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Editorial Santillana S.A. de C.V.
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PRESENTACIÓN
La serie Huellas de papel está dedicada a los jóvenes lectores que ya han descu-bierto el placer de la lectura y también el gusto por adquirir nuevos
conocimientos sobre tópicos variados. Por tal razón los libros han sido escritos porinvestigadores a quienes apasionan los temas que tratan y que conciben el estudiocomo una forma de aprehender el mundo, y la divulgación como una manera decompartirlo.
Este volumen está consagrado a los números, su historia e influencia en el pen-samiento de la humanidad. Desde las marcas hechas en roca o en hueso por loshombres prehistóricos hasta las computadoras más modernas, siempre hemos vivi-do rodeados de números, que nos sirven para contar la cantidad de años que cum-plimos, calcular cómo dividir treinta panes entre nueve constructores de pirámideso saber cómo construir un edificio.
En este libro encontrarás páginas dedicadas al apasionante viaje de los números:su ruta comenzó en la India, pasó por el norte de África y terminó en Europa; otrasnarran el nacimiento asombroso de un número peculiar: el cero; algunas más, lahistoria de los pitagóricos y el descubrimiento aterrador de los números irraciona-les. También se trata el tema de los números quebrados y cómo no tener quebrade-ros de cabeza por su culpa.
Gracias a los números también podemos medir distancias —la distancia máscorta entre dos puntos o la que hay entre la Tierra y la Luna—, perímetros y áreas;aprender música y leer un mapa. Más importante aún, podemos divertirnos tratan-do de resolver problemas o conjeturas planteadas por grandes matemáticos y queaún no tienen solución.
Los editores
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que habitaban las cavernas hace muchí-simos años tenían necesidades que losobligaron a aprender a contar. Pense-mos algunas de estas necesidades:
Llevar la cuenta del número deanimales que habían cazado para saberque eran suficientes para alimentar asus familias.
Llevar la cuenta de cuántas pieleshabían curtido para saber que serían su-ficientes para calentar a sus familias enel invierno.
Llevar la cuenta del número de días que habían pasado desde que plantaronlas semillas, para saber cuándo teníanque recoger la cosecha.
Algunas de estas cuentas requierensólo números pequeños: 1, 2, 3 tal vez4 o 5, en todo caso, números que pode-mos contar con los dedos de las manos.
Las primeras preguntas que hace unadulto a un niño al que ve por pri-
mera vez son: ¿cómo te llamas?, ¿cuán-tos años tienes?
Generalmente, si el niño ya ha apren-dido a contestar su nombre también escapaz de decir su edad, aunque sea indi-cando la respuesta con los dedos.
El primer contacto de un niño con lasmatemáticas se produce muy pronto ensu vida. El pequeño aprende su edad y acontar algunos de los objetos que lo ro-dean. Cuando menos hasta el diez, que esel número de los dedos de sus manos.
Hay una gran variedad de razonespor las que el hombre necesita contar.No sólo el hombre moderno que habitaen las grandes ciudades de nuestro pla-neta. Aun los hombres más primitivos
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1. NÚMEROS PARA CONTAR
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Pero, por ejemplo, contar los días delaño ya es otra cosa. Necesitamos núme-ros más grandes que los que usamospara acordarnos de cuántos días hantranscurrido desde que plantamos lassemillas.
Los dedos de las manos no bastanpara estas necesidades. Así, el hombreprimitivo tuvo que utilizar su inteligen-cia para aprender a contar números másgrandes y también a registrarlos.
Cuando el ser humano aprendió acontar números grandes pudo contarmuchas cosas interesantes. Éstos son só-lo algunos ejemplos de cosas que apren-deremos juntos a contar:
Contar el número de habitantes entu ciudad, así como el número de habi-tantes del país.
Contar los granos de arena que hayen la playa.
Contar el número de especies dis-tintas de animales en el mundo.
