Upload
costel-moruz
View
1.486
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
-1
Definitia ecuatiilor BINOME :- Forma ecuatiilor binome este :
xa=0n
, a C , n 1 .
Rezolvarea ecuatiilor BINOME :- Rezolvarea acestor ecuatii este facuta in manualul de Geometrie ; - Se procedeaza astfel : - se scrie numarul
a
sub forma trigonometrica :a = r ( cos + i sin
)
- solutiile ecuatiei binome sunt date de formulele : + 2k + 2k x = n r cos + i sin , unde 0 k n 1 . n n
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
-2
Definitia ecuatiilor BIPATRATE :
- Ecuatiile in cazul carora printr-o substitutie avantajoasa , intr-o noua necunoscuta , ecuatia se transforma intr-o ecuatie de gradul al doilea ale carei radacini le determinam prin formulele bine cunoscute se numeste ecuatie bipatrata .
Forma generala a ecuatiilor BIPATRATE :- Forma generala a ecuatiilor bipatrate este :
a x+bx+c=04 2
, unde a, b, c C si a 0 .
Rezolvarea ecuatiilor BIPATRATE :- Pt aflarea solutiilor ecuatiei bipatrate se face urmatoarea substitutie avantajoasa :2 x =y
- si obtinem ecuatia de gradul doi : rezolvanta ecuatiei initiale si radacinile ei sunt :
a y +b y +c =0
2
care se numeste
y1 =
b
b 4ac 2a22 x = y1
si
y2 =
b +
b 4ac 2a2
- Din egalitatea
2 x =y
obtinem ecuatiile : si2 x = y2
cu radacinile :
x1 = x3 =
b b +
b 4ac 2a2
,
b b 4ac x2 = 2a2
,
b 4ac 2a2
si
b + b 4ac x4 = 2a2
.
- Radacinile ecuatiei date sunt numerele : formula :
x1 , x2 , x3 , x4
care pot fi cuprinse in
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
-3
b b 4ac x= 2a2
numita formula de rezolvare a ecuatiei bipatrate .
Exercitiul nr. 1 :Sa se rezolve ecuatiile bipatrate : a).4
4 2 x 10x + 9 = 0
;
b).
4 2 x 17x + 16 = 0
;
c).
x 1+ 2 x +d).4 2 x 4x + 1 = 0
(
)
2
2 =0; e).4 2 x 6x + 6 = 0
;
f).
4 2 6x 5x + 1 = 0
; ; h).4 x 1 = 0
g).
4 2 32 x 12 x + 1 = 0
.
Exercitiul nr. 2 :Sa se rezolve ecuatiile : a).4 2 x x 6 =0
; b).
x ( 3+ 5i ) x 4 + 3i = 04 2
;
c).
2 4 x ( 3 i ) x 3i = 0
.
Exercitiul nr. 3 :Sa se rezolve ecuatiile :2 12 x + = 40 x2 2 x + 3 = 4 2x
2
a).
;
b).
3 2 2 2x + 7x 5 = x + x
;
c).
;
d).
2 6 x =5 x
2
.
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
-4
Exercitiul nr. 4 :Sa se determine ecuatia de gradul patru , avand radacinile : a).
x1 = 4 , x2 = 4 , x3 = 3 , x4 = 3
;
b).
1 1 1 1 ; x1 = , x 2 = , x3 = , x 4 = 2 2 6 6c).
x1 = 3i , x2 = 3i , x3 = 2i , x4 = 2i.
;
d).
x1 = 2 , x2 = 2 , x3 = 5 , x4 = 5Exercitiul nr. 5 :
Sa se determine natura radacinilor ecuatiilor : a). c).42 x 2( m 2) x m = 0 4 2
; d).
b).
4 2 4 x + mx + 9 = 0
;
4 2 mx + 4 x + 1 = 0
;2
m x 2 2 m2 + 3 x + 1 = 04
(
)
; f).
e).2
4 2 2 3x 5mx 2m = 0
; .
x ( 2x + 5 ) m ( x + 3 ) = 32 2
Exercitiul nr. 6 :Sa se rezolve ecuatiile : a). c).6 3 x + 15x 16 = 06 3 x 7x + 6 = 0
; d).
b).
8 4 x + 2x 3 = 0
; .
;
8 2 x + 12x 13 = 0
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
-5
Definitia ecuatiilor Reciproce :- O ecuatie de forma :
a n x + a n 1 xn
n 1
+ ...... + a 2 x + a1 x + a0 = 02
, a0 ,
avand proprietatea
a n i = a i
, oricare ar fi i ( 0 i n ) ,
se numeste ecuatie reciproca de gradul n ( altfel spus , o ecuatie este reciproca daca coeficientii termenilor egal departati de extremi sunt egali ) .
