EE - Modulo 2 - a Financeira

Escola de Engenharia Elétrica e de Computação Engenharia Econômica

Matemática Financeira

Thyago Carvalho Marques



Introdução

� O que é?� Matemática financeira se preocupa com o

valor do dinheiro no tempo.

� Estudo baseado na seguinte frase:� “Não se SOMA ou SUBTRAI quantias em

Dinheiro que não estejam na mesma DATA”

� A palavra fundamental é JUROS



Juros Simples

� É calculado usando somente o principal, ignorando-se quaisquer juros acumulados no período de juros anteriores.

� J = P * i * n, em que:� P = Valor Principal� i = taxa de juros� n = número de períodos

� O valor Futuro (F) é dado por:� F = P + J => P + P*i*n � F = P * ( 1 + i * n)



Exemplo

� 5% a.a por 3 anos com um capital de 1000

11505010003

11005010002

10505010001

--10000

Total($)Juros(%)Capital ($)Ano



Juros Compostos� Ao final de cada período, o juro é incorporado ao principal ou

capital, passando assim a também render juros no próximo período.

� F = P * ( i + 1)^n, em que:� P = Valor Principal� i = taxa de juros� n = número de períodos

� Essa expressão pode ser deduzida da seguinte forma:� Para n = 1

� F1 = P + (P * i) => P + P*i = P * (1 + i)� Para n = 2

� F2 = F1 + (F1 * i) => F2 = F1 * (1 + i) => P * (1 + i) * (1 + i)� F2 = P * (1+i)^2

� Para n = 3� F3 = F2 + (F2 * i) => F3 = F2 * (1 + i) => P * (1+i )^2 * (1 + i)� F3 = P * (1+i)^3



Período de capitalização

� Período de capitalização : é o período em que uma quantia rende uma taxa de juros i, após o qual, os valores resultantes dos juros são somados à quantia acumulada até então. No período seguinte, tal soma renderá novamente a taxa de juros i, repetindo o processo ate o final.



Exemplo

� 5% a.a por 3 anos com um capital de 1000

1157,6355,131102,53

1102,552,510502

10505010001

--10000

Total($)Juros(%)Capital ($)Ano



Comparação Simples e Composto

Juros: Simples x Compostos

50 5050

52,5

50

55,13

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

Simples Composto

$

Ano 1 Ano 2 Ano 3



Comparação Simples e Composto

Total: Simples x Compostos

1050 10501050

1102,5

1050

1157,63

9801000102010401060108011001120114011601180

Simples Compostos

Ano 1 Ano 2 Ano 3



Convenções� P = quantia existente ou equivalente no instante INICIAL

e conhecida por valor presente ou atual� F = quantia existente ou equivalente no instante

FUTURO em relação ao inicial e conhecida por valor futuro

� i = Taxa de juros por períodos de capitalização� n = número de período de capitalizações� U = valor de cada contribuição considerada em uma

série uniforme de dispêndios ou recebimentos. Também pode ser chamado de valores uniformes, montantes periódicos ou parcelas periódicas.

� G = valor chamado de gradiente aritmético que aumenta, gradativamente, de forma uniforme após cada período de capitalização, constituindo a série de valores G, 2G, 3G, ..., (n-1)G



Visualização

(A) (B)

(C)

(D)



Problema Básico

� Qual o Valor Futuro F dado o Valor Presente P?�Problema 1: Aplico $10.000 por 10 anos a

juros de 5% a.a. Quanto terei após os 10 anos?



Problemas Básicos



Problemas Básicos



Problemas Básicos

� Qual o Valor Presente P dado o Valor Futuro F?�Problema 2: Se eu quiser ter $400.000 dentro

de 5 anos, quanto deverei aplicar agora, considerando-se uma taxa de juros de 10% a.a.?



Problemas Básicos



1. Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado a taxa de 24% ao ano, durante 7 meses.

2.Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 11.200. Determinar a taxa anual.

3.Durante 155 dias certo capital gerou um montante de $ 64.200. Sabendo-se que a taxade juros é de 4 % ao mes, deteminar o valor do capital aplicado.

J = Pin = 60.000 * 0,24 * 7/12 = $8.400,00

J = Pin => i = J / (Pn) = 11.200 / (28.000 * 8/12) = 0.6 = 60%

F = P(1+in) => P = F / (1+in) = 64.200 / (1 + 0,04 * 155/30) = 53.204,27

Exercícios Capitalização Simples



4. Qual o valor dos juros contidos no valor principal de $ 100.000,00, resultante dataxa de 42% ao ano, durante 13 meses.