Contar el número de estrellas quehay en el cielo.
A lo largo de las páginas de este libroveremos cómo el hombre aprendió aregistrar los números, cómo los ha usa-do en su provecho ya sea sumando,multiplicando, dividiendo e inventan-do nuevos tipos de números que lepermiten hacer muchas otras cosas.¿Qué puede hacer el hombre con losnúmeros, además de contar?
Con los números se pueden medirdistancias. En centímetros, metros, kiló-metros. La distancia que separa un salónde otro en la escuela; la escuela de tucasa; la ciudad de cualquier otra pobla-ción del país; nuestro planeta del Sol.
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Con los números se puede medir elpaso del tiempo. Los minutos, las horas,los días y los años.
Con los números podemos medirla velocidad de un camión, de un auto-móvil, de un tren.
A lo largo de la historia, los númeroshan sido fundamentales en el desarro-llo de gran variedad de actividades delhombre. Veremos el papel que los nú-meros han tenido para:
La creación de música.El diseño de casas y edificios.El florecimiento del arte en sus más
variadas expresiones.El desarrollo de la ciencia: la quími-
ca, la física y la biología.La construcción de las máquinas
más sencillas como la balanza y la pa-lanca, hasta la construcción de los mássofisticados y modernos adelantos tec-nológicos, como la televisión, los satéli-tes y las computadoras.
Ésta es una historia fascinante.
Los números sirven para medir el paso del tiempo.
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también conocido como Edad de Pie-dra. En aquellos tiempos primitivos, elhombre aprendió a dominar el fuego ycomenzó a llevar los primeros registrosnuméricos en las paredes de las caver-nas y sobre huesos de animales. Estosregistros han perdurado hasta nuestrosdías, porque la piedra y el hueso resis-ten el paso del tiempo y la humedad.
Para contar, además del hueso, lamadera y la piedra, el hombre ha utiliza-
do desde los tiemposprimitivos su propio
cuerpo. No se trata eneste caso de marcar el
cuerpo, sino de designarciertos lugares delcuerpo y atribuir-les un número.
Los ojos pueden reconocer muchascosas, sin embargo, cuando se trata
de contar, tienen grandes limitaciones.Todos hemos experimentado el proble-ma de poder registrar de un vistazo másde cinco objetos. ¡Haz la prueba tú mis-mo! Toma diez lápices iguales y pídele auno de tus compañeros que ponga so-bre la mesa siete u ocho de esos lápicessin decirte cuántos eligió, ahora ve loslápices en la mesa tan sólo un instante,sin hacer trampas. ¿Puedes decir cuán-tos lápices viste sobre la mesa? Seguro teequivocas más de una vez.
La incapacidad que tenemos de dis-tinguir cantidades de objetos de maneradirecta obligó a los hombres a buscarmaneras eficientes de saberlo. Así fui-mos aprendiendo a contar.
Una manera segura de saber cuántosobjetos hay, y no olvidarlo, es marcandouna pequeña raya sobre la tierra, sobreun trozo de madera o sobre un pedazode hueso. Haciendo unamarca para cada cosa.¡Una cosa, una mar-ca! Así lo hacían loshombres primitivosen tiempos remo-tos, desde el Pa-leolítico, periodo
¿CUENTAN LOS
ANIMALES?¿Tienen los animalesun sentido de la canti-dad? ¿Pueden, almenos algunas es-pecies animales, dife-renciar entre variascantidades de objetos?O bien, ¿somos los hu-manos los únicos seresque han desplegadouna actividad numérica?
Estas preguntas sonmás importantes de loque parecen. Despuésde todo, los númerosson, ya lo hemos visto,producto de un trabajode abstracción delpensamiento. Porsupuesto, no nos refe-rimos a los animalesde las caricaturas o laspelículas de aventuras,a los que siempre seatribuyen capacidadespor encima de lasreales.
