EDO_2015_I_1404

Luis Carrillo Daz

Ecuaciones DiferencialesOrdinarias

Notas de Clase 2015-I

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Luis Carrillo Daz

Ecuaciones DiferencialesOrdinarias

Ediciones CARDI

Luis Carrillo DazFacultad de Ciencias MatematicasUniversidad Nacional Mayor de San MarcosLima, Peru

Serie Textos UniversitariosISSN 0000-0000 ISSN 0000-0000 (electronico)ISBN 000-0-000-00000-0 ISBN 000-0-000-00000-0 (ebook)

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Ediciones CARDI 2015Esta obra esta sujeta a derechos de autor. Todos los derechos estan reservadospor el editor, ya sea total o parcialmente; especficamente los derechos de tra-duccion, reimpresion, la reutilizacion de las ilustraciones, la adaptacion electroni-ca, software, o cualquier forma no conocida ahora y desarrollada en el futuro.Quedan exentos de esta prohibicion, las acciones dadas por el comprador de estaobra, para uso academico y actividaes de divulgacion cientfica.

ALuis Adauto Medeiros

Por su honestidad profesional

Indice general

1. Preliminares a existencia y unicidad de soluciones 111.1. Problemas que se expresan por EDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Resultados basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Metodo de Picard 21

3. Existencia de soluciones 313.1. Metodo de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Unicidad de soluciones 414.1. Algunos resultados del Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Luis Enrique Carrillo Daz

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Prefacio

Actualmente las Ecuaciones Diferenciales se han constituido en una podero-sa herramienta para resolver problemas demuchas disciplinas; como ingeniera,fsica, qumica, biologa, economa, y muchas otrasmas. Las Ecuaciones Diferen-ciales son quizas una de las materias mas importantes de la matematica pura.Se emplea fundamentalmente para expresar fenomenos de la naturaleza, bajo laforma de Modelos Matematicos, que es la terminologa moderna para referirnosa las ecuaciones que sirven para representar determinados fenomenos.

Como consecuencia del fuerte desarrollo computacional, se han desarrolladodisciplinas afines, que contribuyen al propio desarrollo de las ecuaciones dife-renciales; una de tales disciplinas es el Analisis Numerico y los metodos de apro-ximacion. A inicios del siglo XVI el interes estaba centrado en obtener solucionesexactas o analticas de las ecuaciones diferenciales propuestas. Los cientficosde antano suponian, a priori, que las ecuaciones que estudiaban tenan solu-ciones, las cuales eran calculables por los metodos conocidos, y en caso que di-chos metodos no fueran exitosos, investigaban freneticamente, buscando nuevosmetodos para obtener soluciones exactas.

La comunidad cientfica fue observando, que muchos de los modelos ma-tematicos, para diversos problemas practicos, no se les podia obtener su solucionexplcita, o simplemente, dada la complejidad del modelo, era materialmenteimposible encontrar una solucion con los metodos que se tenian a la mano. Esen esta parte del desarrollo cientfico, en que los matematicos se comienzan apreocupar por el aspecto cualitativo de las soluciones, es as que se interesan porlas condiciones sobre los datos, a fin de garantizar la existencia y unicidad desoluciones del problema

y = f (x,y); y(x0) = y0. (1)

Cauchy fue uno de los primeros en darse cuenta que era suficiente con lacontinuidad de la funcion f (x,y) para garantizar existencia de soluciones parael Problema de Valor Inicial (PVI) (1). Pero tambien notaron que si f (x,y) no eracontinua en un determinado dominio, se encontraban casos en que haba infini-tas soluciones o que simplemente no exista solucion. Nuestro Curso justamentetrata sobre aquellas preocupaciones con la finalidad de garantizar existencia yunicidad para el PVI (1). Tambien se tratara el problema de sensibilidad o dedependencia continua de los datos iniciales. En resumen, en una primera etapa,estaremos interesados en averiguar las condiciones que deben satisfacer los da-tos iniciales a fin que el PVI (1) sea bien puesto en el sentido de Hadamard; esdecir condiciones para garantizar existencia, unicidad y dependencia continuade las soluciones del PVI (1).

Estas Notas de Clase constituyen una guia para el alumno, las cuales serancomplementadas con lecturas de algunas secciones de la correspondiente biblio-

grafa, las que seran indicadas explcitamente por el Profesor. Como es natural,en una primera redaccion, deben existir errores de digitacion, as como gramati-cales. Asimismo llamo la atencion de los alumnos, en el sentido que la redaccionde las mismas, estara constantemente sufriendo variaciones producto de correc-ciones, agregados, comentarios, con la intencion de mejorar la presentacion, enpro de una mejor comprension por parte del lector. Advierto que estas Notasde Clase constituyen una version de borrador. Las crticas y sugerencias, seranaceptadas con la mejor disposicion, por lo cual expreso mi agradecimiento deantemano.

Dr. Luis Carrillo Daz

[email protected]

Captulo 1

Preliminares a existencia yunicidad de soluciones

Las ecuaciones diferenciales esencialmente sirven para resolver problemaspracticos de otras ramas del conocimiento. Para ello se debe formular tales pro-blemas en terminos matematicos. Esta accion de modelamiento deviene en loque se conoce como un modelo matematico. Muchos de estos problemas invo-lucran relaciones entre cantidades que cambian, y como las tasas de cambio serepresentan por derivadas, muchos modelos matematicos relacionan una fun-cion incognita y una o mas de sus derivadas. A tales ecuaciones se les llamaecuaciones diferenciales.

Por lo general un modelomatematico, es muchomas simple que el fenomenoreal; esto es por la necesidad que la ecuacion diferencial resultante sea solublecon los metodos conocidos. Por esta razon se dice que un modelo matematicoes bueno si es suficiemente simple, de modo que se garantice su solucion, ysi ademas, representa adecuadamente el fenomeno, de modo que la solucionmatematica permita hacer predicciones del comportamiento a futuro,dentro dedeterminado grado de precision. Si los resultados matematicos no coinciden conel comportamiento del fenomeno real, entonces se deben revisar las hipotesissubyacentes del modelo para que la contrastacion sea la mejor posible.

1.1. Problemas que se expresan por EDs

Dinamica Poblacional:

Se aplica fundamentalmente a fenomeno de crecimiento y decaimiento po-blacional. La poblacion considerada puede ser una comunidad de personas enuna region determinada o un cultivo bacterial. Si se considera que P = P(t) es lacantidad de miembros en el tiempo t, muchos modelos de tal crecimiento tomala forma

P = a(P)P (1.1)

donde a es una funcion continua de P , que representa la tasa de cambio de lapoblacion por unidad de tiempo por individuo. En el modelo de Malthus sesupone a(P) constante, por lo cual (1.1) se expresa como

P = aP. (1.2)

11


En este modelo se supone que la cantidad de nacimientos y muertes porunidad de tiempo son proporcionales a la poblacion. Las constantes de propor-cionalidad son la tasa de nacimientos por unidad de tiempo por individuo, y latasa de muertes por unidad de tiempo por individuo.

Se conoce que la solucion para (1.2) es dada por

P(t) = ceat (1.3)

es decir (1.2) tiene infinitas soluciones. Cuando se trata de problemas especfi-cos, conocemos algunos datos iniciales de tal fenomeno; as para conocer la so-lucion de un problema especfico, supongamos que la poblacion en el tiempot = 0 es de P0, entonces al sustituir t = 0 en (1.3) se tiene que c = P0. Luego lasolucion para el Problema de Valor inicial

P = aP ; P(0) = P0 (1.4)

es dada por

P(t) = P0eat (1.5)

Se observa que P(t) ; cuando t si a > 0, y P(t) 0, cuando t , si a < 0.

P

P P(t)

P(t)

a > 0 (curva superior), a < 0 (curva inferior), a = 0 (curva punteada)

Absorcion de la glucosa por el cuerpo:

La glucosa es absorbida por el cuerpo a una velocidad proporcional a la can-tidad de glucosa presente en la sangre. Denotemos con la constante de pro-porcionalidad (positiva). Supongamos que hay G0 unidades de glucosa en eltorrente sanguneo cuando t = 0, y sea G = G(t) el numero de unidades en eltorrente sanguneo en el tiempo t > 0. Entonces, como la glucosa es absorbidapor el cuerpo, dejando el torrente sanguneo, G satisface la ecuacion

G = G (1.6)

Se conoce que G(t) = cet para c una constante cualquiera, provee de infi-nitas soluciones para (1.6). Si se supone que para t = 0 se tiene G0 unidades,entonces

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

G(t) = G0et nos da la cantidad de glucosa en cada instante de tiempo.

