스도쿠시리즈3

■ 6×6 ● 8×8 ● 9×9 폴리곤 스도쿠 수록

폴리곤스도쿠

곽성은 ● 우경수 지음

최고의 두뇌, 트레이닝 게임 !

3권총도비라.indd   1 2014-05-30   오후 4:22:29

책을 내면서 | 3

과학기술에 바탕을 둔 정보화시대에 살고 있는 현대인에게

는 창의력과 과학적인 사고력이 절실히 요구됩니다. 논리적

사고력과 합리적 문제해결 능력을 신장하는 것은 학생들은 물

론 일반인에게도 필요한 것입니다.

9⋅9 숫자풀이 퍼즐인 스도쿠는 최고의 논리게임이고 두뇌

트레이닝도구라 할 수 있으며 1979년 미국퍼즐잡지에 소개된

이래 여러 나라에서 이 퍼즐게임을 즐겨왔습니다. 한국에서는

1989년에 ‘자바 프로그램’을 사용하여 스도쿠를 소개한 저자인

곽성은교수 등에 의하여 관심을 갖게 되었으며 한국과학창의

재단의 연례행사나 과학영재반 등에서 스도쿠에 관한 문제를

다루게 되었습니다.

제 1회 스도쿠대회는 2006년 이태리에서 개최되었고, 제 2회

대회는 체코의 프라하에서 개최되었는데, 33개국이 참여하였

으며 그 당시 곽교수가 전국스도쿠대회에서 입상한 대표들을

데리고 참가하였으며, 2012년에는 창원대학교에서 초⋅중⋅고

등학생 및 대학생, 일반국민들을 대상으로 한 전국스도쿠대회

가 열렸습니다.

스도쿠는 최고의 두뇌게임으로 끊임없이 숫자조합에 대한

뇌를 자극하여 뇌세포를 발달하게하고, 뇌세포가 퇴화되는 것

을 막아주어 기억력이 감퇴되는 것을 예방하여 치매 등을 예

책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 책을 내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서내면서책을 내면서

4 | 폴리곤 스도쿠

방하는 효과가 있고 엄청난 집중력과 인내심을 요구하며 논리

력, 추리력, 집중력, 문제해결력, 사고력과 창의력이 발달하게

된다고 알려져 있습니다.

이 책은 여러 종류의 스도쿠 중에서 가장 기본적인 것만을

다루었으며, 여가시간을 보낼 때 친구 같은 좋은 책이 되기를

기대하며 이 책이 출판되도록 애써주신 교우사 관계자들께 감

사드립니다.

2014년 5월 5일

지은이 씀

차 례 | 5

￭ 책을 내면서 ·········································································· 3

1. 머리말 ··················································································· 7

2. 스도쿠란 무엇인가? ···························································· 8

3. 스도쿠의 역사 ····································································· 9

4. 스도쿠의 효과 및 영향 ···················································· 11

5. 스도쿠의 기본규칙 ···························································· 13

6. 폴리곤 스도쿠의 기본해법 ··············································· 15

7. 스도쿠와 관련된 뉴스 등 보도내용 ······························· 24

8. 폴리곤 스도쿠 문제 ·························································· 41

9. 해답 ··················································································· 163

차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 차 례례례례례례례례례례례례례례례례례례례례례례례차 례

1. 머리말 | 7

1. 머리말

9․9 숫자풀이 게임인 스도쿠는 오일러의 라틴방진을 그 기

원으로 삼고 있으며, 1895년 프랑스신문에서는 처음으로 스도

쿠를 게임으로 생각하는 문제가 게재되었습니다. 우리나라에

서는 곽성은교수가 1989년 자바프로그램을 사용한 숫자를 한

번 넣는 법칙을 발견했으며, 스도쿠에 관한 문제를 다루기 시

작했습니다.

제1회 스도쿠대회는 2006년 이태리에서 개최되었고, 제2회

대회는 체코의 프라하에서 개최되었는데, 33개국이 참가했으

며 당시 곽성은교수가 전국스도쿠대회에서 뽑힌 선수들을 데

리고 참가했고, 민족사관학교 학생이 28위를 한 적이 있습니

다. 그 후로는 전국스도쿠대회가 열리지 못했으며 올해 2012년

3월에는 스위스에서 국제스도쿠대회가 개최되었습니다.