En la realidad, pa-rece que ciertas especies animalespueden desarrollar uncierto grado de sensi-bilidad numérica. Así,una especie de avispaconsigue distinguir elcinco del diez, delmismo modo quediferencia el huevomacho del huevo hem-bra. En efecto, puestoque sus huevos estáncolocados en celdillas,deposita exactamentediez orugas en aquellasdonde hay un huevohembra, y en las cel-dillas que contienenun huevo macho sólodeposita cinco, exacta-mente cinco.
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2. EL HOMBRE APRENDEA CONTAR
De los dedos de las manos a las computadoras
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raciones de sumas y multiplicacionescon los números.
Los sistemas de numeración más pri-mitivos, como los de los hombres de lascavernas que marcaban números conrayas en los huesos, sólo servían pararepresentar los números. Así pasaba conotros sistemas de numeración de civili-zaciones mucho más sofisticadas comolos griegos y los romanos algunos añosantes de la Era Cristiana. Un sistema denumeración como el romano, que toda-vía se usa para muchas cosas, cumplemuy bien la primera función: escribirlos números. Pero no cumple bien la se-gunda función: calcular. ¿Has tratadoalguna vez de sumar con números ro-manos? Trata de sumar XXIX � XVI sintraducir los números a nuestro sistemadecimal. ¿Cómo lo harías?
Para designar los distintos númeroscon partes del cuerpo, se recurrió a casitodo: los dedos de la mano, natural-mente, pero también los de los pies, asícomo los brazos, las piernas, el torso yla cabeza, las falanges y las articulacio-nes. Muchas culturas desarrollaron asícomplejas asignaciones corporales pa-ra los números, acompañadas de unaserie de gestos, en las que los dedos,dispuestos en distintas posiciones, esti-rados, doblados o curvados, eran losactores principales.
Este modo de operar con los dedos,denominado cálculo digital, ha permitidoalcanzar a veces números impresionantes.En el siglo XVI, en China, los calculadoresusaban un procedimiento que les permi-tía, recurriendo a ambas manos, indicary calcular cantidades en millones.
Para designar números, algunos gru-pos humanos primitivos se contentaroncon darle nombre a unos cuantos núme-ros pequeños: digamos, el uno, el dos yel tres. Todos los conjuntos de objetoscon más elementos se decía que tenían“muchos objetos”. Pueblos así alcanzaronniveles culturales muy limitados.
Otros pueblos desarrollaron ideasmás elaboradas acerca de los números,su representación y sus usos. Esos pue-blos desarrollaron sistemas de nume-ración. Representar los números fue laprimera función de los sistemas de nu-meración. Los sistemas menos sofisti-cados se contentaban con eso: poderescribir los números. Pero hay otra fun-ción más avanzada que debería cum-plir un sistema de numeración: servirpara calcular, es decir, para hacer ope-
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Algunas aves puedendistinguir hasta cincohuevos en su nido. Sicuando están ausentesse les quita uno o dosde los huevos que handejado, al regresarrevolotean nerviosasalrededor mostrandoque han notado laausencia de loshuevos. También loschimpancés son ca-paces de designar el elemento central colocado a la mitad deuna sucesión impar de objetos presentadosen línea.
Estas son algunasmanifestaciones senci-llas de las capacidadesnuméricas en el reinoanimal. De ningunamanera pueden com-pararse con las capaci-dades del ser humano:el único animal que escapaz de contar, regis-trar y memorizar canti-dades y hacer usoprovechoso de losnúmeros en gran can-tidad de actividades.
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ma posicional y corresponde al númerocero en nuestro sistema decimal. Comoveremos más adelante, la invención delcero en los sistemas de numeración esuno de los adelantos más importantes ysorprendentes. En el capítulo 6 estudia-remos más detenidamente los sistemasde numeración posicionales, como el siste-ma maya, y algunas de sus características.