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
-6
Forma generala a ecuatiilor Reciproce de grad III :- Daca n = 3 forma generala a ecuatiilor reciproce de grad III este :
a x+b x +b x+a=03 2
,
a0
.
Forma generala a ecuatiilor Reciproce de grad IV :- Daca n = 4 forma generala a ecuatiilor reciproce de grad IV este :
a x +b x+c x +b x+a=04 3 2
,
a0
.
Forma generala a ecuatiilor Reciproce de grad V :- Daca n = 5 forma generala a ecuatiilor reciproce de grad V este :
a x+b x +c x+c x +b x+a=05 4 3 2
,
a0
.
Proprietatea 1
:
-- Daca ecuatia reciproca are radacina
, atunci ea are si radacina
1
.
Proprietatea 2
:
-- Orice ecuatie reciproca de grad impar are radacina x = 1 .
Proprietatea 3
:
-- Orice ecuatie reciproca de grad impar se reduce la rezolvarea ecuatiei x + 1 si a unei ecuatii de grad par .
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
-7
Am vazut ca forma generala a ecuatiei reciproce de gradul III este :
a x+b x +b x+a=03 2
,
a0
Rezolvarea ecuatiei Reciproce de grad III :- aceasta ecuatie are radacina x = 1 conform proprietatii ecuatiilor reciproce de grad impar ; - atunci putem scrie :
( x + 1 ) [ ax + ( b a ) x + a ] = 02
- Ecuatia data admite radacinile :
x1 = 1.
si
x2
,
x3
date de ecuatia
ax + ( b a ) x + a = 02
Am vazut ca forma generala a ecuatiei reciproce de gradul IV este :
a x +b x+c x +b x+a=04 3 2
,
a0
.
Rezolvarea ecuatiei Reciproce de grad IV :- aceasta ecuatie are radacina x = 1 conform proprietatii ecuatiilor reciproce de grad impar - Cum a 0 , ecuatia de mai sus nu admite ca radacina pe x = 0 . - In ecuatia de mai sus impartim cu
x
2
si obtinem ecuatia :
b a 2 aX +bX +c+ + 2 = 0 X Xunde grupand termenii in mod convenabil avem :Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
-8
2 1 1 X + 2 + b X + a X X - Facem substitutia :
+c= 0 = y 22
y= x +- Obtinem ecuatia in y :2 a y + b y + c 2a = 0
1
x
si
x +
2
1
x
2
careia ii aflam radacinile:
y1
si
y2
x1, 2,3, 4
.
Exercitiul nr. 1 :Sa se rezolve ecuatiile reciproce de grad 3 : a).3 2 5 x + 31x + 31x + 5 = 0
;
b).
3 2 2 x + 3x + 3x + 2 = 0
; ; f). d).3 2 3x + 2 x + 2 x + 3 = 0
c). e).
3 2 x + 4x + 4x + 1 = 0
;
3 2 x + x + x +1 = 0
;
3 2 2 x + 5x + 5x + 2 = 0
.
Exercitiul nr. 2 :Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
-9
Sa se rezolve ecuatiile reciproce : a).3 2 2x + 7x + 7 x + 2 = 0
;
b).
2 3 2 x (1+i ) x (1+i ) x + 2 = 0
.
Exercitiul nr. 3 :Sa se rezolve ecuatiile reciproce de gradul 4 a).4 3 2 2x + 7 x + 9x + 7 x + 2 = 0
: b).
;
4 3 2 x + x 18x + x + 1 = 0
; ; d).4 3 2 x + 2x x + 2x + 1 = 0
c). ; e).
4 3 2 4 x x + 5x x + 4 = 0
4 3 2 x + 2x 6x + 2x + 1 = 0
;
f).
4 3 2 x + 3 x 2 x + 3x + 1 = 0
; .
g).
4 3 2 x + 3x 16x + 3x + 1 = 0
Exercitiul nr. 4 :Sa se rezolve ecuatiile reciproce de gradul 5 : a).5 4 3 2 20 x 81x + 62 x + 62 x 81x + 20 = 0
; b).
5 4 3 2 x + x + x + x + x +1 = 0
; .
c)
5 4 3 2 5x 4 x + 5x + 5x 4 x + 5 = 0
Exercitiul nr. 5 :Sa se rezolve ecuatiile : a).5 4 3 2 x 6 x + 3x + 3x 6 x + 1 = 0
;
b).
3 2 6x x x + 6 = 0
;Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
- 10
c).
4 3 2 x 3x + x 3x + 1 = 0
; ; ; .
d).
5 4 3 2 x 3x + x + x 3x + 1 = 0
e). g).
4 3 2 2x + x 2x + x + 2 = 0
f).
