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EEA-02: Análise de Circuitos ElétricosAula 15

1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Tópicos desta aula

Associações de quadripolos:Série-SérieParalelo-ParaleloSérie-ParaleloParalelo-SérieCascataTeorema de Miller

Aplicações de Quadripolos:Modelo de pequenos sinaisFunção de transferênciaEquivalente Thévenin

1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 2 / 42

Associação de quadripolos

Uma vantagem de poder expressar as características de um quadripololinear na forma de uma matriz é poder analisar mais facilmente quadripoloscompostos por outros mais simples.Como veremos, as formas principais de associação de quadripolos dispõemde relações entre as matrizes do quadripolo composto e dos quadripoloscomponentes.


Associação Série-Série

Nessa associação, as correntes que atravessam os quadripolos são iguais eas tensões se somam. Portanto,

V1 = V1a + V1b

eV2 = V2a + V2b


Associação Série-Série

[V1V2

]=

[V1aV2a

]+

[V1bV2b

][V1V2

]=

[za11 za12za21 za22

] [I1I2

]+

[zb11 zb12zb21 zb22

] [I1I2

][V1V2

]=

[za11 + zb11 za12 + zb12za21 + zb21 za22 + zb22

] [I1I2

](1)

⇒ Z = Za + Zb (2)


Exemplo 1

Considere o seguinte quadripolo, em que as unidades são dadas em Ω:

Para determinar a matriz impedância do quadripolo, podemos assumir umacorrente auxiliar I3 através do capacitor e escrever equações de nós emalhas:


Exemplo 1

Escrevemos:V1 = 2I1 + I2 − I3

V2 = I1 + 3I2 + 2I3

−j2I3 + 2(I2 + I3)− (I1 − I3) = 0


Exemplo 1

De onde obtemos que a matriz Z do quadripolo é[ 23−j213

19+j413

19+j413

27−j813

][Ω] (3)


Exemplo 1

Alternativamente, podemos perceber a decomposição do quadripolo emdois outros mais simples:


Exemplo 1

Quadripolo superior:

Sua matriz impedância é dada por[ 10−j213

6+j413

6+j413

14−j813

][Ω] (4)


Exemplo 1

Quadripolo inferior:

Sua matriz impedância é dada por[1 11 1

][Ω] (5)


Exemplo 1

Portanto, a matriz impedância da associação é a soma das matrizesimpedância, tendo em vista a ligação série-série:

Z =

[ 10−j213

6+j413

6+j413

14−j813

]+

[1 11 1

]=

[ 23−j213

19+j413

19+j413

27−j813

][Ω] (6)

que é a mesma matriz obtida ao analisar o quadripolo original diretamente.


Exemplo 2

Entretanto, considere o quadripolo:

Sua matriz impedância é dada por 43

23

23

43

[Ω] (7)


Exemplo 2

Podemos seccionar este quadripolo em dois iguais ligados em série, daseguinte forma:


Exemplo 2

As duas partes (superior e inferior) são dadas pelo quadripolo abaixo:

A matriz impedância deste quadripolo é dada por 34

14

14

34

[Ω] (8)

Podemos perceber que ao multiplicar esta matriz por 2 não obtemos amatriz impedância do quadripolo original.


Exemplo 2

Isto ocorre pois a condição das correntes de um quadripolo (mesmacorrente que entra por um polo de um acesso deve sair pelo outro polo domesmo acesso) não é atendida nessa associação de quadripolos, comopode ser observado na figura abaixo.


Associação Paralelo-Paralelo

Nessa associação, as tensões nos acessos dos quadripolos são iguais e ascorrentes se somam.Através de um procedimento similar ao executado anteriormente, pode-semostrar que

Y = Ya + Yb (9)


Associação Série-Paralelo

Nessa associação, as correntes na entrada são iguais, as tensões na entradase somam, as tensões na saída são iguais e as correntes na saída se somam.Através de um procedimento similar ao executado anteriormente, pode-semostrar que

H = Ha + Hb (10)


Associação Paralelo-Série

Nessa associação, as tensões na entrada são iguais, as correntes na entradase somam, as correntes na saída são iguais e as tensões na saída se somam.Através de um procedimento similar ao executado anteriormente, pode-semostrar que

G = Ga + Gb (11)