El sistema de numeración que usa-mos tiene su origen en la India. Comootros sistemas de numeración posicio-nal, el sistema indio tiene una capaci-dad de representación ilimitada; con tansólo diez símbolos para representar losnúmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, tan-tos como los dedos de las manos, tene-mos suficiente para representar todoslos números del mundo. También tieneuna enorme capacidad operacional quepermite efectuar sumas y multiplicacio-nes de la manera que has aprendidodesde la escuela primaria. En el capítulo7 seguiremos el sistema de numeraciónindio en su largo viaje desde el oriente,en el siglo V de nuestra era, hasta que seconvirtió en el sistema de numeraciónmás usado en el mundo.
Los sistemas de numeración que lo-graron resolver el problema del cálcu-lo son los sistemas de numeración posicional. Varios pueblos desarrolla-ron este tipo de sistemas de numera-ción. Por ejemplo, en el siglo XIII, losincas perfeccionaron este procedimien-to, creando los quipu, los números encordeles. Una pequeña cuerda con corde-les colgando en diferentes posiciones queindican los distintos niveles: unidades,decenas, etcétera. En cada una de ellas sehacen tantos nudos como es necesariopara registrar el número. Este procedi-miento permitía efectuar operacionesmuy complicadas con gran eficiencia.
Los astrónomos mayas elaboraron,en los primeros siglos de nuestra era,una eficaz numeración de posición, enla que los números se representaban porconjuntos de puntos y rayas, de acuerdocon una disposición vertical. Un signográfico particular, un óvalo horizontal,que representa una concha de caracol,un glifo, desempeña el papel de signoseparador eficaz y permite una escriturasin ambigüedad de los números. Estesigno tiene un valor esencial en el siste-
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Ya en el siglo XIII los incas contaban mediante los quipu.
El número 19 en notación maya.
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Años después en Francia, Blaise Pascalconstruyó una máquina para sumar y res-tar mecánicamente. Alrededor de 1830, elmatemático inglés Charles Babbage dise-ñó una máquina programable que es laprecursora de las modernas computado-ras digitales.
A partir de los años cincuenta del pa-sado siglo XX, el acelerado crecimiento y desarrollo de las computadoras ha te-nido gran influencia en el mundo. Losprincipios básicos del funcionamientode las computadoras y algunos aspectoshistóricos son el tema del capítulo 10 deeste libro.
Desde tiempos remotos se trataronde diseñar aparatos que permitieran ha-cer rápidamente las operaciones aritmé-ticas. Probablemente el instrumento másantiguo es el ábaco, que es un inventosimple y eficiente que todavía se usa enmuchos países. Se cree que fue inventa-do en Babilonia hace más de cinco milaños, pero fueron los chinos quienes lollevaron a la forma en que se conoce ac-tualmente. Muchas han sido las máqui-nas que los hombres han diseñado parafacilitar las operaciones aritméticas. Enel siglo XVII, John Napier en Inglaterrainventó una máquina para multiplicar.
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El ábaco tiene fichas móviles colocadasen filas en un tablero. Cada fila tiene 5 fichas divididas en dos grupos: ungrupo tiene 4 fichas, el otro sólo una.La primera fila indica las unidades, lasegunda las decenas, la tercera las cen-tenas y así sucesivamente. La ficha ais-lada de la primera fila vale 5, todas lasotras valen 1; la ficha aislada de la se-gunda fila vale 50, las otras 4 valen 10cada una, etcétera. Para escribir un nú-mero se hace en sistema decimal pe-gando las fichas necesarias al travesañointermedio del ábaco.
Sumar con el ábaco es sencillo. Porejemplo, consideramos la suma de 347
y 282. Escribimos el primer númeroen el ábaco. En seguida, tratamos deagregar el segundo número con las fi-chas. Comenzamos por las centenas:agregamos dos unidades, moviendo laficha aislada a la parte de enmedio y re-gresando las otras a su lugar. Seguimospor las decenas: debemos agregar 8 fi-chas, pero no las hay disponibles. Sinembargo, 80 =100 – 20; entonces, siagregamos una ficha en la fila de lascentenas y quitamos dos en la fila delas decenas, habremos sumado 80. Su-mar 2 unidades es sencillo. El resul-tado de la suma queda escrito en elábaco.
