2.1 Ecuaciones paramétricas

• Si f y g son funciones continuas definidas con un intervalo común I, entonces las ecuaciones paramétricas son aquellas que están definidas por x=f (t ) y y=f ( t ) en donde t recibe el nombre de parámetro.

• El conjunto C de las coordenadas (x , y) en base a t se denomina curva plana o curva paramétrica

Grafica de la curva C

x=t 2 , y=t3 ,−1≤ t ≤2

Intervalo [-1,2]

t -1 0 1 2

X 1 0 1 4

y -1 0 1 8

El punto inicial de la curva C es ¿ que es (1, -1)

El punto final de la curva C es ¿ que es (4, 8)

La dirección a la cual se dirigen las flechas se llama orientación de la curva C

Curva cerrada

Si tenemos ¿ = ¿

Entonces C es una curva cerrada

Si C es cerrada pero no se cruza a si misma entonces es una curva cerrada simple

Encuentre la parametrizaciòn de un círculo x2+ y2=a2

Siendo a > 0

t= ángulo

Ecuación de parametrización es

x=a cos t, y=a sin t, 0 ≤ t ≤2π

El punto inicial cuando t=0 es (a, 0)

El punto final cuando t=2π es (0, a)

La curva C definida por las ecuaciones es una curva cerrada

Eliminación del parámetro

Considere la curva C definida paramétricamente por:

x sent , y cos2 t ,0≤ t ≤π2

.

Elimine el parámetro y obtenga una ecuación rectangular para C.

Solución Al utilizar la fórmula del ángulo doble cos 2 t = cos2 t - sen2 t, es posible escribir:

y=cos2 t−se n2 t

¿ (1−se n2t )−se n2t

¿1−2 sen2 t←sustituir sent=x

¿1−2 x2

En este caso la curva C descrita por las ecuaciones paramétricas no consiste en la parábola completa, esto es: y=1−2x2 , −∞<x<∞. Esto significa que C es sólo aquella porción de la parábola para la cual las coordenadas de un punto P(x, y) satisfacen 0≤ x≤1 y−1≤ y ≤1. Una ecuación rectangular para C es y=1−2x2 con el dominio restringido 0≤ x≤1.

Parametrización de una cicloide

Suponga que un punto P(x, y), marcado sobre un círculo de radio a, está en el origen cuando su diámetro yace a lo largo del eje y. Conforme el círculo rueda a lo largo del eje x, el punto P traza una curva C que recibe el nombre de cicloide.

Encuentre una parametrización de la cicloide que se muestra:

Solución Un círculo de radio a cuyo diámetro inicialmente yace a lo largo del eje y rueda a lo largo del eje x sin deslizamiento. Tomamos como parámetro el ángulo ∅ (en radianes), a través del cual ha rotado el círculo. El punto P(x, y) empieza en el origen, lo cual corresponde a ∅=¿0. Conforme rueda el círculo a lo largo de un ángulo∅ , su distancia desde el origen es el arco PE=OE=a∅ , vemos entonces que la coordenada x de P es:

x=OE−QE=a∅−a sen∅

Y la coordenada y de P es:

y=CE−CD=a−acos∅

En consecuencia sus ecuaciones paramétricas para la cicloide son:

x=a∅−asen∅ , y=a−acos∅

2.2 Cálculo y ecuaciones paramétricas

Introducción Al igual que con las gráficas de funciones y = f (x), podemos obtener información útil acerca de una curva C definida paramétricamente al examinar la derivada dy/dx.

Pendiente Sean x = f (t) y y= g (t) las ecuaciones paramétricas de una curva suave C. La pendiente de la recta tangente en un punto P(x, y) sobre C está dada por dy/dx. Para calcular esta derivada, se usa la definición de la derivada:

dydx

= lim∆ x→0

∆ y∆ x

Teorema 2.2.1 Pendiente de una recta tangente

Si x= f (t), y= g (t) define una curva suave C, entonces la pendiente de una recta tangente en un punto P(x,y) sobre C es:

dydx

=

dydtdxdt

=g' (t )f ' (t )

siempre que f ' (t )≠0

Ejemplo 1. Recta tangente.

Encuentre una ecuación de una recta tangente a la curva x = t2 - 4t - 2, y = t5 - 4t3 - 1 en el punto correspondiente a t = 1.

Solución Primero determinamos la pendiente dy/dx de la recta tangente. Puesto que

dxdt

=2t−4 y dydt

=5 t 4−12t 2

Se deduce de (1) que dydx

=3 t2−32t

De tal modo, es t=1 tenemos

Al sustituir t = 1 de nuevo en las ecuaciones paramétricas originales, encontramos que el puntode tangencia es (-5, -4). En consecuencia, una ecuación de la recta tangente en ese punto es

y− (−4 )=72

(x− (−5 ) )o y=72x+ 27

2

Ejemplo 2. Gráfica de una curva paramétrica.

Grafique la curva que tiene ecuaciones paramétricas x = t2 — 4, y = t3 — 3t.

Solución: Intersecciones con el eje x: y = 0 implica t(t2 — 3) = 0 en t = 0, t = - √3 yt = √3 .

Intersecciones con el eje y: x = 0 implica que t2 — 4 = 0 en t = -2 y t = 2.

Tangentes horizontales: dydy

=3 t2−3 ; dydt

=0 implica que 3 (t 2−1 )=0 en t= -1 y t=1

Tangentes verticales: dxdy

=2 t ; dxdt

=0 implica 2t= 0 y t= 0.

Los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a estos valores del parámetro se resumen en la tabla siguiente:

T -2 -√3 -1 0 1 √3 2

X 0 -1 -3 -4 -3 -1 0

Y -2 0 2 0 -2 0 2

Ejemplo 3. Dos rectas Tangentes en un punto.

Se observó que para t=−√3 y t=√3 obtenemos un solo punto (-1,). Esto quiere decir que la curva se intersecta a sí misma en (-1,0). En este caso, de x=t 2−4 , y=t 3−3 tobtenemos:

dydx

=3 t2−32t

Y

Por consiguiente, concluimos que hay dos rectas tangentes en (-1,0):

y=−√3 ( x+1 ) yY=√3 ( x+1 ) .

Teorema 2.2.2 Longitud de Arco.

Si x=f ( t ) yY=g ( t ) , a≤ t ≤b ,defineaunacurva suaveCqueno seinterseca a simisma en

a< t<b , entonces lalongitud Lde Ces

L=∫a

b

√ [ f ' ( t ) ]2+ [g ' ( t ) ]2dt=∫a

b

√( dxdt )2

+( dydt )2

dt

Ejemplo 5. Longitud de una curva.

Determine la longitud de la curva dada por x=4 , y=t 2 ,0≤ t ≤2.

Solución. Puesto que f’(t) = 4 y g’(t) = 2t, produce

L=∫0

2

√16+4 t 2dt=2∫0

2

√4+t2dt

Con la sustitución trigonométrica t=2 tanθ, la última integral se vuelve

8∫0

π4

sec3θdθ.

La integración por partes conduce aL=[4 secθta nθ+4 ln|sec θ+ tanθ|]0π4=¿¿

4 √2+4 ln (√2+1)≈9.1823