Si se inyectara glucosa, por via introvenosa, a una velocidad constante, der unidades de glucosa por unidad de tiempo, entonces la tasa de cambio decantidad de glucosa en el torrente sanguneo por unidad de tiempo es dada porel modelo

G = G + r (1.7)

donde el primer sumando del segundo miembro es debido a la absorcion de laglucosa por el cuerpo y el segundo sumando r es por la inyeccion. La solucionde (1.7) bajo la condicion G(0) = G0 es dada por

G =r

+(G0

r

)et . (1.8)

1.2. Resultados basicos

En un nivel introductorio, cuando se plantea resolver una ecuacion diferen-cial, por lo general se supone que existe su solucion; sin embargo la teora deexistencia y unicidad de soluciones es muy compleja y delicada; y mas aun, encontraposicion a ella, en la actualidad se estudia el topico denominado no exis-tencia de soluciones o del Blow-up o explosion de las mismas,, ya que una grancantidad de modelos matematicos tienen soluciones cuyo comportamiento tieneque ver con tales conceptos.

Nuestro interes estara centrado, tanto en la existencia de soluciones, es deciren estudiar las condiciones sobre los datos iniciales, a fin de garantizar que lossistemas involucrados posean al menos una solucion; as como en la unicidad dela misma. En resumen daremos respuesta concreta al problema de existencia yunicidad de soluciones para el problema de valor inicial (PVI)

{y = f (x,y)y(x0) = y0

(1.9)

donde f (x,y) es una funcion continua sobre un dominio D1 del plano XY quecontiene a (x0,y0).

Definicion 1.1. [Concepto de solucion] Una solucion del PVI (1.9) en unintervalo J que contiene a x0 es una funcion y(x) que satisface

i) y(x) existe para todo x J

ii) Para todo x J el punto (x,y(x)) D

iii) y(x) = f (x,y(x)) para todo x J

iv) y(x0) = y0

Si la solucion es valida en un intervalo I ( J entonces se dice que es local, y sies valida en todo J se dice que es global.

1Es decir D es un abierto y conexo

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Mas adelante veremos que la continuidad de la funcion f (x,y) es suficien-te para garantizar la existencia de al menos una solucion del PVI (1.9) en unavecindad suficientemente pequena del punto (x0,y0).

Observacion 1.2. Cuando en el PVI (1.9) la funcion f (x,y) no es contnua en eldominioD que contiene a (x0,y0), la naturaleza de las soluciones es muy arbitra-ria e impredecible; as puede ocurrir que el PVI no tenga solucion o que existaninfinitas soluciones.

Ilustraremos la observacion anterior con algunos ejemplos.

Ejemplo 1.3. El problema de valor inicial

y =2

x(y 1); y(0) = 0

no tiene solucion; mientras que el problema

y =2

x(y 1); y(0) = 1

tiene infinitas soluciones de la forma y(x) = 1 + cx2, donde c es una constantearbitraria.

Ejemplo 1.4. En relacion a la ecuacion diferencial

y = y2 (1.10)

vemos que f (x,y) = y2 es continua en todo R2. Ademas cualquier solucion nonula es de la forma

y(x) = [x+ c]1

con c R; otra solucion (trivial) es y(x) = 0 para todo x R. Observamos quea pesar de ser f (x,y) = y2 una funcion continua en R2 no existen solucionesglobales no nulas en J = (,+), pues las soluciones no nulas existen parax , c con c R, como se ve en la grafica que aparece a continuacion.

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Tambien observamos que por cada punto (0,y0) pasa una unica solucion de y =

y2. Ademas f (x,y) = y2 satisface |f (x,y1)f (x,y2)| L|y1y2| en R2.(localmente)

(!Probarlo!).

Ejemplo 1.5. Sea f : R2 R una funcion definida por f (t,x) = 3x2/3.

Para el problema de valor inicial

x = f (t,x), x(0) = x0, x0 R (1.11)

integrando la ecuacion diferencial se tiene que su solucion general es dada porx(t) = (t+c)3, donde c es una constante. Esto nos indica que por cada punto (0,x0)pasan infinitas curvas que son las graficas de las soluciones del PVI (1.11).

Cuando x0 = 0, la funcion

(t) =

(t b)3 , t > b0 ,a t b(t a)3 , t < a

con a,b R, es solucion de x = 3x2/3; x(0) = 0 para a 0 b, como se muestraen el grafico siguiente

Para x0 > 0, la funcion (t) definida como

(t) =

(t + (x0)

1/3)3 , t (x0)1/3

0 ,a t < (x0)1/3

(t a)3 , t < a

es solucion del PVI x = 3x2/3, x(0) = x0, con x0 > 0, como se muestra en lasiguiente figura

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Observar que en este caso si existe solucion global, es decir existe solucion en to-do el intervalo real R, pero no existe unicidad globalmente. Sin embargo depen-diendo de la posicion de x0 puede existir unicidad; as observando los graficosvemos que si x0 , 0 entonces existe una vecindad de t0 = 0 tal que por el punto(0,x0) pasa una unica solucion de x

= 3x2/3, pero si x0 = 0 por mas pequena quese considere la vencidad de t0 = 0 siempre por (0,0) pasaran infinitas solucionesdel PVI: x = 3x2/3; x(0) = x0.

Ejercicio. Discutir el caso x0 < 0.

A continuacion daremos algunos resultados con ecuaciones integrales, loscuales seran usados para probar teoremas de existencia de soluciones del PVI(1.9). El uso de tal tecnica estandar debe su eficiencia a las propiedades re-gularizantes de la integral, as si dos funciones se encuentran suficientementecercanas, sus integrales deben estar suficientemente cercanas, en contraste, susderivadas pueden estar bastante alejadas y aun podran no existir.

La siguiente proposicion sera de mucha utilidad para probar existencia yunicidad, as como otras propiedades de las soluciones del PVI (1.9).

Proposicion 1.6. Sea f (x,y) continua en un dominioD, entonces cualquiersolucion de (1.9) es una solucion de

y(x) = y0 +

xx0

f (t,y(t))dt (1.12)

y recprocamente.

Prueba. Cualquier solucion y(x) de la ecuacion diferencial y = f (x,y) la con-vierte en una identidad en x, es decir

y(x) = f (x,y(x))

integrando esta igualdad desde x0 hasta x obtenemos

y(x) y(x0) =

xx0

f (t,y(t)dt,

es decir

y(x) = y0 +

xx0

f (t,y(t)dt.

Recprocamente, si y(x) es cualquier solucion de (1.12), entonces

y(x0) = y0,

y al ser f (x,y) continua, diferenciando (1.12) se tiene que

y(x) = f (x,y(x)).

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Observamos que a pesar que la continuidad de f (x,y) es suficiente para ga-rantizar existencia de solucion para el problema de valor inicial (1.9), pues deese modo se garantiza la existencia de la integral en (1.12); pero esto no bastapara garantizar la unicidad de la solucion; en efecto, la funcion f (x,y) = y2/3 esuna funcion contnua en el plano XY , sin embargo el problema de valor inicial

y = y2/3

y(0) = 0(1.13)

posee por lo menos dos soluciones: y(x) = 0 y y(x) = x3/27.

Para asegurar la unicidad, deberiamos empezar por imponer alguna condi-cion adicional a la funcion f (x,y). Comenzaremos exigiendo una condicion deacotacion sobre la variable y, es decir que la variacion de la funcion f (x,y) res-pecto a la variable y resulte acotada; en otras palabras, f (x,y) debe satisfacer

|f (x,y1) f (x,y2)| L|y1 y2| (1.14)

para todos (x,y1) , (x,y2) pertenecientes al dominio D.

Definicion 1.7. Se dice que una funcion f (x,y) satisface la condicion deLipschitz uniformenente sobre cualquier dominioD si satisface (1.14) paracada par de puntos (x,y1) , (x,y2) con el mismo x. La constante no-negativaL es conocida como constante de Lipschitz.

La funcion y2/3 no cumple la condicion de Lipschitz uniformemente sobrecualquier dominio que contenga a y = 0 ya que

|f (0,y1) f (0,y2)| L|y1 y2|.

mientras que la funcion f (x,y) = x y satisface la condicion de Lipschitz sobreD = R2 con L = 1Otro ejemplo lo tenemos en la funcion f (x,y) = ey satisface la condicion de Lips-chitz en D = {(x,y);x R; |y| c}, con L = ec, donde c es alguna constantepositiva.

Notamos que si se cumple la desigualdad (1.14) entonces f (x,y) es continuarespecto a y en D; sin embargo no es necesariamente diferenciable con respectoa y, as por ejemplo la funcion f (x,y) = |y| no es diferenciable en R2 pero satis-face (1.14) con L = 1.