5. Qual o valor a ser pago, no fim de 5 meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de $ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% aosemestre.

J = Pin => 100.000 * 0,42 * 13/12 = 45.500,00

Conversão do tempo em dias em semestre:n = 5 * 30 = 150 dias + 18 dias = 168N = 168 / (6 * 30) = 0,93334

F = P(1+in) = 125.000 (1 + 0,27 * 0,93334 ) = $156.500,00

Exercícios – Capitalização Simples



1. Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m. em um regime de juros compostos, a partir de um principal de $ 1.000.000,00.

2. Qual é o principal que deve ser investido nesta data para se obter um montante de $ 500.000,00, daqui a 2 anos, a uma taxa de 15% a.s. em um regime de juros compostos.

3. Um cidadão investiu $ 10.000 nesta data, para receber $ 14.257,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento, em um regime de juros compostos.

Exercícios – Capitalização Composta

F = P(1+i)^n => 1.000.000 * (1 + 0,02)^18 = 1.428.246,25

F = P(1+i)^n => P = F / (1+i)^n = 500.000 / (1 + 0,15)^4 =F = 500.000 / 1,749 = 285.876,62

F = P(1+i)^n => (1+i)^12 = 1,4258 => 0,03 ou 3%



4. Quanto se terá daqui a 26 trimestres ao se aplicar $ 100.000,00 nesta data, a uma taxa de 2,75% a.m. no regime de juros compostos.

5. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, de 2% a.m., de forma que possa retirar $ 10.000,00 no final do 6 mês e $ 20.000,00 no final do décimo segundo mês. Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados.

6. Em quanto tempo triplica um capital que cresce a uma taxa de 3,0% a.m.

7. Que taxa de juros está embutida numa operação que dobra o capital inicial de $ 1400,00 num prazo de 14 meses.

F = P(1+i)^n => 100.000 * (1 + 0,0275)^78 = 829.817,87

F = P1(1+i)^n => 10.000 = P1(1+0,02)^6 = P1 = 8.879,42F = P2(1+i)^n => 20.000 = P2(1+0,02)^12 = P2 = 15.770,38O valor de P = P1 + P2 = 24.649,80

F = P(1+i)^n => 3P = P(1+0,03)^n = (1,03)^n = 3 => n.log(1,03) = log(3) => n = 37,16

F = P(1+i)^n => 2800 = 1400(1+i)^14 => 2 = (1+i)^14 => i = 5,076%




Um jovem financiou R$32.000,00 em 60x para comprar um veículo. Cada parcela ficou um valor de R$776,79. Foram pagos 14 parcelas.

a) Qual o valor da taxa de juros do financiamento?

b) Para quitar o financiamento, qual valor que deverá ser pago hoje?

c) O banco fez uma proposta para quitar o veiculo, caso o cliente pagar R$21.000,00. É viável quitar agora? Se sim, qual seria o desconto em R$ ou %?




Curiosidade



Curiosidade



Equivalência de taxas de juros com capitalização composta

Uma condição para a equivalência de taxas de juros é que estas taxas, aplicadas sobre um mesmo principal, ou capital inicial, produzam o mesmo montante, ao final de um certo prazo n.

Se uma certa taxa mensal im é equivalente a uma certa taxa anual ia, então:

P (1 + im )12 = P (1 + ia ) (equação 1)

Dividindo a equação (1) por P: (1 + im )12 = (1 + ia ) (equação 2)

Transformando a equação 2:

ou: (equação 3)

Exemplo:Calcular a taxa de juro mensal, equivalente a uma taxa de 20% a.a. Aplicando a equação (3) obtemos:

; = 1,01531 – 1 => 1,531% a.m.

12 )1()1( am ii +=+

1)1(12 −+= am ii

1)2,01(12 −+=mi 1)2,1(12 −=mi

Conversão de Taxas de Juros



Fórmulas para conversão de taxas de juros equivalentes

Existem duas situações básicas para a conversão de taxas de juros:

a) Conversão de uma taxa de período de tempo menor para uma taxa de período de tempo maior:Taxa semestral em taxa anual, taxa mensal em taxa anual, etc. Neste caso vamosaplicar a seguinte fórmula:

ie= (1 + iq )n - 1 (equação 4)

onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor.

