電子工学概論

渡 部 重 十(わたなべ しげと)

http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~shw/densi.pdfshw@ep.sci.hokudai.ac.jp

1897年 ガラスの真空管の中の電極に数千ボルトの電圧をかけ，陰極から出てくる“陰極線”が電気を帯びた小さな粒子の流れであることを発見

電場や磁場をかけたときの曲がる様子からマイナスの電気を持った粒子

原子の中から外に飛び出してきた電子の流れが陰極線であることがJ. J. トムソン(J. J. Thomson)によってつきとめられた．

1904年3月にトムソンが発表した原子モデル

1911年ラザフォードが行った原子核の存在を示す実験 （ラザフォード散乱）

長岡半太郎

原子の概念

1913年ボーアの原子模型

電子

原子核（陽子，中性子）

ラザフォード散乱実験（原子核の発見）

1911年にアーネスト・ラザフォードが金のうすい箔にアルファ線(正の電荷をもったヘリウムの原子核)をあてる実験を行った．アルファ線の大部分は金箔を透過するが，一部が大きな角度で散乱される現象を発見．

ボーアの原子模型

炎色反応

nhE =D

紀元前600年頃 ターレス：摩擦電気を発見12世紀頃 航海に磁針を使用1746年 ライデン瓶の発明1749年フランクリン： 避雷針を発明1752年フランクリン： たこ上げ実験1780年ガルバーニ： 動物電気の発見1785年クーロン： クーロンの法則の発見1799年ボルタ： ボルタの電池発明1822年アンペア： アンペアの法則1833年ファラデー： ファラデーの法則の発見1864年マクスウェル： マクスウェルの方程式の発見1876年ベル： 電話の発明1878年エジソン： 炭素フィラメント電灯を発明1888年ヘルツ： 電波の発生．Maxwellの式が正しいことを実験的に証明1897年トムソン： 電子を発見1899年マルコニー： 無線電信に成功1901年マルコニー： 大西洋横断無線電信に成功1911年ラザフォード： 原子核を発見1947年ブラッテン，バディーン，ショックレ： トランジスタを発明

電子回路・電気回路

• 電子回路は，電子素子などを電気伝導体で接続し電流の通り道をつくり，目的の動作を行わせる電気回路

• 電気回路は，抵抗，インダクタ，コンデンサ，スイッチなどの電気的素子が電気伝導体でつながった電流のループ

• 電気回路は，電流の流れのための閉ループを持っていて，2つ以上の電気的素子が接続

電気と電子回路で使う基礎数学

• ベクトル

• 三角関数

• 微分

• 積分

• 複素数

ベクトル

• 位置，速度，加速度，力，電場，磁場，電流など，大きさと方向をもつものをベクトルという．

A A-

ベクトルの加法

A

BBA +

ベクトルの内積

q

A

B qcosAB=×BA

ベクトルの外積

qA

BzBA qsinAB=´

三角関数

q

q

q

q

cos22,

tan

cos

sin

222

222

222

abbac

abcacbcba

-+=

-+=-=

=

=

=

=+

abbacbac

a

bc

q

a

b

c

q

三角関数

qq

qq

qq

qqqqqq

cottan1

seccos1

cscsin1

tan,tancos,cossin,sin

1

1

1

=

=

=

======

-

-

-

AAAAAA

三角関数

( )( )

( )

÷øö

çèæ=

++=+

=±±=±

=+

=

-

ab

AbaAbAa

BABABABABABA

AAAAA

1

22

22

tan

sincossin

sinsincoscoscossincoscossinsin

1cossincossintan

f

f

ここで

!

加法定理の導出( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( ) BABABA

BABABABABAiBABA

BiBAiAeeeeeBAiBA

iBiA

iBiABAi

sincoscossinsinsinsincoscoscos

sincoscossinsinsincoscossincossincos

sincos

±=±=±

±+=±+=

==±+±±

±±

!

!

合成公式の導出

( )

( ) AbAaAba

Aba

bAba

aAAA

baa

bab

cossinsin

cossin

sincoscossinsin

cos,sin

22

2222

2222

+=++

++

+=

+=++

=+

=

f

fff

ff

a

b22 ba +

f

三角関数

ラジアン：角度の単位 rad

定義： 円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度

)(2360

21

21 2

rad

rlrS

rl

ラジアン度は p

q

q

==

=l

r

Sq

微分

( )

dxduku

dxdu

dxdvuv

dxdu

dxuvd

dxdua

dxdau

kk

1-=

+=

=

uka, は定数， は の関数x

初等関数の微分

axaaxaxaax

aeekxxxfxf

axax

kk

sincoscossin

)()(1

'