EL ÁBACO
3 4 7 347 � 282 � 629
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el siguiente, que se obtiene añadiendo 1.Dado un número n, el siguiente se llamasu sucesor y es:
n � 1A cada paso, los números son cada
vez mayores.Los números se suceden, sin fin.No hay un último número. Sí hay
un primer número, que es el 1.Los números están ordenados. El
sucesor de n es mayor que n.Los números de contar, cuando se les
considera como la sucesión con las pro-
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3. NOMBRES PARA LOS NÚMEROS
¿POR QUÉ AL NÚMERO 1 LE SIGUE
EL NÚMERO 2 Y A ÉSTE EL NÚMERO 3? Pensemos como el hombre de las caver-nas: si tengo un montón de tres piedrasy deseo dejar constancia de cuántas pie-dras hay, hago sobre un hueso tres inci-siones. La primera incisión es por laprimera piedra, la segunda por la se-gunda piedra y la tercera incisión es porla tercera piedra. Así, para escribir elnúmero | | que representa dos piedras,tengo que escribir primeramente unasola raya |, que representa una piedra.Para escribir el número |||, que repre-senta el montón con tres piedras, tuveprimero que pasar por el número dedos piedras. La idea del orden de losnúmeros queda claramente establecida.Con nuestra notación moderna, diría-mos que el 1 va antes que el 2 y luegova el 3, luego va el 4, etcétera. Decimosque los números de contar forman unasucesión.
¿QUÉ MÁS PODEMOS DECIR DE
LA SUCESIÓN DE LOS NÚMEROS
DE CONTAR? Los números se siguen uno a uno,
desfilan en fila india.Después de todo número siempre
hay otro número.Si se conoce un número, se conoce
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y de su sintaxis propios, es decir, pro-cedimientos para constituir los ensam-blajes de cifras que representarán losnúmeros.
¿Qué son las cifras? Las cifras sonnúmeros particulares a partir de loscuales, siguiendo reglas muy precisas, sepueden escribir todos los demás números.Por ejemplo, en nuestro sistema de nu-meración, las cifras son:
1, 2, …, 9, 0a partir de las cuales podemos escribirtodos los demás números. En la nume-ración sumeria basta con dos cifras, elclavo y el punzón, para escribir todoslos demás números. En la numeración
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ALGUNAS CIFRAS Y NÚMEROS EN LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Babilonio
Hindú
Arábigo
Arábigoactual
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
piedades antes mencionadas, se llamanla sucesión de los números naturales.Pero estos son los números en abstracto,en la vida real hay que escribirlos y leer-los. Para eso necesitamos una manera deescribir y de leer los números.
Mientras los números fueron escritosmediante rayas, como lo hacían nues-tros antepasados de las cavernas, la cosaera fácil, pero no podían llegar muy le-jos. ¿Te imaginas lo tardado e ineficienteque sería escribir el número de reses deuna manada? ¡Tardaban el mismo tiem-po en contar las reses que luego en leerla cantidad de reses como fue escrita! Y,¿cómo se leían estos números? Tal vez elnúmero ||||| se leía: uno y uno y uno yuno y uno. Sin duda, se requería un sis-tema más eficiente de escritura y desig-nación de los números. Un sistema quepermitiera escribir y leer los números demanera sencilla.
Las numeraciones escritas constitu-yen una lengua aparte, que está pre-sente junto a la lengua materna; cadanumeración escrita dispone de su léxico
AL IGUAL QUE UNALENGUA, LAS NUME-RACIONES ESCRITASTIENEN SU LÉXICO
Y SU SINTAXIS.
Uno Diez
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