Upload
vuliem
View
323
Download
18
Embed Size (px)
Citation preview
Ecuatii si sisteme diferentiale
Teodor Stihi
December 16, 2014
2
Cuprins
1 Notiuni introductive 5
2 Ecuatii diferentiale liniare (EDL) 7
2.1 EDL cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Cazul omogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Cazul neomogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 EDL cu coeficienti variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 EDL Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 EDL de ordinul al II-lea generala . . . . . . . . . . . . 22
2.3 EDL de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Cazul omogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Cazul neomogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Sisteme diferentiale liniare (SDL) 29
3.1 SDL cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Forma normala a unui SDL . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Solutia SDL omogen cu coeficienti constanti. . . . . . 32
3.1.3 Solutia SDL neomogen cu coeficienti constanti. . . . . 35
3.1.4 Metoda reducerii SDL la o EDL . . . . . . . . . . . . 36
4 Metoda transformatei Laplace 39
4.1 Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Transformata Laplace si proprietatile ei . . . . . . . . . 39
4.1.2 Rezolvarea problemei cu conditii initiale . . . . . . . . 43
4.1.3 Functia ”treapta unitate” a lui Heaviside . . . . . . . . 46
4.1.4 EDL cu membru drept-functie cu salt . . . . . . . . . . 50
4.1.5 Transformata Laplace pentru SDL . . . . . . . . . . . . 52
3
4 CUPRINS
5 ANEXA 555.1 Algoritm de calcul al matricei eAt . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Cap. 1
Notiuni introductive
5
6 CAP. 1. NOTIUNI INTRODUCTIVE
Cap. 2
Ecuatii diferentiale liniare(EDL)
Daca ın §1.4.2 ne-am ocupat de ecuatiile diferentiale liniare de ordinul I,acum vom trece la cele de ordin superior, dar avand coeficienti constanti saucare sunt reductibile la cele cu coeficienti constanti.
2.1 EDL cu coeficienti constanti
Vom studia pentru ınceput acest tip de ecuatii avand ordinul al II-lea. Eleau forma generala
y′′(t) + ay′(t) + by(t) = f(t), a, b ∈ R (2.1)
si apar ın probleme de dinamica punctului material, circuite electrice etc.Acestor edl li se pot adauga- conditii initiale, cum am ıntalnit ın capitolul I:1
y(t0) = y0, y′(t0) = y′0, (2.2)
- sau conditii la limita (problema bilocala) de tipul:
y(t0) = y0, y(t1) = y1 unde t0 < t1.
1Reamintim ca ın acest caz avem o problema cu conditii initiale: PCI.
7
8 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
2.1.1 Cazul omogen
Acesta este cazul ın care f(t) ≡ 0. Pentru a determina solutia generala a edlde ordinul al II-lea omogena
y′′(t) + ay′(t) + by(t) = 0, a, b ∈ R (2.3)
cautam solutii de forma exponentiala2 y(t) = eλt. Introducand-o ın ecuatiegasim, prin grupare de termeni si factorizare
(λ2 + aλ+ b)eλt = 0.
Intrucat eλt 6= 0 trebuie ca
P (λ) = λ2 + aλ+ b = 0. (2.4)
Aceasta ecuatie se numeste ecuatia caracteristica a edl de ordinul al II-lea(2.3) si, ın functie de semnul discriminantului sau δ = a2 − 4b, distingemurmatoarele 3 cazuri:
I. δ > 0 : λ1,2 = −a2±√δ2
, edl (2.3) avand solutiile particulare eλ1t, eλ2t
si solutia generala
y(t) = C1eλ1t + C2e
λ2t; (2.5)
II. δ = 0 : λ1 = λ2 = −a2, edl (2.3) avand solutiile particulare eλ1t, teλ1t
si solutia generala
y(t) = C1eλ1t + C2te
λ1t; (2.6)
III. δ < 0 : λ1,2 = −a2± i
√δ2
, edl (2.3) avand solutiile particularecomplexe eλ1t, eλ2t.
Comentarii. 1. Justificarea faptului ca daca y1(t) si y2(t) verifica (2.3),atunci orice combinatie liniara a lor C1y1(t) + C2y2(t) o verifica, se bazeazape liniaritatea si omogenitatea acestei e.d. si o lasam ca exercitiu.2. Pentru o abordare adecvata a acestei proprietati, sa consideram operatoruldiferential liniar de ordinul al II-lea cu coeficienti constanti
L[y(t)] = y′′(t) + ay(t) + by(t). (2.7)
2Reamintim ca si ın cazul edl de ordinul I omogena (1.10) solutia avea formaexponentiala, desi mai complicata, coeficientul functiei necunoscute y fiind o functie con-tinua oarecare.
2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 9
Notand cu D operatorul de derivare ın raport cu t : Dy = y′(t) si definindpolinomul operatorial de gradul al II-lea
P (D) = D2 + aD + b, (2.8)
operatorul L[y(t)] se poate exprima sub forma P (D)y, iar ecuatia (2.3) subforma
P (D)y = D2y + aDy + by = 0. (2.9)
Enuntam cateva
Proprietati ale polinoamelor operatoriale:3
i. P (D)(αy + βz) = αP (D)y + βP (D)z (liniaritatea).
ii. P (D)ekt = ektP (k)
iii. P (D)ektu = ektP (D + k)u
iv. P (D)Q(D)u = Q(D)P (D)u,
unde u = u(t), Q(D) = D2 + pD + q si a, p, q sunt scalari.Vom utiliza aceste proprietati pentru a determina solutii ale problemelor cuconditii initiale, ın fiecare din cele trei cazuri mentionate anterior.
Cazul I. Radacini reale si distincte: λ1 6= λ2. Solutia generala este ınacest caz: C1e
λ1t + C2eλ2t.
Justificare. Este combinatia liniara a doua solutii liniar independente ale
edl (2.3). Verificam: P (D)eλjtii= eλjtP (λj) = eλjt0 = 0 pentru j = 1, 2.
Liniar independenta: daca C1eλ1t + C2e
λ2t ≡ 0, derivam ın raport cu t:C1λ1e
λ1t+C2λ2teλ2 ≡ 0. Acest sistem liniar 2×2 ın necunoscutele C1, C2 are
determinantul (λ2− λ1)e(λ1+λ2)t 6= 0 (verificati!) deci o singura solutie:(0, 0).Exemplul 1. In circuitul RLC sunt cuplati ın serie4: o rezistenta de 3
Ohmi, o bobina cu inductanta de 1 Henri si un condensator de 0.5 Farazi.La momentul t = 0 condensatorul este ıncarcat cu sarcina de 2 Coulombi,iar curentul ın circuit este de I(0) = 4 Amperi. Sa se determine graficuldescarcarii sarcinii Q(t) ın acest circuit.
3Aceste proprietati sunt valabile pentru polinoame operatoriale de orice grad.4Vezi figura de mai jos.
10 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
R. Legea Kirchhoff a tensiunilor pentru acest circuit se exprima, ın cazul defata, sub forma
LQ′′(t) +RQ′(t) +1
CQ(t) = 0.
Introducand datele problemei gasim
Q′′(t) + 3Q′(t) + 2Q(t) = 0,
iar conditiile initiale sunt Q(0) = 2C,Q′(0) = I(0) = 4A.Ecuatia caracteristica este λ2 + 3λ + 2 = 0 cu δ = 1 si radacinile −1 si −2.Solutia generala corespunzatoare acestui caz este Q(t) = C1e
−2t+C2e−t. Din
conditii: C1 + C2 = 2−C1 − 2C2 = 4
rezulta C1 = 8, C2 = −6, iar solutia particulara este Q(t) = 8e−t − 6e−2t.Pentru a face un studiu comparativ, calculam ınca doua solutii adiacente:cand I(0) = 0A, respectiv I(0) = 8A. Corespunzator obtinem:
Q(t) = 4e−t − 2e−2t si Q(t) = 12e−t − 10e−2t.
Cazul II. Radacini reale si egale: λ1 = λ2. In acest caz P (λ) = (λ−λ1)2,iar solutia generala este: C1e
λ1t + C2teλ1t.
Justificare. Verificarea edl pentru solutii: P (D)eλ1t = eλ1tP (λ1) ≡ 0.P (D)eλ1tt = (D − λ1)2eλ1tt = (D − λ1)eλ1t(D − λ1 + λ1)t =eλ1t(D− λ1 + λ1)Dt = eλ1tD1 = eλ1t0 = 0, unde am utilizat proprietatea iii.Totodata, conditia de dependenta liniara a doua functii y1(t), y2(t) poate fiexprimata astfel ∃α ∈ R : y2(t) ≡ αy1(t).
2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 11
Intrucat pentru solutiile gasite y1(t) = eλ1t, y2(t) = teλ1t raportul estey2(t)
y1(t)≡ t neconstant, rezulta independenta lor liniara.
Exemplul 2. Schimband valorile a doua componente: R=4Ω si C=0.25F si pastrand celelate date ale problemei precedente, gasim ecuatia
Q′′(t) + 4Q′(t) + 4Q(t) = 0,
pentru care δ = 0. Radacinile vor fi egale: λ1 = λ2 = −2, furnizand o singurasolutie Q1(t) = e−2t. Conform celor demonstrate, solutia generala este
Q(t) = C1e−2t + C2te
−2t = (C1 + C2t)e−2t.
Determinand solutiile particulare corespunzatoare conditiilor initiale din ex-emplul 1, obtinem pe rand (verificati!)
(4t+ 2)e−2t, (8t+ 2)e−2t, (12t+ 2)e−2t.
Graficele lor sunt reprezentate ın figura urmatoare
Ce diferenta constatati ıntre cele trei curbe din exemplul 1 si cele din exem-plul acesta?
Cazul III. Radacini complex conjugate: λ1,2 = −a±i√4b−a2
2= −1
2a ± iω.
Ecuatia descrie, ın acest caz, un fenomen de tip oscilatoriu exprimat mate-matic sub forma
y(t) = e−at2 (C1 cosωt+ C2 sinωt) = Ae−
at2 sin(ωt+ φ), (2.10)
12 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
undeA =√C2
1 + C22 este amplitudinea maxima a oscilatiilor, ω este frecventa
unghiulara, iar φ = Arctg(C1/C2) este unghiul de faza.
Dar sa explicam mai ıntai cum s-a trecut de la solutiile exponentiale cuexponent complex y1,2(t) = exp[(−1
2a ± iω)t] si de la combinatia lor liniara
K1y1(t) + K2y2(t) cu coeficienti complecsi, la forma trigonometrica (2.10).Pentru aceasta vom face o scurta incursiune ıntr-un capitol de Analiza com-plexa dezvoltand ın serie MacLaurin exponentiala complexa eit, t ∈ R.5Astfel
eit = 1 + it+(it)2
2!+
(it)3
3!+
(it)4
4!+
(it)5
5!+ · · · =
1− t2
2!+t4
4!−+ · · ·+ i
(t− t3
3!+t5
5!−+ . . .
)= cos t+ i sin t.
Probabil cititorul a identificat ın cele doua parti - reala si imaginara - a serieicomplexe, dezvoltarile ın serii MacLaurin ale functiilor cos t si sin t.
Astfel, doua dintre solutiile edl (2.3) se exprima, ın cazul de fata, subforma y1,2(t) = e−
at2 (cosωt+i sinωt). atunci, datorita liniaritatii si omogenitatii
acestei edl, orice combinatie liniara a lor, cu coeficienti reali sau complecsi,
este de asemenea solutie. In particular functiiley1 + y2
2= e
−at2 cosωt si
y1 − y22i
= e−at2 sinωt pe care le-am utilizat mai sus.
