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7/16/2019 Ecuaciones_Diferenciales_Ordinarias
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Prriscila Vizuete
October 2015
1 Ejercicios del 10 al 20
1. La razoon de cambio en la temperatura T del cafe en el instante t, esproporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el instantet y la temperatura del cafee en el instante t.dN dt
= k(T −M )
2. Alison y Kevin participan en una carrera de ”piques”.Parten de reposo yluego aceleran a una razon constante. Kevin cubre la ultima cuarta partedel recorrido en 3 segundos, mientras que Alison cubre la ultima terceraparte de la distnacia en 4 segundos¿Quien gana la carrera y por cuantotiempo?
d2xdt2
= a
INTEGRANDO
dxdt
= at + C
La velocidad instantanea v, de un objeto viene dado por la derivada dela distancia x, con respecto a tiepo t. al inicio de la carrera el tiempo esigual a cero y ambos corredores tienen una velocidad de cero.‘pr lo tantoC=0 integrando de nuevo queda
x = dydx
1
2= at2
+ C......C = 0
tk − t 34
= 3 =
2Lak−
2(3L4 )
ak
ak = (√ 2−√
3
2)2
9 L
1
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tk = 2L
(√ 2−
√ 3
2)2 L
2 )
tk = 22, 39seg.
Alison cubre el ultimo tercioc de la distancia, L en 4 seg.
tA − t 23
= 4 =
2LaA
−
2(2L3 )
aA
ak = (√ 2−√
4
3)2
16 L
tA =
2L
(√ 2−√
4
3)2 L
16)
tA = 21, 80seg.
El tiempo de Alison esmenor que el de Kevin, gana Alison la carrerra poraproximadamente 0,594 segundos
3. Muestre que φ = x|x| es una solucion explicita de dydx
= |y| en (-∞,∞).
φ(x) = x|x|
y‘ = 2x
reemplazando
t = x2;x =√ y
y = 2√ y
2√ y = 2
√ y
4. Muestre que φ = ex − x es una solucion explicita en (-∞,∞).
φ(x) = ex
−x
y‘ = ex − 1
reemplazando y‘ = ex − 1 en dydx
+ y=e2x + (1 − 2x)ex + x2 + 1
2
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dydx
+ y=e2x + (1 − 2x)ex + x2 + 1
ex − 1 + (ex − x)2 + y=e2x + (1 − 2x)ex + x2 + 1
ex − 1 + e2x− 2xex + x2 + y=e2x + (1 − 2x)ex + x2 + 1
0 = 0
5. Muestre que xy3 − xy3senx = 1 es una solucion implicita en ecuaciondydx
= (xcosx+senx−1)y3x(1−senx)
xy3
−xy3senx = 1
y = (13√ x−xsenx
y‘ = (−1+senx+xcosx3√
3x(1−senx)4
reemplazando en dydx
= (xcosx+senx−1)y3x(1−senx)
(−1+senx+xcosx)3√
3x(1−senx)4= (xcosx+senx−1)y
3x(1−senx)
(−1+senx+xcosx)3√
3x(1−senx)4= (xcosx+senx−1)
3√
3x(1−senx)4
0 = 0
En los ejercicios 15 a 18, determine si la funcion o relacion es una solucionexplicita o implicita de la ecuacion dada.
6. y = senx + x2 ; d2ydx2
= x2 + 2
y = cosx + 2x
y” = −senx + 2
reemplazo en d2ydx2
= x2 + 2
d2
ydx2 = x2 + 2
−senx + 2 + senx + x2 = x2 + 20 = 0es solucion
3
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7. exy + y = x − 1 ; dydx
= e−xy−y(e−xy+y)
exy(x dydx) + y) + dy
dx − 1 = 0
reemplazo en exy(x dydx
) + y + dydx − 1 = 0
exy( e−xy−y
(e−xy+y) + y)+ e−xy−y
(e−xy+y) − 1 = 0
8. y − lny = x2 + 1 ; dydx
= 2xyy−1
y − lny = x2 + 1
dy
dx − dy
dxy − 2x = 0
2xyy−1 − 2xy
y(y−1) − 2x = 0
2xyy−1 − 2x
(y−1) − 2x = 0
2xy−2x−2x(y−1)y−1 - 2x
(y−1) − 2x= 0
0 = 0 es solucion
9. x = 2e3t − e2t ; d2xdt2 − 4dx
dt + 3x= e2t
x‘ = 6e3t
−2e2t
x” = 18e3t − 4e2t
reemplazo
18e3t − 4e2t − 4(6e3t − 2e2t) + 3(2e3t − e2t) =e2t
18e3t − 4e2t − 24e3t + 8e2t + 6e3t − 3e2t =e2t
0 = 0 es solucion
10. Verifique que x2 + cy2 = 1, donde c es una constante no nula, familiauniparametrica de soluciones implicitas de dy
dx= xy
x2−1 y grafique variascurvas solucion usando los mismos ejes.
x2
+ cy2
= 1
y =√ 1−x2√ c
y‘ = −x√ c√ 1−x2
reemplazo
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x√ c√ 1−x2
= x
√ 1−x2√ c
x2−1
x√ c√ 1−x2
= x√ 1−x2√
c√ 1−x2
1√ 1−x2
=√ 1−x21−x2
1√ 1−x2
= 1√ 1−x2
es solucion
11. Si c ¿ 0 demuestre que la funcion φ = (c2 − x2)−1 es una solucion del
problema de valor inicial dy
dx= 2xy2
, y(0) = 1
c2 en (-c, c). Analice estasolucion cuando x tiende a +-c.
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