防衛大学校　情報工学科　

生天目　章

2012年3月筑波大学東京キャンパス

製品の普及

リスクの伝播

うわさの伝播

ウィルスの拡散

Ex: iphone4 vs. Xperia

Ex: 連鎖倒産

伝播現象：一部で起きた状態変化が広がっていくこと

The spring of Arab [2011]

新商品の普及 社会変革の連鎖

People lined up for ipad 2

その他にも，　リスクの連鎖　　　　　　　　　うわさの伝播　等

　　伝播に関する研究

：一部ノードの状態変化が，全体の状態を変化させる：　伝播特性 ：閾値現象

　　　　　背後にあるネットワーク構造の影響とは？

分野分野 拡散の最大化拡散の最大化 拡散の最小化拡散の最小化

衛生 予防医学，禁煙 感染症

安全・安心 有用な情報 流言，デマ

マーケティング・経営

イノベーション 風評

伝播の促進または抑制に背後にあるネットワーク構造が及ぼす影響を明らかにすることで，伝播現象を制御するための知見を得る．

促進促進 抑制抑制伝播現象の二つの側面

さまざまなタイプのネットワーク構造や特性が明らかになってきた．

伝播目的に最も適したネットワークは？◦ 数学的な最適化は困難◦ GAなどヒュリステックな手法による準最適化

Regular

Random Scale freeSmall world HOT

確率的感染モデル（伝染病，コンピュータウィルス，流言）

閾値モデル

（イノベーションの伝播や故障の連鎖）　エージェントやノードの状態変化

周囲の感染者数

1

感染

確率

β

β

周囲の選択（状態変化）割合

1

状態

変化

感染者

φ

Susceptible Infected Susceptible モデル

◦ 非感染者と感染者に区分

◦ 微視的な要素を無視

◦ 巨視的なダイナミクスをとらえる

S Iβδ ISI

tdtdI

ISIdt

tdS

δβ

δβ

−=

+−=

)()(

)(

[Kermack and Mckendrick, 1927]

◦ Susceptible: 感染していない状態

◦ Infected: 感染している状態

◦ Recovered: 治癒している状態

感染確率： β　　 治癒率： δ

c)/( λδβ >

感染割合

λ＝ β /δλ c

Active phase

Virus death

相対的感染率

閾値現象：感染爆発の条件

ランダムネットワーク: λ c ＝1/<κ>スケールフリーネットワーク: λ c ＝ <κ> /<κ2>

<κ>:平均次数

S I

β

δ

　　　　　　　　λ_１(A): 隣接行列(A)の最大固有値

伝播の最大化→最大固有値の最大化

伝播の最小化→最大固有値の最小化

１

２

５ ４

３

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0100110001000010000111110

A

隣接行列ネットワーク

δβ

λ<

)(1

1 A

CPA

ノード数：５０リンク数：１００

１０%程度のコアノードが全連結され，

その他のノードは，べき分布

ノード数：５00リンク数：2000

　最大値（理論値）

CPA

BA

RR（最小値）

伝播の最小化

伝播の最大化

)(/)/( 1 optimalAScore λδβ=

S I

β

δ

閾値モデルの提案　[Granovetter, 1978]◦ イノベーション普及，うわさ，投票行動

◦ わずかな閾値の違いによって，集団の振る舞いが大きく変化

ネットワーク上におけるカスケード[Young, 1993]◦ 格子ネットワーク上にエージェントを配置

カスケードウィンドウの発見[Watts, 2002]◦ カスケードが起こる条件は，ネットワークの平均次数と個人の持つ閾値によっ

てきまる．

次数分布構造によるカスケードウィンドウの比較[Lopez, 2005]

指数分布ネットワークが最もカスケードが起こり易いのであろうか？

疑問

スケールフリー　＜　レギュラー　＜　指数分布

◦ 周囲の状況（割合）で自身の状態が変化する

◦ ネットワーク上の各ノードがしきい値を持つ

i j 1 0

1　　　　１０１０

　 　 ６

　　０　

0 　　　 ０

６　

　 　 ６　

６

ネットワーク上での協調ゲーム

伝播モデル 応用例 数理的理解（伝播の条件）

ネットワーク上でのシミュレーション実験

伝染病，うわさ，コンピュータウィルスの伝播

隣接行列の最大固有値[Wang, 2003]

RandomScale free[Wang, 2003]

① 確率的感染モデル[Kermack, 1927]

[閾値モデル]イノベーションや新製品の伝播故障の連鎖

平均場近似[Lopez, 2005]母関数[Watts, 2002]

RandomScale free個人の役割[Watts, 2007]

② 閾値モデル[Watts,　2002]

ネットワーク構造◦ ランダムネットワーク

◦ スケールフリーネットワーク

サイズ◦ 各ネットワークを１０個

染色体◦ 隣接行列から作られる数列

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0111110011100111110111110

A 11011111110

染色体

隣接行列

⎣ ⎦

∑≥

∈=

φ

φφ

/1

1

2

]1,0[

* )(1minargk

kPkZ

⎣ ⎦1)(1 s.t.

/1

1

2 >∑≥

φ

kkPk

Z

カスケードが起こる最小閾値　[Lopez, 2006]

カスケードウィンドウ

カスケードが起こる閾値と平均次数の範囲

Z:平均次数，φ：閾値，P(k):次数分布

カスケードウィンドウ

閾値

平均次数

外観図 次数分布

500ノード，Z=20

10=Z

20=Z

GA

EXP

GA

EXP

20=Z次数分布（両対数） 相補累積分布（両対数）

Bke

Akp

k

+=−

!1)(

λλ

ポアソン分布(k<Z) + 一様分布(k>>Z)BimodalBimodal

伝播のアクセル◦ ハブノードが発火した場合

：隣接する多くのノードを発火させる

伝播のブレーキ◦ 多くの隣接ノードが発火しない限り

発火しないので発火伝播を食い止める．

A

A

比較的次数の大きいノードが大きなクラスタを形成するネットワーク

カスケードが起こり易いネットワークとは

伝播モデル 促進 抑制

確率的伝搬Bimodal

(全連結＋スケールフリー)均質ネットワーク

閾値モデルに基づく伝播

Bimodal(Poisson＋Uniform)

Bimodal(Poisson＋均質)

　　関連研究

(1) 社会における伝搬現象の数理　（群馬大学　上田他）　　：数理モデル(SIR)を使った，流言，文化などの伝搬に関する研究（２）Rumor transmission models (2006) 東大　河内

　　：風評・流言伝搬(3) Statistical physics of social dynamics, (C. Castellano)

arXiv:0710.3256v1 (2007)：統計物理学の視点からの伝搬現象(opinion dynamics)

（４）Cascading behavior in networks: algorithmic and economic issues(J. Kleinsberg, 2008)

：計算学の視点からの伝搬現象（５）A general model of cascade, Watts, D. (2002).

偶然の科学（data-driven diffusion) (草思社2012)

手元資金：８兆円株式時価総額： ４１兆円1995年以降，株主配当なし（利益はすべて研究開発費に充当し，株主には株価上昇で還元）（ジョブズ流）

$500(24.3)

現象や事象

因果関係

構造とメカニズム

【複雑適応系】

• 適応エージェント• 相互作用• ネットワーク構造

水面下

データ有り データ無し

モデル有り

Known Knows①今までの情報伝搬②交通渋滞

Unknown Knows①内省的なこと②創発現象•シミュレーション研究

モデル無し

Known Unknown

•グローバルな伝播

Unknown Unknown①ブラックスワン②想定外の事象•シナリオプランニング