Pentru a stabili ca (2.10) este, ın acest caz, solutia generala a edl (2.3),ramane de aratat ca cele doua functii sunt liniar independente.Exercitiu. Propunem cititorului sa dovedeasca acest fapt utilizand una - laalegere - din cele doua metode anterior folosite ın cazul I si respectiv II.
Exemplul 3. Reluam sistemul mecanic masa - resort descris ın exemplul4, §1.1 pentru masa m = 1kg, constanta elastica a resortului este k = 1N/m,iar conditiile initiale sunt y(0) = 1/
√3m, y′(0) = 1m/s. Edl a procesului
este my′′(t) = −ky(t) adica y′′(t)+y(t) = 0, iar solutia sa generala C1 cos t+C2 sin t. Din conditiile initiale gasim C1 = 1/
√3, C2 = 1, solutia particulara
putand fi pusa sub forma y(t) = 2/√
3 sin(t+π/6) (explicati!). Ea reprezintaoscilatii sinusoidale de amplitudine maxima 2/
√3, perioada p = 2π si unghi
de faza φ = π/6.
5Ea se obtine din dezvoltarea exponentialei reale et, ınlocuind t cu it, rearanjand ter-menii si tinand seama ca i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 etc.
2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 13
Exemplul 4. In sistemul mecanic anterior discutat vom introduce un dis-pozitiv de amortizare a oscilatilor (vezi figura alaturata), ecuatia sa diferentialacapatand astfel forma my′′(t) + cy′(t) + ky(t) = 0, unde cy′(t) este termenulde amortizare.
Daca c = 1, celelalte date raman aceleasi, atunci edl va fi y′′(t)+y′(t)+y(t) =0, cu ecuatia caracteristica λ2 + λ+ 1 = 0 si radacinile λ1,2 = (−1± i
√3)/2.
Solutia generala corespunzatoare va capata astfel forma
y(t) = C1e− t
2 cos
√3t
2+ C2e
− t2 sin
√3t
2,
iar din conditiile initiale C1 = 1√3, C2 = 1+2
√3
2. Graficul acestei solutii ne
arata ca dupa doua alternante ea se stinge aproape complet.
2.1.2 Cazul neomogen
Cand din exteriorul unui sistem fizic, sistem a carui lege de functionare estereprezentata printr-o edl si omogena, se exercita o actiune asupra sa, aceastaecuatie primeste si un termen liber, devenind neomogena.
14 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
Exemplu. In circuitul RLC din exemplul 1 se ınseriaza o sursa de curentalternativ a carui t.e.m. este data de functia E(t) = 0, 5 sin t V (vezi figura).
Atunci ecuatia de functionare a noului sistem devine
Q′′(t) + 3Q′(t) + 2Q(t) = 0, 5 sin t,
iar solutia corespunzatoare acelorasi conditii initiale ca mai sus: Q(0) =2C, Q′(0) = 4A, se va determina cu urmatoarea
Proprietate. Solutia generala a edl neomogene L[y(t)] = f(t) este sumadintre solutia generala a edl omogene corespunzatoare L[y(t)] = 0 si o solutieparticulara (oarecare) a edl neomogene date.
Aici solutia generala omogena fiind Q0(t) = C1e−2t + C2e
−t, iar cea par-ticulara neomogena 6 Qp(t) = 1
20(sin t− 3 cos t), solutia generala va fi Q(t) =
C1e−2t + C2e
−t + 120
(sin t− 3 cos t). Punand, pe rand, conditiile initiale dinexemplul 1, obtinem solutiile particulare ale caror grafice au fost reprezen-tate ın figura anterioara. Comparati-le cu cele reprezentate ın primele douaexemple.
Vom explica ın cele ce urmeaza doua metode de determinare a uneisolutii particulare pentru edl neomogena L[y(t)] = f(t). Prima dintre eleeste mai simpla, angrenand doar calcul algebric. Ea se aplica ın cazurile
6Conf. exemplului urmator.
2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 15
cand derivatele functiei f(t) sunt de aceeasi forma cu ea; e.g. polinom,functie exponentiala, functiile sin si cos, precum si combinatii cu acestea(conf. tabelului urmator). A doua, aplicabila oricarei functii f(t) continuepe un interval, presupune si calcul de integrale. Incepem cu prezentare celeidintai intitulata
Metoda coeficientilor nedeterminati
In cazul cand functia f(t) este de unul din tipurile descrise ın tabelul urmator,o solutie particulara yp(t) de forma predeterminata, pentru edl cu coeficienticonstanti P (D)y = f(t), poate fi obtinuta prin ınlocuire directa ın ecuatie siidentificarea coeficientilor pe care aceasta forma ıi presupune.
f(t) yp(t)
1. keαt Ceαt
2. ktn Cntn + Cn−1t
n−1 + · · ·+ C0
3. k1 cosωt+ k2 sinωt C1 cosωt+ C2 sinωt4. eαt(k1 cosωt+ k2 sinωt) eαt(C1 cosωt+ C2 sinωt)
Exemplu. Vom determina, pe baza acestei metode, solutia particularaQp(t) din exemplul anterior. Functia f(t) = 0, 5 sin t se incadreaza ın tabel lapunctul 3. Astfel ıncat vom cauta o solutie de formaQp(t) = C1 cos t+C2 sin tsi pe care o vom introduce ın ecuatia Q′′(t) + 3Q′(t) + 2Q(t) = 0, 5 sin t.
Iata un model practic de a face aceasta ınlocuire:
2×Qp = C1 cos t+ C2 sin t3×Q′p = −C1 sin t+ C2 cos t
Q′′p = −C1 cos t− C2 sin t
Q′′ + 3Q′ + 2Q = (C1 + 3C2) cos t+ (C2 − 3C1) sin t
Rezolvand sistemul liniar:C1 + 3C2 = 0, C2 − 3C1 = 0, 5, obtinem C1 = − 3
20, C2 = 1
20.
Metoda variatiei parametrilor (Lagrange)
Este o generalizare a metodei utilizate ın cazul edl de ordinul I (§1.4.2). Eapoate fi aplicata nu numai ın cazul edl cu coeficienti constanti, ci a tuturoredl pentru care se cunoaste solutia generala omogena. O vom explica plecand
16 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
de la o edl de ordinul al II-lea, fara a presupune ca are coeficienti constanti.Fie asadar edl7
L[y] = y′′ + ay′ + by = f (2.11)
si fie doua solutii liniar independente y1 si y2 pentru edl omogena cores-punzatoare:
L[y1] = L[y2] = 0. (2.12)
Intrucat solutia generala omogena este y0 = C1y1 +C2y2, vom arata ca existao solutie particulara neomogena de forma
yp = u1y1 + u2y2. (2.13)
Demonstratia, ca si ın cazul edl de ordinul I, revine la determinarea celordoi coeficienti-functii u1 si u2. Ceea ce se face calculand L[yp]. Incepem cuderivatele lui yp:
y′p = u′1y1 + u′2y2 + u1y′1 + u2y
′2 (2.14)
Observatia ce trebuie facuta acum este ca, avand de determinat doua functiinecunoscute si de satisfacut doar o singura conditie: verificarea edl neomo-gene, la alegerea lui yp putem introduce o conditie suplimentara. Aceastaeste
u′1y1 + u′2y2 = 0. (2.15)
Astfel calculul derivatei y′′p se simplifica
y′′p = u′1y′1 + u′2y
′2 + u1y
′′1 + u2y
′′2 . (2.16)
Introducem ın edl neomogena (2.11) expresiile lui yp, y′p si y′′p din (2.13), (2.14)
si (2.16), grupand termenii acestei ecuatii ce contin u1 respectiv u2; se obtine
u1(y′′1 + ay′1 + by1) + u2(y
′′2 + ay′2 + by2) + u′1y
′1 + u′2y
′2 = f.
Observam ca parantezele reprezinta L[y1] si L[y2], deci conf. (2.12) sunt nule.Ultima relatie se reduce astfel la
u′1y′1 + u′2y
′2 = f. (2.17)
7Intrucat coeficientii si necunoscuta sunt functii de variabila t nu mai notam aceastaın mod explicit.
2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 17
Relatiile (2.15) si (2.17) reprezinta un sistem algebric 2× 2 ın necunoscuteleu′1, u
′2 si avand determinantul
W [y1, y2] =
∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣ . (2.18)
El se numeste Wronskianul celor doua solutii omogene.
Formula lui Abel pentru Wronskianul solutiilor omogene8 y1, y2 este
W (t) = W (t0)exp
(−∫ t
t0
a(τ)dτ
)(2.19)
si ne arata ca1) daca W (t) se anuleaza ıntr-un pct din domeniul de continuitate al coefi-cientului a(t), atunci este identic nul; si2) daca W (t) este nenul ıntr-un pct din domeniul de continuitate al coefi-cientului a(t), atunci este nenul ın tot acest domeniu.
Daca W [y1, y2] ≡ 0 atunci are loc relatiay′1y1
=y′2y2
, care prin integrare
conduce la y1 = Cy2, C fiind o constanta (explicati!). Ceea ce contraziceindependenta liniara a celor doua solutii. Concluzia finala este ca sistemulalgebric (2.15),(2.17) este nesingular, iar formulele lui Cramer permit expri-marea derivatelor u′1 si u′2 sub forma
u′1 = −y2fW
, u′2 =y1f
W.
Prin integrarea lor rezulta
u1 = −∫y2f
Wdτ, u2 =
∫y1f
Wdτ.
Introducandu-le apoi ın (2.13) se obtine formula de calcul a solutiei par-ticulare neomogene
yp = −y1∫y2f
Wdτ + y2
∫y1f
Wdτ. (2.20)
8Demonstratia o gasiti ın §2.2.2.
18 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
Exemplu. Sa se determine solutia generala a edl neomogene
y′′ + y =1
cos t.
R. Ecuatia caracteristica λ2 +1 = 0 avand radacinile λ1,2 = ±i, solutia gene-rala omogena se va reprezenta: fie printr-o combinatie liniara cu coeficienticomplecsi K1e
it + K2e−it, fie prin combinatia liniara C1 cos t + C2 sin t cu
C1, C2 ∈ R (vezi §2.1.1 cazul III). Plecand de la a doua dintre ele, vomdetermina solutia particulara yp = u1 cos t+u2 sin t utilizand metoda variatieiparametrilor. Sistemul algebric (2.15),(2.17) va capata ın acest caz forma
u′1 cos t + u′2 sin t = 0−u′1 sin t + u′2 cos t = 1
cos t
Determinantul sau - Wroskianul celor doua solutii omogene -fiind nenul
W [cos t, sin t] =
∣∣∣∣ cos t sin t− sin t cos t
∣∣∣∣ = 1,
solutia sa unica va fi
u′1 =
∣∣∣∣ 0 sin t1
cos tcos t
∣∣∣∣ = − tan t, u′2 =
∣∣∣∣ cos t 0− sin t 1
cos t
∣∣∣∣ = 1.
Prin urmare u1 = −∫
sin tcos t
dt =ln| cos t| si u2 =∫dt = t.
Astfel ıncat solutia particulara neomogena va fi yp = (cos t)ln| cos t|+ t sin t,iar solutia generala y = C1 cos t+ C2 sin t+ yp.