3 2 4 x 3x 3x + 4 = 0
;
5 4 3 2 3 x + x 3x 3 x + x + 3 = 0
Exercitiul nr. 6 :Sa se determine parametrul real a astfel incat ecuatiile de mai jos sa aiba toate radacinile reale : a).4 3 2 x + 3x + ax + 3x + 1 = 0
;
b).
4 3 2 x 3x + 2ax 3x + 1 = 0
; ; ; ; f). d).
c).
4 3 2 2 x + x + ax + x + 2 = 0
4 3 2 x + 3x 2ax + 3x + 1 = 0
e).
4 3 2 2 x + 3x + ax + 3x + 2 = 0
4 3 2 3x 5 x + ax 5 x + 3 = 0
.
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
- 11
Teorema :- Fie f un polinom nenul cu coeficienti reali . - Daca = a + ib , b 0 , este o radacina complexa a lui f , atunci : 10 20 = a ib
este de asemenea o radacina a lui f ;
si
au acelasi ordin de multiplicitate .
Consecinta :
- Orice polinom cu coeficienti reali are un numar par de radacini complexe (care nu sunt numere reale) .
Consecinta :- Orice polinom cu coeficienti reali de grad impar are cel putin o radacina reala .
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
- 12
Exercitiul nr. 1 :Sa se afle radacinile polinomului f daca admite radacina indicata : a). b).
f = x 4 7 x3 + 19x 2 23x + 10f = x 4 2 x3 x + 2Exercitiul nr. 2 :Sa se arate ca daca a b , polinomul :
x1 = 2 + i1 + i 3 2
;
x1 =
.
.
f = ax3 + x2 + bx + 1
nu are radacinile i
Exercitiul nr. 3 :Sa se determine
a
si b si apoi sa se rezolve ecuatia : , a,b R
4 3 2 ax 7 x + 21x + ax + b = 0
stiind ca 1 + 2i este radacina a ecuatiei .
Exercitiul nr. 4 :Fie ecuatia :
a 0 . Sa se arate ca aceasta ecuatie admite cel mult doua radacini reale .
x + ( 2a +1) x + 2( a +1) x + bx + c = 04 3 2
, a,b,c R cu
Exercitiul nr. 5 :Sa se determine radacinile polinomului : stiind ca admite radacina i .
f = x 6 + x5 + 3 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + x + 1Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
- 13
Exercitiul nr. 6 :Sa se rezolve ecuatia :
1+i .
4 3 2 x 3x + 5 x 4 x + 2 = 0
stiind ca admite radacina
Exercitiul nr. 7 :Sa se rezolve ecuatia :4 3 2 x 4x + 6x 4x + 5 = 0
stiind ca admite radacina
2 i .
Exercitiul nr. 8 :Fie ecuatia :4 3 x x x + 1 = 01 cu R si < . Sa se arate ca toate
radacinile sunt de modul 1 .
Exercitiul nr. 9 :Sa se determine4 3 2
m
si
n
si apoi sa se rezolve ecuatia : .
Stiind ca admite radacina 1 + i .
x x + m x + 2x + n = 0Exercitiul nr. 10 :Stiind ca polinomul
f = 3 x 4 5 x3 + 3 x 2 + 4 x 2
are radacina 1 + i sa se
gaseasca celelalte radacini si sa se descompuna polinomul f in produs de polinoame de gradul 1 si 2 cu coeficienti reali .
Exercitiul nr. 11 :Sa se determine polinoamele cu coeficienti reali de gradul cel mai mic care au ca radacini : a). radacina dubla 2 si radacina simpla 1 + i ; b). radacina dubla i si radacina dubla 2 i ; c). radacina tripla 1 i si radacinile simple 1 si 1 .
Exercitiul nr. 12 :Sa se determine a, b R si radacinile lui f stiind ca admite radacina indicata : a).
f = x4 + ax3 + 49x2 + bx + 78 f = x4 + ax3 + bx2 x + 1 , x1 = i
, .
x1 = 3 + 2i
;
b).
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
- 14
Exercitiul nr. 13 :Sa se determine parametrul m R si sa se rezolve ecuatiile stiind ca admit radacina scrisa in dreptul fiecareia : a).
x + x + 3x + 3x + mx + 1 , x1 = i 4 3 2 x 4 x + 6 x + m x + 5 = 0 , x1 = 2 + i .6 5 4 2
;
b).
Exercitiul nr. 14 :Sa se determine
m
si
n
si apoi sa se rezolve ecuatia : stiind ca admite radacina 1 i .