-

-

不定積分

axa

ax

axa

ax

ea

e

xk

x

dxxfxf

axax

kk

sin1cos

cos1sin

111)()(

1

-

++

ò

複素数

は実数を虚数という．

とする．

の解を

babiaz

ii

ix

,

1,1

,01

2

2

+=

-=-=

=+

指数関数

ydxdy

=xey =

xy 2=

xy 3=xy 4=

...718281828.2=eネイピア数

無理数

オイラーの公式

qqq sincos iei +=

オイラーの等式

1-=pie

マクローリン展開

...!61

!41

!211cos

...!51

!31

!11sin

...!31

!21

!111...

321

211

...

21

1

...

642

53

3232

20

02

2

10

0

00

33

2210

--+-=

-+-=

+--+=+×

--+=

=-=-=÷÷ø

öççè

æ

===÷÷ø

öççè

æ

==

++++=

xxxx

xxxx

xixxixixixe

aedxed

aiiedxde

aexaxaxaae

ix

ix

ix

ix

抵抗（電気抵抗）

電気抵抗（レジスタンス: electrical resistance）は電流の流れにくさを表す．国際単位系 (SI) における単位はオーム（記号：Ω）．逆数はコンダクタンス (conductance)で電流の流れやすさを表す．コンダクタンスのSIにおける単位はジーメンス（記号：S）．

コンデンサ

蓄電器（コンデンサ: capacitor，キャパシタ：capacitor）は電荷を蓄えたり放出したりする素子．国際単位系（SI）における静電容量の単位はファラド（記号: F）．マイクロファラド（μF = 10−6F），ピコファラド（pF = 10−12F），ナノファラド（nF＝10−9F）を用いる場合が多い．

インダクタ

流れる電流によって形成される磁場にエネルギーを蓄えることができる素子（インダクタ：inductor）．一般にコイルによってできている．蓄えられる磁気エネルギーの量の単位はヘンリー (H)．電線を何回も巻くことでアンペールの法則に従いコイル内の磁場が強くなる．インダクタは交流電流を遅延させ再形成する能力がある．時間と共に電圧と電流が変化する電気回路の基本的な部品となっている．

回路記号

MKS単位系

• 時間 秒 s• 長さ メートル m• 質量 キログラム kg• 温度 ケルビン K• 力 ニュートン N kg m / s2…

MKS単位系

• 電流 アンペア A• 電圧 ボルト V• 抵抗 オーム Ω• コンデンサ ファラッド F• インダクタ ヘンリー H• 周波数 ヘルツ Hz ｓ-1…

9

6

3

3

6

9

101010101010

-

-

-

ナノ

マイクロ

ミリ

キロ

メガ

ギガ

n

mkMG

µ

クーロンの法則

シャルル・ド・クーロンが発見した荷電粒子間に働く力．（1785年から1789年にかけて発見）

221

041

rQQF

pe=

22120 /1085.8,:

,:,:,:

mNCmrCQNF

×´ -真空の誘電率

メートル

クーロン

ニュートン

e

電場の強さ

単位電荷あたりの強さ

22

01 41

rQ

QFE

pe==

の方向に一致する曲線を電気力線E単位面積あたりの電気力線の密度を電束密度

ED 0e=

＋ -

b

a Va

Vb

電 場E

r

電位

電場内において1クーロンの点電荷を運ぶときの仕事を電位差無限遠との電位差を電位

ò-=-=b

abaab dVVV rE

òò ¥

¥=-=

a

aa ddV rErE

静電容量

導体の電位と電荷には比例関係がある

CVQ =静電容量:C

2Q

2Q

-

1V

2V

21 VVQC-

=２導体間の静電容量

Q

V

CVQ =

静電エネルギー

孤立した導体に蓄えられているエネルギー

QVCVCvdvQdvdQdU

ddv

dvvv

VVaa

a

bbaab

21

21 2

00

======

=

=-=

òòòò

ò

¥¥

rErF

rE

rE

クーロンの法則

221

041

rmmF

pµ=

260 /102566.1,:

,:,:,:

CmkgmrWbmNF

×´ -真空の透磁率

メートル

ウェーバ

ニュートン

µ

磁場と磁束

22

01 41

rm

mFH

pµ==

単位正磁荷に働く力．磁力線（大きさと方向を持ったベクトル）

単位面積あたりの磁力線の密度を磁束密度

HB 0e=

電流

dtdQI =

単位時間に移動する電荷の量 ＝ 電流

単位面積あたりの電流の強さ ＝ 電流密度

1秒間に1クーロン流れるとき1アンペア

オームの法則

電流と電位は比例関係にある

，ジーメンス）コンダクタンス（

，オーム）抵抗（

SR

G

RRIV

:1:

=

W

=

1Vの電位差で1Aの電流が流れるような抵抗を1Ω

V

I

RIV =

起電力

電流を流そうとする電位差（電流が流れないときの電位差）

内部抵抗

）起電力（

:V:0

0

rV

rIVV +=

電流が流れているときの電池の電位差

電流

キルヒホッフの法則

●キルヒホッフの第一法則（電流則）流れ込む電流と流れ出す電流の和＝０

●キルヒホッフの第二法則（電圧則）任意の閉回路で電圧の総和＝０

ジュールの法則

ジェームズ・プレスコット・ジュール（イギリス）が

実験によって発見した法則

）ワット（発熱量

）時間（

）電流（

）抵抗（

）ジュール熱（

W,:

s:A:

:J:

22

2

PRVRIVI

tQP

tIRQ

tRIQ

====

W

=

タングステン アルゴンガス

熱を光に変換

アンペアの右ねじの法則

アンドレ・マリー・アンペア（フランス）(Andre Marie Ampere 1775/1/20-1836/6/10)

が発見した法則

ビオ・サバールの法則

1820年にフランスのジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サバールによって発見された．

×

dH

2

sin4 rdsIdH q

p=

ds

I

rq

直線電流

( )

lId

lIH

dlIdH

dlds

lrlsslr

dsIdH

pqq

p

qqp

qq

qqqp

qp

p

2sin

4

sin4

sin

sin,cot,tan

sin4

0

2

2

==

=

=

=-==-

=

ò

q

l

r

I

s

円電流

( )

( ) ( )

( ) ( ) 2/322

22

02/3221

2/322221

1

22

24

44

sin,sin

4

laIads

laaIH

laadsI

ra

ladsIdH

radHdH

ladsIdH

a

+=

+=

+=

+=

==

+=

òp

p

pp

ff

p

磁場が電流に及ぼす力

BIF ´= l

平行電流間に働く力（単位長さあたり）

210

0

121

111

2

2

IIr

F

BrIH

BIF

pµ

µp

=

==

=

電磁誘導（ファラデーの法則）

閉じた経路に発生する起電力は，その経路によって囲われた任意の面を通過する磁束の変化率に比例する．

コイルの巻数:ndtdne

dtde

f

f

-=

-=

自己誘導

コイルに電流を流すと磁束が変化し，電流を変化させない方向に起電力が発生する．

自己インダクタンス

とすると定数をに比例するので，比例は電流磁束

:LdtdIL

dtdne

LdIndLI

-=-=

=f

ff

電気伝導

電場のもとで電荷を帯びた粒子（キャリア：正イオン，負イオン，電子，正孔）が移動して電流が流れる現象

電場

電気伝導度

電流密度

:::

E

iEi

s

s=

超伝導：電気伝導度が無限になる現象遷移温度：超伝導になる温度

半導体

電気伝導度が温度とともに大きくなる物質

n型半導体 Si(シリコン)にP(リン)をドープした例．赤い丸がリン由来の価電子．e-（電子）が電荷の運び手（キャリア）となり結晶中を自由に動き回る．

p型半導体 Si(シリコン)にB(ホウ素)をドープした例．正孔がキャリアとなり動き回る．

交流

時間とともに大きさと方向が変化する電流

( )

周期周波数

位相角

角周波数

振幅

:,:22

:::cos

TfT

f

ItIi

m

m

ppw

qw

qw

==

+=

RLCの直列回路

tECi

dtdiR

dtidL

tECQ

dtdiLRi

idtdQ

CQEdtdiLE

RiEtEE

m

m

C

L

R

m

ww

w

w

sin

cos

cos

2

2

-=++

=++

==

=

==

則よりキルヒホッフの第二法

下コンデンサでの電圧降

圧降下インダクタンスでの電

抵抗での電圧降下

交流起電力

RLCの直列回路

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

RC

L

CLR

EI

RC

L

RC

L

EI

RC

Lt

IEtR

CL

tIEtRt

CL

tEtIC

tRItLI

tIi

tECi

dtdiR

dtidL

mm

mm

m

m

m

m

mmmm

m

m

ww

q

ww

w

wfq

ww

w

w

wfwwfqwww

wwqwwqww

wwqwqwwqww

qw

ww

1

tan,1

1

tan,1

1

tan,sinsin1

sinsincos1

sincos1sincos

cos

sin

22

2

1

22

2

2

122

2

2

2

2

2

-=

÷øö

çèæ -+

=

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ -==

+÷øö

çèæ -

=

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ -==+-+÷

øö

çèæ -

=-+-÷øö

çèæ -

-=-+----

-=

-=++

-

-

を解とすると

RLCの並列回路

tCEi

tLEtdtE

Li

RtEi

idtdQ

CQEdtdiLE

RiEtEE

mC

mt

mL

mR

C

L

R

m

ww

ww

w

w

w

cos

cossin1

sin

sin

0

=

-==

=

==

=

==

ò

コンデンサでの電圧

圧インダクタンスでの電

抵抗での電圧

交流起電力

RLCの並列回路

( )