La diferenciabilidad juega un rol muy importante en este contexto, ya que,como veremos a continuacion, si la funcion f (x,y) es diferenciable con respectoa y, entonces sera facil el calculo de la constante de Lipschitz.

Teorema 1.8. Sean D un dominio convexo y f (x,y) una funcion diferen-ciable con respecto a y en D. La condicion de Lipschitz (1.14) es satisfechasi y solamente si

supD

f (x,y)y L (1.15)

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Prueba. Como f (x,y) es diferenciable con respecto a y, siendo el dominio Dconvexo, el teorema del valor medio garantiza que para (x,y1) , (x,y2) enD existey entre y1 y y2 tal que

f (x,y1) f (x,y2) =f (x,y)

y(y1 y2) (1.16)

luego por (1.15) la desigualdad (1.14) es inmediata. Recprocamente, si la de-sigualdad (1.14) se verifica entonces

f (x,y1)y1 = lmy2y1

f (x,y1) f (x,y2)y2 y1 L (1.17)

Para probar teoremas de existencia y unicidad se usan algunos resultados co-nocidos como desigualdaes integrales tipo Gronwall como la que que veremos acontinuacion, que es una variante del Lema de Gronwall.

Teorema 1.9. Sean u(x), p(x) y q(x) funciones continuas no negativas sobreel intervalo |x x0| a con

u(x) p(x) +

xx0

q(t)u(t)dt

; |x x0| a (1.18)entonces se cumple

u(x) p(x) +

xx0

p(t)q(t)exp(

xtq(s)ds

)dt ; |x x0| a (1.19)

Prueba. Se hara la prueba de (1.19) para el intervalo x0 x x0 + a.

Sea

r(x) =

xx0

q(t)u(t)dt (1.20)

por tanto r(x0) = 0 y r(x) = q(x)u(x). Substituyendo r(x) en (1.18) se tiene

u(x) p(x) + r(x)

entonces

r (x) p(x)q(x) + q(x)r(x)

multiplicando ambos lados por exp( xx0q(s)ds el resultado es equivalente a

(exp

(

xx0

q(s)ds

)r(x)

) p(x)q(x).exp

(

xx0

q(s)ds

).

Integrando la ultima desigualdad se obtiene

r(x)

xx0

p(t)q(t)exp

( xtq(s)ds

)dt

y la conclusion (1.19) se sigue del hecho que

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u(x) p(x) + r(x), para el caso x0 x x0 + a

Ejercicio. Probar la desigualdad (??) para el intervalo x0 a x x0.

Corolario 1.10. Si en el Teorema (1.9) la funcion p(x) 0 entonces u(x) 0

La verificacion queda a cargo del alumno.

Corolario 1.11. Si en el Teorema (1.9) la funcion p(x) es no decreciente enel intervalo [x0,x0 + a], y no creciente en el intervalo [x0 a,x0] entonces

u(x) p(x)exp

( xx0

q(t)dt

)para |x x0| a (1.21)

Prueba. La prueba de (1.21) se hara considerando el intervalo x0 x x0 + a,procediendose luego de manera analoga para el intervalo x0 a x x0. Comop(x) es no decreciente, de (1.19) se tiene que

u(x) p(x)

[1+

xx0

q(t)exp

( xtq(s)ds

)dt

]

= p(x)

[1

x0

d

dtexp

( xtq(s)ds

)dt

]

= p(x)exp

( xx0

q(t)dt

)

Corolario 1.12. Si en el Teorema (1.9) se tiene p(x) = c0+ c1|xx0| y q(x) =c2, donde c0, c1 y c2 son constantes no negativas entonces

u(x)

(c0 +

c1c2

)exp(c2|x x0|)

c1c2

(1.22)

Prueba. Para las funciones especficas p(x) y q(x) la desigualdad (1.19) sobre elintervalo [x0,x0 + a] se reduce a

u(x) c0 + c1(x x0) +

xx0

[c0 + c1(t x0)]c2ec2(xt)dt

= c0 + c1(x x0) + {[c0 + c1(t x0)ec2(xt)|xx0

c1c2ec2(xt)|xx0}

= c0 + c1(x x0) c0 c1(x x0) + c0ec2(xx0)

c1c2

+c1c2ec2(xx0)

=

(c0 +

c1c2

)exp(c2(x x0))

c1c2

Para ver otras desigualdades integrales tipo Gronwall, ver Lakshmikanthamy Leela [8].

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Practica N 1

1. Muestre que el PVI

y = f (x,y); y(x0) = y0; y(x0) = y1 (1.23)

donde f (x,y) es una funcion continua en un dominio D que contiene alpunto (x0,y0) es equivalente a la ecuacion integral

y(x) = y0 + (x x0)y1 +

xx0

(x t)f (t,y(t))dt (1.24)

2. Encontrar el dominio en el cual las siguientes funciones f (x,y) satisfacenla condicion de Lipschitz (1.14), y tambien hallar las constantes de Lips-chitz:

(i) |xy| (ii) x2y2 + xy +1 (iii) x2 cos2 y + ysen2x.

3. Calculando las constantes de Lipschitz apropiadas, muestre que las si-guientes funciones satisfacen la condicion de Lipschitz en los dominiosdados:(i) xseny + y cosx; |x| a; |y| b(ii) x2ex+y ; |x| a; |y| b

4. Sea u(x) una funcion no-negativa en el intervalo |x x0| a, C > 0 unaconstante dada y

u(x)

xx0

Cu(t)dt; 0 < < 1.

Pruebe que para todo x en el intervalo |x x0| a se tiene que

u(x) [C(1)|x x0|](1)1

5. Sean c0 y c1 constantes no-negativas, y u(x) y q(x) funciones continuas no-negativas para todo x 0 que satisfacen

u(x) c0 + c1

x0q(t)u2(t)dt.

Probar que para todo x 0 para el cual se cumple c0c1 x0q(t)dt < 1,

u(x) c0[1 c0c1

x0q(t)dt]1

Suguerencias y respuestas:

1. Considere

y(x) = y0 + (x x0)y1 +

xx0

[ tx0

f (s,y(s))ds

]dt

= y0 + (x x0)y1 +

xx0

[t

tx0

f (s,y(s))ds|xx0

xx0

tf (t,y(t))dt

]dt

de lo cual se concluye con lo solicitado.2.i |x| a; |y|

Captulo 2

Metodo de Picard

Teniendo en cuenta el resultado de equivalencia (1.6), por el que la soluciondel PVI (1.9) se expresa en terminos de la ecuacion integral (1.12); en este captu-lo daremos solucion a dicho problema de manera indirecta, dando solucion ala ecuacion integral (1.12); para ello se hara uso del metodo de aproximacionessucesivas, debido a E. Picard (1856-1941).

Procedimiento de Picard

Se considera a y0(x) una funcion continua, que suponemos es la aproxima-cion inicial de la solucion incognita y(x) del problema (1.12). Por lo generalse escoge y0(x) y0.

Se define luego y1(x) como

y1(x) = y0 +

xx0

f (t,y0(t))dt.

Ahora consideramos esta y1(x) como nuestra siguiente aproximacion, y lasustituimos en el segundo miembro de (1.12), llamandola y2(x), es decir

y2(x) = y0 +

xx0

f (t,y1(t))dt.

De este modo construimos la (m+ 1)-esima aproximacion ym+1(x) por me-dio de la relacion

ym+1(x) = y0 +

xx0

f (t,ym(t))dt, m = 0,1,2, . . . (2.1)

Si la sucesion {ym(x)} converge uniformemente a una funcion continuay(x) sobre el intervalo J conteniendo a x0 y para todo x J , los puntos(x,ym(x)) D, se tiene que haciendo uso del Teorema (4.13) del Apendice1, tomando limite en ambos miembros de (2.1) se tiene

y(x) = lmm

ym+1(x) = y0 + lmm

xx0

f (t,ym(t))dt = y0 +

xx0

f (t,y(t))dt,

Por tanto, por la Proposicion 1.6 y(x) es la solucion requerida.

21


Ejemplo 2.1. El problema de valor inicial

y = y

y(0) = 1(2.2)

es equivalente a resolver la ecuacion integral

y(x) = 1

x0y(t)dt

Construiremos entonces las aproximaciones sucesivas de Picard para estaecuacion integral:

Sea y0(x) = 1 la primera aproximacion de la solucion, luego la segunda sera

y1(x) = 1

x01dt = 1 x

la tercecera aproximacion sera

y2(x) = 1

x0(1 t)dt = 1 x+

x2

2!

. . .

en consecuencia, la m+1-esima aproximacion se expresa como

ym(x) =mi=0

(1)ixi

i!