Observatie. Intrucat functia f(t) = 1cos t
nu se ıncadreaza ın tipurilede membri drepti mentionati ın tabelul de mai sus, metoda coeficientilornedeterminati nu putea fi aplicata ın acest caz.
Fenomenul de rezonanta
Cand membrul drept f(t) reprezinta o solutie a edl omogene, solutia parti-culara neomogena corespunzatoare yp nu poate fi cea prescrisa in tabel. Siaceasta pentru simplul motiv ca ınlocuind-o ın edl ar da 0 si nu f(t)!
Exemplu. Edl neomogena y′′+y = 2 cos t nu poate avea solutii de formaC1 cos t+C2 sin t, asa cum prevede tabelul de mai sus, deoarece acestea suntsolutii ale edl omogene corespunzatoare. In acest caz se cauta solutii partic-ulare de forma yp = t(C1 cos t+ C2 sin t).
2.1. EDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 19
Prin derivare si ınlocuire obtinemyp = t(C1 cos t+ C2 sin t)y′p = C1 cos t+ C2 sin t+ t(−C1 sin t+ C2 cos t)y′′p = −2C1 sin t+ 2C2 cos t− t(C1 cos t+ C2 sin t)
y′′p + yp = 2C2 cos t− 2C1 sin t.
Identificand apoi coeficientii celor doi membri drepti ai edl
2 cos t = 2C2 cos t− 2C1 sin t,
gasim C1 = 0, C2 = 1, adica yp = t sin t.Pentru a ıntelege semnificatia fizica a acestei situatii vom analiza graficele
solutiilor a doua probleme cu conditii initiale nule: y(0) = 0, y′(0) = 0, pen-tru edl y′′+y = 3 sin 2t si y′′+y = 2 cos t. 9 Solutia celei dintai este diferentaa doua sinusoide 2 sin t−sin 2t - functie marginita si periodica cu perioada 2πsi care reprezinta oscilatiile periodice ale sistemului masa - resort fara amorti-zare.
Solutia celei dintai este diferentaa doua sinusoide 2 sin t − sin 2t- functie marginita si periodicacu perioada 2π si care reprezintaoscilatiile periodice ale sistemuluimasa - resort fara amortizare.
Solutia celei de a doua ecuatiieste t sin t (grafic cu linie ıntrerupta)- functie nemarginita si neperiodica.Fenomenul acesta de crestere a am-plitudinii oscilatiilor se datoreaza coincidentei dintre frecventa unghiularaproprie a sistemului ω = 1 (vezi §2.1.1 cazul III) si cea a termenului liber2 cos t. El poarta numele de rezonanta.
Principiul suprapunerii (sau superpozitiei)
Vom enunta un principiu general ce guverneaza nu numai toate edl, ci sisistemele diferentiale liniare precum si alte tipuri de ecuatii liniare. Aicipentru cazul particular al edl P (D)y = f(t).
9Pentru semnificatia fizica a edl omogene corespunzatoare vezi exemplul 3 din §2.1.1..
20 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
Daca f(t) =∑n
j=1 fj(t) si daca P (D)ypj = fj(t), j = 1, . . . , n, atunci
yp =∑n
j=1 ypj este solutie (particulara) pentru P (D)y = f(t).
Spre exemplu, daca membrul drept al edl P (D)y = f(t) este suma a douafunctii f(t) = f1(t)+f2(t) si daca yp1 si yp2 sunt solutii particulare pentru celedoua edl: P (D)yp1 = f1(t), respectiv P (D)yp2 = f2(t), atunci yp = yp1 + yp2este solutie (particulara) pentru P (D)y = f1(t) + f2(t).
Exemplu. Membrul drept al edl y′′+y =2 + cos 2t
cos tse poate descompune
astfel: 2 cos t +1
cos t. Intrucat, asa cum am vzut, ın cele doua exemple
anterioare, edl y′′ + y = 2 cos t are solutia particulara t sin t, iar edl y′′ + y =1
cos t: solutia particulara (cos t) ln | cos t|+ t sin t.
Asadar, conform principiului superpozitiei, edl data va avea solutia par-ticulara yp = (cos t) ln | cos t|+ 2t sin t.
Observatie. (cos t) ln | cos t|+ t sin t nu este solutie pentru edl din exem-plu, asa cum usor se poate vedea.
2.2 EDL cu coeficienti variabili
2.2.1 EDL Euler-Cauchy
Edl de ordinul al II-lea de acest tip, ın variabila x si functia necunoscutay(x), au forma generala
L[y(x)] = x2y′′(x) + axy′(x) + by(x) = f(x) unde a, b ∈ R si x 6= 0. (2.21)
Printre edl cu coeficienti variabili, acesta este singurul tip ce poate fi rezol-vat cu metode generale, ıntrucat este reductibil la cel cu coeficienti constanti.Reducerea se realizeaza prin schimbarea de variabila x = et daca x > 0 saux = −et daca x < 0. Sa determinam relatia dintre cei doi operatori de
derivare,d
dxsi D =
d
dt, ce decurge din schimbarea mentionata.
Notam z(t) = y(et) si rezulta Dz =dz
dt=dy
dx
dx
dt=dy
dxet ⇔ dy
dx= e−tDz.
2.2. EDL CU COEFICIENTI VARIABILI 21
Apoid
dx
(dy
dx
)= e−tD(e−tDz) = e−2t(D2 −D)z = e−2tD(D − 1)z. 10
Ecuatia (2.21) se va transforma astfel ın
D(D − 1)z + aDz + bz = f(et) (2.22)
sau, notand cu P(D) = D(D − 1) + aD + b = D2 + (a− 1)D + b polinomuloperatorial atasat edl Euler - Cauchy, sub forma P(D)z = f(et).
Exemplu. Sa se determine solutia p.c.i. atasata edl E.C.
x2y′′(x) + xy′(x) + y(x) = 2 cos lnx (x > 0), unde y(1) = y′(1) = 0.
R. Prin schimbarea de variabila x = et edl devine (D2 + 1)z = 2 cos t, iarconditiile initiale corespunzatoare vor fi z(0) = Dz(0) = 0.Asa cum am aratat ın exemplul anterior, din §2.1.2, solutia acestei p.c.i.este t sin t. Prin schimbarea de variabila t = lnx, inversa celei operate initial,obtinem solutia p.c.i pentru edl E.C.
y(x) = ln x cos lnx (x > 0).
Observatie. Asa cum am constatat, operatorul diferential liniar Euler-Cauchy L[y(x)] (2.21) se transforma, prin schimbarea de variabila x = et,ıntr-un operator diferential liniar cu coeficienti constanti P (D)z(t). Intrucatsolutiile edl si omogene P (D)z = 0 11 sunt de forma z = eλt, deducem casolutiile edl si omogene E.C. L[y(x)] = 0 sunt de forma y(x) = eλ lnx = xλ,unde x > 0. Inlocuind ın ecuatie gasim
L[xλ] = [λ(λ− 1) + aλ+ b]xλ.
Ceea ce ne conduce la polinomul caracteristic P(λ) = λ2 + (a− 1)λ+ b al edlE.C. omogene.
10Aceasta regula de derivare se poate generaliza astfel:dky
dxk= e−ktD(D−1) . . . (D−k+1).
11Multimea lor alcatuieste nucleul acestui operator liniar (cf. Algebra Liniara.)
22 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
2.2.2 EDL de ordinul al II-lea generala
O astfel de ecuatie are forma
y′′(x) + a(x)y′(x) + b(x)y(x) = f(x), (2.23)
unde functiile a(x), b(x) si f(x) sunt definite ın intervalul I ⊂ R.Definitie. O solutie a acestei edl este o functie y = φ(x) definita si
avand derivate continui de ordinele I si II ın I, care ınlocuita, ımpreuna cuderivatele sale ın ecuatia (2.23), conduc la o identitate ın I.
Acestei e.d. i se ataseaza, de obicei, conditiile initiale
y(x0) = y0, si y′(x0) = y′0 (2.24)
unde x0 ∈ I, iar y0, y′0 ∈ R.
Teorema de existenta si unicitate a solutiei p.c.i. (2.23),(2.24).1. Daca functiile a(x), b(x) si f(x) sunt definite si continui ın intervalul
I ⊂ R, atunci exista o solutie y = φ(x) ın intervalul I si care verifica conditiile(2.24) ın x0 ∈ I.
2.Functia φ(x) este unica solutie pentru (2.23) si (2.24) pe intervalul I.Fara demonstratie.
EDL de ordinul al II-lea omogena
Consideram operatorul diferential liniar de ordinul al II-lea cu coeficientivariabili
L[y] = y′′ + a(x)y′ + b(x)y (2.25)
unde a(x) si b(x) sunt functii continui ın I.
Proprietatea 1. Multimea S2 a tuturor solutiilor edl omogene L[y] = 0este un spatiu vectorial real cu dimensiunea 2.
Demonstratie. In primul rand, conform conditiilor din definitia notiuniide solutie S2 este o submultime a spatiului vectorial real al tuturor functiilorde clasa C2
I(R).
Exercitiu. Aratati ca ∀α, β ∈ R ∀φ, ψ ∈ S2 : αφ+ βψ ∈ S2.
2.2. EDL CU COEFICIENTI VARIABILI 23
Vom arata ca exista o baza a lui S2 alcatuita din doua solutii liniar in-dependente ale edl omogene L[y] = 0. Aceste solutii, le notam φ(x) si ψ(x),sunt cele care satisfac conditiile initiale φ(x0) = 1, φ′(x0) = 0 si respectivψ(x0) = 0, ψ′(x0) = 1, iar existenta lor se bazeaza pe teorema anterioara.
Liniar independenta. Fie α, β ∈ R astfel ıncat αφ(x) + βψ(x) ≡ 0.Derivand obtinem αφ′(x) + βψ′(x) ≡ 0. si pentru x = x0, din cele douaidentitati rezulta: α = 0, β = 0.
Sistem de generatori. Sa aratam ca genereaza spatiul S2. Pentruaceasta vom considera o solutie oarecare χ ∈ S2, urmand a determina coeficientiiα si β astfel ıncat: ∀x ∈ I : χ(x) = αφ(x) + βψ(x).
Alegem α = χ(x0) si β = χ′(x0). Functia χ1(x) = χ(x0)φ(x)+χ′(x0)ψ(x)fiind combinatie liniara a doua solutii, este deasemenea solutie si verificarelatiile
χ1(x0) = χ(x0)φ(x0) + χ′(x0)ψ(x0) = χ(x0),
χ′1(x0) = χ′(x0)φ′(x0) + χ(x0)ψ
′(x0) = χ′(x0).
Explicati! Atunci, conf. proprietatii de unicitate (vezi teorema pctul 2),rezulta ca χ ≡ χ1. M
Asadar pentru a determina solutia generala a edl omogene
L[y] = y′′(x) + a(x)y′(x) + b(x)y(x) = 0 (2.26)
trebuie sa determinam doua solutii liniar independente φ1(x) si φ2(x) ale sale.In cele ce urmeaza vom vedea ca plecand de la o astfel de solutie neidenticnula a ei se poate ajunge la solutia generala. Pentru moment ınsa revenimla un instrument util de lucru: determinantul wronskian W [y1, y2] a douasolutii pentru (2.26).12
Reamintim ca daca L[y1] = L[y2] = 0 atunci
W [y1, y2] =
∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣verifica formula lui Abel
W (x) = W (x0)exp
(−∫ x
x0
a(τ)dτ
).
12A se vedea Metoda variatiei parametrilor ın §2.1.2.
