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1
題名
重力と電磁気力(・・相対論不変の下で・・)
日本文理大学
機械電気工学科 竹本義夫
2
重力への「行列ベクトル」の応用
行列ベクトルとは
第112回日本物理学会九州支部例会(2006年・鹿児島大学)で発表したものです。
http://www.nbu.ac.jp/~takemoto/genko.html
((予稿で抜け落ちています。))
3
(1)行列ベクトルの有用性(簡明さ)
(1)ベクトルとしての簡明さ と
(2)行列としての機能性 をあわせ持つ。
(3)ローレンツ変換の様態 を追加できる。
四元ベクトル 行列ベクトルct
ct x ct ct x y izy y iz ct xz
− − − − + + = ⇒ = − −
r r
4
(2) 行列の積⇒四元ベクトル積(機能性)
' ' ' ' '' ' ' ' '
c t c t c t x y iz c t x y izy iz c t x y iz c t x+ + + +
= − − − − r r
' '' ' ( ')
ctctct ct i
+ ⋅ = + − ×
r rr r r r
( ' ' ' ') [( ' ') ( ' ')]
[( ' ') ( ' ')][( ' ') ( ')]
( ' ' ' ')[( ' ') ( ' ')]
[( ' ') ( ' ')] [( ' ') ( ' ')]
ctct xx yy zz cty yct i zx xzi ctz zct i xy yxctx xct i yz zy
ctct xx yy zzcty yct i zx xzi ctz zct i xy yx ctx xct i yz zy
+ + + + − −
+ + − −+ + − −
= + + ++ − −− + − − − + − −
スカラー積、ベクトル積（複素数）・・・ ４元ﾍﾞｸﾄﾙの１成分
通常の行列積
5
(3)ローレンツ変換⇒ローレンツ形式
1 1,2 2
γ γγ γ+ −
+ −= = ct− −
=
r 0 ( ,0,0)γ −=γ
' ( )' ( )''
ct ct xx x cty yz z
γ βγ β
= − = − = =
ローレンツ変換 ローレンツ形式
0 0
''
ct ctγ γ+ + ⇒ = − − γ γr r
6
行列ベクトルの応用（方程式）
0
0
tEctic
c
ρε
ε
+ ++ +
− + ∂ ∂ = ∂ − − ∂
jE Br
0
0
( ) (1)
0 ( ) (2)
( ) (3)
t
t
cct
divcE
divct
c Ect c
ρε
ε
∂+ =∂=∂
+ =∂∂
− − =∂
BrotE 0
B
E
E jrot B grad
iii
iiiiii
iiiiiiiiii
ファラデーの式､ベクトル
磁束保存の式､スカラー
ガウスの式､スカラー
( ) (4)
iiiアンペールの式､ベクトル
⇔
★マクスウェル方程式(Et:時間成分)
7
行列ベクトルの応用（電磁場）
tE ctcic
φ
− −
− + + +∂
∂= ∂ −− − ∂ AE B
r
⇔
( ) (1)
( ) (2)
( ) (3)
tE divcct
cct
c c
φ
φ
∂ = + ∂∂ = − − ∂
=
A
AE grad
B rot A
iii
iiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiii
電場の時間成分､スカラー
電場､ベクトル
磁場､ベクトル
★電磁場ーポテンシャル(Et :時間成分)
8
行列ベクトルの応用（電磁力）
ttqEF
icc
− −− +− − = −
jF E B
⇔
( ) (1)
( ) ( ) (2)
t t
t
F qE i cc c
q E c i qcc c c
= + ⋅ − ⋅ = + + × − − ×
j jE B
j j jF E B B E
iii
iiiiiiiii
エネルギーの変化､スカラー
運動量の変化､ベクトル
下線部：複素力
★クーロン・ローレンツ力(Et :時間成分)
9