Tomando lmite cuando m tenemos

lmm

ym(x) = ex

por tanto, haciendo uso de la Proposicion 1.6, la funcion y(x) = ex es soluciondel problema de valor inicial (2.2) sobre el intervalo J = R.

Ejemplo 2.2. Para el problema de valor inicial

y = 1+ y2

y(0) = 0(2.3)

se aplicara el metodo de iteracion de Picard con y0 = 0, y se calcularan cuatroterminos de esta sucesion de soluciones aproximadas. Luego se analizara a quefuncion converge la sucesion de soluciones aproximadas.

Solucion.Escogemos como primera aproximacion a y0(x) = y0 0, luego la segunda

aproximacion de la solucion exacta estara dada por

y1(x) = 0+

x0f (t,y0(t))dt

es decir

22


y1(x) =

x0f (t,0)dt =

x01dt

por tanto

y1(x) = x,

la tercera aproximacion estara expresada por

y2(x) =

x0f (t,y1(t))dt

sustituyendo f (t,y1(t)) tenemos

y2(x) =

x0f (t, t)dt

y2(x) =

x0(1 + t2)dt

luego

y2(x) = x +x3

3

procediendo de manera analoga se obtiene

y3(x) = x +x3

3+2x5

15+x7

63

y4(x) =

x0f (t,y3(t))dt

y4(x) =

x0

1+(t +

t3

3+2t5

15+t7

63

)2dtSe deja a cargo del lector verificar que la sucesion de soluciones aproximadas

{ym(x)} converge uniformemente a la unica funcion y(x) = tanx, la cual por apli-cacion del teorema (4.13) es la solucion unica del PVI (2.3); ademas determinaren que intervalo existe dicha solucion.

Ejemplo 2.3. Consideremos el problema de valor inicial

u = 2t(1 +u); y(0) = 0 (2.4)

Este PVI equivale a la ecuacion integral

u = 0+

t02s(1 +u); en este caso u0 = 0.

Sea u0(t) = 0 la primera aproximacion; la segunda aproximacion es dada por

u1(t) = 0+

t02s(1 +u0(s))ds; aqui f (t,u) = 2t(1 +u),

es decir

23


u1(t) =

t02s(1 + 0)ds = t2,

u2(t) =

t02s(1 +u1(s))ds =

t02s(1 + s2)ds = t2 +

1

2t4,

u3(t) =

t02s(1 +u2(s))ds =

t02s(1 + s2 +

1

2

4

)ds = t2 +1

2t4 +

1

6t6.

.... luego la (k +1)-esima aproximacion es dada por

uk+1(t) =

t02s(1 +uk(s))ds; k = 0,1,2, . . .

De esta forma se genera una sucesion de aproximaciones al problema devalor inicial (2.4). Se puede verificar que la solucion analtica para este problema

es u(t) = et2 1. El desarrollo en serie de Taylor de esta funcion es dado por

u(t) = et2

1 = t2 +1

2t4 +

1

6t6 + +

1

n!t2n + . . . ,

la cual converge para todo t. Se observa por tanto que las aproximaciones suce-sivas generadas por la iteracion de Picard son las sumas parciales de esta serie,y que ella converge a la solucion exacta.

Comentario 2.4. El metodo de Picard de aproximaciones sucesivas, es especialmenteimportante desde el punto de vista teorico. El metodo es basico para probar resultadosde existencia de soluciones para problemas de valor inicial no lineales. Como hemosvisto, la idea consiste en mostrar que existe un limite de la sucesion de aproximacio-nes, y que este lmite es la solucion del problema de valor inicial. Conviene recalcarque el metodo iterativo de Picard, no es esencialmente util para ser usado en proble-mas concretos de aplicacion en ciencias e ingeniera, ya que existen otros metodos deaproximacion, basados en algoritmos numericos, que dan aproximaciones con muypequenos margenes de error.

Caracteristicas del metodo de Picard Una de las principales caracteristicasde este metodo es que es constructivo, ademas, cotas de la diferencia entre lasiteraciones y la solucion son faciles de calcular. Dichas cotas son utiles para laaproximacion de las soluciones y tambien para el estudio de propiedades cuali-tativas de las soluciones.

Como se deduce de los ejemplos mostrados, es crucial en el metodo, que lasucesion de aproximaciones converga a la unica solucion del problema (1.9); portal motivo, se dara un resultado que provee de las condiciones suficientes paragarantizar tal convergencia.

24


Teorema 2.5. Supongamos que son satisfechas las siguientes condiciones:

i) f (x,y) es continua en el rectangulo cerrado

S = {(x,y) R2; |x x0| a; |y y0| b};

por tanto existeM > 0 tal que |f (x,y)| M ; para todo (x,y) S

ii) f (x,y) satisface uniformemente una condicion de Lipschitz (1.14) so-bre S

iii) y0(x) es continua en |x x0| a; y |y0(x) y0| b

Entonces la sucesion (ym(x)) generada por el esquema iterativo de Picard(2.1) converge uniformemente a la unica solucion y(x) del problema (1.9).

Nota. La solucion encontrada por la aplicacion de este Teorema es validasobre el intervalo Jh : |xx0| h, donde h =min{a,b/M}; ademas para cada x Jhse cumple la siguiente estimativa de error

|y(x) ym(x)| NeLhmin

{1,(Lh)m

m!

}; m = 0,1, . . . (2.5)

donde maxxJh |y1(x) y0(x)| N

Prueba. Primero probaremos que las aproximaciones sucesivas ym(x) definidaspor (2.1) existen como funciones continuas sobre Jh y que (x,ym(x)) S para todox Jh. Como por (iii) y0(x) es continua para todo x del intervalo |x x0| a, lafuncion F0(x) = f (x,y0(x)) es continua en Jh y por tanto y1(x) es continua en Jh.Ademas se cumple que

|y1(x) y0|

xx0

|f (t,y0(t))|dt

M |x x0| Mh b.Supongamos que la afirmacion es valida para ym1(x) para m 2; entonces

es suficiente probar que tambien es valida para ym(x). Como ym1(x) es continuaen Jh, la funcion Fm1(x) = f (x,ym1(x)) es tambien continua en Jh. Ademas

|ym(x) y0|

xx0

|f (t,ym1(t))|dt

M |x x0| b.A continuacion mostraremos que la sucesion {(ym(x))} converge uniforme-

mente en Jh.Como y1(x) y y0(x) son continuas en Jh existe una constante N > 0 tal que

|y1(x) y0(x)| N

Afirmacion. Para todo x Jh se cumple la siguiente desigualdad

|ym(x) ym1(x)| N(L|x x0|)

m1

(m 1)!; m = 1,2, . . . (2.6)

25


Param = 1 la desigualdad (2.6) es inmediata, ademas si fuera valida param = k 1 entonces (2.1) y por la hipotesis (ii)[f (x,y) satisface la condicion de Lipschitzuniformemente en S] nos permiten obtener

|yk+1(x) yk(x)|

xx0

|f (t,yk(t)) f (t,yk1(t))|dt

L

xx0

|yk(t) yk1(t)|dt

L

xx0

N(L|t x0|)

k1

(k 1)!dt

=N(L|x x0|)

k

k!.

Por lo tanto la igualdad (2.6) es valida para todo m.

A continuacion, como

N

m=1

(L|x x0|)m1

(m 1)!N

m=1

(Lh)m

m!=NeLh m de la desigualdad (2.6) obtenemos

|yn(x) ym(x)| n1k=m

|yk+1(x) yk(x)| n1k=m

N(L|x x0|)

k

k!N

n1k=m

(Lh)k

k!

1Teorema (M-test de Weierstrass). Sea {ym(x)} una sucesion de funciones con |ym(x)| Mmpara todo x [,] con

m=0Mm


=N (Lh)mnm1k=0

(Lh)k

(m+ k)!(2.7)

sin embargo como 1/(m+ k)! 1

m!k!se sigue que

|yn(x) ym(x)| N(Lh)m

m!

nm1k=0

(Lh)k

k!N

(Lh)m

m!eLh

y luego cuando n obtenemos

|y(x) ym(x)| N(Lh)m

m!eLh (2.8)

de la desigualdad (2.7) tambien obtenemos

|yn(x) ym(x)| Nn1k=m

(Lh)k

k!NeLh

y cuando n obtenemos

|y(x) ym(x)| NeLh (2.9)

De (2.8) y (2.9) se obtiene la estimativa de error (2.5).

Nota 2.6. El Teorema (2.5) es llamado un teorema de existencia local, ya que ga-rantiza la existencia de solucion solo en una vecindad del punto (x0,y0).

Veamos una aplicacion de este teorema.

