Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
向量微分計算
梯度, 發散度, 旋度
向量函數→向量場
畢氏定理
純量:只有大小 向量:大小+方向(+指向)
3
3
空氣動力學 航空學
向量可以任意平
移,或沿直線前後
移動(決不可轉動)
θ ψ 向量會以小寫之粗體字表示!
分量
卡笛兒座標系統
(直角座標系統) 利用投影觀念求分量
位置向量參考
點可為任意點
= 分量 和2( )
P(x1, y1, z1)
Q(x2, y2, z2)
a √
√
兩向量相等的條件:個別分量均對應相等
三角形定理與平行四邊形定理
兩向量相加(減):個別對應分量相加(減)
a
b−
c a b= −
√
√
兩向量相加(減):個別對應分量相加(減)
`
√
單位向量代表方向
代表 x 方向的向量﹦x 方向分量(大小)+方向
標準基底 維度
向量空間
內積(點積)
正交性
或 γ=90 即 a b⊥
內內積積為為純純量量,,非非向向量量
兩向量內積(點積):個別對應分量相乘且相加
0< Cosγ
性質!
γ• = ≤cosa b a b a b
1 1 0
a
b
a b+
1 1 2 2 3 3a b a b a b= + +
位移
力
繩索的向量b
b 的負單位向量
a 在u 方向的投影量
25o
65o
以向量內積法計算
以三角幾何法計算
求投影量 (重要性質)
•=
a ba
a b γ• = cosa b a b
= • ( )ba i b b的單位向量,代表 的方向
a 在b 方向的投影量= (知道夾角γ時)
a在b 方向的投影量= (不知道夾角γ時)
=b 在 a方向的投影量
(見補充資料!)
向量積(外積)(叉積)
重重要要性性質質!!
外外積積為為向向量量,,非非純純量量
外積的大小=平行四邊形面積 0v a b= × = 的條件:
1. 0a = 或 0b = 2. a 與b 的夾角 0
或 180 度
→見(2**)式
外積的大小=平行四邊形面積 sin γb a
sina γ
右手螺旋法則
√
v a b= × : v 同時與 a和b 垂直
√ 重重要要公公式式!!
√
對第一列( , ,i j k )降階展開
1 2( 1) +−
i
j k 逆時針(+)、順時針(–)
(見補充資料!)
√ 靜力學與動力學
學習內容!!
√
√
求力矩
求轉動物體的切線速度
純量三重積 → 為一純量,非向量
重重要要公公式式!!
(見補充資料!)
0 a b c≠ 代表 , , 彼此線性獨立
對第一列降階展開
1 31 22
1 3
( 1)
b b
ac c
+−
( ) ( )a b c × •= × • 與 符號可對調
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
b a c a c b c b a
= =
= −= −=−
a
b c 逆時針(+)、順時針(–)
( ) ( )b c a b c a= × • =
四面體(四角錐):體積為 1 ( )6
a b c• × =平行六面體體積的 1/6
平行六面體
cos
sinc
ab
h
c
b
β
θ
×
= ×
= ×
=
高平行四邊形面積
平行六面體的體積
β
cosa hβ = =高 θ
三重積的應用:力對某一軸的力矩 (靜力學第四章:力系合成)
( )
( )
a a
ax ay az x y z
x y z
ax ay az
x y z
x y z
M u r F
i j ku i u j u k r r r
F F F
u u u
r r rF F F
= • ×
= + + •
=
導函數
場
P 為空間中一點,向量 v 會隨著 P點變化(P(t))而改變
代表 P 點(在直角座標系統上)
√
了解「場」的觀念
P0(x0, y0, z0)
P(x, y, z)
( )f P P 與 P0 間的距離
場:一種相同物理量的集
合,可以函數形式表示之
任一位置向量 (0 0 )i j kω= + +
形成速度場(不同
位置有不同速度)
萬有引力(大小)
距離(純量)
距離(位置向量)
單位向量,代表方向
(負號代表 P 指向 P0)
向量
向量的大小
萬有引力(向量場表示)
(x0, y0, z0)
(x, y, z)
rm
M
向量微積分
收斂 連續性 可微分性
√
√
√
√
0v( )t=
√
0
( )limt t
v t→
1 0 2 0 00 3( )v( ) ( ) ( )v t i v t j v t kt= = + +
若此式的極限值存在,則代表可微分
若 0tΔ → ,則 ( )v t′ 代表曲線該點之斜率或切線