2012년에는 창원대학교에서 전국스도쿠대회가 열려 초․중․

고등학생 및 대학생, 일반국민들에게 9․9수학퍼즐게임인 스

도쿠를 통해, 논리력과 문제해결력 발달에 도움이 되게 하면

서 수학에 대한 흥미와 호기심을 높여 과학적인 사고와 창의

성을 함양하고자 개최되었습니다.

8 | 폴리곤 스도쿠

2. 스도쿠란 무엇인가?

스도쿠는 가로·세로 각각 9줄씩 전체 81개(9×9)의 칸으로

이루어진 정사각형의 표를 바탕으로 빈칸에 숫자를 채우는 게

임이다. 가로. 세로줄에 1~9의 숫자를 겹치지 않게 적어 넣는

퍼즐방식이다. 이 표를 좀 더 자세히 들여다보면, 가로·세로

각각 3줄씩 이루어진 9칸을 ‘상자’, 다시 이들 상자 9개가 모여

하나의 표가 된다.

즉, 하나의 숫자가 들어가는 공간을 ‘칸’, 이들로 이루어진

3×3(9개)의 모임을 ‘상자’, 그리고 이들 상자로 이루어진 3×3

(9개)의 모임을 ‘표’라고 부른다.

가로, 세로 9칸씩 총 81칸으로 이뤄진 스도쿠는 18세기 스위

스 수학자가 만든 ‘라틴 사각형’이란 게임에서 유래한 것으로

전해진다. 역사 속에 묻혔던 이 게임은 1970년대 미국에서 '넘

버 플레이스'란 게임으로 잠시 소개됐다. 지금은 대각선스도

쿠, 스도쿠폴리곤, 입체스도쿠 등 다양한 형태의 스도쿠 게임

이 소개되어 있다. 또한 어린학생들을 위한 4×4, 6×6, 8×8 스

도쿠 게임도 있다.

3. 스도쿠의 역사 | 9

3. 스도쿠의 역사

수학의 역사에는 손꼽히는 천재들이 많은데, 18세기 최고의

수학자라 할 수 있는 스위스의 레온하르트 오일러(Leonhard

Euler, 1707~1783)는 17세기에 개발된 미분적분학(calculus)을 최

고의 수준으로 발전시켜 미분적분학 분야뿐만 아니라 조합론

(combinatorics) 등의 분야에서도 뛰어난 업적을 남겼다.

그가 연구한 주제 중에 “라틴 방진(Latin square)”이라는 것이

있다(혹은 마술사각형, 그레코라틴 사각형라고도 한다). 이것

은 특수한 규칙에 따라 숫자를 배열하는 문제로서 가로 세로

개의 칸으로 이루어진 정사각형의 각 칸에 1부터 까지의 수

를 넣어, 가로와 세로 어느 쪽으로도 같은 수가 나오지 않게

하는 것이다. 즉 스도쿠는 가로와 세로가 아홉 개의 칸으로 이

루어진 라틴방진, 즉 9차 라틴방진이라고 할 수 있다.

오일러가 라틴 방진에 대해 여러 가지 재미있는 결과들을

얻었으며, 1895년 7월 6일자 프랑스 신문 ‘La France news paper’

에서는 스도쿠를 재미있는 게임으로 소개한 내용이 나온다.

20세기가 될 때까지 라틴 방진은 주로 수학자들 사이에서 많

이 연구되어져 왔다.

스도쿠가 퍼즐로서 처음 등장한 것은 1979년으로, 미국의 퍼

즐 잡지인 델지(Dell magazine)에 Number Place라는 제목으로

실린 것이다. 이 퍼즐은 하워드 간즈(Howard Garns)가 창안한

것으로 알려져 있다. 이 새로운 퍼즐은 이후 1984년 일본에 전

10 | 폴리곤 스도쿠

해져 “숫자는 혼자로 제한된다(数字は独身に限る).”라는 긴 이

름으로 소개되었다. 일본의 퍼즐 잡지인 니코리(ニコリ)의 카

지 마키(鍜治 真起) 회장은 이 긴 이름을 ‘數獨, 스도쿠’로 줄여

서 세상에 내놓았고, 이후 세계 각국으로 퍼지기 시작했다.