24 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
Demonstratie.
dW
dx= (y1y
′2 − y′1y2)′ = y1y
′′2 − y′′1y2 =
si utilizand edl (2.26)
= y1(−a(x)y′2 − y2)− y2(−a(x)y′1 − y1) = −a(x)W.
Solutia acestei e.d. separabile este W (x) = Cexp(−∫ xx0a(τ)dτ
). Pentru
x = x0 rezulta C = W (x0).4
Problema. Cunoscand o solutie (nenula) y1 pentru edl omogena (2.26),cum putem determina o a doua solutie liniar independenta de ea?R. Utilizand formula de mai sus si notand y solutia cautata putem scrie ca
y1y′ − y′1y = exp
(−∫ x
x0
a(τ)dτ
)(2.27)
unde x0 are o valoare aleasa convenabil.
Exemplu. x2y′′ + y′ − 2y = 0, cu solutia particulara y1 = 2x2 + 2x + 1.R. Aici a(x) = 1
x2, iar formula lui Abel poate fi scrisa astfel
W [y1, y] = (2x2+2x+1)y′−(4x+2)y = exp
(−∫ x
1
1/τ 2dτ
)= exp
(1
x− 1
).
Solutia generala a acestei edl de ordinul I este C(2x2+2x+1)+x2exp
(1
x− 1
).
Astfel alegand solutia particulara pentru C = 0, obtinem pentru edl data
solutia y2 = x2exp
(1
x− 1
)si solutia generala13
C1(2x2 + 2x+ 1) + C2x
2exp
(1
x− 1
).
13Echivalenta cu C1(2x2 + 2x+ 1) + C2x2exp
(1
x
).
2.3. EDL DE ORDIN SUPERIOR 25
EDL de ordinul al II-lea neomogena
Aplicand, ca si ın cazul celorlalte edl discutate pana acum, metoda variatieiparametrilor si cunoscand solutia generala omogena corespunzatoare
y0 = C1y1 + C2y2,
cautam o solutie particulara neomogena de forma
yp = u1y1 + u2y2.
Asa cum am vazut ın §2.1.2, derivatele celor doua functii necunoscute u1 siu2, aici functii de x, se obtin din relatiile
u′1y1 + u′2y2 = 0,
u′1y′1 + u′2y
′2 = f,
prin formulele
u′1 = −y2fW
, u′2 =y1f
W,
unde W = W [y1, y2] este wronskianul celor doua solutii omogene.Exemplu. Cunoscand solutia generala omogena y = C1 + C2 lnx cores-
punzatoare edl y′′ +1
xy′ =
1
x2(x > 0), sa se determine solutia ei generala.
R. Din sistemul algebricu′1 + u′2 lnx = 0
1
xu′2 =
1
x2
obtinem u′2 =1
x, apoi u′1 = − lnx
xsi prin integrare u1 = − ln2 x
2, u2 = lnx.
Solutia particulara neomogena va fi yp = − ln2 x
2+ ln2 x =
ln2 x
2, iar cea
generala y = C1 + C2 lnx+ln2 x
2.
2.3 EDL de ordin superior
Daca pana aici am lucrat numai cu edl de ordinul al II-lea, tip frecvent ıntalnitın aplicatii, acum vom trata si edl cu ordin mai ınalt. Vom constata astfel
26 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
cum se aplica acestor cazuri, metodele expuse anterior. Mentionam si faptulca astfel de situatii apar, de obicei, prin reducerea sistemelor diferentialeliniare la o singura edl.14 Forma generala a unei edl omogene de ordinul n ınfunctia necunoscuta y(x) este
L[y(x)] = y(n) + a1y(n−1) + · · ·+ an−1y
′ + any = f(x) (2.28)
unde coeficientii ak si f(x) sunt functii de x definite si continui ıntr-un intervalI al dreptei reale.
Problema cu conditii initiale atasata ecuatiei (2.28) consta ın determinareasolutiei y(x) care sa verifice urmatoarele n relatii:
y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, . . . , y
(n−1)(x0) = y(n−1)0 , (2.29)
unde x0 ∈ I, iar y0, y′0, . . . , y
(n−1)0 sunt numere reale. Teorema de existenta
si unicitate a solutiei p.c.i. enuntata ın §2.2.2 este valabila si cu referire laecuatia (2.28) si conditiile (2.29).
2.3.1 Cazul omogen
Acesta este cazul ın care f(x) = 0.Vom discuta doar ecuatiile cu coeficienti constanti si cele reductibile la aces-tea, i.e. ecuatiile Euler-Cauchy. Astfel, daca toti coeficientii ak sunt numere(reale), ecuatia caracteristica (2.4) devine
λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an = 0 (2.30)
Notand P (λ) polinomul din membrul stang al acestei ecuatii, conform teore-mei fundamentale a algebrei el se descompune ıntr-un produs de factori degradul I, respectiv de gradul al II-lea, factori cu coeficienti reali, ce pot apareridicati la diverse puteri:15
P (λ) = (λ−λ1)m1 . . . (λ−λm)mq(λ2+s1λ+p1)n1 . . . (λ2+srλ+pr)
nr ,unde m1 + · · ·+mq + 2n1 + · · ·+ 2nr = n.Fiecarui factor (λ − λi)mi ıi corespund, ın solutia generala, mi solutii liniarindependente:
14A se vedea §3.1.4, exemplul 2.15Factorii de gradul I: (λ− λi)mi corespund radacinilor reale cu multiplicitatea mi, iar
cei de gradul al II-lea la puterea ni - cate unei perechi de radacini complex conjugate,ambele cu multiplicitatea ni.
2.3. EDL DE ORDIN SUPERIOR 27
yj = xjeλix, j = 0, 1, . . . ,mi − 1.Similar, fiecarui factor (λ2 +skλ+pk)
nk ıi corespund, ın solutia generala, 2nksolutii liniar independente:
yj = xjeαkx cos βkx, zj = xjeαkx sin βkx, j = 0, 1, . . . , nk − 1,unde αk± iβk sunt radacinile complex conjugate ale trinomului λ2 +skλ+pk.
Exemple. 1. Sa se determine solutia p.c.i. y′′′− 6y′′+ 12y′− 8y = 0, cuy(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = −1.R. P (λ) = (λ− 2)3, deci solutia generala va fi y = C1e
2x +C2xe2x +C3x
2e2x.Din conditiile initiale deducem:
y(0) = C1 = 1, y′(0) = 2 + C2 = 0, C2 = −2 y′′(0) = 4− 8 + 2C3 = −1,
deci C3 = 32. Astfel ıncat: y =
1
2e2x(3x2 − 4x+ 2).
2. Sa se determine solutia p.c.i. y′′′ − 3y′′ + y′ − 3y = 0, cu y(0) = 1, y′(0) =0, y′′(0) = −1.R. P (λ) = (λ− 3)(λ2 + 1), iar solutia generala: C1e
3x + C2 cosx+ C3 sinx.Conditiile initiale dau sistemul C1 + C2 = 0, 3C1 + C3 = 0, 9C1 − C2 = −1,au solutia C1 = 0, C2 = 1, C3 = 0. Adica y(x) = cos x.
3. Solutia p.c.i. yiv + 4y′′′ + 8y′′ + 8y′ + 4y = 0 cu y(0) = 1, y′(0) =−1, y′′(0) = 1, y′′′(0) = −1.R. P (λ) = (λ2 + 2λ+ 2)2 corespunde unei la solutii generale de forma
y(x) = e−x[(C1x+ C2) cosx+ (C3x+ C4) sinx].
Punand conditiile initiale obtinem sistemulC2 = 1, C1−C2 +C4 = −1, −2C1 + 2C2− 2C4 = 1, 2C2− 6C3 + 2C4 = −1cu solutia C1 = 0, C2 = 1, C3 = 1/2, C4 = 0. Astfel, solutia cautata va fi1
2e−x(2 cosx+ x sinx).
2.3.2 Cazul neomogen
Cand f(x) 6≡ 0 solutia generala a edl L[y(x)] = f(x) se compune, cum amvazut ın §2.1.2, din solutia generala omogena la care se adauga o solutieparticulara neomogena. Aceasta din urma depinde atat de solutia omogena,cat si de f(x). Cat priveste metodele de determinare a unei astfel de solutiiparticulare, ele depind de termenul liber f(x) si sunt cele explicate ın §2.1.2.
28 CAP. 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE (EDL)
Cap. 3
Sisteme diferentiale liniare(SDL)
3.1 SDL cu coeficienti constanti
3.1.1 Forma normala a unui SDL
Un sistem diferential liniar avand n ecuatii si n functii necunoscute x1(t), . . . , xn(t)are urmatoarea forma normala
x1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn + b1x2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn + b2...
...xn = an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn + bn
. (3.1)
unde xj reprezinta derivateledxidt
, iar aij si bi sunt functii de t.
Observatie.In cazul coeficientilor constanti, de care ne vom ocupa mai jos,aij sunt constante reale, iar bi = bi(t) functii reale.
Definitie. O solutie a problemei (3.1) cu conditiile initiale:
x1(t0) = x01, . . . , xn(t0) = x0n unde t0 ∈ I si x01, . . . , x0n ∈ R, (3.2)
este un vector de functii x1(t), . . . , xn(t) definite si derivabile ın intervalul I,functii care ınlocuite, ımpreuna cu derivatele lor, ın relatiile (3.1) conduc latot atatea identitati si care verifica relatiile (3.2).
29
30 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)
Teorema de existenta si unicitate.Vom presupune ca atat coeficientii aij(t) cat si functiile bi(t) sunt con-
tinue si marginite ın intervalul I ⊂ R. Atunci exista si sunt unice functiilex1(t), . . . , xn(t) definite ın itervalul I si care verifica relatiile (3.1) si (3.2).Fara demonstratie.
Relatiile (3.1) si (3.2) pot fi scrise mai compact ın
Notatia vectoriala. Astfel daca A(t) = [aij(t)] este matricea n × n defunctii-coeficienti si b(t) = [b1(t) · · ·n (t)]T vectorul coloana de functii-termeniliberi, iar x(t) = [x1(t) . . . xn(t)]T , x(t) = [x1 . . . xn]T , vectorii-coloana defunctii necunoscute si respectiv derivatele lor, atunci (3.1) si (3.2) vor deveni
x(t) = A(t)x(t) + b(t), (3.3)
respectivx(t0) = x0, (3.4)
unde x0 = [x01 . . . x0n]T ∈ Rn.
Reducerea la forma normala. SDL reprezinta legi matematice aleunor sisteme fizice sau de alta natura si de aceea nu apar ıntotdeauna subaceasta forma speciala. Metodele de rezolvare a lor necesita, precum vomvedea, reprezentarea ın forma normala. Transformarea se poate realiza prinprelucrari algebrice ale ecuatiilor si/sau prin schimbari de functii necunos-cute. Iata doua exemple:
Exemplul 1. In circuitul urmator1 sursa de curent continuu are tensi-unea E=12V,
1Vezi si §1.4.2, exemplul 1.
3.1. SDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 31
inductanta bobinei este L=1Henry,condensatorul are capacitatea C=0,25Farazi,iar rezistentele au R1=4Ω, R2=6Ω. Aplicand legea tensiunilor ın fiecaredin cele doua ochiuri de retea prin care trec curentii i1(t) si i2(t), obtinemecuatiile:
Li′1(t) +R1(i1(t)− i2(t)) = E, R2i2(t) +R1(i2(t)− i1(t)) +1
C
∫i2(t)dt = 0.