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )dv t v t i v t j v t k
dt′ ′ ′= = + +√
向量的微分=個別分量的微分
偏導數(微分)
對 mt 變數取偏導數
對 ,m lt t 變數取偏導數
( , )m lv t t 為多變數函數,故取偏導數(微分) 一階偏導數:
, m l
v vt t∂ ∂∂ ∂
二階偏導數: 2 2 2
2 2, , m lm l
v v vt t t t∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
微分幾何學
參數表示法
t 為參數
空間中的曲線方程式
位置向量
t 增加,正向性
t 減少,負向性
大地量測學 地理學 空間旅行 相對論
代表曲線投影在 x-y
平面上的方程式
t 減少,負向性t增加,正向性
定向 (1)式比(2)式
的優點
2 2 2
cossin
0 2
x y ax a ty a t
t π
+ ===≤ ≤
L 上任一點 A(的位置向量)
2 2
2 2 1
cossin
0 2
x ya bx a ty b t
t π
+ =
==≤ ≤
x
z
y
( )r t
L 的方向向量
注意以下特殊曲線的參數表示式!
長軸
短軸
x
z
y
( )r t
距 A 的長度
橢圓參數表示式
圓參數表示式
直線參數表示式
平面曲線
扭曲曲線
右手螺旋,C > 0 左手螺旋,C < 0
沒有曲線交錯、相切之點
( )r t(位置向量)
tb
cos cos cos
b
yx z
u
BB Bi j kB B B
i j kα β γ
=
= + +
= + +
向量
大小
(3, 2)
t
Slope=1= yx
ΔΔ
方向向量=[1,1,0]=b
x
z
ya
( )r t
螺線參數表示式
單位切線向量(代表切線方向)
切線方程式
( )r t 必須先找出…by 參數表示法
注意解題步驟!
( )dr tdt
= 切線向量,代表曲線上某點的斜率
P 與 Q 很接近時
步驟 1: ( )r t
步驟 2: ( )r t′ 步驟 3:由 P點求出對
應的角度 / 4t π=
見補充資料
l 為曲線長度,是為常數
s 為曲線長度,是為 t的函數(找 s與 t的關係式用)
可求長(度)的
步驟 4: ( ) ( ) ( )q r t r tω ω ′= +
( )s t r rds dr rdt dt
′ ′ ′= •
′= = =
等號兩邊取微分
√
√
√
√
ds dr=
drds
= 單位切線向量
步驟 1: ( )r t 步驟 2: ( )r t′
2K =
2
( )
s t r r dt
K dt
KtstK
′ ′= •
=
=
=
∫∫
故
步驟 3:找出 s 與 t的關係 by (11)式
步驟 4:得到以 s 為變數之 ( )r s
: ( )C r t 曲線向量表示式…by 參數表示法
取微分
切線速度
速度大小 dsv r r rdt
′ ′ ′= = • =
加速度 t na a= + 取微分
dr dx dy dzi j kdt dt dt dt
= + +
鏈鎖定則 單位向量,代表方向
純量,指速度大小
對方向微分 ( )norma
對大小微分 tan( )a
2
2
( ( ) )
( )du dsdt d
d dsu sdt dt
d su sdtt
+=
2( )
du dsdt dt
du dsds
dsds
dt=
tan vva v a vav
u vv v v
•= • =
•
切線方向的單位向量
a 在 v 方向的投影量圓參數表示式
切線速度
速度大小(常數)
加速度
角速率大小vR
ω = (常數)
向心加速度 離心力
2 2[ cos sin ]R t i R t j rω ωω ω+ == − −
2
2 2
0
v
r
v
ra R
ω
ω ω
⇒
⇒
=
=
−
= =
的方向為切線方向,方向的改變率相同
微分為法線(向心)加速度
向心加速度大
大小為常數
微分 切線加速度
小
為
發射體 經線
: 轉動角度tω : 轉動角度tω
ω
0γ >
: 發射體運行角度tγ
b 隨地球轉動,為時間 t之函數
位置向量
( )r t
向心加速度(與b ′′有關) (地球旋轉所造成)
向心加速度(與γ 有關) (發射體在旋轉地球的經線上旋轉所造成)
柯氏加速度(與γ 與b ′′有關) (兩個旋轉交互作用所造成)
在北半球, sin 0 ( 0, 0)t tγ γ> > > ,因此, Cora 的方向為 b′− ,亦即與地球旋轉方向相反,物體自經線偏向右。(在南半球, sin 0 tγ < 故偏向左)
柯柯氏氏加加速速度度怎怎麼麼產產生生的的呢呢??