우리나라에서는 1989년 목포대학교의 곽성은교수가 ‘자바

프로그램’을 사용하여 숫자를 한번씩 넣는 법칙으로 스도쿠

연구에 관심을 갖기 시작했다.

스도쿠라는 이름은 수독(數獨)(숫자(number)를 뜻하는 스(數,

su)와 단독(single)을 의미하는 도쿠(獨, doku)가 합해서 만들어

진 이름)을 일본어 방식으로 읽은 것이다. ‘숫자들이 겹치지

않아야 한다’, ‘숫자를 한 번씩만 써야 한다’ 혹은 ‘한자리 수’라

는 일본어 조어이다.

이것을 우리는 “9․9 숫자풀이”라고 할 수도 있다.

4. 스도쿠의 효과 및 영향 | 11

4. 스도쿠의 효과 및 영향

최고의 논리게임이고 두뇌 트레이닝 도구인 스도쿠는 다음

과 같은 과학적인 효과가 있다고 알려져 있다.

(1) 최고의 두뇌게임으로 끊임없이 숫자조합에 대한 뇌를 자극

하여 뇌세포를 잘 발달하게 하고 지능지수와 감성지수를

향상시키는 게임임.

(2) 공부하는 학생에게 일반 게임과는 달리 수학과 관련된 예

시와 네모로직으로 엄청난 집중력과 인내심을 요구하며

논리력과 추리력, 집중력, 문제 해결력, 사고력과 창의력이

발달하게 됨.

(3) 뇌를 사용하고 뇌를 자극하여 뇌세포가 퇴화하는 것을 막

아주어 기억력이 감퇴되는 것을 예방하여 치매, 알츠하이

머병 등을 예방하는 효과가 있음. 하루에 1문제 정도, 20분~

30분 정도 하는 것이 가장 이상적이라고 함.

또한 교육적, 사회적인 영향은 다음과 같다.

(1) 학교폭력의 주된 원인인 컴퓨터게임 시간을 줄이기 위한

방법으로 집중력과 창의력을 키울 수 있는 스도쿠게임을

활용하여 정서적 안정감을 갖게 함.

(2) 낱말 맞추기보다 훨씬 간단해 보이면서도 생각을 더 많이

해야 하는 스도쿠를 사용함으로써 과학의 기초인 수학에

대한 흥미와 호기심을 높여 과학적인 사고와 창의성을 함

12 | 폴리곤 스도쿠

양할 수 있음.

(3) 청소년들에게 수학에 대한 자신감과 관심을 갖게 하여 수

학에 대한 긍정적인 마음을 느끼게 하여 장차 이공계로의

진로 선택을 결정하는데 도움을 주는 효과가 있음.

(4) 수학퍼즐에 대한 관심을 불러일으키고 나아가서 수학에 대

한 관심을 불러 일으켜서 자연과학과 이공계 계통의 학문

분야에 대한 관심을 고취시켜 과학적 인력에 대한 저변 확

대효과가 있음.

(5) 수학놀이기구를 통해서 어떤 문제에 대한 집중력과 해결력

을 길러 수학을 재미있게 풀어 갈 수 있는 경험을 할 수 있

게 하여 수학의 대중화에 이바지함.

(6) 9․9숫자놀이인 스도쿠를 통해 수학이 일상생활에서 재미

를 줄 수 있으며, 수학적 소양을 제고하는 효과가 있음.

(7) 다양한 연령층의 남녀노소를 불문하고 다 함께 수를 가지

고 즐기고 겨룰 수 있는 화합의 장을 만들어 국민들의 화

합을 도모할 수 있음.