((必要な部分))
ttqEF
icc
− −− +− − = −
jF E B
★クーロン・ローレンツ力(Et :時間成分)
★電磁場ーポテンシャル(Et :時間成分)
tE ctcic
φ
− −
− + + +∂
∂= ∂ −− − ∂ AE B
r
ローレンツ形式(相対論的不変性)
10
本題
• (A)電磁気力と重力の類似(逆2乗の法則)を発生過程にまでさかのぼる。
• (B)重力の方程式を構成する。• (C)今後の展望(重力方程式の解釈)。
11
tE ctcic
φ
− −
− + + +∂
∂= ∂ −− − ∂ AE B
r
⇔
( ) (1)
( ) (2)
( ) (3)
tE divcct
cct
c c
φ
φ
∂ = + ∂∂ = − − ∂
=
A
AE grad
B rot A
iii
iiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiii
電場の時間成分､スカラー
電場､ベクトル
磁場､ベクトル
★電磁場ーポテンシャル(Et :時間成分)･･既出
, =A 0
12
(A)電磁気力の発生（電磁場）
0
14
er
φπε
= , =A 0
0
0 ( ) (1)
1 ( ) ( ) (2)4
( ) (3)
tE divcct
c ect r
c c
φ
φπε
∂ = + = ∂∂ ∂ = − − = − ∂ ∂
= =
A
AE gradr
B rot A 0
iii
iii
iiii
スカラー
ベクトル
ベクトル
静止状態の電荷 e のとき、ポテンシャルは
このときの電磁場は
13
ttqEF
icc
− −− +− − = −
jF E B
⇔
( ) (1)
( ) ( ) (2)
t t
t
F qE i cc c
q E c i qcc c c
= + ⋅ − ⋅ = + + × − − ×
j jE B
j j jF E B B E
iii
iiiiiiiii
エネルギーの変化､スカラー
運動量の変化､ベクトル
下線部：複素力
★クーロン・ローレンツ力(Et:時間成分) )･･既出
0tE =
0
1 ( )4
erπε
∂= −
∂E
r
,c =B 0
14
(A)電磁気力の発生（電磁気力）
0 0
0 0
( ) ( )4 4t
q e q eu ic r c rπε πε∂ ∂
= − + ×∂ ∂
ur r
0( , ) ( , )tuq qc c c
=j u
*運動している電荷 が受ける力は
静止状態の電荷 e のとき、ポテンシャルは
, =A 00
14
er
φπε
=
( )q ic
= + ×jF E E
15
(A)重力とポテンシャル（発生）
02
G MU mc r
=*重力ポテンシャル から質点 が受ける力は
静止状態の質量Mのとき、重力ポテンシャルは
2
G MUc r
=
00 2 ( )U Gm Mm
c r∂ ∂
= − = −∂ ∂
fr r ( )tu
16
(A)電磁力と重力（比較）
0 0
0 0
( ) ( )4 4t
q e q eu ic r c rπε πε∂ ∂
= − + ×∂ ∂
F ur r
00 0 2 ( ) t
U U Gm Mm m uc r
γ∂ ∂ ∂= − − = −
∂ ∂ ∂f
r r r≒
( 1)tuc
γ = ≒
静止状態の電荷 e のとき、電磁力は
静止状態の質量Mのとき、重力は
(非常に)似ている
(電磁力)
(重力)
17
(A)重力の発生(重力場)
tMg ct r
g icg
− −+ +
− +∂ ∂ = ∂− − ∂
E B 0r
★電磁場ーポテンシャル(Et:時間成分)
teE ct r
ic
− −+ +
− +∂ ∂ = ∂− − ∂
E B 0r
★重力場ーポテンシャル(gt :時間成分)
発生源から同じ形
18
(A)重力の発生(重力)
ttq qMgf ct r
g icgc c
− −− − − −+ +
+− −∂ ∂ = = ∂− − ∂
E Bj jf 0
r
ttqEF
icc
− −− +− − = −
jF E B
★重力ーポテンシャル(gt :時間成分)
★クーロン・ローレンツ力(Et :時間成分)
電磁力と同じ形で発生 重力源が静止