在質點的相對運動公式中有一項「2 relvω× 」稱之為「柯氏加速度 (Coriolis acceleration)」,其中ω為參考體的角速度,而 relv 為欲分析點相對於參考體的相對速度。
很明顯地,柯氏加速度為ω與 relv 交互作用而產生的。加速度乃是速度變化而產生,而速度變化包含了大小及方向的變動。柯氏加速度就是源於參考體旋轉及質點相對於參考
體的相對速度而造成。
微積分基本觀念 → 自行複習
鏈鎖定則
中間變數
因(相依)變數 自(獨立)變數
, ,x y z為多變數函數,故取偏導數(微分)
, ,x y z為單一變數函數,故取常微分
0
x y zx x y x z xf f gx z x
ϖ ϖ ϖ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
方向導函數
純量場之梯度→將純量場變成向量場
均值定理
0 0( ) ( )f x h f xdfdx h
+ −=
方向導函數
( )gradientf f⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ∇純量函數 向度 量函數梯
微分運算子
梯度的應用
梯度即為法線向量
( )f 純量函數
空間中的曲線或曲面
( )f∇
法
向 函數
線向量
量
● ( , , )P x y z
b向量
代表在(指定的)b 向量方向,其單位長度之 f 變化率
0p( )r s
sb
dr dx dy dzi j kds ds ds ds
x i y j z k
b
= + +
′ ′ ′= + +
=
( ) ( )
(
df df dfx i y j z k i j kdx dy dz
b
f
f
b
′ ′ ′= + + • + +
=
•∇
•單位向量) 的梯度
=
dxds
dyds
dzds
重要公式!
取單位向量
單位向量
Step1:取梯度 f∇ Step2:點代入 ( )f P∇
Step3:算單位向量 aaea
=
Step4:算出 ( )a aD f e f P= •∇
(見補充資料!)
鏈鎖定則
直線 L 的參數表示式
( )f 純量函數
空間中的曲線或曲面
( )f∇
法
向 函數
線向量
量
● ( , , )P x y z
b向量
( )aD f b grad f
b f P
= •
= •∇
γ
γ= o0 , bD f 有最大值,即表示曲線(面)上 P 點處的梯度方向(亦即法線方向),為 f 在 P 點方向導數最大增加之方向。
梯度為曲面的法線向量 曲面方程式
曲線 C 方程式
C 的切線方程式 dr dx dy dzi j kdt dt dt dt
= + +
取微分
dxdt
dydt
dzdt
( ) ( )f f f dx dy dzi j k i j kx y z dt dt dt∂ ∂ ∂
= + + • + +∂ ∂ ∂
重要意義!
單位法線向量
梯度f f ff i j kx y z∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
法線向量
潛位、位勢
向量
純量(given)
拉譜拉斯運算
能量守恆的(保守場)
( ) ( )v P grad f P= ( )v P :向量函數; ( )f P :純量函數;P:任何一位置點
( )f P 稱為 ( )v P 的 potential。 若可以發現 ( )f P 的存在,則 ( )v P 稱為能量守恆的(保守場)
( ) ( )v P gradf v
v f
f P→ =
→
已知 求出
已知 求出
第十章的範圍
(P377-378)
c
c
c
0
c
c
c
三者相加 滿足(8)式
√
梯度f f ff i j kx y z∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
c
c
c
三者相加滿足(9)式 2
3 5
3 3 0rr r
= − + =
d d di j kdx dy dz
∇ = + +
靜電學 → 與牛頓重力定
律相同形式
√
√
發散度(Divergence)的物理意義:
一個無限小封閉曲面放在向量場中,則由內向外發出的"力線數"(向量和該通過面積的內積)即為散度。Divergence 不為零時,大於零對應 source,小於零對應 sink,等於零則滿足連續方程式。
例如 若指的是水,Divergence=0 之處就是沒有水源出口(source)或排水孔(sink)的空間. 若指的是電位,則沒有電荷處 Divergence=0,該點電位恰好就是四周所有點電位的平均值(連續),也就是電力線連續 沒有新電力線的產失或消失.