Associação Cascata

Nessa associação, são especialmente úteis as matrizes ABCD dos doisquadripolos.Com efeito, temos [

V1I1

]=

[Aa Ba

Ca Da

] [V2a−I2a

]e [

V1bI1b

]=

[Ab Bb

Cb Db

] [V2−I2

]


Associação Cascata

Como V2a = Vab e I1b = −I2a, podemos escrever[V1I1

]=

[Aa Ba

Ca Da

] [Ab Bb

Cb Db

] [V2−I2

]Ou seja,

T = TaTb (12)

A associação em cascata mostra a utilidade de colocar sinal negativo em I2na equação referente à matriz ABCD.Da mesma forma, escrever as variáveis de entrada V1 e I1 em função dasvariáveis de saída V2 e I2 é conveniente porque o produto das matrizesABCD se dá na mesma sequência em que são associados os quadripolos.


Exemplo 3

Considere que os quadripolos acima têm matrizes transmissão dadas por

Ta =

[1 Z0 1

](13)

e

Tb =

[1 0Y 1

](14)

em que Z é uma impedância e Y é uma admitância.1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 22 / 42

Exemplo 3

Vamos determinar a matriz transmissão do quadripolo abaixo:

Podemos perceber que o quadripolo acima é uma associação em cascatados quadripolos anteriores, na sequência b-a-b. Portanto,

Tclc =

[1 0

jωC1 1

] [1 jωL0 1

] [1 0

jωC2 1

](15)

Tclc =

[1− ω2LC2 jωL

jω(C1 + C2 − ω2C1C2L) 1− ω2C1L

](16)


Teorema de Miller

Considere a situação em que um quadripolo contém entre os dois nóssuperiores uma admitância Y e que existe uma estrutura que garante umaproporção entre V1 e V2, isto é, V2 = µV1.

Desta forma, a corrente I1 é dada por

I1 = Y (V1 − µV1) = (1− µ)YV1 (17)


Teorema de Miller

Portanto, podemos encontrar a matriz G para o quadripolo em questão:

G =

[(1− µ)Y 0

µ 0

](18)

tal que [I1V2

]= G

[V1I2

](19)


Teorema de Miller

Com a matriz G podemos ver que o quadripolo seguinte é equivalente aoapresentado anteriormente:

Esta última representação mostra uma característica importante daassociação: a reflexão da admitância entre os dois nós superiores naentrada, multiplicada pelo fator 1− µ.


Teorema de Miller

Observação: Algumas referências costumam incluir uma admitância(1− 1

µ

)Y em paralelo com a fonte vinculada µV1. No entanto, a inclusão

desta admitância não muda a expressão de V2.


Efeito Miller

O resultado anterior é especialmente importante quando a admitância édada por um capacitor (caso em que Y = jωC ) e a fonte vinculadarepresenta um amplificador inversor (com ganho µ negativo).

Nessa configuração, o Teorema de Miller mostra que a capacitância vistana entrada é igual a (1 + |µ|)C . Esta multiplicação de capacitância éconhecida como Efeito Miller e é extremamente relevante em circuitosamplificadores porque reduz suas larguras de banda.


Conversão de Parâmetros

Algumas vezes pode ser mais conveniente ter um quadripolo representadopor um conjunto de parâmetros que por outro.Considere os parâmetros impedância (Z ), que relacionam tensões ecorrentes de um quadripolo na forma[

V1V2

]=

[z11 z12z21 z22

] [I1I2

]Vamos obter os parâmetros transmissão (ABCD) do quadripolo:

V1 − z11I1 = z12I2

z21I1 = V2 − z22I2


Conversão de Parâmetros

z21V1 − z21z11I1 = z21z12I2

z11z21I1 = z11V2 − z11z22I2

Logo, obtemos

V1 =z11

z21V2 −

∆z

z21I2 (20)

eI1 =

1z21

V2 −z22

z21I2 (21)

Logo,

T =

[A BC D

]=

z11

z21

∆z

z21

1z21

z22

z21

(22)

Outras conversões podem ser obtidas de forma similar (Anexo).1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 30 / 42

Modelos de pequenos sinais

Um modelo de pequenos sinais para transistores pode se basear na matrizhíbrida H.Na figura abaixo, é apresentado um modelo de quadripolo utilizando osparâmetros h para o transistor BJT na configuração emissor comum.Neste caso, a tensão de entrada v1 é dada pela tensão base-emissor vbe e atensão de saída v2 é dada pela tensão coletor-emissor vce . A corrente deentrada i1 é dada pela corrente de base ib e a corrente de saída i2 é dadapor ic .