5. 스도쿠의 기본규칙 | 13

5. 스도쿠의 기본규칙

스도쿠의 게임규칙은 단순하여 숫자가 겹치지 않게 하는 다

음 4가지 규칙을 기본으로 한다.

(1) 주어진 표에서 빈칸을 모두 숫자로 채운다.

(2) 9칸으로 이루어진 한 작은 네모상자에는 1부터 9까지의 숫

자를 한 번만 쓸 수 있다.

(3) 가로줄의 9개 칸에는 1부터 9까지의 숫자를 한 번만 쓸 수

있다.

(4) 세로줄의 9개 칸에는 1부터 9까지의 숫자를 한 번만 쓸 수

있다.

결론적으로, 모든 칸은 1부터 9까지의 숫자로 채워지되, 단

위 상자와 가로·세로줄에 각각 1부터 9까지 숫자를 중복되지

않도록 배열하는 것이 스도쿠의 핵심이다.

즉, 가로줄과 세로줄의 숫자를 비교해 보았을 때 같은 숫자

가 나타나지 않는 것이 올바른 풀이 방법이다.

대각선 스도쿠 경우는 이 규칙에다가 두 개의 대각선 방향

이 모두 1부터 9까지의 숫자가 한번 씩만 쓸 수 있다.

스도쿠는 처음 몇 개의 칸에 숫자를 주고서 나머지 칸을 규

칙에 따라 채우는 것이다. 당연한 일이지만, 처음에 아무렇게

나 숫자를 주어서는 칸을 채울 수 없는 경우가 있다. 그러니

스도쿠를 푸는 것이 쉬운 일이 아니지만, 만드는 것도 쉬운 일

14 | 폴리곤 스도쿠

이 아니다. 또, 어떤 스도쿠는 처음에 공개하는 숫자가 아주

많으면서도 둘 이상의 풀이가 존재하기도 한다.

이런 이유로 스도쿠는 유일한 풀이가 존재하도록 만드는 것

이 원칙이다. 그렇다고 처음부터 너무 많은 숫자를 공개하면

푸는 재미가 줄어들어서, 되도록 적은 힌트를 주는 쪽이 더 어

렵고 멋진 문제라고 할 수 있다. 스도쿠에 대한 미해결 문제

가운데 가장 유명한 것도 이에 관한 것이다. 즉, 유일한 풀이

가 가능하도록 공개할 수 있는 숫자는 최소 몇 개가 가능하겠

냐는 것이다. 현재 알려져 있는 최솟값은 17이다. 즉 공개된

숫자가 17개 뿐이다.

17개의 숫자만 공개되어 있을 때 유일한 풀이가 존재하는

스도쿠 문제는 현재 48826개가 알려져 있지만, 16개의 숫자가

주어진 스도쿠 문제는 하나도 알려져 있지 않다. 그러나 이런

압도적인 증거에도 불구하고, 16개의 숫자면 충분한 스도쿠 문

제가 단 하나라도 존재하면 17은 최솟값이 될 수 없다.

참고로 6×6 스도쿠 문제의 총 개수는 169,344개, 8×8 스도

쿠 문제의 총 개수는 740,164,386,816 개, 만들 수 있는 9×9 스

도쿠 문제의 총 개수는 6,670,903,752,021,072,936,960개 이다.

폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 폴리곤 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 스도쿠 문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제문제폴리곤 스도쿠 문제

8. 폴리곤 스도쿠 문제(폴리곤 6×6) | 41

8. 폴리곤 스도쿠 문제

￭ 폴리곤 6×6

1.1 3

5

4 2

2 1

5

4 1

2.5 2 3

4 1

5 1

2 1 3

42 | 폴리곤 스도쿠

3.1

2

3 4 2 6

6 2 4 3

2

3

4.2

6

6 4 1

1 4 6

3

1

8. 폴리곤 스도쿠 문제(폴리곤 6×6) | 43

5.

6 2 5

5 4

1 5

4 3 6

6.2

1 5 3

6 3

3 4

4 6 1

3

44 | 폴리곤 스도쿠

7.5 2

5 2 1

3

3

1 2 5

6 5

8.2 3

5

1

1

2

3 4