es convergente.
4. El modelo de J. RHICKS usa la siguiente ecuacin en diferencias: y t + 2 (b + k ) y t +1 + ky t = a (1 + g )t donde a, b, g , k son constantes reales a) Hallar la solucin general, asumiendo el caso de que las races de la solucin complementaria sean reales y distintas. b) Dar condiciones para que la ecuacin caracterstica tenga races complejas.
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