Presupunand ca la momentul t = 0 prin circuit nu trece curent, sa se deter-mine i1(t) si i2(t) la momentul t > 0.
Dupa cum se observa, a doua ecuatie este integrala, nu diferentiala. Prin
derivare ea devine R2i′2(t) + R1(i
′2(t) − i′1(t)) +
1
Ci2(t) = 0. Inlocuim acum
valorile pieselor componente ın cele doua edl si obtinem SDL urmator:
i′1(t) + 4(i′1(t)− i′2(t)) = 12, 6i′2(t) + 4(i′2(t)− i′1(t)) + 4i2(t) = 0.
Pentru a-l aduce la forma normala el trebuie rezolvat (algebric) ın functie denecunoscutele i′1(t) si i′2(t); ceea ce conduce la
i′1(t) = −4i1(t) + 4i2(t) + 12i′2(t) = −1, 6i1(t) + 1, 6i2(t) + 4, 8.
(3.5)
Acestui SDL i se adauga, conform problemei, conditiile initiale
i1(0) = i2(0) = 0. (3.6)
In reprezentarea matriceala (3.3), (3.4) aceste relatii devin[i′1i′2
]=
[−4 4−1, 6 1, 6
] [i1i2
]+
[124, 8
], (3.7)
[i1(0)i2(0)
]=
[00
]. (3.8)
Exemplul 2. In figura de mai jos sunt reprezentate doua pozitii ale unuisistem de mase si resorturi. Prima este cea de repaos, iar a doua ın miscare.Deplasarile se fac pe verticala si ın sens descendent. Corespunzator celordoua mase m1 = 1 si m2 = 1, ele sunt notate y1, respectiv y2.
32 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)
Aplicand legea a doua a dinamicii si pe cea a luiHooke2, resorturile avand constantele elastice k1 =3, respectiv k2 = 2, obtinem ecuatiile de misare
..y1 = −3y1 + 2(y2 − y1) = −5y1 + 2y2..y2 = −2(y2 − y1) = 2y1 − 2y2.
(3.9)Lor le atasam conditiile initiale
y1(0) = 1, y1(0) = −2√
6
y2(0) = 2, y2(0) =√
6.(3.10)
Pentru a aduce aceasta problema cu conditii initialela forma sa normala vom introduce noi variabile astfel
x1 = y1, x2 = y1, x3 = y2, x4 = y2. (3.11)
Noul SDL poate fi astfel reprezentat matriceal sub forma x = Ax unde
A =
0 1 0 0−5 0 2 00 0 0 12 0 −2 0
, (3.12)
iar conditia initiala corespunzatoare este
x(0) = [1 − 2√
6 2√
6]T . (3.13)
3.1.2 Solutia SDL omogen cu coeficienti constanti.
Pentru a obtine solutia unui astfel de sistem diferential, vom apela la notiuneade matrice exponentiala eAt a unei matrice An×n de numere.
Matricea exponentiala eAt; proprietati.
Aceasta notiune a fost introdusa ın cap.6, §6.4 din Algebra Liniara. O reluampentru mai multa claritate.
Daca A ∈Mn(R) si t ∈ R seria de puteri de matrice
I +1
1!At+
1
2!A2t2 + · · ·+ 1
n!Antn + . . . (3.14)
2Vezi si §1.1. pctul 7
3.1. SDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 33
este absolut si uniform convergenta pentru orice t ∈ R, |t| ≤ a. 3 Ea definestefunctia de t:
eAt : R −→Mn(R),
functie derivabila, termen cu termen, ın raport cu t; anume
d
dteAt = 0 +
1
1!A+
1
2!2A2t+
1
3!3A3t2 + · · ·+ 1
n!nAntn−1 + · · · =
A
(I +
1
1!At+
1
2!A2t2 + · · ·+ 1
(n− 1)!An−1tn−1 + . . .
)= AeAt.
Ceea ce conduce la formula
d
dteAt = AeAt. (3.15)
Observatii. 1. Similar se poate deduce si formulad
dteAt = eAtA, de unde
rezulta relatiaAeAt = eAtA. (3.16)
2. Formula binomului lui Newton poate fi exprimata sub forma compacta
urmatoare:4 (a + b)n = n!∑
j+k=n
ajbk
j!k!. Demonstratia, bazata pe inductie, uti-
lizeaza comutativitatea produsului numerelor. Ea nu poate fi extinsa asadarla matricele A,B ∈Mn(R) decat ın cazul cand ele comuta.
Proprietate. Daca matricele A,B ∈ Mn(R) comuta, i.e. AB = BA,atunci
∀t ∈ R : e(A+B)t = eAteBt. (3.17)
Demonstratie. Intrucat, conform celor de mai sus, are loc pentru orice nrelatia
(A+B)n = n!∑j+k=n
(At)j(Bt)k
j!k!,
prin trecere la limita (pentru n→∞) obtinem urmatoarele egalitati
e(A+B)t =∞∑n=0
∑j+k=n
(At)j(Bt)k
j!k!=∞∑j=0
(At)j
j!
∞∑k=0
(Bt)k
k!= eAteBt.4
3In norma ||A|| ce se poate defini considerand matricea A ca un vector din Rn×n. VeziA.L. cap.5.
4Verificati pentru n = 2 si n = 3.
34 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)
Consecinta. Daca AB = BA atunci ∀t ∈ R : eAteBt = eBteAt.
Teorema de existenta si unicitate. Daca A ∈ Mn(R), x0 ∈ Rn sit0 ∈ R sunt fixati, atunci problema cu conditie initiala
x(t) = Ax(t), x(0) = x0 (3.18)
pentru sistemul diferential si omogen, are solutia unica
x(t) = eAtx0. (3.19)
Demonstratie. Existenta. Derivand (3.19), conform (3.15) obtinem
x(t) =d
dteAtx0 = AeAtx0 = Ax(t), ∀t ∈ R.
Totodata x(0) = e0tx0 = Ix0 = x0, ceea ce arata ca x(t) = eAtx0 este solutie.
Unicitatea. Daca z(t) este o solutie pentru p.c.i. (3.18) vom considerafunctia y(t) = e−Atz(t). Conform (3.15) si regulei de derivare a unui produs,rezulta
y(t) = −Ae−Atz(t)+e−Atz(t) = −Ae−Atz(t)+e−AtAz(t) = (−Ae−At+e−AtA)z(t)
care, conform (3.16), este 0z(t) = 0; deci y(t) ≡ const.Dar pentru t = 0, y(t) = x0 deci y(t) ≡ x0. Astfel ıncat revenind la
definitia lui y(t) rezulta x0 ≡ e−Atz(t), adica z(t) = eAtx0 ≡ x(t).4
Exemplu. x(t) =
[−2 −11 −2
]x(t) = 0, x(0) =
[10
].
R. Intrucat eAt = e−2t[
cos t − sin tsin t cos t
], (vezi exemplul???) solutia p.c.i.
va fi x(t) = e−2t[
cos t − sin tsin t cos t
] [10
]= e−2t
[cos tsin t
].
Observatie. In coordonate po-lare ecuatia ei este ρ = e−2θ sireprezinta grafic o spirala logarit-mica (vezi figura).
3.1. SDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 35
3.1.3 Solutia SDL neomogen cu coeficienti constanti.
Similar cazului ecuatiilor diferentiale liniare discutate ın capitolul precedent,solutia generala a unui SDL neomogen (3.3) se obtine adaugand solutiei gen-erale omogene corespunzatoare, o solutie particulara neomogena. In cazul sis-temului cu coeficienti constanti, aceasta solutie poate fi determinata printr-oformula. Aceasta se construieste cu ajutorul matricei exponentiale eAt si atermenului liber b(t) din (3.3), astfel
xp(t) = eAt∫ t
0
e−Aτb(τ)dτ. (3.20)
Verificam ca xp(t) este o solutie (particulara) a sistemului neomogen (3.3).Pentru aceasta o introducem ın el:
xp = AeAt∫ t
0
e−Aτb(τ)dτ + eAte−Atb(t).
Am utilizat formula de derivare a produsului si pe cea de derivare a integraleicu limita variabila de integrare (i.e. primitiva integrandului). Deoarece ma-tricele A si −A comuta, din (3.17) rezulta eAte−At = e0t = I, astfel ıncatrelatia devine
xp = AeAt∫ t
0
e−Aτb(τ)dτ + Ib(t) = Axp(t) + b(t)
si verificarea este ıncheiata.Prin adaugarea ei la solutia generala omogena, ce poate fi exprimata ınlocuindın (3.19) vectorul conditie initiala x0 cu un vector de constante si dimensiunecorespunzatoare c ∈ Rn, obtinem solutia generala neomogena sub forma
x(t) = eAtc+ eAt∫ t
0
e−Aτb(τ)dτ. (3.21)
Observatie. Inlocuind ın aceasta formula vectorul c cu vectorul-conditieinitiala x0, obtinem chiar solutia particulara a p.c.i.
x(t) = Ax(t) + b(t), x(0) = x0.
Puteti explica de ce?
36 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)
Exemplu. Daca sistemului liniar si omogen din exemplul precedent ıiadaugam termenul liber [1 1]T , noul SDL neomogen, astfel obtinut, va aveasolutia particulara
xp(t) = e−2t[
cos t − sin tsin t cos t
] ∫ t
0
e−2τ[
cos τ − sin τsin τ cos τ
] [11
]dτ
Facand calculele gasim vectorul-coloana
xp(t) =
[1
5− 1
5(cos t− 3 sin t),
3
5− 1
5(3 cos t+ sin t)
]T.
Adaugad acest vector solutiei generale omogene,
x(t) = e−2t[
cos t − sin tsin t cos t
] [c1c2
]+ xp(t).
am obtinut solutia generala pentru SDL neomogen.
3.1.4 Metoda reducerii SDL la o EDL
O cale alternativa pentru determinarea solutiei generale a unui SDL estecea a reducerii lui la o EDL liniare de acelasi tip cu sistemul: omogen sauneomogen. Aceasta reducere se realizeaza prin operatii algebrice efectuateasupra operatorilor diferentiali si este asemanatoare metodei eliminarii suc-cesive aplicate sistemelor algebrice liniare.
Exemplul 1. Reluam sistemul neomogen din exemplul precedent uti-
lizand ca notatie pentru derivatad
dtnotatia D (conf. §2.1.1). Astfel cele
doua edl ale sistemului vor fiDx1 = −2x1 − x2 + 1Dx2 = x1 − 2x2 + 1
.
Separam apoi necunoscutele de termenii liberi utizand ın continuare notatiaoperatoriala (vezi referinta citata)
(D + 2)x1 + x2 = 1−x1 + (D + 2)x2 = 1
.
Procedeul reducerii consta aici ın a aplica primei ecuatii operatorul (D + 2)scazand-o apoi din a doua ecuatie. Rezulta −(D + 2)2x1 − x1 = −1, ecuatie
3.1. SDL CU COEFICIENTI CONSTANTI 37
echivalenta cu (D2+4D+5)x1 = 1. Ecuatia caracteristica este λ2+4λ+5 = 0,iar radacinile ei sunt λ1,2 = −2± i. In virtutea celor stabilite ın §2.1.1 cazulIII si a tabelului din §2.1.2, solutia generala corespunzatoare va fi
x1 = C1e−2t cos t+ C2e
−2t sin t+1
5.
Inlocuind-o ın prima ecuatie (nu ın a doua!5) obtinem
x2 = −(D + 2)x1 + 1 =3
5− C1e
−2t cos t+ C2e−2t sin t.