Ejemplo 2.7. En el PVI dado en el ejemplo (2.2)

y = 1+ y2; y(0) = 0 (2.10)

se obtuvo que la unica solucion y(x) = tanx existe en el intervalo (/2,/2).

Para aplicar el Teorema (2.5) observamos que:

(i) 1 + y2 es contnua en el rectangulo S : |x| a; |y| b y 1+ y2 1+ b2 =M ;

(ii) En el rectangulo S, la funcion 1+y2 satisface una condicion de Lipschitz conL = 2b, y

[Si f (x,y) = 1+ y2, entonces |f (x,y1) f (x,y2)| = |1+ y21 (1 + y

22 )| = |y

21 y

22 | =

|y1 + y2||y1 y2| 2b|y1 y2|]

(iii) y0(x) 0 es continua en |x| a y |y0(x)| b. luego por el teorema (2.5) existeuna unica solucion de (2.10) en el intervalo |x| h = mn{a,b/(1 + b2)}. Sin em-bargo como b/(1+b2) 1/2 (con igualdad para b = 1) el intervalo optimo para elcual el Teorema (2.5) se verifica es |x| 1/2.

[Ya que en este ejemplo x0 = 0 y Jh = {x; |x 0| h = mn{a,b/M}}; y como|1+ y2| 1+ |y|2 = 1+ b2 =M para b = 1 ,M = 2]

27


Ademas, el esquema iterativo (2.1) para (2.10) es

ym+1(x) = x +

x0y2m(t)dt; y0(x) 0; m = 0,1,2, . . . (2.11)

[Segun (2.1),

ym+1(x) = 0+

x0f (t,ym(t))dt

ym+1(x) =

x0(1 + y2m(t)dt) = x +

x0y2m(t)dt.]

De (2.11) es facil obtener y1(x) = x, y2(x) = x + x3/3, luego la estimativa de

error (2.5) para b = 1; h = 1/2; y m = 2 nos permite obtener

| tanx x x3

3|

1

2emn{1,1/2} =

1

4e;

1

2 x

1

2(2.12)

Obviamente que el segundo miembro de (2.12) es muy burdo.

Si la solucion del problema (1.9) existe en todo el intervalo |xx0| a enton-ces diremos que la solucion existe globalmente.

Teorema 2.8. [Teorema de Existencia Global] Si las siguientes condicio-nes son satisfechas:

i) f (x,y) es continua en la banda T = {(x,y); |x x0| a; y R}

ii) f (x,y) satisface una condicion de Lipschitz (1.14) uniforme en T .

iii) y0(x) es continua en |x x0| a.

Entonces la sucesion (ym(x)) generada por el esquema iterativo de Picard(??) existe en todo el intervalo |x x0| a y converge a la unica soluciony(x) del problema (1.9).

Prueba. Para cualquier funcion y0(x) continua en |x x0| a por medio de unfacil argumento inductivo se establece la existencia de cada ym(x) en |x x0| acon |ym(x)| 0 tal que |x x0| a. Como la banda Testa contenida en la banda Ta+|x0| la funcion f (x,y) satisface las condiciones delteorema (2.8) en la banda T . Luego el resultado es valido para todo x.

28


Practica N 2

1. Para el PVI

y = xy +2x x3,

y(0) = 0

a) Calcule algunos terminos de la iteracion de Picard.

b) Muestre que la sucesion de soluciones aproximadas converge a la fun-cion y(x) = x2 para todo x R.

2. Aplicar el Proceso iterativo de Picard al PVI

u = t u; u(0) = 1 (2.13)

para obtener tres iterativas de Picard, considerando u0 = 1. Dibujar cadaiteracion y la solucion exacta sobre el mismo eje de coordenadas.

3. Discutir la existencia y unicidad de soluciones de los siguientes problemasde valor inicial:(i) y = (x + y)x2y2; y(0) = 1(ii) y = ex + x/y; y(0) = 1

4. Demuestre que los siguientes PVIs poseen una unica solucion para todoreal x:(i) y + p(x)y = q(x); y(x0) = y0 donde p(x) y q(x) son funciones continuasen R(ii) y = (cosx)ey

2+ seny; y(x0) = y0

5. Demuestre que el problema de valor inicial

y = (x2 y2)seny + y2 cosy; y(0) = 0 (2.14)

tiene una unica solucion y(x) 0 en el rectangulo cerrado

S = {(x,y); |x| a; |y| b}

6. Pruebe que el teorema 2.4 garantiza la existencia de una unica soluciondel PVI

y = e2y ; y(0) = 0

en el intervalo (1/2e,1/2e). Tambien resuelva este problema y verifiqueque la solucion existe en un intervalo mayor.

29


30

Captulo 3

Existencia de soluciones

(1858-1932)

G.Peano

En este captulo abordaremos los teoremas de existen-cia de soluciones debidos a Peano y Cauchy-Peano. Peanodemostro que la continuidad de la funcion f (x,y) era su-ficiente para garantizar la existencia de soluciones al PVI(1.9). Como se ilustro en los captulos anteriores, la au-sencia de continuidad de tal funcion f (x,y) no permiteafirmar categoricamente nada acerca de la existencia desoluciones y menos acerca de la unicidad de las mismas.

Teorema 3.1. [Teorema de existencia de Peanoa] Si la funcion f (x,y) escontinua y acotada sobre la banda

T = {(x,y); |x x0| a; y R},

entonces el PVI (1.9) tiene al menos una solucion en |x x0| a.

aGiusepe Peano (1858-1932) fue un matematico italiano. Sus principales contribucio-nes se dan en la logica matematica y la teora de numeros.

Prueba. Haremos la prueba sobre el intervalo [x0,x0 +a], ya que su extension alintervalo [x0 a,x0] es inmediata.

x0 x0 + ax0 a

T

Observacion. La banda T se abre hacia arriba y abajo infinitamente. En algunasoportunidades se usa la notacion |y|


x0 x0 + a/m x0 +2a/m x0 + ab

b b b b

ym(x) = y0 : x0 x x0 +a

m

ym(x) = y0 +

xa/mx0

f (t,ym(t))dt, x0 + ka

m x x0 + (k +1)

a

m;

k = 1,2, . . . ,m 1 (3.1)

El objetivo es probar que la sucesion {ym(x)} converge a la solucion del PVI (1.9).

Observamos que la primera ecuacion de (3.1) define a ym(x) en el intervalo[x0,x0+a/m]., y la segunda ecuacion define a ym(x) primero en [x0+a/m,x0+2a/m]( para k = 1), luego en [x0+2a/m,x0 +3a/m] y as sucesivamente. Como f (x,y) esacotada sobre la banda T , podemos suponer que |f (x,y)| M para todo (x,y) T .

Para cualquier par de puntos x1,x2 [x0,x0 + a], se tiene que

a) |ym(x2) ym(x1)| = 0 si x1,x2 [x0,x0 + a/m]

b) |ym(x2) ym(x1)| = x2(a/m)x0 f (t,ym(t))dt

M |x2 am x0|c) |ym(x2) ym(x1)| =

x2(a/m)x1(a/m) f (t,ym(t))dt M |x2 x1| en caso contrario,

es decir si x1,x2 [x0 + ka/m,x0 + (k +1)a/m].

lo cual se observa mejor con la ayuda del grafico.

b

b b

b

b

x1

x

x + a/m

x2

x + 2a/m

Luego

|ym(x2) ym(x1)| =

x2(a/m)x0

f (t,ym(t))dt

M |x2 a

m x0| M |x2 x1|

si x1 [x0,x0 +a

m]; x2 [x0 + k

a

m,x0 + (k +1)

a

m]

En efecto;

|ym(x2) ym(x1)| =

x2a/mx0

f (t,ym(t))dt

x1a/mx0

f (t,ym(t))dt

=

x2a/mx1a/m

f (t,ym(t))dt

Esto lo visualizamos en el segundo subintervalo como

32


b

b

b

b

x+ a/m x2

x + 2a/m

x1

Luego se sigue que

|ym(x2) ym(x1)| M |x2 x1|; x1,x2 [x0,x0 + a].

Entonces |ym(x2) ym(x1)| si |x2 x1|/M = ; es decir la sucesion {ym(x)} esequicontinua. Ademas para todo x [x0,x0 + a] se tiene

|ym(x)| y0 +Mx am x0

|y0|+Maes decir la sucesion {ym(x)} es uniformemente acotada en [x0,x0+a]. Luego por el

Teorema de Ascoli- Arzela1 la sucesion {ym(x)} contiene una subsucesion{ymp (x)

}la cual converge uniformemente en [x0,x0 + a] a una funcion continua y(x). Paramostrar que la funcion y(x) es solucion del PVI (1.9), hagamos tender p enla relacion

ymp (x) = y0 +

xx0

f (t,ymp (t))dt

xx(a/mp )

f (t,ymp (t))dt.

como f (x,y) es continua y la convergencia es uniforme, en la primera integralpodemos tomar el lmite dentro de la integral para obtener

xx0f (t,y(t))dt. La

segunda integral no excede a M(a/mp) y luego tiende a cero. Por tanto y(x) esuna solucion de la ecuacion integral (1.12).