Com efeito, podemos ver que a matriz híbrida H é justamente dada por

H =

[hi hrhf ho

](23)

tendo em vista que [vbeic

]= H

[ibvce

](24)



Os parâmetros h são obtidos através de derivadas parciais avaliadas noponto de operação escolhido:

hi = ∂VBE∂IB

(i de input)

hr = ∂VBE∂VCE

(r de reverse)

hf = ∂IC∂IB

(f de forward)

ho = ∂IC∂VCE

(o de output)

Muitas vezes o modelo de parâmetros híbridos é simplificado paraconsiderar apenas hi e hf .Observação: No circuito de pequenos sinais apresentado, ho é umacondutância (e não uma resistência).


Função de Transferência

Alguns dos parâmetros de quadripolos vistos permitem obter a função detransferência de um circuito de forma imediata.Com efeito, considerando que a função de transferência é dada pelo ganhodireto de tensão da entrada para a saída, com a saída em aberto, temosque:Em função de parâmetros transmissão (ABCD):

H(jω) =1A

(25)

Com o parâmetro g21 da matriz híbrida G:

H(jω) = g21 (26)


Função de Transferência - Exemplo

No exemplo anterior, o quadripolo formado pela cascata de dois capacitorese um indutor tem parâmetros transmissão

Tclc =

[1− ω2LC2 jωL

jω(C1 + C2 − ω2C1C2L) 1− ω2C1L

]Portanto, a função de transferência é dada por

H(jω) =1A

=1

1− ω2LC2(27)

em que não há influência do capacitor C1. No entanto, vamos acrescentarum resistor R na entrada do quadripolo, conforme a figura seguinte:



Nesta situação, a matriz transmissão fica

Trclc =

[1 R0 1

] [1− ω2LC2 jωL

jω(C1 + C2 − ω2C1C2L) 1− ω2C1L

]

Trclc =

[1− ω2LC2 + jRω(C1 + C2 − ω2C1C2L) jωL + R(1− ω2C1L)

jω(C1 + C2 − ω2C1C2L) 1− ω2C1L

](28)



Nesta situação, a função de transferência fica

H(jω) =1A

=1

1− ω2LC2 + jRω(C1 + C2 − ω2C1C2L)(29)

Observe nesta última expressão de função de transferência a influência docapacitor C1.Este resultado é mais coerente porque o resistor na entrada torna oquadripolo mais próximo de um circuito prático.


Equivalente Thévenin

No circuito abaixo, temos uma fonte de tensão E = 60 V de resistênciainterna R = 40 Ω. A matriz híbrida H do quadripolo é dada por

H =

[1 kΩ −210 200 µS

]

Vamos determinar o Equivalente Thévenin visto na saída.



Para determinar a impedância de Thévenin Zth, anulamos a fonte detensão E e calculamos Zth = V2

I2.

Com a fonte E anulada, temos V1 = −RI1 e, portanto,

−RI1 = h11I1 + h12V2

I2 = h21I1 + h22V2



Desta forma, obtemos

Zth =V2

I2=

R + h11

(R + h11)h22 − h21h12= 51, 46 Ω (30)

Finalmente, para determinar a tensão Vth, apenas calculamos a tensão V2com a saída em aberto (I2 = 0) e V1 = E − RI1:



E − RI1 = h11I1 + h12V2

0 = h21I1 + h22V2

De onde obtemos

Vth = V2|I2=0 =h21

h21h12 − h11h22 − Rh22E = −29, 69 V (31)

Observe que os parâmetros h permitem analisar circuitos mesmo que suaestrutura interna não seja totalmente conhecida.


Bibliografia

Burian, Y. & Lyra, A.C.C., Circuitos elétricos, Prentice-Hall Brasil,2006 (Capítulo 14);Alexander, C., M. Sadiku, and M. Sadiku. "Fundamentals of ElectricCircuits, 2000."(Capítulo 19).Sedra, Adel S., and Kenneth Carless Smith. Microelectronic circuits.Vol. 1. New York: Oxford University Press, 1998 (Capítulo 7 (seção7.4)).


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