Observatie. Rezultatul astfel obtinut coincide, ın mod firesc, cu cel dedusprin metoda matriceala.
Exemplul 2. Sistemul diferential din §3.1.1, exemplul 2, se va scrie ınnotatia operatoriala astfel
(D2 + 5)y1 − 2y2 = 0−2y1 + (D2 + 2)y2 = 0
.
Aplicand primei ecuatii operatorul1
2(D2 +2) si adunand-o la ecuatia a doua,
obtinem
1
2(D2 + 5)(D2 + 2)y1 − 2y1 = 0⇔ (D4 + 7D2 + 6)y1 = 0,
Radacinile ecuatiei sale caracteristice λ4 + 7λ2 + 6 = 0 sunt λ1,2 = ±i siλ3,4 = ±
√6i. Astfel ıncat solutia generala corespunzatoare ei va fi
y1 = C1 cos t+ C2 sin t+ C3 cos√
6t+ C4 sin√
6t.
Pentru a obtine functia necunoscuta y2 trebuie, asa cum am explicat mai sus,sa utilizam prima ecuatie, ın care aceasta functie apare nederivata
y2 =1
2(D2+5)y1 =
1
2y′′1+
5
2y1 = 2C1 cos t+2C2 sin t−1
2C3 cos
√6t−1
2C4 sin
√6t.
5Daca o introducem ın a doua ecuatie, obtinem o noua edl (de ordinul I) ın necunoscutax2. Ceea ce conduce, prin rezolvarea sa, la aparitia unei a treia constante arbitrare ınsolutia sistemului. Faptul acesta contravine teoremei de unicitate a solutiei p.c.i. Explicatide ce!
38 CAP. 3. SISTEME DIFERENTIALE LINIARE (SDL)
Impunand conditiile (3.10) de maisus, se obtine solutia sistemului fiziccu doua mase si doua resorturi din§3.1.1:y1(t) = cos t− 2 sin
√6t,
y2(t) = 2 cos t+ sin√
6t,cu reprezentarea grafica alaturata.
Cap. 4
Metoda transformatei Laplace
4.1 Notiuni introductive
In acest capitol vom dezvolta o metoda de rezolvare a problemelor cu conditiiinitiale pentru ecuatiile si sistemele diferentiale liniare cu coeficienti constantimai eficienta si mai generala decat cele descrise ın capitolul precedent. Ease bazeaza pe o transformare integrala importanta si care reprezinta un in-strument principal de lucru ın fizica, inginerie si alte domenii cu caracteraplicativ. Incepem prezentarea sa.
4.1.1 Transformata Laplace si proprietatile ei
Aceasta transformata se aplica functiilor de variabila reala si valori realef(t), t ≥ 0 - functii care au urmatoarele doua proprietati:
a) exista M,k ≥ 0 : ∀t ≥ 0, |f(t)| ≤Mekt.1
b) f(t) este continua pe portiuni. Aceasta ınseamna ca ın fiecare intervalfinit [a, b] ⊂ R+ functia are cel mult un numar finit de puncte de discon-tinuitate, puncte ın care limitele laterale exista si sunt finite. (In figuraurmatoare este reprezentat graficul unei astfel de functie. S-au marcat prinbuline valorile ei ın punctele de salt).
1De exemplu functiile et2
, 1/t, 1/(t− 1) etc, nu au aceasta proprietate.
39
40 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE
Definitia transformatei LaplaceDaca functia f(t), definita pentru orice t ≥ 0, verifica cele doua proprietati a)si b)2, notam cu F (s) sau L(f) integrala improprie cu parametru3 urmatoare
F (s) = L[f ] =
∫ ∞0
e−stf(t)dt (4.1)
Ea se numete imaginea prin L a functiei f(t), iar aceasta nume Exemplul1. Calculam L[t] =
∫∞0te−stf(t)dt.
Primitiva integrandului, determinata prin parti, este: −1
s
(t+
1
s
)e−st si
calculata ıntre limitele t→∞ si t = 0 are ca rezultat
limt→∞
[− tse−st − 1
s2e−st +
1
s2
]=
1
s2
pentru orice s > 0.Existenta transformatei L(f)Functia e−stf(t) continua pe portiuni (conditia b) este integrabila pe oriceinterval finit al axei t. Daca s > k, unde k este cel din conditia a, atunci ınbaza acesteia
|L[f ]| =∣∣∣∣∫ ∞
0
e−stf(t)dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞0
e−st|f(t|dt ≤∫ ∞0
Mekte−stdt =M
s− k,
ceea ce demonstreaza convergenta integralei improprii pentru s ın intervalulmentionat.
Alte exemple. 2. L[1] =∫∞0e−stdt =
[−1
se−st
]∞t=0
=1
s, pentru s > 0.
3. L[eat] =∫∞0e−steatdt =
[1
a− se−(s−a)t
]∞t=0
=1
s− a, pentru s > a.
2Caz ın care i se mai spune L - transformabila.3Vezi cursul de Analiza matematica; aici parametrul este s > a ≥ 0, unde a va fi
precizat ın cazul fiecarei functii.
4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 41
Transformata Laplace inversa Daca exista transformata F (s) pentrus > k, atunci aceasta este unica (pe intervalul dat) si preimaginea sa f(t)defineste transformata Laplace inversa
L−1[F (s)] = f(t) (4.2)
Liniaritatea transformatei Laplace
∀f(t), g(t) L− transformabile si ∀a, b ∈ R :
L[af(t) + bg(t)] = aL[f(t)] + bL[g(t)]. (4.3)
Conform unei teoreme din Algebra liniara, daca o aplicatie liniara este in-versabila (i.e. injectiva) atunci inversa ei este liniara:4
L−1[af(t) + bg(t)] = aL−1[f(t)] + bL−1[g(t)]. (4.4)
Aplicatii
1. L[cosh t] =1
2L[eat] +
1
2L[e−at] =
1
2
(1
s− a+
1
s+ a
)=
s
s2 − a2;
2. L[sinh t] =1
2L[eat]− 1
2L[e−at] =
1
2
(1
s− a− 1
s+ a
)=
a
s2 − a2;
unde s2 − a2 > 0, deci s > |a|.Urmatoarele doua formule vor fi deduse utilizand exponentiala complexa
(vezi Cap.2 §2.1.1, cazul III): eit = cos t + i sin t. Din ea putem deduce sie−it = cos t− i sin t, pentru ca apoi, prin adunare si scadere, sa rezulte
cos t =eit + e−it
2, sin t =
eit − e−it
2i.
Astfel
L[cos t] =1
2
(L[eit] + L[e−it]
), L[sin t] =
1
2i
(L[eit]− L[e−it]
). (∗)
Prin extinderea formulei din exemplul 3 anterior, obtinem
L[eit] =1
s− isi L[e−it] =
1
s+ i
4Aici inversa L−1 este definita pe imaginea lui L,
42 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE
pe care ınlocuindu-le ın (∗) gasim
L[cos t] =1
2
(1
s− i+
1
s+ i
)=
s
s2 − i2=
s
s2 + 1,
si similar
L[sin t] =1
2i
(1
s− i− 1
s+ i
)=
1
s2 − i2=
1
s2 + 1.
Intr-o forma mai generala ele se prezinta astfel
L[cosωt] =s
s2 + ω2si L[sinωt] =
ω
s2 + ω2,
pentru orice ω ∈ R.
Deplasarea imaginii (s-deplasarea)
L[eatf(t)] = F (s− a) (4.5)
unde F (s) = L[f(t)] si daca s > k reprezinta domeniul de existenta pentruF (s), atunci cel pentru F (s − a) este s > k + a. Aplicand ambilor membritransformata L−1, formula poate fi scrisa
eatf(t) = L−1[F (s− a)]. (4.6)
Demonstratie. Inlocuim s cu s− a ın (4.1) si obtinem
F (s− a) =
∫ ∞0
e−(s−a)tf(t)dt =
∫ ∞0
e−st[eatf(t)]dt = L[eatf(t)].4
Transformata Laplace a derivatei
L[f ′(t)] = sL[f(t)]− f(0) (4.7)
unde f(t) este continua ın [0,∞), iar f(t) si f ′(t) sunt L-transformabile.Demonstratie. Daca f ′ este continua5, integrand prin parti obtinem
L[f ′(t)] =
∫ ∞0
e−stf ′(t)dt =[e−stf(t)
]∞t=0
+ s
∫ ∞0
e−stf(t)dt.
5Desi demonstratia o facem pentru acest caz, ea poate fi extinsa si la cazul continuitatiipe portiuni (conditia b).
4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 43
In baza primei proprietati a L-transformabilitatii, rezulta ca pentru s > k :limt→∞
e−st|f(t)| ≤ M limt→∞
e−(s−k)t = 0. Astfel, membrul drept al integrarii prin
parti coincide cu membrul drept din formula (4.7). Daca f ′(t) si f ′′(t) satisfacaceleasi conditii ca f(t) si f ′(t) din (4.7), atunci aplicand de doua ori aceastaformula, gasim
L[f ′′(t)] = s2L[f(t)]− sf(0)− f ′(0). (4.8)
Astfel, ın ipoteze adecvate, se pot determina transformatele Laplace alederivatelor functiei f(t) de orice ordin.
Transformata Laplace a primitivei
L[∫ t
0
f(τ)dτ
]=
1
sF (s) (4.9)
Demonstratie. Deoarece f(t) este continua pe portiuni (conditia b), primitivasa g(t) =
∫ t0f(τ)dτ este continua. In plus
|g(t)| =∣∣∣∣∫ t
0
f(τ)dτ
∣∣∣∣ ≤ ∫ t
0
|f(τ)|dτ ≤M
∫ t
0
ekτdτ =M
k(ekt − 1) ≤ M
kekt,
unde k si M sunt constantele corespunzatoare din conditia a pentru f(t).Astfel ıncat functiei g(t) i se poate aplica formula (4.7)
L[g′(t)] = sL[g(t)]− g(0) = sL[g(t)]
Ceea ce conduce imediat la formula (4.9), deoarece s > 0
4.1.2 Rezolvarea problemei cu conditii initiale
Transformata Laplace ofera cea mai directa si simpla metoda de rezolvarea acestui tip de probleme pentru EDL si SDL cu coeficienti constanti. Saurmarim pentru ınceput cazul edl cu coeficienti constanti. Metoda parcurgetrei etape:
I. L-transformarea EDL ıntr-o ecuatie algebrica avand drept necunoscutaY (s) = L[y(t)].
II. Determinarea algebrica a necunoscutei Y (s).III. Revenirea, prin L−1[Y (s)], la solutia cautata y(t).
44 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE
Exemplul 1. Se cere determinarea solutiei edl y′(t) − y(t) = et caresatisface conditia (initiala) y(0) = 1.R. Etapa I-a: L[y′(t)− y(t)] = L[et]⇔ L[y′(t)]− L[y(t)] = L[et].Notam L[y(t)] = Y (s), apoi utilizand (4.7) si exemplul 3 §2.1.1, obtinem
sY (s)− 1 + Y (s) =1
s− 1.
Etapa a II-a: din aceasta ecuatie extragem Y (s) =s
(s− 1)2.
Etapa a III-a: descompunem rezultatul ın fractii simple
Y (s) =1
(s− 1)2+
1
s− 1si aplicam, membru cu membru, L−1; obtinem
y(t) = L−1[Y (s)] = L−1[
1
(s− 1)2
]+ L−1
[1
s− 1
]. Pentru a determina
L−1[
1
(s− 1)2
]apelam la formulele (4.5) si (4.6) luand a = 1 si F (s) =
1
s2.