Corolario 3.2. Si f (x,y) es continua en S : |x x0| a; |y y0| b, y por lotanto existeM > 0 tal que |f (x,y)| M para todo (x,y) S , entonces el PVI(1.9) tiene al menos una solucion en Jh : |x x0| h =mn{a,b/M}

Prueba. Mutatis mutandis la prueba sigue el mismo esquema del teorema ante-rior.

Ejemplo 3.3. La funcion f (x,y) = y2/3 es continua en todo R2. Luego por el Corola-rio (3.2) el problema de valor inicial

y = y2/3; y(0) = 0 (3.2)

tiene al menos una solucion en |x| h = mn{a,b1/3}. Sin embargo, podemos escogerb suficientemente grande tal que h = a. Luego el PVI en cuestion tiene al menos unasolucion en todo x de R.

1Teorema de Ascoli-Arzela: Un conjunto infinito S de funciones uniformemente acotadas yequicontinuas en [,], contiene una sucesion la cual converge uniformemente en [,].

33


Aqui x0 = 0 e y0 = 0,, luego S = {(x,y)/ |x 0| a; |y 0| b}, es decir

S = {(x,y)/ |x| a; |y| b}.

Luego maxS f (x,y) = maxS y2/3 = b2/3 = M . Por el corolario (3.2) existe

solucion en el intervalo Jh, donde h =mn{a,b/M}, es decir h =mn{a,b1/3}.

Se observa que como f (x,y) es continua en todo el plano, podemos escogerb suficientemente grande de tal modo que b1/3 > a, de ese modo h = a, y enconsecuencia el PVI (3.2) tiene solucion global en todo x R.

3.1. Metodo de Cauchy-Euler

En esta oportunidad presentamos el metodo de Cauchy-Euler, el cual es em-pleado para construir una solucion aproximada del PVI (1.9), que consiste con-cretamente en obtener soluciones -aproximadas para la ecuacion diferencialdel problema de valor inicial (1.9).

Supongamos que la funcion f (x,y) es continua en un dominio D

Definicion 3.4. Una funcion y(x) definida en J es llamada solucion -aproximada de la ecuacion y = f (x,y) si cumple:

i) Si y(x) es continua para todo x de J

ii) Para todo x J los puntos (x,y(x)) D

iii) y(x) tiene una derivada seccionalmente continua en J , la cual pue-de no estar definida solo en un numero finito de puntos, digamosx1,x2, . . . ,xk , y

iv) |y(x) f (x,y(x))| ; para todo x J ; x , xi ; i = 1,2, . . . , k

El siguiente teorema garantiza la existencia de una solucion -aproximada,la cual pasa por el punto (x0,y0).

Teorema 3.5. Sea f (x,y) continua en S , y por lo tanto existe M > 0 tal que|f (x,y)| M para todo (x,y) S . Entonces para cualquier > 0 existe unasolucion -aproximada de la ecuacion diferencial y = f (x,y) en el intervalo Jhtal que y(x0) = y0

Prueba. Como f (x,y) es continua en el rectangulo cerrado S , entonces es uni-formemente continua alli. Luego para cada > 0 existe un > 0 tal que

|f (x,y) f (x1,y1)| (3.3)

34


para cada (x,y) , (x1,y1) de S , cuando |x x1| y |y y1| .

Construiremos una solucion aproximada en el intervalo x0 x x0 + h ypor medio de un proceso analogo dicho procedimiento lo extendemos al inter-valo x0 h x x0.

Comenzamos dividiendo el intervalo x0 x x0 + h en m partes:

x0 < x1 < . . . < xm = x0 + h

tal que

xi xi1 mn{,/M}; i = 1,2, . . . ,m (3.4)

A continuacion definimos una funcion y(x) en el intervalo x0 x x0 + h por laformula recursiva

y(x) = y(xi1) + (x xi1)f (xi1,y(xi1)); xi1 x xi , i = 1,2, . . . ,m (3.5)

Observamos que y(x) es continua y su derivada y(x) = f (xi1,y(xi1));xi1 < x < xi ; i = 1,2, . . . ,m es seccionalmente continua, y falla en ser definidasolo en los puntos xi ; i = 1,2, . . . , (m 1). Como en cada subintervalo [xi1,xi ]i = 1,2, . . . ,m la funcion es una recta, para probar que (x,y(x)) S es suficienteverificar que |y(xi ) y0| b para todo i = 1,2, . . . ,m

Haciendo en (3.5) i = 1 y x = x1 obtenemos

|y(x1) y0| = (x1 x0)|f (x0,y0)| Mh b

Supongamos que la afirmacion es valida para i = 1,2, . . . , (k 1) < (m 1), enton-ces de (3.5) se tiene:

y(x1) y0 = (x1 x0)f (x0,y0)

y(x2) y(x1) = (x2 x1)f (x1,y(x1))

. . .

y(xk ) y(xk1) = (xk xk1)f (xk1,y(xk1))

por tanto

y(xk) y0 =kl=1

(xl xl1)f (xl1,y(xl1)

de donde obtenemos

|y(xk) y0| kl=1

(xl xl1)M =M(xk x0) Mh b.

Finalmente si xi1 < x < xi , entonces de (3.5) y (3.4) tenemos

35


|y(x)y(xi1| M |x xi1| M

M=

y luego por (3.3) encontramos que

|y(x) f (x,y(x))| = |f (xi1,y(xi1)) f (x,y(x))|

para todo x Jh; x , xi ; i = 1,2, . . . , (m 1).es decir se satisface la condicion (iv) de la definicion de solucion -aproximada,con lo cual se completa la prueba de que y(x) es una solucion aproximada dela ecuacion diferencial y = f (x,y).

El metodo de construccion que acabamos de mostrar es lo que se conocecomo el metodo de Cauchy-Euler.

A continuacion reafirmamos el corolario (3.2) y probamos una consecuenciadel Teorema (3.5).

Teorema 3.6. [Teorema de existencia de Cauchy-Peano] Supongamosque las condiciones del Teorema (3.5) son satisfechas. Entonces el PVI (1.9)tiene al menos una solucion en Jh.

Prueba. Se hara la prueba en el intervalo x0 x x0 + h.

Sea {m} una sucesion monotona decreciente de numeros positivos tal quem 0. Para cada m se aplicara el Teorema (3.5) para construir una solucion aproximada ym(x). Al igual que en el Teorema (3.1), para cualquier para depuntos x,x en [x0,x0 + h] se obtiene que

|ym(x) ym(x)| M |x x|

de lo cual se sigue que la sucesion {ym(x)} es equicontinua. Ademas como enel Teorema (3.5) para cada x [x0,x0 + h], tenemos |ym(x)| |y0|+ b, Por lo tantola solucion {ym(x)} tambien es uniformemente acotada. Luego por el Teorema

de Ascoli-Arzela, se tiene que existe una subsucesion{ymp (x)

}de {ym(x)}, la cual

converge uniformemente en [x0,x0+h] a una funcion continua y(x). Ahora tene-mos que demostrar que la funcion y(x)) es una solucion del problema (1.9), paralo cual definimos

em(x) = ym(x) f (x,ym(x)); en los puntos donde y

(x) existe

= 0, en caso contrario.

de donde integrando desde x0 hasta x obtenemos

ym(x) = y0 +

xx0

[f (y,ym(t)) + em(t)]dt (3.6)

y |em(t)| m. pues

|em(t)| = |ym(x) f (x,ym(x))| m

36


por la condicion (iv) de solucion -aproximada.

Como f (x,y) es continua en S y{ymp (x)

}converge a y(x) uniformemente

en [x0,x0 + h], la funcion f (x,ymp (x)) converge a f (x,y(x)) uniformemente en

[x0,x0+h]. Ademas desde que mp 0 encontramos que |mp (x)| converge a cero

uniformemente en [x0,x0 + h].Luego, reemplazando m por mp en (3.6) y hacien-do p se encuentra que y(x) es una solucion de la ecuacion integral (1.12),luego de (1.9).

Comentario 3.7. El Corolario (3.2) asegura esencialmente que si en un dominioD la funcion f (x,y) es continua, entonces para cada punto (x0,y0) en D existe unrectangulo S tal que el problema (1.9) tiene una solucion y(x) en Jh. Como S esta enel interior de D, aplicando el Corolario (3.2) en el punto en el cual la solucion [lagrafica] sale de S , podemos extender la region en la cual la solucion existe.