Exemplo:converter uma taxa de 4% a.t. em taxa anual. Ie = (1 + 0,04)4 = 1,16985 => ie= 16,98% a.a. Neste caso n = 4, uma vez que um ano contém 4 trimestres.

b) Conversão de uma taxa de período de tempo maiorpara uma taxa de período de tempo menor:taxa anual em taxa trimestral, taxa semestral em taxa mensal, etc.




Vamos, neste caso aplicar a seguinte fórmula:

onde: ie = taxa equivalente; iq = taxa conhecida a ser convertida; n = número de períodos contidos no período da taxa de juros menor.

Exemplo:Converter uma taxa de 40% a.a. em taxa quadrimestral.

=> 11,87% a.q.

1)1( −+= nqe ii

1)4,01(3 −+=ei

1)4,1(3 −=ei




Calcular a taxa equivalente mensal de uma taxa de:

1. 100% a.a.;

2. 82% a.a.;

3. 28% a.s. e 28% a.a.;

4. 28% a.a. ;

5. 32% a.t.

Exercícios



1. Determinar o montante no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de$ 100.000,00 a taxa de 3,75% a.m.R: $ 144.504,39

2. Uma pessoa empresta $ 80.000,00 hoje para receber $ 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo.R: 8% a.m. ou 151,817% a.a.

3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma institução finaceira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de $ 20.000,00 será resgatadopor $ 36.018,23.R: 5 trimestres ou (15 meses).

Exercícios



4. Quanto devo aplicar hoje, a taxa de 51,107% a.a. para ter $ 1.000.000,00 no final de 19 meses.R: $ 520.154,96.

5. Em que prazo uma aplicação de $ 374.938,00 a taxa de 3.25% a.m., gera um resgate de $ 500.000,00 R: 9 meses.

Exercícios



Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juros









Fluxo de Caixa

� É uma apreciação das contribuições monetárias (entradas e saídas de dinheiro) ao longo do tempo

� É a representação gráfica do conjunto de entradas (receitas) e saídas (despesas) relativo a um certo a intervalo de tempo.

� Pode ser representado na forma analítica ou gráfica



Fluxo de Caixa



Fluxo de Caixa



Diagrama de Fluxo de Caixa

(+)

(-)

0

1 2

3

5.000

entradas (receitas)

saídas (despesas)

� O eixo horizontal representa o tempo� Nos diversos pontos que representam os instantes, ao

longo do eixo, são traçados:� Segmentos positivos, para cima, representam Dividendos,

Receitas ou economias realizadas;� Segmentos negativos, para baixo, representam Despesas,

Aplicações de Dinheiro, Custos de Aplicações ou parcelas que foram deixadas de receber.

2.000 4.000

1.000

4

9.000



Exemplo� Imagine que uma máquina custa $20.000 á vista ou 5

prestações de $4.800. Para a venda, a vista do fluxo de caixa é diferente do ponto de vista do comprador para o do vendedor.

0 1 2 3 4 5

$4.800

$20.000

comprador

0 1 2 3 4 5

$4.800

vendedor

$20.000



Considerações

� De todos os elementos utilizados em E.E, provavelmente a estimativa do fluxo de caixa seja o mais difícil e inexato.

� Estimativas do fluxo de caixa são simplesmente, a estimativa de um futuro incerto.



Os influxos de caixas ou entradas pode ser



As Saídas de caixas pode ser:



Cálculo de um Fluxo de CaixaSão definidas algumas regras básicas para o cálculo do valor numérico de um fluxo de caixa:

(i) o fluxo deve ser calculado em um determinado período de tempo, isto é, todas as entradas e saídas devem ser trazidas para uma mesma data e;

(ii) as entradas e saídas devem ser trazidas para este período de tempo.



Calcular o seguinte fluxo de caixa, FC(0), considerando-se uma taxa de juros de 5% a.p.:

1 3 4 52

1000

200 800 14001600 1400

Descontando todas as saídas e entradas e trazendo para o momento 0, temos:

FC(0) = -1000 + 200/(1+0,05)1 + 800/(1+0,05)2 + 1600/(1+0,05)3 + 1400/(1+0,05)4 + 1400/(1+0,05)^5= -1000 + 190,47 + 725,62 + 1382,14 + 1151,78 + 1096,93 = 3546,94

Exemplo:



A) Cálculo de uma série uniforme postecipadaPodemos entender uma série uniforme de pagamentos como uma série de pagamentos que possui as seguintes características: (i) os valores dos pagamentos são todos iguais; e (ii) consecutivos, como ilustrado abaixo:

1 3 4 52

300 300 300300 300

0

(a)

Fig.1 : Série uniforme postecipada (a) e antecipada (b).