Intrucat L[t] =1
s2(vezi exemplul 1 §2.1.1) va rezulta ca L[ett] =
1
(s− 1)2de
unde L−1[
1
(s− 1)2
]= ett. Deoarece L[et] =
1
s− 1, deci L−1
[1
s− 1
]= et,
solutia problemei va fi y(t) = ett+ et.
Exemplul 2. Se cauta solutia ecuatiei y′′(t) − 3y′(t) + 2y(t) = cos t caresatisface conditiile y(0) = 1, y′(0) = 0.R. Etapa I-a: Aplicand transformata L celor doi membri, obtinem, utilizandsi formula (4.8)
s2Y (s)− sy(0)− y′(0)− 3(sY (s)− y(0)) + 2Y (s) =s
s2 + 1.
Inlocuind apoi valorile conditiilor initiale si grupand termenii gasim
(s2 − 3s+ 2)Y (s) = s− 3 +s
s2 + 1.
Etapa a II-a: extragem Y (s) =s3 − 3s2 + 2s− 3
(s2 − 3s+ 2)(s2 + 1).
Etapa a III-a: Descompunem rezultatul ın fractii simple
Y (s) =3
2(s− 1)− 3
5(s− 2)+
s
10(s2 + 1)− 3
10(s2 + 1),
4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 45
si aplicam, membru cu membru, L−1 utilizand tabelele anterioare; obtinem
y(t) =3
2et − 3
5e2t +
1
10cos t− 3
10sin t.
Tabel de transformate Laplace uzuale.
f(t) F (s) f(t) F (s)
1 11
s7 cosωt
s
s2 + ω2
2 t1
s28 sinωt
ω
s2 + ω2
3 t22!
s39 cosh at
s
s2 − a2
4 tn(n = 0, 1, 2, . . . )n!
sn+110 sinh at
a
s2 − a2
5 ta(a > 0)Γ(a+ 1)
sa+111 eat cosωt
s− a(s− a)2 + ω2
6 eat1
s− a12 eat sinωt
ω
(s− a)2 + ω2
Cazul conditiilor initiale ın t0 6= 0. Formulele (4.7) si (4.8) - de calculal transformatei Laplace pentru derivate - presupun conditii initiale date ınt = 0. Atunci cand ele sunt date ın t0 6= 0, se efectueaza translatia devariabila t = τ + t0, prin care sunt readuse ın origine .
Exemplul 3. Sa se determine solutia problemei cu conditii initiale
y′′(t)− y(t) = t, y(1) = 1, y′(1) = 0.
R. Punand t = τ + 1 rezultad
dt=
d
dτasa ıncat daca notam
∼y(τ) = y(t),
noua problema va fi
46 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE
d2∼y
dτ− ∼y = τ + 1, cu conditiile
∼y(0) = 1,
d∼y
dτ(0) = 0.
In prima etapa obtinem (s2 − 1)∼Y = s+
1
s2, iar din a doua etapa
∼Y =
s3 + 1
s2(s2 − 1)=
1
s− 1− 1
s2.
Prin transformarea inversa:∼y(τ) = eτ − τ si revenind la variabila t si functia
y(t) obtinemy(t) = et−1 − (t− 1).
4.1.3 Functia ”treapta unitate” a lui Heaviside
Transformata Laplace este nu numai un instrument avantajos de a rezolvaprobleme cu conditii initiale, asa cum am vazut deja, ci permite si gasireaunor solutii pentru acestea ın cazuri ın care metodele discutate ın §2.1 nu potopera. Mai precis este vorba despre acele edl neomogene al caror membrudrept are discontinuitati.6 Astfel de functii modeleaza fenomene frecventıntalnite ın electricitate, mecanica, probabilitati etc. Conceptele matematiceprin care se realizeaza aceasta modelare sunt ”trepta unitate” u(t − a) si”impulsul Dirac” δ(t− a). Ne vom ocupa ın continuare de primul dintre ele.
Treapta unitate sau functia lui Heaviside (dupa numele inginerului englezcare a introdus-o si utilizat-o) este definita astfel
u(t− a) =
0 daca t < a1 daca t > a
unde a ≥ 0 fixat. (4.10)
Graficul sau este,
6Aici vom discuta cazul functiilor continue pe portiuni (vezi proprietatea b din §4.1.1).
4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 47
iar transformata Laplace
L[u(t−a)] =
∫ ∞0
e−stu(t−a)dt =
∫ ∞a
e−st1dt =
[−e−st
s
]∞t=a
=e−as
s(4.11)
unde a ≥ 0, s > 0.Printre rolurile importante ale treptei Heaviside u(t− a) se numara cele
de a ”aprinde”, ”stinge” sau ”ıntarzia” intrarea ın functiune a unor actiunireprezentate prin functii. Un exemplu ıl constituie semnalul periodic reprezen-tat de functia f(t) = 5 sin t. Urmariti pe grafice consecintele ınmultirii, perand, a lui f(t) si f(t− 2), cu u(t− 2).
In cazul (B) f(t) ramane ”stinsa” pana la momentul t = 2, cand se aprinde;pe cand ın cazul (C) f(t) se translateaza cu t = 2 unitati de timp.Problema. Trasati graficul functiei f(t)u(2− t). Ce actiune descrie acesta?
Deplasarea originalului (t-deplasarea)
L[f(t− a)u(t− a)] = e−asF (s) (4.12)
si aplicand ambilor termeni L−1:
f(t− a)u(t− a) = L−1[e−asF (s)] (4.13)
Demonstratie. Intrucat F (s) =∫∞0e−sτf(τ)dτ rezulta e−asF (s) =
∫∞0e−s(τ+a)f(τ)dτ .
Prin schimbarea de variabila τ + a = t rezulta dτ = dt si egalitatea devine
e−asF (s) =
∫ ∞a
e−stf(t− a)dt.
48 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE
Pentru a readuce limita inferioara de integrare la 0 apelam la functia treaptaınmultind integrandul cu u(t− a). Obtinem astfel relatia
e−asF (s) =
∫ ∞0
e−stf(t− a)u(t− a)dt.4
Aplicatie importanta. In probleme aplicative apar frecvent funtii definitepe cazuri (ramuri) si ale caror transformate trebuie determinate. Metodase bazeaza pe rescrierea lor drept sume de produse ıntre functiile date, cuargument translatat, si combinatii de functii - treapta.
Exemplul 1. Sa se determine L[f(t)] unde
f(t) =
t daca 0 < t <
π
2cos t daca
π
2< t < π
0 daca t > π
Metoda I-a. Transformam, mai ıntai, definitia pe ramuri a functiei f(t) ıntr-o suma de functii definite pe intervalele disjuncte (0, π/2), (π/2, π), (π,∞):
f(t) = t[u(t)− u
(t− π
2
)]+ cos t
[u(t− π
2
)− u(t− π)
].
Pentru a putea aplica formula (4.12) trebuie ca aceasta suma sa fie rescrisa,la randul ei, numai din termeni de forma f(t − a)u(t − a). Incepem cu re-
scrierea primului termen t[u(t)− u
(t− π
2
)]pe care mai ıntai ıl dezvoltam
si apoi ıl rescriem astfel:
tu(t)− tu(t− π
2
)= tu(t)−
(t− π
2
)u(t− π
2
)− π
2u(t− π
2
).
Aplicand (4.12) pentru acest prim termen, gasim
L[t(u(t)− u
(t− π
2
))]= L[tu(t)]−L
[(t− π
2
)u(t− π
2
)]−π
2L[u(t− π
2
)]=
=1
s2− e−πs/2 1
s2− π
2
(e−πs/2
s
).
Dezvoltam al doilea termen
cos t[u(t− π
2
)− u(t− π)
]= cos t u
(t− π
2
)− cos t u (t− π) =
4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 49
= cos(t− π
2+π
2
)u(t− π
2
)−cos(t−π+π)u(t−π) = − sin
(t− π
2
)u(t− π
2
)+
+ cos(t− π)u(t− π).Aplicam (4.12) si obtinem
L[cos t
(u(t− π
2
)− u(t− π)
)]= −L
[sin(t− π
2
)u(t− π
2
)]+L[cos(t−π)u(t−π)] =
= −e−πs/2 1
1 + s2+ e−πs
s
1 + s2.
In final gasim
L[f(t)] =1
s2− e−
πs2
(1
s2+
1
s2 + 1+π/2
s
)+ e−πs
s
s2 + 1.
Observatie utila. Pentru a evita trecerea de la termenii f(t)u(t− a) lacei de forma f(t− a)u(t− a), ın general mai laborioasa, puteti aplica directtransformata Laplace celor dintai prin formula
L [f(t)u(t− a)] = e−asL [f(t+ a)] . (4.14)
Metoda a II-a. Astfel, utilizand ın exemplul precedent formula (4.14),obtinem pe rand
L [tu(t)] = L[t] =1
s2,
L[−tu(t− π
2)]
= −e−πs/2L[t+
π
2
]= −e−πs/2
(1
s2+π/2
s
),
L[cos tu(t− π
2)]
= e−πs/2L[cos tu(t+
π
2)]
= e−πs/2L [− sin t] = −e−πs/2
s2 + 1,
L [− cos tu(t− π)] = −e−πsL [cos(t+ π)] = e−πsL [cos t] = e−πss
s2 + 1.
Adunand aceste patru transformate obtinem acelasi rezultat ca mai sus.
Problema inversa. Dandu-se transformata F (s) a unei functii definitape intervale, sa se determine L−1[F (s)].
Exemplul 2. Sa se determine
L−1[
e−s
(s+ 1)2+
e−2s
s2 + π2
].
50 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE
R. Pentru a determina L−1 [e−asF (s)] plecam de la (4.13), care ne conduce
la f(t) = L−1[F (s)]. Astfel L−1[
1
(s+ 1)2
]= e−tt (vezi tabelul 1(2) si (4.5)).
Atunci, conf. (4.13), L−1[
e−s
(s+ 1)2
]= e1−t(t− 1)u(t− 1).
Similar L−1[
1
s2 + π2
]=
1
πsin πt (Tabel 2(7)). Deci conf. (4.13)
L−1[
e−2s
s2 + π2
]=
1
πsin π(t− 2) u(t− 2) si ın concluzie
L−1[
e−s
(s+ 1)2+
e−2s
s2 + π2
]= e1−t(t− 1)u(t− 1) +
1
πsin π(t− 2) u(t− 2).
4.1.4 EDL cu membru drept-functie cu salt
In multe probleme aplicative ce conduc la edl neomogene, membrul dreptreprezina o functie avand discontinuitati de speta I-a (i.e. cu limite lateralefinite). Ea se poate reprezenta cu ajutorul treptei unitate, iar transformataLaplace constituie metoda adecvata de a obtine ın acest caz solutia uneiprobleme cu conditii initiale.
Exemplul 1. Solutia problemei y′(t)+y(t) = u(t−1)−u(t−2), y(0) = 0.