Daremos un ejemplo acerca de este comentario.

Ejemplo 3.8. El PVI

y = y2; y(0) = 1

tiene como solucion a y(x) = 1/(1x). Observamos que el intervalo de existenciade esta solucion es (,1).

Para este problema se tiene que S = {(x,y) : |x| a; |y 1| b};M =maxS y2 =

(1+ b)2 y h =mn{a,b/(1 + b)2}.

Como b/(1 + b)2 1/4; [pues (1 b)2 0, es decir 1 2b + b2 0, luego sisumamos 4b a ambos lados de la desigualdad se tiene 4b 1 + 2b + b2, es decir4b (1 + b)2 de donde se obtiene que b/(1 + b)2 1/4] podemos tomar h = 1/4,independientemente de la forma de escoger a, [ya que si a > 1/4 entonces seescoge h = 1/4 y si a 1/4 tambien se toma h = 1/4],luego por aplicacion del Co-rolario (3.2) se garantiza la existencia de una solucion unica y1(x) en el intervalo|x| 1/4. Ahora consideremos la continuacion o extension de y1(x) a la derecha,obtenida por encontrar una solucion y2(x) del problema y

= y2; y(1/4) = 4/3.Para este nuevo problema se tiene S = {(x,y) : |x 1/4| a; |y 4/3| b}; yM = maxS y

2 = (4/3 + b)2. Como b/(4/3 + b)2 3/16 podemos tomar h = 3/16.Luego y2(x) existe en el intervalo |x 1/4| 3/16. Este procedimiento asegura laexistencia de una solucion

y(x) =

{y1(x); 1/4 x 1/4

y2(x); 1/4 x 7/16

en el intervalo 1/4 x 7/16. Este proceso de continuacion de la solucionpuede repetirse a la derecha del punto (7/16,16/9) o a la izquierda del punto(1/4,4/5). Con el fin de precisar hasta que punto la solucion puede ser conti-nuada o extendida, se requiere del siguiente lema.

37


Lema 3.9. Sea f (x,y) una funcion continua en un dominio D consupD |f (x,y)| M . Ademas, si el PVI (1.9) tiene una solucion y(x) enel intervalo J = (,). Entonces los lmites lmx+ y(x) = y( + 0) ylmx y(x) = y( 0) existen.

Prueba. Para < x1 < x2 < , la ecuacion integral (1.12) implica que

|y(x2) y(x1)|

x2x1

|f (t,y(t))|dt M |x2 x1|.

Por lo tanto y(x2) y(x1) 0; cuando x1,x2 +. Luego por el criterio de con-

vergencia de Cauchy2 el lmx+ y(x) existe. Un argumento analogo permite de-mostrar la existencia del otro lmite.

Teorema 3.10. Supongamos que se cumplen las condiciones del Lema(3.9) y sean (,y( 0)) D (respectivamente (,y( + 0)) D). Enton-ces la solucion y(x) del PVI (1.9) en (,) puede ser extendida sobre elintervalo (, + ] (respectivamente [ ,)) para algun > 0.

Prueba. Definimos la funcion y1(x) del modo siguiente: y1(x) = y(x) para x (,) y y1() = y( 0). Entonces como para cada x (,]

y1(x) = y( 0) +

xf (t,y1(t))dt

= y0 +

x0

f (t,y1(t))dt +

xf (t,y1(t)dt

= y0 +

xx0

f (t,y1(t))dt,

la derivada izquierda y1( 0) existe y y1( 0) = f (,y1()). Luego y1(x) es una

continuacion de y(x) en el intervalo (,]. Seguidamente, sea y2(x) una soluciondel problema y = f (x,y); y() = y1() con intervalo de existencia [, + ],entonces la funcion

y3(x) =

y1(x); x (,]

y2(x); x [, + ]

es una continuacion de y(x) en el intervalo (, + ]. Por esto suficiente notarque

y3(x) = y0 +

xx0

f (t,y3(t))dt (3.7)

para todo x (, + ]. En efecto (3.7) es obvia para x (,], de la definicionde y3(x) y para x [, +] tenemos

2Criterio de covergencia de Cauchy:Una sucesion de numeros reales es convergente si y solosi es una sucesion de Cauchy.

38


y3(x) = y( 0) +

xf (t,y3(t))dt

= y0 +

x0

f (t,y3(t))dt +

xf (t,y3(t))dt

= y0 +

xx0

f (t,y3(t))dt

39


Practica N 3

1. Muestre que la solucion del problema y = x/y; y(0) = 1 no puede serextendida mas alla del intervalo 1 < x < 1

2. Muestre que la solucion del problema y = 2xy2; y(0) = 1 existe solo en elintervalo |x| < 1.

3. Encuentre el maximo intervalo en el cual la solucion del problema

y + (senx)y2 = 3(xy)2, y(0) = 2

puede ser extendida.

4. Muestre que la solucion del problema

y = 1+ y2; y(0) = 1

no puede ser extendida fuera del intervalo 3

4< x y1(x) para x1 < x y1(x)}. Este nfimo existeporque el conjunto A esta acotado inferiormente al menos por x0. Como porhipotesis se tiene que f (x,y) es no creciente en la variable y, entonces para todox (x1,x1 + ) se tiene

f (x,y1(x)) f (x,y2(x))

es decir

y1(x) y2(x)

.

Afirmacion. La funcion z(x) = y2(x) y1(x) es una funcion no creciente.

Si z(x) fuera creciente, como en x1 las funciones y1(x) y y2(x) coinciden en-tonces se tendra que z(x1) = 0 lo que implica que z(x) 0 en (x1,x1 + ). Estacontradiccion prueba que y1(x) = y2(x) en x0 x x0 + a.

Ejemplo 4.3. La funcion |y|1/2sgn y, donde sgn y = 1 si y 0 y y = 1 si y < 0, escontinua, no decreciente, y el problema de valor inicial

y = |y|1/2sgn y; y(0) = 0

tiene dos soluciones y(x) = 0 y y(x) = x2/4 en el intervalo [0,+). Esto nos diceque en el Teorema (4.2) no se puede reemplazar no creciente por no decreciente.

Con la finalidad de probar adecuadamente el siguiente Teorema, previamen-te probaremos el lema que sigue.

42


Lema 4.4. Sea w(z) una funcion continua y creciente en el intervalo[0,+), con w(0) = 0 , w(z) > 0 para z > 0 que ademas satisface

lm0+

dz

w(z)=. (4.1)

Si u(x) es una funcion contnua no negativa en [0,a], que verifica la de-sigualdad

u(x)

x0w(u(t))dt, 0 < x a (4.2)

entonces u(x) 0; en [0,a]

Prueba. Definimos v(x) = max0tx u(t), y supongamos que v(x) > 0 para 0 0

(1 + )x1+ ,0 x 1; x1+ y

Se verifica que esta funcion es continua en S = [0,1] R y satisface la condicion(4.5) a excepcion de k = 1+ > 1. Se verifica que para esta funcion el PVI (1.9) con(x0,y0) = (0,0) tiene infinitas soluciones de la forma y(x) = cx

1+, donde c es unaconstante arbitraria tal que 0 < c < 1; en consecuencia en el Teorema de Nagumo(4.7) no se puede reemplazar la constante k por una constante k > 1.

45


Teorema 4.9. [Teorema de Krasnoselki-Krein]Sea f (x,y) una funcion continua en S la cual satisface para todo(x,y1); (x,y2) S

|f (x,y1) f (x,y2)| k|x x0|1|y2 y1|;x , x0;k > 0 (4.6)

|f (x,y1) f (x,y2)| C|y2 y1| ;C > 0,0 < < 1, k(1) < 1 (4.7)

Entonces el problema (1.9) tiene a lo mas una solucion en |x x0| a.

Prueba. Supongamos que y1(x), y y2(x) son dos soluciones de (1.9) en el inter-valo |xx0| a. Haremos la prueba solo en el subintervalo [x0,x0+a]. De (4.7) setiene que

u(x) := |y1(x) y2(x)|

xx0

Cu(t)dt

Efectivamente: Como y1(x) y y2(x) son dos soluciones de (1.9) entonces de(4.7) se tiene

|y1(x) y2(x)| C|y2 y1|

integrando de x0 a x tenemos que xx0

|y1(t) y2(t)|

xx0

C|y2(t) y1(t)|dt

Haciendo u(x) = |y1(x) y2(x) tenemos entonces que

u(x) u(x0)

xx0

Cudt

pero u(x0) = 0 luego tenemos

u(x)

xx0

Cudt

Por tanto, por aplicacion del resultado2

En efecto; Como v(x) = u(x)(x x0)k entonces

v(x) C(x x0)(1)1(x x0)

k = C(x x0)(1)1k

Como k(1) < 1 es inmediato que lmxx0 v(x) = 0.