(b)

1 3 4 52

500 500 500500 500

0

500

A) Série postecipada e antecipadaNuma série postecipada (a) o primeiro pagamento ocorre a partir do primeiro período, enquanto uma série antecipada (b) é caracterizada pelo fato do primeiro pagamento ocorrer no início do período.

Series Uniformes



A) Cálculo do montante F de uma série uniforme postecipadaConsideremos uma série uniforme postecipada, descontada mensalmente a uma taxa de 4%, como mostrado abaixo:

1 3 4 52

100 100 100100 100

0

F =

É possível calcular o valor futuro da série com o uso de fórmulas já conhecidas:

F1 = 100 x (1,04)4 = 100 x 1,16986 = 116,98F2 = 100 x (1,04)3 = 100 x 1,12486 = 112,49F3 = 100 x (1,04)2 = 100 x 1,08160 = 108,16F4 = 100 x (1,04)1 = 100 x 1,04000 = 104,00F5 = 100 x (1,04)0 = 100 x 1,10000 = 100,00Ft = ............................................... = 541,63

Assim, podemos concluir que, o montante de 5 aplicações, mensais e consecutivas aplicadasa um taxa de 4% a.m. acumula um montante de $ 541,63.

Series Uniformes



Sabemos que Ft = F1 + F2 + F3 + F4 + F5, substituindo F1, F2 , F3..., por seus respectivos valores temos:

Ft = 100 x (1,04)4 + 100 x (1,04)3 + 100 x (1,04)2 + 100 x (1,04)1 + 100 x (1,04)0.

Como o fator 100 é comum a todos os termos, podemos agrupar a expressão acima:

Ft = 100 { (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 } (Equação 1)

Como a série entre chaves, acima, representa a soma de uma progressão geométricade razão 1,04, podemos aplicar a seguinte fórmula,

que nos fornece a soma dos termos de uma PG, com a1= (1,04)0 =1, q = 1,04 e n = 5.

Transformando a Equação 1 com a inclusão da fórmula da soma de uma PG, como mostrado acima, obtemos:

(Equação 2)

111

−−×

q

aqa n

104,1

1)04,1(1100

5

−−××

Series Uniformes



Substituindo os termos genéricos na Equação 2, obtemos:

(Equação 3)onde: F = montante acumulado da série uniforme postecipada; U = valor das prestações; i = taxa de Juros e n = número de períodos ou prestações.

A expressão é chamada, também, de maneira análoga, as séries simples, de fator de acumulação de capital, FAC .

B) Cálculo do valor das prestações U, conhecido o montante acumulado FPodemos transformar a Equação 3, colocando U em função de F:

(Equação 4)

A expressão é denominada de fator de formação de capital (FFC), encontando-se

tabelada, como anexo, na maioria dos livros de matemática financeira.

i

iUF

n 1)1( −+×=

i

i n 1)1( −+

1)1( −+×=

ni

iFU

1)1( −+ ni

i

Series Uniformes



C) Cálculo do valor presente P de uma série uniforme postecipadaConsideremos uma série uniforme antecipada do tipo:

O valor presente P, pode ser calculado através da fórmula:

(Equação 5)

onde:P = valor presente das prestações da série postecipada; U = valor das prestações; n = númerodas prestações.

O fator é denominado fator de valor atual, FVA, sendo encontrado, como anexo,

em tabelas em livros de matemática financeira.

ii

iUP

n

n

×+−+×=

)1(

1)1(

1 3 42

U U UU

0

P =

n

U

ii

in

n

×+−+

)1(

1)1(

Series Uniformes



ExercícioCalcular o valor atual de uma série de 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de $150, capitalizadas a uma taxa mensal de $ 5% ao mês.

Series Uniformes

54,329.1

05,0)05,01(

1)05,01(150

)1(

1)1(

12

12

=×+

−+×=

×+−+×=

P

P

ii

iUP

n

n



D) Cálculo do montante F de uma série uniforme antecipadaConsideremos uma série uniforme antecipada do tipo:

O montante F pode ser calculado através da fórmula:

(Equação 6)

onde:F = montante acumulado no final do período; U = valor das prestações; i = taxa de juros.

1 3 42

U U UUU

0

F =

n

U

−+×+×=i

iiUF

n 1)1()1(

Series Uniformes



Exemplo:Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses, um montante de $ 100.000,00, sabendo-se que a taxa de juros contratada é de 34,489% ao ano, que as prestações são iguais e consecutivas e a primeira prestação é depositada no período 0.