( )

÷øö

çèæ -=÷

øö

çèæ -+=

-=

-÷øö

çèæ -+÷

øö

çèæ=

÷øö

çèæ --=

+-=++=

CL

RCLR

Ei

tii

tCL

EREi

tCL

EtREi

tCEtLE

RtEiiii

mm

m

mm

mm

mmm

CLR

ww

qww

qw

qwww

www

w

wwww

w

1tan,11

sin

sin1

cos1sin

coscossin

2

2

22

2

とすると

正弦波交流回路の複素数表示

( ) ( ) ( )

( )

iCj

LjREEEE

RLC

iCj

E

LijERiEeii

eEtjEtEE

CLR

C

L

R

tjm

tjmmm

÷÷ø

öççè

æ++=++=

=

==

=

=+++=+

+

ww

w

w

qwqwqw

qw

1

,

1

sincos

直列回路の電圧

コンデンサ

インダクタンス

抵抗

正弦波交流回路の複素数表示

b

実数軸

虚数軸

a

biaz +=

÷øö

çèæ+

-

abba

1

22

tan位相

振幅

インピーダンスとアドミッタンス

：サセプタンス：コンダクタンス

：リアクタンス：抵抗

：アドミッタンス：インピーダンス

関係があるので，電圧と電流の間に比例

コンデンサ

インダクタンス

抵抗

BGjBGYXRjXRZ

YZYIZIE

iCj

E

LijERiE

C

L

R

,,

,

1

+=

+=

==

=

==

w

w

RL直列回路のインピーダンス

( )ILjRLIjRIE ww +=+=

RC直列回路のインピーダンス

ICjRI

CjRIE ÷

øö

çèæ -=+=

ww1

RLC直列回路のインピーダンス

ICjLjRI

CjLIjRIE ÷

øö

çèæ -+=++=

ww

ww 1

RL並列回路のアドミッタンス

ELj

RE

LjE

RI ÷

øö

çèæ -=+=

ww111

RC並列回路のアドミッタンス

ECjR

CEjER

I ÷øö

çèæ +=+= ww 11

RLC並列回路のアドミッタンス

ECjLj

RCEjE

LjE

RI ÷

øö

çèæ +-=++= w

ww

w111

交流の実効値

( ) ( )

( )

( )( )

( )( ) ( )

( )2

4sin4

4sin42

2sin21

212cos

2

12cos21cos

1coscos2sinsincoscoscos

cos1cos11

021

20

21

20

21

20

2

21

220

21

220

21

2

IttT

TTtTtT

TTII

ttTIdtt

TII

AA

AAAAAAAA

dttIT

dttIT

dtIT

I

Tt

te

Tt

t

Tt

te

Tt

t

Tt

t

Tt

te

=÷÷

ø

ö

çç

è

æúû

ùêë

é-÷øö

çèæ-++÷

øö

çèæ +=

÷÷ø

öççè

æúûù

êëé +=÷÷

ø

öççè

æ+=

+=

-=-=+

÷÷ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æ=

+

++

+++

ò

òòò

pp

pp

ww

w

ww

共振回路（直列共振）

共振周波数

は最大のとき

,211

1

1

tan,1 2

2

LCf

LC

REII

CL

RC

L

CLR

EI

mmm

mm

pw

ww

ww

q

ww

=Þ=

==

-=

÷øö

çèæ -+

=

共振回路（直列共振）

共振回路（並列共振）

共振周波数

は最小のとき

,211

1

1tan,11 2

2

LCf

LC

REii

LC

CL

RCLR

Ei

mmm

mm

pw

ww

ww

qww

=Þ=

==

÷øö

çèæ -=÷

øö

çèæ -+=

共振回路（並列共振）

ゲルマニウムラジオ

電子回路シミュレータで回路を作成してみよう！

http://www.falstad.com/circuit/

http://www.falstad.com/circuit/

RLC共振回路(1)スイッチを入れてコンデンサを充電する．(2)スイッチを切ると共振が始まる．(3)時間とともに共振が小さくなるようにしてください．(4)周波数を上げてください．