考慮されていない
19
(A)重力(スカラー、ベクトル)
03
0 03 3
( ) ( ) (1)
( ) ( ) ( ) (2)
t
t
Gm Mfc r
Gm M Gm Mu ic r c r
∂ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ = − + ×
∂ ∂
ur
f ur r
iii
iiiiiiii
エネルギーの変化
運動量の変化
tqMf ct r
c
− −− −+ +
− −∂ ∂ = ∂ − ∂
jf 0r
⇔
★ポテンシャルから重力(相対論不変)
下線部：複素力
20
(B)重力(球座標)
03
0 03 3
( ) ( ) (1)
( ) ( ) ( ) (2)
t
t
Gm Mfc r
Gm M Gm Mu ic r c r
∂ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ = − + ×
∂ ∂
ur
f ur r
iii
iiiiiiii
エネルギーの変化
運動量の変化
★重力ーポテンシャル(ft :時間成分)
sin cossin sincos
x ry rz r
θ φθ φθ
= = =
★球座標系
rdθ
sinr dθ φ
dr
x
y
z
θ
φ
21
(B)重力(球座標系)
2
2 2
22 2 2
2 2
2
2
(1)
1 1( ) ( ) ( sin ) (2)
1( ) ( sin ) ( ) cos ( sin ) (3)
1( sin ) ( ) ( s
Gct
Gr
G
G
Md ct dr dctd r d d
Md r dct d dr rd r d r d r d
Md d d dct dr d d dr i r r r id d r d d r d d d d
Md d d dct drr i r rd d r d d r d
θ
τ τ τθ φθ
τ τ τ τθ φ θ φ φθ θ θ
τ τ τ τ τ τ τ τφ θθ
τ τ τ τ τ
= − ⋅⋅⋅
= − + + ⋅⋅⋅
= − − + ⋅⋅⋅
= − in ) cos ( ) (4)d d dr id d d φφ θ φθ θτ τ τ
− ⋅⋅⋅
★重力の方程式(複素方程式)
複素力（回転に関係する）
22
(B)重力(球座標系・赤道上)
2
2 2
22 2 2
2 2
2
2
(1) '
1( ) {( cosh ) ( ) } (2) '
1( ) ( sinh )( cosh ) ( ) (3) '
1( cosh ) ( sinh )( )
G
G
G
G
Md ct dr dctd r d d
Md r dct d dr rd r d r d d
Md d dct d d dr dr r rd d r d d d r d d
Md d dct d d drr rd d r d d d r d
τ τ τφ
τ τ τ τφ φ
τ τ τ τ τ τ τφ φ
τ τ τ τ τ τ
= − ⋅⋅⋅
Θ= − + Θ − ⋅⋅⋅
Θ Θ= − Θ Θ − ⋅⋅⋅
ΘΘ = − Θ −
( cosh ) (4) 'drdφτ
Θ ⋅⋅⋅
★重力の方程式(実方程式) : , :2
iπθ = − Θ Θ( 赤道上 虚角)
23
(B)重力(ケプラーの法則)
2 22
2 2 3
2
2 2
2 2 2 2
( )
( ) ( )
( sinh ) ( )(tanh cosh )cosh ( ) ( )
{( cosh ) ( ) } ( )
GMr
G
G
dct Dedd r M dct C rd r d rd M dct d dctr rd r d dct d
d dr r r Cd d
τ
τ τφ φ
τ τ τφτ τ
=
= − + − Θ = − Θ− Θ Θ − Θ Θ − = ⋅⋅⋅
iiiiii
iiiiii
iiiiii
エネルギー
加速度
加速度
面積速度一定
★面積速度(一定)
速度2
24
(C)今後の展望
• (1)重力の複素部分の解釈、特に虚角の意味。• (2)水星の近日点移動・光の重力による湾曲性の検証等。
• (3)一般相対性理論への応用。