Vamos, inicialmente, transformar a taxa anual em taxa mensal:

..%5,21024999,11)34489,01(12 maiim ==>−=−+=

1 2 63 4 50 35

F=$ 100.000

U =

Series Uniformes



Transformando a Equação 6, e colocando U (prestação) em função de F (valor futuro acumulado das prestações) obtemos:

Aplicando a fórmula acima, com S = $ 100.000,00, i = 2,5% a.m. e n = 36, obtemos:

U = 100.000 x 1/(1+0,025) x FFC(2,5%,36)= 100.000 x 0,97560 x 0,01745 = $ 1.702,42

)%,(1 )1(

1

)1()1(

1nin

FFCi

Fi

i

iFU ×

+×=

+×

+×= −

Series Uniformes

1)1( −+ ni

iÉ denominada de fator de formação de capital (FFC)



E) Cálculo do valor presente P de uma série uniforme antecipadaConsideremos uma série uniforme antecipada do tipo:

O valor presente P pode ser calculado através da expressão:

1 2 63 4 50 35

P =

U =$100

)%,()1( niFVAiUP ×+×=

Series Uniformes

(Equação 7)

ii

in

n

×+−+

)1(

1)1(é denominado fator de valor atual, FVA



Exemplo:

Determinar o valor presente do financiamento de um bem financiado em 36 prestações iguais de $ 100,00, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 3,0% a.m. e que a primeira prestação é paga no ato da assinatura do contrato.

Fazendo uso da Equação 7:

P = U x (1+i) x FVA(3,0,%,36) = 100 x (1,03) x 21,83225 = $ 2248,72

Series Uniformes



F) Cálculo da prestação U, dado o valor presente P de uma série uniforme antecipadaNestas condições, o valor U da prestação pode ser calculado a partir da transformação da Equação 7:

(Equação 8)

−+×+×

+=

1)1(

)1(

)1(

1n

n

i

ii

iPU

Series Uniformes



Exemplo:Um terreno é colocado a venda por $ 50.000,00 a vista ou em 24 prestações mensais sendo a primeira prestação paga na data do contrato. Determinar o valor de cada parcela, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa de 3,5 % a.a. pelo financiamento.

Aplicando a Equação 8, obtemos:

1 2 63 4 50 23

P =$ 50.000,00

U =$

21,008.3$06227,0)035,01(

1000.50

1)1(

*)1(

)1(

1 =×+

×=

−++×

+×=

n

n

i

ii

iPU

Series Uniformes



1. Um investidor depositou, anualmente, $ 1000,00 numa conta de poupança, em nome deseu filho, a juros de 6% a.a. O primeiro depósito foi feito no dia em que seu filho completou1 ano e o último quando este completou 18 anos. O dinheiro ficou depositado até o dia em que completou 21 anos, quando o montante foi sacado. Quanto recebeu seu filho. R: $ 36.809,24

2. Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um fundo de renda fixa, a taxa de 5% ao bimestre, durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final deste prazo, um montantede $ 175.000,00. R: $ 4.375,00

3. Qual é o montante obtido no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $ 500,00 pormês, a taxa de 42,5776% ao ano.R: $ 4.446,17

Exercícios



4. Quantas aplicações mensais de $ 500,00 são necessárias para se obter um montante de$ 32.514,00, sabendo-se que a taxa é de 3,00% a.m., e que a primeira aplicação é feita noato da assinatura do contrato e a última 30 dias antes do resgate daquele valor.R: 36 aplicações.

5. O Sr. Laerte resolveu fazer 12 aplicações mensais, como segue:a) 6 prestações iniciais de $ 1000 cada uma;b) 6 prestações restantes de $ 2000,00 cada uma.Sabendo-se que esta aplicação está sendo remunerada a 3,0% a.m., calcular o saldo acumulado de capital mais juros que estará a disposição do Sr. Laerte no final do prazode aplicação. R:2.066,04

Exercícios



Series Gradientes - Aritmética









Series Gradientes - Aritmética� Para encontrar o valor presente P dado o valor gradiente.






Series Gradientes - Aritmética� Para encontrar o valor uniforme U dado o valor gradiente.



Series Gradientes - Aritmética� Para encontrar o valor uniforme U dado o valor gradiente.






Series Gradientes – AritméticaExercício



Series Gradientes - Geométrico












Series Gradientes - GeométricoExercícios

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