4 3 2 x x + m x + 2x + n = 0
b Q
Teorema :- Fie f un polinom nenul cu coeficienti rationali si ) o radacina a lui f . 10 20a b a+ b a+ b
( cu a, b Q , b > 0 si
- Atunci : este de asemenea o radacina a lui f ; sia b
au acelasi ordin de multiplicitate .
Exercitiul nr. 1 :Sa se rezolve ecuatia :1+ 2
5 4 3 2 2 x 5x 2 x + 6 x 1 = 0
stiind ca admite radacina :
.
Exercitiul nr. 2 :Sa se rezolve ecuatia : .4 3 2 x 2x x 2x 2 = 0
stiind ca admite radacina
1 3
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
- 15
Exercitiul nr. 3 :Sa se determine radacinile polinomului :
f = x5 3x4 19 x3 + 91x2 80x 50alta este 1 2 .
stiind ca din radacinile lui este 3 + i iar
Exercitiul nr. 4 :Sa se determine radacinile polinomului3+ 3
f = x 4 5 x3 + x 2 + 6
stiind ca admite radacina
.
Exercitiul nr. 5 :Sa se determine radacinile polinomului admite radacina2 .
f = x 5 + 3 x 4 + x3 5 x 2 6 x 2
stiind ca
Exercitiul nr. 6 :Sa se afle radacinile polinomului f a).
Q [X] stiind ca una dintre ele este cea indicata :; b).
f = x4 4 x3 4 x2 + 16x + 12 , x1 = 1 + 3 f = x4 2 x3 3x2 6 x 18 , x1 = 1 7Exercitiul nr. 7 :
Sa se afle a, b Q si radacinile polinomului f Q[ X ] stiind ca una dintre ele este cea indicata : a). b).
f = x4 2 x3 25x2 + ax + b , x1 = 4 2 2 f = x4 10x3 + ax2 34x + b x1 = 3 5Exercitiul nr. 8 :Sa se determine a, b, c Q si radacinile polinomului
; .
Q[ X ] stiind ca restul impartirii lui
f
la x 1 este egal cu 4 si ca polinomul f admite
f = x4 + 2 x3 + ax2 + bx + c
radacina
x1 = 1 + 2
.
Exercitiul nr. 9 :Sa se determine parametrii m, n Q si sa se rezolve ecuatia4 3 2 x 6 x + mx 12x + n = 0
stiind ca admite radacina 2 2
.Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
- 16
Teorema :- Fie
f = a0 + a1 X + ..... + a n X np
un polinom de gradul
n
( n 1 ) cu coeficienti
intregi . - Daca = q ( p , q numere prime intre ele ) este o radacina rationala a lui f atunci : 10
p divide termenul liber
a0
;
20 q divide coeficientul termenului de grad maxim
an
.
Consecinta :- Fie
f = a0 + a1 X + ..... + a n X n
un polinom de gradul
n
( n 1 ) cu
coeficienti intregi .
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
- 17
- Daca = p este o radacina intreaga a lui atunci p este un divizor al termenului liber
a0
.
Exercitiul nr. 1 :Sa se afle radacinile rationale ale urmatoarelor polinoame : a). ; c).5 4 3 2 x + 7 x + 18x + 22 x + 13x + 33 x + 3x 14 4 3 2 x x 12x + 6 x + 36
;
b).
;
d).
5 4 3 2 x + 6 x + 13x + 14 x + 12 x + 8
; ; f).
e).
5 4 3 2 x + 8 x + 5 x 50 x 36x + 72
4 3 2 6 x 43x + 107 x 108 x + 36
.
Exercitiul nr. 2 :Sa se determine radacinile rationale ale polinoamelor : a). b).4 2 4 x 7 x 5x 1
; .
4 3 2 x + 4 x 2 x 12x + 9
Exercitiul nr. 3 :Sa se rezolve ecuatiile : a)3 2 5 x + 10x 3x 6 = 0
; ;
b).
3 2 2 x 13x + 28x 20 = 0
Ecuatii de grad superior
Clasa a X-a Algebra Cap. VI : Ecuatii de grad superior
- 18
c).
4 3 2 10 x + 11x + 13x + 11x + 3 = 0
;
d).
4 3 2 9 x 3x + 7 x 3x 2 = 0
; ; f).
e).
4 3 2 x 7 x + 16x 15x + 9 = 0
4 3 2 6 x 5x + 4 x + 2 x 1 = 0
; ; h).
g).
4 3 2 x 2x 4x + 2x + 3 = 0
4 3 2 9x 9x 7 x + 9x 2 = 0
; ; j).
i).
4 3 2 2 x x 7 x + 3x + 3 = 0
4 3 2 9x + 6x 8x 6 x 1 = 0
; .
k).
4 3 2 10 x + 27 x + 48x + 81x + 54 = 0
Ecuatii de grad superior