R. Aplicam L si obtinem sY (s) − y(0) + Y (s) =1
s(e−s − e−2s). Inlocuim
y(0) = 0 si extragem Y (s) =e−s − e−2s
s(s+ 1). Deoarece L−1
[e−s(
1
s− 1
s+ 1
)]=
(1− e1−t)u(t− 1) si L−1[e−2s
(1
s− 1
s+ 1
)]= (1− e2−t)u(t− 2)
(exemplul 2, §4.1.3) obtinem solutia de tip ”dinte defierastrau”
f(t) =
0 daca 0 < t < 1
1− e1−t daca 1 ≤ t < 2e2−t − e1−t daca t ≥ 2
4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 51
Functia Delta (impuls unitar)
Se noteaza δ(t) si fara fi propriu-zis o functie7, ea joaca un rol important ınmodelarea unor fenomene bruste, de pilda ”lovitura de ciocan”. Proprietatileei se exprima frecvent prin intermediul unor integrale improprii. Iata douadintre ele:
1.
∫ ∞0
δ(t− a)dt = 1, (4.15)
si pentru orice functie f(t) continua pe [0,∞):
2.
∫ ∞0
f(t)δ(t− a)dt = f(a). (4.16)
Inlocuind ın (4.16) f(t) cu e−ts deducem L - transformata lui δ(t− a):
L [δ(t− a)] = e−as. (4.17)
Exemplul 2. Vom studia efectul produs de o actiune brusca (idealinstantanee), modelata prin functia δ, asupra unui sistem masa-resort cuamortizor (vezi exemplul 4 §2.1.1) la momentul t = 1 . Edl si neomogena asistemului fizic este
y′′(t) + 5y′(t) + 6y(t) = δ(t− 1),
iar conditiile initiale : y(0) = y′(0) = 0, arata ca sistemul s-a aflat la ınceputın pozitia de repaus.
R. Aplicand L : s2Y (s) + 5sY (s) + 6Y (s) = e−s,
de unde Y (s) =e−s
s2 + 5s+ 6=
e−s
s+ 2− e−s
s+ 3.
Astfel y(t) = L−1[e−s
s+ 2
]− L−1
[e−s
s+ 3
]=
e2−2tu(t− 1)− e3−3tu(t− 1).
7Ea reprezinta o functie generalizata sau distributie.
52 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE
4.1.5 Transformata Laplace pentru SDL
Metoda transformatei Laplace se aplica sistemelor diferentiale liniare exactla fel cum se aplica si ecuatiilor diferentiale liniare.
Exemplul 1. Sa se determine solutia SDLy′ = zz′ = −4y + δ(t− π)
care verifica conditii initiale y(0) = 0, z(0) = 0.R. Aplicand L ın ambele ecuatii obtinem sistemul algebric
sY = ZsZ = −4Y + e−πs
avand solutia Y =e−πs
s2 + 4, Z =
se−πs
s2 + 4.
Prin transformarea inversa obtinem solutiile cautate.8
y(t) =sin 2(t− π)
2u(t− π), z(t) =
cos 2(t− π)
2u(t− π).
Rezolvarea vectoriala. Reluam notatia (3.3) a unui astfel de sistem ınforma normala
x(t) = Ax(t) + b(t)
si a conditiei initiale corespunzatoare x(0) (vezi §3.1.1). Transformata Laplacea acestuia poate fi si ea realizata vectorial astfel:
Cazul 2× 2.
L[x1(t)x2(t)
]=
[L[x1(t)]L[x2(t)]
]=
[sX1(s)− x1(0)sX2(s)− x2(0)
]= sX(s)− x(0),
unde X(s) este transformata Laplace a vectorului de functii x(t). Intro-ducandu-l ın sistemul algebric
sX(s)− x(0) = AX(s) +B(s), (4.18)
8Deoarece solutiile sunt functii periodice cu perioada 2π, miscarea este si ea periodica.Reprezentand parametric ın planul yOz curba y = y(t), z = z(t) obtinem un cerc de raza1/2, iar punctul (y(t), z(t)) ıncepe sa se roteasca pe acest cerc de la momentul t = π.
4.1. NOTIUNI INTRODUCTIVE 53
unde B(s) reprezinta vectorul L[b(t)] al transformatelor Laplace ai termenilorliberi bj(t), j = 1, 2 din cele doua ecuatii ale sistemului diferential dat.Solutia vectoriala a sistemului (4.18) poate fi scrisa atunci astfel
X(s) = Z(s)(B(s) + x(0)) unde Z(s) = (sI2 − A)−1. (4.19)
Observatie. Pentru ca matricea Z(s) sa existe trebuie ca s 6∈ Spec(A).Explicati de ce.
Efectuand transformata inversa a vectorului X(s) obtinem solutia pro-blemei cu conditia initiala considerata.
Exemplul 2.
x =
[2 11 2
]x+
[t−t
], x(0) =
[10
].
Aplicam transformata L acestei ecuatii vectoriale si obtinem
sX(s)−[
10
]=
[2 11 2
]X(s) +
1
s2
[1−1
].
Intrucat aici
sI2−A =
[s− 2 −1−1 s− 2
], (sI2−A)−1 =
1
(s− 1)(s− 3)
[s− 2 1
1 s− 2
],
rezulta ca
X(s) = (sI2 − A)−1(
1
s2
[1−1
])=
1
s2(s− 1)(s− 3)
[s− 33− s
]=
=1
s2(s− 1)
[1−1
], iar x(t) =
1
2
[3et + e3t − 2t− 2e3t − 3et + 2t+ 2
].
54 CAP. 4. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE
Tabel de transformate Laplace inverse
F (s) f(t) F (s) f(t)
11
s1 13
1
s2 − a2sinh at/a
21
s2t 14
s
s2 − a2cosh at
31
sntn−1
(n− 1)!15
1
(s− a)2 + ω2eat sinhωt
41√s
1√πt
16s− a
(s− a)2 + ω2eat cosωt
51
s3/22√t/π
171
s(s2 + ω2)
1− cosωt
ω2
61
sa(a > 0)
ta−1
Γ(a)18
1
s2(s2 + ω2)
ωt− sinωt
ω3
71
s− aeat 19
1
(s2 + ω2)2sinωt− ωt cosωt
2ω3
81
(s− a)2teat 20
s
(s2 + ω2)2sinωt
2ω
91
(s− a)ntn−1eat
(n− 1)!21
s2
(s2 + ω2)2sinωt+ ωt cosωt
2ω
101
(s− a)k; (k > 0)
tk−1eat
Γ(k)22
√s− a−
√s− b ebt − eat
2√πt3
111
s2 + ω2
sinωt
ω23
1√se−k/s
1√πt
cos 2√kt
12s
s2 + ω2cosωt 24 e−k
√s; (k > 0)
k
2√πt3
e−k2/4t
Cap. 5
ANEXA
5.1 Algoritm de calcul al matricei eAt
.Explicam ın cele ce urmeaza o metoda de calcul al exponentialei oricarei
matrice patrate A ∈Mn(R) : eAt pentru orice t ∈ R. Ea se bazeaza pe urmatorul
Rezultat. Pentru orice matrice A ∈Mn(R) exista functiile de t:
α0, α1, . . . , αn−1
unic determinate, astfel ıncat pentru orice t ∈ R:
eAt = αn−1An−1tn−1 + · · ·+ α1At+ α0In. (5.1)
In plus, considerand polinomul
r(λ) = αn−1λn−1 + · · ·+ α1λ+ α0, (5.2)
pentru fiecare valoare proprie λ ∈ Spec(A) are loc relatia
r(λt) = eλt; (5.3)
iar daca multiplicitatea m = mλ > 1, atunci au loc si urmatoarele m − 1relatii
r′(λt) = eλt, . . . , rm−1(λt) = eλt. (5.4)
Deducem de aici un algoritm ın trei pasi pentru a determina matriceaexponentiala eAt pentru A ∈Mn(R).
55
56 CAP. 5. ANEXA
Algoritm de constructie a matricei eAt.1
Pasul 1. Se determina valorile proprii distincte λ1, . . . , λp ale matricei A simultiplicitatile lor corespunzatoare: m1, . . . ,mp.
Pasul 2. Pentru fiecare λj ∈ Spec(A) se construiesc:- relatia (5.3), iar- daca mj > 1, atunci si relatiile (5.4) corespunzatoare.Apoi se rezolva sistemul liniar n×n asfel obtinut extragand valorile necunos-cutelor α0, α1, . . . , αn−1.
Pasul 3. Se introduc aceste valori ın relatia (5.1) obtinandu-se astfel ma-tricea eAt.
Exemple.
1. A =
[1 30 1
], Spec(A) = 1, m = 2.
Relatiile (5.3) vor fi
r(t) = α1t+ α0 = et
r′(t) = α1 = etdin care extragem
α0 = (1− t)et, α1 = et.Introducandu-le ın (5.1) obtinem
eAt = α1At+α0I2 = et[t 3t0 t
]+(1−t)et
[1 00 1
]=
[et 3tet
0 et
]= et
[1 3t0 1
].
2. A =
0 0 01 0 01 0 1
, Spec(A) = 0, 1, m1 = 2, m2 = 1.
Din relatiile
r(0t) = α2(0t)
2 + α1(0t) + α0 = e0t = 1r′(0t) = 2α2(0t) + α1 = e0t = 1r(1t) = α2(1t)
2 + α1(1t) + α0 = e1t = et
obtinem α0 = 1, α1 = 1, α2 =et − t− 1
t2,
1Pentru calculul manual, algoritmul este fezabil ın cazul matricelor 2 × 2, iar pentrumatricele 3× 3 doar ın cazul celor simple.
5.2. EXERCITII 57
eAt = α2A2t2+α1At+α0I3 =
α0 0 0α1t α0 0
α2t2 + α1t 0 α2t
2 + α1t+ α0
=
1 0 0t 1 0
et − 1 0 et
.3. A =
[0 −11 0
], Spec(A) = −i, i (i =
√−1), m1 = m2 = 1.
Relatiile (5.3) vor fi
r(−it) = α1(−it) + α0 = e−it
r(it) = α1it+ α0 = eitdin care extragem
α0 =eit + e−it
2= cos t, α1 =
eit − e−it
2it=
sin t
t.
eAt = α1At+ α0I2 =sin t
t
[0 −11 0
]t+ cos t
[1 00 1
]=
[cos t − sin tsin t cos t
].
5.2 Exercitii
Determinati solutiile urmatoarelor probleme cu conditii initiale: a) cu metodeledescrise ın §2.1, daca se poate; b) cu metoda transformatei Laplace.Verificati, ın cazul folosirii ambelor metode, coincidenta rezultatelor obtinute.
1. x′ − 2x = 4, x(0) = 1. 2. x′ + 2x = 10e3t, x(0) = 6.
3. x′−4x = 2e2t+e4t, x(0) = 0. 4. x′′−3x′+2x = 2e3t, x(0) = 5, x′(0) = 7.
5. x′′ − 4x = 24 cos 2t, x(0) = 3, x′(0) = 4.
6. x′′ + 5x′ + 6x = 4t, x(0) = 0, x′(0) = 0.
7. x′′ + x =
t daca 0 < t < 10 daca t > 1
, x(0) = x′(0) = 0.
8. x′′ + x = δ(t− 2π), x(0) = 10, x′(0) = 0.
9. x′′ + 3x′ − 4x = 6e2t−2, x(1) = 4, x′(1) = 5.
10. x′1 = 5x1 + x2, x′2 = x1 + 5x2, x1(0) = 1, x2(0) = −3.
11. x′1 + x2 = 0, x1 + x′2 = 2 cos t, x1(0) = 1, x2(0) = 0.
12. x′1 = x2 + 1− u(t− 1), x′2 = −x1 + 1− u(t− 1), x1(0) = x2(0) = 0.