發散度
向量⎯⎯⎯⎯→發散度 純量
發散度
旋度 v Curl v∇× =
比較
1 2 3[ ( , , ), ( , , ), ( , , )]v v x y z v x y z v x y z=
√
f∇•∇ = 2 f f= ∇ = Δ
2
( )
( ) 0
cp grad grad fr
div p div grad f f f
= =
= = ∇ = Δ =
(P400-401)
發散度在流體力
學的應用
耗損
流通量
3 2( )kg m kgm s m s
=i
y 面流入
質量變化率 ﹦流出與流入的差值 ( )kg 流出 流入 x y z= Δ Δ Δ
一短時間 tΔ 內流進 z xΔ Δ 面之流體質量 ( )kg
y y+ Δ 面流出
● y
● y y+ Δ
1. 可壓縮流體(氣體)流動之連續方程式(密度 ρ會改變)
2. 質量守恆之條件
流體為不可壓縮(水、油)之條件 (密度 ρ為常數)
相等
在時間 tΔ 內 Box B 之總質量損失
Box B 內之質量損失來自其密度的時間變化率(注意單位)
23( )
kgm s m s kgm
=i i
同理可得
11
33
uu y z t V txuu x y t V tz
ΔΔ Δ Δ Δ = Δ Δ
ΔΔ
Δ Δ Δ Δ = Δ ΔΔ
三式相加
33( )
kgm m s kgs
=i i
31 2
31 2
( )
, ,
( ) ( )
uu u V t V tx y z t
if x y zuu u
x y z t
u v div u div vt
ρ
ρ
ρρ ρ
ΔΔ Δ ∂+ + Δ Δ = − Δ Δ
Δ Δ Δ ∂Δ Δ Δ
∂∂ ∂ ∂+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂∂
∇• = ∇• = = = −∂
趨近於0
( ) 0
0 ( ) 0 ( ) 0
div vt
div vdiv v
ρ ρ
ρ
∂+ =
∂+ =
=
旋度
向量⎯⎯⎯→旋度 仍為向量
旋度
發散度 v div v∇• =
比較 1 2 3 1( 1) ( )v v
x z+ ∂ ∂− −
∂ ∂
證明
證明
(見補充資料!)
梯度函數 1 2 3[ ( , , ), ( , , ), ( , , )]p p x y z p x y z p x y z= 若 0Curl p = ,則 p 稱為能量守恆的
視▽類似為微分符號
( )f v∇• =
( )f g∇• ∇ =
( )div f f∇ =∇•∇ =
( )u v∇• × =
( )f v f v f v∇× = ∇ × + ∇× = 2 2
( ) [ ][ ]
div fg div f g g ff g g f
f g f g fg fg
= ∇ = ∇ + ∇= ∇• ∇ + ∇
= ∇ +∇ •∇ ∇∇ + •∇+
【觀念補充】
Let kajaiaA 321 ++= be a constant vector, and kzjyixR ++= , Find
(a) ( )R A∇ ⋅ ; (b) ( )R A∇ −⋅ ; (c) )( AR ××∇ . 【Solution】
【另解】
3111
)()()(])()()[( 321321
=++=
−∂∂
+−∂∂
+−∂∂
=−+−+−⋅∇
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
azz
ayy
axx
kazjayiax
kz
jy
ix
【另解】一般運算
Akajaia
kaajaaiaa
yaxazaxazayazyx
kji
AR
kyaxajzaxaizayaa
zyxkji
AR
2222
)()()(
)()()(
)(
)()()(
321
332211
121323
121323321
−=−−−=
−−+−−+−−=
−−−−∂∂
∂∂
∂∂
=××∇
−+−−−==×
a a
公式解
(98 中山光電 10%) (100 台師大機電 20%)
(96 中山機械 16%)