http://www.falstad.com/circuit/

オームの法則(1)Index of Circuit Examplesをクリック．(2)Ohm’s Lowをクリック．(3)右側で10mAの電流が流れるようにしてください．(4)左側で20mAの電流が流れるようにしてください．

http://www.falstad.com/circuit/

Voltage Dividerをクリック．

1, 2, 3, 4 Vの電源を取り出す回路に変更してください．

http://www.falstad.com/circuit/

A/C Response of CapacitorとA/C Response of Inductorの違いを述べてください．

http://www.falstad.com/circuit/

教科書の図4.1を作成し式(4.1)と(4.2)が正しいことを確認してください．

http://www.falstad.com/circuit/

教科書の図4.2を作成し式(4.7)と(4.8)が正しいことを確認してください．

http://www.falstad.com/circuit/

教科書の図4.7を作成し式(4.36)から求められる共振周波数と一致していることを確認してください．

演習問題（2.1）

( )

4:1:41:41:1::

,4

0,04

044

0244

321

3123

313

2

20

322

0

212

20

312

0

211

-=-=\

=-=

=+-=+

=+-=

=+=

QQQ

QQQQ

QQQQ

rQQ

rQQF

rQQ

rQQF

pepe

pepe

演習問題（2.2）

( )

qpeqq

qpeq

220

2

20

2

sin16cossin

sin24tan

lQmg

lQmg

=

=

演習問題（2.4）

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2/3220

2

02/322

0

1

2/3220

2/122220

1

220

24

44cos

4

alalds

allE

aldsl

all

aldsdEdE

aldsdE

a

+=

+=

+=

++==

+=

ò el

pel

pel

pelf

pel

p

演習問題（2.5, 2.6）

( )21

2121

21

2211111111

'11

21

2211

'2

'121

2'21

'1222111 ,,,

CCVVCC

CCVCVCCVCVCVCQQ

CCVCVCV

QQQQVCQVCQVCQVCQ

+-

=++

-=-=-

++

=

+=+

====

U1-U2 あとで入れておく

演習問題（2.7）

( )

( )

021

1

0

2

21

11

21

1222111

021

1112101

,

,,

VCC

CV

VCC

CVCC

CVVCCVC

VCC

CVVCCQVCQ

n

n ÷÷ø

öççè

æ+

=\

÷÷ø

öççè

æ+

=+

=+=

+=+==

演習問題

（2.11）と（2.16）を答えなさい

直列回路 （図4.1）

EIP

RRRRIE

EEE

IIII

=

+==

+=

===

電力は

，オームの法則から回路全体の合成抵抗は

則よりキルヒホッフの第二法

則よりキルヒホッフの第一法

21

21

321

並列回路 （図4.2）

21

21

21

21

111RRE

IIR

RIE

EEE

III

+=+

=

=

==

+=

，オームの法則から回路全体の合成抵抗は

則よりキルヒホッフの第二法

則よりキルヒホッフの第一法

演習問題

図4.3に示す直並列回路の合成抵抗を求めよ．また，それぞれの抵抗での電流を求めよ．

演習問題（4.1）

図4.20の合成抵抗を求めよ．

演習問題（4.2）

図4.3において回路全体の電力を求めよ．

演習問題（4.3）

626

501

2501

pp

p

p

¬

®sT

501

=6pq =

演習問題（4.4）

1264ppp

=-

演習問題（4.5）

( ) ( ) A502cos27.1502cos25.0502

100

cossin1

0

tti

tLEtdtE

Li

dtdiLE

mt

m

ppp

ww

w

-=××

-=

-==

=

ò

演習問題（4.6）

W´-=´××´

-=

-=

--

366 106.1

100.1002100.11

1

p

w

X

CX

演習問題（4.7）

!4515050tan

tan

=®==

=

qq

wqRL

演習問題（4.8）

( )？？？FC

CIE

CR

IE

IIRIE

IRCj

E

R

µ

p

w

w

124.0016.0220

5021105

1

A016.01058080105

1

223

22

33

=

=÷øö

çèæ

××-+´=

÷øö

çèæ-+=

=´

=®=´==

÷÷ø

öççè

æ+=

演習問題（4.9）

( )

( )

64.012

20coscos2

2cos12

sin2

A7.021

2

0

2

0

»×

=+-=úûù

êëé-=

=

»

ò

p

pp

pw

w

w

mm

T

mave

T

mave

ITTIt

TII

dttIT

I

平均値

実効値