Ecuaciones_Diferenciales_Ordinarias

7/16/2019 Ecuaciones_Diferenciales_Ordinarias

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Prriscila Vizuete

October 2015

1 Ejercicios del 10 al 20

1. La razoon de cambio en la temperatura T del cafe en el instante t, esproporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el instantet y la temperatura del cafee en el instante t.dN dt

= k(T −M )

2. Alison y Kevin participan en una carrera de ”piques”.Parten de reposo yluego aceleran a una razon constante. Kevin cubre la ultima cuarta partedel recorrido en 3 segundos, mientras que Alison cubre la ultima terceraparte de la distnacia en 4 segundos¿Quien gana la carrera y por cuantotiempo?

d2xdt2

= a

INTEGRANDO

dxdt

= at + C

La velocidad instantanea v, de un objeto viene dado por la derivada dela distancia x, con respecto a tiepo t. al inicio de la carrera el tiempo esigual a cero y ambos corredores tienen una velocidad de cero.‘pr lo tantoC=0 integrando de nuevo queda

x = dydx

1

2= at2

+ C......C = 0

tk − t 34

= 3 =

2Lak−

2(3L4 )

ak

ak = (√ 2−√

3

2)2

9 L

1



tk = 2L

(√ 2−

√ 3

2)2 L

2 )

tk = 22, 39seg.

Alison cubre el ultimo tercioc de la distancia, L en 4 seg.

tA − t 23

= 4 =

2LaA

−

2(2L3 )

aA

ak = (√ 2−√

4

3)2

16 L

tA =

2L

(√ 2−√

4

3)2 L

16)

tA = 21, 80seg.

El tiempo de Alison esmenor que el de Kevin, gana Alison la carrerra poraproximadamente 0,594 segundos

3. Muestre que φ = x|x| es una solucion explicita de dydx

= |y| en (-∞,∞).

φ(x) = x|x|

y‘ = 2x

reemplazando

t = x2;x =√ y

y = 2√ y

2√ y = 2

√ y

4. Muestre que φ = ex − x es una solucion explicita en (-∞,∞).

φ(x) = ex

−x

y‘ = ex − 1

reemplazando y‘ = ex − 1 en dydx

+ y=e2x + (1 − 2x)ex + x2 + 1

2



dydx

+ y=e2x + (1 − 2x)ex + x2 + 1

ex − 1 + (ex − x)2 + y=e2x + (1 − 2x)ex + x2 + 1

ex − 1 + e2x− 2xex + x2 + y=e2x + (1 − 2x)ex + x2 + 1

0 = 0

5. Muestre que xy3 − xy3senx = 1 es una solucion implicita en ecuaciondydx

= (xcosx+senx−1)y3x(1−senx)

xy3

−xy3senx = 1

y = (13√ x−xsenx

y‘ = (−1+senx+xcosx3√

3x(1−senx)4

reemplazando en dydx

= (xcosx+senx−1)y3x(1−senx)

(−1+senx+xcosx)3√

3x(1−senx)4= (xcosx+senx−1)y

3x(1−senx)

(−1+senx+xcosx)3√

3x(1−senx)4= (xcosx+senx−1)

3√

3x(1−senx)4

0 = 0

En los ejercicios 15 a 18, determine si la funcion o relacion es una solucionexplicita o implicita de la ecuacion dada.

6. y = senx + x2 ; d2ydx2

= x2 + 2

y = cosx + 2x

y” = −senx + 2

reemplazo en d2ydx2

= x2 + 2

d2

ydx2 = x2 + 2

−senx + 2 + senx + x2 = x2 + 20 = 0es solucion

3



7. exy + y = x − 1 ; dydx

= e−xy−y(e−xy+y)

exy(x dydx) + y) + dy

dx − 1 = 0

reemplazo en exy(x dydx

) + y + dydx − 1 = 0

exy( e−xy−y

(e−xy+y) + y)+ e−xy−y

(e−xy+y) − 1 = 0

8. y − lny = x2 + 1 ; dydx

= 2xyy−1

y − lny = x2 + 1

dy

dx − dy

dxy − 2x = 0

2xyy−1 − 2xy

y(y−1) − 2x = 0

2xyy−1 − 2x

(y−1) − 2x = 0

2xy−2x−2x(y−1)y−1 - 2x

(y−1) − 2x= 0

0 = 0 es solucion

9. x = 2e3t − e2t ; d2xdt2 − 4dx

dt + 3x= e2t

x‘ = 6e3t

−2e2t

x” = 18e3t − 4e2t

reemplazo

18e3t − 4e2t − 4(6e3t − 2e2t) + 3(2e3t − e2t) =e2t

18e3t − 4e2t − 24e3t + 8e2t + 6e3t − 3e2t =e2t

0 = 0 es solucion

10. Verifique que x2 + cy2 = 1, donde c es una constante no nula, familiauniparametrica de soluciones implicitas de dy

dx= xy

x2−1 y grafique variascurvas solucion usando los mismos ejes.

x2

+ cy2

= 1

y =√ 1−x2√ c

y‘ = −x√ c√ 1−x2

reemplazo

4



x√ c√ 1−x2

= x

√ 1−x2√ c

x2−1

x√ c√ 1−x2

= x√ 1−x2√

c√ 1−x2

1√ 1−x2

=√ 1−x21−x2

1√ 1−x2

= 1√ 1−x2

es solucion

11. Si c ¿ 0 demuestre que la funcion φ = (c2 − x2)−1 es una solucion del

problema de valor inicial dy

dx= 2xy2

, y(0) = 1

c2 en (-c, c). Analice estasolucion cuando x tiende a +-c.

5

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