2Resultado. Sea u(x) una funcion no negativa en el intervalo |x x0| a y C 0 una constantedada. Si se cumple

u(x)

xx0

Cu(t)dt, 0 < < 1

entonces u(x) [C(1)1|x x0|]

(1)1 ; para todo x en|x x0| a

46


Pues por hipotesis se tiene que k(1) < 1 con k > 0, de donde obtenemosque (1)1 k > 0, por lo tanto lmxx0 v(x) = 0

Luego si definimos v(x0) = 0 , entonces la funcion v(x) es continua en el inter-valo [x0,x0+a]. Mostraremos que v(x) = 0 en [x0,x0+a]. Si v(x) > 0 en algun puntode [x0,x0+a] entonces existe un x1 > x0 tal que 0 < m = v(x1) = maxx0xx0+a v(x).Sin embargo de (4.6) tenemos

m = v(x1) (x x0)k

x1x0

k(t x0)1u(t)dt

En efecto, esta desigualdad se verifica, pues de (4.6) se tiene que

|y1(x) y2(x)| k|x x0|

1|y2 y1|

integrando esta desigualdad de x0 hasta x1 obtenemos

u(x1) u(x0)

x1x0

|t x0|1u(t)

ya que hemos considerado u(x) := |y2(x) y1(x)|Luego

m = v(x1) |x1 x0|k

x1x0

|t x0|1u(t)

pues v(x) = u(x)(x x0)k de donde u(x) = v(x)(x x0)

k .

(x x0)k

x1x0

k(t x0)k1v(t)dt

< m(x x0)k

x1x0

k(t x0)k1dt

=m(x x0)k(x x0)

k =m

lo cual es una contradiccion. Por tanto v(x) 0, luego u(x) = 0 en [x0,x0 + a].

Teorema 4.10 ([Teorema unicidad de Van Kampen]). Sea f (x,y) una fun-cion continua en S y para todo (x,y) S se cumple

|f (x,y)| A|x x0|p , p > 1; A > 0 (4.8)

ademas para cada (x,y1), (x,y2) de S se satisface

|f (x,y1) f (x,y2)| C

|x x0|r|y1 y2|

q, q 1; C > 0 (4.9)

con q(1+p) r = p, = C(2A)q1/(p+1)q < 1. Entonces el PVI (1.9) tiene a lomas una solucion en |x x0| a.

47


Prueba. Supongamos que y1(x) y y2(x) son dos soluciones de (1.9) en|x x0| a. Ahora mostraremos que y1(x) = y2(x) solo en el intervalo [x0 a,x0].

Consideramos

|y2(x) y1(x)| = |f (x,y2(x)) f (x,y1(x))|

integrando desde x hasta x0 tenemos que

u(x) = |y1(x) y2(x)|

x0x

|f (x,y1(t)) f (x,y2(t))|dt

y por (4.8) tenemos

2A

x0x

(x0 t)pdt =

2A

p +1(x0 x)

p+1

de donde obtenemos aplicando (4.9)

u(x) C

x0x

1

(x0 t)ruq(t)dt

C(2A

p +1)q x0x

(x t)q(p+1)rdt = (2A

p +1)(x0 x)

p+1

de esta nueva estimativa y (4.9) tenemos

u(x) 1+q(2A

P +1)(x0 x)

p+1.

Continuando de esta manera obtenemos

u(x) 1+q+2++qm(

2A

p +1)(x0 x)

p+1,m = 1,2, . . .

Como q > 1 y < 1, se sigue que u(x) = 0 en [x0 a,x0].

48


PRACTICA N 04

1. Sea f (x,y) una funcion continua que satisface la condicion de Lipschitzgeneralizada

|f (x,y1) f (x,y2)| L(x)|y1 y2|

para todo (x,y1), (x,y2) S , donde la funcion L(x) es tal que la integral x0+ax0a

L(t)dt existe. Probar que el PVI (1.9) tiene a lo mas una solucion en

|x x0| a.

2. Sea f (x,y) continua en S+, que para todo (x,y1); (x,y2) en S+, con y2 y1satisface una condicion de Lipschitz lateral

f (x,y2) f (x,y1) L(y2 y1).

Pruebe que (1.9) tiene a lo mas una solucion en x0 x x0 + a.

3. Dada la ecuacion y = xg(x,y) supongamos que g y g/y son definidas ycontinuas para todo (x,y). Muestre que:

(a) y(x) 0 es una solucion.

(b) Si y = y(x) para x (,) es una solucion y si y(x0) > 0 con x0 (,)entonces y(x) > 0 para todo x (,).

(c) Si y = y(x) para x (,) es una solucion y si y(x0) < 0 con x0 (,)entonces y(x) < 0 para todo x (,).

49


50

Apendice 1

4.1. Algunos resultados del Analisis

En esta parte recordamos algunos resultados del Analisis, los que son nece-sarios para los temas tratados en estas Notas de Clase.

Definicion 4.11. Se dice que la sucesion de funciones {ym(x)} converge uniforme-mente a la funcion y(x) en el intervalo [,] si para cada numero real > 0 existe unnumero N > 0 tal que cuando m N , |ym(x) y(x)| para todo x [,].

Teorema 4.12. Sea {ym(x)} una sucesion de funciones continuas en [,] que con-verge uniformemente a y(x). Entonces y(x) es continua en [,].

Teorema 4.13. Sea {ym(x)} una sucesion que converge uniformemente a y(x) en[,], y sea f (x,y) una funcion continua en el dominio D, tal que para todo m yx [,] los puntos (x,ym(x)) D. Entonces

lmm

f (t,ym(t))dt =

lmm

f (t,ym(t))dt =

f (t,y(t))dt

Teorema 4.14 (M-test de Weirstrass). Sea {ym(x)} una sucesion de funciones con|ym(x)| Mm para todo x [,] con

m=0Mm 0 existe un > 0 tal que si x1,x2 [,], |x1 x2| entonces |y(x1) y(x2)| para todo y(x) en S .

Definicion 4.16. Un conjunto de funciones S es llamado uniformemente acotado enun intervalo [,] si existe un numero M tal que |y(x)| M para todo y(x) en S .

Teorema 4.17 (Teorema de Ascoli-Arzela). Un conjunto infinito de funciones Suniformemente acotado y equicontinuo en [,], contiene una sucesion la cual con-verge uniformemente en [,].

Teorema 4.18 (Teorema de la Funcion Implcita). Sea f (x,y) definida en la bandaT = [,]R, continua en x y diferenciable en y; ademas 0 < m fy(x,y) M


52

Bibliografa

[1] Agarwal, R. P. & Reagan, D. An Introduction to Ordinary DifferentialEquations. Springer,(2008).

[2] Ahmad, S, & Ambrosetti, A. , A Texbook on Ordinary Differential Equa-tions. Springer International Publishing Switzerland (2014)

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[4] Carrillo, L. E. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ediciones Cardi,(2014)

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[6] Figueredo, Djairo Guedes de, Neves, Aloisio Freira Equacoes Diferen-ciais Aplicadas. Colecao Matematica Universitaria, IMPA, Rio de Janeiro,(2002).

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[9] Ross, S.L. Differential Equations. John Wiley & Sons, Inc.(1984).

[10] Sotomayor, J. Licoes de equacoes diferenciais ordinarias. Livros Tecnicos eCientficos.Editora S.A. Sao Paulo,(1979).

53

Indice alfabetico

Concepto de solucion, 13Condicion de Lipschitz, 17Constante de Lipschitz, 17

Desigualdades tipo Gronwall, 18

Estabilidad, 41Existencia Global, 28Existencia local, 27Existencia y unicidad de soluciones, 13Explosion de soluciones, 13

Metodo de Cauchy-Euler, 34

No existencia de soluciones, 13

Solucion -aproximada, 34

Teoremade existenciade Cauchy-Peano, 36de Peano, 31de solucion -aproximada, 34global, 28local, 25

de extension de soluciones, 38de unicidadde Krasnoselki-Krein, 46de Lipschitz, 41de Nagumo, 45de Osgood, 43de Peano, 42de Van Kampen, 48

Unicidad de soluciones, 41

54

Preliminares a existencia y unicidad de solucionesProblemas que se expresan por EDsResultados bsicos

Mtodo de PicardExistencia de solucionesMtodo de Cauchy-Euler

Unicidad de solucionesAlgunos resultados del Anlisis

Documents

EDO_2015_I_1404